Kỳ dị trong lý thyết trường và bậc phân kỳ của các giản đồ

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một trong những môn khoa học nghiên cứu các quy luật
từ đơn giản đến tổng quát của tự nhiên. Vật lý học nghiên cứu cấu trúc, tính
chất của vật chất thông qua các quy luật, định lý… Cùng với sự phát triển của
loài người, vật lý học đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được những
thành tựu đáng kể.
Vật lý hạt cơ bản nghiên cứu về các hạt nhỏ nhất tạo nên vật chất và
tương tác giữa chúng. Trong đó, lý thuyết trường là công cụ hữu hiệu để
nghiên cứu thế giới siêu nhỏ “hạt cơ bản”. Trong hơn 30 năm qua, tất cả
những thí nghiệm trên các máy gia tốc năng lượng cao đã chứng tỏ điều này.
Trong lý thuyết trường có một số vấn đề, mấu chốt chính là quan niệm
hạt điểm - không có kích thước cũng như thể tích. Trong lí thuyết cổ điển,
khái niệm hạt điểm cũng dẫn đến những đại lượng phân kì như khối lượng
riêng ρ = m/V… Hiện nay chúng ta chưa có công cụ toán học thích hợp cho
các hạt có kích thước, và phải cố gắng theo chiều hướng này đều không mang
lại kết quả. Vì vậy ta phải chấp nhận kì dị trong vật lý hạt cơ bản. Để có thể
tìm hiểu rõ nguyên nhân tại sao trong lý thuyết trường chúng ta luôn phải làm
việc với các phân kỳ và tính giản đồ Feynman phân kỳ, tôi đã đi đến lựa chọn
nghiên cứu đề tài “Kỳ dị trong lý thuyết trường và bậc phân kỳ của các giản
đồ” trong khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu các kỳ dị trong lý thuyết trường và các phương pháp chỉnh, ứng
dụng của nó.
- Bậc phân kỳ của các giản đồ và ứng dụng trong các không gian D
chiều.

1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các kiểu kỳ dị và phương pháp chỉnh chúng
- Bậc phân kỳ trong các giản đồ Feynman
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các kỳ dị trong lý thuyết trường và bậc phân kỳ của các
giản đồ
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và tra cứu tài liệu
- Phương pháp giải tích toán học và vật lý lý thuyết.


CHƯƠNG I
KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG
1.1. Các phân kỳ trong lý thuyết trường
1.1.1. Phân kỳ tử ngoại
1.1.1.1. Trong lý thuyết cổ điển
Trong lý thuyết cổ điển, khái niệm hạt điểm dẫn đến những đại lượng
phân kỳ như khối lượng riêng ρ=m/V… Hiện nay chúng ta chưa có công cụ
toán học thích hợp cho các hạt có kích thước, và những cố gắng theo hướng
này đều không mang lại kết quả. Vì vậy ta phải chấp nhận kỳ dị trong Vật lý
Hạt cơ bản.
Nhớ lại rằng hàm truyền (nhân quả) được xác định qua T-tích của hai
toán tử trường.
c

0

Khi

x y

D (x  y)  i  0 | T ( (x) ( y)) | 0 

0

ta phải tiền định nghĩa T-tích. Sự không xác định T-tích

khi “đồng thời gian” dẫn đến những kỳ dị trong hàm Green và hàm truyền. Ta
c

+

-

có mối quan hệ giữa D với D và D :
c



0

0



D (x)   (x )D (x)   (x )D (x)
Quá trình sinh hạt vô hướng ở x và hủy hạt ở y được mô tả bởi hàm:
1
 * ( y) (x)  0 |   ( y)  (x) | 0  iD ( y  x)  D (x  y) .
1

1

i
Các hàm truyền của trường spinor, vector… được biểu diễn qua hàm
truyền của trường vô hướng như sau:
c

c

 m) D (x),

S (x)  (i
c

D (x)  (g 
nl

nl

1

2
2

n

m x x

l

c

)D (x).

(1.1)


Hàm Green nhân quả
c
D

thỏa mãn phương trình sau đây:
c

□ D (x)   (x),
c

(i   m)S (x)  
(x),
(1.2)



(
□

m

2

)
(x).

2

)
D
c

(
x
)

(
g

1
nl

2

nl

Dạng
tường
minh của
các hàm

n

m x x

l



D như sau:
(x)



D (x)  1
(i2
)

e

ikx

 (k 2  m2 ) (k 0 )d 4k.

3

3



2

2

0

4

i


D
( e


(2 )


 (k

 ) )
(k d
k
m
.

(1.3
)

Phân kỳ nguy hiểm kiểu  ( ) và
Phân 2kỳ nhẹ nhàng kiểu  ( )
1.1.1.2. Trong lý thuyết hàm suy rộng
Điều đáng chú ý nhất là các phép

phân kỳ “chồng chất” là không được xác
định.





2

2


1 

m

ln
i
 ( )

D
2 (
c

 ),
m

( ) 2 ln
(1


x
)

2
4 1
8
2
6
i 


1

m

2

o 2

Trong đó   x  (x ) 
2
(x) .
Từ
(1.4) ta
thấy hàm
Green
ánh sáng
2
tại   x 

0

D và hàm truyền

đều phân kỳ
(x trên nón
)

(
1
.
4
)

2

2

1



Lấy tích phân 2 vế (1.3):
i
1

1
m
0
0

m
i
 (x
 (x ln 
D

m
|

)
2
2
) (  )
) ( ) 
|
(
 ln
 (
x
)

4 8
2
16
4

Trong biểu thức của hàm Green ta
thấy có hai loại phân kỳ:

Ví dụ: ta biết x (x) , x
ln(x)

được xác định ra sao. Nhưng tích của hai
hàm phân kỳ và ln x là  (x).ln x thì
tại không
không được xác định.
như  (x)
Đây là trường hợp phân kỳ chồng
chất. Khi phân kỳ không chồng chất
như

 (x  3) ln x thì tích của chúng được
xác định tốt.
Tóm lại, tích các phân kỳ
chồng chất là không được xác
định. Muốn xác định các tích này,
ta phải tiền xác định, nghĩa là ta
phải đưa ra cách hiểu chúng, hay
nói cách khác là phải “chỉnh”
chúng.
Trong lý thuyết trường, khi
tính tích phân Feynman, ta luôn
làm việc với tích của các hàm
truyền với phân kỳ chồng chất
trên nón ánh

sáng (   0 ). Do

vậy ta phải có phép chỉnh.

Kỳ dị nguy và luôn đi với hệ số
1
 không phụ thuộc
hiểm
 (x) vào
khối lượng, còn có hệ số tỉ lệ với
kỳ dị dạng ln x
2
m.
và  (x)
Hiện nay người ta sử dụng
các phép chỉnh khác nhau, như
phương pháp chỉnh thứ nguyên,
chỉnh Pauli-Villars, cắt xung lượng,


vv. Nhưng thông

e

dụng

là

l

pháp

e

chỉnh

thứ

c

nguyên.

Các

t

phương

pháp

r

nhất

phương

o

chỉnh phải thỏa
mãn điều kiện:
phần hữu hạn
không phụ
thuộc vào giới
hạn khi  ,

M


.

n
t
r

Phương pháp cắt

o

phải chọn sao cho

n

bất biến Lorentz

g

bảo toàn và các
vấn đề đối xứng

Q

khác.

E

1.1.2. Phân kỳ
hồng ngoại

D

Phân kỳ
hồng ngoại là
phân kỳ khi khối
lượng ở hàm
truyền bằng không.
Phân kỳ này không
nguy hiểm lắm và ở
vùng năng lượng
thấp.
Hàm Green
toàn phần của

c
ó
k
h
a
i
t
r
i


Hình 1.1: Hàm truyền toàn phần của fermion

Bổ đính một vòng vào hàm truyền của electron có giản đồ Feynman
tương ứng trong hình 1.2.
Không kể đến đường ngoài, tích phân Feynman tương ứng sẽ là:
4
d k ie  i( p   m) ie ig 
( p)  
4
 ( p  k)2  m2
(2 )
k2

4

 e

Khi

2

d k

 (2 )

ie
4

k   , ( p) □ k

4

  ( p  k  m)

(1.5)



2
2
2
k  ( p  k)  m 

k

□ k . Đây là phân kỳ tuyến tính. Tuy nhiên
4

k
trong không gian d < 3 tích phân trên hữu hạn. Trong phân kỳ hồng ngoại ta
sẽ dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên mà sẽ được trình bày ở 1.3.2.
2

( p)  e 

2

d
k

d

 (2 )

 ( p 
d

(1.6)

 m)



2
2
2
k  ( p  k)  m 

Trong d chiều ta có các hệ thức sau:






r
(






)  4d , Tử số của (1.7)

trở thành:



 k

 (2  d )

TS  (2  d )( p 

,

)  md

    d.

(1.7)


Hình 1.2: Đóng góp bậc hai vào hàm truyền của fermion
Sau một vài biến đổi nhỏ ta có:
2

( p)  e 

2

 dx

(2  d )( p
)
d
2
k

md
d
(2 )  (k  px) 2  D( p 2 , 0, m2 )


d

1

0

(1.8)

Đặt q  k  px ta có:
2

2

( p)  e 

d

d k (2  d ) p (1  x)  md
d
q2  M 2  2
(2 )



1

 dx

0

2

 e 

2

1

2

 dx[(2  d ) p (1  x)  md ]I
0

2

(1.9)

(M 

),
Trong đó

2

2

2

2

2

M  D( p , 0, m )  m x  p x(1  x) . Thay các biểu thức
cần

thiết, ta thu được
div

fin

( p)   ( p)   ( p),
div

 ( p) 

ie

2

16

2


V

2
fin

 ( p) 

ie
16

CU ( p  4m),

2

1


ln  2 ( p  4m)  2 0dx  p (1  x)  2m 

 



 ( )

(1.10)

2

ln(M )

Trên bề mặt khối lượng

2

2

2

2

2

p  m khi đó M  m x và tích phân trong

(1.10) sẽ phân kỳ. Phân kỳ hồng ngoại này xuất hiện do khối lượng của
photon bằng không. Để giải quyết khó khăn này, người ta cho photon một




khối lượng  dù là cực nhỏ. Như vậy, trong giản đồ năng lượng riêng của
electron ta gặp phải hai loại phân kỳ: phân kỳ tử ngoại và phân kỳ hồng ngoại.

1.2. Thứ nguyên chính tắc
Trong phương pháp chỉnh thứ nguyên

4

d

d x  d x thì ta cần các thứ
nguyên của các tham số
vật lý. Cách tính thứ
nguyên chính tắc trong
không gian d chiều như
sau:
Ta biết rằng trong
không gian d chiều, để
tác dụng S là một số
thì
Lagrangian có thứ
nguyên d theo xung
lượng hoặc khối lượng ~
1
. Mặt khác
x
mỗi đạo
hàm
làm
tăng
thứ

nguy
ên
lên
một
đơn
vị.
Do
vậy:


Đối với trường

1
)

vector:
d 1
d x     ,
2 



1     1 

   d   
d
 1

d




A

 1.
T
ư  2
ơ
n
g

 m  1 ,

2

t
ự
d
Đối với
d

trường
spinor: xi ,
1



  



   d ,
d 1
Từ đây ta có          .
  2 2
Đối với hằng số tương tác:
e


 e   2      A    d ,

A

 e   d  2      A  d  d  1 
2

d

 1,



 e  2 

:
d
2

trong không
gian d  4  2 chiều:

 e  e

(
1
.
1


Đối với tương tác



 4:

4!

   4   d.

   d  2d  4  4  d.

Do đó:

Khi
d
4
2

ta có     2 e  2 .

M M

0

lm

oment



 d x(x

m

T

l0

  xlT m0 )

nên sẽ có thứ
nguyên chính tắc

góc bằng
0.
1.3. Một số phương pháp chỉnh
1.3.1. Phương pháp chỉnh Pauli-Villars hay
phương pháp chỉnh hiệp biến
1.3.1.1. Phương pháp chỉnh Pauli-Villar
Phương pháp chỉnh phải thỏa mãn điều
kiện: phần hữu hạn không phụ

thuộc vào M  0 . Phương pháp cắt phải
giới hạn  , chọn sao cho bất biến
Lorentz bảo toàn và các vấn đề đối xứng khác.
Thay m(x) bằng hàm truyền đã chỉnh:
hàm
truyề
n
n

reg m(x)

(1.12)

 m(x) 

C m (x)
i

i

i1

Trong đó các hệ số
ci


thỏa
mãn
điều
kiện sau:

n

(1.13)

1   ci  0
i1

n

m  c M 
2

2

(1.14)
i

0
i1
n

(1.15)
m
i1

Điều kiện
(1.12) làm triệt
tiêu các kỳ dị
nguy hiểm. Các
điều kiện còn

lại (1.14), (1.15)
thì làm triệt tiêu
các

phân

kỳ

không

nguy

hiểm đi

cùng

khối lượng m.

i


Trong kết quả cuối cùng cho Mi   .
Hàm reg m(x) liên tục khác
với m(x) chỉ ở vùng cực nhỏ
quanh nón
ánh
thì không còn sự khác nhau
sáng.
giữa reg m(x) và m(x).
Khi M i


Vì thế chỉnh Pauli-Villars là
làm tăng bậc xung lượng ở
mẫu.
1.3.1.2. Ví dụ
Ta tính tích phân sử dụng
phương pháp chỉnh PauliVillars.
Ta xét lý
với Lagrangian
thuyết vô
sau đây:
hướng thực



4

1
s
L      2 
m g 4



2

2



2

(1.16)

4!

Bổ đính một vòng vào hàm
truyền của trường vô hướng được
mô tả bởi giản đồ Feynman hình
1.3.
k

p

p


Hình 1.3: Bổ đính một
vòng vào hàm truyền trong
4
lý thuyết 
Biểu
thức
tương
ứng
là:
1

4

d k

i

( p)  ig 2  (2 )
2

(1.17)

4

2

(k  m 
i )
Trong đó

1
là hệ số đối xứng của giản
2 đồ. Ta thấy  phân kỳ bậc
hai

khi k  . Nếu dùng phương pháp
chỉnh Pauli-Villars ta phải dùng
hai khối
lượng phụ để có hàm nghĩa là:
1
truyền tỉ lệ với
k6
1

2
k m
2


1

2k

m
2


a1


2k

M
2

a2


12
k 2
M6
k

(

1
.
1
8
)
1
2


Điều kiện (1.18) cho ta tử số tỷ lệ với (1) . Cụ thể:
2

2

2

2

2

2

2

2

(k  M1 )(k  M 2 )  a1
(k
4

2

2

2

m )
(k
2

4

 k  k (M1  M )  M M  a
2
1
2
1
 k
4

2

a2  k  k
(m

2

2

2

2

 M 2 )  a2
(k
2

2

k
(m

2

2

m )
(k

2

2

2

2

 M1 )
2

 M 2 )  m M 2 

2

(1.19)

 M 1 )  m M 1  □ (1)

Từ đây ta có hai điều kiện:
Số hạng tỉ lệ với k
4

triệt tiêu:
(1.20)

1  a1  a2  0
Số hạng tỉ lệ với k

triệt tiêu:

2
2

2

(M1  M 2 )  a1
(m

2

2

 M 2 )  a2
(m

2

2

 M1 )  0

(1.21)

Từ hai điều kiện (1.20) và (1.21) ta thu được:
2

M m
a2 

1
2
2

2

M  M1

a  1  a
1

Với a ,
1
a2

2

2


2

M m

2

(1.22)

2

M 12  M 22

cho bởi (1.22) ta thấy hàm truyền đã chỉnh có dạng:
2
2
2
2
2
1
M M  m (a M  a M )
1

2
1
2
2
1
2
2 
2
2
2
2
2
2
k m
(k  m )(k  M1 )(k  M2
)

Khi M và M
1

đều tiến tới  rất lớn ta có:

2

g

 ( p) 

4

d k



4

(1.23)


2  (2 ) (k  m )(k   )
4

2

2

2

(1.24)

2 2

Ta thấy biểu thức (1.24) hội tụ khi k  . Tuy nhiên ta lại có phân kỳ
theo  . Ta tham số hóa Feynman ở mẫu số:
1
 (3) 1

 ax  b(1  x)3
0

2

ab

xdx


2

2

2

2

Chọn a  k   ,b  k  m . Khi đó mẫu số có dạng:
2

2

2

2

2

2

MS  (k   )x  (k  m )(1  x)
2

2

2

2

 k  m  x(k  m )  x(k   )
2

2

2

2

2

2

 k  x(  m )  m  k   ,

(1.25)

Trong đó:
2

2

2

  x(  m )  m

2

(1.26)

Do vậy:

Mà ta có:
d 4k

 (2 ) (k
4

1
2



 2 )3

1

d 4k

(3)  xd
0
2
x

 (2 ) (k

(1)3 i(1)

1

( p) 



g

4

2
2

 2 )3

(1.27)

(4 )2 (3) (2 )

i



(1.28)

1
2

2

2(4 ) ( )
Suy ra:
i4 g

1

xdx



 ( p) 

2
2
2
32 2 0  x(  m )  m 


1
a  bx  a ln a  bx 
Áp dụng công thức:
xdx


 a  bx

1

2

xdx 
)

 a  bx

b
1

b

0

2





(b  a ln

(1.30)

ab

2

a
2

2

Do vậy ta có ( b    m , a  m )
( p) 

i g4

1

(1.29)



2

 2  m2  m2 ln






32

2

2

2 2

(  m )

ig 
2



2

  m ln

32 2 



m

2

m 2 

Ta có phân kỳ bậc hai theo  .

2




(1.31)


1.3.2. Phương pháp chỉnh thứ nguyên.
Các bước chính của phương pháp chỉnh thứ nguyên:
1.3.2.1. Thứ nguyên của lý thuyết trường.
Từ không gian 4 chiều chuyển sang không thời gian d chiều nhỏ hơn
bốn:

d  4  2 trong đó   0 , hằng số tương tác g được thay đổi bởi g  g .

Đối với giản đồ G phân kỳ bậc G ta có điều kiện cho  để tính tích phân đó
hữu hạn:
4  2crit  G

 crit  2 

G

(1.32)
2
Khi   crit tích phân phân kỳ trong không gian 4 chiều sẽ hữu hạn. Về
nguyên tắc ta phải chuyển sang không gian Euclidean, nghĩa là thay
p0  p4  ip0 . Sau khi tính toán sẽ quay trở lại không gian Minkowski. Trong
tính toán cụ thể ta có thể bỏ qua phép quay Wick. Trong d chiều, ma trận
Dirac tuân theo hệ thức sau:
g





 d
    d , Tr(I)=d
,

 
      (d  2)  ,    
  4g  (4  d ) 


 

 2

 

    

  

  

 (4 

(1.33)

  
)

d  .

Ta thấy các ma trận Dirac vẫn thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán
trước đây:

 ,   2g






(1.34)

Trong không gian d chiều, ma trận  5 không phản giao hoán với các ma
trận   . Các hệ thức cơ bản gồm:

  (a  b )   4(a  b )  (d  4)(a  b )
5

5
5

(1.35)

  5   (d  8) 5

    (a  b 5 )



 2  (a  b 5 )  (d  4)  (a  b 5 )

(1.36)


Tr  ( f  af  5 ) ( f

 af  5 )  8( f

2

2

 af )g  4(d  4)( f

2

2

 af )g

Tr 5  5   8  d

(1.37)

Để hiểu về phương pháp chỉnh thứ nguyên ta sẽ tính cụ thể bằng
phương pháp đó cho giản đồ phân cực chân không.
Hàm Green toàn phần của photon trong QED cho bởi giản đồ sau:
=

+

+

+ ...

Hình 1.4: Hàm Green toàn phần của photon
Bổ đính bậc hai, bổ đính bậc cao nhất vào hàm truyền của photon qua
giản đồ phân cực sau:
kq




 q 

q

q




k

Hình 1.5: Đóng góp bậc hai vào hàm truyền của photon
Khi không kể đến đường ngoài, thì tích phân Feynman có dạng sau:
(1.38)




2
Tr 
 q  m) (
 m)
d4
 (q)  (ie)
k
(

 (2 ) (k
4

2

2

2

2


 m  i ) (k
  q)  m  i 

Tích phân (1.38) phân kỳ bậc hai khi k  . Cho nên ta không được
phép thực hiện các thao tác như đổi biến tích phân… Do đó, ta chuyển từ 4
chiều sang d chiều. Nên (1.38) có dạng:


 2

 (q)  (ie )

d
k



 (2 )



Tr  (  q  m) ( k  m)
k

d

d

2
2
2
2
(k  m )  (k  q)  m 

(1.39)

Trong (1.39) ta đưa vào tham số  có thứ nguyên khối lượng với lũy
thừa 



làm cho tích phân có thứ nguyên đúng. Ta có thể bỏ số hạng i trong

hàm truyền.
Ta thấy rằng, chỉnh thứ nguyên bảo toàn bất biến chuẩn, cụ thể là đồng
nhất thức Ward được thỏa mãn. Thật vậy:
d
d k Tr  q  q  m)  (
 m)
(

2 2

q  (q)  e 
 (2 )d  2 2
2
2
(k  m )  (k  q)  m 

(1.40)

Thực hiện một số thao tác sau:
q  ( k  q  m)  (
k

 m)

a  a  2(a.b)
Khi đó tử số có dạng:
Tr ...  Tr  (

 m) q
(


 q  m) 




2
2
 Tr ( k  m) (k  q)  m  

  Tr (k

2

 m )( k  q  m)  
2




2
2

2
2
 d  (k  q)  m  k  d (k  m )(k  q )

(1.41)

Do vậy ta có:


2

2

q  (q)  e  d




d

dk 

 (2k  )  k
d





k q


2

m

2

2



(k  q)  m


2




Với d  2 , tích phân trên hữu hạn nên thỏa mãn:
d
d
d k
d k
 (2 ) d F (k)   (2 ) d F (k  q),
Vì vậy (1.42) cho:


q  (q)  0 .



Đây chính là đồng nhất thức Ward quen thuộc. Tử số của (1.39):

(1.42)




TS  Tr  (
k
 


 q  m) ( k  m)








2

2

 2dk k  d (q k  q k )  d (m  k  k.q)g



(1.43)