ĐẠI SỐ BÀI 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC hệ PHƯƠNG TRÌNH đại số TUYẾN TÍNH

GIÁO ÁN LÝ THUYẾT
BÀI 2 : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Học viên nắm vững được khái niệm ma trận, các phép toán trên ma trận
- Học viên hiểu được định nghĩa định thức, một số phương pháp tính định thức
- Học viên nắm được định nghĩa ma trận nghịch đảo, phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
- Học viên hiểu được định nghĩa hạng của ma trận, nắm được cách tính hạng của ma trận
- Học viên nắm được các khái niệm cơ bản về hệ phương trình đại số tuyến tính
- Học viên hiểu được định lý về sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
- Học viên tư duy được phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2. Kỹ năng
- Học viên thành thạo tính được các định thức
- Học viên tìm được ma trận nghịch đảo, hạng của một ma trận
- Học viên thành thạo giải các hệ phương trình tuyến tính
3. Thái độ
- Học viên hứng thú, tập trung vào bài học
- Học viên tích cực tham gia trao đổi, xây dựng bài học

1


II. Nội dung bài giảng
THI GIAN

HOT NG DY- HC
NI DUNG

Tit1

5 phút

6 phút

Hoạt động
của GV
Giới thiệu

- Giới thiệu nội dung của bài giảng
- Giới thiệu nội dung của tiết giảng
I. Ma trận-Định thức
1. Ma trận và các phép tốn
1.1.Ma trận
Thuyết trình,
1.1.1.Định nghĩa
đặt câu hỏi
Một bảng số chữ nhật gồm có m hàng, n cột có dạng:
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A = 
được gọi là một ma trận cỡ m �n.
...
... ... ... 


a

a
...

a
m2
mn 
 m1
Trong đó: aij �R ( hoặc C ) là phần tử của A nằm ở giao điểm của hàng i và cột j ;
i  1, m , j  1, n ;
Ký hiÖu : A =  aij  m�n

�1
VD: Ma trận cỡ 2 �3 : A = �
�2
�

3 �
�
5 6�
�

0

2

Hoạt động
của HV
Nghe giảng

Nghe, hiểu,
ghi chép, trả
lời

30
phút

1.1.2.Một số dạng ma trận đặc biệt
a. Ma trận hàng, ma trận cột
- Nếu m = 1( Ma trận A cỡ 1 �n)
A = (a1 K an ) � Ma trận hàng
VD: A= (1 4 5 2 0 8) là ma trận hàng cỡ 1 �6
- Nếu n = 1 (Ma trận A cỡ m �1)
a1 �
�
� �
a2 �
�
A = �a3 �� Ma trận cột
� �
... �
�
�
am �
�
�

b. Ma trận vuông
Nếu m = n (Ma trận A cỡ n �n)

 a 11 a12

 a 21 a 22

A= 
...
...

a
 n1 a n2

... a1n 

... a 2n 
được gọi là ma trận vng cấp n.
... ... 

... a nn 

Trong đó: Các phn t a11, a22, , ann gi là các phần tö chéo.
Đường thẳng chứa các phần tử chéo gọi là ®êng chÐo chÝnh.
1 2 

VD: Ma trận vuông cấp 2: A = 
3 
 7
* Một số ma trận vuông đặc biệt:
- Ma trận tam giác trên: Ma trận A cấp n có dạng:
�a11 a12 ... a1n �
�
�
�
�
a22 ... a2 n � trong đó: aij= o nếu i>j

A = �0
�
�
......
�
�
�0
0.... ann �
�
�

3

-Đặt vấn đề
-Thuyết trình

-Nghe, hiểu,
ghi chép

-Thuyết trình
-Đặt câu hỏi
gợi mở

-Nghe, hiểu,
ghi chép, trả
lời.


4 phút

Tiết 2 3 phút

Tổng kết bài giảng

-Nhấn mạnh
nd trọng tâm
-Giao nhiệm
vụ về nhà
Giới thiệu

- Phát vấn học viên kiến thức trước
- Giới thiệu nội dung của bài giảng

4

-Nghe giảng
-Ghi nhớ
Nghe giảng


10
phút

1.2. Các phép toán về ma trận:
1.2.1.Cộng ma trận:
a. Định nghĩa: Cho 2 ma trận cùng cỡ m �n: A   aij  m�n và B   bij  m�n . Tổng
của 2 ma trận A và B là 1 ma trận C cỡ m �n xác định bởi :
A  B  C   aij  bij 
�2

3� �
5

- Thuyết
trình
- Đặt câu hỏi
gợi mở

-Nghe, hiểu,
ghi chép
- trả lời.

-yêu cầu hv

-Làm bài

m�n

7 � �2  5

37 � �
7 10 �

VD: �
� �
� �
� �
�
2 3 � �1  2 4  ( 3) � �
1 1�

�1 4 � �
t
Chú ý:  A  B   At  B t
b. Tính chất:
Cho ma trận A   aij  m�n , B   bij  m�n , C   cij  m�n ta có:
- Tính giao hoán: A + B = B + A
Chứng minh:
A  B (a ij  bij ) mn (bij  aij ) mn  B  A

�2
1
�
5
�2 3 � �
A+ B = �
� �
2
�1 4 � �
5 7 � �2
�
B+A= �
� �
�2 3 � �1

VD: Giả sử A  �

3� �
5 7�
,B �
�

4 � �2 3 �
�
7 � �2  5
37 � �
7 10 �
� �
� �
�
3 � �1  2 4  ( 3) � �
1 1�
3 � �2  5
3 7 � �
7 10 �
�
=�
�
�
4� �
1  2 4  (3) � �
1 1�
�

Vậy A+B =B+A
- Cộng với ma trận 0: A + 0 = 0 + A = A
�3 2 �
�
�7 5 �
2� �
0 0 � �3  0 2  0 � �
3 2�

 � � �
� �
�
�
5� �
0 0� �
7 0 50� �
7 5�

VD: Cho A = �
�3
7
�

A+0 = �

- Tính kết hợp: (A + B)+C = A+(B+C)
Chứng minh:

 A  B   C   aij  bij  m�n   cij  m�n
  dij  cij 

1 42 43
 dij  m�n

m�n

  aij  bij  cij 

m�n

5


10
phút

1.2.2 . Nhân ma trận với 1 số:
- Thuyết
a. Định nghĩa : Cho ma trận A   aij  m�n , k  R thì tích k.A là ma trận cỡ m �n xác trình
-Đặt câu hỏi
định bởi : k.A =  k .aij  m�n
phát vấn
2.4 � �6 8 �
�3 4 � �2.3
� �
� �
�
7 2 � �
2.7 2.( 2) � �
14 4 �
�

VD : 2. �

b. Tính chất :

k  A  B   kA  kB

(k  h) A  kA  hA

k (hA)  (kh) A
1. A  A;0. A  0

C/m tính chất 1 :
k ( A  B ) k (aij  bij ) mn k (aij ) mn  k (bij ) mn kA  kB

6

-Nghe, hiểu,
ghi chép
- trả lời.


15
phút

1.2.3 Phép nhân 2 ma trận :
a..Định nghĩa :
Xét 2 ma trận: A   aij  m�p ; B   bij  p�n (Số cột của A = số hàng của B).
Khi đó : A.B= C   cij 

n

sao cho : cij  ai1.b1 j  ai 2 .b2 j  ....  aip .bpj  �aik .bkj
m�n

- Thuyết
trình
-Đặt câu hỏi
phát vấn

-Nghe, hiểu,
ghi chép
- trả lời

Hướng dẫn
làm ví dụ
Phát vấn hv

Nghe hiểu
Làm bài

Nêu tính chất

Nghe hiểu,
ghi chép

- Cho hv làm
bài tập t.quát

- trả lời

k 1

Chú ý :
t
+  A.B   B t . At
+ Tích A.B phải viết đúng thứ tự A trước , B sau.
+ Nhân AB phải có điều kiện : số cột của A bằng số hàng của B.
+ Ma trận tích có số hàng = số hàng của ma trận A, số cột = số cột của ma trận B.

 3 5


 1 4  7
 . Tính AB và BA
-VD : Cho A =   1 4  vµ B = 
 2 4 3 
 7 0


3.4  5.4
3.( 7)  5.3    7 32  6 
 3.1  5.( 2)

 

AB =   1.1  4.( 2)  1.4  4.4  1.( 7)  4.3     9 12 19  .
 7.1  0.( 2)
7.4  0.4
7.( 7)  0.3   7 28  49 


  50 21
.
BA = 
6 
 11
- Chú ý: Khi nhân AB và BA được chưa chắc đã có AB = BA
b.Tính chất :
Với các ma trận có cỡ thích hợp ta có :

0. A  A.0  0
A.E  E. A  A

A( B  C )  A.B  A.C ;( B  C ) A  B. A  C . A
( A.B ).C  A( B.C )

7 phút

k (BC) = (kB)C = B( kC)
Tổng kết bài giảng
7

-Ghi nhớ


Bài tập:
Bài 1: Cho các ma trận:

- Giao nhiệm
vụ về nhà

3  2
4



A  4
7  ; B   5
1  5 
6





Tính: a) ( A + 3B ) + Dt
 16  2 


ĐS: a)   9 12 
 22 23 



0

1 ;
9 

 2 7


 1 2 3

C  8
0  ; D 
 0 2 1
 11  3 



b) 3A + 5B – 2C.

 33  20 


; b)   29 26 
 11
36 


 2 1   1  1
.

Bài 2: Nhân các ma trận sau: a) 
 3 2  1 1 

 3 1

 2 1 1 
. 2 1 
; b) 
 3 0 1  1 0 



 3  1
 9 3

 ; b) 
 5  1

10 3 

ĐS: a) 

2.Định thức của ma trận
Tiết 3 3 phút

- Phát vấn học viên kiến thức trước

Giới thiệu

- Giới thiệu nội dung của bài giảng

8

Nghe giảng


30
phút

2.1.Định nghĩa :

XÐt ma trËn vuông cÊp n:

�a11 a12
�
a 21 a 22
A= �
�...

...
�
�a n1 a n2

... a1n �
�
... a 2n �
... ... �
�
... a nn �

-Thuyết trình
-Phát vấn
- Hướng dẫn
làm ví dụ

-Nghe, hiểu,
ghi chép
-Trả lời

xÐt phÇn tư aij. ta bá i hàng i, cột j sẽ thu đợc ma trận còn n-1
hàng, n-1 cột tc ma trn cp n-1 gi là ma trËn con øng víi phÇn tư a ij .
Kí hiệu là : Mij
�a11 a12 a13 �
�
�
Ví dụ: A  �a21 a22 a23 �ta có :
�a
�
�31 a32 a33 �

a23 �
a
a23 �
a22 �
�a
�
�a
M 11  �22
; M 12  �21
; M 13  �21
�
�
�
�a32 a33 �
�a31 a33 �
�a31 a32 �
a13 �
a �
a �
�a
�a
�a
M 21  �12
; M 22  �11 13 �
; M 23  �11 12 �
�
a32 a33 �
a31 a33 �
a31 a32 �
�

�
�
a13 �
a �
a12 �
�a
�a
�a
M 31  �12
; M 32  �11 13 �
; M 33  �11
�
�
a22 a23 �
a21 a23 �
�
�
�a21 a22 �

Định nghĩa : Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(A) hoặc A , được định
nghĩa dần dần như sau :
A là ma trận cấp 1 : A   a11  thì det(A) = a11
A là ma trận cấp 2 :
a �
�a
A  �11 12 �thì det  A   a11 det  M 11   a12 det  M 12   a11.a22  a12 a21
a21 a22 �
�
(Trong đó a11 , a12 là các phần tử nằm cùng hàng 1 của ma trận A)

Tổng quát ta có :
A là ma trận cấp n thì :
det(A)= a11det(M11)- a12det(M12)+.....+(-1)1+na1n det(M1n)
9

Nghe, hiểu,
ghi chép
-Trả lời


10
phút

2.2.Các tính chất :
-Đặt vấn đề
Tính chất 1 : Định thức của ma trận vuông A bằng định thức của ma trn chuyn -Thuyt trỡnh
v ca nú ( hay định thức không thay đổi khi ta đổi dòng thành
cột và cột thành dòng). Tc det(At) = det (A)
Vớ d :

2 3
5 ;
1 4

-Nghe, hiểu,
ghi chép
-Trả lời

2 1
5

3 4

Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của định thức thì cũng đúng
với cột và ngược lại.
Tính chất 2 :Nếu đổi chỗ hai hàng (hay 2 cột) cho nhau thì định thức đổi dấu
Ví dụ:

2 phút

Tiết 4 3 phút

2 3
3 2
5 ;
 5
1 4
4 1

Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay 2 cột) giống nhau thì bằng khơng.
Chứng minh: gọi định thức có hai hàng như nhau là  .Đổi chỗ hai hàng đó ta được
 = -  . vậy 2  =0 do đó  =0
Tính chất 4: Dựa vào định nghĩa (*) và áp dụng tính chất 2 ta suy ra :
det(A)= (-1) i+1 [ ai1det(Mi1)- ai2det(Mi2)+...  ain det(Min) ] (1)
trong đó ai1, ai 2,…,ai n đều nằm ở hàng i của định thức, do đó cơng thức (1) gọi là
khai triển định thức theo hàng i .
Tương tự : det(A)= (-1) 1+j [ a1j det(M1j )- a2j det(M2j )+...  anj det(Mnj ) ]
(2)
trong đó a1j, a2j,…,anj đều nằm ở cột j của định thức, do đó cơng thức (2) gọi là khai
triển định thức theo cột j .
Tính chất 5 : Định thức có một hàng (hay một cột) tồn là số khơng thì bằng

khơng.
Tổng kết bài giảng
-Nhấn mạnh
nd trọng tâm
-Giao nhiệm
vụ về nhà
Giới thiệu

- Phát vấn học viên kiến thức trước
- Giới thiệu nội dung của bài giảng
10

-Nghe giảng
-Ghi nhớ
Nghe giảng


10
phút

Tính chất 6 : Nếu nhân một hàng( hay 1 cột) với một số, rồi cộng vào hàng (hay -Thuyết trình
cột) khác thì định thức khơng thay đổi giá trị.
-Đặt câu hỏi
gợi mở
2 1 1
VD:Cho D =

2 5 3 . Nhân dòng thứ ba với 2 rồi cộng vào dòng thứ hai ta
1 0 1
2

1

1

2

được định thức D1 = 2  (2) 5  0 3  2 =
1

0

1

1 1

0 5 5 = -10 = D
1 0 1

Tính chất 7: Định thức có hai hàng (hay 2 cột) có các thành phần tương ứng tỷ lệ
với nhau thì bằng khơng.
3

2

6

1 2a  0
 3 1 6

VD: a

Tính chất 8: Nếu 1 hàng (cột) có thể viết thành tổng 2 hàng (cột) thì định thức
bằng tổng 2 định thức tương ứng.
Tính chất 9: Nếu nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k
thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k.
Hệ quả : Định thức có một hàng (hay 1 cột) có nhân tử chung thì ta có thể đưa nhân
tử chung ra ngoài định thức .
n
VD: cho A=(ai j) n �n thì kA  k . A
Tính chất 10: Cho A và B là 2 ma trận vuông cùng cấp.Khi đó định thức của tích
bằng tích các định thức, tức : A.B  A . B
m
Hệ quả : A  A

m

11

-Nghe, hiểu,
ghi chép
-Trả lời


30
phút

2.3. Một số phương pháp tính định thức:
a. Khai triển định thức theo các phần tử của một hàng hoặc một cột:
Áp dụng cơng thức (1) hoặc (2) .

-Thuyết trình
Chú ý: + Tính định thức cấp n ta có thể đưa về tính định thức cấp nhỏ hơn n.
- Hướng dẫn
+ Để phép tính được đơn giản ta nên khai triển theo hàng (hoặc cột) có làm ví dụ
nhiều thành phần bằng 0 hoặc là những số đơn giản
3  2
7
0
Ví dụ: Tính định thức D =
1
0
 4 0

-Nghe, hiểu,
ghi chép
-Trả lời

5 0
6 3
0 10
2 9

Nhận thấy cột thứ 2 có nhiều số khơng nhất, do đó ta khai triển D theo cột 2
7

6

3

7

6

3

Vậy D = (–1)1 + 2.(-2). 1

0 10 = 2. 1 0 10
 4 2 9
 4 2 9

Lại tiếp tục khai triển định thức cấp 3 này theo dòng 2 ta được:
�

(1)21.1.
D = 2. �
�

6 3
7 6�
 (1) 2 3.10.
� 2. (54  6)  10.(14  24)   856
2 9
4 2 �

b. §a vỊ dạng nhiều số 0
Ví dụ1: Tính định thức:
2 5

1

D= 1 3 8
4 7 9

Nhân hàng hai với (-2), (-4) rồi lần lợt cng vo hng mt, ba ta cú:
0 1 15
1 15
D 1 3
8  1.(1) 21.
 52
5 23
0 5 23
1

1

1

Ví dụ 2: Tính định thức: D  a1

a2

a3

2
1

2
2

a32

a

a

12

-Thuyết trình
- Hướng dẫn
làm ví dụ

-Nghe, hiểu,
ghi chép
-Trả lời


2 phút

Tổng kết bài giảng

-Nhấn mạnh
nd trọng tâm

-Nghe giảng
-Ghi nhớ

-Giao nhiệm
vụ về nhà
3.Ma trận nghịch đảo

Tiết 5 3 phút

- Phát vấn học viên kiến thức trước

Giới thiệu

Nghe giảng

-Thuyết trình

-Nghe, hiểu,
ghi chép

-Đặt vấn đề
-Thuyết trình

-Nghe, hiểu,
ghi chép

- Giới thiệu nội dung của bài giảng
5 phút

3.1.Định nghĩa :
Cho ma trận

A  (aij ) n�n ; nếu tồn tại ma trận B  (bij ) n�n saocho : A.B=B.A=In

Thì nói A khả đảo và gọi B là ma trận nghịch đảo của A.
Chú ý :
-Kí hiệu ma trận nghịch đảo của A là A-1 , nghĩa là : A.A-1=A-1.A=In

-Nếu A,B là 2 ma trận vng cùng cấp và đều có ma trận nghịch đảo .
Khi đó : AB có ma trận nghịch đảo B-1A-1 tức : (AB)-1 = B-1A-1 ;
(k A)-1 =
5 phút

1 1
.A
k

3.2.Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo :
Định lý : Giả sử A  ( aij ) n�n , det (A) �0 thì ma trận A có nghịch đảo là A-1 ;
 C11

1
1  C12
1
t
A 
.C 
.
det( A)
det( A)  ...

C
 1n

C 21
C 22
...
C2n

... C n1 

...

(1);
... ... 

... C nn 

Trong đó : Cij=(-1)i+j.det(Mij) là phụ đại số của phần tử aij ;
Ma trận C t được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A.
Chú ý :
+ Khi det(A) 0 thì A có nghịch đảo, nên A là ma trận không suy biến.
+ Nếu det(A)=0 ta kết luận A khơng có ma trận nghịch đảo.
13


30
phỳt

3.3.Phng phỏp tỡm ma trn nghch o:
a) Phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ ma trận phụ
hợp:
Theo (1), để tìm ma trận nghịch đảo nhờ ma trận phụ hợp, ta
tiến hành các bớc sau:
Bớc 1: Tính detA
Nếu det( A) 0 thì kết luận không tồn tại ma trận nghịch
đảo
Nếu det( A) 0 thì ma trận A khả đảo, chuyển sang bớc 2

Bớc 2: Tính các phần ph đại số của các phần tử của ma trận
đà cho để thiết lập ma trận phụ hợp C t
1

1
t
Bớc 3: Tính ma trận nghịch đảo A A .C

1 3 0�
�
�
�
Ví dụ: Tìm A-1 biết : A  �0 2 1�
�
3 1 5�
�
�
1 3 0
1 3
0
- Tính định thức A = 0 2  1 = 0 2  1 = 10 – 8 = 2 0.
3 1 5
0 8 5

- Tìm các phần phụ đại số:
2 1
0 1
0
11 ; C12 = (-1)1+2
 3 ; C13 =

1 5
3 5
3
3 0
1 0
 15 ; C22 =
5 ; C23 = (-1)2+3
C21 = (-1)2+1
1 5
3 5
3 0
1 0
1
 3 ; C32 = (-1)3+2
1 ; C33 =
C31 =
2 1
0 1
0

C11 =

 11  15  3 


1 
Ma trận phụ hợp : C =   3 5
 6 8
2 


t

14

2
 6 .
1
1 3
8 .
3 1
3
2 .
2

-Thuyết trình
- Hướng dẫn
làm ví dụ
-Phát vấn

-Nghe, hiểu,
ghi chép
-Trả lời


2 phút

Tổng kết bài giảng

-Nhấn mạnh
nd trọng tâm

-Nghe giảng
-Ghi nhớ

-Giao nhiệm
vụ về nhà
4.Hạng của ma trận
Tiết 6 3 phút

- Phát vấn học viên kiến thức trước

Giới thiệu

- Giới thiệu nội dung của bài giảng

15

Nghe giảng


10
phút

4.1.Định nghĩa :
�a11 a12
�
a21 a22
XÐt A= �
�... ...
�

am1 a2
�

... a1n �
�
... a2 n �
... ... �
�
... amn �
min  m, n

-Thuyết
trình,
giảng giải,
viết bảng

-Nghe
giảng, ghi
chép

-Phỏt vn

-Tr li

Cho p N , p
Ma trận vuông cấp p nhận đợc từ ma trận A bằng cách bỏ đi (mp) hàng và (n-p) cột đợc gọi là ma trận con cấp p của A.
Định thức của ma trận con cấp p này đợc gọi là định thức con
cấp p của A.
Chú ý : có rất nhiều định thức con cấp p .
Ví dụ :

1 3 4 2 


XÐt ma trËn cì 4 �3 : A =  2 1 1 4 
  1  2 1  2


Ta cã min{3,4}=3 mµ p �min{4,3} � p  1, 2,3

Định thức con cấp 3 của A là :
1 3 4
1 3 2
3 4 2
1 4 2
2
1 1 =0; 2
1
4 0 ; 1 1 4 0 ; 2 1 4 0 .
1  2 1
1  2  2
 2 1  2
1 1  2

Định thức con cấp hai của A là :
1 3
7 ;
2 1

4 2
14 ; …..

1 4

• Định nghĩa.
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác khơng của A.
Ký hiệu: r(A).
-Tính chất: + 1 �r ( A) �min(m, n)
Coi hạng của ma trận 0 m �n bằng 0.
Như vậy, hạng của ma trận A bằng r thì ma trận A có ít nhất một định thức con khác
0 và mọi định thức con cấp cao hơn r đều bằng
160.


30
phút

4.2.Cách tính hạng của ma trận :
4.2.1. Phương pháp 1: Tìm hạng ma trận bằng định nghĩa(Tỡm
hng ma trn nh nh thc)
Bớc 1: Tìm một định thức con cấp k kh¸c 0 ( 1 �k �min(m, n) )
Bíc 2: Tính các định thức con cấp k+1
- Nếu các định thức cấp k+1 này đều bằng 0 thì kết luận:
hạng của ma trận Amn bằng k.
- Nếu có định thức cấp k+1 khác 0 thì ta lại tính các định
thức cấp k+2 bao định thức cấp k+1 khác 0 này (nếu có)
Quá trình cứ tiếp tục nh vậy. Ta tìm đợc h¹ng cđa ma trËn
A.

1
2  4 3


1  2 1  4
Ví dụ: Tính hạng của ma trận A = 
0 1 1 3

4  7 4  4

Dễ thấy D =

 4 3
 2 1

2 0.

Xét tiếp định thức con cấp 3 bao quanh D là:
2  4 3
2  4 1
D1 = 1

0

 2
1

0

2
.
1

5 

2

1

1 = 1  2 1 = 
1  0.
1 1
0 1
0
1

Bao quanh D1 có 2 định thức cấp 4 là
2  4 3
1
2  4  1 13
2  1 13
2 1 9
1  2 1  4
1  2 1 2
D3 =
=
=  1  1 2 =  1 0 0 0 .
0 1 1 3
0 1
0
0
4  3 17
4 1 9
4  7 4  4

4  7  3 17 17

-Thuyết
trình,
giảng giải
-Nờu v
hng dn
lm vớ d

-Nghe
giảng, ghi
chép
-Tr li


2 phút

Tổng kết bài giảng

-Nhấn mạnh
nd trọng tâm

-Nghe giảng
-Ghi nhớ

-Giao nhiệm
vụ về nhà
II. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Tiết 7 5 phút

- Phát vấn học viên kiến thức trước

Giới thiệu

Nghe giảng

- Giới thiệu nội dung của bài giảng
20
phút

1. C¸c khái niệm cơ bản
-Thuyt trỡnh
1.1. Hệ phơng trình tuyến tính tớnh tng quỏt
a) N: Hệ phơng trình tuyến tính gồm m phơng trình, n ẩn là
hệ có dạng:
a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1n x n b1
 a x  a x  ...  a x b
 21 1
22 2
2n n
2
(1) hay viÕt gän

 .............................................
 a m1 x 1  a m2 x 2  ...  a mn x n b m
n

a

ij

x j b i ; i 1, m ,

j 1

trong đó x1, x2, ... , xn là các ẩn; aij , bi  R, i = 1, m ; j = 1, n .
Các aij gọi là các hệ số của ẩn xj còn bi gọi là hạng tử tù do.
Ứng với hệ (1) ta có ma trận tương ứng:
 a 11 a 12 ... a 1n 
 a 11 a 12 ... a 1n b1



a
a
...
a
 21
 a 21 a 22 ... a 2n b 2
22
2n 
A= 
vµ
B
=
 ...
...
... ... ... 
... ... ... ...




a

a
 m1 a m2 ... a mn 
 m1 a m2 ... a mn b m
thứ tự gọi là ma trận các hệ số và ma trận bổ xung của hệ
ơng trình đà cho.
18








ph-

-Nghe,hiu,
ghi chộp


15
phỳt

x1
b1

x2
b2
- Đặt X =
;C=
là ma trận cột thì hệ (1) cã d¹ng
... 
... 
-Thuyết trình




x 
b 
 n 
 m
AX = C (2) mà ta gọi là dạng ma trận của hệ phơng trình (1).
Chỳ ý: Nu b1 b2  ....  bm  0 thì ta được hệ phương trình thuần nhất : A.X = 0
b) Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
ĐN: Ta gọi    1 ,  2 ,...,  n  là 1 nghiệm của hệ (1) nếu A.  =C
Nhận xét :+ Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất A.X = 0 ln có nghiệm
   0, 0......, 0  , ta gọi nghiệm này là nghiệm tầm thường.
+ Hệ (1) được gọi là xác định nếu nó có nghiệm duy nhất.
+ Hệ (1) được gọi là không xác định nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm.
+ Hệ (1) được gọi là vơ nghiệm nếu nó khơng có nghiệm nào.
c)Hệ phương trình tương đương
ĐN: Hai hệ phương trình A.X = C và A' X = C ' được gọi là tương đương nếu

nghiệm của hệ này là nghiệm của hệ kia và ngược lại
d)Các phép biến đổi tương đương
ĐN: Các phép biến đổi tương đương là các phép biến đổi không làm thay đổi tập
nghiệm, tức là đưa 1 hệ phương trình về 1 hệ phương trình tương đương với nó
Các phép biến đổi sau là tương đương:
- Thay đổi thứ tự 2 phương trình
- Loại bỏ phần tử 0
- Nhân 1 phương trình với 1 phần tử khác 0
Cộng vo 1 phng trỡnh 1 phng trỡnh khỏc.
2. Định lý về sự tồn tại nghiệm của hệ phơng trình tuyến -thuyt trỡnh
tính
Định lý Krônechker - Capelli. Hệ phơng trình tuyến tính (1)
có nghiệm khi và chỉ khi hạng(A) = hạng(B).
Chứng minh: Gọi U là không gian con sinh bởi hệ vÐc t¬

19

-Nghe,hiểu,
ghi chép

-Nghe,hiểu,
ghi chép


r r

r

 α1 , α 2 , ..., α n (A) của Km và W là không gian con sinh bëi hƯ vÐc t¬
r

 αr , αr , ..., αr , β (B) cđa K
1

2

n

. Râ rµng (A)  (B) nªn U  W.

m

(  ) NÕu hƯ cã nghiƯm (c 1, c2, … , cn) th×
r
r
r
r
r
β c1α1  c 2α 2  ...  c n α n , có nghĩa là biểu thị tuyến tính đợc qua
hệ (A), do đó hạng hệ (A) = hạng hệ (B). VËy h¹ng(A) = h¹ng(B).
(  ) NÕu h¹ng(A) = hạng(B) thì hạng hệ (A) = hạng hệ (B). Do
r
đó dimU = dimW. Chó ý r»ng U  W nªn suy ra U = W. Vậy U
và vì thế tồn tại các số c 1, c2, , cn cña K sao cho
r
r
r
r
β c1α1  c2 α 2  ...  c n α n , cã nghÜa lµ hƯ (1) cã nghiƯm
�x  y  1

VD1: Giải hệ phương trình sau: �
�x  2 y  1

Giải:
1 1�
�

�
1 1 1�

+ Ta có: A  � �; A  �
�
1 2�
1 2 1�
�
�
r(A) = 2; r( A ) = 2; suy ra r(A) = r( A ). Vậy theo định lý thì hệ có nghiệm.
�x  y  1
�x  1
theo phương pháp thế thì ta có nghiệm �
�x  2 y  1
�y  0
�x  y  1
VD2:Giải hệ �
�2 x  2 y  3

+ Nếu giải hệ �

Giải:
-

Dễ thấy hệ VN
Kiểm tra định lý:
1 1�
�

�
1 1 1�

;A�
Ta có: A= � �
�
2 2� �
2 2 3�
�
r(A) = 1; r( A ) = 2 .
Vậy r(A) � r(A) suy ra hệ vô nghiệm

20

- Đặt câu hỏi

-Trả lời


5 phút

Tiết 8 3 phút

Tổng kết bài giảng

-Nhấn mạnh
nd trọng tâm
-Giao nhiệm
vụ về nhà
Giới thiệu

- Phát vấn học viên kiến thức trước
- Giới thiệu nội dung của bài giảng

21

-Nghe giảng
-Ghi nhớ
Nghe giảng


20
phỳt

3. Phơng pháp giải hệ phơng trình tuyến tính
3.1. Phng pháp Cramer
a) Định nghĩa hệ Cramer: Hệ phương trình tuyến tính có số ẩn bằng số phương
trình và có định thức D c¸c hƯ sè cđa Èn khác 0 được gọi là hệ Cramer.
�a11 x1  a12 x2  ......  a1n xn  b1
�a x  a x  ......  a x  b
�21 1 22 2
2n n
2
Tức là : �

...........................
�
�
�an1 x1  am 2 x2  ......  ann xn  bn

a11.......... a1n

với D = A 

a21......... a2 n
............
an1........ ann

0

b) Định lí và công thức:
Hệ phơng trình Crame:
 a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1n x n b1
 a x  a x  ...  a x b
 21 1
22 2
2n n
2

 .............................................
 a n1 x 1  a n2 x 2  ...  a nn x n b n
cã nghiÖm duy nhÊt c1, c2, ... , cn

cj

Dj
D

đợc cho bởi công thức:

, j 1, n , trong đó Dj là định thức thu đợc từ định thức D

bằng cách thay cột thứ j bởi cột số hạng tù do b1, b2, ... , bn.
 x1  5 x 2  4 x3  7

VÝ dơ1. Gi¶i hƯ phơng trình: 2 x1 9 x 2 x3 4
 3 x  11x  7 x 17
2
3
 1
Giải:
Hệ phương trình có số ẩn bằng số phương trình và
1 5 4
1 5 4
D2  9 1  0 1
 9  19  36 17 0 .
3  11  7
0 4  19

Crame.
 7 5 4
4  9  1 17; D2 0; D3  34 . 22
17 11 7

Hệ đà cho là hệ

-Thuyt trỡnh
-Nờu và
hướng dẫn
làm ví dụ

-Nghe,
hiểu,ghi chép
-Trả lời


15
phỳt

3.2. Phơng pháp Gauxơ (phơng pháp khử dần ẩn số)
- Là phương pháp tổng quát có thể dùng trong mọi trng hp gii h phng trỡnh
tuyn tớnh.
- Định lí. Nếu ta thực hiện trên các hng của ma trận bổ sung
của một hệ phơng trình tuyến tính những phép biến đổi sơ
cấp , thì ta sẽ đợc một hệ phơng trình mới tơng đơng với hệ đÃ
cho.
Chú ý: Ta thờng đa hệ đà cho về dạng chéo trên ma trận bæ
xung.
 x1  5 x 2  4 x3  7

- Ví dụ. Giải hệ phơng trình: 2 x1  9 x 2  x3 4
 3 x  11x  7 x 17
2
3
 1

Ta lËp ma trËn bæ xung B và biến đổi nh sau:
B=

1 5 4  7 1  5 4  7 1  5 4  7 

 
 

 2  9  1 4    0 1  9 18    0 1  9 18  .
 3  11  7 17   0 4  19 38   0 0 17  34





Vậy hệ tơng đơng với hệ:
x1  5 x2  4 x3  7
 x1 1


x2  9 x3 18   x2 0 .


 x  2
 17 x3  34

 3
VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt : (x1, x2, x3) = (1, 0, – 2).
Bài tập: giải và biện luận hệ phương trình sau:
 ax  y  z 1


 x  ay  z a (1) trong đó x,y,z là các ẩn; a là tham số.
 x  y  az a 2


23

-Đặt vấn đề
-Thuyết trình
-Nêu và
hướng dẫn
làm ví dụ

-Nghe,
hiểu,ghi chép
-Trả lời


7 phút

Tổng kết bài giảng

-Nhấn mạnh
nd trọng tâm

-Nghe giảng
-Ghi nhớ

-Giao nhiệm
vụ về nhà

Bài tập
Tiết
9

8 phút

- Phát vấn học viên kiến thức trước liên quan bài học

-Tóm tắt

-Nghe giảng

- Gọi kiểm tra bài cũ:

-Phát vấn

-Làm bài

3 x1  2 x2  x3  5
�
�
Giải hệ phương trình sau theo phương pháp crame: �2 x1  3x2  x3  1
�
2 x1  x2  3x3  11
�

24


8 phút

1 1 1�
�
�
�
1 2 4�
và
Bài 1 :Cho hai ma trận A  �
�
�
1 3 6�
�

1 2 1�
�
�
�
B �
2 1 2 �.
�
3 0 4�
�
�

a)Tính A .B
b) Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A.
giải:
t

1 1 1�

1 1 1�
�
�
�
� t �
�
1 2 4�
�A �
1 2 3�
a) A  �
�
�
1 3 6�
1 4 6�
�
�
�
�
1 1 1�
1 2 1 � �6 3 7 �
�
�
�
�
�
��
�
A B�
1 2 3�
2 1 2 � �

14 4 17 �
�
�
�
�
1 4 6�
3 0 4�
27 6 3 �
�
�
�
��
�
t

b)

1 1 1
det A  1 2 3  1 �0 � A1
1 3 6

c11  3; c12  3; c13  1
c21  1; c22  5; c23  2
c31  1; c32  2; c33  1
3 3 1 �
�
�
�
C �
1 5 2 �� C t

�
1 2 1 �
�
�
�3 1
Ct
�
1
A 
�
3 5
det A �
�1 2

�3 1 1 �
�
�
�
3 5 2 �
�1 2 1 �
�
�
1�
�
2 �
1�
�

25

- Nêu và
hướng dẫn
làm ví dụ
-Phát vấn

-Nghe hiểu
-Làm bài