ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐHSP TOÁN LÝ)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (738.52 KB, 63 trang )
0
ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
ðẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN LÝ)
Năm 2014
1
MỤC LỤC
Chương 1. Giải bài toán như thế nào……………………………………………………….
2
1.1. Cách giải một bài toán……………………………………………………………….
2
1.2. Các phương pháp suy luận thường gặp trong giải toán…………………………… 5
Chương 2: Các tập hợp số…………………………………………………………………
9
2.1. Tập hợp số tự nhiên………………………………………………………………….
9
2.2. Số nguyên…………………………………………………………………………….
10
2.3. Số hữu tỉ……………………………………………………………………………
12
2.4. Số thực……………………………………………………………………………….
18
Chương 3: ða thức- Phân thức hữu tỉ………………………………………………………
23
3.1. ða thức……………………………………………………………………………….
23
3.2. Phân thức hữu tỉ……………………………………………………………………
31
Chương 4: Hàm số và ñồ thị…………………………………………………………………
35
4.1. Khái niệm hàm số và ñồ thị hàm số………………………………………………….
35
4.2. Một vài phép biến ñổi ñồ thị…………………………………………………………
36
4.3. Khảo sát một hàm số bằng phương pháp sơ cấp……………………………………
37
Chương 5: Phương trình – Hệ phương trình………………………………………………
42
5.1. Phương trình………………………………………………………………………….
42
5.2. Hệ phương trình……………………………………………………………………
45
Chương 6: Bất phương trình- Hệ bất phương trình……………………………………….
52
6.1. Bất ñẳng thức………………………………………………………………………
52
6.2. Bất phương trình- Hệ bất phương……………………………………………………
55
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………
62
2
CHƯƠNG 1
Giải bài toán như thế nào
Số tiết: 05 (Lý thuyết: 04 tiết; bài tập, thảo luận: 01 tiết)
A) MỤC TIÊU
Chương này gồm hai phần. Phần thứ nhất của chương trang bị cho người học các bước giải
một bài toán, bao gồm: tìm hiểu ñầu bài; xây dựng chương trình giải; thực hiện chương trình
giải; kiểm tra kết quả và biện luận. Ba bước ñầu tiên rèn cho người học khi ñứng trước một bài
toán dễ dàng ñịnh hình ñược các công việc chính, trên cơ sở ñó từng bước tiếp cận, vận dụng các
kiến thức liên quan ñể hoàn thành lời giải của bài toán ñã cho. Bước thứ tư rèn cho người học
biết cách phân tích ñể khai thác bài toán theo nhiều góc ñộ, ñây là một nhiệm vụ quan trọng, ñặc
biệt là ñối với người học là các sinh viên ngành sư phạm toán. Phần thứ hai trang bị cho người
học một số phương pháp suy luận thường dùng như: phân tích và tổng hợp; quy nạp; tương tự;
ñặc biệt hoá; tổng quát hoá. Qua ñó, người học biết vận dụng chúng trong quá trình tư duy và
quá trình lập luận khi giải toán.
B) NỘI DUNG
1.1. Cách giải một bài toán
Thông thường ñể giải một bài toán, người ta thường trải qua các công ñoạn: tìm hiểu ñầu
bài; xây dựng chương trình giải; thực hiện chương trình giải; kiểm tra kết quả và biện luận. Mặc
dù trong thực tế, không phải quá trình giải bài toán nào cũng phải tuần tự trải qua ñầy ñủ các
bước kể trên, nhưng việc tìm hiểu và vận dụng bốn bước này sẽ giúp ích khá nhiều cho việc
nghiên cứu các bài toán, ñặc biệt là ñối với những bài toán chọn lọc ñiển hình thì nhất thiết phải
ñược trình bày và phân tích kĩ lưỡng theo thứ tự các bước ñể rèn luyện các thao tác tư duy và
nắm bắt rõ bản chất.
1.1.1. Tìm hiểu ñầu bài
ðây là công việc bắt buộc ñầu tiên khi muốn giải một bài toán. Khi ñọc ñầu bài, chúng ta
cần hiểu rõ ñâu là giả thiết của bài toán và ñâu là yêu cầu của bài toán. Trên cơ sở ñó, cố gắng
khoanh vùng phạm vi của ñề toán: bài toán này thuộc vùng kiến thức nào? Cần có những kiến
thức và kĩ năng gì? Nếu giải ñược thì sẽ giải quyết ñược vấn ñề gì?
*) Lưu ý:
- Cần tìm ra mối quan hệ giữa cái cần tìm và những cái ñã biết ñối với bài toán về tìm tòi,
tính toán.
- Cần nêu rõ giả thiết, kết luận ñối với bài toán chứng minh.
- Nên sử dụng và khai thác hình vẽ trực quan ñể hỗ trợ.
- Nên chọn lựa kí hiệu phù hợp.
1.1.2. Xây dựng chương trình giải
a) Nhận dạng và tập hợp kiến thức
Trên cơ sở ñã khoanh vùng bài toán, trước hết chúng ta cố gắng nhận dạng và phân loại nó.
Tiếp ñó, chúng ta cố gắng huy ñộng và tổ chức các kiến thức ñã biết ñể tìm ra lời giải. Quá trình
3
này có thể là tự phát, thậm chí nếu ñã thao tác quen lặp lại nhiều lần nó có thể ñược tái hiện một
cách vô thức. Chẳng hạn, khi gặp bài toán “phân tích ña thức thành nhân tử” thì trong ñầu hiện
lên một loạt các phương pháp ñã biết về dạng toán này (nhóm hạng tử, ñặt nhân tử chung, thêm
bớt hạng tử, sử dụng nghiệm ña thức, dùng hằng ñẳng thức, ñặt ẩn phụ,…).
b) Phân tích bài toán ñể ñưa về những bài toán ñơn giản hơn
Một bài toán có thể ñược xây dựng từ những bài toán ñơn giản hơn. Chúng ta nên cố gắng
phân tích bài toán ñã cho, chia tách nó thành nhiều bài toán nhỏ, rồi giải từng bài toán nhỏ ấy,
sau ñó kết hợp chúng lại ñể ñược lời giải của bài toán ban ñầu. Chẳng hạn, ñể chứng minh rằng
“nếu
p
là số nguyên tố
5
p
≥
thì
2
( 1) 24
p −
⋮
”, ta có thể tách ra thành hai bài toán nhỏ: (i)
2
( 1) 8
p −
⋮
và (ii)
2
( 1) 3.
p −
⋮
c) Liên hệ và sử dụng các bài toán ñã giải
Khi gặp một bài toán mà chưa tìm ra lời giải, chúng ta hãy cố gắng nhớ lại xem ñã gặp một
bài toán tương tự hoặc có liên quan ñến bài toán ñã cho mà ta ñã biết cách giải. ðiều này rất hữu
ích vì nó giúp ta tiếp cận gần hơn bài toán ñang xét trên cơ sở kế thừa những ñiểm tương ñồng về
phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả,…
d) Mò mẫm, dự ñoán
Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, ta có thể tiến hành thử nghiệm với một số trường hợp
ñặc biệt riêng lẻ. Trên cơ sở quan sát kết quả xảy ra ñối với các trường hợp này, chúng ta sẽ có
thêm những thông tin ñể giải quyết cho trường hợp tổng quát.
e) Sử dụng bản gợi ý của Pôlya
ðứng trước một bài toán khó, nhiều khi chúng ta hoang mang thậm chí mất phương hướng
và rất khó tiếp cận trong thời gian ngắn. Các gợi ý sau của Pôlya giúp cho chúng ta bình tĩnh ñể
từng bước tháo gỡ tiến tới giải quyết bài toán ñã cho.
- Bạn ñã gặp bài toán này hay bài toán tương tự lần nào chưa?
- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một ñịnh lí nào có thể sử dụng ở ñây ñược
không?
- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn
tương tự.
- ðây là một bài toán liên quan mà bạn ñã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không? Có thể
sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Có cần phải
ñưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng ñược không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?
- Nếu bạn vẫn chưa giải ñược bài toán ñã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan mà dễ
hơn ñược không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp ñặc biệt? Một bài toán
tương tự? Một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số ñiều kiện, bỏ qua các ñiều kiện
khác. Khi ñó ẩn sẽ ñược xác ñịnh ñến một chừng mực nào ñó, nó biến ñổi như thế nào?
Có thể nghĩ ra những dữ kiện khác giúp bạn xác ñịnh ñược ẩn không? Có thể thay ñổi ẩn
hoặc các dữ kiện (hoặc cả hai) sao cho ẩn mới và các giữ kiện mới gần nhau hơn không?
- Bạn ñã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? ðã sử dụng hết các quan hệ chưa? ðã ñể ý ñến
mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
4
1.1.3. Thực hiện chương trình giải
Khác với việc xây dựng chương trình giải, kết quả của việc thực hiện chương trình giải thể
hiện ở việc trình bày lời giải ñầy ñủ của bài toán. ðể lời giải ñảm bảo chính xác, ñúng ñắn cần sử
dụng những lập luận ñúng, có căn cứ. mấu chốt ở ñây là phải nắm vững và vận dụng các kiến
thức về lôgic Toán.
Lời giải cần ñảm bảo gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ ñọc ñể bản thân và người khác dễ
theo dõi, kiểm chứng. Do ñó trình tự của nhiều chi tiết, nhiều công ñoạn khi tìm tòi xây dựng
chương trình giải có thể ñược thay ñổi lại cho phù hợp. Tuy nhiên cũng cần lưu ý rằng, chính
ñiều này gây khó khăn và làm hạn chế người học vì họ chỉ ñược tiếp cận với lời giải mà không rõ
khi tiến hành giải phải trải qua các bước. các công ñoạn cụ thể. ðây là lí do mà trong quá trình
dạy học, chúng ta không chỉ dừng lại ở việc tìm kiếm, trình bày lời giải hay ñọc hiểu một lời giải
sẵn có mà thường coi trọng việc khai thác lời giải ñể cố gắng bóc tách xem ñằng sau mỗi lời giải
còn ẩn chứa những gì?
1.1.4. Kiểm tra kết quả và biện luận
Trong khi trình bày lời giải, rất có thể chúng ta có thiếu sót, nhầm lẫn, tồn tại. Việc kiểm tra
kết quả trước hết giúp ta khắc phục và tránh ñược những tồn tại ñó, bên cạnh ñó nó còn rèn cho
chúng ta tính cẩn thận, chắc chắn khi giải quyết một công việc. Mỗi một vấn ñề luôn nằm trong
mối quan hệ mật thiết với một loạt các vấn ñề khác, việc nhìn nhận lại toàn bộ cách giải giúp ta
tích lũy thêm kinh nghiệm, phát hiện cách giải khác, tìm ra bài toán mới, thấy ñược vị trí và phát
hiện mối quan hệ của bài toán vừa giải với các bài toán khác,… ðó là lí do mà sau khi giải xong
một bài toán, người ta thường khai thác bài toán hay ñôi khi gọi là biện luận.
Có nhiều hướng ñể tiến hành khai thác bài toán, chẳng hạn:
- Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự.
- Hướng 2: Khái quát hóa ñể phát biểu bài toán tổng quát.
- Hướng 3: ðặc biệt hóa ñể phát biểu bài toán trong một số trường hợp cụ thể hơn bài
toán ban ñầu (chú ý rằng nếu bài toán ban ñầu ñúng thì bài toán ñặc biệt luôn ñúng).
- Hướng 4: Thay ñổi giả thiết ñể xây dựng bài toán mới.
- Hướng 5: Từ ý nghĩa bài toán ñã giải dẫn ñến phương pháp giải một bài toán khác.
Ví dụ 1.1.1: Cho bài toán: “ Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2”.
Ta có thể phát biểu một vài bài toán tương tự:
(i) “Chứng minh rằng tích ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3”.
(ii) “Chứng minh rằng tích bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4”.
Từ bài toán này ta có thể xây dựng các bài toán tổng quát và bài toán ñặc biệt:
(i) Bài toán tổng quát: “Chứng minh rằng tích
n
số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho
n
”.
(ii) Bài toán ñặc biệt: “Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho
8”.
Ví dụ 1.1.2. Xuất phát từ bài toán: “ Tính biểu thức
2 2
( ) ( )
A x y x y
= + − −
” với ñáp số
4 ,
A xy
=
chúng ta có thể khai thác ñể có các bài toán:
(i) “Chứng minh nếu tổng
x y
+
không ñổi thì tích
xy
lớn nhất khi
x y
=
”.
(ii) “Chứng minh nếu
, 0
x y
>
và
xy
không ñổi thì tích
x y
+
nhỏ nhất khi
x y
=
”.
5
(iii) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
(iv) Tìm hai số khi biết hiệu và tích của chúng.
1.2. Các phương pháp suy luận thường gặp trong giải toán
1.2.1. Phân tích và tổng hợp
Phân tích là dùng trí óc ñể tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt của cái toàn thể
hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần.
Tổng hợp là dùng trí óc ñể kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái
toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể.
Trong hoạt ñộng giải toán, trước hết chúng ta phải nhìn nhận và quan sát một cách tổng thể
ñể xem bài toán ñó thuộc loại gì, cần huy ñộng những kiến thức nào, có thể sử dụng các phương
pháp nào. Bước tiếp theo, chúng ta hãy tiến hành phân tích phân tích bài toán ñã cho thành các
bài toán nhỏ. Trên cơ sở tìm ra lời giải của các bài toán bộ phận, thông qua sự tổng hợp chúng ta
sẽ ñược lời giải của bài toán ban ñầu. Cần chú ý rằng thao tác phân tích thường ñược sử dụng khi
tìm lời giải cho bài toán, còn khi trình bày lời giải ñể ñảm bảo tính ngắn gọn, người ta hay dùng
thao tác tổng hợp mặc dù biết có vẻ áp ñặt, thiếu tính tự nhiên.
Ví dụ 1.2.1. Tìm công thức giải phương trình bậc hai tổng quát
2
0 ( 0).
ax bx c a
+ + = ≠
Sau khi
chia vế trái cho
a
ta ñược:
2
0.
b c
x x
a a
+ + =
Muốn tìm nghiệm ta cần phải phân tích vế trái thành
tích hai nhân tử bậc nhất. ðã có
2
, 2
2
b b
x x x
a a
=
ta cần thêm bớt hạng tử
2
2
2
.
4
b b
a a
=
Ta có
2
2 2 2
2 2
2 2 2
4
2 .
2 4 4 2 4
b c b b b c b b ac
x x x x x
a a a a a a a a
−
+ + = + + − + = − −
ðến ñây ta thấy rằng phải xét từng trường hơph dựa theo dấu của
2
4 ,
b ac
∆ = −
…
rồi cứ thế ñối
với mỗi trường hợp lại phân tích tiếp. Tuy nhiên khi trình bày lời giải, ta lại theo phương pháp
tổng hợp như sau:
Phương trình tương ñương với
2
2
2
0, -4 .
2 4
b
x b ac
a a
∆
− − = ∆ =
Ta có:
+)
0 :
∆ >
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1,2
;
2
b
x
a
− ± ∆
=
+)
0 :
∆ =
Ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m kép
1 2
;
2
b
x x
a
= = −
+)
0 :
∆ =
Ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
1.2.2. Quy nạp
Quy nạp là phương pháp suy luận mà kết luận chung cho mọi trường hợp dựa vào các khẳng
ñịnh trên một số trường hợp riêng.
Có hai loại quy nạp: quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn.
(i) Quy nạp không hoàn toàn: là quy nạp trong ñó kết luận chung cho mọi trường hợp chỉ
dựa vào các khẳng ñịnh trên một số trường hợp riêng, cụ thể mà không phải dựa vào tất
6
cả các trường hợp. Do ñó chúng ta chưa thể biết chính xác giá trị chân lí của kết luận
(chưa biết ñược tính ñúng, sai).
(ii) Quy nạp hoàn toàn: là quy nạp trong ñó kết luận chung cho mọi trường hợp ñược chứng
minh là ñúng hoặc dựa vào việc thử nghiệm tất cả các trường hợp (chỉ có thể áp dụng cho
tập hữu hạn). Do ñó chúng ta hoàn toàn biết kết luận luôn ñúng.
Trong toán học người ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học ñể chứng minh cho kết
luận của quy nạp hoàn toàn. Giả sử cần chứng minh khẳng ñịnh
( )
A n
là ñúng ñối với mọi số
tự nhiên
,
n p p
≥
là số tự nhiên cho trước. Ta tiến hành theo hai bước sau:
(i) Bước cơ sở: kiểm tra
( )
A p
ñúng.
(ii) Bước quy nạp: giả sử
( )
A n
là ñúng ñối với số tự nhiên
.
n p
≥
Ta chứng minh
( 1)
A n
+
là
ñúng.
Ví dụ 1.2.2. Từ quan sát thấy
2 2 2 2
1 1,2 1,3 1,4 1
+ + + +
không chia hết cho 3, ta rút ra kết luận
2
1
n
+
không chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương
.
n
ðây là phép quy nạp không hoàn toàn,
kết luận này ñúng.
Ví dụ 1.2.3. Từ quan sát thấy
1 2 3
2 2 2
2 1 5,2 1 17,2 1 257
+ = + = + =
là các số nguyên tố, ta rút ra
kết luận
2
2 1
n
+
(số Fermat) là các số nguyên tố với mọi số nguyên dương
.
n
Số nguyên tố dạng
này ñược gọi là số nguyên tố Fermat. ðây là phép quy nạp không hoàn toàn, kết luận này sai vì
Ơle ñã chỉ ra
5
2
2 1
+
có
ướ
c nguyên t
ố
là 641 (nh
ờ
máy tính
ñ
i
ệ
n t
ử
, ng
ườ
i ta
ñ
ã bi
ế
t
ñượ
c r
ấ
t
nhi
ề
u s
ố
Fermat không là nguyên t
ố
) [2].
Ví dụ 1.2.4.
T
ừ
quan sát th
ấ
y
11 3 3 5,13 3 5 5,15 3 5 7,17 3 7 7
= + + = + + = + + = + +
, ta rút ra k
ế
t
lu
ậ
n m
ỗ
i s
ố
l
ẻ
l
ớ
n h
ơ
n 9 là t
ổ
ng c
ủ
a ba s
ố
nguyên t
ố
.
ð
ây là phép quy n
ạ
p không hoàn toàn, k
ế
t
lu
ậ
n này
ñế
n nay v
ẫ
n ch
ư
a bi
ế
t
ñ
úng sai (bài toán Gônbách t
ừ
n
ă
m 1742).
1.2.3. Tương tự
Là ph
ươ
ng pháp suy lu
ậ
n mà t
ừ
hai
ñố
i t
ượ
ng gi
ố
ng nhau
ở
m
ộ
t s
ố
d
ấ
u hi
ệ
u, ta d
ự
ñ
oán
chúng c
ũ
ng gi
ố
ng nhau
ở
d
ấ
u hi
ệ
u khác. Ch
ẳ
ng h
ạ
n xét hai
ñố
i t
ượ
ng X, Y, trong
ñ
ó ta
ñ
ã bi
ế
t X
có các d
ấ
u hi
ệ
u a, b, c, d còn Y có các d
ấ
u hi
ệ
u a, b, c. Trên c
ơ
s
ở
bi
ế
t
ñượ
c m
ộ
t s
ố
t
ươ
ng
ñồ
ng
gi
ữ
a X và Y, ta d
ự
ñ
oán r
ằ
ng Y c
ũ
ng có d
ấ
u hi
ệ
u d. M
ặ
c dù ta ch
ư
a th
ể
kh
ẳ
ng
ñị
nh rõ tính
ñ
úng
sai c
ủ
a k
ế
t lu
ậ
n trong phép t
ươ
ng t
ự
, nh
ư
ng
ñ
i
ề
u này c
ũ
ng r
ấ
t h
ữ
u ích vì nó góp ph
ầ
n phái hi
ệ
n
tìm tòi ra cái m
ớ
i.
Trong ho
ạ
t
ñộ
ng gi
ả
i toán, s
ử
d
ụ
ng suy lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự
ñể
liên h
ệ
bài toán c
ầ
n gi
ả
i v
ớ
i bài
toán
ñ
ã gi
ả
i có th
ể
giúp ta nhanh chóng tìm ra l
ờ
i gi
ả
i. Trong vi
ệ
c l
ậ
p lu
ậ
n trình bày l
ờ
i gi
ả
i,
ñể
tránh vi
ệ
c l
ặ
p
ñ
i l
ặ
p l
ạ
i dài dòng không c
ầ
n thi
ế
t, khi g
ặ
p trình t
ự
lôgic t
ươ
ng t
ự
và không có gì
m
ớ
i l
ạ
thì ta vi
ế
t g
ọ
n là “ t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên ta có…”, ho
ặ
c “ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
ta
ñượ
c…”.
*) Lưu ý: ðể
nâng cao
ñộ
tin c
ậ
y c
ủ
a k
ế
t lu
ậ
n khi s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp t
ươ
ng t
ự
, chúng ta c
ầ
n
chú ý các
ñ
i
ể
m d
ướ
i
ñ
ây:
(i)
C
ố
g
ắ
ng xác l
ậ
p càng nhi
ề
u càng t
ố
t các d
ấ
u hi
ệ
u chung cho các
ñố
i t
ượ
ng
ñượ
c so sánh.
(ii)
C
ầ
n ch
ọ
n sao cho các d
ấ
u hi
ệ
u chung là d
ấ
u hi
ệ
u
ñ
i
ể
n hình c
ủ
a các
ñố
i t
ượ
ng
ñượ
c so
sánh, ngh
ĩ
a là có liên h
ệ
m
ậ
t thi
ế
t v
ớ
i các thu
ộ
c tính khác c
ủ
a các
ñố
i t
ượ
ng
ñượ
c so
sánh.
7
(iii) C
ầ
n ch
ọ
n sao cho các d
ấ
u hi
ệ
u chung có nhi
ề
u
ñ
i
ể
m t
ươ
ng
ñồ
ng v
ớ
i d
ấ
u hi
ệ
u k
ế
t lu
ậ
n.
(iv)
C
ầ
n ch
ọ
n sao cho các d
ấ
u hi
ệ
u chung là d
ấ
u hi
ệ
u
ñặ
c tr
ư
ng, riêng bi
ệ
t c
ủ
a các
ñố
i t
ượ
ng
ñượ
c so sánh.
1.2.4. ðặc biệt hoá
Là suy lu
ậ
n chuy
ể
n t
ừ
vi
ệ
c kh
ả
o sát m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p sang vi
ệ
c kh
ả
o sát m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p con c
ủ
a nó.
ðặ
c bi
ệ
t hóa có tác d
ụ
ng
ñể
ki
ể
m nghi
ệ
m l
ạ
i k
ế
t qu
ả
trong nh
ữ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p riêng ho
ặ
c
ñể
tìm
ra nh
ữ
ng k
ế
t qu
ả
c
ụ
th
ể
h
ơ
n, sâu s
ắ
c h
ơ
n. Trong gi
ả
i toán, vi
ệ
c xét tr
ườ
ng h
ợ
p
ñặ
c bi
ệ
t có khi
g
ợ
i ý cho ta tìm
ñượ
c ph
ươ
ng pháp gi
ả
i bài toán
ñ
ang xét.
Ví dụ 1.2.5.
Ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
2
0 ( 0)
ax bx c a
+ + = ≠
v
ớ
i các h
ệ
s
ố
th
ỏ
a mãn
0
a b c
+ + =
v
ớ
i
0
a b c
− + =
là tr
ườ
ng h
ợ
p riêng c
ủ
a ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai t
ổ
ng quát có hai nghi
ệ
m là
1,
c
a
(t
ươ
ng
ứ
ng
1,
c
a
−
).
1.2.5. Tổng quát hoá
ð
ây là suy lu
ậ
n chuy
ể
n t
ừ
vi
ệ
c kh
ả
o sát m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p
ñố
i t
ượ
ng sang vi
ệ
c kh
ả
o sát m
ộ
t t
ậ
p
h
ợ
p
ñố
i t
ượ
ng r
ộ
ng h
ơ
n. Nh
ờ
t
ổ
ng quát hóa, chúng ta có th
ể
ñề
xu
ấ
t
ñượ
c nh
ữ
ng gi
ả
thuy
ế
t, d
ự
ñ
oán. T
ổ
ng quát hóa m
ộ
t bài toán cho ta m
ộ
t bài toán r
ộ
ng h
ơ
n, trong m
ộ
t s
ố
tr
ườ
ng h
ợ
p giúp ta
tìm tòi l
ờ
i gi
ả
i thu
ậ
n ti
ệ
n h
ơ
n. Ng
ườ
i ta c
ũ
ng g
ọ
i t
ổ
ng quát hóa là
khái quát hóa
.
Ví dụ 1.2.6.
Sau khi bi
ế
t cách gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
2
0 ( 0)
ax bx c a
+ + = ≠
, ta có th
ể
t
ổ
ng
quát hóa b
ằ
ng cách xét các ph
ươ
ng trình tam th
ứ
c d
ạ
ng
2
0 ( 0, *).
n n
ax bx c a n
+ + = ≠ ∈
ℕ
*) Chú ý:
Ngoài các ph
ươ
ng pháp suy lu
ậ
n ch
ủ
y
ế
u
ở
trên, trong gi
ả
i toán chúng ta th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng k
ế
t h
ợ
p r
ấ
t nhi
ề
u ph
ươ
ng pháp khác nh
ư
: ph
ươ
ng pháp suy di
ễ
n, ph
ươ
ng pháp ph
ả
n ch
ứ
ng,
ph
ươ
ng pháp tr
ừ
u t
ượ
ng hóa, ph
ươ
ng pháp c
ụ
th
ể
hóa (xem [1]),… và m
ộ
t lo
ạ
t các quy t
ắ
c suy
lu
ậ
n
ñượ
c trình bày trong lôgic toán.
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:
[1] Hoàng K
ỳ
, Hoàng Thanh Hà (2009),
ðại số sơ cấp và Thực hành giải Toán, Nhà xuất bản
ðại học Sư phạm.
D) CÂU HỎI , BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
Thực hành giải toán Chương 1
Chủ ñiểm 1: Cách giải một bài toán
Giải và khai thác các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho
abc
là một số nguyên tố. Chứng minh phương trình
2
0
ax bx c
+ + =
không có
nghiệm hữu tỉ.
Bài toán 2: Cho
,
x y
là các số thỏa mãn
3 3 3
( ) .
x y x y
+ = +
Chứng minh rằng
8
5 5 5
( ) .
x y x y
+ = +
Bài toán 3: Cho
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2).
N n n n
= + + + + + +
⋯
Chứng minh rằng
4 1
N
+
là một số chính phương.
Bài toán 4: Cho
,
p q
là các số nguyên tố khác nhau,
2, 5
q q
> ≠
. Chứng minh rằng tồn tại số
nguyên
k
sao cho
.
k
pp p q
… ⋮
Chủ ñiểm 2: Các phương pháp suy luận và năng lực tư duy
Hãy tìm trong chương trình toán THCS những bài toán thể hiện ñược các phương pháp suy luận
ñã trình bày trong Phần 1.2.
Bài tập
Giải và khai thác các bài toán sau:
1) Giải hệ phương trình
1 2
2
2 3
3
3 1
1
1 1
2
1 1
2
1 1
2
x x
x
x x
x
x x
x
= +
= +
= +
.
2)
ð
i
ề
n các
ñơ
n th
ứ
c thích h
ợ
p vào các d
ấ
u ? trong
ñẳ
ng th
ứ
c sau:
3 3
(? ?)(? 3 ?) (?) (?) .
xy+ + + = −
3)
Cho
2.
x y
+ =
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1.
xy
≤
4)
Cho s
ơ
ñồ
,
ñặ
t
ñầ
u bài thích h
ợ
p
5)
Tìm các c
ặ
p s
ố
nguyên d
ươ
ng có t
ổ
ng b
ằ
ng tích.
6)
Tính t
ổ
ng
1.2 2.3 3.4 ( 1) 2.
S n n
= + + + + + =
⋯
7)
Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng
, .
x y
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
.
2
x y
xy
+
≥
8)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tích ba s
ố
nguyên liên ti
ế
p chia h
ế
t cho 3.
9)
Tìm các s
ố
nguyên
,
x y
th
ỏ
a mãn
2 3 12.
x y
+ =
9
CHƯƠNG 2
Các tập hợp số
Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 02 tiết)
A) MỤC TIÊU
Chương này trang bị cho người học quá trình xây dựng, mở rộng các tập số, bao gồm: tập số
tự nhiên
,
ℕ
tập số nguyên
,
ℤ
tập số hữu tỉ
,
ℚ
tập số thực
.
ℝ
Người học có ñiều kiện ôn tập và
củng cố lại các phép toán, quan hệ thứ tự trên các tập số, mối quan hệ giữa các tập số ñể từ ñó
vận dụng giải các bài tập theo một số chủ ñiểm trong phần thực hành giải toán. Qua nội dung của
chương, người học người học bước ñầu thấy ñược khái niệm con số là khái niệm khá trừu tượng
và ñể xây dựng tập số phải trải qua nhiều cấp ñộ, sử dụng nhiều công cụ toán học.
B) NỘI DUNG
2.1. Tập hợp số tự nhiên
2.1.1. Nhắc lại khái niệm số tự nhiên
Trước hết chúng ta thừa nhận: mỗi tập hợp ñều có một bản số, bản số của tập
A
ñược kí
hiệu là
A
hay
Card .
A
Hai tập
,
A B
là tương ñương (nghĩa là có song ánh từ tập này ñến tập
kia) thì có cùng bản số:
.
A B
=
Bản số của một tập hữu hạn ñược gọi là một số tự nhiên. Kí hiệu tập tất cả các số tự nhiên là
.
ℕ
Qua ñây chúng ta thấy bản số là khái niệm mở rộng của “số lượng”.
2.1.2. Quan hệ thứ tự
Cho hai số tự nhiên
, .
a b
Giả sử
,
A B
là hai tập hợp thỏa mãn
, .
a A b B
= =
Nếu có một
ñơn ánh từ
A
ñến
B
thì ta nói
a
nhỏ hơn hay bằng
b
và viết:
.
a b
≤
Tập số tự nhiên là
ℕ
cùng
với quan hệ
" "
≤
nói trên là một tập sắp thứ tự. Theo Cantor, luôn có một ñơn ánh từ
A
ñến
B
hoặc từ
B
ñến
A
và nếu có cả hai ñiều này thì A và B tương ñương với nhau. Do ñó quan hệ thứ
tự trên
ℕ
là toàn phần. Hơn thế nữa, người ta còn chứng minh ñược tập số tự nhiên
ℕ
là tập sắp
thứ tự tốt (mọi tập con khác rỗng luôn có phần tử nhỏ nhất).
2.1.3. Các phép toán
a) Phép cộng: Cho hai số tự nhiên
, .
a b
Giả sử
,
A B
là hai tập hợp hữu hạn thỏa mãn
, ,
a A b B
= =
.
A B
= Φ
∩
Ta gọi
A B
∪
là tổng của hai số tự nhiên
, .
a b
Kí hiệu
.
a b
+
b) Phép nhân: ho hai số tự nhiên
, .
a b
Giả sử
,
A B
là hai tập hợp hữu hạn thỏa mãn
, .
a A b B
= =
Ta gọi
A B
×
là tích của hai số tự nhiên
, .
a b
Kí hiệu
.
ab
c) Phép trừ: ho hai số tự nhiên
, .
a b
Nếu có số tự nhiên
c
sao cho
a c b
+ =
thì ta nói
c
là hiệu
của
b
và
.
a
Kí hiệu
.
b a c
− =
ðịnh lí 2.1.1. (i) Phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, nghĩa là
,
a b b a ab ba
+ = + =
với mọi
, .
a b
∈
ℕ
10
(ii) Phép cộng và phép nhân có tính chất kết hợp, nghĩa là
( ) ( ), ( ) ( )
a b c a b c ab c a bc
+ + = + + =
với mọi
, , .
a b c
∈
ℕ
(iii) Phép nhân có tính chất phân phối ñối với phép cộng, nghĩa là:
( )
a b c ab ac
+ = +
với mọi
, , .
a b c
∈
ℕ
(iv)
( , ), ( *,.)
+
ℕ ℕ
(
{
}
* \ 0
=
ℕ ℕ
) là các vị nhóm giao hoán thỏa mãn luật giản ước, nghĩa là:
, , ,
a c b c a b a b c
+ = + ⇒ = ∀ ∈
ℕ
, , N*.
ac bc a b a b c
= ⇒ = ∀ ∈
(v) Phép cộng và phép nhân có tính chất bảo toàn quan hệ thứ tự, nghĩa là
a b a c b c
≤ ⇒ + ≤ +
và
, , .
a b ac bc a b c
≤ ⇒ ≤ ∀ ∈
ℕ
Hơn nữa, ta còn có
, ,
a b a c b c a b c
< ⇒ + < + ∀ ∈
ℕ
và
, , *.
a b ac bc a b c
< ⇒ < ∀ ∈
ℕ
(vi) Phép nhân có tính chất phân phối ñối với phép trừ, nghĩa là:
( )
a b c ab ac
− = −
với mọi
, , , .
a b c b c
∈ ≥
ℕ
d) Phép chia
Cho hai số tự nhiên
, , 0.
a b b
≠
Nếu có số tự nhiên
c
sao cho
a bc
=
thì ta nói
a
chia hết
cho
b
(kí hiệu
a b
⋮
) hay
a
là bội số cho
b
hoặc
b
là ước số của
a
(kí hiệu
|
b a
), và gọi
c
là
thương của
a
và
.
b
Kí hiệu
: .
a b c
=
ðịnh lí 2.1.2. Cho hai số tự nhiên
, , 0.
a b b
≠
Khi ñó luôn tồn tại duy nhất một cặp số tự nhiên
( , )
q r
sao cho
, 0 .
a bq r r b
= + ≤ <
Người ta lần lượt gọi
q
và
r
là thương và số dư của phép chia
a
cho
.
b
e) Lũy thừa
Cho hai số tự nhiên
, , 0.
a n n
≠
ðặt
n
n
a aa a
=
⋯
và ñọc là a lũy thừa n. Số
a
ñược gọi là cơ
số,
n
gọi là số mũ của lũy thừa. Nếu
0,
a
≠
ta quy ước
0
1.
a
=
ðịnh lí 2.1.3. Với mọi
, , , ,
a b m n
∈
ℕ
ta có các khẳng ñịnh sau:
(i)
;
n m m n
a a a
+
=
(ii)
: ( );
n m n m
a a a n m
−
= ≥
(iii)
( ) ;
n m nm
a a
=
(iv)
( : ) :
n n n
a b a b
=
với
.
a b
⋮
2.2. Số nguyên
2.2.1. Nhắc lại cách xây dựng vành số nguyên
ðịnh lí 2.2.1. Tồn tại một miền nguyên
Z
và một ñơn ánh
:f
→
ℕ
Z
sao cho
(i) f vừa là một ñơn cấu nửa nhóm cộng, vừa là một ñơn cấu nửa nhóm nhân.
11
(ii) Các phần tử của
Z
có dạng
(
)
(
)
– .
f a f b
(iii) Cặp
( , )
f
ℤ
xác ñịnh như trên là duy nhất sai khác một ñẳng cấu, nghĩa là nếu cặp
(
)
,
P g
với
P
là một vành và
:
g P
→
ℕ
là một ñơn ánh, sao cho g vừa là một ñơn cấu nửa
nhóm cộng, vừa là ñơn cấu nửa nhóm nhân, và mọi phần tử của P ñều có dạng
(
)
(
)
– ,
g a g b
thì tồn tại một ñẳng cẩu
:
P
ϕ
→
Z
sao cho
.
f g
ϕ
=
ðịnh nghĩa 2.2.2. Vành
Z
xác ñịnh như trên ñược gọi là vành các số nguyên.
ðịnh lí 2.2.3. Vành các số nguyên
Z
là vành cực tiểu, theo quan hệ bao hàm, chứa tập các số tự
nhiên
ℕ
như một nửa nhóm cộng và nửa nhóm nhân. ðảo lại, mọi vành cực tiểu chứa tập các số
tự nhiên
ℕ
như một nửa nhóm cộng và nửa nhóm nhân ñều trùng với
Z
(sai khác một ñẳng cấu
vành).
Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu về tính sắp thứ tự trên vành số nguyên. Trước hết xin nhắc
lại một số khái niệm và kết quả về vành sắp thứ tự.
a) Vành sắp thứ tự
ðịnh nghĩa 2.2.4. Vành giao hoán A có ñơn vị 1 ≠ 0 ñược gọi là một vành sắp thứ tự nếu A ñược
trang bị một quan hệ thứ tự toàn phần ≥ thỏa mãn ñược hai ñiều kiện sau:
(i) x ≥ y kéo theo x + z ≥ y + z với mọi
, , .
x y z A
∈
(ii) Với mọi
, ,
x y A
∈
ta có x ≥ 0 và y ≥ 0 kéo theo xy ≥ 0.
Vành A sắp thứ tự ñược gọi là một vành sắp thứ tự Archimede nếu với mọi
, A
x y
∈
và x > 0
ñều tồn tại một số tự nhiên n ñể nx > y. Một bộ phận M của vành sắp thứ tự A ñược gọi là bị
chặn trên (chặn dưới) nếu tồn tại một phần tử
A
a
∈
sao cho a ≥ x (x ≥ a) với mọi
.
x M
∈
Một
bộ phận của vành sắp thứ tự ñược gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Với A là một vành sắp thứ tự, thì do x + (–x) = 0 nên với mỗi x ta có hoặc x ≥ 0 hoặc –x ≥ 0.
Lại do 1 = 1.1 = (–1).( –1) và x
2
= x.x = (–x)( –x) nên 1 > 0 và x
2
≥ 0. Bởi 1 > 0 nên n.1 ≥ 1 > 0
với mọi số tự nhiên n > 0. Vậy vành sắp thứ tự là một vành có ñặc số 0. Với mỗi x ≠ 0, ta luôn có
hoặc x > 0 hoặc x < 0. Các phần tử x > 0 ñược gọi là các phân tử dương, các phần tử y < 0 ñược
gọi là các phần tử âm. Kí hiệu
A
+
và
A
−
là tập các phần tử dương và âm tương ứng của A. Từ
các lập luận trên ta lập tức rút ra
A A
+ −
∩ = Φ
và
{0}
A A A
+ −
= ∪ ∪ .
Ngoài ra, bởi
(
)
– – ,
x y xy
=
nên nếu xy > 0 và x > 0 thì y > 0. Vậy ta có hệ quả sau:
Trong vành sắp thứ tự A, người ta ñưa ra khái niệm trị tuyệt ñối của một phần tử như sau:
ðịnh nghĩa 2.2.5. Trị tuyệt ñối của một phần tử
a A
∈
, ký hiệu |a|, ñược xác ñịnh bởi
khi 0
khi 0
a a
a
a a
≥
=
− <
.
Dễ dàng chứng minh các tính chất sau ñây của trị tuyệt ñối.
Mệnh ñề 2.2.6. Cho
, , ,
a b c d
là các phẩn tử của một trường sắp thứ tự với c ≠ 0, d ≥ 0. Khi
ñó ta có:
12
(i)
,
ab a b
=
a
a
c c
=
.
(ii)
, | | | | .
a b a b a b a b a b a b
+ ≤ + − ≤ − ≤ + ≤ +
(iii)
a d
≤
khi và chỉ khi
– .
d a d
≤ ≤
b) Quan hệ thứ tự trong
Z
ðịnh nghĩa 2.2.6. Trong
Z
ta xác ñịnh các quan hệ tứ tự ≥ như sau: Với mọi
, ,
x y x y
∈ >
Z
nếu
và chỉ nếu
x y
− ∈
ℕ
.
Mệnh ñề 2.2.7. Quan hệ ≥ xác ñịnh như trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong
Z
.
ðịnh lý 2.2.8. Vành các số nguyên
Z
với quan hệ thứ tự ñã ñược xác ñịnh, là một vành sắp thứ
tự Archimede.
Mệnh ñề 2.2.9. Nếu x > y thì x ≥ y + 1.
ðịnh lý 2.2.10. Mọi bộ phận của vành các số nguyên
Z
bị chặn trên, ñều có phần tử lớn nhất.
Mọi bộ phận của vành các số nguyên
Z
bị chặn dưới, ñều có phần tử nhỏ nhất.
2.2.2. Lý thuyết chia hết trên vành số nguyên
a) Quan hệ chia hết
ðịnh nghĩa 2.2.11. Số nguyên a ñược gọi là chia hết cho một số nguyên b, hay b chia hết cho a
nếu tồn tại một số nguyên c sao cho
.
a bc
=
Khi a chia hết cho b ta viết
a b
⋮
hoặc
|
b a
và b
ñược gọi là ước của a, còn a ñược gọi là bội của b.
Nhận xét 2.2.12. Số nguyên a chia hết cho 0 khi và chỉ khi
0.
a
=
Do ñó bội của số 0 chỉ là 0.
Tuy nhiên tập các ước của 0 lại là toàn bộ
.
Z
Các tính chất cơ bản:
(i) 1 | a với mọi a
∈
Z
và a | a với mọi a
.
∈
Z
(ii) Nếu a | b và b | c thì a | c.
(iii) Nếu b
≠
0 và a | b thì |a|
≤
|b|.
(iv) Nếu a | b
i
thì a |
1
n
i i
i
b x
=
∑
với mọi
x
i
.
∈
Z
(v) Nếu
a | b
và
b | a
thì
a b
=
hoặc
a b
= −
.
(vi) Quan hệ chia hết trong
Z
có tính phản xạ, bắc cầu, nhưng không có tính ñối xứng.
(vii) Quan hệ chia hết trong
Z
có tính phản ñối xứng.
b) Phép chia với dư
ðịnh lí 2.2.13. Với mỗi cặp số nguyên a và b
≠
0, luôn luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên
q, r với 0
r
≤
< |b| ñể
.
a qb r
= +
13
2.2.3. Ước chung lớn nhất - Bội chung nhỏ nhất
a) Ước chung lớn nhất
ðịnh nghĩa 2.2.14. Cho các số nguyên
1
, , , .
n
a a d
…
(i)
d
ñược gọi là một ước chung của các số
1
, ,
n
a a
…
nếu
| , 1, , .
i
d a i n
=
…
(ii) d ñược gọi là ước chung lớn nhất của
1
, ,
n
a a
…
nếu d chia hết cho mọi ước chung của chúng.
Chú ý 2.2.15. Cho các số nguyên
1
, ,
n
a a
…
.
(i) Nếu
1
, ,
n
a a
…
không ñồng thời bằng 0 thì tập các ước chung của
1
, ,
n
a a
…
là hữu hạn và
khác rỗng. Trong trường hợp này
1
, ,
n
a a
…
có hai ước chung lớn nhất là hai số ñối nhau.
Kí hiệu (
1
, ,
n
a a
) là số dương trong hai số này. Dễ thấy rằng (
1
, ,
n
a a
…
) là số lớn nhất
trong tất cả các ước chung của
1
, ,
n
a a
…
.
(ii) Nếu
(
)
1
, , 1
n
a a
=
…
thì
1
, ,
n
a a
…
ñược gọi là nguyên tố cùng nhau.
(iii) Các số
1
, ,
n
a a
…
ñược gọi là nguyên tố sánh ñôi, hay ñôi một nguyên tố cùng nhau nếu
(
)
, 1
i j
a a
=
với mọi
, 1, , , j.
i j n i
= ≠
…
(iv) Nếu
1 2
0
n
a a a
= = = =
⋯
thì (
1
, ,
n
a a
…
) = 0.
(v) (0,
1
, ,
n
a a
…
)
=
(
1
, ,
n
a a
…
).
(vi)
(
)
(
)
1 1
1, , , 1, , , 1.
n n
a a a a
= − =
… …
(vii)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
, , , , , .
n n n
a a a a a
−
=
… …
Tính chất này chỉ ra cách tìm ước chung lớn nhất của
nhiều số ñược quy về việc tìm ước chung lớn nhất của 2 số.
(viii)
(
)
(
)
1 1,
, , , ,
n n
ka ka k a a
=
… …
với mọi
.
k
∈
ℤ
(ix) Nếu
a bc d
= +
thì
(
)
(
)
, ,
a b b d
=
với mọi
, , , .
a b c d
∈
ℤ
Thuật toán Euclid: Giả sử a và b là hai số nguyên dương với
a b
≥
và ñặt
0 1
, .
r a r b
= =
Bằng cách áp dụng liên tiếp thuật toán chia, ta ñược:
0 1 1 2
1 2 2 3
2 1 1
1
n n n n
n n n
r r q r
r r q r
r r q r
r r q
− − −
−
= +
= +
… … …
= +
=
với
1 2
0.
n
r r r
> > > >
⋯
Cuối cùng, số 0 sẽ xuất hiện trong dãy phép chia liên tiếp, vì dãy
các số dư
1 2
0
n
b r r r
= > > > ≥
⋯
không thể chứa quá b số. Hơn nữa từ (ix) ta suy ra
14
(
)
0 1 1 2 2 1 1
, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,0) .
n n n n n n
a b r r r r r r r r r r
− − −
= = = = = = =
⋯
Do ñó ước chung lớn nhất của a và b là số dư khác 0 cuối cùng trong dãy phép chia.
ðịnh lí 2.2.17. Cho các số nguyên
1
, ,
n
a a
…
và
(
)
1
, , .
n
d a a= …
Khi ñó:
(i) Tồn tại
1
, ,
n
x x
… ∈
ℤ
ñể
1
n
j j
j
d a x
=
=
∑
.
(ii)
1
.
n
d a a
= + +
ℤ ℤ ⋯ ℤ
Hệ quả 2.2.17 (Bezout).
Các s
ố
nguyên
1
, ,
n
a a
…
nguyên t
ố
cùng nhau n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
1
, ,
n
x x
… ∈
ℤ
sao cho
1
1.
n
j j
j
a x
=
=
∑
Hệ quả 2.2.18.
N
ế
u các s
ố
nguyên
1
, ,
n
a a
…
cùng nguyên t
ố
v
ớ
i m
ộ
t s
ố
nguyên a thì tích
1
n
a a
⋯
nguyên t
ố
v
ớ
i a.
ðịnh lí 2.2.19 (Bổ ñề Euclid).
Cho các s
ố
nguyên a, b, c. Khi
ñ
ó n
ế
u
(
)
, 1
a b
=
và a chia h
ế
t
cho bc thì a chia h
ế
t cho c.
b) Bội chung nhỏ nhất
.
ðịnh nghĩa 2.2.20.
Cho các s
ố nguyên
1
, ,
n
a a
…
. Số nguyên m ñược gọi là một bội chung của
1
, ,
n
a a
…
nếu m chia hết cho tất cả các số a
i
. Số nguyên s ñược gọi là một bội chung nhỏ nhất của
1
, ,
n
a a
…
nếu s là bội chung của các số a
i
và s chia hết mọi bội chung khác của
1
, ,
n
a a
…
. Kí hiệu
BC
(
)
1
, ,
n
a a
…
là tập tất cả các bội chung, BCNN
(
)
1
, ,
n
a a
…
là tập các bội chung nhỏ nhất,
[
]
1
, ,
n
a a
…
là bội chung nhỏ nhất không âm của
1
, ,
n
a a
…
.
Nhận xét 2.2.21. Cho các số nguyên
1
, ,
n
a a
…
.
(i) Vì bội của 0 chỉ là 0, nên nếu
1
, ,
n
a a
…
không khác 0 tất cả thì BC
(
)
{
}
1
, , 0
n
a a =
…
và
[
]
1
, , 0
n
a a
=
…
.
(ii) Do
1
n
a a
⋯
là một bội chung của
1
, ,
n
a a
…
, nên BC
(
)
1
, , .
n
a a
≠ Φ
…
(iii) BCNN
(
)
[
]
[
]
{
}
1 1 1
, , , , , – , , .
n n n
a a a a a a=… … …
Các kết quả sau ñây chỉ ra cách tìm bội chung nhỏ nhất, và mối liên hệ giữa bội chung nhỏ
nhất và ước chung lớn nhất.
ðịnh lí 2.2.22. Cho a và b là hai số nguyên khác 0. Khi ñó
[ ]
( )
,
,
a b
a b
a b
=
.
ðịnh lí 2.2.23. Cho
1
, ,
n
a a
…
là các số nguyên khác 0. Khi ñó ta có:
(i)
[
]
[
]
1 1 1
, , , , , .
n n n
a a a a a
−
=
… …
15
(ii) Nếu
1
, ,
n
a a
…
là các số nguyên tố sánh ñôi thì:
[
]
1 1
, , .
n n
a a a a
… =
⋯
Hệ quả 2.2.25. Cho a là bội chung của n số nguyên từng ñôi mội nguyên tố cùng nhau
1
, , .
n
a a
…
Khi ñó a là bội của tích
1
.
n
a a
⋯
2.2.4. Số nguyên tố
ðịnh nghĩa 2.2.26. Một số nguyên p ñược gọi là một số nguyên tố nếu p > 1 và p không có một
ước số nguyên dương nào khác 1 và chính nó. Một số nguyên m ñược gọi là một hợp số nếu |m|
> 1 và |m| có ít nhất một ước số nguyên dương khác 1 và |m|. Số tự nhiên n ñược gọi là một số
chính phương, nếu tồn tại một số nguyên d ñể
2
.
n d
=
ðịnh lí 2.2.27. Cho số nguyên tố p và các số nguyên tuỳ ý m, a, b. Khi ñó:
(i)
m p
⋮
hoặc
( , ) 1.
m p
=
(ii) Nếu m > 1 thì luôn tồn tại một ước nhỏ nhất, lớn hơn 1 của m và ước này là số nguyên tố.
(iii) Nếu p | ab thì p | a hoặc p | b.
ðịnh lí 2.2.28 (Euclid). Tập hợp tất cả các số nguyên tố là một tập hợp vô hạn.
ðịnh lí 2.2.29 (ðịnh lí cơ bản của số học). Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 ñều phân tích ñược thành
một tích hữu hạn thừa số nguyên tố và phân tích này là duy nhất nếu không kể ñến thứ tự các
thừa số.
Trong phân tích nói trên, nhờ thực hiện nhóm các thừa số nguyên tố giống nhau thành lũy
thừa, ta ñược phân tích dạng tiêu chuẩn của mọi số tự nhiên
1
n
>
như sau:
1 2
1 2
k
k
n p p p
α
α α
=
⋯
trong ñó
1 2
, , ,
k
p p p
…
là các số nguyên tố phân biệt và
1 2
, , , *.
k
α α α
∈
… ℕ
ðịnh lí 2.2.30. Giả sử
1 2
, , ,
k
p p p
…
là các số nguyên tố phân biệt và
1 2 1 2
1 2 1 2
,
k k
k k
a p p p b p p p
α β
α α β β
= =
⋯ ⋯
với
1 2 1 2
, , , , , , , .
k k
α α α β β β
∈
… … ℕ
Khi ñó:
(i)
1 1 2 2
min( , )
min( , ) min( , )
1 2
( , ) .
k k
k
a b p p p
α βα β α β
=
⋯
(ii)
[
]
1 1 2 2
max( , )
max( , ) max( , )
1 2
, .
k k
k
a b p p p
α βα β α β
=
⋯
2.2.5. Phương trình ðiôphăng
ðịnh nghĩa 2.2.31. Cho các số nguyên
, , .
a b c
Khi ñó phương trình
ax by c
+ =
với các biến số
nguyên x, y ñược gọi là phương trình vô ñịnh hay phương trình ðiôphăng.
ðịnh lí 2.2.32. Cho các số nguyên
, ,
a b c
. Khi ñó phương trình
ax by c
+ =
có nghiệm nguyên
khi và chỉ khi
(
)
,
d a b
=
chia hết c.
Cách giải phương trình ðiôphăng
:
ax by c
+ =
16
Giả sử cho phương trình Diophante
ax by c
+ =
với a, b không ñồng thời bằng 0. Khi ñó lời giải
của phương trình này thường ñược thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Tìm (a, b) = d cùng cặp
(
)
2
’, ’x y
∈
Z
ñể
’ ’
ax by d
+ =
. Kiểm tra nếu c không chia
hết cho d thì phương trình vô nghiệm, và chuyển sang Bước 2.
Bước 2: Giả sử
.
c ds
=
Khi ñó
0 0
( , ) ( ’, ’)
x y sx sy
=
là một nghiệm riêng của
.
ax by c
+ =
Bước 3: Giả sử
’
a da
=
và
’.
b db
=
Ta rút ra ñược:
0 0
’( ) ’( ).
a x x b y y
− = −
Do
(
)
’, ’ 1
a b
=
và
(
)
0
’ –
a x x
chia hết cho
’
b
nên theo bổ ñề Euclid thì x – x
0
chia hết cho
’
b
hay
0
– ’
x x b
=
với t
∈
Z
. Do ñó
0
– – ’ .
y y a t
=
Ta ñược
0
0
'
'
x x b t
y y a t
= +
= −
với t
.
∈
Z
Từ các bước lập luận vừa rồi, ta dễ suy ra:
{
}
0 o
( b’t , y – a’t | tx + ∈
ℤ
là tập tất cả các nghiệm
của phương trình. Người ta còn gọi
0
0
'
'
x x b t
y y a t
= +
= −
(t
∈
Z
) là nghiệm tổng quát của phương trình
ñã cho.
Hệ quả 2.2.33. Giả sử
(
)
, .
d a b
=
Khi ñó nếu phương trình
ax by c
+ =
có một nghiệm
riêng (x
o
, y
0
) thì nó có nghiệm tổng quát là
0
0
( ).
b
x x t
d
t
a
y y t
d
= +
∈
= −
ℤ
Như vậy, mấu chốt của lời giải là tìm nghiệm riêng, mà thực chất nằm ở bước 1. Sau ñây ta
sẽ chỉ ra một thuật toán nhằm tìm nghiệm riêng của phương trình này. Xét phương trình ax + by
= c với (a, b) = d và a, b khác 0, d là ước của c. Rồi bằng cách biến ñổi ax = (–a)( –x) hay by =
(–b)( –y) (nếu cần), ta có thể luôn coi ax + by = c với a, b dương. Bây giờ ta tìm hiểu thuật toán
tìm d cùng cặp (x’, y’)
∈
Z
2
ñể ax’ + by’ = d.
Trở lại thuật toán tìm (a, b) thì trong trường hợp này r
n
= d với r
0
= a và r
1
= b;
0 1 1 2
1 2 2
2 1 1
1
n n n n
n n n
n
r r q r
r r q r
r r q r
r r q
d r
− − −
−
= +
= +
= +
=
=
⋯ ⋯ ⋯
và ta cần tìm cả cặp (x’, y’)
∈
Z
2
ñể ax’ + by’ = r
n
. Nhận xét rằng, nếu ta thiết kế ñược một dãy
các bộ ba (x
k
, y
k,
r
k
), sao cho luôn có ax
k
+ by
k
= r
n
= d. Do ñó bộ ba ( x
n
, y
k,
r
n
) cho ta lời giải bài
toán. Mong muốn này ñưa ta ñến thiết kế sau: Chọn
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 1 1 1
, , 1,0, , , , 0,1, ,
x y r a x y r b
= =
17
cùng dạng truy hồi:
(
)
(
)
2 1 1 2 1 1 2 1 1
, , – , – , – .
k k k k k n k k k k k k
x y r x x q y y q r r q
− − − − − − − − −
=
ðể dễ kiểm tra
ñược bằng quy nạp rằng
k k k
ax by r
+ =
với mọi
0,1, , .
k n
=
…
Do ñó
(
)
(
)
’, ’, , , .
n n n
x y d x y r
=
2.3. Số hữu tỉ
2.3.1. Nhắc lại cách xây dựng trường số hữu tỉ
ðịnh lí 2.3.1. Tồn tại trường
ℚ
và một ñơn cấu vành
:f
→
ℚ
Z
thỏa mãn hai ñiều kiện sau:
(i) Với mỗi
x
∈
ℚ
, tồn tại cặp số nguyên
( , ), 0
a b b
≠
ñể
1
( ) ( )
x f a f b
−
=
.
(ii) Cặp
( , )
f
ℚ
ñược xác ñịnh duy nhất sai khác một ñẳng cấu, có nghĩa là nếu cặp
(
)
,
g
P
với
P
là một trường và
:g
→
Z
P
là một ñơn cấu sao cho mỗi
x
∈
P
, tồn tại cặp số nguyên a, b ≠ 0
ñể
1
( ) ( )
x g a g b
−
= , thì có một ñẳng cấu trường
:
ϕ
→
ℚ
P
sao cho
f g
ϕ
=
.
Trường
ℚ
như trong khẳng ñịnh của ðịnh lí 2.3.1 ñược gọi là trường số hữu tỉ. Có thể có
nhiều trường số hữu tỉ, tuy nhiên chúng ñều ñẳng cấu với nhau. Do ñó nếu xét về mặt cấu trúc,
chúng ta chỉ có duy nhất một trường số hữu tỉ. Nhờ phép ñồng nhất ta luôn có
ℤ
là một vành
con của
.
ℚ
Người ta thường viết tập số hữu tỉ
ℚ
dưới dạng:
| , , 0 .
a
a b b
b
= ∈ ≠
ℚ ℤ
ðịnh lí 2.3.2. Trường các số hữu tỉ
ℚ
là một trường cực tiểu chứa vành các số nguyên
Z
như
là một vành con. ðảo lại mọi trường cực tiểu chứa các số nguyên
Z
như là vành con ñều trùng
với trường các số hữu tỉ
ℚ
(sai khác một ñẳng cấu).
ðịnh lí sau cho ta thêm một biểu diễn của các số hữu tỉ.
ðịnh lí 2.3.3. (i) Mỗi số hữu tỉ luôn ñược viết dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn
tuần hoàn.
(ii) Mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn ñều xác ñịnh một số hữu tỉ.
2.3.2. Các phép toán
a) Phép cộng:
.
a c ad bc
b d bd
+
+ =
b) Phép trừ:
.
a c ad bc
b d bd
−
− =
c) Phép nhân:
.
a c ac
b d bd
=
d) Phép chia:
: .
a c ad
b d bc
=
e) Phép nghịch ñảo:
1
( 0).
a b
a
b a
−
= ≠
f) Phép lũy thừa:
.
n
n
n
a a
b b
=
18
2.3.3. Quan hệ thứ tự
ðịnh lí 2.3.4. Mọi trường sắp thứ tự
K
ñều chứa một trường con ñẳng cấu với trường
ℚ
. Vì
vậy người ta coi
ℚ
là một trường con của
K
.
ðịnh nghĩa 2.3.5. Giả sử
, , , , , , , , 0
a c
xy x y a b c d b d
b d
∈ = = ∈ ≠
ℚ Z
. Khi ñó ta ñặt
(i) x ≥ 0 nếu
0.
ab
≥
(ii) x ≥ y nếu và chỉ nếu
0.
x y
− ≥
ðịnh lí 2.3.6. Quan hệ thứ tự ≥ trong
ℚ
vừa xác ñịnh ở trên, là một quan hệ thứ tự toàn phần
trong
ℚ
. Trường
ℚ
cùng với quan hệ thứ tự toàn phần nói trên là một trường sắp thứ tự.
ðịnh lí 2.3.7. Quan hệ thứ tự thu hẹp trên
ℚ
của một trường sắp thứ tự
K
trùng với quan hệ
thứ tự có sẵn trong
ℚ
.
ðịnh lí 2.3.8. Trường các số hữu tỉ
ℚ
là một trường sắp thứ tự Archimede. Nghĩa là, với mọi
, , 0
x y x
∈ >
ℚ
luôn tồn tại một số tự nhiên n sao cho nx > y.
ðịnh lí 2.3.9. Trường các số hữu tỉ
ℚ
trù mật, nghĩa là với mọi cặp số hữu tỷ x > y, luôn tồn tại
số hữu tỷ z sao cho x > z > y.
2.3.4. So sánh hai phân số
Cho hai phân số
, .
a c
b d
Không giảm tổng quát, ta có thể coi
, 0.
b d
>
Nếu hai phân số ñã cho
có mẫu số như nhau thì dễ thấy rằng phân số nào có tử số lớn hơn thì nó lớn hơn. Nếu hai phân
số ñã cho có mẫu số khác nhau, bằng cách quy ñồng mẫu số, chúng ta ñưa hai phân số này về các
phân số cùng mẫu số. Khi ñó, phân số nào trong hai phân số mới cùng mẫu có tử số lớn hơn thì
phân số ñã cho bằng nó lớn hơn.
2.4. Số thực
2.4.1. Nhắc lại cách xây dựng trường số thực
a) Dãy cơ bản
ðịnh nghĩa 2.4.1. Cho A là một vành con của một trường sắp thứ tự. Dãy
( )
n n
x
∈
ℕ
các phần tử
của A ñược gọi là một dãy hội tụ trong
A
nếu
lim
n
x
x x A
→+∞
= ∈
, tức là với mọi
, 0
ε ε
∈ >
ℚ
, tồn
tại số tự nhiên
m
ε
sao cho với mọi số tự nhiên
n m
ε
>
ta có
| |
n
x x
ε
− <
.
ðịnh nghĩa 2.4.2. Cho A là một vành con của một trường sắp thứ tự. Dãy
( )
n n
x
∈
ℕ
các phần tử
của a ñược gọi là một dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi
, 0
ε ε
∈ >
ℚ
, ñều tồn tại n
ε
∈
ℕ
sao cho
| |
n m
x x
ε
− <
với mọi ,
m n n
ε
>
.
ðịnh lí 2.4.3. Các dãy cơ bản trong
ℚ
có các tính chất sau:
(i) Mỗi dãy hội tụ trong
ℚ
ñều là một dãy cơ bản trong
.
ℚ
19
(ii) Mọi dãy cơ bản trong
ℚ
ñều bị chặn.
(iii) Nếu
( )
n n
x
∈
ℕ
,
( )
n n
y
∈
ℕ
là những dãy cơ bản trong
ℚ
thì
( ) ,( )
n n n n n n
x y x y
∈ ∈
+ −
ℕ ℕ
và
( )
n n n
x y
∈
ℕ
cũng là những dãy cơ bản trong
ℚ
.
ðịnh lí 2.4.4. Cho dãy cơ bản
( )
n n
x
∈
ℕ
trong
ℚ
không có giới hạn 0, nghĩa là hoặc
( )
n n
x
∈
ℕ
không hội tụ hoặc
( )
n n
x
∈
ℕ
hội tụ về một số khác 0. Khi ñó:
(i) Tồn tại
, 0
a a
∈ >
ℚ
và
k
∈
ℕ
sao cho |x
n
| > a với mọi n > k.
(ii) Tồn tại
k
∈
ℕ
sao cho x
n
> 0 với mọi n > k hoặc x
n
< 0 với mọi n > k.
ðịnh nghĩa 2.4.5. Một vành con
A
của một trường sắp thứ tự ñược gọi là một vành ñầy ñủ nếu
mọi dãy cơ bản của
A
ñều hội tụ trong
A
.
ðịnh lí 2.4.6. Trường sắp thứ tự
ℚ
là một trường sắp thứ tự không ñầy ñủ.
b) Xây dựng trường các số thực
ℝ
Xét tập X gồm tất cả các dãy cơ bản trong
ℚ
. Bây giờ, ta xác ñịnh trong X hai phép toán
cộng và nhân như sau: với mọi
( ) ,( )
n n n n
x y X
∈ ∈
∈
ℕ ℕ
viết tắt
( )
n
x
và
( )
n
y
, ta ñặt
( ) ( ) ( )
n n n n
x y x y
+ = +
,
( )( ) ( )
n n n n
x y x y
=
Theo tính chất của dãy cơ bản, ta thấy ngay phép cộng và phép nhân như trên 2 phép toán 2 ngôi
trong X.
ðịnh lí 2.4.7. Tập X cùng với hai phép toán xác ñịnh trên trên có các tính chất sau ñây
(i) X là một vành giao hoán, có ñơn vị.
(ii) Bộ phận
{( ) | lim 0}
n n
x
I x X x
→+∞
= ∈ =
là một ideal của X.
(iii) Vành thương X/I là một trường.
ðịnh nghĩa 2.4.8. Trường X/I xác ñịnh như trên ñược gọi là trường các số thực ñược ký hiệu là
ℝ
. Mỗi phần tử thuộc
ℝ
ñược gọi là một số thực.
Người ta thường biểu diễn mỗi số thực dưới dạng các số thập phân vô hạn:
0 1 2
,
n
a a a a
… …
và
0 1 2
,
n
a a a a
−
… …
trong ñó
{
}
0 1 2
0; , , , , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .
n
a a a a> ∈
… …
Mỗi số thập phân
0 1 2
,
n
a a a a
… …
thực
chất ứng với dãy cơ bản
1 2
0
2
10 10 10
n
n
n
a
a a
a
∈
+ + + +
ℕ
⋯
và số thập phân
0 1 2
,
n
a a a a
−
… …
ứng với
dãy cơ bản
1 2
0
2
10 10 10
n
n
n
a
a a
a
∈
− − − − −
ℕ
⋯
trong
.
ℚ
Chú ý 2.4.9.
(i) M
ỗ
i s
ố
th
ậ
p phân h
ữ
u h
ạ
n là m
ộ
t s
ố
h
ữ
u t
ỉ
, ta c
ũ
ng nói chúng là các s
ố
th
ậ
p
phân vô h
ạ
n tu
ầ
n hoàn v
ớ
i chu kì (0).
20
(ii) M
ỗ
i s
ố
nguyên m
ộ
t m
ặ
t
ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n nh
ư
m
ộ
t s
ố
th
ậ
p phân h
ữ
u h
ạ
n hay s
ố
th
ậ
p phân vô
h
ạ
n tu
ầ
n hoàn chu kì (0), m
ặ
t khác c
ũ
ng
ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n nh
ư
m
ộ
t s
ố
th
ậ
p phân vô h
ạ
n tu
ầ
n hoàn
chu kì (9).
2.4.2. Các phép toán
Cho s
ố
th
ự
c không âm
0 1 2
,
n
a a a a
α
=
… …
,
0 1 2
,
n
b b b b
β
=
… …
.
ðặ
t
1 2 1 2
0 0
2 2
, .
10 10 10 10 10 10
n n
n n
n n
a b
a a b b
a b
α β
= + + + + = + + + +⋯ ⋯
Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n, ta có
{
}
{
}
sup | , sup | .
n n
n n
α α β β
= ∈ = ∈
ℕ ℕ
+) N
ế
u
, 0,
α β
≥
thì ta có
{
}
{
}
sup | , sup | .
n n n n
n n
α β α β αβ α β
+ = + ∈ = ∈
ℕ ℕ
+) N
ế
u
, 0,
α β
<
thì
(
)
, .
α β α β αβ α β
+ = − + =
+) N
ế
u
0, 0, ,
α β α β
< ≥ ≤
thì ta có
, .
α β β α αβ α β
+ = − = −
+) N
ế
u
0, 0, ,
α β β α
< ≥ <
thì ta có
(
)
, .
α β α β αβ α β
+ = − − = −
2.4.3. Quan hệ thứ tự
ðịnh nghĩa 2.4.10. Với hai số thực tùy ý
( )
n
x
α
=
và
( )
n
y
β
=
, ta nói
( ) ( )
n n
x y
≥
nếu
lim ( ) 0
n n
x
x y
→+∞
− =
hoặc tồn tại
, 0
a a
∈ >
ℚ
và
k
∈
ℕ
, sao cho
n n
x y a
− >
với mọi n > k.
ðịnh lí 2.4.11. Quan hệ ≥ vừa xác ñịnh trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong
ℝ
và
ℝ
cùng với quan hệ xác ñịnh ở trên là một trường sắp thứ tự.
ðịnh lí 2.4.12. Tồn tại một ñơn cấu trường
:f
→
ℚ ℝ
sao cho với mọi
,a b
∈
ℚ
và a > b ta có
f(a) ≥ f(b). Do ñó ta có thể coi
ℚ
là một trường con của
.
ℝ
ðịnh lí 2.4.13. Trường các số thực
ℝ
là một trường sắp thứ tự Achimede.
ðịnh lí 2.4.14. Trường các số thực
ℝ
là trù mật hữu tỉ, có nghĩa là với mọi
,
x y
∈
ℝ
và x > y,
tồn tại
a
∈
ℚ
sao cho x > a > y.
ðịnh lí 2.4.15. Mỗi số thực ñều giới hạn một dãy cơ bản các số hữu tỉ.
Hệ quả 2.4.16. Mọi dãy cơ bản trong
ℚ
ñều hội tụ trong
ℝ
ðịnh lí 2.4.17. Trường các số thực
ℝ
là trường sắp thức tự ñầy ñủ, tức là mọi dãy cơ bản trong
ℝ
ñều hội tụ trong
.
ℝ
ðịnh lí 2.4.18. Trong trường các số thực
,
ℝ
mọi tập khác rỗng bị chặn trên ñều có cận trên
ñúng và mọi tập khác rỗng bị chặn dưới ñều có cận dưới ñúng.
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:
[1] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà (2009), ðại số sơ cấp và Thực hành giải Toán, Nhà xuất bản
ðại học Sư phạm.
21
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
Thực hành giải toán Chương 2
Giải và khai thác các bài toán trong các chủ ñiểm sau:
Chủ ñiểm 1: Số nguyên tố
Bài toán 1: Tìm số nguyên tố
a
biết
2 1
a
+
là lập phương của một số nguyên tố.
Bài toán 2: Tìm các số nguyên tố
, ,
a b c
biết
3( ).
abc a b c
= + +
Bài toán 3: Cho
p
là một số nguyên tố. Chứng minh rằng với mọi số nguyên
1,
m
>
ta có
( 1)( 2) ( 1)
A m m pm pm
= + + −
⋯
chia hết cho
m
p
mà không chia hết cho
1
.
m
p
+
Bài toán 4: Cho
3
p
>
là số nguyên tố sao cho
4 1
p
+
cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng
4 1
p
−
là hợp số.
Bài toán 5: Tìm số nguyên tố
p
sao cho
2, 4
p p
+ +
cũng là số nguyên tố.
Chủ ñiểm 2: Tính chia hết
Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu số nguyên không chia hết cho 3 thì
2
1 3.
n −
⋮
Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên
,
m
ta luôn có
3
13 6.
m m
−
⋮
Bài toán 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên
,
m
ta luôn có
5
5.
m m
−
⋮
Bài toán 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố
, ,
p q
ta luôn có
1 1
1 .
q p
p q pq
− −
+ −
⋮
Bài toán 5: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên
k
sao cho
3 1 1000.
k
−
⋮
Chủ ñiểm 3: Bội và ước của các số
Bài toán 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho số ñó chia hết cho tích các chữ số của nó.
Bài toán 2: Một căn phòng hình chữ nhật dài 6,25m, rộng 4,75m. Hãy tìm kích thước viên gạch
lát nền hình vuông (ñược tính theo cm) sao cho số viên gạch ít nhất và lát vừa kín nền mà không
phải xẻ viên nào.
Bài toán 3: Tại bến sông có 3 chiếc thuyền. Chiếc thứ nhất cứ 5 ngày lại cập bến 1 lần, chiếc thứ
hai cứ 7 ngày lại cập bến 1 lần, chiếc thứ ba cứ 12 ngày lại cập bến 1 lần. Hôm nay, cả 3 chiếc
cùng khởi hành từ bến sông. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu ngày nữa chúng lại cùng cập bến sông
này.
Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
3 2 2 8 0.
x xy y
− + − =
Bài tập
Giải và khai thác các bài toán sau:
1) Tồn tại hay không số tự nhiên có tích các chữ số của nó bằng 165.
2) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng nếu cộng thêm 1 vào tất cả các chữ số ñó, ta cũng
ñược một số chính phương.
3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố
7,
p
>
ta luôn có
3 2 1 42 .
p p
p
− −
⋮
4) Cho hàm số
:f
→
ℚ ℤ
thỏa mãn
( ) ( ) ( ).
f x y f x f y
+ = +
22
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
,
n
ta luôn có
1
(1) .
f nf
n
=
b) Tìm
(2005).
f
5)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong 7 s
ố
nguyên b
ấ
t kì luôn t
ồ
n t
ạ
i 4 s
ố
có t
ổ
ng chia h
ế
t cho 4.
6)
Tìm nghi
ệ
m nguyên c
ủ
a các ph
ươ
ng trình sau:
a)
3 2 5 1 0
x xy y
− + − =
b)
2 5 3 0
x y
− − =
c)
3 5 1 0
x y xy
− + − =
7)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên
,
n
ta luôn có
2 1 2 1
46 296.13 1947.
n n+ +
+
⋮
8)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên
,
n
21 4
14 3
n
n
+
+
là phân s
ố
t
ố
i gi
ả
n.
9)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m nguyên:
4 4 3
( 2) .
x x y
+ − =
10)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
1 1 1 1
1991
x y z
+ + =
ch
ỉ
có h
ữ
u h
ạ
n nghi
ệ
m nguyên d
ươ
ng.
11)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
,
ℤ ℚ
là nh
ữ
ng t
ậ
p có l
ự
c l
ượ
ng
ñế
m
ñượ
c.
12)
Bi
ế
t
ℝ
là t
ậ
p có l
ự
c l
ượ
ng vô h
ạ
n không
ñế
m
ñượ
c, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ậ
p các dãy
( ) , 0,1
n n n
u u
∈
=
ℕ
là m
ộ
t t
ậ
p vô h
ạ
n không
ñế
m
ñượ
c và có cùng b
ả
n s
ố
v
ớ
i t
ậ
p các s
ố
th
ự
c.
23
CHƯƠNG 3
ða thức- Phân thức hữu tỉ
Số tiết: 08 (Lý thuyết: 05 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)
A) MỤC TIÊU
Chương này củng cố và hệ thống lại cho người học các kiến thức về ña thức và phân thức
hữu tỉ trên các trường số, bao gồm: các phép toán và các phép biến ñổi ña thức; lý thuyết chia hết
trên trên vành ña thức một biến; ña thức bất khả quy, phân tích ña thức thành nhân tử; ña thức
nhiều biến, ña thức ñối xứng; phân thức tối giản; rút gọn phân thức và biểu diễn phân thức dưới
dạng tổng của những phân thức ñơn. Từ ñó, người học biết vận dụng các kiến thức ñể rèn kỹ
năng giải và khai thác các dạng bài tập thông qua một hệ thống ví dụ và bài tập ñược giới thiệu.
Qua nội dung của chương, người học một mặt củng cố lại các kiến thức chung về ña thức, phân
thức trên các vành giao hoán, các trường tổng quát, mặt khác thấy ñược những tính chất khác
biệt và ñặc trưng của ña thức thể hiện trên các trường số quen thuộc.
B) NỘI DUNG
3.1. ða thức
3.1.1. Các ñịnh nghĩa của ña thức
Giả sử A là một vành giao hoán, có ñơn vị 1. Gọi P là tập hợp các dãy
0 1
( , , , , )
n
a a a
trong ñó các
i
a A
∈
với mọi
i
∈
ℕ
và bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn. Như vậy P là một bộ
phận của lũy thừa ðề các
A
ℕ
. Khi ñó P là một vành giao hoán có ñơn vị với phép cộng và phép
nhân như sau:
0 1
( , , , , )
n
a a a +
0 1
( , , , , )
n
b b b =
0 0 1 1
( , , , , )
n n
a b a b a b
+ + +
0 1
( , , , , )
n
a a a
0 1
( , , , , )
n
b b b =
0 1
( , , , , )
n
c c c
với
, 0,1,2,
k i j
i j k
c a b k
+ =
= =
∑
Phần tử không của vành này là
(0,0, ,0, )
, phần tử ñơn vị là
(1,0, ,0, ).
ðặt
(0,1,0, ,0., )
x
=
, ta có:
0
(1,0, ,0, )
x =
2
(0,0,1,0, ,0., )
x =
3
(0,0,0,1,0, ,0., )
x =
(0,0, ,0,1,0, )
n
n
x =
M
ặ
t khác, xét
ñơ
n c
ấ
u vành
, ( ,0, ,0, ).
A P a a
→
֏
Th
ự
c hi
ệ
n
ñồ
ng nh
ấ
t ph
ầ
n t
ử
a A
∈
v
ớ
i
dãy
( ,0, ,0, )
a P
∈
, ta luôn có th
ể
coi A là m
ộ
t vành con c
ủ
a vành P. D
ễ
th
ấ
y m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
vành P luôn
ñượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
0 1
( , , , ,0, )
n
a a a trong
ñ
ó
0 1
, , ,
n
a a a A
∈
v
ớ
i
0.
n
a
≠
T
ừ
vi
ệ
c
ñồ
ng nh
ấ
t
a A
∈
v
ớ
i dãy
( ,0, ,0, )
a P
∈
và vi
ệ
c
ñư
a vào kí hi
ệ
u
x
, cho phép ta bi
ể
u di
ễ
n
0 1
( , , , ,0, )
n
a a a d
ướ
i d
ạ
ng:
2
0 1 0 1 2
( , , , ,0, ) .
n
n n
a a a a a x a x a x
= + + + +
⋯
Bi
ể
u di
ễ
n này là duy nh
ấ
t n
ế
u không k
ể
ñế
n th
ứ
t
ự
c
ủ
a phép c
ộ
ng.
24
ðịnh nghĩa 3.1.1. Vành P ñược gọi là vành ña thức một biến x trên A, hay vắn tắt vành ña thức
của ẩn x trên A, kí hiệu
[
]
: A .
P x
=
Mỗi phần tử của P ñược gọi là một ña thức của biến x trên A.
Chú ý 3.1.2. (i) Cho ña thức
2
0 1 2
( ) .
n
n
f x a a x a x a x
= + + + +
Khi ñó với mỗi
0,1, ,
i n
=
, ta lần
lượt gọi
i
a
và
i
i
a x
ñược gọi là hệ tử và hạng tử bậc i của ña thức
( )
f x
, ñặc biệt
0
0 0
a x a
=
ñược
gọi là hạng tử tự do.
(ii) ðôi khi, người ta cũng ñịnh nghĩa ña thức biến x trên A là một tổng hình thức dạng
2
0 1 2
( )
n
n
f x a a x a x a x
= + + + +
với
1 2
, , , .
n
a a a A
∈
…
ðịnh nghĩa 3.1.3. Cho ña thức
2
0 1 2
( ) ( 0).
n
n n
f x a a x a x a x a
= + + + + ≠
Ta gọi
n
là bậc của ña thức, kí hiệu
: deg ( ).
n f x
=
Hệ tử
n
a
ñược gọi là hệ tử cao nhất của f(x).
Ta quy ước ña thức 0 không có bậc.
ðịnh lý 3.1.4. Giả sử f(x), g(x) là hai ña thức khác 0. Khi ñó:
(i) Nếu
deg ( ) deg ( )
f x g x
≠
, thì ta có
( ) ( ) 0
f x g x
+ ≠
và
deg[ ( ) ( )] max(deg ( ),deg ( )).
f x g x f x g x
+ =
(ii) Nếu
deg ( ) deg ( )
f x g x
=
và
( ) ( ) 0
f x g x
+ ≠
, thì ta có
deg[ ( ) ( )] max(deg ( ),deg ( )).
f x g x f x g x
+ ≤
(iii) Nếu
( ) ( ) 0
f x g x
≠
, thì ta có
deg[ ( ) ( )] deg ( ) deg ( ).
f x g x f x g x
= +
Hệ quả 3.1.5. Nếu A là miền nguyên thì A[x] là miền nguyên.
3.1.2. Các phép toán và các phép biến ñổi trên các ña thức - Phương pháp hệ số bất ñịnh
a) Các phép toán và các phép biến ñổi trên các ña thức
Phép cộng trên vành ña thức có các tính chất quen thuộc như kết hợp, giao hoán, tồn tại
phần tử không là ña thức 0 và mỗi ña thức ñều có ña thức ñối là ña thức có các hệ tử ñối nhau
với các hệ tử cùng bậc của ña thức ñã cho.
Phép nhân trên vành ña thức có tính chất kết hợp, giao hoán và phân phối ñối với phép cộng.
Ngoài ra trong vành ña thức còn tồn tại ña thức ñơn vị là 1.
Trong các bài toán liên quan ñến ña thức, ngoài những biểu diễn quen thuộc người ta còn
ñưa ra nhiều biểu diễn ñối với một ña thức. Các ñịnh lí dưới ñây sẽ minh họa cho một số biểu
diễn ña thức.
ðịnh lí 3.1.6 (Lagrange). Cho
( )
f x
là ña thức bậc
n
trên trường A và
0 1
, , ,
n
x x x A
∈
…
là
1
n
+
phần tử phân biệt. ðặt
{ }
0
( ) ( ), \ 0 .
n
i
i
g x a x x a A
=
= − ∈
∏
Khi
ñ
ó ta có:
(i)
0
, 0
( ) ( ) .
n
n
k
i
i
k i k
i k
x x
f x f x
x x
=
≠ =
−
=
−
∑
∏
(ii)
0
( )
( )
( ) .
'( )
n
i
i
i i
f x
g x
f x
g x x x
=
=
−
∑
ðịnh lí 3.1.7 (Taylor).
Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c b
ậ
c
n
trên tr
ườ
ng A và
.
a A
∈
Khi
ñ
ó ta có:
( )
2
'( ) ''( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
1! 2! !
n
n
f x f x f x
f x f a x a x a x a
n
= + − + − + + −⋯
