Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (276.68 KB, 8 trang )
Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G
1
Một vài ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho các số
và
(
)
=
(
+
)(
+
)
…
(
+
)
.Khi đó
a)
∑
(
−1
)
(
)
=
(
−1
)
!
b)
∑
(
)
(
)
=
(
)
−
(
0
)
Giải:
a) Đặt
1 2
1 2
( )( ) ( )
( ) 1
( 1)( 2) ( ) 1 2
n n
x a x a x a x
x x
g x
x x x n x x x n
Quy đồng mẫu số, ta có
(
−
)
…
(
−
)
=
(
+ 1
)(
+ 2
)
…
(
+
)
+
(
+ 2
)
…
(
+
)
+
(
+ 1
)(
+ 3
)
…
(
+
)
+ ⋯
+
(
+ 1
)(
+ 2
)
…
(
+ −1
)
Cho = −1,−2,…,− ta nhận được
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
=
(
−1
)
(
1
)
(
−1
)
!
=
(
−1
)
(
2
)
(
−2
)
!
….
=
(
−1
)
(
)
(
−1
)
!
Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G
2
Vậy
(
−
)(
−
)
…
(
−
)
(
+ 1
)(
+ 2
)
…
(
+
)
−1
=
(
−1
)
(
1
)
(
+ 1
)(
−1
)
!
+
(
−1
)
(
2
)
(
+ 2
)
1!
(
−2
)
!
+ ⋯+
(
−1
)
(
)
(
+
)(
−1
)
!
Cho = 0 ,ta có :
(
−1
)
(0)
!
−1=
(
−1
)
(
1
)
(
−1
)
!
+
(
−1
)
(
2
)
2!
(
−2
)
!
+ ⋯+
(
−1
)
(
)
!
Từ đây suy ra
(
−1
)
(
)
=
(
−1
)
!
b)Ta biểu diễn
1 2 1 2
( )( ) ( )
( 1)( 2) ( )(2 1) 1 2 2 1
n n
x a x a x a x
x x
y
x x x n x x x x n x
Từ đó suy ra
1 2
1
( )( ) ( ) ( 1) ( )
[x ( 2) ( ) ( 1) ( 1)](2 1)
n
n
x a x a x a y x x n
x x n x x x n x
Cho x=-1/2,-1,-2, ,-n, ta có
Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G
3
1
( 1) ( )
2
à
1 1 1
(1 )(2 ) ( )
2 2 2
n
f
y
n
v
1
1
2
( 1) (1)
( 1)!
( 1) (2)
3.1!( 2)!
( )
(2 1)( 1)!
n
n
n
f
x
n
f
x
n
f n
x
n n
Do đó ta có :
1 2
1
1
( 1) ( )
( )( ) ( )
2
1 1 1
( 1)( 2) ( )
(2 1)(1 )(2 ) ( )
2 2 2
( 1) (1) ( 1) (2) ( )
1.( 1)( 1)! 3.( 2)1!( 2)! (2 1)( )( 1)!
n
n
n n
f
x a x a x a
x x x n
x n
f f f n
x n x n n x n n
+
Vậy :
∑
(
)
(
)
=
(
)
−
(
0
)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,
(
2n
)
!
(
1+1
)(
1+2
)
…
(
1+n
)
=
2n
2
+2
(
−1
)
1 +
2n
n + k
Giải:Biểu diễn
(
2
)
!
(
+ 1
)(
+ 2
)
…
(
+
)
=
+
+
+ 1
+ ⋯+
+
+
.
Quy đồng mẫu số và so sánh tử số ta nhận được
(
2
)
! =
(
+ 1
)
…
(
+
)
+
[(
+
)(
+ 2
)
…
(
+
)
+
(
+
)(
+ 1
)
…
(
+
)
+ ⋯
+
(
+
)(
+ 1
)
…
(
+
(
−1
)
)]
Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G
4
Cho = 0 ta nhận được =
2
. Cho = ,2,…, với
= −1, ta có
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
= 2
(
−1
)
2
+ 1
,
= 0
= 2
(
−1
)
2
+ 1
,
= 0
…
= 2
(
−1
)
2
+ 1
,
= 0
Từ đó suy ra
(
2
)
!
(
+ 1
)(
+ 2
)
…
(
+
)
=
+
+ 1
+ ⋯+
+
Cho = 1 ta nhận được
(
2
)
!
∏
(
1 +
)
=
2
+2
(
−1
)
1 +
2n
n + k
Bài tập:
Bài tập 3: Ký hiệu
1
1
1
( ) (1 )
1
i
i
n
j
i
i
j
a
f x a x
a
Chứng minh rằng: 1+f
n
(x)-f
n
(ax)=
1
(1 )
i
j
j
a x
Chứng minh:
Ta có f
n
(ax)=
2
2
2
(1 ax) (1 ax)(1 ) (1 ax) (1 )
1 1 1
n
n
n
a a a
a x a x
a a a
f
n
(x)=
2
1
2
(1 ) (1 )(1 ax) (1 ) (1 )
1 1 1
n
n
n
a a a
x x x a x
a a a
Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G
5
Từ đó ta suy ra :
1+f
n
(x)-f
n
(ax) = 1+
2
2 2 1
2
(ax ) ( )(1 ax) ( )(1 ax)(1 ) (1 )
1 1 1
n
n n
n
a a a
x a x x a x x a x a x
a a a
=
1
(1 )
i
j
j
a x
.
Bài tập 5:
Chứng minh
1
1
2
1 2
( 1)
2 1
n
n
j j n
n
n
j
n
C j
j C
Với mọi n nguyên dương.
Giải:
Ta biểu diễn
(
−
)(
−
)
…
(
−
)
(
+ 1
)(
+ 2
)
…
(
+
)(
2+ 1
)
=
+ 1
+
+ 2
+ ⋯+
+
+
2+ 1
Từ đó suy ra
(
−
)(
−
)
…
(
−
)
−
(
+ 1
)
…
(
+
)
=
[
(
+ 2
)
…
(
+
)
+ ⋯+
(
+ 1
)
…
(
+ −1
)](
2+ 1
)
Đồng nhất thức Eucler:
(
+
+
+
)(
+
+
+
)
=
+
+
+
ớ
= −−−
= + −+
= + +−
= −+ +
Chứng minh :
Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G
6
Ta có :
det
+ +
−+ −
=
+
+
+
Từ đồng nhất thức
+ +
−+ −
+ +
–+ =
=
++
−+ −
trong đó
= −−−
= + −+
= + + −
= −+ +
ta có đồng nhất thức Euler bằng cách lấy định thức hai vế
Đồng nhất thức lagrange:
Với mọi
,
ta có
=
+
+
∑
−
.
Với hai ma trận
=
⋯
…
⋯
,=
⋯
…
⋯
gọi B’ là ma trận chuyển của B ,thì theo công thức Bine-Cauchy ,ta có det
(
)
=
∑
…
⋯
,trong đó
…
,
…
là những định thức
con cấp r của A và B tương ứng với các cột thứ
,
,
…
.Từ tích hai ma trận
Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G
7
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
……
=
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
nên áp dụng công thức trên ta suy ra đồng nhất thức cần chứng minh.
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng tập
=
{
+
+
+
|
,,,∈ đóng kín đối với phép nhân.
Từ đó chỉ ra phương trình
+
+
+
= 2005
luôn có nghiệm nguyên cho mọi số
nguyên dương n.
Giải :
Ta chứng minh T đóng kín đối với phép nhân
T đóng kín đối với phép nhân suy ra từ đồng nhất thức Euler
Ta chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên
với mọi số nguyên dương n bằng cách quy nạp theo n
-Khi n=1 ,phương trình
+
+
+
= 2005
có nghiệm là
(x,y,x,t)=(44,7,4,2) là nghiệm
-Giả sử
,
,
,
là các nghiệm nguyên của phương trình :
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
= 44
−7
−4
−2
= 7
+ 44
−2
+ 4
= 4
+ 2
+ 44
−7
= 2
−4
+ 7
+ 44
Theo đồng nhất thức Euler ta có
+
+
+
= 2005
(
+
+
+
)
= 2005
Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G
8
Từ đó suy ra
,
,
,
cũng là nghiệm của
phương trình đã cho.
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng tập = {
+
+
−3|,,∈} đóng kín đối với
phép nhân .Từ đó suy ra phương trình
+
+
−3= 1944
luôn luôn
có nghiệm nguyên ,, cho mọi số nguyên dương n.
Giải:
Ta có T đóng kín đối với phép nhân do đồng nhất thức (1) đã
trình bày ở trên.
Ta chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên
dựa vào tính đóng của T
-Ta chứng minh quy nạp theo n
với n=1 ta có : Phương trình
+
+
−3= 1944 nhận nghiệm nguyên
(
,,
)
=
(
2,11,11
)
là nghiệm
Giả sử
,
,
là nghiệm của của phương trình đã cho .Khi đó thì
= 2
+ 11
+ 11
= 11
+ 2
+ 11_
= 11
+ 11
+ 2
là nghiệm của phương trình đã cho .Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài tập:
