Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trần Phương Anh – K34A SP Toán

LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy
cô trong khoa toán và trường ĐHSP Hà Nội 2 trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo –
PGS.TS Khuất Văn Ninh người đã trực tiếp hướng dẫn và tạo mọi điều kiện
giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Tuy đã có rất nhiều cố gắng, nhưng do là lần đầu thực hiện một đề tài
nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy giáo, cô giáo và các
bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Trần Phương Anh

Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá
trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu
trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin chịu

hoàn toàn trách nhiệm.

Sinh viên
Trần Phương Anh


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................... 1
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ.............................................................. 2
1. Định nghĩa............................................................................................. 2
2. Tính chất............................................................................................... 3
3. Các điều kiện tương đương................................................................... 11
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT
ĐẲNG THỨC................................................................................................12
1. Các bất đẳng thức kinh điển.................................................................. 12
2. Các bất đẳng thức đại số....................................................................... 21
3. Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác........................................ 35
4. Các bất đẳng thức hình học................................................................... 48
KẾT LUẬN.................................................................................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 56


LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán học phổ thông, vấn đề về bất đẳng thức luôn là
chuyên đề chiếm vị trí quan trọng đòi hỏi sự sáng tạo từ phía các em học sinh.
Những bài toán thuộc chuyên đề này là những vấn đề khó nhưng mang lại cho
người học nhiều kiến thức hay và sự tư duy cao. Điều quan trọng là làm thế
nào để chúng ta thật sự có được những bất đẳng thức hay và phong phú cho
người học. Có rất nhiều phương pháp xây dựng bất đẳng thức, trong đó sử
dụng những tính chất của hàm lồi (lõm) là một phương pháp cho nhiều bài

toán hay, mang tính độc đáo.
Chính vì vậy tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm lồi và ứng dụng xây
dựng các bất đẳng thức”, tìm hiểu phương pháp hàm lồi xây dựng các bất
đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp.
Khóa luận gồm 2 phần:
Phần I: Các kiến thức cơ sở. Trình bày những kiến thức cơ bản có liên
quan đến việc xây dựng các bất đẳng thức. Trong đó có định nghĩa, tính chất
của hàm lồi và các điều kiện tương đương.
Phần II: Ứng dụng hàm lồi xây dựng các bất đẳng thức: Dựa vào bất
đẳng thức Jen xen các tính chất thích hợp của hàm lồi để chọn một hàm số
thích hợp, từ đó đưa ra cách xây dựng các bất đẳng thức, từ các bất đẳng thức
kinh điển, các bất đẳng thức quen thuộc đến sáng tạo ra những bất đẳng thức
phong phú thuộc các chủ đề.


CHƯƠNG I
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1. Định nghĩa
1.1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng I (khoảng mở, đóng hoặc nửa
đóng, hữu hạn hoặc vô hạn). Hàm số f được gọi là hàm lồi trên khoảng I nếu
x1, x2 I, x1 x2 ta có:
f( x1 + (1 )x2) < f(x1) + (1 )f(x2),
 (0; 1).
1.2. Ý nghĩa hình học
Giả sử x1, x2 I; M1, M2 là hai điểm bất kì của đường cong y =
f(x).
M1(x1; f(x1)), M2(x2; f(x2)). Khi đó

y

phương trình tham số của M1, M2 là:

y = f(x)

 x x 2 (x1 x 2 )

 y f  x 2 (f (x1 ) f (x 2 ))

M2
M1

Với: 0 < < 1, là tham số.
Như vậy: Hàm số f(x) là lồi trên khoảng
I nên với 2 điểm bất kì M1, M2 của đường
cong y = f(x), cung M1M2 của đường
cong nằm về phía dưới đoạn M1M2 .
1.3. Ví dụ
a.

2

Ví dụ 1: Hàm số f(x) = x lồi trên (

; + ) Thật vậy: x1, x2
( ; + ), x1 x2 ta có:
f( x1 + (1 )x2) = ( x1 + (1
)x2)

2

=

2

2

2

2

x1

x2

x


x1 + 1  x2 + 2 (1 )x1x2

2

f(x1) + (1 )f(x12) = x + (1 )x2
Ta thấy:

2


2

x 1 + (1 ) x 2 – + 1 
+ 2 (1 )x1x2) =
2 2
2
(
x1   2
x2
2
2

2

= (1 ) x + (1 ) x 2 (1 )x1x2
1

= ( λ 1

2

2

(1 ) x2) > 0

( )

 x1 
() là bất đẳng thức luôn đúng (0;
1) và x1 x2. Do đó: f( x1 + (1 )x2) <
f(x1) + (1 )f(x2)
2

Vậy f(x) = x là hàm số lồi trên ( ; + ).
b.

x

Ví dụ 2: Hàm số f(x) = e lồi trên ( ; + ).

Chứng minh tương tự như ví dụ (1) ta cũng có được điều khẳng định.
1.4. Hàm lõm
a. Hàm số f xác định trên I được gọi là hàm lõm trên nó nếu –f là
lồi, tức là x1, x2 I, x1 x2. Ta có:
f( x1 + (1 )x2) > f(x1) + (1 )f(x2)
2

b. Ví dụ: Hàm số y = f(x) = x là hàm lõm trên ( ; +
).
2. Tính chất
2.1. Định lý 1
Giả sử f(x) là hàm lồi trên khoảng I và 1, 2, …, n là
những số không âm sao cho 1 + 2 + …+ n = 1 và x1, x2, …, xn
 I thì:
f( 1x1 + 2x2 + …+ nxn) 1f(x1) + 2 +…+ n f(xn) (1)
Chứng minh
) Trước hết bằng quy nạp ta chỉ ra rằng: Nếu x1, x2, …, xn I
và 1,


2, …, n là những số không âm sao cho: 1 + 2 +…+
n = 1 thì

1x1 2 x 2
... n x n

I.

Thật vậy:
Với n = 2 khẳng định trên đúng vì theo định nghĩa hàm lồi 
f( x1 + (1 )x2) nghĩa là: x1 + (1 )x2 I.


Với n > 2, giả sử điều khẳng định đúng. Ta sẽ chứng minh nó
đúng với n + 1, tức là: Nếu x1, x2, …, xn, xn + 1 I và 1 + 2 +
…..+ n +  n+1 = 1 thì
1x1 + 2x2 +…+ nxn + n+1xn+1 I
Từ giả thiết: 1 + 2 +…+ n + n+1 = 1
i > 0, i 1, n 1
 Giả sử i > 0 với i n. Khi đó: 1 + 2 +…+ n > 0
Ta có: 1x1 + …+ nxn + n+1 xn+1 = ( 1 + 2 +…+
n )

Từ giả

thiết quy nạp ta suy ra:
u=

x ... 





1

1 2
 ...  n

1

x I

n



...

1
2
n

n

Do đó 1x1 +…+ nxn + n+1 xn+1 I
Nếu 1 =…= n = 0 thì n+1 = 1 và 1x1 +…+ nxn +
 n+1xn+1 = xn+1
I
) Ta chứng minh (1) bằng quy nạp.
Với n = 2, bất đẳng thức (1) đúng theo định nghĩa hàm lồi.
Dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi1 và2 nhận các giá trị 0
hoặc

1 hoặc khi x1 = x2
Giả sử (1) đúng với n. Ta chứng minh (1) cũng đúng với n + 1.
Tức là: Nếu 1, …, n+1 là những số không âm sao cho: 1
+…+ n+1 = 1 thì: f( 1x1 + …+ n+1 xn+1) 1f(x1) +
…+ n+1f(xn+1).
Thật vậy: Nếu 1 + 2 +…+ n > 0 thì:


f( 1x1 + …+ n+1 xn+1)

f
(
...
)(
 1

n
(
.
.. 
) n
1

... n

1

...x

n



x ) 

1

1 ...


n


1

...x
1


1

(vì f là hàm lồi)
Theo giả thiết quy nạp:

n

n1

1 ... n
n




x
n




1 ... n

x
n1 


f (x
n1

)(2)
n1





f


1



1
...
n

x ..
.
1

n

1 ...
n


x

n


1
... f(x1 )


n
)

f (x

(3)

n

1 ... n

 1 ...
n

Từ (2) và (3) (1) đúng.
Nếu 1 = … = n = 0, hiển nhiên khẳng định (1) đúng.
Hệ quả: (bất đẳng thức Jen-xen)
Nếu f là một hàm lồi trên I thì x1, x2, …, xn I ta có:
với n là số dương bất kỳ
f (x1 )
x1 ... x n 
f... f (x )

n



n




n

Dấu của bất đẳng thức x1 = x2 = …= xn.

Chứng minh
Bất đẳng thức được suy ra trực tiếp từ định lý với
1
 ...  
1

n

2.2. Bổ đề

n

Giả sử f là hàm lồi trên khoảng I. khi đó với x1, x2, x3 I và x1 <
x2 < x3 ta có:
a)
b)

f (x 2 ) f (x1)
f (x 3 ) f (x1 )

x 2 x1
x3 x1
f (x 2 ) f (x1 )
f (x 3 ) f (x 2 )

x 2 x1
x3 x 2
Chứng minh

y

y = f(x)

Gọi M1, M2, M3 là 3 điểm của đường cong
y = f(x) theo thứ tự có các hoành độ x1, x2, x3

M2
M1

I .
x1

x2

x


Gọi M là giao điểm của đường thẳng
x = x2 với đường thẳng M1M3.


Vì f là hàm lồi nên đoạn M1M3 nằm trên phía cung M1M3 của đường
cong y = f(x).
Do đó yM 
2
yM

( yM , yM theo thứ tự là tung độ của M2 và M).
2

Phương trình đường thẳng là M1M3 là:

f (x 3 ) f (x1 )
y f (x ) 
(x x )
1

1

x3 1 x
f
y
f
(x
)

(x 3 ) f (x1)
(x
M

1

x3 1 x

 x)
2

1

Từ y

M2

y
f (x ) f (x
f (x3 ) f (x1)
) 
(x
M
2
1
x3 x1

 x)
2

1

f (x 2 ) f (x1)

f (x3 ) f (x1 )

Từ (1) ta suy ra:

x2 
x1

(1)

x3 x1

[f(x2) f(x1)](x3  x1) < [ f(x3) f(x1)](x2  x1)

[f(x2) f(x1)][(x2  x1)+(x3  x2)] < [f(x3) f(x2) +
(f(x2) f(x1))](x2  x1)
(f(x2) f(x1)(x3  x2) < (f(x3) f(x2))(x2 x 1 )
f (x 2 ) f (x1 )


f (x3 ) f (x1 )

x 2 x1

x3 x1

Từ (1) và (2) điều phải chứng minh.
2.3. Định lý 2
Nếu f là hàm số lồi trên (a; b) thì f liên tục trên (a; b).

(2)


2.4. Định lý 3
Nếu f là hàm số lồi trên khoảng I và f có đạo hàm x I thì
đạo hàm f
'

của f là một hàm đồng biến trên khoảng I.
Chứng minh
'

'

Giả sử x1, x2 I và x1 < x2. Ta chứng minh: f (x1) < f (x2).
Thật vậy: Gọi , , là 3 số thực sao cho: x1 < < <
< x2.


Khi đó x (x1; ) và t ( ; x2) ta có x1 < x <
< < < t < x2. Theo bổ đề trên ta có:
f (x) f (x1)

f () f (x)
f () f


()
f (t) f ()
f (t) f (x2 )



 
x


x1
x
Lim
() f ()
xx1

f (x) f (x1 )

Lim

f () f



t



f () f ()


f (t) f (x 2 )

 


x
x1

()

t x2

f

(1)



t x 2

t

x2

Theo giả thiết f(x) có đạo hàm tại x1 và x2 nên:
f (x) f (x1)
Lim
f (x );
xx 1

Lim
tx 2

x x1
f (t) f (x2 )

1

(2)

f (x ).
2

t x 2

'

'

Từ (1) và (2) f (x1) < f (x2) điều phải chứng
minh.
Hệ quả: Nếu f là hàm số lồi trên khoảng I và f có đạo hàm cấp 2 tại
mọi điểm xI thì
''

f (x) 0 x I.
Chứng minh
'

Vì f lồi nên theo định lý 3, đạo hàm f của f là hàm số đồng biến
''

trên I. Do đó f (x) 0 x I điều phải
chứng minh.
2.5. Định lý 4
'

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu f là hàm số đồng biến
trên I thì f lồi trên khoảng này.
Chứng minh


) Trước hết ta chứng minh: Nếu x1, x2, x3 I và x1 < x2 < x3
thì:
(1)
f (x 2 ) f (x1)
f (x3 )


f (x 2 )
;
x 2 x1

x 3 x 2

f (x 2 ) f (x1 )
f (x 2 )
x 2 x1

f (x3 )

(2)



.
x3 x 2

Thật vậy theo định lý lagrăng, c (x1; x2) và d (x1; x3)
sao cho:


f (x 2 ) f (x1)
x2
f (c);
x1

f (x3 ) f (x 2 )

x
f (d) 3
x 2

'

'

'

Vì f đồng biến và c < d f (c) < f (d)
f (x 2 ) f (x1 )

hay (1) đúng


f (x3 ) f (x 2 )

x 2 x1

x3 x 2

) Ta sẽ chứng minh (1) tương đương với (2).
Thật vậy: (1) [f(x2) f(x1)](x3 x 2 ) < [f(x3) f(x1)]
(x2  x1)
[f(x2) f(x1)][(x3  x1) (x2  x1)] < [f(x3) f(x1)
(f(x2) f(x1))]
[f(x2) f(x1)](x3  x1) < [f(x3) f(x1)](x2  x1)
f (x2 ) f (x1 )

(2)


f (x 3 ) f (x1)

x 2 x1
x3 x1
) Ta áp dụng (2) để chứng minh f lồi
trên I Thật vậy: giả sử x1, x2 I và x1
< x2
Gọi M1, M2 là 2 điểm của đường cong y = f(x), theo thứ tự có hoành độ
x1, x2. Phương trình của đường thẳng M1M2 là:
f (x 2 )
x ) g(x) .
y f (x ) 
f (x1 )
(x
1
2
1
x2 1 x
x (x1; x2) ta có:
f (x 2 ) f (x 1)
f (x) g(x) f (x) f (x ) 
(x x )
1

1

x2 1 x

1

(x )  )
 f (x) f (x
) 2 f (x )1 f
(x x
1


x x1
x 2 x1 

Vì x1 < x < x2 nên từ (2) suy ra:
f (x) f (x1 )
f (x 2 ) f (x1 )
.

x x1
x2 x1
Do đó f(x) – g(x) < 0 x (x1; x2) tức là cung M1M2 của
đường cong y = f(x) nằm dưới đoạn M1M2. Vậy f lồi trên I (điều phải
chứng minh).


'

Hệ quả: Giả sử f có đạo hàm cấp 2 trên khoảng I. Nếu f (x) > 0
x 
I thì f lồi trên khoảng này.
2.6. Định lý 5

a) Nếu hàm số f(x) liên tục trên a; b) và f có đạo hàm cấp 2 f (x) > 0
''

x a; b) thì f lồi trên a; b) .
b) Nếu hàm số f(x) liên tục trên a; bvà f có đạo hàm cấp 2 f (x) > 0
''

x a; bthì f lồi trên a; b  .
Chứng minh
Định lý được chứng minh tương tự như định lý 4.
Các điều kiện trong giả thiết của định cho phép áp dụng định lý lagrăng
để chứng minh hai bất đẳng thức (1) và (2) trong chứng minh của định lý 4.
2.7. Định lý 6
Nếu f là hàm số lồi và có đạo hàm trên khoảng I (I = (a; b) hoặc [a;
b), hoặc (a; b] hoặc [a; b] ) thì tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại mỗi
điểm M0(x0, f(x0)), x0 I đều nằm phía dưới của đường cong.
Chứng minh
Giả sử x0 I và M0 là điểm trên đường cong y = f(x) có hoành độ
'

x0. Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại M0 là: y = f (x0) + f
'

(x0)

(x x0)
Giả sử x là số thực tùy ý sao cho x < x0, x I; M, P theo thứ tự là
y = f(x)

các điểm thuộc đường cong y = f(x) và tiếp tuyến

M0T của đường cong tại M0 có hoành độ x. Ta
chứng minh yM > yP
Thật vậy:
Ta có y
M

M

Mo

P

'

y = f(x) f(x ) f (x )(x xO )
0
0
0
P

x

xo

x


Theo định lý lagrăng
'

c (x; x0) sao cho: f(x) f(x0) = f (x)(x x0)
'

Vì f lồi và có đạo hàm trên khoảng I, theo định lý 3, f là hàm đồng biến
trên khoảng I.
'

'

Do đó từ c < x0 f (c) < f (x0) yM  yP = (f
'

'

(c) f (x0))(x x 0 ) > 0 hay yM > yP
Tiếp tuyến của đường cong tại x0 nằm phía dưới của
đường cong.
Với x < x0 ta cũng chứng minh được: Tiếp tuyến của đường cong tại x0

nằm phía dưới của đường cong. Do x0 là bất kỳ nên định lý được chứng minh.
2.8. Định lý 7
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu tiếp tuyến của đường
cong y = f(x) tại mỗi điểm của đường cong đều nằm phía dưới của đường
y

cong thì f là hàm số lồi trên I.

y = f(x)

Chứng minh

Giả sử x , x
I và x < x
1

2

1

M1

2

Gọi M1, M2 là 2 điểm của đường cong
y = f(x) có hoành độ tương ứng là x1, x2.

N

N2

M

N1
O

M2

x1 x

x2

x

Giả sử x là một số thực bất kỳ sao cho:
x1 < x < x2 . N, M theo thứ tự là điểm thuộc đường thẳng M1M2 có hoành độ
x và đường cong y = f(x).
Ta chứng minh: yM < yN
Thật vậy: Gọi N1, N2 là giao điểm của tiếp tuyến tại M của đường cong
với đường thẳng x = x1 và x = x2
Theo giả thiết, trên khoảng I, tiếp tuyến nằm phía dưới của đường cong.
Do đó

yN1 y , y
N
M
1

y M2
2


Đoạn thẳng N1N2 nằm về phía dưới đoạn thẳng
M1M2 . Tức là mọi số thực (x1, x2): () 
()


Trong đó: y = (x) và y = (x) theo thứ tự là phương trình
của đường thẳng N1N2 và M1M2. Từ đó suy ra yM < yN (điều phải chứng
minh).
 Chú ý: Các tính chất được phát biểu cho hàm lồi cũng được phát
biểu một cách tương tự đối với hàm lõm.

3. Các điều kiện tương đương
Từ các tính chất của hàm lồi ta có các điều kiện tương đương sau:
3.1. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I, f là hàm số lồi trên I
'

f (x) là hàm đồng biến.
3.2. Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 2 trên khoảng I, f là hàm số lồi
trên I
'

f (x) > 0

x I.

3.3. Nếu f có đạo hàm trên khoảng I (I = (a; b) hoặc [a; b) hoặc (a; b]
hoặc [a; b] ), f là hàm số lồi trên I tiếp tuyến của đường
cong y = f(x) tại mỗi điểm của đường cong nằm về phía dưới của
đường cong.


CHƯƠNG II
ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC.
Trong chương này ta sẽ đi xây dựng các bất đẳng thức nhờ sử dụng các
tính chất của hàm lồi. Ta tiến hành xây dựng bất đẳng thức dựa trên những ý
tưởng sau:
Xây dựng một hàm lồi f bằng cách chọn hàm f xác định trên I (I là một
khoảng hoặc một đoạn) khả vi hai lần và có f (x)  x hoặc chọn một
0,

I

hàm t(x) liên tục và không âm trên I sau đó lấy nguyên hàm hai lần ta được
hàm f xác định và lồi trên I. Khi đó dựa vào các tính chất của hàm lồi và các
bất đẳng thức hàm lồi ta xây dựng các bất đẳng thức.
1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN
1.1. Bất đẳng thức Cauchy
1
T(x)

Chọn
0 . Ta có T liên tục trên (0; ) nên tồn tại
2 nguyên
x
hàm của T và ta có:
1
1
T(x)dx

dx  c .


1
x
x
1
Chọn c1 = 0, ta được
T(x) x .
1
Lại có:
x dx ln x c2 .
Chọn c2 = 0 ta được hàm f (x) 

và f (x) T(x) x

0
ln x (0; ) .
Suy ra hàm số f (x) 
ln x

lồi trên (0; ) .

Áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm lồi f (x) 
ln x

(
0;


)

x1,...,
xn


1
x1 x 2 ... x n 
f

(f (x ) f (x ) ...
Ta có:
f (x )



1
2
n
n
n


 ln
... ln x )
x
x1 x 2

...
x n ln
1
 (ln x


1
2
n
n
n



ln

n



x1 x 2 n... x n 

x1x2...xn
ln .


Như vậy ta có bất bất đẳng thức côsi với bài toán như sau:
Cho x1, x 2 ,..., x n 0 . Chứng minh rằng:
x1 x 2 ... x n
 n x x1 ...x
.
2n
n

1.2.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Chọn

f (x)  trên □ . Ta có f (x) khả vi hai lần và f (x) 2
2
0
x

x
□ .

Suy ra f lồi trên □ .

n

Theo định lý (1) ta có: i 0 ,
□



i1




1 x   2 x .. 
1
2 . 
n
n
n

n


f



n


i1





x 


i

k

1

n

i


i1







n

k

f (x )
i


i1

i1

2



k

i

1 và x