CHUONG 5 CONG THUC VA HS LUONG GIAC

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
ĐẠI SỐ 10-CHƯƠNG 5

CHỦ ĐỀ .BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
DẠNG . CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
Câu 1:

o

Góc có số đo 108 đổi ra radian là

3π
.
A. 5

π
.
B. 10

3π
.
C. 2

π
.
D. 4

Lời giải
Chọn A.

Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad

α=

n.π
180 .

Cách 2:

3π
5 tương ứng 108o .

π
10 tương ứng 18o .
3π
2 tương ứng 270o .

π
.
4 tương ứng 45o .

Câu 2:

Biết một số đo của góc

( Ox, Oy ) =

3π
+ kπ
2
A.

.
π
( Ox, Oy ) = + kπ
2
C.
.

3π
+ 2001π
( Ox, Oy ) là
2
. Giá trị tổng quát của góc

( Ox, Oy ) =

B.
D.

( Ox, Oy ) = π + k 2π .
( Ox, Oy ) =

π
+ k 2π
2
.

Lời giải
Chọn A.

Câu 3:

2π
Góc có số đo 5 đổi sang độ là
o

A. 240 .

o

o

B. 135 .

C. 72 .

Lời giải
Chọn C.

Áp dụng công thức đổi rad sang độ

n=

α .180
π .
Trang 1

o

D. 270 .

Câu 4:

π
Góc có số đo 9 đổi sang độ là
o

o

A. 15 .

o

B. 18 .

C. 20 .

o

D. 25 .

Lời giải
Chọn C.

n=

Áp dụng công thức đổi rad sang độ

n=

Câu 5:

Cho

α .180
π .

π 180o
.
= 20o.
9 π

( Ox, Oy ) = 22o30 '+ k 360o . Với k

A. k ∈ ∅.

B. k

= 3.

bằng bao nhiêu thì
C. k

( Ox, Oy ) = 1822o30' ?

= −5.

D.

k = 5.

Lời giải
Chọn D.

( Ox, Oy ) = 1822o30 ' = 22o30 '+ 5.360o ⇒ k = 5 .
Câu 6:

π
Góc có số đo 24 đổi sang độ là
o

o

A. 7 .

o

B. 7 30 ' .

o

C. 8 .

D. 8 30 ' .

π
.
C. 4

2π

.
D. 3

Lời giải
Câu 7:

Chọn B.

áp dụng công thức đổi rad sang độ

n=

Câu 8:

n=

α .180
π .

π 180o
.
= 7,5o = 7 o30 '.
24 π
o

Góc có số đo 120 đổi sang rađian là góc

3π
.
B. 2

π
.
A. 10

Lời giải
Chọn D.

120o =

Câu 9:

120o.π 2π
=
.
180o
3

Số đo góc 22 30′ đổi sang rađian là:
o

π
.
A. 8

7π
.
B. 12

π

.
C. 6

Trang 2

π
.
D. 5


Lời giải
Chọn A.

22o30′ =
Câu 10:

22o 30′.π π
=
180o
8.
o

Đổi số đo góc 105 sang rađian bằng

5π
.
A. 12

7π
.

B. 12

9π
C. 12

5π
.
D. 8

Lời giải
Chọn B.

105o.π 7π
105 =
=
180o
12 .
o

Câu 11:

k để cung
A. k = 4.

Giá trị

α=

π
+ k 2π

2
thỏa mãn 10π < α < 11π là
B. k = 6.
C. k = 7.

D. k = 5.

Lời giải
Chọn D.

10π < α < 11π ⇔ 10π <

Câu 12:

π
19π
21π
19
21
+ k .2π < 11π ⇔
< k 2π <
⇔ ⇔k =5
2
2
2
4
4
.

ABCD có tâm O và một trục ( l ) đi qua O . Xác định số đo của các góc giữa tia OA với trục

Cho hình vuông

( l ) , biết trục ( l ) đi qua đỉnh
A. 180 + k 360 .
o

Chọn D.
Vì trục
trục
Câu 13:

( l)

( l ) đi qua đỉnh

A của hình vuông.
o
o
B. 90 + k 360 .

o

o
o
C. −90 + k 360 .
Lời giải

o

D. k 360 .

A và tâm O của hình vuông nên trục ( l ) ≡ OA nên số đo của các góc giữa tia OA với

bằng 0 + k 360 = k 360 .
o

o

o

10
π
cm
π
Một đường tròn có bán kính
. Tìm độ dài của cung 2 trên đường tròn.
20
π2
cm
cm
2
A. 10 cm .
B. 5 cm .
C. π
.
D. 20
.
R=

Lời giải
Chọn B.

π
π . ao
π
10
o
rad = 90
.R =
.90. = 5cm
180
π
Độ dài của cung 2
trên đường tròn được tính bằng công thức: 180
.
Câu 14:

o
Một đường tròn có bán kính R = 10 cm . Độ dài cung 40 trên đường tròn gần bằng:

A. 7 cm .

B. 9 cm .

C. 11cm .
Lời giải

Chọn A .
Trang 3

D. 13cm .


π . ao
π
.R =
.40.10 ≈ 7 cm
o
180
Độ dài của cung 40 trên đường tròn được tính bằng công thức: 180
.
Câu 15:

o

Góc 18 có số đo bằng rađian là

π
A. 18 .

π
C. 360 .

π
B. 10 .

D. π .

Lời giải

Chọn B.

1o =

Ta có:
Câu 16:

π
π
π
rad ⇒ 18o = 18.
rad = rad
180
180
10
.

π
Góc 18 có số đo bằng độ là:
o

o

A. 18 .

o

B. 36 .

o

C. 10 .
Lời giải

D. 12 .

Chọn C.
o

o

π
 180 
 π 180 
o
1rad = 
÷ ⇒ rad =  .
÷ = 10
π
18
18
π




Ta có:
.
Câu 17:

π
Một đường tròn có bán kính 20 cm . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo 15 (tính gần đúng đến
hàng phần trăm).
A. 4,19 cm .

B. 4,18cm .

C. 95, 49 cm .
Lời giải

D. 95,50 cm .

Chọn B.

π
π . ao
π
rad = 12o
.R =
.12.20 ≈ 4,18cm
180
Độ dài của cung 15
trên đường tròn được tính bằng công thức: 180
.
Câu 18:

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.
B. Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá

2π .

C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0; 2π ] .
D. Số đo của một cung lượng giác là một số thực.
Lời giải
Chọn C.
Câu 19:

Chọn điểm

A ( 1;0 )

làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm cuối

M của cung

25π
lượng giác có số đo 4 .
A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I .
B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II .
C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III .
D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV .
Lời giải
Chọn A.
þ

Theo giả thiết ta có:
Câu 20:

AM =

25π π
= + 6π
4
4
, suy ra điểm M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I .

Một đường tròn có bán kính 15 cm . Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 30 là :
0

5π
A. 2 .

5π
B. 3 .

2π
C. 5 .

Lời giải
Chọn B.
Trang 4

π
D. 3 .


Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có

Ta có

Câu 21:

l=

l = Rα =

πa
.R
180 nên

πa
π 30
5π
.R =
.15 =
180
180
3 .

Cho đường tròn có bán kính 6 cm . Tìm số đo ( rad ) của cung có độ dài là 3 cm :
A. 0, 5 .

B.

3.

C.

2.

D. 1 .

Lời giải
Chọn A.

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có

Ta có

Câu 22:

α=

l = Rα =

πa
.R
180 nên

l 3
= = 0,5
R 6
.

Góc có số đo

−

3π
16 được đổi sang số đo độ là :

o
B. −29 30 ' .

o
A. 33 45' .

o
C. −33 45' .

o
D. −32 55' .

Lời giải
Chọn C.
Lời giải
o

o

o

−3π  −3π 180   −135 
 180 
o
o
1rad = 
=
.
÷
÷ =

÷ = −33.75 = −33 45'.
 π  nên 16  16 π   4 
Vì
Câu 23:

o
Số đo radian của góc 30 là :

π
A. 6 .

π
B. 4 .

π
C. 3 .

π
D. 16 .

Lời giải
Chọn A.

Vì

Câu 24:

1o =

π

π
π
rad
30o = 30.
=
180
180 6 .
nên

π
Số đo độ của góc 4 là :
o

A. 60 .

o

B. 90 .

o

C. 30 .

Lời giải
Chọn D.

π
o
Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của góc 4 là 45 .
Trang 5

o

D. 45 .


Câu 25:

o

Số đo radian của góc 270 là :

3π
B. 2 .

A. π .

3π
C. 4 .

D.

−

5
27 .

Lời giải
Chọn B.

3π
Theo công thức đổi đơn vị số đo radian của góc 270 là 2 .
o
Góc 63 48' bằng (với π = 3,1416 )
0

Câu 26:

A. 1,114 rad .

B.

−

3
3 .

C.

D. 1,113rad .

2.

Lời giải
Chọn A.

63°48′
.π ; 1.114
Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng 180°
radial, với π ; 3,1416 .

Câu 27:

Cung tròn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là:
A.

−

2
cm
21
.

1
cm
C. 2
.

B. 32, 45 cm .

D. 32, 5 cm .

Lời giải
Chọn D.
Theo

công

thức

tính

độ

dài

cung

ta

có

độ

dài

cung

có

l = R.α = 8, 43.3,85 = 32, 4555 cm . Làm tròn kết quả thu được ta có đáp án là D.

Câu 28:

Xét góc lượng giác

( OA; OM ) = α , trong đó M

số

là điểm không làm trên các trục tọa độ

M thuộc góc phần tư nào để sin α và cosα cùng dấu
( II ) .
( III ) .
( IV ) .
A. I và
B. I và
C. I và

D.

3,85 rad

đo

là

Ox và Oy . Khi đó

( II )

và

( III ) .

Lời giải
Chọn B.
Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác.
Câu 29:

Cho α là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin α

<0.

B. cos α

>0.

C.

tan α < 0 .

D. cot α

>0.

Lời giải
Chọn C.

sin α > 0 , cos α < 0 ⇒ tan α < 0
5π
π
25π
19π
α =−
β=
γ=
δ=
6 ,

3,
3 ,
6 . Các cung nào có
Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):
Vì α là góc tù, nên

Câu 30:

điểm cuối trùng nhau:

A. α và β ; γ và δ .

B. β và γ ; α và δ .

C. α , β , γ .

Lời giải
Chọn B.
Trang 6

D. β , γ , δ .


5π 7π
25π π
19π 7π
=
− 2π γ =
= + 8π δ =
=

+ 2π
6
6
3
3
6
6
;
;
.

α =−

⇒ β và γ; α và δ là các cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng nhau.

Câu 31:

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
a ∈ ( 19; 27 )
3
Cho
. Để
thì giá trị của k là
A. k = 2 , k = 3 .
B. k = 3 , k = 4 .
C. k = 4 , k = 5 .
a=

D.

k =5, k =6.

Lời giải
Chọn B.
Cách 1:

k =2

k =5

⇒a=

9π
13π
17π
∉ ( 19; 27 )
⇒a=
∈ ( 19; 27 )
⇒a=
∈ ( 19; 27 )
2
2
2
; k =3
; k =4
;

⇒a=

21π
∉ ( 19; 27 )
2
.

Cách 2:

19 <

Câu 32:

π
+ k 2π
3

( k ∈ ¢ ) < 27 ⇔ k = { 3; 4}

( OA, OB )
Cho góc lượng giác

π
có số đo bằng 5 . Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một góc lượng giác
( OA, OB )

có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác

6π
.
A. 5

.

11π
−
.
5
B.

?

9π
.
C. 5

Lời giải
Chọn D.

6π π
= +π.
5
* 5
11π
π
= − − 2π .
5
* 5
−

9π 4π
=

+π.
5
* 5
31π π
= + 6π .
5
* 5
Câu 33:

Cung α có mút đầu là

A và mút cuối là M thì số đo của α là

Trang 7

31π
.
D. 5


y
B
A

A’
O
M

B’

3π
+ kπ .
B. 4

3π
+ kπ .
A. 4

x

3π
+ k 2π .
C. 4

−

D.

−

3π
+ k 2π .
4

Lời giải
Chọn D.

5π
+ k 2π
Cung α có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là 4

nên loại A,C.
Cung α có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều âm có số đo là

−

3π
4 và chỉ có duy nhất một

điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B.
Câu 34:

ABCD có tâm O và trục ( i ) đi qua O . Xác định số đo góc giữa tia OA với trục ( i ) , biết

Cho hình vuông
trục

( i)

đi qua trung điểm

I của cạnh AB.

A. 45 + k 360 .
o

o

o
o
B. 95 + k 360 .

o
o
C. 135 + k 360 .

o
o
D. 155 + k 360 .

Lời giải
Chọn A

·AOB = 90o
và OA = OB
Tam giác AOB vuông cân tại O

( i)

( i ) ⊥ AB
đi qua trung điểm của AB nên

·
OA, ( i ) ) = 45
(
⇒ ( i)
·AOB
là đường phân giác của góc
nên
.
uuu

r

Câu 35:

Một bánh xe có

o

72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
Trang 8


o
A. 30 .

o
B. 40 .

o
C. 50 .

o
D. 60 .

Lời giải
Chọn C.

360o
= 5o
72

72
Một bánh xe có
răng nên 1 răng tương ứng
o
o
Khi di chuyển được 10 răng là 10.5 = 50 .

Câu 36:

Tìm khẳng định sai:

sđ ( Ou , Ov ) + sđ ( Ov, Ow ) = sđ ( Ou , Ow ) − 2kπ , k ∈ ¢
A. Với ba tia Ou , Ov, Ow , ta có:
.
þ

þ

þ

B. Với ba điểm U ,V ,W trên đường tròn định hướng:  s đ UV + sđ VW = sđ UW + 2kπ , k ∈ ¢ .
C. Với ba tia Ou , Ov, Ox , ta có:
D. Với ba tia Ou , Ov, Ow , ta có:

sđ ( Ou, Ov ) = sđ ( Ox, Ov ) − sđ ( Ox, Ou ) + 2kπ , k ∈ ¢

.

sđ ( Ov, Ou ) + sđ ( Ov, Ow ) = sđ ( Ou , Ow ) + 2kπ , k ∈ ¢

.

Lời giải
Chọn D.
Sử dụng hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác thì ba khẳng định ở câu A, B, C đều đúng.
Câu 37:

Trên đường tròn lượng giác gốc

π
I
( ). 4.
7π
( II ) . − 4 .
13π
( III ) . 4 .
5π
−
IV
( ). 4 .

A cho các cung có số đo:

Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?

( I ) và ( II ) .
( II ) , ( III ) và ( IV ) .
C. Chỉ

( I ) , ( II )

( I ) , ( II )
D. Chỉ

A. Chỉ

B. Chỉ

( III ) .
( IV ) .
và

và

Lời giải
Chọn A.

7π π
13π 5π
5π 3π
= − 2π
=
+ 2π −
=
− 2π
4
4
4
4
4
Ta có:

; 4
;
.
π
7π
−
4 có điểm cuối trùng nhau.
Suy ra chỉ có hai cung 4 và
Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được
trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy π = 3,1416 ).
A. 22054 cm .
B. 22063 cm .
C. 22054 mm .
D. 22044 cm .
−

Câu 38:

Lời giải
Chọn A.
Lời giải

Trang 9


l = Rα =

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có

πa

.R
180 nên

60.180
= 540
Trong 3 phút bánh xe quay được 20
vòng, bánh xe lăn được:

l = 6,5.540.2π ≈ 6,5.540.2.3,1416 ( cm ) ≈ 22054 ( cm )

Câu 39:

.

Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay của kim
( Ox, OA) = 30o + k 360o , k ∈ Z
( OA, AC )
đồng hồ, biết sđ

. Khi đó sđ

bằng:

A. 120 + k 360 , k ∈ Z . B. −45 + k 360 , k ∈ Z .
o

o

o

o

C. 45 + k 360 , k ∈ Z .
0

D. 90 + k 360 , k ∈ Z .

0

o

o

Lời giải
Chọn B.

AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ trùng tia AC nên góc
( OA, AC ) = −45o + k 360o , k ∈ Z

Tia
sđ
Câu 40:

.

Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou , Ov, Ox . Xét các hệ thức sau:

( I ) . sđ ( Ou, Ov ) = sđ ( Ou, Ox ) + sđ ( Ox, Ov ) + k 2π , k ∈ Z .
( II ) . sđ ( Ou, Ov ) = sđ ( Ox, Ov ) + sđ ( Ox, Ou ) + k 2π , k ∈ Z .
( III ) . sđ ( Ou, Ov ) = sđ ( Ov, Ox ) + sđ ( Ox, Ou ) + k 2π , k ∈ Z .

Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:
A. Chỉ

( I) .

B. Chỉ

( II ) .

C. Chỉ

( III ) .

D. Chỉ

( I)

và

( III ) .

Lời giải
Chọn A.
Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou , Ov, Ox , ta có
sđ
Câu 41:

( Ou, Ov ) + sđ ( Ov, Ox ) = sđ ( Ou, Ox ) + k 2π ( k ∈ ¢ ) .

Góc lượng giác có số đo α ( rad ) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo dạng :
A. α + k180 ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của

k ).
B. α + k 360 ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
C. α + k 2π ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
D. α + kπ ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
o

o

Lời giải
Chọn C.

( Ou, Ov )

Nếu một góc lượng giác
có số đo α radian thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu Ou , tia cuối
Ov có số đo α + 2kπ , k ∈ ¢ , mỗi góc tương ứng với một giá trị của k . Các cung lượng giác tương
ứng trên đường tròn định hướng tâm O cũng có tính chất như vậy. Tương tự cho đơn vị độ.
Trang 10


Câu 42:

Cho hai góc lượng giác có sđ
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

( Ox, Ou ) = −

5π
π
+ m 2π
( Ox, Ov ) = − + n2π
2
2
, m ∈ Z và sđ
, n∈Z.

Ou và Ov trùng nhau. B. Ou và Ov đối nhau.

π
C. Ou và Ov vuông góc. D. Tạo với nhau một góc 4 .
Lời giải
Chọn A.

5π
π
π
+ m 2π = − − 2π + m2π = − + ( m − 1) 2π
m∈Z.
2
2
2
Ta có:sđ
Vậy n = m − 1 do đó Ou và Ov trùng nhau.
63π
sđ ( Ox, Oz ) = −
2 thì hai tia Ox và Oz

Nếu góc lượng giác có

( Ox, Ou ) = −

Câu 43:

A. Trùng nhau.

3π
C. Tạo với nhau một góc bằng 4 .

B. Vuông góc.
D. Đối nhau.

Lời giải
Chọn B.

Ta có
Câu 44:

sđ ( Ox, Oz ) = −

63π π 64π π
= −
= − 32π
2
2
2
2
nên hai tia Ox và Oz vuông góc.

o
( Ox, Ou ) = 45 + m360o , m ∈ Z
( Ox, Ov ) = −135o + n360o , n ∈ Z

Cho hai góc lượng giác có sđ
Ta có hai tia

và sđ

Ou và Ov

o
A. Tạo với nhau góc 45 .
C. Đối nhau.

B. Trùng nhau.
D. Vuông góc.
Lời giải

Chọn C.

( Ox, Ov ) = −135o + n360o = 225o + n360o = 45o + 180o + n360o ( n ∈ Z) .

Ou và Ov đối nhau
Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay được số vòng bằng:
12960.
B. 32400.
C. 324000.
D. 64800.
Vậy, Ta có hai tia

Câu 45:

A.

Lời giải
Chọn B.

0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ)
Kim phút quay 9.60 = 540 vòng
Kim giây 540.60 = 32400 vòng
Từ

Câu 46:

o

Góc có số đo 120 được đổi sang số đo rad là :
A.

120π .

3π
B. 2 .

C. α .
Lời giải

Chọn D.

120π 2π
=
180
3 .
137
−
π
( Ou, Ov ) có số đo dương nhỏ nhất là:
5
Biết góc lượng giác α có số đo là
thì góc
180o = π ⇒ 120o =

Câu 47:

2π
D. 3 .

Trang 11

.


A.

0, 6π .

C. 1, 4π .

B. 27, 4π .

D. 0, 4π .

Lời giải
Chọn A.

137
π = −27, 4π
5
Ta có
. Vậy góc dương nhỏ nhất là 28π − 27, 4π = 0, 6π .
Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B′
π
π
α = + k 2π .
α = − + k 2π .
2
2
A.
B.
−

Câu 48:

o
o
C. a = 90 + k 360 .

o
o

D. a = –90 + k180 .

Lời giải
Chọn D.

¼′B = 180o = π
B
o
Cung có mút trùng với B hoặc B′ có chu kì π hoặc 180 .

Câu 49:

1
1
1
1
+
+
+
=6
2
2
2
2
Trên đường tròn định hướng gốc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sin x cos x tan x cot x
,
x
AM
với là số đo của cung
?

6
A. .
B. 4 .
C. 8 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn C.
ĐK: sin 2 x ≠ 0

1
1
1
1
1
1
+
+
+
=6 ⇔
+
+ cot 2 x + tan 2 x = 8
2
2
2
2
2
2
sin x cos x tan x cot x
sin x cos x
2

2
2
4
1
⇔
+
=8 ⇔
=8 ⇔
= 8 ⇔ sin 2 2 x = ⇔ cos 4 x = 0
2
2
2
2
2
sin x cos x
sin x.cos x
sin 2x
2
.
Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt.
Câu 50:

Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các cung lượng giác có số đo dưới đây
o
có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo 4200 .

o

A. 130 .

o

B. 120 .

C. −120 .
o

π
D. 8 .

Lời giải
Chọn C.

4200° = −120° + 12.360° nên cung có số đo −120o có ngọn cung trùng với ngọn cung có số đo
4200° .

Ta có
Câu 51:

Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10, 57 cm và kim phút dài 13,34 cm .Trong 30 phút mũi kim giờ vạch
lên cung tròn có độ dài là:
A. 2, 77 cm .

B. 2, 9 cm .

C. 2, 76 cm .

Lời giải
Trang 12

D. 2,8 cm .


Chọn A.

Câu 52:

π
Trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường tròn có bán kính 10, 57 cm và đi được cung có số đo là 24 nên
π
10,57. ; 2, 77 cm
24
độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là
.
π kπ
¼
AM = +
,k ∈Z
3 3
Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ
?
A. 6.

B. 4.

C. 3.
Lời giải

D. 12.

Chọn A.

π
2π
3π
4π
5π
k = 0, ¼
AM =
k = 1, ¼
AM =
k = 2, ¼
AM =
k = 3, ¼
AM =
k = 4, ¼
AM =
3;
3 ;
3 ;
3 ;
3 ;
7π
k = 6, ¼
AM =
¼
k = 5, AM = 2π ;
3 .
Câu 53:

Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay của kim
( Ox, OA) = 300 + k 3600 , k ∈ Z
( Ox, BC )

Trong mặt phẳng định hướng cho tia
đồng hồ, biết sđ

. Khi đó sđ

A. 175 + h360 , h ∈ Z .
o

sin a =
C.

bằng:

B. −210 + h360 , h ∈ Z .

o

o

o

5
3 π
π
; cos b =  < a < π ; 0 < b < ÷
13

52
2  . D. 210o + h360o , h ∈ Z .
Lời giải

Chọn D.

sđ ( Ox, BC ) = sđ ( Ox, OA′ ) = 210o + h360o , h ∈ Z
Câu 54:

.

π
Xét góc lượng giác 4 , trong đó M là điểm biểu diễn của góc lượng giác. Khi đó M thuộc góc phần tư nào ?
A. I .
B. II .
C. III .
D. IV .
Lời giải
Chọn A.

π
4 =1
Ta có 2π 8 . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.

Trang 13


π
Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 4 .
y

B

M
x
O

A'

A

B'
Câu 55:

Cho L, M , N , P lần lượt là các điểm chính giữa các cung AB, BC , CD, DA. Cung α có mút đầu trùng với

A và có số đo
A. L hoặc N .

α =−

3π
+ kπ .
4
Mút cuối của α trùng với điểm nào trong các điểm L, M , N , P ?
B. M hoặc P.
C. M hoặc N .
D. L hoặc P.
Lời giải

Chọn A.

»
Vì L là điểm chính giữa AB nên

»AL = π
4

»AN = −3π
»
4
Vì N là điểm chính giữa CD nên
»AN = −3π
4 và »AL = »AN + π
Ta có
Vậy L hoặc N là mút cuối của

Câu 56:

α =−

3π
+ kπ .
4

A và mút cuối trùng với một trong bốn điểm M , N , P, Q . Số đo của α là
π
π
π
π
α = +k .

α = +k .
o
o
o
o
4
4
4
2
A. α = 45 + k .180 .
B. α = 135 + k .360 . C.
D.

Cung α có mút đầu là

Lời giải
Chọn D.

π
¼
AM = 450 =
4
Số đo cung
¼ = NP
» = PQ
» = 900 = π
MN
2
Ta có

Trang 14


Để mút cuối cùng trùng với một trong bốn điểm M , N , P, Q thì

π
chu kì của cung α là 2

Vậy số đo cung
Câu 57:

α=

π
π
+k
4
2.

Biết OMB′ và ONB′ là các tam giác đều. Cung α có mút đầu là
Tính số đo của α ?

A.

α=

π
π
+k .
2

2

B.

α =−

π
π
+k .
6
3

C.

α=

A và mút cuối là B hoặc M hoặc N .

π
2π
+k
.
2
3

D.

α=

π

2π
+k
.
6
3

Lời giải
Chọn C.

Cung α có mút đầu là A và mút cuối là B nên

α=

π
2

( 1)

π
·
·
′ = NOB
′=
MOB
OMB′ và ONB′ là các tam giác đều nên
3
¼ ′M = MB
¼ ′N = 2π
⇒ BA
3

Cung α có mút đầu là A và mút cuối là M hoặc N nên

2π
¼
¼ = »AB + 2π »AN = ¼
¼ =¼
AM = »AB + BM
AM + MN
AM +
3 ,
3 ( 2)
2π
Chu kì của cung α là 3

Từ
Câu 58:

( 1) , ( 2 )

ta có

α=

π
2π
+k
.
2
3

Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay của kim
( Ox, OA) = 30 + k 360o , k ∈ Z
( Ox, AB )

Trong mặt phẳng định hướng cho tia
o

đồng hồ, biết sđ

. Khi đó sđ

bằng

A. 120 + n360 , n ∈ Z .

B. 60 + n360 , n ∈ Z .

C. −30 + n360 , n ∈ Z .

D. 60 + n360 , n ∈ Z .
Lời giải

o

0

o

0

o

o

Chọn B.

Trang 15

o

o


(

)

·
o ·
o ⇒ BDO
·
= 180o − 45o + 75o = 60o
Xét tam giác OBD, ta có OBD = 45 , BOD = 75

DẠNG . GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Câu 1.

Giá trị

A.

cot

89π
6 là

3
C. 3 .

B. − 3 .

3.

D.

–

3
3 .

Lời giải
Chọn B

cot
Biến đổi

Câu 2.

89π

π
 π

 π
= cot  − + 15π ÷ = cot  − ÷ = − cot = − 3
6
6
 6

 6
.
o

Giá trị của tan180 là
A. 1 .

B. 0 .

C. –1 .

D. Không xác định.

Lời giải
Chọn B
Biến đổi

Câu 3.

tan180o = tan ( 0o + 180o ) = tan 0o = 0

.

π
< a <π
Cho 2
. Kết quả đúng là
A. sin a > 0 , cos a > 0 . B. sin a < 0 , cos a < 0 . C. sin a > 0 , cos a < 0 . D. sin a < 0 , cos a > 0 .
Lời giải
Chọn C

π
< a <π
⇒ sin a > 0 , cos a < 0 .
Vì 2

Trang 16


Câu 4.

5π
2 . Kết quả đúng là
Cho
A. tan a > 0 , cot a > 0 .

B. tan a < 0 , cot a < 0 .

C. tan a > 0 , cot a < 0 .

D. tan a < 0 , cot a > 0 .

2π < a <

Lời giải
Chọn A

Vì

Câu 5.

2π < a <

5π
2 ⇒ tan a > 0 , cot a > 0 .

Đơn giản biểu thức

A = ( 1 – sin 2 x ) .cot 2 x + ( 1 – cot 2 x ) ,

A. A = sin x .

B. A = cos x .

2

ta có

C. A = – sin x .

2

2

D. A = – cos x .
2

Lời giải
Chọn A

A = ( 1 – sin 2 x ) .cot 2 x + ( 1 – cot 2 x ) = cot 2 x − cos 2 x + 1 − cot 2 x = sin 2 x
.
Câu 6.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?
A.

sin ( 1800 – a ) = – cos a

C.

sin ( 1800 – a ) = sin a

.

. D.

B.

sin ( 1800 – a ) = cos a

sin ( 1800 – a ) = − sin a

.

Lời giải

Chọn C.
Theo công thức.

Câu 7.

Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau

π

sin  − x ÷ = cos x
2

A.
.

π

sin  + x ÷ = cos x
2

B.
.

π


tan  − x ÷ = cot x
2

C.
.

π

tan  + x ÷ = cot x
2

D.
.
Lời giải

Chọn D.

A=
Câu 8.

Giá trị của biểu thức

cos 7500 + sin 4200
sin ( −3300 ) − cos ( −3900 )

Trang 17

bằng

.


A. −3 − 3 .

2 3
C. 3 − 1 .

B. 2 − 3 3 .

1− 3
3 .
D.

Lời giải

Chọn A.

A=

Câu 9.

cos 300 + sin 600
2 3
=
= −3 − 3
0
0
sin 30 − cos 30 1 − 3
.

π

π

π

π

A = cos  − α ÷+ sin  − α ÷− cos  + α ÷− sin  + α ÷
2

2

2

2
 , ta có :
Đơn giản biểu thức
A. A = 2sin a .
B. A = 2 cos a .
C. A = sin a – cos a . D. A = 0 .
Lời giải
Chọn A .

A = sin α + cos α + sin α − cos α ⇔ A = 2 sin α .
Câu 10.

Giá trị của cot1458° là
A. 1.

B.

−1 .

C.
Lời giải

0.

D.

5+2 5 .

Chọn D

cot1458° = cot ( 4.360° + 18° ) = cot18° = 5 + 2 5
Câu 11.

Trong các giá trị sau, sin α có thể nhận giá trị nào?

A.

4
B. 3 .

−0, 7 .

.

5
D. 2 .

C. − 2 .
Lời giải

Chọn A.
Vì

Câu 12.

−1 ≤ sin α ≤ 1 . Nên ta chọn A.

Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A.

C.

sin α + cos α = 1 .
2

1 + cot 2 α =

2

1
( α ≠ kπ , k ∈ ¢ )
sin 2 α
.

1 + tan 2 α =
B.

1 
π

 α ≠ + kπ , k ∈ ¢ ÷
2
cos α 
2
.

kπ


tan α + cot α = 1 α ≠
,k ∈¢÷
2

.
D.
Lời giải

Chọn D

Câu 13.

kπ



tan α .cot α = 1 α ≠
,k ∈¢÷
2

.
D sai vì :
1
tan α =
2 . Tính cot α
Cho biết
1
cot α =
4.
A. cot α = 2 .
B.

C.
Lời giải
Trang 18

cot α =

1
2.

D. cot α =

2.

Chọn A

⇒ cot α =

tan α .cot α = 1
3
π
sin α =
<α <π
5 và 2
Cho
. Giá trị của cosα là :
4
4
4
−
±
A. 5 .
B. 5 .
C. 5 .
Ta có :

Câu 14.

1
1
= =2
tan α 1
2

.

16
D. 25 .

Lời giải
Chọn B.

Câu 15.

4

cos α = 5
⇔
9 16
cos α = − 4
2
2
⇒ cos α =1 − sin α = 1 −
=
2
2

5 .
25 25
Ta có : sin α + cos α = 1
π
4
< α < π ⇒ cosα = −
5.

Vì 2
3
cot α − 2 tan α
sin α =
E=
0
0
5 và 90 < α < 180 . Giá trị của biểu thức
tan α + 3cot α là :
Cho
2
A. 57 .

B.

−

2
57 .

4
C. 57 .

D.

−

Lời giải
Chọn B.

Câu 16.

4

cos
α
=

5
⇔
9 16
cosα = − 4
⇒ cos 2 α =1 − sin 2 α = 1 −
=
2
2

5
sin α + cos α = 1
25 25
4
3
4
tan α = −
cot α = −
0
0 ⇒ cosα = −
5 . Vậy
4 và
3.

Vì 90 < α < 180
4
 3
− − 2.  − ÷
cot α − 2 tan α
3
 4 = − 2
E=
=
3
tan α + 3cot α
57
 4
− + 3.  − ÷
4
 3
.
3sin α + cos α
A=
sin α − cos α là :
Cho tan α = 2 . Giá trị của
5
B. 3 .

A. 5 .

C. 7 .
Lời giải

7

D. 3 .

Chọn C.

A=
Câu 17.

3sin α + cos α 3tan α + 1
=
=7
sin α − cos α
tan α − 1
.

Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?

sin α = 1 và cos α = 1 . B.
1
1
sin α =
cosα = −
2 và
2.
C.
A.

sin α =

3
1

cos α = −
2 và
2 .
D. sin α =
Lời giải
Trang 19

3 và cos α = 0 .

4
57 .


Chọn B
2

2
3
1 
sin α + cos α =  ÷ +  −
÷ =1
2  2 ÷

B đúng vì:
.
4
π
cos α =
0 <α <
5 với

2 . Tính sin α .
Cho
2

Câu 18.

sin α =

A.

2

1
5.

B.

sin α = −

1
5.

C.
Lời giải

sin α =

3
5.

sin α = ±

D.

Chọn C
2

9
4
3
sin α = 1 − cos α = 1 −  ÷ =
⇒ sin α = ±
25
5
5.
Ta có:
2

Do

Câu 19.

0 <α <

2

π
3
sin α =
2 nên sin α > 0 . Suy ra,

5 .

Tính α biết cos α = 1
A.

α = kπ ( k ∈ ¢ )

.

π
α = + k 2π ( k ∈ ¢ )
2
C.
.

B.
D.
Lời giải

α = k 2π ( k ∈ ¢ )

.

α = −π + k 2π ( k ∈ ¢ )

.

Chọn C

π

+ k 2π ( k ∈ ¢ )
2
Ta có: cos α = 1
.
π
3π
5π
7π
A = cos 2 + cos 2
+ cos 2
+ cos2
8
8
8
8 bằng
Giá trị của
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
⇔α =

Câu 20.

D. −1 .

Lời giải

Chọn C.

A = cos 2

3π 
 2π
π
3π
3π
π
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2 ⇔ A = 2  cos
÷
8
8 

8
8
8
8

π
π

⇔ A = 2  cos 2 + sin 2 ÷ = 2
8
8

.
Câu 21.

Cho tam giác ABC. Hãy tìm mệnh đề sai
A.
C.

sin

A+C
B
= cos
2
2.

sin ( A + B ) = sin C

B.
.

D.
Lời giải

Trang 20

cos

A+C
B
= sin
2
2.

cos ( A + B ) = cos C

.

3
5.


Chọn D .

Câu 22.

π

A = cos  α − ÷+ sin ( α − π )
2

Đơn giản biểu thức
, ta có
A. A = cos a + sin a .
B. A = 2sin a .
C. A = sin a – cos a .

D. A = 0 .

Lời giải
Chọn D.

π


A = cos  − α ÷− sin ( π − α )
2

A = sin α − sin α = 0 .

Câu 23.

Rút gọn biểu thức

A=

sin ( −2340 ) − cos 2160
sin1440 − cos1260
B. −2 .

A. 2 .

.tan 360

, ta có A bằng
D. −1 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn C.

−2 cos1800.sin 540
− sin 2340 + sin1260
.tan 360

0 ⇔ A=
0
0
A=
.tan 36
0
0
−
2sin
90
sin
−
36
( )
cos 54 − cos126
−1.sin 540 sin 36 0
⇔ A=
.
0
1sin ( −360 ) cos 36 ⇔ A = 1
.

Câu 24.

Biểu thức

( cot 44
B=

A. −1 .

0

+ tan 2260 ) .cos 4060
cos 316
B. 1 .

0

− cot 720.cot180

có kết quả rút gọn bằng

−1
C. 2 .

1
D. 2 .

Lời giải

Chọn B.

( cot 44
B=
Câu 25.

Cho
A.

−

0

+ tan 460 ) .cos 46 0
cos 440

cos α = –
5 2
13 ; 3 .

− cot 720.tan 720 ⇔ B =

2 cot 440.cos 460
−1
⇔ B = 2 −1 = 1 .
cos 440

12
π
<α <π
13 và 2
. Giá trị của sin α và tan α lần lượt là
2
5
5 5
−
−
B. 3 ; 12 .
C. 13 ; 12 .

Lời giải
Trang 21

5
5
−
D. 13 ; 12 .


Chọn D
2

25
 12 
π
5
sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 −  − ÷ =
<α <π
⇒ sin α =
13
169


13
Do 2
nên sin α > 0. Từ đó ta có

⇒ tan α =

Câu 26.

sin α
5
=−
cos α
12 .

Biết tan α = 2 và 180 < α < 270 . Giá trị cos α + sin α bằng
o

A.

−

o

3 5
5 .

3 5
C. 2 .

B. 1 – 5 .

D.

5 −1
2 .

Lời giải

Chọn A
Do 180 < α < 270 nên sin α < 0 và cos α < 0 . Từ đó
o

o

1
1 ⇒ cos α = − 1
2
2
=
1
+
tan
α
=
5
⇒
cos
α
=
2
5.
5
Ta có cos α

2
 1 
sin α = tan α .cos α = 2.  −
÷= −

5
5

cos α + sin α = −
Như vậy,

Câu 27.

2
1
3 5
−
=−
5 .
5
5

Biểu thức D = cos x.cot x + 3cos x – cot x + 2sin x không phụ thuộc x và bằng
2

2

2

B. –2 .

A. 2.

2

2

C. 3.

D. –3 .

Lời giải
Chọn A
2
2
2
D = cos 2 x.cot 2 x + 3cos 2 x – cot 2 x + 2sin 2 x = cos x + 2 + cot x ( cos x − 1)

= cos 2 x + 2 − cot 2 x.sin 2 x = cos 2 x + 2 − cos 2 x = 2 .
Câu 28.

Cho biết
A. 6.

cot x =

1
2
A=
2
2 . Giá trị biểu thức
sin x − sin x.cos x − cos 2 x bằng
B. 8.

C. 10.

Lời giải

Chọn C

Trang 22

D. 12.


 1
2
2
2
1 + ÷
2 ( 1 + cot x )
2
2
4
sin
x
A=
=
=
= 
= 10.
2
2
2
2
1

sin x − sin x.cos x − cos x 1 − cot x − cot x 1 − cot x − cot x 1 − − 1
2 4

A=
Câu 29.

sin ( −3280 ) .sin 9580

Biểu thức

cot 5720

A. −1 .

−

cos ( −5080 ) .cos ( −10220 )
tan ( −2120 )

rút gọn bằng:

C. 0 .

B. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn A

A=

sin ( −3280 ) .sin 9580
cot 5720

⇔ A=−
A=−
Câu 30.

−

cos ( −5080 ) .cos ( −10220 )
tan ( −2120 )

sin 320.sin 580 cos 320.cos 580
−
cot 320
tan 320

sin 320.cos 320 cos 320.sin 320
−
= − sin 2 320 − cos 2 320 = −1.
0
0
cot 32
tan 32

Biểu thức:

2003π


A = cos ( α + 26π ) − 2sin ( α − 7π ) − cos1,5π − cos  α +
2



÷+ cos ( α − 1,5π ) .cot ( α − 8π )


có kết quả thu gọn bằng :
A. − sin α .

B. sin α .

C. − cos α .

D. cos α .

Lời giải
Chọn B

π

A = cos ( α + 26π ) − 2sin ( α − 7π ) − cos ( 1,5π ) − cos  α + 2003 ÷+ cos ( α − 1,5π ) .cot ( α − 8π )
2


π
π
π 



A = cos α − 2sin ( α − π ) − cos  ÷− cos( α − ÷+ cos  α + ÷.cot α
2
2
2


A = cos α + 2 sin α − 0 − sin α − sin α .cot α = cos α + sin α − cos α = sin α .
Câu 31.

4
3π
< α < 2π
5 với 2
Cho
. Khi đó :
4
5
sin α = −
cos α = −
41 ,
41 .
A.
tan α = −

C.

sin α = −

4
5
cos α =
41
41 .

sin α =

4
5
cos α =
41 ,
41 .

sin α =

4
5
cos α = −
41 ,
41 .

B.

D.
Lời giải
Trang 23


Chọn C

1 + tan 2 α =

1
16
1
1
41
25 ⇒ cos α = ± 5
⇒ 1+
=
⇒
=
⇒ cos 2 α =
2
2
2
41
cos α
25 cos α
cos α 25
41

sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 −

25 16 → sin α = ± 4
=
41
41 41


cos α > 0 → cos α =
⇒

3π
< α < 2π
sin α < 0 → sin α = −
2

Câu 32.

Cho

A.

cos150 =

5
41
4
41 .

2+ 3
ο
2
. Giá trị của tan15 bằng :

3−2

B.

2− 3
2

2+ 3
4
D.

C. 2 − 3
Lời giải

Chọn C

tan 2 150 =

A=
Câu 33.

(

1
4
−1 =
−1 = 2 − 3
2
0
cos 15
2+ 3

Biểu thức

)

2

⇒ tan150 = 2 − 3 .

sin 5150.cos ( −4750 ) + cot 2220.cot 4080
cot 4150.cot ( −5050 ) + tan197 0.tan 730

1 2 0
sin 25
A. 2
.

1
cos 2 550
B. 2
.

có kết quả rút gọn bằng

1
cos 2 250
C. 2
.

1 2 0
sin 65
D. 2

.

Lời giải

Chọn C .

(

)

sin1550.cos1150 + cot 420.cot 480
sin 250. − sin 250 + cot 420.tan 420
A=
cot 550.cot ( −1450 ) + tan17 0.cot17 0 ⇔ A =
cot 550.tan 550 + 1
⇔ A=

Câu 34.

− sin 2 250 + 1
cos 2 250
⇔ A=
2
2
.

Đơn giản biểu thức

A =

A. A = cos x + sin x .

2 cos 2 x − 1
sin x + cos x ta có
B. A = cos x – sin x .

C. A = sin x – cos x .

Lời giải
Trang 24

D. A = − sin x – cos x .


Chọn B
2
2
2
2 cos 2 x − 1 2 cos x − ( sin x + cos x ) cos 2 x − sin 2 x
A =
=
=
sin x + cos x
sin x + cos x
sin x + cos x
Ta có

=

( cos x − sin x ) ( cos x + sin x )

sin x + cos x

= cos x − sin x

Như vậy, A = cos x – sin x .

Câu 35.

Biết

A.

C.

2
2 . Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ?

sin α + cos α =

sin α .cos α = –

1
4.

sin 4 α + cos 4 α =

B.

7
8.

sin α − cos α = ±

6
2 .

D. tan α + cot α = 12 .
2

2

Lời giải
Chọn D

Ta có

2
1
1
1
2
⇒ ( sin α + cos α ) = ⇒ 1 + 2sin α cos α = ⇒ sin α cos α = −
2
2
2
4

sin α + cos α =

2

 1 6
⇒ ( sin α − cos α ) = 1 − 2sin α cos α = 1 − 2  − ÷ = ⇒ sin α − cos α = ± 6
 4 4
2

⇒ sin α + cos α = ( sin α + cos α )
4

4

2

2

2

2

7
 1
− 2sin α cos α = 1 − 2  − ÷ =
8
 4
2

2

7
sin α + cos α
⇒ tan 2 α + cot 2 α =

= 8 2 = 14
2
2
sin α cos α
 1
− ÷
 4
4

4

Như vậy, tan α + cot α = 12 là kết quả sai.
2

Câu 36.

2

Tính giá trị của biểu thức A = sin x + cos x + 3sin x cos x .
6

A. A = –1 .

B. A = 1 .

6

2

2

C. A = 4 .

D. A = –4 .

Lời giải
Chọn B

A = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 x cos 2 x = ( sin 2 x ) + ( cos 2 x ) + 3sin 2 x cos 2 x
3

Ta có

3

= ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3 sin 2 x.cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x ) + 3 sin 2 x cos 2 x = 1
3

Trang 25

.