Đồng nhất thức Fierz

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới thầy giáo ThS. Hà Thanh Hùng là người đã trực tiếp hướng dẫn, tận
tình chỉ bảo và dìu dắt tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn chỉnh khóa
luận tốt nghiệp.
Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật lí, các
thầy giáo, cô giáo trong khoa và tổ Vật lý lý thuyết – Trường đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã cung cấp cho tôi nền tảng kiến thức quý báu cùng sự giúp đỡ,
quan tâm, động viên nhiệt tình để tôi có thể hoàn thành khóa luận của mình.
Nhân dịp hoàn thành khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự
giúp đỡ quý báu đó.
Cuối cùng, bằng tình cảm chân thành nhất, tôi xin gửi lời cảm ơn đến
những người thân trong gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng đề tài vẫn không tránh khỏi những thiếu
sót. Kính mong sự đóng góp quý báu từ phía các thầy cô và các bạn để đề tài
của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Hương


LỜI CAM ĐOAN

Để đảm bảo tính trung thực của khóa luận, tôi xin cam đoan:
● Khóa luận tốt nghiệp “Đồng nhất thức Fierz” là công trình nghiên
cứu của cá nhân tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ThS. Hà
Thanh Hùng.
● Các kết quả nghiên cứu trong khóa luận đều trung thực, nội dung

khóa luận không trùng lặp với các công trình nghiên cứu của các tác giả trước
đã công bố.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Hương


MỤC LỤC
PHẦN I. MỞ ĐẦU........................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài.......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................. 2
4. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................. 2
5. Phạm vi nghiên cứu..................................................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 3
7. Cấu trúc khóa luận....................................................................................... 3
PHẦN 2: NỘI DUNG...................................................................................... 4
CHƯƠNG 1. MA TRẬN DIRAC................................................................... 4
1.1. Phương trình Dirac................................................................................... 4
1.2. Spinor Dirac............................................................................................. 8
1.3. Ma trận Dirac.......................................................................................... 10
CHƯƠNG 2. ĐỒNG NHẤT THỨC FIERZ................................................ 15
2.1. Spinor Weyl............................................................................................ 15
2.2. Spinor Majorana..................................................................................... 18
2.3. Dạng song tuyến tính Dirac.................................................................... 20
2.4. Đồng nhất thức Fierz.............................................................................. 23
CHƯƠNG 3. ÁP DỤNG ĐỒNG NHẤT THỨC FIERZ TÍNH BIÊN




ĐỘ TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH TÁN XẠ e e 





e e .........................25

1
3.1. Quy tắc Feynman cho trường spin ....................................................... 25
2
3.2. Áp dụng đồng nhất thức Fierz tính biên độ tán xạ của quá trình tán xạ
 

ee 

 

e e ................................................................................................... 27

PHẦN III. KẾT LUẬN................................................................................. 34
PHẦN IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................... 35


PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí học là một trong những môn khoa học nghiên cứu các quy luật từ
đơn giản đến tổng quát của tự nhiên. Vật lí học nghiên cứu cấu trúc, tính chất
của vật chất thông qua các quy luật, định lý. Cùng với sự phát triển của loài

người, vật lí học trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được những thành
tựu đáng kể.
Vật chất được cấu tạo như thế nào? Đây có lẽ là câu hỏi khó nhất và có ý
nghĩa lớn lao đối với khoa học mà hiện nay con người vẫn đang trong quá
trình đi tìm câu trả lời.
Vật lí hạt cơ bản là môn học nghiên cứu về các hạt nhỏ nhất tạo nên vật
chất, vật lí hiện đại đã khẳng định rằng vật chất được cấu tạo từ rất nhiều loại
hạt sơ cấp: các quark (quark lên u, quark xuống d, quark duyên c, quark lạ s,
quark đỉnh t, quark đáy b), các lepton (electron e và phản electron e , muon

 và phản muon  , tauon  và phản tauon  , neutrino  ,








e



, 

và các

phản netrino tương ứng e , ,  ,…), các boson (photon  , gluon g, boson
W



và boson Z 0 ). Vật lí hạt cơ bản đang được đặc biệt quan tâm, nó không

chỉ giới hạn trong phòng thí nghiệm mà còn mang tầm cỡ quốc gia, quốc tế.
Lý thuyết trường là công cụ chủ yếu để nghiên cứu các quá trình tương
tác giữa các hạt cơ bản trong thế giới vi mô. Lý thuyết trường lượng tử giúp ta
tìm hiểu bản chất cấu trúc, bản chất tương tác của các phân tử, nguyên tử, hạt
nhân và các hạt cơ bản. Từ đó, nhận biết các quá trình và quy luật vật lí diễn
ra trong thế giới vi mô nhằm giải thích các hiện tượng của thế giới vĩ mô.
Trong tính toán lý thuyết trường, toán học là một công cụ vô cùng quan
trọng. Nó gắn liền với nhịp thở và sự phát triển của tri thức nhân loại nói
1


chung và ngành vật lí học nói riêng, góp phần khám phá ra những kiến thức
mới để ngày càng hoàn thiện bức tranh vật lí hiện đại.
Khi nghiên cứu trường spinor, ta có nhu cầu viết lại thứ tự của các
spinor. Vì vậy, ta cần các công thức toán học thể hiện mối quan hệ này. Một
trong số đó là đồng nhất thức Fierz. Nhờ có đồng nhất thức này mà việc tính
toán của chúng ta trở nên dễ dàng và ngắn gọn hơn. Ta sẽ đặc biệt thấy rõ tầm
quan trọng của đồng nhất thức này trong việc tính biên độ tán xạ của các quá
trình tán xạ, từ đó đi sâu vào nghiên cứu quá trình tương tác giữa các hạt.
Đó là chính là lí do mà tôi chọn đề tài mang tên nhà vật lí học nổi tiếng
người Thụy Sĩ Markus Fierz: “Đồng nhất thức Fierz”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về đồng nhất thức Fierz.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
● Nghiên cứu về phương trình Dirac, spinor Dirac, ma trận Dirac.
● Nghiên cứu về các spinor Weyl và spinor Majorana.

● Nghiên cứu về song tuyến tính Dirac.
● Nghiên cứu về đồng nhất thức Fierz.
● Nghiên cứu về giản đồ Feynman cho trường spinor có spin

1
2

.

● Áp dụng đồng nhất thức Fierz để tính biên độ tán xạ của quá trình tán
 

 

xạ e e  e e .
4. Đối tượng nghiên cứu
● Đồng nhất thức Fierz.
● Quá trình tán xạ.
5. Phạm vi nghiên cứu
Trường spinor.


6. Phương pháp nghiên cứu
● Nghiên cứu lý thuyết.
● Phân tích đánh giá, tổng hợp kết quả.
● Phương pháp vật lí – toán.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1. Ma trận Dirac.
Chương 2. Đồng nhất thức Fierz.

Chương 3. Áp dụng đồng nhất thức Fierz tính biên độ tán xạ của quá








trình tán xạ e e  e e .


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. MA TRẬN DIRAC
1.1. Phương trình Dirac
Phương trình Klein-Gordon gặp khó khăn về mật độ xác suất âm và
1
không mô tả được các hạt có spin bằng . Điều đó đòi hỏi phải tìm một
2
phương trình khác có thể ứng dụng cho các electron. Dirac đã giải quyết được
vấn đề này.
Từ phương trình Klein-Gordon mô tả hạt vô hướng tương đối tính (hạt
có spin bằng 0):
2


t

2

2

2





x





2

y

2

2




z

2

m

2

   m  .
2

Hay
trong đó:

2

( □ m )  0 ,
2

2
□=
 .
t
2

(1.1.1)

2

Bây giờ ta đi tìm dạng hiệp biến của phương trình Klein-Gordon qua
việc đưa vào định nghĩa:
P  i 

x

  0,1, 2,3 .

Khi đó toán tử Klein-Gordon có dạng:
2

□m



2

  P P  m .

Để tách toán tử Klein-Gordon thành tích của hai số hạng tuyến tính theo
P :
□ m2  Pm   Pm 

(1.1.2)


ta biểu diễn P theo hệ tuyến tính của P như sau:
P  P   .


Khi đó:



2

P  P P

   ,




.



(

 g P P  P P 
1
 P P (         )
2

  





P 

)

P 








  2g ,

(1.1.3)

với g là tensor metric thỏa mãn:

  g  
1

g



)(

g 



dia
g

1 0 0



0
1 0

0 0 1
0 0 0


1, 1, 1, 1

0



0

.
0 
1


Như vậy các với chỉ số khác nhau phản giao hoán nên không là số,
thường mà là các ma trận.
Giả sử 



là các ma trận bậc n,    thì:
 

 
         I   .

với I là ma trận đơn vị
Lấy det 2 vế ta được:





 
det (   )  det (  I   )









det  det   det (  I) det (  ) det (  )
 det (  I )  1.




Vì  ,  là những ma trận bậc n nên I cũng là ma trận bậc n, do đó ta có:

det(I ) 

1
0

0
1

0 
0 

0
0


0

0

0 

1

1


tức là  1 n  1

 n phải chẵn.

Xét các trường hợp của n

● Trường hợp 1: Với n = 2
Ta lập được 4 ma trận hạng 2 độc lập tuyến tính với nhau, đó là 3 ma
trận Pauli và một ma trận đơn vị:
 0 i 
1 0
1 0

 ,  3 
, I
.
i 0
 0 1
 0 1
, , thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

1
 ,  2
1
1 0
Ta có các ma trận 



0

1

2

3

 ,

1

2

2

1

  ,
2

3

3

  .
3

Nhưng

I i   i I  i  1, 2, 3

1

1

2

3

nên không thỏa mãn hệ thức giao hoán.

Do vậy, các ma trận hạng 2 không đáp ứng được.
● Trường hợp 2: Với n = 4
Ta chọn:
I

0
 0
k
 
,




k
0
I


 
 k là các ma trận Pauli
0

trong đó

 k

.
0

(1.1.4)

I là các ma trận đơn vị cấp 2.
Hay:

 0 

 1
0

0
1

0
0

0
0


0 1
0 0

0 
0

,
0
1


 1 

 0
0

0
0

0 1 
1 0
,

0
1


1
0

0 0
0 0



 2 

0

0
0
i


0 0 i 

0 i 0
,
i 0 0
0 0 0


 3 

 0
0
 1
0


0 1 0 
0 0 1
.
0 0 0
1 0 0


Các ma trận này độc lập tuyến tính với nhau và thỏa mãn các hệ thức
giao hoán.
Vì vậy Dirac đã chọn các 



là các ma trận dạng 4  4 , và gọi là các ma

trận Dirac.
Các ma trận Dirac xác định chỉ chính xác đến một biến đổi unita.
Thay (1.1.2) vào (1.1.1) ta được:


( P m)(
P


 m )  0 .


Ta đòi hỏi  thỏa mãn một trong hai phương trình sau:
 i    m   (x)  0 ,


 x





 i 
 m  (x)  0 .
hoặc


 x



(1.1.5)

Thông thường ta chọn phương trình thứ hai. Phương trình trên mô tả hạt
1
có spin và có tên gọi là phương trình Dirac.
2
Hàm sóng  (x) có bốn thành phần. Ta tìm cách tách nó thành hai thành
phần như sau:

 (x)    1 (x)  .



(x)



(1.1.6)

2

Thay (1.1.6) vào (1.1.5) và chú ý tới (1.1.4), ta có:
 
k  
i

i

 2 (x)  m1 (x) ,

0
k
x
x




 
k  
i

i


  1 (x)  m 2 (x) .
 x0
 xk

(1.1.7)






Từ hệ phương trình (1.1.7) ta thấy: nếu m = 0 thì hàm sóng hai thành
phần  (x) và 
(x) là nghiệm riêng của phương trình Dirac. Trường hợp này
1
2
có tên gọi là spinor Weyl  (x) và phương trình Weyl.
k
Người ta đưa vào định nghĩa liên hợp Dirac:    0
trình sau:

thỏa mãn phương


 ( i    m )  0 .






Xét dòng : j     .
Ta có:



 j  (  ) 




 ()



Do đó dòng
0





j   

j 

( im )  (  im )  0 .



0

bảo toàn, nên mật độ dòng j0 :




 

2
1

 

2
2

 

2
3

 

2
4

là dương.
Như vậy, phương trình Dirac cho đáp số về mật độ xác suất dương của
các hạt rất rõ ràng, còn phương trình Klein-Gordon không rõ ràng như vậy.
1.2. Spinor Dirac
Phương trình Dirac (1.1.5) là hệ bốn phương trình và phải có bốn
nghiệm. Tách thành phần phụ thuộc thời gian, ta viết bốn lời giải sóng phẳng
như sau:




trong đó

ur và
vr
u1, 2

ur e
vre

 i p x 

i p x 

,

,
r  1, 2 .

(1.2.1)

là các spinor 4 thành phần,

tương ứng với hạt có xung lượng p và năng lương E,

v1, 2 tương ứng với trạng thái có xung lượng - p và năng lượng - E là
trạng thái năng lượng âm (phản hạt).


Khi đó phương trình (1.1.5) trở thành:



( p – m)

ur

0,



(  p  m ) vr  0 .
Vì các ma trận Dirac chỉ xác định chính xác tới một biến đổi unita nên
các spinor ui , vi i, j  1,
,
2
unita.

cũng chỉ xác định chính xác tới một phép biến đổi

Các spinor u, v thỏa mãn các hệ thức sau:
1

1

u u  1,
1 1

v v  1,








u ( p) u ( p) 

  ,



v ( p) v ( p)    ,

u ( p) v ( p)  0 ,




u ( p) u ( p)






v ( p) v ( p) 

E

  .

m

Các spinor thỏa mãn các phương trình sau:
( p  m) u ( p)  0 ,
u ( p) ( p  m)  0 ,

(1.2.2)

( p  m) v ( p)  0 ,


ở đây

pp .


v ( p) (  m)  0 .
p

(1.2.3)



Xét toán tử :
P   u ( p) u ( p) 






p  m
2m ,


P   v ( p) v ( p) 






–
p



m
2m

.


Đây là các toán tử chiếu vì:
P2 
P2 

u





v






( p) u ( p) u ( p) u ( p)   u ( p) u ( p)  P






( p) v ( p) v ( p) v ( p)  






v



( p) v ( p)  P



1.3. Ma trận Dirac
Các ma trận gamma thỏa mãn tính chất:

         2 g .

(1.3.1)

Các ma trận gamma  là các ma trận 4  4 .
Các ma trận  khác nhau nhưng vẫn thỏa mãn hệ thức trên đều mô tả các
trạng thái như nhau của hạt.
Người ta đưa thêm vào ma trận  5 sao cho:

  i   
5

0 1 2


i



3

4!

 ,   0 ,
5

       ,





2

 5  1.
với  

(1.3.2)

là tensor phản đối xứng hoàn toàn



0123

 1, 

0123

1230

 1, 

 1.

Ma trận Dirac có những tính chất sau:
Các ma trận Dirac được xác định chính xác đến một phép biến đổi unita

 k  O  k O 1 ,
với O là một ma trận unita bất kì có nghịch đảo.
Liên hợp Dirac của ma trận Dirac bất kì A được định nghĩa như sau:
A A .
0



0

(1.3.3)

Từ (1.3.2) ta có:


5

5

   ,



  ,
10













  ...   ...  ,

11


   ...  5 ...     ...  5    ...    ,
  k  gkn 

n

( k  0, 1, 2, 3, 5 ) .

 ,

Ta có thể thấy rằng
1.  5  biến đổi như đại lượng giả vô hướng.

2.  5   biến đổi như đại lượng giả vector.
Để cho cụ thể ta chọn biểu diễn của các ma trận Dirac trong đó 

0

là

chéo
I

i
0
 0

i
 
 
,
,
i
0
 0 I 
 
trong đó
I là ma trận đơn vị 2  2 ,
0

 5 

0

 I

I 
,
0

 là ma trận Pauli.
Vết của số lẻ các ma trận Dirac bằng 0.
Thật vậy, tính chất vòng của vết, kết hợp với tính phản giao hoán của ma
trận 
5

với các ma trận   cho ta
Tr(   ...
)
n1

n2

n2 n1

n3

 Tr(   ...
1

n

2

3

n

n

n

 Tr( n n ...n
1

2

3

2 n1

  )  Tr(    ...

n2 n1

5

5

1

5

2

n

n

3

n

n

 5 5)  Tr(  n ...
n
n
1

2

3

2 n1

)
5

)
2 n1

Từ (1.3.3) ta thấy
Tr(   ...

n1

n2

n3

n2 n1

)0.

Một số công thức thông dụng khác
Tr(    )  4g ,
Tr(        )  4 (g g  g g  g g ) , Tr( 5

     )   4i  .

 

(1.3.4)


Ta kí hiệu k  k 



khi đó:

Tr(k p )  4k. p ,
Tr(k   p   )  4 (k p  k p  g  k. p) .
Ta có thể đòi hỏi

hoặc

(i



(i






x

x



 m) (x)  0 ,

(1.3.5)

 m) (x)  0 .

(1.3.6)

Hai phương trình này chính là phương trình Dirac (1.1.5) đã nói ở trên.
Lagrangian tự do của trường spinor khối lượng m có dạng:

i
D


L0    (x)   (x)    (x)   (x)   m (x) (x) ,

2 



trong đó  (x)   (x)  gọi là liên hợp Dirac.


0

Trong thực tế, người ta thường sử dụng Lagrangian tự do sau:
D

L0  i



 

(x) ( )   (x)  m



(x)   (x)  i (x) 



 (x)  m (x)  (x) ,

trong đó ta đã lưu ý đến việc các trường spinor  có chỉ số Dirac  . Phương
 (1.3.6) và
trình chuyển động Euler-Lagrange có dạng
0
 
 x i    m 
,






với   x      x .
Dễ dàng thu được hàm truyền của trường Dirac
D  k  
F

i

i  k  m 
i
.
 2
2
k  m 

k  m  i

Hàm sóng thỏa mãn phương trình (1.1.6) có dạng:

 (x)  

 (x)  


3

dk (2 ) 2k
dk (2 ) 2k
3



0

 a

(k, s)u

ikx

v (k, s) e  ,
s

ikx0



 b (k, s)

s

(k, s) e

 b (k, s) v (k, s) e

 ikx

 a  (k, s) u (k, s) eikx  ,
(1.3.7)




trong đó u, v là các spinor Dirac thỏa mãn phương trình:
u (k, s)(k  m)  0 ,

(k  m)u(k,  s)  0 ,

v (k, s)(k  m)  0 ,

(k  m)v(k, s)  0 .

Toán tử a  k, s  và

a  k, s

tương ứng là toán tử sinh và hủy hạt với

xung lượng k và phân cực s. Còn

b  k, s

và b k, s

tương ứng là toán tử

sinh và hủy phản hạt với xung lượng k và phân cực s.
Các toán tử trên thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán sau:

 a  k, s , a q, s       k  q ,
 b  k, s , b  q, s      k  q ,


s ,s

s ,s



 a  k, s , a  k, s     a  k, s , a q, s    0 ,
 b  k, s , b q, s     b  k, s , b  q, s    0 ,
 a  k, s , b q, s     a  k, s , b q, s    0 ,
 a  k, s , b q, s     a  k, s , b q, s    0 .


Từ (1.3.7) suy ra  (x)















(1.3.8)

mô tả sự hủy hạt hoặc sinh phản hạt tại điểm x,

còn  (x) mô tả sự sinh hạt hoặc hủy phản hạt.

 (x)

 (x)

Hình 1. Hàm sóng của trường spinor và sự hủy hạt.
Từ phương trình Dirac, ta có:
  x 

i   m   x  i
i

i

0

t

 i   x  .
0


Do vậy Lagrangian có dạng:
LD  i   x    x   ...
0

trong đó … là các số hạng không chứa   x  . Nếu coi   x 

như là tọa độ

tổng quát thì xung lượng tương ứng là:
L D0  
i

   x

P  x  



 x .

Do vậy ta có hệ thức phản giao hoán

   t, x , P  t, x   i  t, x  x 
  t, x ,   t, x    3  x 
3









,



 ,



x 



  t, x , t, x      t, x ,  t, x  









0 . (1.3.9)

Dựa vào các phản giao hoán tử (1.3.8) ta có các hệ thức phản giao hoán
sau:

   t, x   t, x d x,
 t, x       t, x  ,
   t, x   t, x d x,  t, x   t, x d x     t, x  ,  t, x d x .


3









3

3

trong đó Γ là các ma trận dạng   , 5 



3

,….

Bằng việc chọn pha thích hợp ta có các hệ thức thông dụng sau:
v(k, s)   u
2



u(k, s)   v (k, s),


(k,
s),

2
0

 0u(k, s)  u(k, s)

 v(k, s)  v(k, s) ,

,

2 u (k, s)  ei ( p ,s )u(k,
trong đó

2

 v (k, s)  ei (  p ,s )v(k, s) .

s) ,

ei (p, s )  ei ( p, s ) ,
 0



 2 
.

0




CHƯƠNG 2. ĐỒNG NHẤT THỨC FIERZ
2.1. Spinor Weyl
Trường spin

1

không khối lượng ( m = 0) sẽ thỏa mãn phương trình:

2


   (x)  0 .

(2.1.1)



Vì    x

cũng thỏa mãn phương trình chuyển động:

5

    [  (x)]  0

(2.1.2)

5

  
,
L
R

Ta có thể tách:
trong đó

1
 (1   )  P  ,

L
5
L 2
1
 (1   )  P  .

5
R
R 2
Các toán tử

PL ,
PR

(2.1.3)

là các toán tử chiếu vì thỏa mãn các điều kiện sau đây:

2

P P,
L

L

2

P P,
R

P  P  1,

R

L

Từ (2.1.1) và (2.1.2) ta có 
L

và 

R

R

PP 0.
L

R

đều thỏa mãn phương trình chuyển

động:

  (x)  0
L


 

R

(x)  0.

(2.1.4)

,



Công thức (2.1.4) cho thấy các thành phần trái (L) và thành phần phải
(R) là nghiệm riêng của ma trận 
5

là nghiệm riêng của ma trận 

hay nói cách khác đi: chirality (trái, phải)

5

    ,
5

L

5  R .

Hàm sóng cho phần trái và phải được minh họa ở hình 2 có dạng sau:



  1   1   ikx  
1 
1  ikx 
a k,
u k,
e  b k, 
v k, 
e ,
 


 


 
2
2
2
2
3
(2 ) 2 k  
 


 



0



 
1 
1   ikx   1   1  ikx 
a k, 
u k, 
e  b k,
v k,
e .
 


 


 
2
2
2
2
3
(2 ) 2 k  
 



 


0

dk

 (x) 
L

dk

 (x) 
R

Trong trường hợp này, Lagrangian có dạng:
L  i   x      x  ,


D 0

bất biến dưới phép biến đổi

   5 .

Do vậy ta đặt điều kiện phụ

hoặc

 5  

hệ quả

  ,R

 5   

hệ quả

   .R

Điều kiện này chỉ đúng khi khối lượng m = 0. Người ta gọi spinor Dirac

 (x) là vector spinor, còn spinor 

L,
R

là chiral spinor.

k

s

k

1

s 

2

L

R
Hình 2. Các trường xoắn trái 

L

và xoắn phải  R.

Các toán tử P ở trên có dạng cụ thể là:
L,
R

1
1 I
P  (1   ) 

I  ;

P 

1

(1  

1
2

)

1I

I

.
R

(2.1.5)
2

5


2 I


I




R

2

5


2 I


I


Như vậy biểu thức cho spinor phân cực phải là:
 1
  1 3 
 


  P
 2 1  2  4   1  ,
 P R   

R
R
 
 1 








2

1
3
 3


 4 
  2   4 
trong đó

 1

(2.1.6)

1   1  3  
  .
2  2
4

Biểu thức cho spinor phân cực trái là:
 1 
 1   3
 2
 2
4 
1
  P  P     1          ,
L
L
 
L

 
 2 
2    
3
  
 1   3 
 4
 2
4

(2.1.7)

trong đó
1   1  3 
2    .
2  2
4
Như vậy phương trình (2.1.1) tách thành hai phương trình gọi là
phương trình Weyl:

       (x)  0 ,
       (x)  0 .
0

1

0

(2.1.8)

2

Để thiết lập ý nghĩa vật lí ta chuyển sang không gian xung lượng

 (x) 
a

1
(2 )

 dp  e 
ipx

32

,





( p)  e  ( p) 
ipx



  1, 2 .



Khi đó phương trình Weyl có dạng:
(p0 – σ.p)1 ( p)  0 ,
(p0 + σ.p)2 ( p)  0 .
với p0  p .

(2.1.9)