Sai số và nội suy

Khóa luận tốt
nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
bằng chính sức lực của bản thân tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở
những kiến thức đã học và tham khảo các tài liệu cùng với sự giúp đỡ của
thầy cô, bạn bè. Nó không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kỳ tác giả nào
khác. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Dung

SVTH: Nguyễn Thị Dung
K34C


Khóa luận tốt
nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Dung
K34C


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU........................................................................................................................1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................................3
1.1. Sự khác biệt giữa toán lý thuyết và toán tính...........................................................3
1.2. Quan hệ toán học tính toán và tin học......................................................................5

Chƣơng 2: SAI SỐ.........................................................................................................6
2.1. Số gần đúng. Sai số tuyệt đối.Sai số tƣơng đối.......................................................6
2.2. Sai số thu gọn...........................................................................................................9
2.3. Chữ số chắc..............................................................................................................12
2.4. Sai số........................................................................................................................17
2.5. Bài toán ngƣợc của sai số........................................................................................20
2.6. Sự ổn định của một quá............................................................................................21
Bài tập.............................................................................................................................23
Chƣơng 3: NỘI SUY......................................................................................................26
3.1. Đa thức nội suy Lagrange........................................................................................26
Bài tập.............................................................................................................................33
3.2. Sai phân....................................................................................................................35
Bài tập.............................................................................................................................50
3.3. Sai số của phép nội suy............................................................................................55
Bài tập.............................................................................................................................59
3.4. Tỷ sai phân...............................................................................................................60
Bài tập.............................................................................................................................68
3.5. Đa thức nội suy Hermitte và nội suy bằng hàm ghép trơn......................................69
Bài tập.............................................................................................................................74
KẾT LUẬN.....................................................................................................................77
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................................78

SVTH: Nguyễn Thị Dung K34C

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế. Ngày

nay, khoa học công nghệ thông tin, tin học ngày càng phát triển kéo theo sự
phát triển của toán học. Toán học chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và
toán học ứng dụng. Nói tới toán học không thể không nói đến Giải tích số một môn khoa học nghiên cứu các cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, các
phƣơng trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ƣu,…
Để có lời giải gần đúng cho bất kỳ bài toán nào cũng đòi hỏi phải có
các dữ liệu của bài toán, tiếp theo là công việc tìm thuật toán hữu hiệu nhất và
cuối cùng viết phƣơng trình để máy tính tính toán cho ta kết quả gần đúng.
Khi giải bài toán thực tế ta phải trực tiếp hoặc gián tiếp làm việc với dữ liệu
bài toán. Chính vì vậy không tránh khỏi những sai số tuy rất nhỏ nhƣng ảnh
hƣởng trực tiếp tới kết quả tính toán. Vì vậy cần sử dụng những thuật toán
hữu hiệu để giảm thiểu sai số đồng thời thuận lợi cho việc lập trình, tiết kiệm
thời gian, số lƣợng các phép toán.
Từ những năm 50 trở lại đây, nhất là những năm 80, giải tích số đặc
biệt phát triển cùng với sự phát triển của tin học. Ngày nay, với sự xuất hiện
của siêu máy tính, khả năng song song hoá các quá trình tính toán đƣợc mở
rộng. Nhiều thuật toán song song đã đƣợc đề xuất vào giải các bài toán thực
tiễn.
Với mong muốn đƣợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc về môn này và
bƣớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài: ” Sai
số và nội suy ”.


2. Mục đích nghiên cứu
Bƣớc đầu tiếp cận giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa
học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích số, đặc biệt là sai số và phƣơng pháp nội
suy.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về sai số để hiểu rõ hơn về nội dung kiến thức phần sai số
trong chƣơng I Đại số 10.
Nghiên cứu về phƣơng pháp nội suy để ứng dụng nó trong việc tính

gần đúng đạo hàm, tích phân.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, tổng hợp, đánh giá.
5. Cấu trúc của khoá luận
Gồm 3 phần:
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung
Gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Chƣơng 2: Sai số
Chƣơng 3: Nội suy
Phần III: Kết luận


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. SỰ KHÁC BIỆT GIỮA TOÁN LÝ THUYẾT VÀ TOÁN TÍNH TOÁN

Trong khi toán học lý thuyết chỉ đề cập đến chứng minh tồn tại nghiệm,
khảo sát dáng điệu và một số tính chất định tính của nghiệm thì toán tính trình
bày thuật giải trên máy. Giải tích số đặc biệt quan tâm tới thời gian máy, bộ
nhớ sử dụng để giải bài toán, thuật toán, tốc độ hội tụ và sự ổn định của thuật
toán.
Trong quá trình giải một số bài toán, nhiều khi có thể nảy sinh những
vấn đề mà lý thuyết không quan tâm và không giải quyết đƣợc. Để hiểu rõ
hơn về sự khác biệt giữa toán tính và toán lý thuyết ta đi xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1.1: Giả sử cần tính tích phân:
1

In =

( n ≥ 1)

n

∫xe

dx
0

Tích phân từng phần ta đƣợc:
n x−2 1

In
= x
e

| − n∫
1

và I1 =
= xe

x−2

∫ xe

1

1 n−1 x−2

x− nI
e
dx =
n−1 0
0
e
x−2
1

dx

1

x−2

|0 −e
∫

0

1

dx = ≈ 0,135335
e2

0

đến đây ngƣời ta làm lý thuyết cho rằng có thể tính đƣợc In , theo công thức
truy hồi

I =
nI

1

−

n
n−1

e

với

1

I =
1

e

2


≈
0,13533 thực ra
không phải
5

nh ƣ vậy
vì

I9 ≈ −0,0251923 , kết quả hoàn toàn không
chính xác vì

tính

∀n, In > 0

Nguyên nhân của sự thiếu chính xác là do sai số ban đầu mắc phải khi
−1

e , tuy rất nhỏ nhƣng bị khuêch đại sau mỗi bƣớc.


Ví dụ 1.2:

(1.1)

Cho hệ phƣơng trình đại số tuyến tính: Ax
=b
Trong đó A là ma trận vuông cấp

n × n,b là vectơ n - chiều, cho trƣớc

Giả sử det A ≠ 0, x là vectơ nghiệm cần tìm.
n
∈ R
Theo nguyên tắc, ta có thể giải hệ (1.1) theo quy tắc Crame:

∆i
x =

(1.2)

i

∆
Trong đó ∆ = det là định thức của ma trận, nhận đƣợc từ A bằng cách
A, ∆i
thay cột thứ i bằng cột b .
Để tìm nghiệm của (1.1) ta phải tìm ( n

định thức. Mỗi định thức có n! số

+1)
hạng. Mỗi số hạng có n thừa số, do đó để tính mỗi số hạng phải thực hiện

(n

phép nhân. Nhƣ vậy riêng số phép nhân phải thực hiện (1.2) là

−1)

n!(n +1)( n −1).
5

Giả sử n = 30, máy tính của ta thực hiện đƣợc 10

phép nhân trong một

giây. Khi đó để thực hiện đƣợc hết phép nhân theo (1.2) thì cũng phải mất
2,76
25
×10

năm.

Ví dụ 1.3:
Xét hệ (1.1) với ma trận

A = diag ( 0.1,0.1,...,0.1) , n = 200 .
Khi đó,


−200

det A =10
biến.

 0 và theo quan điểm lý thuyết thì ma trận A hầu suy

Trong khi đó,

A=
0,1.E

với E là ma trận đơn vị. Trong toán học tính toán,

ngƣời ta dùng một đặc trƣng khác, gọi là số điều kiện cond (

kiểm tra tính suy biến của nó.
Nếu cond
(

của A để

A)

càng lớn thì ma trận A càng gần suy biến. Ở ví dụ này

A)

cond ( A) = cond ( E ) =1. Ma trận A có mọi tính chất nhƣ ma trận đơn
vị.


1.2. QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC TÍNH TOÁN VÀ TIN HỌC

Các bƣớc để giải một bài toán thực tế bao gồm:
• Bƣớc 1: Xây dựng mô hình toán học của bài toán thực tế
• Bƣớc 2: Phân tích mô hình. Mối tƣơng quan giữa mô hình với hiện tƣợng
thực tế. Sự tồn tại (và có thể duy nhất) của lời giải.
Phác thảo phƣơng hƣớng tính toán.
• Bƣớc 3: Rời rạc hóa mô hình: Ngƣời ta thƣờng dùng các phƣơng pháp sai
phân, phần tử hữu hạn,... để quy bài toán liên tục về bài toán với số ẩn hữu
hạn.
• Bƣớc 4: Xây dựng thuật toán.
• Bƣớc 5: Cài đặt và khai thác tin học.
Giữa toán học tính toán và tin học có mối liên hệ mật thiết và sự tác
động qua lại lẫn nhau. Do cuộc sống của con ngƣời ngày càng văn minh, tiến

bộ, hiện đại, đời sống vật chất cũng nhƣ tinh thần đƣợc nâng cao, đòi hỏi việc
tính toán cần phải nhanh, chính xác. Nếu ta tiến hành tăng tốc độ tính toán của
máy gặp nhiều khó khăn về kĩ thuật. Hơn nữa lại đòi hỏi chi phí lớn nên để
tính toán nhanh ngƣời ta thiên về cải tiến phƣơng pháp giải bài toán. Từ đó
xuất hiện phép biến đổi nhanh Fouire, các thuật toán song song,…Chính vì
vậy, ngày nay làm việc gì cũng vậy, trƣớc khi cho ra đời một sản phẩm nào
đó thì ngƣời ta nghĩ ngay đến đầu ra của nó, các cách làm để làm sao thu
đƣợc lợi nhuận lớn nhất. Thì trong khoa học công nghệ cũng vậy, đồng hành
với sự ra đời của các siêu máy tính: Máy tính song song, máy tính vectơ
vv…, là các phƣơng pháp song song. Ngày nay, ta đƣợc chứng kiến xu thế
song song hóa đang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của Giải tích số. Để
tiết kiệm bộ nhớ trong máy tính ngƣời ta đã đề xuất phƣơng pháp hữu hiệu
xử lý hệ lớn, thƣa nhƣ kĩ thuật nén ma trận, kĩ thuật tiền xử lý ma trận.


CHƢƠNG 2: SAI SỐ
2.1. SAI SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI. SAI SỐ TƢƠNG ĐỐI

2.1.1. Số gần đúng
Trong nhiều trƣờng hợp, ta không biết đƣợc giá trị đúng của các đại
lƣợng mà ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó.
Ta gọi a là sồ gần đúng của a* nếu a không sai khác a* nhiều.
Ví dụ 2.1.1.
Theo tổng cục thống kê, đứng đầu một trong năm tỉnh thành có số dân
đông nhất cả nƣớc, thành phố Hồ Chí Minh có 7396500 ngƣời, tiếp đến là thủ
đô Hà Nội 6561900 ngƣời, Thanh Hoá 3406800 ngƣời, Nghệ An 2917400
ngƣời và Đồng Nai là 2569400 ngƣời.
Các số liệu trên là số gần đúng.
2.1.2. Sai số tuyệt đối
Giả sử a là số gần đúng của a*.Giá trị a* − phản ánh mức độ sai

a
lệch giữa a và a*.
Ta gọi đại
lƣợng

*

∆ := a − a là sai số thực của a .

Nếu ∆ > 0 thì a đƣợc gọi là số gần đúng
thiếu của
Nếu ∆ < 0 thì a đƣợc gọi là số gần đúng thừa
số của

*

a.
*

a .

Trên thực tế nhiều khi không biết a* nên ta không tính đƣợc ∆ . Do
đó
ta tìm cách ƣớc lƣợng sai số đó bằng một số
dƣơng ∆a
*

a −
a

nào đó thoả mãn:
≤ ∆a


(2.1.1
)
Ta gọi
∆a

thoả mãn điều kiện (2.1.1) là sai số tuyệt đối của số gần đúng a , từ

(2.1.1) có:
a
− ∆a
≤ a

*

≤ a
+
∆a

(2.1.2)


Rõ ràng nếu
∆a

đã là sai số tuyệt đối của a thì mọi số ∆
>

∆a

đều có

thể xem là sai số tuyệt đối của a . Vì vậy trong những điều kiện cụ thể ngƣời
ta chọn
∆a

là số dƣơng bé nhất có thể thoả mãn (2.1.2). Do đó, một số gần
*

đúng a của số đúng a với sai số tuyệt đốia ∆ đƣợc viết đơn giản là:
*

a = a
± ∆a

Ví dụ 2.1.2:

(2.1.3)

Xét số đúng a* = và giá trị gần đúng của nó
là
2
biết sai số tuyệt đối của nó.

Giải

2

Ta có: (1,41) = 1,9881 < 2 suy ra 1,41 <
2

(1,42) = 2,0164 > 2 suy ra 1,42 >
Do đó: ∆ := =
*
a
− a
Suy ra
∆a =
0,01
Mặt khác 1,41 <

a =1,41. Hãy
cho

2

2 suy
ra
2

2 suy
ra

−1,41 > 0
2
−1, 42 < 0,01

−1, 41 < 0,01

2 < 1,415=1,41+0,005

∆a = 0,005 .

Do đó cũng có thể lấy sai số tuyệt đối của a là
2.1.3. Sai số tƣơng đối

Cho số gần đúng a có số đúng a* với sai số tuyệt đối ∆ và giả
a
sử
*

a ≠ 0 . Ta gọi sai số tƣơng đối của số gần đúng a là một số, kí
hiệu

δa là tỉ


số giữa sai số tuyệt đối và a* .
a

δa =
a*

(2.1.4)


Tuy nhiên, vì số đúng a* chƣa biết cho nên đại lƣợng δ xác định bởi
a

(2.1.4) chỉ có ý nghĩa lý thuyết. Để đảm bảo tƣơng đối chính xác ngƣời ta
thƣờng tính toán

δa

theo công thức sau ( điều kiện a ≠ 0 ):
a

δa =
a
Suy
ra:

(2.1.5)

∆a =
a .δ a

(2.1.6)

Các công thức (2.1.5), (2.1.6) cho liên hệ giữa sai số tƣơng đối và sai
số tuyệt đối. Biết
∆a
tính

thì (2.1.5) cho phép tính δa ,
biết δ a

thì (2.1.6) cho phép

∆a .

Do (2.1.6) nên (2.1.3) cũng có thể viết: a* = a(1 a
±δ )
Ví dụ 2.1.3

(2.1.7)

Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta đƣợc a =10cm và b =1cm với
∆a = ∆b = 0,01. Khi đó ta có:
0,01
δ=
= 0,1%
a
10
0,01
δ =
= 1%
b
1
Suy ra: δb = 10δa
Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù

∆a =
∆b .

Nhƣ vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tƣơng đối.
Nhận xét:
1. Sai số tuyệt đối cũng nhƣ sai số tƣơng đối của số gần đúng a của số đúng
*

a là không duy nhất.


Chẳng hạn, xem ví dụ 2.1.2 có a* = , a = 1,41 thì có thể lấy
2
∆a = 0,01 ∆a = 0,005 .
hoặc


0,01
Từ đó ta có: δ =
=
0,00792198582 =

0,792198582%

a

1, 41
0,005
Hoặc δ =
=
0,003546099291 =
b
1, 41

0,3546099291%

2. Độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tƣơng đối.

3. Ngƣời ta thƣờng viết sai số tƣơng đối ở dạng phần trăm.
2.2. SAI SỐ THU GỌN

2.2.1. Sai số thu gọn
Trong mục này ta luôn quy ƣớc các số đƣợc viết dƣới dạng thập phân.
Một số thập phân

a=
±( β p1
0

a
≠
0
p

có dạng nhƣ sau:

+ β
10

p−1
p
−

trong đó:

+ ... + β
10
p −s

)

(2.2.1)

p
−

βi , s ∈ , p ∈ ,0 ≤ ∀i = p, p − s
βi ≤ 9, β p > 0

Với mỗi β là một chữ số của a , chỉ số i xác định hàng chữ số ấy.
i
+ Nếu

p − s thì a là số nguyên.
≥ 0

+ Nếu p − s = −m(m > 0) thì a có phần tử lẻ gồm m chữ số.
+Nếu s = +∞ thì a là số thập phân vô hạn.
Thu gọn số a đến hàng thứ j là bỏ đi các chữ số có hàng thứ k , với
k≤

để đƣợc một số a gọn hơn a và gần đúng nhất với a .

j −1


Quy tắc thu gọn số:
Xét số a ở dạng (2.2.1) và ta giữ lại đến hàng thứ j phần bỏ đi đƣợc gọi là

µ , lúc
đó:

p
+ ...
a = 10
+
β
±(β
p

+

10 j 1
+ β

j+1

1

nếu 0

 β
j

Với β
j=

≤ µ ≤
10






β

j
+ nếu
1

1

10
2

.

j

hoặc

µ =
1

2

< µ hoặc
j

< 10
j

.

j

10 j )

.10
2

j

µ
=

1

2

chẵn

mà

β

j

j

.10 mà β j lẻ


Chú ý:
*

1. Khi quy tròn số đúng a đến một hàng nào đó thì ta nói số gần đúng
a nhận đƣợc là chính xác đến hàng đó.
Ví dụ 2.2.1
Số gần đúng của

chính xác đến hàng phần trăm là 1,41. Số gần
2
đúng của số π chính xác đến hàng phần nghìn là 3,142.
2. Nếu kết quả của bài toán yêu cầu chính xác đến hàng thì trong
1
10n
quá trình tính toán, ở kết quả của phép tính trung gian ta cần lấy chính xác ít
1
nhất đến hàng
.
10n+1
3. Cho số gần đúng a với độ chính xác
∆a

*

(tức là a = a
± ∆a ) khi

đƣợc yêu cầu thu gọn số a mà không nói rõ thu gọn đến hàng nào thì thu gọn
a đến hàng thấp nhất mà

∆a nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

Ví dụ 2.2.2
Cho a* =1,376 ±
0,002

và ta phải thu gọn số 1,376.

Ta thấy: 0,001< 0,002< 0,01 nên hàng thấp nhất mà nhỏ hơn một đơn vị
∆a
của hàng đó là hàng phần trăm. Vậy ta phải thu gọn số 1,376 đến hàng phần
trăm. Kết quả a* ≈1,38.

a
−
a

Sai số của phép thu gọn số a kí hiệu là
Γa
= Γa

đƣợc xác định bởi


Vì a
=β
còn

p10

p

+ ... 10 j + µ

+ β

p
10
+ ...
a= + β
β
p

nên a
−
a

+

10 j 1
+ β

j+1

10 j
j

j
= j − )10 j
< 0,5.10
(β β j + µ


nhƣ
vậy

Γ < 0,5.10 j
a

Nhận xét:
Khi thay số đúng bởi số thu gọn đến một hàng nào đó thì sai số của số
thu gọn không vƣợt quá nửa đơn vị của hàng thu gọn. Nhƣ vậy độ chính xác
của số thu gọn bằng nửa đơn vị của hàng thu gọn. Sau khi thu gọn sai số tuyệt
đối tăng lên:
*

a − a
= a

*

*

−a + a
− a + a − a ≤ ∆ a + Γa
− a≤ a

Vậy ta có thể lấy ∆a' = ∆a + Γa
Rõ ràng
Ví dụ 2.2.3

∆a '
>
∆a

tức là việc thu gọn số làm tăng sai số tuyệt đối.

Xét

a = 314,564. Hãy thực hiện phép thu gọn số lần lƣợt tới
thứ -2,-1,0,1. hàng
Giải
Ta có

2

1

0

a = 3.10 +1.10 + 4.10 + 5.10

−1

−2

+ 6.10

+ 4.10

−3

Thu gọn số a đến hàng thứ -2 ta đƣợc:
2

1

−1

0

a = 314,56 = 3.10 +1.10 + 4.10 + 5.10

+ 6.10

Thu gọn số a đến hàng thứ -1 ta đƣợc:
a = 314,6 = 3.10

−2

+1.10

−1

0

+ 4.10 + 6.10

Thu gọn số a đến hàng thứ 0 ta đƣợc:
2

1

0

a = 315 = 3.10 +1.10 + 5.10
Thu gọn số a đến hàng thứ 1 ta đƣợc:
2

a = 320 = 3.10 + 2.10

1

−1

−2


Tuy nhiên, để ý rằng nếu thu gọn ngay số a đến hàng thứ 0 ta đƣợc 314
không trùng với kết quả trên có đƣợc bằng cách thu gọn một cách lần lƣợt.


2.2.2. Ảnh hƣởng của sai số thu gọn
Ví dụ 1.2.4
3 −1

Xét đại lƣợng A =

(

)10

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có cong thức đúng
10

( 3 −1)
1
− C

0

= C .( 3)
10

+27
− 727
6
C
3C
10

0
10

10

3+

2
3C

+ 8 − 981
81C 3C
10

10

− 33
3C

10

+ 243C
10

+ 4 − 9 3C
9C
10

10

5

10

10

(2.2.2)

( 3 −1)10 = 11584 − 6688 3
với 3 =1,732050808...
Bây giờ ta tính hai vế của (2.2.2) bằng cách thay

3 bởi các số thu gọn

(xem bảng 2.1)
Bảng (2.1)
3

Vế trái

Vế phải

1,7

0,028247524

214,4

1,73

0,042976258

13,76

1,732

0,044168312

0,384

1,7320505808

0,044198979

0,0441961

Sự khác biệt giữa các giá trị tính ra của hai vế chứng tỏ rằng sai số thu
gọn có thể có những tác dụng rất đáng ngại trong quá trình tính toán. Ta nói
quá trình tính A bằng vế trái của (2.2.2) là quá trình tính ổn định, quá trình
tính A bằng vế phải của (2.2.2) là quá trình tính không ổn định.
2.3. CHỮ SỐ CHẮC

2.3.1. Chữ số có nghĩa


Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả “0”, nếu có kẹp giữa hai
chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng đƣợc giữ lại.


Ví dụ 2.3.1
Cho a = 0,00005340810
Ta thấy 5 chữ số 0 đầu không có nghĩa, chữ số 0 cuối cùng có nghĩa
2.3.2. Chữ số chắc
Ta vẫn xét chữ số a viết dƣới dạng thập phân (2.2.1)
Khi đó ta có:
Mọi chữ số

β

của a trong biểu diễn dạng (2.2.1) đƣợc gọi là chắc nếu nhƣ

j

(2.3.1)

∆
≤
a
ω ×10

j

Trong đó ω là tham số cho trƣớc, ω đƣợc chọn để sao cho một chữ
số vốn là chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc.
Rõ ràng, nếu β j là chữ số chắc
Ví dụ 2.3.2 thì

β

j+1

a =1,70134;
Khi đó:

0

−1

a =1.10 + 7.10
+ 4.10

cũng là chữ số chắc.

∆a = 0,001
−2

+ 0.10

+1.10

−3

−4

+ 3.10

−5

Chọn thì a có 4 chữ số đầu là chắc gồm: 1,7,0,1, còn hai chữ số không
1
ω =
2
chắc là 3,4
Chọn ω = 1 thì a có 3 chữ số 1,7,0 là chắc , ba số còn lại 1,3,4 là
không chắc.
Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a trƣớc khi thu gọn là

β

j

chữ số trƣớc nó vẫn là chắc, ta phải có:

để
j+1

β và các