ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ ĐẠI SỐ (Dùng cho sinh viên hệ Đại học Sư Phạm Toán – 3 TC)

1











ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
SỐ ĐẠI SỐ

(Dùng cho sinh viên hệ Đại học Sư Phạm Toán – 3 TC)

2

CHƯƠNG 1
Sơ lược về một số cấu trúc đại số
Số tiết: 10 (Lý thuyết 8 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
A) MỤC TIÊU:
Sinh viên và hiểu được các khái niệm, các tính chất, các kiến thức về cơ bản về đại số: Vành,
một số bổ đề về iđêan, tính chia hết trong vành, vành chính; Không gian véctơ, vết và định thức
và đa thức đặc trưng; Môđun, môđun tự do, môđun kiểu hữu hạn, hạng của một mô đun, môđun
trên vành chính; Trường, căn đơn vị trong một trường, đặc số của một trường, trường hữu hạn.
Vận dụng giải các bài tập về các cấu trúc đại số.
B) NỘI DUNG :
1.1. Vành

1.1.1. Những khái niệm cơ bản
Các vành ở đây được giả sử là giao hoán có đơn vị. Cho một vành A, ta kí hiệu
[ ]
A x
hày
bằ
ng
[ ]
A y
vành các
đ
a th
ứ
c m
ộ
t bi
ế
n trên A. Ta kí hi
ệ
u b
ằ
ng
1
[ , , ]
n
A x x
vành các
đ
a th
ứ

c n
bi
ế
n và
[[X]]
A
vành các chu
ỗ
i hình th
ứ
c.
Theo quy
ướ
c
ở

đ
ây, m
ộ
t vành con A c
ủ
a m
ộ
t vành B ch
ứ
a
đơ
n v
ị
c

ủ
a B. Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t
vành con c
ủ
a m
ộ
t vành B,
x B
∈
, ta kí hi
ệ
u b
ằ
ng
[ ]
A x
vành con c
ủ
a
B
sinh b
ở
i
A

và
x
,
đ
ó là giao
c
ủ
a các vành con c
ủ
a
B
ch
ứ
a
A
và
x
; các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
[ ]
A x
có d
ạ
ng
0 1

( )
n
n i
a a x a x a A
+ + + ∈
…
;
ta c
ũ
ng kí hi
ệ
u b
ằ
ng
1
[ , , ]
n
A x x
…
vành con c
ủ
a B sinh b
ở
i A và m
ộ
t h
ọ
h
ữ
u h

ạ
n
1
( , , )
n
x x
…
nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a B.
M
ộ
t vành A g
ọ
i là mi
ề
n nguyên (hay không có
ướ
c c
ủ
a không) n
ế
u a khác vành 0 và n
ế

u
tích c
ủ
a hai ph
ầ
n t
ử
khác không tu
ỳ
ý c
ủ
a A là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
khác không.
M
ộ
t I
đ
êan I c
ủ
a m
ộ
t vành A là m
ộ
t nhóm con c
ộ

ng c
ủ
a nhóm c
ộ
ng A sao cho
x I
∈
và
a A
∈
kéo theo
ax I
∈
; A và
{0}
là nh
ữ
ng I
đ
êan c
ủ
a A, g
ọ
i là I
đ
êan t
ầ
m th
ườ
ng. M

ộ
t tr
ườ
ng ch
ỉ

có hai I
đ
êan t
ầ
m th
ườ
ng,
đ
ó là
đặ
c tr
ư
ng cho các vành. Cho m
ộ
t h
ọ

(
)
i
b
nh
ữ
ng ph

ầ
n t
ử
c
ủ
a vành
A, giao c
ủ
a các I
đ
êan c
ủ
a A ch
ứ
a các
i
b
là m
ộ
t I
đ
êan c
ủ
a A, g
ọ
i là I
đ
êan sinh b
ở
i

i
b
,
đ
ó là t
ậ
p
h
ợ
p các h
ọ
h
ữ
u h
ạ
n
i i
i
a b
∑
v
ớ
i
i
a A
∈
. M
ộ
t I
đ

êan sinh b
ở
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

b
g
ọ
i là
I
đ
êan chính
, kí
hi
ệ
u
Ab
hay (
b
).
Cho m
ộ
t vành
A
và m
ộ

t I
đ
êan
I
c
ủ
a
A
. Các l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng
a
+
I
( )
a A
∈
làm thành m
ộ
t
vành, g
ọ
i là
vành th
ươ
ng

c
ủ
a
A
b
ở
i
I
và kí hi
ệ
u
A
/
I
. Các I
đ
êan c
ủ
a
A
/
I
có d
ạ
ng
J
/
I
trong
đ

ó
J

ch
ạ
y kh
ắ
p t
ậ
p h
ợ
p các I
đ
êan c
ủ
a
A
ch
ứ
a
I
.
Để

A
/
I
là m
ộ
t tr

ườ
ng c
ầ
n và
đủ
là t
ố
i
đạ
i trong các
I
đ
êan c
ủ
a
A
khác
A
; lúc
đ
ó ta b
ả
o
I
là
i
đ
êan

t

ố
i
đạ
i.
M
ộ
t i
đ
êan
P là nguyên t
ố

n
ế
u
A
/
P
là mi
ề
n
nguyên.
Cho hai vành
A
và
'
A
, v
ớ
i

đơ
n v
ị
e và
'
e
, m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành
: '
f A A
→
ph
ả
i hi
ể
u
đ
ây là
bi
ế
n
đơ
n v
ị
thành

đơ
n v
ị
, ngh
ĩ
a là
( ) '
f e e
=
.

3

Cho m
ộ
t vành
A
, m
ộ
t
A
-

đạ
i s
ố
là m
ộ
t vành
B

đượ
c trang b
ị
m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
:
A B
ϕ
→
, ta
đặ
t
( )
ax a x
ϕ
=
, v
ớ
i
a A
∈
và
x B
∈

. N
ế
u
A
là m
ộ
t tr
ườ
ng và
ϕ
là m
ộ
t
đơ
n ánh, ng
ườ
i ta th
ườ
ng
đồ
ng nh
ấ
t
A
v
ớ
i
ả
nh
( )

A
ϕ
c
ủ
a nó,
( )
A
ϕ
là m
ộ
t vành con c
ủ
a vành
B
.
1.1.2. Một số bổ đề về iđêan
Bổ đề 1.
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t vành, A và B là nh
ữ
ng i
đ
êan c
ủ
a X sao cho

A B X
+ =
. Th
ế
thì
A B AB
∩ =
và ánh x
ạ
chính t
ắ
c.
:
X X
f X
A B
→ ×

( , )
x x A x B
+ +
֏

Là m
ộ
t toàn c
ấ
u
ker
f AB

=
; do
đ
ó ta có
đẳ
ng c
ấ
u
:
X X X
f
AB A B
→ ×
ɶ

Bổ đề 2.

(Định lí Trung Hoa dư)

Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t vành, và
(
)
1
i

i n
A
≤ ≤
là n i
đ
êan c
ủ
a X sao cho
i j
A A X
+ =
v
ớ
i
i j
≠
. Lúc
đ
ó ta có m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u chính t
ắ
c.
1
1

n
n i
i
X X
A A A
=
→
∏

1.1.3. Khái niệm chia hết trong một vành
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t mi
ề
n nguyên, K là m
ộ
t tr
ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a nó,
x
và
y

là nh
ữ
ng ph
ầ
n
t
ử
c
ủ
a K. Ta b
ả
o
x

chia h
ế
t
y
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
a A
∈
sao cho
y ax
=

; ta c
ũ
ng nói
x
là
ướ
c c
ủ
a
y
,
y
là
b
ộ
i c
ủ
a
x
; ta kí hi
ệ
u
x|y
. Quan h
ệ
gi
ữ
a
x
và

y

đị
nh ngh
ĩ
a nh
ư
trên ph
ụ
thu
ộ
c vào vành
A
, và th
ế
ta
nói quan h
ệ
chia h
ế
t trong
K

đố
i v
ớ
i A
.
Cho
x K

∈
, t
ậ
p h
ợ
p các b
ộ
i c
ủ
a
x

là
Ax
. Nh
ư
v
ậ
y
x|y

y Ax
⇔ ∈
Ay Ax
⇔ ⊂
. T
ậ
p h
ợ
p

Ax
g
ọ
i là
i
đ
êan phân chính c
ủ
a K
đố
i v
ớ
i A
; n
ế
u
x A
∈
,
Ax
là i
đ
êan chính (mà ta v
ẫ
n bi
ế
t) c
ủ
a
A

sinh b
ở
i
x
. Vì quan h
ệ
chia h
ế
t
x|y
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t
ự
:
| ; |
x y x y
và
| |
y z x z
⇒

.
Nh
ư
ng ta không có
| ; |
x y x y
x y
⇒ =
mà ta ch
ỉ
có
Ax Ay
=
; g
ạ
t tr
ườ
ng h
ợ
p
A 0
x Ay
= =
, ngh
ĩ
a là
0
x y
= =
, ta

đượ
c
( )
x vy v A
= ∈
,
( )
y ux u A
= ∈
hay
x uvx
=
, hay
1
uv
=
,
đ
i
ề
u
đ
ó cho ta
u
và
v
là nh
ữ
ng ph
ầ

n t
ử
kh
ả
ngh
ị
ch c
ủ
a
A
; hai ph
ầ
n t
ử

x
và
y
ch
ỉ
khác nhau m
ộ
t
ph
ầ
n t
ử
kh
ả
ngh

ị
ch c
ủ
a
A
g
ọ
i là
liên k
ế
t
, ng
ườ
i ta không phân bi
ệ
t chúng d
ướ
i quan
đ
i
ể
m chia
h
ế
t.
Các ph
ầ
n t
ử
c

ủ
a
K
liên k
ế
t v
ớ
i 1 là các ph
ầ
n t
ử
kh
ả
ngh
ị
ch c
ủ
a
A
, ng
ườ
i ta th
ườ
ng g
ọ
i là
các
đơ
n v
ị

c
ủ
a
A
, chúng l
ậ
p thành m
ộ
t nhóm
đố
i v
ớ
i phép nhân, kí hi
ệ
u
A
*. Vi
ệ
c xác
đị
nh
đơ
n v
ị

c
ủ
a m
ộ
t vành là m

ộ
t bài toán hay
đượ
c xét t
ớ
i, chúng ta c
ũ
ng
đ
ã v
ừ
a làm cho vành
n
ℤ
ℤ
mà các
s
ố

đơ
n v
ị
b
ằ
ng
( )
n
ϕ
. Chúng ta xét m
ộ

t s
ố
vành
đơ
n gi
ả
n:
1) N
ế
u
A
là m
ộ
t tr
ườ
ng,
A
* là
A
– {0};
2) N
ế
u
{
}
*
; 1; 1
A A
= = −
ℤ

4

3) Các
đơ
n v
ị
c
ủ
a vành
1
[X , ,X ]
n
B A
=
là các
đ
a th
ứ
c h
ằ
ng kh
ả
ngh
ị
ch, ngh
ĩ
a là
* *

A B
=
.
4) Các
đơ
n v
ị
c
ủ
a vành các chu
ỗ
i hình th
ứ
c
[[X]]
B A
=
là các chu
ỗ
i hình th
ứ
c mà h
ạ
ng
t
ử
h
ằ
ng là kh
ả

ngh
ị
ch.
Th
ậ
t v
ậ
y, n
ế
u
0 1

k
k
f a a X a X
= + + + +
có ngh
ị
ch
đả
o là
0 1

k
k
g b b X b X
= + + + +

thì
1 0 0 1 1 0 1 1 1

( ) ( ) 1
k
k k k
fg a b a b a b X a b a b a b X
= + + + + + + + + =

V
ậ
y
0 0
1
a b
=
, ngh
ĩ
a là
0
a
kh
ả
ngh
ị
ch.
Đả
o l
ạ
i gi
ả
s
ử

f có
0
a
kh
ả
ngh
ị
ch, th
ế
thì ngh
ị
ch
đả
o g c
ủ
a
f s
ẽ
xác
đị
nh nh
ư
sau:

1
0 0
b a
−
=

1
1 0 1 0
( )
b a a b
−
= −

……………….

1
0 1 1 0
( )
k k k
b a a b a b
−
−
= − + +

……………
T
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có các
đơ
n v
ị

c
ủ
a vành các chu
ỗ
i hình th
ứ
c
1
[[ , , ]]
n
B A X X
=
là các chu
ỗ
i
hình th
ứ
c mà h
ạ
ng t
ử
h
ằ
ng là kh
ả
ngh
ị
ch. Ta ch
ứ
ng minh t

ươ
ng t
ự
b
ằ
ng cách vi
ế
t m
ỗ
i
f B
∈

nh
ư
sau:
0 1
( , , , , )
k
f f f f
=

Trong
đ
ó f là m
ộ
t dãy nh
ữ
ng
đ

a th
ứ
c thu
ầ
n nh
ấ
t
k
f
l
ấ
y h
ệ
t
ử
trong A, m
ỗ
i
đ
ã th
ứ
c là b
ằ
ng không
ho
ặ
c có b
ậ
c K. Phép c
ộ

ng và phép nhân là nh
ư
sau:
0 0 1 1
( , , , , )
k k
f g f g f g f g
+ = + + +

0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
( , , , )
k k k
fg f g f g f g f g f g f g
−
= + + + + + +

N
ế
u
f
có ngh
ị
ch
đả
o là
g
thì
1
fg
=

, ngh
ĩ
a là
0
f
kh
ả
ngh
ị
ch.
Đả
o l
ạ
i, n
ế
u
0
f
là m
ộ
t
đơ
n v
ị

trong A, th
ế
thì ta có th
ể
theo th

ứ
t
ự
có các
đ
a th
ứ
c thu
ầ
n nh
ấ
t
0 1
, , , ,
k
g g g v
ớ
i
k
g
ho
ặ
c
b
ằ
ng 0 ho
ặ
c có b
ậ
c k, sao cho

0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1, 0, , 0,
k k l
f g f g f g f g f g f g
−
= + = + + + =

Th
ậ
t v
ậ
y, ta xác
đị
nh các
i
g
nh
ư
sau:

1
0
i
g f
−
=

(
)
1

1 0 1 0
g f f g
−
= −

……………….

1
1 0 1 1 0
( )
k k k
g f f g f g
−
−
= − + +

……………….
Và rõ ràng
k
g
là b
ằ
ng 0 ho
ặ
c có b
ậ
c k.
Đặ
t
0

( , , , )
k
g g g
=
ta
đặ
c
1
fg
=
.

5

1.1.4. Vành chính
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t vành chính và K là tr
ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a nó. Ta hãy l
ấ
y l

ạ
i quan h
ệ
chia
h
ế
t trong K
đố
i v
ớ
i A, trong tr
ườ
ng h
ợ
p A là m
ộ
t vành chính; nó t
ổ
ng quát hoá khái ni
ệ
m chia hêt
trong vành chính A.
Hai ph
ầ
n t
ử

,
u v K
∈

có m
ộ
t
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t (
Ư
CLN)
d K
∈
n
ế
u x|u và x|v
⇔

x|vd,
.
x K
∀ ∈

Đ
i
ề
u
đ
ó có ngh
ĩ

a Au và Av có Ad là i
đ
êan bé nh
ấ
t trong t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p x
ế
p th
ứ
t
ự
các i
đ
êan phân
chính ch
ứ
a chúng:
A
Au x
⊂
và
A A ,
Av x Ad x x K
⊂ ⇔ ⊂ ∀ ∈
.

Thông th
ườ
ng n
ế
u A không ph
ả
i là vành chính, thì
Au Av
+
là i
đ
êan bé nh
ấ
t trong các i
đ
êan ch
ứ
a
,
Au Ax
. Khi A là vành chính, sau khi
đư
a u và v có cùng m
ẫ
u: ,
p r
u v
s s
= =
, ta

đượ
c:
1 1
( )
Au Av Ap Ar Aq A
s s
+ = + = ∈
v
ớ
i
/
d q s
=
. V
ậ
y
Ad
là i
đ
êan bé nh
ấ
t trong các i
đ
êan phân
chính ch
ứ
a Au và Av. Nh
ư
v
ậ

y, n
ế
u A là vành chính thì
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t d c
ủ
a hai ph
ầ
n t
ử
tu
ỳ

ý u, v
K
∈
luôn t
ồ
n t
ạ
i, ta có
đẳ
ng th
ứ
c Bezout:
d au bv

= +

V
ớ
i hai ph
ầ
n t
ử

,
a b A
∈
nào
đ
ó, t
ừ

đẳ
ng th
ứ
c i
đ
êan:
Ad Au Av
= +
.
Hai ph
ầ
n t
ử

,
u v K
∈
có m
ộ
t b
ộ
i chung nh
ỏ
nh
ấ
t (BCNN)
m K
∈
n
ế
u: x|u và x|v
⇔

m|x,
x k
∀ ∈
.
V
ậ
y Am là i
đ
êan l
ớ
n nh

ấ
t trong t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
các i
đ
êan ph
ầ
n chính ch
ứ
a trong Au và Av.
C
ũ
ng lí lu
ậ
n nh
ư
trên, v
ớ
i A là vành chính thì b
ộ
i chung nh
ỏ

nh
ấ
t m c
ủ
a u và v luôn luôn t
ồ
n t
ạ
i,
và
Am Au Av
= ∩
.
Ta chú ý vi
ệ
c chuy
ể
n sang ngh
ị
ch
đả
o
1
t t
−
֏
làm
đổ
i chi
ề

u quan h
ệ
chia h
ế
t và cho ta:
BCNN (u, v)= (
Ư
CLN(
1
u
−
,
1
v
−
))
1
−
(v
ớ
i
, 0
u v
≠
).
T
ừ

đ
ó ta có công th

ứ
c
đ
ã bi
ế
t:
Ư
CLN
( , )
u v
, BCNN
( , )
u v
uv
=

Hai ph
ầ
n t
ử

,
a b A
∈
là nguyên t
ố
cùng nhau n
ế
u
Ư

CLN(a, b) là môt
đơ
n v
ị
. Trong m
ộ
t vành
chính A, gi
ả
s
ử

, ,
a b c A
∈
và a|bc: n
ế
u a nguyên t
ố
v
ớ
i b thì a ph
ả
i chia h
ế
t cho c.
Cu
ố
i cùng ta nh
ắ

c l
ạ
i s
ự
phân tích thành nhân t
ử
nguyên t
ố
(hay còn g
ọ
i là b
ấ
t kh
ả
quy) trong
m
ộ
t vành chính.
Cho m
ộ
t vành chính A và tr
ườ
ng các th
ươ
ng K c
ủ
a nó, có m
ộ
t b
ộ

ph
ậ
n P (nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử

b
ấ
t kh
ả
quy) c
ủ
a A sao cho m
ọ
i
*
c K
∈
vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng duy nh
ấ
t.

( )
vp x
cx u p=
∏

Trong
đ
ó u là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

đơ
n v
ị
c
ủ
a A, và các m
ũ

(
)
p
x
v
là nh
ữ
ng s

ố
nguyên b
ằ
ng 0 t
ấ
t c
ả
tr
ừ

m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n.
1.2. Không gian véctơ
1.2.1.

Định nghĩa không gian vectơ.

6

Gi
ả
s
ử

E là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p mà các ph
ầ
n t
ử

đượ
c kí hi
ệ
u b
ằ
ng x, y, z,…., và K là m
ộ
t tr
ườ
ng mà các
ph
ầ
n t
ử

đượ
c kí hi
ệ
u b

ằ
ng
λ
,
,
µ γ
Gi
ả
s
ử
cho hai phép gi
ả
i toán.
- Phép c
ộ
ng:
E E E
× →


( , )
x y x y
+
֏

- Phép nhân m
ộ
t ph
ầ
n t

ừ
c
ủ
a K v
ớ
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a E.
K E E
× →


( , )
y y
λ λ
+
֏

Tho
ả
mãn các tính ch
ấ
t sau v
ớ

i m
ọ
i
,
K
λ µ
∈
.
1) E cùng v
ớ
i phép c
ộ
ng là m
ộ
t nhóm Aben.
2) Phép nhân phân ph
ố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng c
ủ
a K:
( )
x x x
λ µ λ µ
+ = +

3) Phép nhân phân ph

ố
i
đố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng c
ủ
a E;

( )
x y x y
λ λ λ
+ = +

4) Phép nhân k
ế
t h
ợ
p:

( ) ( )
x x
λµ λ µ
=

5) 1
x x
=

, 1 là
đơ
n v
ị
c
ủ
a tr
ườ
ng K.
Lúc
đ
ó ta b
ả
o E cùng v
ớ
i các phép c
ộ
ng trong E và phép nhân v
ớ
i m
ộ
t phân t
ử
c
ủ
a tr
ườ
ng K,
tho
ả

mãn các tính ch
ấ
t 1, 2, 3, 4, 5 là m
ộ
t không gian véc t
ơ
trên tr
ườ
ng K, hay không gian khi
K
đượ
c hi
ể
u ng
ầ
m.
1.2.2. Vết, định thức và đa thức đặc trưng

Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t K – không gian véct
ơ
n chi
ề
u, u là m
ộ

t t
ự

đồ
ng c
ấ
u c
ủ
a E,
(
)
1
i
i n
e
≤ ≤
là m
ộ
t c
ơ
s
ở

c
ủ
a E,
( )
ij
a
là ma tr

ậ
n c
ủ
a u trong c
ơ
s
ở

đ
ó. Ta nh
ắ
c l
ạ
i v
ế
t,
đị
nh th
ứ
c và d
ạ
ng
đ
a th
ứ
c
đặ
c tr
ư
ng

c
ủ
a u:
( )
1
det( ) det( ), det( )
n
ii ii E
i
Tr u a u a XI u
=
= = −
∑
.
Các
đạ
i l
ượ
ng trên không ph
ụ
thu
ộ
c vào c
ơ
s
ở
ta ch
ọ
n, và ta có:

( ') ( ) ( ')
Tr u u Tr u Tr u
+ = +


det( ') det( )det( ')
uu u u
=


1
det( . ) ( ) ( 1) det
m n n
E
X I u X Tru X u
−
− = − + + −

1.3. Môđun

1.3.1. Định nghĩa môđun

Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t t
ậ

p h
ợ
p mà các ph
ầ
n t
ử

đượ
c kí hi
ệ
u b
ằ
ng x, y, z…., và A là m
ộ
t vành
(v
ẫ
n gi
ả
s
ử
là giao hoán có
đơ
n v
ị
nh
ư

đ
ã quy

ướ
c t
ừ

đầ
u) mà các ph
ầ
n t
ử
kí hi
ệ
u b
ằ
ng
, ,
λ µ γ


7

Gi
ả
s
ử
cho hai phép toán
- Phép c
ộ
ng:
E E E
× →

( , )
x y x y
+
֏

- Phép nhân m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A v
ớ
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a E;

( , )
A E E
x x

λ λ
× →
֏

Tho
ả
mãn các tính ch
ấ
t sau v
ớ
i m
ọ
i v
ớ
i m
ọ
i
,
x y E
∈
v
ớ
i m
ọ
i
,
A
λ µ
∈
:

1) E cùng v
ớ
i phép c
ộ
ng là m
ộ
t nhóm Aben.
2) Phép nhân phân ph
ố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng c
ủ
a vành A:

( )
x x x
λ µ λ µ
+ = +

3) Phép nhân phân ph
ố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng c
ủ

a E:
( )
x y x y
λ λ λ
+ = +

4, Phép nhân k
ế
t h
ợ
p

( ) ( )
x
λµ λ µ
=

5, 1
x x
=
, 1 là
đơ
n v
ị
c
ủ
a vành A.
Lúc
đ
ó ta b

ả
o E cùng v
ớ
i phép c
ộ
ng trong E và phép nhân v
ớ
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a vành A
tho
ả
mã các tính ch
ấ
t 1, 2, 3, 4, 5 là môt mô
đ
un trên vành A, hay A- mô
đ
un, hay môn
đ
un A
đượ
c
hi

ể
u ng
ầ
m.
1.3.2. Môđun tự do
Cho m
ộ
t vành A t
ậ
p h
ợ
p L. Ta kí hi
ệ
u b
ằ
ng
1
A
−
mô
đ
un tích:
1
;
{( ) }
i i I i
A a a A
−
∈
= ∈

V
ớ
i c
ấ
u trúc A- mô
đ
un xác
đị
nh b
ở
i các thành ph
ầ
n:
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) : , ,
i i i i i i i i
a b a b a a a b A
λ λ λ
+ = + = ∈

Ta kí hi
ệ
u b
ằ
ng
(
)
1
A
mô

đ
un con sau
đ
ây c
ủ
a
1
A
:
(
)
{
1
( ) | 0
i i I i
A a a
∈
= =
t
ấ
t c
ả
tr
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ữ

u h
ạ
n}.
Trong
(
)
1
A
ta xét các ph
ầ
n t
ử

( )
j ji j I
e
δ
∈
=
sao cho
1
ji
δ
=
và
0
ji
δ
=
v

ớ
i
i j
≠
. M
ọ
i ph
ầ
n t
ử

( )
j j I
a
∈
c
ủ
a
(
)
1
A
đượ
c vi
ế
t m
ộ
t cách duy nh
ấ
t d

ướ
i d
ạ
ng m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính h
ữ
u h
ạ
n các
j
e

(do
0
j
a
=
t
ấ
t c
ả
tr
ừ

m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n):
( )
j j j j
j I
a a e
∈
=
∑


8

Ng
ườ
i ta b
ả
o
( )
j j I
e
∈
là c

ơ
s
ở
chính t
ắ
c c
ủ
a
(
)
1
A
và
(
)
1
A
là m
ộ
t môn
đ
un t
ự
do vì có c
ơ
s
ở
. Khi I
h
ữ

u h
ạ
n thì
(
)
I
I
A A
=
;
đặ
c bi
ệ
t khi I ch
ỉ
có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
thì
(
)
I
I
A A A
= =
là A – mô
đ

un t
ự
do v
ớ
i
c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c là {1}, ph
ầ
n t
ử

đơ
n v
ị
c
ủ
a vành A.
Gi
ả
s
ử
M là m
ộ
t A–mô
đ

un, và
( )
i i I
x
∈
là m
ộ
t h
ọ
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a M. C
ũ
ng nh
ư
trong không
gian véc t
ơ
, ánh x
ạ

1
,
i
i I
e x

∈
֏
m
ở
r
ộ
ng m
ộ
t cách duy nh
ấ
t thành m
ộ
t ánh x
ạ
tuy
ế
n tính t
ừ
mô
đ
un t
ự
do
(
)
1
A
vào mô
đ
un M

(
)
1
:
f A M
→


( )
i i I i i i i
i I i I
a a e a x
∈
∈ ∈
=
∑ ∑
֏

Và ta c
ũ
ng có các t
ươ
ng
đươ
ng sau
đ
ây:

( )

i i I
x
∈

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
⇔
f
đơ
n ánh

( )
i i I
x
∈
là h
ệ
sinh
⇔
f toàn ánh
( )
i i I
x
∈
là c
ơ

s
ở

⇔
f song ánh
1.3.3. Môđun kiểu hữu hạn
Bổ đề 1.
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
. Các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau

đ
ây là t
ươ
ng
đươ
ng:
a) M
ọ
i h
ọ
không r
ỗ
ng nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a E có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ

i.
b) M
ọ
i dãy t
ă
ng
( ) 0
n n
x
≥
nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a E là d
ừ
ng (ngh
ĩ
a là t
ồ
n t
ạ
i
0
n
sao cho

0
n n
x x
=
v
ớ
i
m
ọ
i
0
n n
≥
).
Chứng minh:
a)
⇒
b). Gi
ả
s
ử
x
m
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
t

ố
i
đạ
i c
ủ
a dãy t
ă
ng (x
n
). V
ớ
i n
≥
m, ta có x
n
≥
x
m
(dãy t
ă
ng),
nh
ư
ng x
m
t
ố
i
đạ
i, nên x

n
= x
m
.
b)
⇒
a). Gi
ả
s
ử

S E
∅ ≠ ⊂
, và S không có ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
i. X
ớ
i m
ỗ
i x
∈
S, g
ọ
i

(
)
x
σ
là t
ậ
p
h
ợ
p các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a S ch
ặ
t ch
ẽ
l
ớ
n h
ơ
n x,
σ
(x) không r
ỗ
ng vì S không có ph
ầ
n t

ử
t
ố
i
đạ
i. Theo
tiên
đề
ch
ọ
n ta có m
ộ
t ánh x
ạ
f: S

S sao cho f(x)
∈

σ
(x) hay f(x) > x v
ớ
i m
ọ
i x
∈
S. Vì S
≠
Ø,
ta ch

ọ
n x
o

∈
S, và ta xác
đị
nh b
ằ
ng quy n
ạ
p dãy (x
n
)
n ≥ 0
b
ằ
ng cách
đặ
t x
n + 1
= f(x
n
). Dãy này là
ch
ặ
t ch
ẽ
t
ă

ng, v
ậ
y không d
ừ
ng, trái v
ớ
i b). T
ừ

đ
ó có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.


Định lý 1.
Gi
ả
s
ử
M là m
ộ
t A – mô
đ

un. Các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đ
ây là t
ươ
ng
đươ
ng:
a) M
ọ
i h
ọ
r
ỗ
ng nh
ữ
ng mô
đ
un con c
ủ
a M có m
ộ
t ph
ầ
n t

ử
t
ố
i
đạ
i (
đố
i v
ớ
i quan h
ệ
bao hàm)
b) M
ọ
i dãy t
ă
ng
(
)
0
n
n
M
≥
(
đố
i v
ớ
i quan h
ệ

bao hàm) nh
ữ
ng mô
đ
un con c
ủ
a M là d
ừ
ng
c) M
ọ
i mô
đ
un con c
ủ
a M có ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
Chứng minh:
a)
⇒
c). Gi
ả
s
ử
N là m

ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a M và E là h
ọ
các mô
đ
un con ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a N. E
≠

Ø vì (0)
∈
E. Theo a) E có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
t
ố

i
đạ
i P. V
ớ
i x
∈
N, P + Ax là m
ộ
t mô
đ
un con ki
ể
u h
ữ
u

9

h
ạ
n c
ủ
a N vì nó có m
ộ
t h
ệ
sinh h
ữ
u h
ạ

n là h
ợ
p c
ủ
a h
ệ
sinh h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a P v
ớ
i
{
}
x
. V
ậ
y, P + Ax
∈
E. Nh
ư
ng P t
ố
i
đạ
i trong E nên P + Ax = P, t
ừ

đ
ó x
∈
P, N
⊂
P. Nh
ư
ng P
⊂
N, v
ậ
y P = N, và
do
đ
ó N có ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
c)
⇒
b). Gi
ả
s
ử
(M
n

)
n ≥ 0
là m
ộ
t dãy t
ă
ng nh
ữ
ng mô
đ
un con c
ủ
a M. Th
ế
thì N =
0
n
n
M
≥
∪
là m
ộ
t
mô
đ
un con c
ủ
a M. Theo c) N có m
ộ

t h
ệ
sinh h
ữ
u h
ạ
n (x
1
,…., x
s
). Vì x
i

∈
N, nên có x
i
∈
i
n
M
v
ớ
i
m
ộ
t ch
ỉ
s
ố
n

i
nào
đ
ó. Gi
ả
s
ử
n
0
là s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t trong các n
1
, ,

n
s
. V
ậ
y ta có x
i

∈
0
n
M

v
ớ
i m
ọ
i i, t
ừ

đ
ó N
0
n
M
⊂
và N =
0
n
M
. V
ớ
i n
≥
n
0
, các bao hàm th
ứ
c
0
n
M

⊂
M
n

⊂
N và
đẳ
ng th
ứ
c
0
n
N
M
=
cho ta
0
n
M
M
=
. V
ậ
y dãy (M
n
) là d
ừ
ng t
ừ
n

0
.
B
ổ

đề
trên cho ta a)
⇔
b). V
ậ
y ch
ứ
ng minh k
ế
t thúc.
Hệ quả 1.
Trong m
ộ
t vành chính A, m
ọ
i h
ọ
không r
ỗ
ng nh
ữ
ng I
đ
êan c
ủ

a A có m
ộ
t phàn t
ử
t
ố
i
đạ
i.
Chứng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, các mô
đ
un con c
ủ
a A - mô
đ
un A là các i
đ
êan c
ủ
a nó. Các i
đ
êan này có
d
ạ
ng Ax vì A là chính, v

ậ
y là nh
ữ
ng mô
đ
un ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n. Áp d
ụ
ng c)
⇒
a) c
ủ
a
đị
nh lý.
1.3.4. Hạng của một Môđun
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t mi
ề
n nguyên và K là tr

ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a nó. Xét A – mô
đ
un t
ự
do A
(I)
và K–
không gian vect
ơ
K
(I)
, v
ớ
i I là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p nào
đ
ó. Hi
ể
n nhiên ta c
ũ

ng có th
ể
coi K
(I)
nh
ư
m
ộ
t A
– mô
đ
un, và lúc
đ
ó A
(I)
là m
ộ
t A–mô
đ
un con c
ủ
a A–mô
đ
un K
(I)
. Bây gi
ờ
ta xét mô
đ
un con M c

ủ
a
A
(I)
, nó c
ũ
ng là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a A–mô
đ
un K
(I)
. G
ọ
i E là K–không gian sinh b
ở
i A–mô
đ
un con
M trong K
(I)
, các ph
ầ
n t
ử
c

ủ
a E có d
ạ
ng :
1
| 0 ,
E x a A x M
a
 
= ≠ ∈ ∈
 
 

Th
ậ
t v
ậ
y, E là m
ộ
t không gian con c
ủ
a K
(I)
.
1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
( ) ; ;
x x a x a x x a a a A x a a a a M
a a a a a

+ = + = = ∈ = + ∈

1 1 1
; , ;
b
x bx y d ca A y bx M
c a ca d
 
= = = ∈ = ∈
 
 

Và hi
ể
n nhiên E ch
ứ
a M. Cu
ố
i cùng, m
ọ
i không gian con c
ủ
a K
(I)
ch
ứ
a M
đề
u ch
ứ

a E.
Gi
ả
s
ử
ta có m
ộ
t mô
đ
un con N c
ủ
a A
(I)

đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i M b
ở
i
đẳ
ng c
ấ
u f: M
→
N; và gi
ả
s

ử
F và
K–không gian sinh b
ở
i A–mô
đ
un con N trong K
(I)
. Th
ế
thì f có th
ể
m
ở
r
ộ
ng thành
đẳ
ng c
ấ
u (K -
không gian vect
ơ
).
( )
1 1 1
:
x x f x
a a a
ϕ ϕ

 
=
 
 
֏
t
ừ
E lên F. Tr
ướ
c h
ế
t
ϕ
là m
ộ
t ánh x
ạ
vì:
1 1 1 1
' ' ' ' '
' ' '
x x a x ax a x ax
a a aa aa
= ⇒ = ⇒ =

⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'
' ' ' ' '
' '

a a
f a x f ax a f x af x f x f x
aa aa
= ⇒ = ⇒ =


10

( ) ( )
1 1 1 1
' '
' '
f x f x x x
a a a a
ϕ ϕ
   
⇒
=
⇒
=
   
   

Ta có th
ể
ki
ể
m tra
đượ
c

ϕ
là m
ộ
t ánh x
ạ
tuy
ế
n tính và là song ánh. Nh
ư
v
ậ
y, n
ế
u M
≃
N thì E
≃
F và dim E = dim F.
Bây gi
ờ
gi
ả
s
ử
M là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ

a m
ộ
t A – mô
đ
un t
ự
do X, và gi
ả
s
ử
(x
i
)
i
∈
I
là m
ộ
t
c
ơ
s
ở
c
ủ
a X. Theo k
ế
t qu
ả
trên ta có song ánh x

i

֏
e
i
, i
∈
I, t
ừ
c
ơ
s
ở
(x
i
)
i
∈
I
lên c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c
(e
i
)
i

∈
I
c
ủ
a A–mô
đ
un t
ự
do A
(I)
cho ta
đẳ
ng c
ấ
u f gi
ữ
a A–mô
đ
un t
ự
do X và A–mô
đ
un t
ự
do A
(I)
.
Lúc
đ
ó f h

ạ
n ch
ế
vào M cho ta M
≃
f(M). N
ế
u ta thay
đổ
i c
ơ
s
ở
c
ủ
a X, l
ấ
y
(
)
'
i
i I
x
∈

ch
ẳ
ng h
ạ

n, thì
song ánh
'
i i
x e
֏
cho ta m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u
( )
':
I
f X A
≃
và
(
)
'
M f M
≃
. Nh
ư
v
ậ
y, n
ế

u M là m
ộ
t
mô
đ
un con c
ủ
a m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do, ta có th
ể
nhúng M vào mô
đ
un t
ự
do A
(I)
, và phép nhúng có th
ể

không duy nh
ấ
t, nh
ư
ng các
ả

nh nhúng
đề
u
đẳ
ng c
ấ
u.
Định nghĩa 1.
Gi
ả
s
ử
M là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do
(
)
I
X A
=

trên m
ộ
t mi
ề
n nguyên
A, và K là tr
ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a A. Nhúng M và
(
)
I
A
và coi M nh
ư
m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a
(
)
I
A
, và

(
)
I
A
đượ
c nhúng trong
(
)
I
K
. Chi
ề
u c
ủ
a không gian con sinh b
ở
i M g
ọ
i là h
ạ
ng c
ủ
a M.
1.3.5. Môđun trên vành chính
Định lí 1.
M
ọ
i mô
đ
un con M c

ủ
a m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do X trên m
ộ
t vành chính A là m
ộ
t A – mô
đ
un t
ự

do.
Chứng minh:
Ta
đ
ã bi
ế
t m
ọ
i A – mô
đ
un t
ự
do X v
ớ

i c
ơ
s
ở

{
}
i
i I
e
∈

đề
u
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i A– mô
đ
un
t
ự
do A
(I)
, cho nên
để
ch
ứ

ng minh
đị
nh lí hãy gi
ả
s
ử
X = A
(I)
, X là m
ộ
t A–mô
đ
un t
ự
do v
ớ
i c
ơ
s
ở

chính t
ắ
c
{
}
i
i I
e
∈

. Ta hãy trang b
ị
cho I m
ộ
t th
ứ
t
ự
t
ố
t, và kí hi
ệ
u b
ằ
ng X
i
mô
đ
un con sinh b
ở
i
{
}
j
j i
e
≤
,
đặ
t

i i
M X M
= ∩
. Các phép chi
ế
u :
(
)
( )
:
I
i
i i
i I
pr A A
x x
∈
→
֏

Cho ta các mô
đ
un con pr
i
(M
i
), i
∈
I, c
ủ

a A–mô
đ
un A. Nh
ư
ng các mô
đ
un con c
ủ
a A–
mô
đ
un A là các i
đ
êan c
ủ
a vành chính A, nên pr
i
(M
i
) = Aa
i
, a
i

∈
A. trong M
i
ta ch
ọ
n m

ộ
t ph
ầ
n t
ử

b
i
sao cho pr
i
(b
i
) = a
i
ta quy
ướ
c l
ấ
y b
i
= 0 n
ế
u a
i
= 0.
Ta hãy ch
ứ
ng minh b
ằ
ng qui n

ạ
p siêu h
ạ
n
(
)
j
j i
b
≤
sinh ra M
i
v
ớ
i m
ọ
i i
∈
I, t
ừ

đ
ó kéo theo h
ọ

(
)
i
i I
b

∈
sinh ra M. Gi
ả
s
ử
v
ớ
i m
ọ
i k < i , ta có M
k
sinh b
ở
i
(
)
j
j k
b
≤
. L
ấ
y x
∈
M
i
, ta có pr
j
(x) =
α

a
1
,
α
∈
A; v
ậ
y pr
i
(x –
α
b
i
) = pr
i
(x) – pr
i
(
α
b
i
) =
α
a
i
–
α
a
i
= 0, t

ừ

đ
ó x –
α
b
i
∈
M
k
, v
ớ
i k < i. Theo
gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ
p x –
α
b
i
là

m
ộ
t t
ổ
h

ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a h
ọ

(
)
j
j k
b
≤
, v
ậ
y x là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính
c
ủ
a h
ọ

(
)
j
j i
b
≤
.

Bây gi
ờ
ta hãy ch
ứ
ng minh các ph
ầ
n t
ử
khác 0 c
ủ
a h
ọ
(b
i
)
i
∈
I

độ
c l
ậ

p tuy
ế
n tính

. Ta hãy ch
ứ
ng
minh b
ằ
ng ph
ả
n ch
ứ
ng. Gi
ả
s
ử
có m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính nh
ữ
ng b
i
khác 0 sao cho

0
i i
i
b
β
=
∑


11

trong
đ
ó các
i
β
không b
ằ
ng 0 t
ấ
t c
ả
. Gi
ả
s
ử
m là ch
ỉ
s
ố

l
ớ
n nh
ấ
t sao cho
0
m
β
≠
vì b
m
≠
0 nên
a
m

≠
0 và do
đ
ó
0
m m
a
β
≠
(vì A là m
ộ
t mi
ề
n nguyên ). M

ặ
t khác vì pr
m
(b
i
) = 0 v
ớ
i m
ọ
i i < m,
nên
( )
0
m m m m m m i i
i
a pr b pr b
β β β
 
= = =
 
 
∑
,
đ
i
ề
u này mâu thu
ẫ
n
0

m m
a
β
≠
. V
ậ
y các ph
ầ
n t
ử

khác 0 c
ủ
a h
ọ
(b
i
)
i
∈
I
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a mô

đ
un con M, do
đ
ó M là m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do.


Hệ quả 1.
N
ế
u X là m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do có h
ạ
ng n trên m
ộ
t vành chính A, m
ọ
i mô
đ
un con M c

ủ
a X
là m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do có h
ạ
ng
n
≤
.
Định lí 2.
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do trên m
ộ
t vành chính A, và M là m
ộ
t mô

đ
un con c
ủ
a X có
h
ạ
ng h
ữ
u h
ạ
n n. Th
ế
thì có m
ộ
t c
ơ
s
ở
B c
ủ
a X, n ph
ầ
n t
ử

i
α
khác 0 thu
ộ
c

(1 )
A i n
≤ ≤
sao cho:
a) Các
i i
e
α
l
ậ
p thành m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a M;
b)
i
α
chia h
ế
t
1
,1 1
i
i n
α

+
≤ ≤ −

Chứng minh: Đị
nh lí là t
ầ
m th
ườ
ng n
ế
u M =
{
}
0
; chúng ta hãy gi
ả
s
ử
M
≠
{
}
0
, và c
ũ
ng làm
nh
ư

đị

nh lí 1 ta l
ấ
y X là mô
đ
un t
ự
do A
(I)
,
đ
i
ề
u không
ả
nh h
ưở
ng vi
ệ
c ch
ứ
ng minh.
V
ớ
i m
ọ
i d
ạ
ng tuy
ế
n tính f: X

→
A , f(M) là m
ộ
t i
đ
êan chính c
ủ
a A, theo gi
ả
thi
ế
t v
ề
A. Trong các
i
đ
êan f(M), có m
ộ
t I
đ
êan t
ố
i
đạ
i
1
A
α
, t
ươ

ng
ứ
ng v
ớ
i d
ạ
ng tuy
ế
n tính f
1
; gi
ả
s
ử
u là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a M
sao cho
f
1
(u) =
1
α
. Ta có
1
0

α
≠
vì
{
}
0
M
≠
. Gi
ả
s
ử
g: X
→
A là m
ộ
t d
ạ
ng tuy
ế
n tính tùy ý, ta
hãy ch
ứ
ng minh g(u)
(
)
1
g u A
α
∈

. Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử

(
)
g u
β
=
; i
đ
êan
1
A A
α β
+
là m
ộ
t i
đ
êan
chính
A
γ
, t

ừ

đ
ó có,
,
A
λ µ
∈
sao cho
1
λα µβ γ
+ =
. Xét d
ạ
ng tuy
ế
n tính
1
f f g
λ µ
= +
, ta có
(
)
(
)
(
)
(
)

1 1
f u f u g u f M
λ µ λα µβ γ
= + = + = ∈
t
ừ

đ
ó
(
)
1
f M A A
γ α
⊃ ⊃
; do tính ch
ấ
t t
ố
i
đạ
i
c
ủ
a f
1
(M), ta có f(M) = A
1
α
và do

đ
ó
1
A A
γ α
=
v
ậ
y
1
A
β α
∈
.
Đặ
c bi
ệ
t m
ọ
i phép chi
ế
u pr
i
:A
(I)
→
A, (x
i
)
i

∈
I
→
x
i
, cho ta pr
i
(u)
∈
A
1
α
, ngh
ĩ
a là m
ỗ
i t
ọ
a
độ
c
ủ
a u
ph
ả
i là b
ộ
i c
ủ
a

1
α
,
(
)
(
)
1 1
i i
i I i I
u a
ε α ε
∈ ∈
= =
.
Đặ
t
(
)
1
i
i I
e
ε
∈
= , ta có
1 1
u e
α
=

, và
(
)
(
)
1 1 1 1 1
.
f u f e
α α
= =
Vì A là mi
ề
n nguyên nên ta suy ra f
1
(e
1
) = 1. Chúng ta hãy ch
ứ
ng
minh m
ỗ
i mô
đ
un con Ae
1
và
1 1
A e
α
có m

ộ
t bù theo th
ứ
t
ự
trong X và M.
Đặ
t
(
)
1
1 1
0
X f
−
=
, ta có
1 1
X Ae
X
=
⊕

Th
ậ
t v
ậ
y gi
ả
s

ử

1
i
x Ae X
∈ ∩
, th
ế
thì ta ph
ả
i có
1
x e
ξ
=
và
(
)
(
)
1 1 1
.1 0
f x f e
ξ ξ ξ
= = = =
t
ừ

đ
ó x = 0 . M

ặ
t khác m
ỗ
i x
∈
X có th
ể
vi
ế
t x = f
1
(x)e
1
+ x – f
1
(x)e
1
,
trong
đ
ó x– f
1
(x)e
1

∈
X
1
vì f
1

(x – f
1
(x)e
1
) = f
1
(x)– f
1
(x)f
1
(e
1
) = f
1
(x) – f
1
= 0. Bây gi
ờ
ta ch
ứ
ng
minh
(
)
1 1 1 1
M e M M X
α
= ⊕ = ∩
. Hi
ể

n nhiên ta có giao c
ủ
a hai mô
đ
un con
đ
ó b
ằ
ng
{
}
0
vì
{
}
1 1
0
Ae X
∩ =
. M
ặ
t khác n
ế
u x
∈
M thì f
1
(x)
∈
f

1
(M) = A
1
α
, v
ậ
y f
1
(x) =
1
λα
; cho nên m
ỗ
i x
∈
M
có th
ể
vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 1 1

–
x f x e x f x e
e x e
λα λα
= + =
+ −
trong
đ
ó
1 1 1
x e M X
λα
− ∈ ∩
vì
1 1
,
x u e M
α
= ∈
nên
1 1
x e M
λα
− ∈
và
(
)
(
)
(

)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
f x a e f x f e
λ λα λα λα
− = − = − =
.

12

Gi
ả
s
ử
g: X
→
A là m
ộ
t d
ạ
ng tuy
ế
n tính tùy ý. Ta có, th
ậ
t v
ậ
y gi
ả
s
ử

(
)
1 1
g M A
α
⊄
, ta hãy xét
d
ạ
ng tuy
ế
n tính f : X = Ae
1
⊕
X
1

→
A sao cho f trùng v
ớ
i f
1
trên Ae
1
và v
ớ
i g trên X
1,
ta s

ẽ
có
(
)
(
)
1 1 1
f M A g M A
α α
≠
= + ⊃
, trái v
ớ
i tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a
1
A
α
.
Bây gi
ờ
ta hãy ch
ứ
ng minh
đị

nh lí b
ằ
ng quy n
ạ
p trên h
ạ
ng n c
ủ
a M. Vì X
1
là m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do,
và
M
1
có h
ạ
ng n – 1, cho nên t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t c
ơ

s
ở
B
1
c
ủ
a X
1
, n – 1 ph
ầ
n t
ử
e
2
,…, e
n
c
ủ
a B
1
và n – 1
ph
ầ
n t
ử

1
, ,
n
α α

khác 0 c
ủ
a A sao cho (
2 2
, , )
n n
e e
α α
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a M
1
, và
i
α
chia h
ế
t
1
i
α
+

v

ớ
i 2
2 1
i n
≤ ≤ −
. V
ậ
y B =
{
}
1 1
B e B
= ∪
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a X và
(
)
1 1 2 2
, , ,
n n
e e e
α α α
là m

ộ
t c
ơ
s
ở

c
ủ
a M.
Để
k
ế
t thúc ch
ứ
ng minh, ta ch
ỉ
còn ch
ứ
ng minh
1
α
chia h
ế
t cho
2
α
. Mu
ố
n v
ậ

y ta hãy xét
d
ạ
ng tuy
ế
n tính g: X
→
A xác
đị
nh trên các ph
ầ
n t
ử
c
ơ
s
ở
c
ủ
a B v
ớ
i g(e
2
) = 1 và g(e) = 0 v
ớ
i m
ọ
i
{
}

2
e B e
∈ −
. Ta
đượ
c g(M
1
) =
2
A
α
, và
2 1
A A
α α
⊂
. Theo nh
ư
trên v
ậ
y
1
α
chia h
ế
t cho
2
α
.


Các i
đ
êan
i
A
α
trong
đị
nh lý 2 g
ọ
i các các b
ấ
t bi
ế
n c
ủ
a M trong X. Ng
ườ
i ta ch
ứ
ng minh
đượ
c chúng là xác
đị
nh duy nh
ấ
t khi cho M và X.
Hệ quả 1.

Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t mô
đ
un ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n trên m
ộ
t vành chính A. Th
ế
thì X
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i
tích
1 2

n
A A A

A A A
α α α
× × × trong
đ
ó các
i
α
thu
ộ
c A và
i
α
chia h
ế
t
1
,1 1
i
i n
α
+
≤ ≤ −
.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
(x
1

,…, x
n
) là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ủ
a X. Ta có m
ộ
t toàn c
ấ
u f: A
n
→
X. V
ậ
y X
đẳ
ng
c
ấ
u v
ớ
i A
n
/Kerf. Theo
đị
nh lí 2, ta có m
ộ

t c
ơ
s
ở
(e
1
, e
2
, , e
n
) c
ủ
a A
n
, q ph
ầ
n t
ử

1
, ,
q
α α
⋯
khác 0
thu
ộ
c A v
ớ
i q

≤
n sao cho
(
)
1 1
, ,
q q
e e
α α
l
ậ
p thành m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a Kerf và
i
α
chia hêt cho
1
i
α
+

v
ớ

i
1 1
i q
≤ ≤ −
. Ta
đặ
t
1
0
a n
α α
+
= = =
. Lúc
đ
ó, A
n
/Kerf
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i tích
1
1
n
n
AeAe
Ae x Ae x

× ×… , t
ừ

đ
ó
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i
1
n
A A
A A
α α
× ×
…
.


M
ộ
t mô
đ
un X trên m
ộ
t mi
ề
n nguyên A g

ọ
i là không xo
ắ
n n
ế
u quan h
ệ

0
x
α
=
kéo theo
0
α
=
ho
ặ
c x = 0.
Hệ quả 2.
M
ọ
i mô
đ
un X trên vành chính A, không xo
ắ
n v
ớ
i ki
ể

u h
ữ
u h
ạ
n là t
ự
do.
Chứng minh:
Theo h
ệ
qu
ả
1,
1

n
A A
X
A A
α α
× ×
≃
. N
ế
u các
i
α
không b
ằ
ng 0, thì X

≃
A
n
,
v
ậ
y
X t
ự
do. N
ế
u các
i
α
không b
ằ
ng 0 t
ấ
t c
ả
, ch
ẳ
ng h
ạ
n
1
0
α
≠
, th

ế
thì ph
ầ
n t
ử

( ,0, .,0)
a A
+ …
là
khác 0 n
ế
u l
ấ
y a
i
a A
α
∉
cho ta
(
)
( ,0, .,0) ( ,0, ,0) 0,0, 0
a A a A
+ … = + … = …
, mâu thu
ẫ
n v
ớ
i X

không xo
ắ
n. V
ậ
y các
i
α

đề
u b
ằ
ng 0.

Hệ quả 3.
Trên m
ộ
t vành chính A, m
ọ
i mô
đ
un X ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n
đẳ
ng c
ấ

u v
ớ
i m
ộ
t tích h
ữ
u h
ạ
n
nh
ữ
ng mô
đ
un
i
X
, tróng
đ
ó m
ỗ
i
i
X
b
ằ
ng A hay b
ằ
ng th
ươ
ng

A
s
Ap
v
ớ
i p là nguyên t
ố
trong A.

13

Chứng minh:
Áp d
ụ
ng h
ệ
qu
ả
1, ta có
1

n
A A
X
A A
α α
× ×
≃
, v
ớ

i các
0
i
α
=
,
n
A
A
A
α
=
. V
ớ
i
các
0
i
α
≠
, ta phân tích
i
α
thành nh
ữ
ng nhân t
ử
nguyên t
ố

1
1

s
i
r
s
r
u
p p
α
=
ta
đượ
c
1
A
A
α

đẳ
ng
c
ấ
u v
ớ
i tích các
j
s
j

A
Ap
.


Hệ quả 4.
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t nhóm Aben h
ữ
u h
ạ
n. T
ồ
n t
ạ
i
x X
∈
mà c
ấ
p là b
ộ
i chung nh
ỏ
nh

ấ
t c
ủ
a
các c
ấ
p c
ủ
a ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X.
Chứng minh:
Nhóm X là m
ộ
t
ℤ
– mô
đ
un n
ế
u ta kí hi
ệ
u phép toán c
ủ
a X b
ằ

ng d
ấ
u c
ộ
ng và
đặ
t,
v
ớ
i
λ
∈
ℤ
và
x X
∈
:
0
. 0 0
0
x x x
x
x x x
λ
λ λ
λ
+ + + >


= =



− − − − <


M
ặ
t khác X h
ữ
u h
ạ
n, nên có ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n. Áp d
ụ
ng h
ệ
qu
ả
1, ta
đượ
c
1

n
X

α α
× ×
ℤ ℤ
≃
ℤ ℤ
trong
đ
ó các
i
α

đề
u khác 0, vì n
ế
u không nh
ư
v
ậ
y ta s
ẽ
có nh
ữ
ng nhân
t
ử

ℤ
trong tích trên và X s
ẽ
vô h

ạ
n. L
ấ
y
(0,0, ,1 )
x
= +
ℤ
hi
ể
n nhiên x có c
ấ
p
n
α
. L
ấ
y m
ộ
t
ph
ầ
n t
ử
tùy ý
(
)
1
, , ,
n

y X y y y
∈ = + +
ℤ ℤ
hi
ể
n nhiên
(
)
1
, , 0
n
ay ay ay
= + + =
ℤ ℤ
vì
n
α
là b
ộ
i
c
ủ
a
1
, ,
n
α α
…
. V
ậ

y
n
α
là b
ộ
i c
ủ
a c
ấ
p c
ủ
a y, và ph
ầ
n t
ử
c
ầ
n tìm chính là x.


1.4. Trường
1.4.1. Căn đơn vị trong một trường
Định lí 1.
Gi
ả
s
ử
K là m
ộ
t tr

ườ
ng. M
ọ
i nhóm con h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a nhóm nhân
* {0}
K K
= −

đượ
c
l
ậ
p thành b
ở
i các c
ă
n c
ủ
a
đơ
n v
ị
, và là cyclic.
Chứng minh:

Theo k
ế
t qu
ả
trên, t
ồ
n t
ạ
i
x X
∈
có c
ấ
p n sao cho y
n
= 1 v
ớ
i m
ọ
i
y X
∈
. V
ậ
y các
ph
ầ
n t
ử
y X

∈
đề
u là nghi
ệ
m c
ủ
a
đ
a th
ứ
c
[
]
1
n
Y K Y
− ∈
.
Đ
a th
ứ
c này có nhi
ề
u nh
ấ
t n nghi
ệ
m
trong K vì b
ậ

c c
ủ
a nó b
ằ
ng n. Do
đ
ó X có t
ố
i
đ
a n ph
ầ
n t
ử
. M
ặ
t khác n ph
ầ
n t
ử
x, x
2
,…, x
n
= 1 là
phân bi
ệ
t, vì c
ấ
p c

ủ
a x b
ằ
ng n. V
ậ
y
{
}
2 1
1, , , ,
n
X
x x x
−
=
g
ồ
m các c
ă
n b
ậ
c n c
ủ
a
đơ
n v
ị
là
cyclic; X
đẳ

ng c
ấ
u v
ớ
i
n
ℤ
ℤ
. M
ộ
t ph
ầ
n t
ử
sinh c
ủ
a X g
ọ
i là c
ă
n nguyên th
ủ
y b
ậ
c n c
ủ
a
đơ
n v
ị

; s
ố

các c
ă
n nguyên th
ủ
y b
ậ
c n c
ủ
a
đơ
n v
ị
b
ằ
ng
(
)
n
ϕ
.


1.4.2. Đặc số của một trường
Định lí 1.
N
ế
u K là m

ộ
t tr
ườ
ng
đặ
c s
ố

0
p
≠
ta có
0
px
=
v
ớ
i m
ọ
i
x K
∈
, và ( )
p p p
x y x y
+ = +

cho x, y tu
ỳ
ý thu

ộ
c K.
Chứng minh:
Ta có, theo
đị
nh ngh
ĩ
a b
ộ
i p c
ủ
a x, x = x +…+ x (p l
ầ
n) = (1.x +….+ 1.x) = (1
+….+ 1).
x = p.x = 0.x = 0 vì 1+…+ 1 = p = 0 trong
p
F
p
=
ℤ
ℤ
. M
ặ
t khác, theo công th
ứ
c nh
ị

14

th
ứ
c, ta có
( )
1
1
p
p p j p j
p
j
p
x y x y x y
j
−
−
=
 
+ = + +
 
 
∑
trong
đ
ó h
ệ
s
ố

( )
!
! !
p
p
j
j p j
 
=
 
−
 
v
ớ
i
p
là m
ộ
t
s
ố
nguyên t
ố
có m
ặ
t
ở
t
ử
s

ố
và không có m
ặ
t
ở
m
ẫ
u s
ố
, v
ậ
y
p
j
 
 
 
là m
ộ
t b
ộ
i c
ủ
a
p
v
ớ
i m
ọ
i

1, , 1
j p
= −
, cho nên
0
p
j
 
=
 
 
.
B
ằ
ng quy n
ạ
p trên
n
, ta có
( )
n
n
p
p
x y y
+ + v
ớ
i m
ọ
i

0
n
≥
.

1.4.3. Trường hữu hạn
Định lí 1.
Gi
ả
s
ử
K là m
ộ
t tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n.
Đặ
t q = card(K). Th
ế
thì:
a)
Đặ
c s
ố
K là m
ộ

t s
ố
nguyên t
ố
p, K không gian vec t
ơ
có nhi
ề
u chi
ề
u h
ữ
u h
ạ
n s trên
p
F
, và ta
có
S
q p
=
.
b) Nhóm nhân
* {0}
K K
= −
cyclic c
ấ
p

1.
q
−

c)
Ta có
1
1
q
x
−
=
v
ớ
i m
ọ
i
*
x K
∈
và
q
x x
=
v
ớ
i m
ọ
i
x K

∈
.
Chứng minh:
a)
Đặ
c s
ố
c
ủ
a
K
không th
ể
b
ằ
ng 0 vì nh
ư
v
ậ
y
K
s
ẽ
ch
ứ
a
ℤ
và do
đ
ó vô h

ạ
n. V
ậ
y
K
ch
ứ
a
p
F

v
ớ
i
p
nguyên t
ố
, và
đặ
c s
ố
c
ủ
a
K
là
p
. Ta có th
ể
coi

K
nh
ư
m
ộ
t không gian vect
ơ
trên
p
F
,
chi
ề
u c
ủ
a không gian này ph
ả
i là m
ộ
t s
ố

s
h
ữ
u h
ạ
n, n
ế
u không

K
s
ẽ
vô h
ạ
n. V
ậ
y
(
)
s
p
K F
≈ ,
không gian tích này có
s
p
ph
ầ
n t
ử
, nên ta có
s
q p
=
.
b) Theo
đị
nh lý trên,
*

K
là cyclic c
ấ
p q – 1.
c) Suy ra t
ừ
b)

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:
[1].
Hoà
ng Xuân
Sí
nh (2001), S
ố đạ
i s
ố
(t
ậ
p I), NXB
Đạ
i
họ
c S
ư

phạ
m,
Hà
N

ộ
i.
[2]. Tom Weston (2001),
Algebraic Number Theory, Massachusetts.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG:
Câu 1.
Trình bày và ch
ứ
ng minh các tính ch
ấ
t c
ủ
a vành, I
đ
êan, khái ni
ệ
m chia h
ế
t trong m
ộ
t
vành, vành chính.
Câu 2.
Trình bày và ch
ứ
ng minh các tính ch
ấ
t c
ủ
a không gian véct

ơ
, v
ế
t,
đị
nh th
ứ
c, ma tr
ậ
n
đặ
c
tr
ư
ng.
Câu 3.
Trình bày và ch
ứ
ng minh các tính ch
ấ
t c
ủ
a mô
đ
un, mô
đ
un t
ự
do, mô
đ

un ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
Câu 4.
Trình bày và ch
ứ
ng minh các tính ch
ấ
t c
ủ
a tr
ườ
ng, c
ă
n
đơ
n v
ị
trong m
ộ
t tr
ườ
ng,
đặ
c s
ố

c
ủ
a tr
ườ
ng, tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n.

15

CHƯƠNG 2
Phần tử nguyên trên một vành, phần tử đại số trên một trường
S
ố
ti
ế
t: 25 (Lý thuy
ế
t: 20 ti
ế
t; bài t
ậ
p, th
ả
o lu

ậ
n: 5 ti
ế
t)
A) MỤC TIÊU:
Sinh viên và hi
ể
u
đượ
c các khái ni
ệ
m, các tính ch
ấ
t v
ề
ph
ầ
n t
ử
nguyên trên m
ộ
t vành, vành
đ
óng nguyên, ph
ầ
n t
ử

đạ
i s

ố
trên m
ộ
t tr
ườ
ng, m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố
, ph
ầ
n t
ử
liên h
ợ
p, tr
ườ
ng liên h
ợ
p,
ph
ầ
n t
ử
nguyên c
ủ

a các tr
ườ
ng toàn ph
ươ
ng; chu
ẩ
n, v
ế
t và bi
ệ
t th
ứ
c, tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
, tr
ườ
ng
chia
đườ
ng tròn. V
ậ
n d
ụ
ng gi

ả
i các bài t
ậ
p v
ề
s
ố

đạ
i s
ố
, ph
ầ
n t
ử
nguyên trên m
ộ
t vành.

B) NỘI DUNG:
2.1. Phần tử nguyên của một vành
2.1.1 Phần tử nguyên của một vành
Định lý 1.
Gi
ả
s
ử

R
là m

ộ
t vành,
A
là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
, và x là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
R
. Các
tính ch
ấ
t sau t
ươ
ng
đươ
ng:
a) T
ồ
n t

ạ
i
0
, ,
n
a a A
∈
…

sao cho
1
1 1 0
0
n n
n
x a x a x a
−
−
+ + + + =
(1)
Nói m
ộ
t cách khác x là nghi
ệ
m c
ủ
a m
ộ
t
đ

a th
ứ
c
đơ
n v
ị
(
đ
a th
ứ
c có h
ệ
cao nh
ấ
t b
ằ
ng
đơ
n v
ị
)
trên
A
.
b) Vành
[
]
A x
là m
ộ

t
A
- mô
đ
un ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
c) Có m
ộ
t vành con
B
c
ủ
a
R
ch
ứ
a và, và
B
là m
ộ
t
A
-mô
đ
un ki

ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
Chứng minh:
a)
⇒
b) Tr
ướ
c h
ế
t R là m
ộ
t A-mô
đ
un. G
ọ
i M là A-mô
đ
un con c
ủ
a R sinh b
ở
i
1
1, , ,
n
x x

−
…
. Theo
(1)
n
x
M
∈
. Ta hãy ch
ứ
ng minh b
ằ
ng quy n
ạ
p theo k r
ằ
ng m
ọ
i
n k
x M
+
∈
, v
ớ
i m
ọ
i k
∈
M. Hi

ể
n
nhiên
đ
i
ề
u
đ
ó
đ
úng v
ớ
i k = 0. Gi
ả
s
ử

1n k
x M
+ +
∈ , ngh
ĩ
a ta có:
1 1
1 1 0
,
n k n
n i
x b x b x b b A
+ + −

−
= + + + ∈

Nhân hai v
ế
c
ủ
a
đẳ
ng th
ứ
c v
ớ
i x
2
1 1 0

n k n
n
x b x b x b x
+
−
= + + +
Và chú ý
n
x
∈
M, ta
đượ
c

n k
x
+
∈
M. Bây gi
ờ
l
ấ
y 1
đ
a th
ứ
c tùy ý f(x)
∈
A[x],
(
)
1
1 1 0

m m
m m
f x c x c x c x c
−
−
= + + + +
v
ớ
i các
i

c
∈
A; theo nh
ư
ta v
ừ
a ch
ứ
ng minh các
1
, ,
m m
x x
−
c
ủ
a f(x)
đề
u thu
ộ
c M, v
ậ
y f(x)
∈
M, và
đ
i
ề
u
đ

ó có ngh
ĩ
a A[x] là A–mô
đ
un M sinh b
ở
i
1
1, , ,
n
x x
−
. V
ậ
y A[x] có ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
b)
⇒
c). Hi
ể
n nhiên.
c)
⇒
a). Gi
ả

s
ử

1
( , , )
n
y y
là m
ộ
t h
ệ
sinh h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a A–mô
đ
un B, nh
ư
v
ậ
y ta có
1

n
B Ay Ay
= + +
. Vì

,
x B y B
∈ ∈
, và B là m
ộ
t vành con c
ủ
a R, nên
, 1,2, ,
i
xy B i n
∈ =
, do
đ
ó
t
ồ
n t
ạ
i nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử

ij
, 1,2, , , 1,2, , ,
a A i n j n
∈ = = sao cho:

16

1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2



n n
n n
n n n nn n
xy a y a y a y
xy a y a y a y
xy a y a y a y
= + + +
= + + +
= + + +
…

Hay :
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
n n
n n
n n nn n

x a y a y a y
a y x a y a y
a y a y x a y
− − − − =
− + − − − =
− − − + − =
…

Ta
đượ
c m
ộ
t h
ệ
n ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t
đố
i v
ớ
i
1, 2
( , , )
n

y y y
.
Đặ
t
ij ij
det( )
d x a
δ
= −
, và th
ự
c hi
ệ
n các phép toán th
ườ
ng làm
để

đ
i t
ớ
i công th
ứ
c Cramer, ta
đượ
c
0
i
dy
=

v
ớ
i m
ọ
i i. Vì
1

n
B Ay Ay
= + +
, ta suy ra
1
0
n
Bd Ady Ady
= + + =
. Nh
ư
v
ậ
y bd = 0 v
ớ
i
m
ọ
i b
∈
B; l
ấ
y b = 1, Ta

đượ
c 1.d = d = 0. M
ặ
t khác, n
ế
u ta khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c
ij ij
det( )
d x a
δ
= −
ta
đượ
c m
ộ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng f(x) = 0, trong
đ
ó f(x) là m
ộ
t

đ
a th
ứ
c b
ậ
c n v
ớ
i h
ệ
t
ử
thu
ộ
c A,
h
ệ
t
ử
c
ủ
a
n
x
b
ằ
ng 1 vì ta
đượ
c
n
x

t
ừ
tích
11 22
( )( ) ( )
nn
x a x a x a
− − −
các ph
ầ
n t
ử
trên
đườ
ng chéo
chính.
Định nghĩa 1.
Gi
ả
s
ử
là m
ộ
t vành c
ủ
a
A

là m
ộ

t vành con c
ủ
a
R
. M
ộ
t ph
ầ
n t
ử

x
c
ủ
a R
đượ
c g
ọ
i
là
nguyên trên A n
ế
u nó th
ỏ
a mãn 3
đ
i
ề
u ki
ệ

n t
ươ
ng
đươ
ng a), b) và c) c
ủ
a
Đị
nh lý 1. Gi
ả
s
ử

( ) ( )
f X A X
∈
là m
ộ
t
đ
a th
ứ
c
đơ
n v
ị
sao cho
( ) 0
f x
=

(
đ
i
ề
u ki
ệ
n a), quan h
ệ
( ) 0
f x
=
g
ọ
i là
ph
ươ
ng trình ph
ụ
thu
ộ
c nguyên c
ủ
a x trên A.
Định lý 2.
Gi
ả
s
ử

A

là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
, và
1
, ,
n
x x
là n ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
R
. N
ế
u , v
ớ
i m
ọ
i i,
i
x
nguyên trên
1 1

, ,
i
A x x
−
 
 

(ch
ẳ
ng h
ạ
n n
ế
u m
ọ
i
i
x
đề
u nguyên trên A thì
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đ
ó
đượ
c

th
ỏ
a mãn) thì
1 1
, ,
i
A x x
−
 
 
là m
ộ
t
A
- mô
đ
un ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
Chứng minh:
Ta ch
ứ
ng minh b
ằ
ng quy n
ạ

p theo n. V
ớ
i n = 1 kh
ẳ
ng
đị
nh là
đ
úng theo
đị
nh lí 1.b). Gi
ả
s
ử

kh
ẳ
ng
đị
nh
đ
úng t
ớ
i n–1, lúc
đ
ó B = A[x
1
,…,x
n–1
] là m

ộ
t A-mô
đ
un ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n,
1
p
j
j
B Ab
=
=
∑
.
Theo
đị
nh lí 1.b), B[x
n
] là m
ộ
t B-mô
đ
un ki
ể
u h

ữ
u h
ạ
n,
1
[ ]
q
n k
k
B x Bc
=
=
∑
, và ta suy ra :
[ ] [ ]
1
1 1 ,
, ,
q p
n n j k j k
j j j k
A x x B x Ab c Ab c
= =
 
… = = =
 
 
∑ ∑ ∑
.
V

ậ
y (b
j
c
k
), j = 1,…, p; k = 1,…, q là m
ộ
t h
ệ
sinh h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a A- mô
đ
un A[x
1
,…, x
n
].
Hệ quả 1:
Gi
ả
s
ử

A
là m

ộ
t vành con c
ủ
a m
ộ
t vành
R
,
x
và
y
là nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a R nguyên
trên A. Th
ế
thì
, ,
x y x y xy
+ −
là nguyên trên A.
Hệ quả 2.
Gi
ả

s
ử
vành
A

là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
. T
ậ
p h
ợ
p B các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a R nguyên trên A
là m
ộ
t vành con c
ủ
a B ch
ứ
a
A

.

17

Định nghĩa 2.
Gi
ả
s
ử

A
là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
; vành B g
ồ
m các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a R nguyên trên
A

g
ọ

i là cái
đ
óng nguyên c
ủ
a A trong
R
. Gi
ả
s
ử

A
là m
ộ
t mi
ề
n nguyên và
K
là tr
ườ
ng các th
ươ
ng
c
ủ
a
A
; cái
đ
óng nguyên c

ủ
a
A
trong
K
g
ọ
i là cái
đ
óng nguyên c
ủ
a A. Gi
ả
s
ử

A
là m
ộ
t vành
con c
ủ
a C; ta b
ả
o C là nguyên trên A n
ế
u m
ọ
i ph
ầ

n t
ử
c
ủ
a C là nguyên trên
A
nói m
ộ
t cách
khác: n
ế
u cái
đ
óng nguyên c
ủ
a
A
trong C trùng v
ớ
i C.
Định lý 3.
Gi
ả
s
ử

A
là m
ộ
t vành con c

ủ
a vành B, và B là m
ộ
t vành con c
ủ
a vành C. N
ế
u B
nguyên trên
A
và C nguyên trên B, thì C nguyên trên
A
(tính b
ắ
c c
ầ
u).
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử

x C
∈
. Vì x nguyên trên B, nên x th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình ph

ụ
thu
ộ
c
nguyên:
1
1 1 0
0,
n n
n i
x b x b x b b B
−
−
+ +…+ + = ∈

Đặ
t
[
]
0 1 1
' , , ,
n
B A b b b
−
= … ; vì m
ỗ
i b
i
nguyên trên A nên, theo
đị

nh lý 2, B’ là m
ộ
t A-mô
đ
un ki
ể
u
h
ữ
u h
ạ
n. M
ặ
t khác, t
ừ
ph
ươ
ng trình ph
ụ
thu
ộ
c nguyên c
ủ
a x, ta có x nguyên trên B’. Theo
đị
nh lý
2,
[
]
[

]
0 1
' , , ,
n
B x A b b x
−
= … là m
ộ
t A-mô
đ
un ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n. Áp d
ụ
ng
đị
nh lý 1.c), ta có x nguyên
trên A.
Định lý 4.
Gi
ả
s
ử

A
là m

ộ
t vành con c
ủ
a mi
ề
n nguyên B, và B là nguyên trên
A
. Th
ế
thì B là
m
ộ
t tr
ườ
ng khi và ch
ỉ
khi
A
là m
ộ
t tr
ườ
ng.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ

t tr
ườ
ng và 0
≠
x
∈
B. Vì B là nguyên trên A nên A[x] là m
ộ
t không
gian h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u trên tr
ườ
ng A (
đị
nh lý 1.b)). Xét ánh x
ạ

[
]
[
]
:
A x A x
ϕ
→

y xy
֏

ϕ
là tuy
ế
n tính và
đơ
n ánh vì B là mi
ề
n nguyên. Do A[x] có chi
ề
u h
ữ
u h
ạ
n, nên m
ộ
t
đơ
n c
ấ
u là
m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u, vì v

ậ
y t
ồ
n t
ạ
i z
∈
A[x]
để

(
)
1
z xz
ϕ
= =
. Nh
ư
v
ậ
y m
ọ
i x
≠
0 thu
ộ
c B
đề
u có
ngh

ị
ch
đả
o trong
,
ta suy ra mi
ề
n nguyên B

là m
ộ
t tr
ườ
ng.
Đả
o l
ạ
i gi
ả
s
ử
b là m
ộ
t tr
ườ
ng và 0
≠
x
∈
A. Xét ngh

ị
ch
đả
o
1
x B
−
∈
. Vì B nguyên trên A nên
1
x
−
th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
1
1 1 1
1 1 0
0,
n n
n i
x a x a x a a A
−
− − −

−
+ +…+ + = ∈
.
Nhân hai v
ớ
i x
n
:

1
1 1 0
1 0,
n n
n i
a x a x a x a A
−
−
+ +…+ + = ∈
hay
(
)
2 1
1 1 0
1 .
n n
n
x a a x a x
− −
−
= − −…− −

V
ậ
y x có ngh
ị
ch
đả
o trong A, nên A là m
ộ
t tr
ườ
ng.
2.1.2. Vành đóng nguyên
Định nghĩa 1.
M
ộ
t mi
ề
n nguyên
đượ
c g
ọ
i là
đ
óng nguyên n
ế
u cái
đ
óng nguyên c
ủ
a nó là chính

nó.

Định lý 1.
M
ọ
i vành chính là
đ
óng nguyên.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t vành chính và K là tr
ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a A. Gi
ả
s
ử
x
∈
K và x
nguyên trên
A; ta có m

ộ
t ph
ươ
ng trình ph
ụ
thu
ộ
c nguyên:
1
1 1 0
0 (1)
n n
n
x a x a x a
−
−
+ +…+ + =
Vì
x
∈
K, nên ta có th
ể
vi
ế
t: x = a/b v
ớ
i a, b
∈
A và a, b nguyên t
ố

cùng nhau. T
ừ

đ
ó thay x b
ằ
ng
a/b trong (1) và nhân v
ớ
i b
n
.
(
)
1 2 1
1 1 0
0
n n n n
n
a b a a a ab a b
− − −
−
+ +…+ + =


18

Nh
ư
vây b chia h

ế
t a
n
, nh
ư
ng b nguyên t
ố
v
ớ
i a, v
ậ
y b chia h
ế
t a
n-1
. Ti
ế
p t
ụ
c l
ậ
p lu
ậ
n, ta
đượ
c b
chia h
ế
t a; v
ậ

y x = a/b
∈
A, và A là
đ
óng nguyên.
Chú ý:
+ N
ế
u l
ấ
y
A
=
ℤ
thì K
=
ℚ
, trong tr
ườ
ng h
ợ
p này ta nói r
ằ
ng m
ọ
i s
ố
h
ữ
u t

ỷ

nguyên trên
ℤ

đề
u là m
ộ
t s
ố
nguyên.
+ Trong
Đị
nh lý trên có th
ể
thay vành chính A b
ằ
ng m
ộ
t vành nhân t
ử
hóa (mi
ề
n
nguyên mà m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

khác không có s
ự
phân tích duy nh
ấ
t thành tích nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t kh
ả

quy, còn g
ọ
i là vành Gauss)
2.2. Phần tử đại số trên một trường. Mở rộng đại số
2.2.1. Phần tử đại số trên một trường. Mở rộng đại số.
Định nghĩa 1.
Gi
ả
s
ử

K
là m
ộ
t tr

ườ
ng con c
ủ
a vành
R
. M
ộ
t ph
ầ
n t
ử

x R
∈
là
đạ
i s
ố
trên K n
ế
u
t
ồ
n t
ạ
i nh
ữ
ng ph
ầ
n t

ử
không b
ằ
ng 0 t
ấ
t c
ả

0
, ,
n
a a K
∈
sao cho
1 0
0
n
n
a x a x a
+ + + =

Định lý 1.
Gi
ả
s
ử

K
là m
ộ

t tr
ườ
ng con c
ủ
a vành
R
, và
x R
∈
. Th
ế
thì:
a)
x

đạ
i s
ố
trên
K
khi và ch
ỉ
khi
x
nguyên trên
K
.
b)
x

đạ
i s
ố
trên
K
khi và ch
ỉ
khi s
ố
chi
ề
u, kí hi
ệ
u
[
]
:
K x K
 
 
c
ủ
a
K
- không gian véc t
ơ

[
]
K x

là h
ữ
u h
ạ
n.
Chứng minh:
a) Hi
ể
n nhiên, t
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a và nh
ậ
n xét trên.
b) x
đạ
i s
ố
trên K, v
ậ
y x nguyên trên K theo a). T
ừ

đ
ó, ta
đượ

c K[x] có chi
ề
u h
ữ
u h
ạ
n trên K.
Đả
o
l
ạ
i, gi
ả
s
ử
[K[x]:K] h
ữ
u h
ạ
n, thì x nguyên trên K.
Định nghĩa 2.
Ta b
ả
o m
ộ
t vành
R
ch
ứ
a m

ộ
t tr
ườ
ng
K
là
đạ
i s
ố
trên K n
ế
u m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
R
là
đạ
i s
ố
trên
K
; n
ế
u

R
l
ạ
i là m
ộ
t tr
ườ
ng, lúc
đ
ó ta b
ả
o
R
là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố
trên
K
.
Định nghĩa 3.
Gi
ả
s

ử

K
là m
ộ
t tr
ườ
ng con c
ủ
a tr
ườ
ng L. Coi L nh
ư
m
ộ
t
K
– không gian vect
ơ
,
s
ố
chi
ề
u
[
]
:
L K
c

ủ
a L trên
K
còn g
ọ
i là b
ậ
c c
ủ
a
K
trên
K
.
Định lý 2.
Gi
ả
s
ử

K
là m
ộ
t tr
ườ
ng con c
ủ
a tr
ườ
ng L. N

ế
u b
ậ
c
[
]
:
L K
là h
ữ
u h
ạ
n, thì L m
ở

r
ộ
ng
đạ
i s
ố
trên
K
.
Định nghĩa 4.
Ta g
ọ
i là tr
ườ
ng

đạ
i s
ố
m
ọ
i m
ở
r
ộ
ng có b
ậ
c h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a
ℚ
.
Định lý 3.
Gi
ả
s
ử

K
là m
ộ
t tr

ườ
ng, L là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố
c
ủ
a
K
, và M là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố

c
ủ
a L. Th
ế

thì M là m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố
c
ủ
a
K
. Ngoài ra ta có
[
]
[
]
[
]
: : . :
M K M L L M
=
.
Chứng minh:
Ta có L nguyên trên K và M nguyên trên L, áp d
ụ
ng (2.1.
Đị
nh lý 3) ta có M
nguyên trên

K, ngh
ĩ
a là M là m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố
c
ủ
a K. Ngoài ra, n
ế
u
( )
i i I
x
∈
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a L trên
K, và
( )

j j J
y
∈
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a L trên M, th
ế
thì
(
)
( )
,
i j
i j I J
x y
∈ ×
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ

a M trên K; th
ậ
t v
ậ
y
gi
ả
s
ử
z
∈
M, ta có th
ể
vi
ế
t:
j j
j J
z b y
∈
=
∑
, b
j
∈
L v
ớ
i b
j
= 0 t

ấ
t c
ả
tr
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n,

19

j ji i
i I
b a x
∈
=
∑
, a
ji
∈
K v
ớ
i a
ji

= 0 t
ấ
t c
ả
tr
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n,
V
ậ
y:
(1)

( )
.
,
ji i j ji i j
j J i I i j I J
z a x y a x y
∈ ∈ ∈ ×
 
= =
 

 
∑ ∑ ∑

T
ừ

đẳ
ng th
ứ
c cu
ố
i c
ủ
a (1) ta có
(
)
( )
,
i j
i j I J
x y
∈ ×
là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ủ
a
M

trên
K
. H
ệ
sinh
đ
ó c
ũ
ng
độ
c
l
ậ
p tuy
ế
n tính; vì n
ế
n
z
= 0 trong (1), ta có
0
ji i
i I
a x
∈
=
∑
v
ớ
i m

ọ
i
j J
∈
do
(
)
j
j J
y
∈

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính, nh
ư
ng
(
)
i
i I
x
∈
c
ũ
ng

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên
0
ji i
i i
a x
∈
=
∑
v
ớ
i m
ọ
i
j J
∈
kéo theo
a
ij
= 0 v
ớ
i
m
ọ
i
(

)
,
i j I J
∈ ×
.
Định lý 4.

Gi
ả
s
ử

K
là m
ộ
t tr
ườ
ng con c
ủ
a vành
R
. Th
ế
thì:
a)
T
ậ
p h
ợ
p L các ph

ầ
n t
ử
c
ủ
a
R

đạ
i s
ố
trên
K
là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
ch
ứ
a
K
.
b)
N
ế
u R là m
ộ
t mi

ề
n nguyên, thì L là m
ộ
t tr
ườ
ng.
Chứng minh:
a)
L
c
ũ
ng là t
ậ
p h
ợ
p các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
R
nguyên trên
K
(
Đị
nh lí 1). Áp d
ụ
ng(2.1.1 H

ệ
qu
ả
2 c
ủ
a
Đị
nh lí 2) ta
đượ
c a).
b) N
ế
u
R
là m
ộ
t mi
ề
n nguyên, thì
L
c
ũ
ng là m
ộ
t mi
ề
n nguyên. Áp d
ụ
ng (2.1.1
Đị

nh lí 4) ta có
L

là m
ộ
t tr
ườ
ng.
Định lý 5.

Gi
ả
s
ử

K
là m
ộ
t tr
ườ
ng con c
ủ
a vành
R
, và
x
là m
ộ
t ph
ầ

n t
ử
c
ủ
a
R
. Th
ế
thì:
a)
Có m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành
ϕ
duy nh
ấ
t t
ừ

[
]
K X
vào R sao cho
( )
X x
ϕ

=
và
( )
a a
ϕ
=
v
ớ
i m
ọ
i
a K
∈
;
ả
nh c
ủ
a
ϕ
là
[
]
K X
.
b)

x

đạ
i s

ố
trên
K
khi và ch
ỉ
khi
er 0
K
ϕ
≠
.
c)

x

đạ
i s
ố
trên
K
,
ker ( ( ))
F X
ϕ
= =
i
đ
êan chính c
ủ
a

[
]
K X
sinh b
ở
i
đ
a th
ứ
c
đơ
n v
ị

[
]
F X
xác
đị
nh b
ở
i
K
và
x
. Ta g
ọ
i
[
]

F X
là
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
x
.
d)
N
ế
u
[
]
F X
là
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u c

ủ
a
x
và
[
]
[
]
[
]
, ì 0
G X K X th G X
∈ =
khi và ch
ỉ
khi
[
]
G X
là
b
ộ
i c
ủ
a
[
]
F X
trong
[

]
K X
.
Đồ
ng c
ấ
u
ϕ
cho ta
đẳ
ng c
ấ
u chính t
ắ
c
[
]
( )
[ ]
( )
K X
K X
F x
→
.
e, N
ế
u
[
]

F X
là
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
x
, thì:
[
]
K X
là m
ộ
t tr
ườ
ng
⇔
[
]
K X
là m
ộ
t mi
ề

n nguyên
khi và ch
ỉ
khi
[
]
F X
b
ấ
t kh
ả
quy trên K.
Chứng minh:
a) Tr
ướ
c h
ế
t ta hãy ch
ứ
ng minh tính duy nh
ấ
t c
ủ
a
ϕ
. Gi
ả
s
ử
:

(
)
[
]
1 0
a
m
m
f x a X a X K X
= +…+ + ∈


20

n
ế
u
ϕ
:
K
[
X
]
→

R
th
ỏ
a mãn

đ
i
ề
u ki
ệ
n
đ
òi h
ỏ
i thì ta ph
ả
i có:

ϕ
(
f
(
X
)) =
ϕ
(
a
m
X
m
+…+
a
1
X
+

a
0
)
=
ϕ
(
a
m
X
m
) + … +
ϕ
(
a
1
X
)+
ϕ
(
a
0
)
=
ϕ
(
a
m
)
ϕ
(

X
)
m
+… +
ϕ
(
a
1
)
ϕ
(
X
) +
ϕ
(
a
0
).
V
ậ
y
ϕ
(
f
(
X
)) ph
ả
i có d
ạ

ng:
(1)


ϕ
(
f
(
X
)) =
a
m
x
m
+ … +
a
1
x
+
a
0

Bây gi
ờ
ta hãy ch
ứ
ng minh ánh x
ạ

ϕ

là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành. Gi
ả
s
ử

f
(
X
) =
a
m
X
m
+ … +
a
1
X
+
a
0
,
g
(
X

) =
b
n
X
m
+… +
b
1
X
+
b
0
là hai
đ
a th
ứ
c thu
ộ
c
K
[
X
], th
ế
thì ta có:
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0 0
0 0

i i
i i i i
i i
i i
f X g X a b a b X a b a b x
a a x b b x f X g X
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+ = + + …+ + +… = + +…+ + +…
= +…+ +… + +… +… = +

Và
( ) ( )

( )
0 0
. .
j k
j k
j k i
f X g X a b a b X
ϕ ϕ
+
+ =
 
= + + +…
 
 
∑


0 0

j k
j k
j k i
a b a b x
+
+ =
= +…+ +…
∑


(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
. .
j k
j k
a a x b b x f X g X
ϕ ϕ
= +…+ +… +……+ +… =
V
ậ
y ϕ là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành.
b) Gi
ả
s

ử
x
đạ
i s
ố
trên K; th
ế
thì t
ồ
n t
ạ
i f(X)
≠
0 thu
ộ
c K[X] sao cho f(x) = 0 = ϕ(f(X)) (
Đị
nh
ngh
ĩ
a 1). V
ậ
y 0
≠
f(X) ∈Kerϕ , do
đ
ó Kerϕ
≠
0.
Đả

o l
ạ
i, gi
ả
s
ử
Kerϕ
≠
0; th
ế
thì t
ồ
n t
ạ
i 0
≠

f(X) ∈ Kerϕ. V
ậ
y ϕ (f(X)) = f(X) = 0, ngh
ĩ
a là x
đạ
i s
ố
trên K.
c) Gi
ả
s
ử

x
đạ
i s
ố
trên K, theo b), Kerϕ
≠
0 là m
ộ
t i
đ
êan c
ủ
a vành chính K[X] (do K là m
ộ
t
tr
ườ
ng), v
ậ
y Kerϕ là m
ộ
t i
đ
êan chính sinh ra b
ở
i m
ộ
t
đ
a th

ứ
c F[X] mà ta có th
ể
l
ấ
y
đ
a th
ứ
c
đơ
n
v
ị
sau khi chia các h
ệ
t
ử
cho h
ệ
t
ử
cao nh
ấ
t c
ủ
a
đ
a th
ứ

c,
đ
i
ề
u mà ta
đượ
c phép làm vì K là m
ộ
t
tr
ườ
ng. Ta hãy ch
ứ
ng minh F[X] là duy nh
ấ
t. Gi
ả
s
ử
có m
ộ
t
đ
a th
ứ
c
đơ
n v
ị
G(X) sao cho Kerϕ =

(F(X)) = (G(X)). T
ừ

đẳ
ng th
ứ
c cu
ố
i ta suy ra F(X)= g(X)G(X) và G(X) = f(X)F(X) v
ớ
i f(X), g(X)
∈ K[X]; v
ậ
y F(X) = f(X)g(X)F(X) hay f(X)g(X) = 1 vì F(X)
≠
0 và K[X] là mi
ề
n nguyên. f(X) và
g(X) là kh
ả
ngh
ị
ch c
ủ
a nhau, nên f(X), g(X)∈K; gi
ả
s
ử
f(X) =a ∈ K, ta
đượ

c G(X) = aF(X)
đẳ
ng
t
ứ
c này cho ta a = 1 vì F(X) và G(X)
đề
u là
đ
a th
ứ
c
đơ
n v
ị

d) Gi
ả
s
ử
0 = G(x) = ϕ(G(X)); v
ậ
y g(X)∈Kerϕ =(F(X)), t
ứ
c là có f(X)
∈
K[X]
để
G(X) = f(X)F(X).
Đả

o l
ạ
i gi
ả
s
ử
G(X) = f(X)F(X), th
ế
thì G(x) = f(x)F(x) = f(x).0 = 0. Vì Imϕ = K[x], nên
đồ
ng c
ấ
u
ϕ c
ả
m sinh
đẳ
ng c
ấ
u chính t
ắ
c:
K[X]/(F(X)) → K[x]
f(X) + (F(X))
֏
f(x)
e) Gi
ả
s
ử

F(X) là
đ
a th
ứ
c t
ố
i thi
ể
u c
ủ
a x. Hi
ể
n nhiên ta có: K[x] là m
ộ
t tr
ườ
ng
⇒
K[x] là m
ộ
t
mi
ề
n nguyên. Chi
ề
u ng
ượ
c l
ạ
i suy ra t

ừ
(2.1.1
Đị
nh lí 4). M
ặ
t khác ta có F(X) b
ấ
t kh
ả
quy trong
K[X] khi và ch
ỉ
khi i
đ
êan (F(X)) là nguyên t
ố
; t
ừ

đ
ó ta có các t
ươ
ng
đươ
ng;

21

F(X) b
ấ

t kh
ả
quy ⇔ (F(X)) nguyên t
ố
⇔ K[X]/F(X) là mi
ề
n nguyên. Nh
ư
ng ta có K[X]/F(X)) =
K[x], v
ậ
y: K[x] là mi
ề
n nguyên ⇔ F(X) b
ấ
t kh
ả
quy trên K
Nhận xét:

1) N
ế
u
x
là siêu vi
ệ
t trên
K
, thì
Ker 0

ϕ
=
và do
đ
ó
[
]
[
]
K X K x
≃
, Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này
[
]
K X
ch
ỉ
là m
ộ
t mi
ề
n nguyên và thêm n
ữ
a là m
ộ
t vành chính, ch

ứ
không th
ể
là m
ộ
t tr
ườ
ng.
2) Theo ph
ầ
n tr
ướ
c, ta có (
1
, , ,1
n
x x
−
) là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ủ
a
K
- không gian véct
ơ

[

]
K X
n
ế
u b
ậ
c
c
ủ
a
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u
( )
F X
c
ủ
a
x
b
ằ
ng
n
. Ta hãy ch
ứ

ng minh h
ệ
sinh
đ
ó
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính. Th
ậ
t
v
ậ
y gi
ả
s
ử
có
1 1 0
, , ,
n
a a a K
−
∈
không b
ằ
ng 0 t
ấ

t c
ả
sao cho:
1
1 1 0
0
n
n
a x a x a
−
−
+ + + =
.
3) Gi
ả
s
ử

( )
F X
b
ấ
t kh
ả
quy trên K; theo e) c
ủ
a
đ
inh lý
[

]
'
K K X
=
là m
ộ
t tr
ườ
ng. Coi
( )
F X
nh
ư
m
ộ
t
đ
a th
ứ
c trên K’; ta có
'
x K
∈
và
( ) 0
F x
=
, v
ậ
y

( )
F X
chia h
ế
t cho
X x
−
trên
tr
ườ
ng K’,
( ) ( ) ( )
F X X x g X
= −
v
ớ
i
[
]
( ) '
g X K X
∈
. M
ặ
t khác, khi
( )
K X
là m
ộ
t mi

ề
n nguyên,
thì
( )
K X
c
ũ
ng là tr
ườ
ng các phân th
ứ
c c
ủ
a nó, kí hi
ệ
u
( )
K x
; trong khi
đ
ó tr
ườ
ng các phân th
ứ
c
c
ủ
a vành
[
]

K X
không trùng v
ớ
i
[
]
K X
.
Định lý 6.
Gi
ả
s
ử
K là m
ộ
t tr
ườ
ng, và
[
]
[
]
G X K X
∈
là m
ộ
t
đ
a th
ứ

c có b
ậ
c
0
m
>
. Th
ế
thì t
ồ
n
t
ạ
i m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố
L c
ủ
a
K
có b
ậ
c

[
]
:
L K
h
ữ
u h
ạ
n sao cho phân tích
đượ
c thành nh
ữ
ng
nhân t
ử
tuy
ế
n tính trong
[
]
L X
.
Chứng minh:
Ta ch
ứ
ng minh b
ằ
ng quy n
ạ
p theo m.

Đị
nh lí là hi
ể
n nhiên khi m = 1. Gi
ả
s
ử

kh
ẳ
ng
đị
nh
đ
úng cho m – 1. Xét m
ộ
t nhân t
ử
F(X) b
ấ
t kh
ả
quy c
ủ
a G(X). Ta v
ừ
th
ấ
y có m
ộ

t m
ở

r
ộ
ng K' c
ủ
a K có b
ậ
c h
ữ
a h
ạ
n trên K. C
ụ
th
ể
K[X]/(F(X)), và m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
x ∈ K' sao cho F(X) là
b
ộ
i c
ủ
a X – x trong K'[X]. V
ậ

y ta có G(x) = (X – x)G'(X) v
ớ
i G'(X) ∈ K'[X]. Theo gi
ả
thi
ế
t quy
n
ạ
p, G'(X) phân tích thành nh
ữ
ng phân t
ử
tuy
ế
n tính trong m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng L c
ủ
a K' có b
ậ
c h
ữ
u h
ạ
n

trên K'.Lúc
đ
ó L là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a K có b
ậ
c h
ữ
u h
ạ
n trên K, c
ụ
th
ể
[L : K].[K' : K] (
Đị
nh lí 3),
và G(X) phân tích thành nh
ữ
ng nhân t
ử
tuy
ế
n tính trong L[X].

Trên
đ
ây ta th
ấ
y có m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a K
để

đ
a th
ứ
c
( )
G X
phân tích
đượ
c thành nh
ữ
ng
nhân t
ử
tuy

ế
n tính; nh
ư
ng c
ũ
ng có nh
ữ
ng tr
ườ
ng mà m
ọ
i
đ
a th
ứ
c có b
ậ
c l
ớ
n h
ơ
n 0
đề
u phân tích
thành nh
ữ
ng nhân t
ử
tuy
ế

n tính trên tr
ườ
ng
đ
ó, ngh
ĩ
a là nó ch
ứ
a
đầ
y
đủ
n nghi
ệ
m c
ủ
a
đ
a th
ứ
c
n
ế
u
đ
a th
ứ
c có b
ậ
c n; m

ộ
t tr
ườ
ng nh
ư
v
ậ
y g
ọ
i là
đ
óng
đạ
i s
ố
. Ta có ngay m
ộ
t ví d
ụ
v
ề
tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
,

đ
ó là tr
ườ
ng s
ố
ph
ứ
c
ℂ
. M
ọ
i tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n
q
F
không th
ể

đ
óng
đạ
i s
ố

đượ

c; th
ậ
t
v
ậ
y gi
ả
s
ử

1
, ,
q
x x
là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
q
F
, th
ế
thì
đ
a th
ứ
c

1 2
( )( ) ( ) 1
q
X x X x X x
− − − +
không có
nghi
ệ
m nào trong
q
F
.
Ng
ườ
i ta ch
ứ
ng minh
đượ
c r
ằ
ng m
ọ
i tr
ườ
ng là m
ộ
t tr
ườ
ng con c
ủ

a tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
.
2.2.2. Phần tử liên hợp, trường liên hợp.
Định nghĩa 1.
Gi
ả
s
ử
L và L’ là hai tr
ườ
ng ch
ứ
a tr
ườ
ng
K
.
1) N
ế
u có
đẳ
ng c
ấ

u :
L L
ϕ
→
sao cho ( )
a a
ϕ
=
v
ớ
i m
ọ
i
a K
∈
, thì
ϕ
g
ọ
i là
K
–
đẳ
ng c
ấ
u; n
ế
u
thêm L và L’ là
đạ

i s
ố
trên
K
thì ta b
ả
o
đ
ó là nh
ữ
ng tr
ườ
ng liên h
ợ
p trên
K
.

22

2) Hai ph
ầ
n t
ử

x L
∈
và
' '
x L

∈
g
ọ
i là liên h
ợ
p trên
K
n
ế
u có m
ộ
t
K
-
đẳ
ng c
ấ
u
: ( ) ( ')
K x K x
ϕ
→

sao cho
( ) '
x x
ϕ
=
(lúc
đ

ó
ϕ
là duy nh
ấ
t). Nh
ư
v
ậ
y khi
x
và
'
x
liên h
ợ
p trên
K
thì ho
ặ
c
x
và
'
x

đề
u liên h
ợ
p trên
K

, ho
ặ
c
đề
u
đạ
i s
ố
trên
K
, và cùng có
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u.
Ví dụ.
Gi
ả
s
ử

[
]
[
]
F X K X

∈
là m
ộ
t
đ
a th
ứ
c b
ấ
t kh
ả
quy trên K, và
1 2
, , ,
n
x x x
là các nghi
ệ
m
c
ủ
a nó trong m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng L c
ủ
a K. Th

ế
thì các tr
ườ
ng
[
]
i
K x
là
đ
ôi m
ộ
t liên h
ợ
p trên K và các
i
x
c
ũ
ng là
đ
ôi m
ộ
t liên h
ợ
p trên K. Th
ậ
t v
ậ
y, ta có các

đẳ
ng c
ấ
u chính t
ắ
c:
[
]
( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
i
i
K X
K x
F X
f X F X f x
→
+
֏

cho ta các K –
đẳ
ng c
ấ
u:
[
]

( )
( )
i j
i j
K x K x
f x f x
 
→
 
֏

Bổ đề 1.
Gi
ả
s
ử

K
là m
ộ
t tr
ườ
ng
đặ
c s
ố
0 hay m
ộ
t tr
ườ

ng h
ữ
u h
ạ
n,
[
]
( )
F x K X
∈
là m
ộ
t
đ
a
th
ứ
c b
ấ
t kh
ả
quy, và
1
( ) ( )
n
i
i
F X X x
=
= −

∏
là phân tích c
ủ
a nó thành nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
tuy
ế
n tính
trong m
ở
r
ộ
ng
L
c
ủ
a
K
. Th
ế
thì
n
nghi
ệ
m
1

, ,
n
x x
c
ủ
a
( )
F X
là phân bi
ệ
t.
Chứng minh:
Ta hãy ch
ứ
ng minh b
ằ
ng ph
ả
n ch
ứ
ng. Gi
ả
s
ử
(
)
F X
có m
ộ
t nghi

ệ
m b
ộ
i
x
, v
ậ
y
x

s
ẽ
là nghi
ệ
m c
ủ
a
đạ
o hàm
(
)
'
F X
và do
đ
ó
(
)
F X
và

(
)
'
F X
không nguyên t
ố
cùng nhau; nh
ư
ng
(
)
F X
là b
ấ
t kh
ả
quy, nên
'( )
F X
ph
ả
i là b
ộ
i c
ủ
a
(
)
F X
. M

ặ
t khác b
ậ
c c
ủ
a
(
)
'
F X
nh
ỏ
h
ơ
n b
ậ
c
c
ủ
a
(
)
F X
, v
ậ
y
(
)
'
F X

là
đ
a th
ứ
c khác 0. Nh
ư
ng n
ế
u:
(
)
1
1 0 1
+ ,
n n
n
F X X a X a a K
−
−
= + + ∈

Thì
(
)
(
)
1 2
1 1
' 1 +
n n

n
F X nX n a X a
− −
−
= + − +
.
V
ậ
y ta có
.1 0
n
=
và
. 0
j
j a
=
v
ớ
i
1, , 1
j n
= −
.
Đ
i
ề
u này không th
ể
có v

ớ
i tr
ườ
ng
đặ
c
s
ố
0.
N
ế
u K là tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n, thì K có
đặ
c s
ố

0
p
≠
(
p
là m
ộ
t s

ố
nguyên t
ố
) và ánh x
ạ

p
x x
֏
t
ừ
K vào K là
đơ
n ánh (vì
p p
x y
=

⇒

( )
0
p
p p
x y x y
= − = −
⇒

0
x y

− =
), v
ậ
y c
ũ
ng là
toàn ánh do K h
ữ
u h
ạ
n; do
đ
ó v
ớ
i m
ọ
i
y K
∈
, t
ồ
n t
ạ
i (duy nh
ấ
t)
x K
∈
sao cho
p

y x
=
. T
ừ

.1 0
n
=
và
. 0
j
j a
=
v
ớ
i
1, , 1
j n
= −
ta suy ra p chia h
ế
t cho n và
0
j
a
=
v
ớ
i
j

không là b
ộ
i
c
ủ
a p. V
ậ
y
(
)
F X
có d
ạ
ng:

(
)
(
)
1
1 1 0
,
q p
qp p
q
F X X b X b X b b K
−
−
= + + + + ∈

23

hay

(
)
(
)
1
1 1 0
,
q p
qp p p p p
q i
F X X c X c X c c K
−
−
= + + + + ∈


(
)
1
1 1 0

p
q q
q
X c X c X c

−
−
= + + + +
Mâu thu
ẫ
n v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t
(
)
F X
b
ấ
t kh
ả
quy trên K.

Định lí 1.
Gi
ả
s
ử

K

là m

ộ
t tr
ườ
ng
đặ
c s
ố
0 hay m
ộ
t tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n,
L

là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng có b
ậ
c
h
ữ
u h

ạ
n n c
ủ
a
K
, và C là m
ộ
t tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
ch
ứ
a
K
, và
C
là m
ộ
t tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s

ố

ch
ứ
a
K
. Lúc
đ
ó có n
K
-
đẳ
ng c
ấ
u t
ừ

L
vào
C
.
Chứng minh:
Tr
ướ
c h
ế
t ta th
ấ
y kh
ẳ

ng
đị
nh là
đ
úng cho tr
ườ
ng h
ợ
p
[
]
L K x
=
( )
x L
∈
. Th
ậ
t v
ậ
y,
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u
(

)
F X
c
ủ
a
x
lúc
đ
ó có b
ậ
c n; nó có n nghi
ệ
m
1
, ,
n
x x
trong C và các nghi
ệ
m
đ
ó
là phân bi
ệ
t theo b
ổ

đề
1. V
ậ

y ta có nK –
đẳ
ng c
ấ
u phân bi
ệ
t
i
σ
t
ừ
L vào C sao cho
(
)
i i
x x
σ
=
,
1, ,
i n
=
.
:
i
L C
σ
֏

( ) ( )

i
f x f x
֏
.
Bây gi
ờ
ta hãy ch
ứ
ng minh
đị
nh lí b
ằ
ng quy n
ạ
p trên b
ậ
c n c
ủ
a L. Gi
ả
s
ử

x L K
∈ −
; ta
xét các tr
ườ
ng
[

]
K K x L
⊂ ⊂
, và gi
ả
s
ử

[
]
: 1
K x K
 
=
 
,
[
]
:
L K x m
 
=
 
. Theo (n
o
1,
đị
nh lí 3),
ta có
n lm

=
, và
1
l
>
theo cách ta l
ấ
y
x L
∈
. N
ế
u
l n
=
thì
[
]
L K x
=
và ta có tr
ườ
ng h
ợ
p nh
ư

ở

trên, không còn ph

ả
i ti
ế
p t
ụ
c ch
ứ
ng minh. N
ế
u
l n
<
, thì
n
m n
l
= <
.
Đố
i v
ớ
i tr
ườ
ng
[
]
K x
, theo
nh
ư

trên ta có
1
K
-
đẳ
ng c
ấ
u phân bi
ệ
t
i
σ
t
ừ

[
]
K x
vào C, bi
ế
n
x
thành
x
σ
,
1, ,
i l
=
. Các

i
σ

cho ta các
đẳ
ng c
ấ
u:
[
]
(
)
i
K x K x
σ
→
 
 
ɶ
. M
ặ
t khác, n
ế
u K có
đặ
c s
ố
0 (theo th
ứ
t

ự
là tr
ườ
ng h
ữ
u
h
ạ
n) thì
[
]
K x
có
đặ
c s
ố
0 (theo th
ứ
t
ự
là tr
ướ
c h
ữ
u h
ạ
n). V
ớ
i m
ỗ

i
i
σ
, ta
đồ
ng nh
ấ
t
x
v
ớ
i
(
)
i
x
σ
, và áp d
ụ
ng gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ
p cho L là m
ở
r
ộ
ng c

ủ
a
[
]
K x
có b
ậ
c
m n
<
, ta
đượ
c
[
]

m K x

–
đẳ
ng c
ấ
u phân bi
ệ
t
ij
σ
( 1, , )
j m
=

t
ừ
L vào C. Ta c
ầ
n chú ý khi nói
ij
σ
là m
ộ
t
[
]
K x
–
đẳ
ng
c
ấ
u t
ừ
L vào C có ngh
ĩ
a ta
đ
ã
đồ
ng nh
ấ
t
x

v
ớ
i
(
)
i
x
σ
, th
ự
c ch
ấ
t
ij
σ
là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a
i
σ
. Bây
gi
ờ
ta hãy ch

ứ
ng minh
' '
ij i j
σ σ
≠
khi
(
)
(
)
, ', '
i j i j
≠
. Gi
ả
s
ử

' '
ij i j
σ σ
=
. Th
ế
thì:
[ ] [ ]
'
' '
i i

ij K x i j K x
σ σ σ σ
= = =
.
Vì các
i
σ
phân bi
ệ
t, nên ta ph
ả
i có
'
i i
=
. T
ừ

'
ij ij
σ σ
=
, ta l
ạ
i suy ra
'
j j
=
, vì v
ớ

i m
ỗ
i i các
ij
σ

là phân bi
ệ
t. Các
ij
σ
( 1, , ; 1, , )
i l j m
= =
hi
ể
n nhiên là nh
ữ
ng K–
đẳ
ng c
ấ
u t
ừ
L vào C và s
ố

các
ij
σ

là
.
l m n
=
.


24

Bổ đề 2.
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t mi
ề
n nguyên có vô h
ạ
n ph
ầ
n t
ử
; gi
ả
s
ử

1

(1 )
H i n
≤ ≤
là n b
ộ
ph
ậ
n vô
h
ạ
n c
ủ
a A. V
ớ
i m
ọ
i
đ
a th
ứ
c
0
f
≠
thu
ộ
c
[
]
1 2

, , ,
n
A X X X
, có vô s
ố
ph
ầ
n t
ử

1 2 1 2
( , , , )
n n
x x x x H H H
= ∈ × × ×
sao cho
( ) 0
f x
≠
.
Chứng minh:
Kh
ẳ
ng
đị
nh là
đ
úng cho
1
n

=
s
ố
nghi
ệ
m h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a
f
trong A. Chúng ta ch
ứ
ng
minh
đị
nh lí b
ằ
ng quy n
ạ
p theo n.
Đ
a th
ứ
c f có th
ể
coi nh
ư

m
ộ
t
đ
a th
ứ
c
đố
i v
ớ
i
n
X
, l
ấ
y t
ừ
h
ệ
t
ử

trong vành
[
]
1 2 1
, , ,
n
A X X X
−

:
0
m
k
k n
k
f g X
=
=
∑
.
Vì
0
f
≠
, nên ít nh
ấ
t có m
ộ
t h
ệ
t
ử

[
]
1 1 1
, ,
n
g A X X

−
∈
khác 0. Theo gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ
p,
có
1 1 1 1
( , , )
n n
x x H H
− −
∈ × ×
sao cho
(
)
1 1
, , 0
i n
g x x
−
≠
. Ta suy ra
đ
a th
ứ
c

( ) ( ) ( )
1 1
0
, ,
m
k
n k n n n
k
h X g x x X A X
−
=
= ∈
∑

là khác 0. Do s
ố
nghi
ệ
m h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a
(
)
n
h X

trong A, nên có vô s
ố
ph
ầ
n t
ử

n n
X H
∈
sao cho
(
)
0
n
h x
≠
. Vì
(
)
(
)
1 1
, , ,
n n n
h x f x x x
−
=
, nên ta suy ra
đ

i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.

Định lý 2.
(
Đị
nh lý v
ề
ph
ầ
n t
ử
nguyên th
ủ
y) Gi
ả
s
ử

K
là m
ộ
t tr
ườ
ng

đặ
c s
ố
0 hay m
ộ
t tr
ườ
ng
h
ữ
u h
ạ
n, và là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a
K
có b
ậ
c
n
. Th
ế
thì có m
ộ

t ph
ầ
n t
ử

k L
∈
(g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử

p
nguyên th
ủ
y) sao cho
[
]
L K x
=
.
Chứng minh:
N
ế
u K h
ữ
u h
ạ

n thì L c
ũ
ng h
ữ
u h
ạ
n, và nhóm nhân
{
}
* 0
L L= −
c
ủ
a nó g
ồ
m các
l
ũ
y th
ừ
a c
ủ
a m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

*

x L
∈
(1.3.1
Đị
nh lí). V
ậ
y
{
}
L K x
=
.
Bây gi
ờ
gi
ả
s
ử
K có
đặ
c s
ố
0, v
ậ
y là vô h
ạ
n. Theo
đị
nh lí 1, ta có

n K
–
đẳ
ng c
ấ
u
i
σ
t
ừ
L
vào m
ộ
t tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
C ch
ứ
a K. M
ặ
t khác L là m
ộ
t K – không gian vect
ơ
n chi

ề
u, gi
ả
s
ử

1 2
( , , , )
n
e e e
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a L. V
ớ
i
i j
σ σ
≠
, xét ph
ầ
n t
ử
:
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
, ,
n
i j i n j n
e e e e C
σ σ σ σ
− − ∈ ,
Ph
ầ
n t
ử

đ
ó ph
ả
i khác 0, vì n
ế
u b
ằ
ng 0 ta s
ẽ

có
i j
σ σ
=
. Xét
đ
a th
ứ
c
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
1 1 1

i j i n j n n
i j
f e e X e e X
σ σ σ σ
≠
= − + + −
∏

thu
ộ
c

[
]
1
, ,
n
C X X
. Ta có K vô h
ạ
n ch
ứ
a trong C; áp d
ụ
ng b
ổ

đề
2, ta có vô s
ố
ph
ầ
n t
ử

(
)
1
, ,
n
n
k k k K

= ∈
sao cho
(
)
0
f k
≠
. Bây gi
ờ
, trong L, hãy xét ph
ầ
n t
ử
:
1 1

n n
x k e k e
= + +
;
th
ế
thì
(
)
(
)
(
)
(

)
0
i j
i j
f k x x
σ σ
≠
≠ = −
∏
.

25

V
ậ
y ta có
x L
∈
sao cho các
(
)
i
x
σ
là m
ộ
t
đ
ôi khác nhau.
Đ

i
ề
u
đ
ó nói lên
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u
( )
F X

c
ủ
a
x
có ít nh
ấ
t
n
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t,
đ

ó là các
(
)
i
x
σ
trong C; v
ậ
y
( )
F X
có b
ậ
c
n
≥
, ngh
ĩ
a là
[
]
:
K x K n
 
≥
 
. Nh
ư
ng
[

]
K K x L
⊂ ⊂
và
[
]
:
L K n
=
, ta suy ra
[
]
L K x
=
.

Hệ quả 1.
Gi
ả
s
ử

K
là m
ộ
t tr
ườ
ng
đặ
c s

ố
0 hay m
ộ
t tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n,
L
là m
ộ
t tr
ườ
ng m
ở
r
ộ
ng
có b
ậ
c n c
ủ
a
K
, và
C
là m
ộ

t tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
ch
ứ
a
K
. Lúc
đ
ó có
đ
úng
n

K
-
đẳ
ng c
ấ
u t
ừ

L
vào
C

.
Chứng minh: Đị
nh lí 1 cho th
ấ
y t
ồ
n t
ạ
i c
ủ
a nhi
ề
u
đẳ
ng c
ấ
u phân bi
ệ
t
1
, ,
n
σ σ
t
ừ
L vào C.
Đị
nh lí 2 cho ta s
ự
t

ồ
n t
ạ
i c
ủ
a ph
ầ
n t
ử
nguyên th
ủ
y
x
sao cho
[
]
L K x
=
. Gi
ả
s
ử

τ
là m
ộ
t K –
đẳ
ng c
ấ

u t
ừ
L vào C; ta ch
ứ
ng minh
i
τ σ
=
v
ớ
i m
ộ
t
i
nào
đ
ó. Th
ậ
t v
ậ
y,
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u
(

)
F X

c
ủ
a
x
có b
ậ
c là
n
và nh
ậ
n
(
)
(
)
1
, ,
n
x x
σ σ
là các nghi
ệ
m phân bi
ệ
t c
ủ
a nó. M

ặ
t khác
(
)
x
τ

c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a
(
)
F X
, v
ậ
y
(
)
x
τ
ph
ả
i trùng v
ớ
i m
ộ

t
(
)
i
x
σ
nào
đ
ó, ch
ẳ
ng h
ạ
n
(
)
1
x
σ
.
Nh
ư
ng
x
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
nguyên th

ủ
y c
ủ
a L, nên
(
)
1
1, , ,
n
x x
−
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a L trên K. Vì
(
)
(
)
1
x x
τ σ
=
, nên
(

)
(
)
1
i i
x x
τ σ
= ,
0, , 1
i n
= −
, do
τ
và
1
σ
là nh
ữ
ng K –
đẳ
ng c
ấ
u; v
ậ
y
(
)
(
)
1

y y
τ σ
=
v
ớ
i m
ọ
i
y L
∈
hay
1
τ σ
=
.
■
2.2.3. Phần tử nguyên của các trường toàn phương.

Định nghĩa 1.
Ng
ườ
i ta g
ọ
i là

tr
ườ
ng toàn ph
ươ
ng m

ọ
i m
ở
r
ộ
ng b
ậ
c 2 c
ủ
a tr
ườ
ng
ℚ
các s
ố
h
ữ
u
t
ỉ
.
Định lí 1.
M
ọ
i tr
ườ
ng toàn ph
ươ
ng K có d
ạ

ng
d
 
 
ℚ
trong
đ
ó d là m
ộ
t s
ố
nguyên không có
nhân t
ử
là bình ph
ươ
ng c
ủ
a m
ộ
t s
ố
nguyên khác 1.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
K là m
ộ

t tr
ườ
ng toàn ph
ươ
ng, m
ọ
i
x K
∈ −
ℚ
có b
ậ
c 2 trên
ℚ
(ngh
ĩ
a là
đ
a
th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u
(
)
(
)

F X X
∈
ℚ
c
ủ
a
x
có b
ậ
c 2), v
ậ
y là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
nguyên th
ủ
y c
ủ
a
[
]
:
K K x
=
ℚ

và

(
)
1,
x
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a K trên
ℚ
(n
o
1, nh
ậ
n xét 3)). Gi
ả
s
ử

đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể

u c
ủ
a
x
có d
ạ
ng
(
)
2
F X X bX c
= + +

( , )
b c
∈
ℚ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
2
0
x bx c
+ + =
, ta
đượ

c
2
2 4
x b b c
= − ± −
. Nh
ư
v
ậ
y,
2
4
K b c
 
= −
 
ℚ
, trong
đ
ó ta hi
ể
u
2
4
b c
−
là m
ộ
t trong hai
ph

ầ
n t
ử
c
ủ
a K mà bình ph
ươ
ng là
2
4
b c
−
. Nh
ư
ng
2
4
b c
−
là m
ộ
t s
ố
h
ữ
u t
ỉ

2
u uv

v v
= v
ớ
i
, u v
∈
ℤ
;
v
ậ
y ta c
ũ
ng có
K uv
 
=
 
ℚ
. Gi
ả
s
ử

2
uv k d
=
, v
ớ
i
, k d

∈
ℤ
và
d
không ch
ứ
a nhân t
ử
chính
ph
ươ
ng, th
ế
thì
K d
 
=
 
ℚ
.

Nhận xét 1.
1)
Đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể

u c
ủ
a
d
là
2
X d
−
;
d
có m
ộ
t liên h
ợ
p trong
K
,
đ
ó là
d
− . V
ậ
y ta có m
ộ
t
ℚ
- t
ự

đẳ

ng c
ấ
u c
ủ
a
K
bi
ế
n
d
thành
d
− .