Tích phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
khoa Toán nói chung và trong tổ Giải tích nói riêng và các bạn sinh viên đã
giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo TS. Nguyễn
Văn Hùng, người đã tận tâm giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian
nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian
nghiên cứu có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu
sót. Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô
giáo và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Cao Thị Tung

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
TS. Nguyễn Văn Hùng, cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một
số tác giả như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em.
Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà

khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Cao Thị Tung


MỤC LỤC

Trang

LỜI MỞ ĐẦU.............................................................................................................................. 1
NỘI DUNG.................................................................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG.................................................................................... 3
1.1. Tích phân suy rộng loại 1................................................................................................. 3
1.2. Tích phân suy rộng loại 2............................................................................................... 22
Bài tập.................................................................................................................................... 34
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ............................................................58
2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số...........................................................58
2.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số.......................................61
2.3. Tích phân phụ thuộc tham số với cận ở vô tận.............................................................. 63
Bài tập.................................................................................................................................... 70
KẾT LUẬN................................................................................................................................ 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................... 90


LỜI MỞ ĐẦU

Toán học là ngành khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiều ngành khoa
học khác. Trong đó Giải tích là bộ phận chiếm vị trí quan trọng trong Toán

học. Đã có rất nhiều nhà khoa học đi nghiên cứu và phát triển ngành Toán học
nói chung và lĩnh vực Giải tích nói riêng. Không chỉ có các nhà khoa học
muốn nghiên cứu và tìm hiểu về Toán học mà còn rất nhiều sinh viên chuyên
ngành Toán cũng đam mê và ước muốn nghiên cứu Toán học.
Bản thân em cũng mong ước được nghiên cứu tìm hiểu và bồi dưỡng
thêm những tri thức liên quan đến Toán học nói chung và Giải tích nói riêng.
Trên cơ sở những kiến thức đã học, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo
TS. Nguyễn Văn Hùng, cũng như mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tích
phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số nên em đã mạnh dạn chọn đề
tài “Tích phân suy rộng - Tích phân phụ thuộc tham số” nhằm nghiên cứu
một số kiến thức cơ bản như các tích chất, các dấu hiệu hội tụ của tích phân
suy rộng và các tính chất, các dấu hiệu hội tụ đều của tích phân phụ thuộc
tham số.
Được sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán nói chung
và trong tổ Giải tích nói riêng và đặc biệt là được sự hướng dẫn và chỉ bảo tận
tình của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng tìm tòi và
nghiên cứu của mình em đã hoàn thành đề tài nghiên cứu này.
Đề tài của em gồm ba phần: Lời mở đầu, nội dung, kết luận.
Phần nội dung gồm:
Chương 1: Tích phân suy rộng
Chương 2: Tích phân phụ thuộc tham số

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

4


Qua đây em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến
thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ
bảo cho em trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên
trong khoa toán đã gúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốt quá trình
hoàn thành khóa luận của mình.
Do lần đầu tiên tiếp xúc với việc nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời
gian nghiên cứu có hạn, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên khóa luận
không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em rất mong nhận được sự
thông cảm của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên.


NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1.1. Tích phân suy rộng loại 1
1.1.1. Định nghĩa

+
∞)
→
R

* Cho hàm số f :

[a,
( A > a).

+∞

A

Kí hiệu:

lim

A→+∞

∫ f (x) dx

∫

a

a

=
+∞

Ta gọi

∫

f (x)

khả tích trên mọi đoạn [a, A],

f (x) dx .

là tích phân suy rộng loại 1 của hàm f (x) trong khoảng

dx

a

[a,

+ ∞) .
A

Xét giới hạn:

lim

f (x)
dx

(1)

A
→
+
∞

∫
a

+ Nếu giới hạn (1) tồn tại và hữu hạn thì tích phân


là hội tụ.

+∞

∫

dx
a

f (x)


được gọi
+ Nếu giới hạn (1) không tồn tại hoặc bằng −∞ hay +∞ thì
tích phân
+∞

∫

được gọi là phân kì.

f (x)

dx
a

Ví dụ 1: Tính tích phân

+∞
−x

∫0 e

dx .

Với mọi số thực b > 0 , ta có:


)

b

∫e

−x

− x

dx =

=1− e

b
0

( −e

−b

0
+∞
−x

b

dx = lim ∫ e
∫e b→+∞
0

dx = lim (−e

−b

b→+∞

+ 1) = 1

0

+∞

Do đó:

−x

∫
x

e

−

+∞

−x

hội tụ và

∫0 e

dx

dx = 1

0

Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của tích phân suy

+∞

∫0 sinx dx .

rộng Với mọi số thực b > 0 , ta có:
b

Tích phân sinx dx
∫
b
→
+∞
.

=

∫

= 1−
cosb

2 không có giới hạn khi

b

0

+∞

Do đó

(−cos x)

0

sinx

phân kì.

dx
0

* Tương tự nếu f :

[−∞,

a) → R

khả tích trên mọi đoạn [ B, a ] ,

(B < a).
a

Kí hiệu:

lim

B→−∞

∫ f (x)
dx
B

a

= ∫ f (x) dx .
−∞


a

Ta gọi

∫

f (x)

là tích phân suy rộng loại 1 của hàm f (x) trong khoảng

dx
−∞

( −∞, a ] .
a

f (x)
lim
Xét giới hạn: dx

∫

B→−∞ B

(2)


được

a

+ Nếu giới hạn (2) tồn tại và hữu hạn thì tích phân

∫

f (x)

dx

gọi là hội tụ.

−∞

+ Nếu giới hạn (2) không tồn tại hoặc bằng −∞ hay
+∞ thì tích phân
a

∫

được gọi là phân kì.
f (x)

dx
−∞
0
3x

∫ xe
−∞

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của tích

dx .

phân Với mọi số thực b < 0 , ta
có:
0

∫
∫
b

0

3x

1 x d (e3x ) =
xe dx =
3

xe

3x

1


3

0


3x
− e dx 
∫
0

b

b



b

1
1 3b
1

3b
3b
= 1 3x−be
0 = − be −
1− e
− e

b
3
3
3
9


1 3b
1 3b
1
= − be + e −

3
9
9
0
0
1 3b
1 3b
1

3x
Do đó: xe3xdx
lim − 1 be + e −
xe
lim
=
= dx 
= −


∫ b→−∞ ∫
3
9
9 9
b
−∞

(

b

→
−∞



Vậy tích phân

)


0

∫

hội tụ và
3x

xe dx

0

3x

xe dx = −
∫−∞
9

1

−∞

* Nếu f :

+

( −∞,

[B,
A],

∞)
→
R

[B, A] ⊂
( −∞,

khả tích trên mọi đoạn

+ ∞) .

A

Kí hiệu:

lim

A→+∞

∫ f (x) dx

=

B→−∞ B

+∞

∫

f (x) dx .

−∞


+∞

Ta gọi

∫

là tích phân suy rộng loại 1 của hàm f (x) trong khoảng

f (x)

dx
−∞

(−

∞
,

+ ∞) .

(3)

A

Xét giới hạn:

lim

A→+∞

∫ f (x)
dx

B→−∞ B

được gọi

+∞

+ Nếu giới hạn (3) tồn tại và hữu hạn thì tích phân

∫

f (x)

dx

là hội tụ.

−∞

+ Nếu giới hạn (3) không tồn tại hoặc bằng −∞ hay +∞ thì
tích phân
+∞

∫

được gọi là phân kì.

f (x)

dx
−∞

* Cho a là số thực bất kì:
+∞

+ Nếu cả hai tích phân

∫

f (x)

a

và

∫

−∞

f (x)
dx

cùng hội tụ thì :

dx
a
+∞

∫

f (x) dx

=

a

∫

f

dx

+∞

(x)

+

∫

f (x)
dx

+∞

và

∫


f (x) dx

−∞

−∞

hội tụ.

a
+∞

+ Nếu một trong hai tích phân

∫

f (x)

−∞
a

và

∫

−∞

f (x)
dx

phân kì thì tích

dx
a
+∞

phân

∫

f (x)

cũng phân kì.

dx
−∞

Chú ý: Nếu tích phân suy rộng trên các khoảng

[−∞,

a ),

(−

[a
,

+ hoặc
∞

)

+ của hàm f (x) hội tụ thì ta nói hàm f (x) khả tích trên các
∞ ∞
,

)

khoảng tương ứng.


Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của tích phân

+
∞

.
∫ x2 +dx 2x +

−
∞

5

+∞

1
+∞
dx
dx
dx
+
2
∫
∫
2
x + 2x + −5 x + 2x + 15 x + 2x + 5
−
=

∫

Ta có:

2

Đặt

∫

dx

A=

B=
dx
2
,
x + 2x
x + 2x
∫
∫1 + 5
−∞ + 5
2

1

+ Xét A =

+∞

1

dx

, với mọi số thực b < 0 , ta có:
2
x + 2x + 5

−∞
1

dx

∫+x25+

A=

1

1

2
b→−∞
+ dx
2x +

2x

lim

∫5 x

dx

b→−∞

+ 4
= lim

∫

(

x + 1)

2

=
−∞

b

1
x

=
arc tan
+ 1 lim



2 b→−∞ 
2 

1

b

=

1



arc tan1 − arc tan

2 b→−∞ 
2 
lim


b

=

1 π
1
.
−
π

−
  π


2 4 2= 2
1



Do đó A =

∫

+
8

4

π

=
8


dx
2

x
+ 2x
+ 5

hội tụ.

3π

b+ 1


+ Xét

−∞

+∞

dx
+ 2x + 5

∫2
1 x

B=

Tương tự:
+∞

B=

dx

∫

2

x

+ 2x
+ 5

1

=
lim
2

+∞

1

a→+∞

= lim∫
a
→
+∞
1

x

tan
+arc
1


2 


a

+∞

dx

a
→
+∞

2

x
+ 2x
+ 5
=
lim

1

2

1

=

= lim∫

1 π

1 π 
π
.
−  
=
2 2 2 4 8



1

arc tan


a→+∞

dx

(x2
+ 1)
+ 4

a+ 1



− arc tan1

2




hội tụ.

+∞

Ta cũng có: B =

1

Vậy tích phân

dx
∫x 2 + 2x
+ 5

+∞

∫ x 2 +dx2x

hội tụ và

−

+ 5

π
π
3π

= A+ B=
+
=
dx
∫ x2 + 2x
8
8 2
−

+∞

∞

+ 5
+∞

1 dx , (α là số thực cho trước ).

∫x

Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của tích phân

1

+ Nếu α = 1 thì với mọi b ∈ R , b > 1 ta có:

∫

1

b

1

khi b →
dx = lnb
→ +∞ , do đó
α
+∞

+∞

1 dx = +∞

∫

x

α

x

1

+ Giả sử α ≠ 1 . Khi đó với mọi b > 1 ta có:
b

1
1−α
x

∫ dx
αx
=
1−
1


Nếu α
1 thì

b

α

1

b1−α 1
−
1−
=
1
−

α

α

dx = +∞
lim 1 , do đó
< b→

∫x
+∞
b

α
1

+∞

1 dx = +∞

∫x
1



Nếu α >
1 thì

dx
1 =

b

lim ∫
α

b→+∞

1

x

+∞

Vậy

1
α > 1 tích phân
∫

1
+∞
1 , do đó
1 dx =
∫ αx

α

−1
hội tụ.

dx
1

x

+∞

α ≤ 1

tích phân

1

∫x
1

dx phân kì.

1

α − 1


+∞

Tổng quát :Tích phân:

∫a

dx , a > 0 , và α là số thực tùy ý:
1
x

α

+∞
+ α > 1 tích
phân
1

dx

∫

a

+∞
+ α ≤ 1 tích
phân

∫

a

hội tụ.

α

x

1

dx phân kì.

α

x

+∞

Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của các tích phân

+∞

Tích phân

+∞

∫2

1
dx .
5 x3

1

dx hội tụ α = 5 > 1, a = 2  .

3



1

dx phân kì α = 3 < 1, a = 2  .

5



∫ 3 x5
2

Tích phân

∫2

+∞

1
dx và
3 x5

∫ 5 x3
2

+∞

Chú ý: Sau đây ta chỉ xét tích phân suy rộng loại 1 dạng

∫a

f (x) dx , còn các

trường hợp khác xét tương tự.
1.1.2. Cách tính tích phân suy rộng loại 1
Công thức Newton - Leibniz
Giả sử

hàm của

f (x) trên khoảng
[ a,
+∞

Khi đó:

f (x) khả tích trên đoạn [a, b] ∀b ≥
a , và
,
+ ∞) .

∫a f (x) dx

=

F
(x)

là nguyên


F (x)

+∞
a

Trong đó:

F

(+∞
) =

= F (+∞) − F (a)

lim F (x)

x
→
+
∞

Chú ý: Các phương pháp tính tích phân xác định vẫn được sử dụng cho tích
phân suy rộng.


+∞

Ví dụ 7: Tính tích phân sau

.

+∞
+∞

Ta có:

∫

−x

x.e dx
+∞

+∞



0

−

∫x x.e
dx

=
−

0

∫0

= −x.e



−x
x d−(e
)= −
x

x.e


−x

−
0



0

−x

dx 



0

+∞
+
−x
e dx
∞+

∫

∫e

=

(−x.e

− x+
−
∞
0

0

−x

e
= 1

)

1.1.3. Tiêu chuẩn hội tụ
Định lý 1.1.3.1 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy)
Giả sử f (x) là hàm số xác định trong khoảng

+ khả tích trong
∞

[a,

)

mọi đoạn hữu hạn [a, A], A ≥ a . Khi đó

tích phân

+∞

∫

hội tụ khi và

f (x)

dx
a

chỉ khi:
∀ε > 0 ,

∃A0 = A0 (ε ) > a,
∀A′, A ′ > A0 :

A′

∫ f (x) dx <

A′

Chứng minh:
A

Đặt F (x) =

∫ f (x) dx ,

> a.

A
a

Theo định lý Cauchy về giới hạn hàm số, giới hạn lim

A→+∞

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

21

F ( A)

ε.


tồn tại hữu hạn
khi và chỉ khi:
∀ε > 0 , ∃A0

= A0 (ε ) > 0, ∀A′, A′ > A0 :
F(A′) – F(A ′) < ε

Tức là:

A′

′

∫

A

f ( x) dx

−

f ( x) dx
=

f ( x)

A′

a
+∞

Theo định nghĩa, tích phân

∫

dx

∫

a

< ε .

A′

∫

hội tụ khi và chỉ khi: tồn tại giới hạn

f (x)

dx
a

hữu hạn

lim

A→+∞ F

( A) .

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

22


+∞

Vậy tích phân

∫

hội tụ khi và chỉ khi:

f (x)

dx
a

∀ε >
0 , ∃A0

A′

= A0 (ε ) > a,
∀A′, A′ > A0 :

∫ f (x) dx <

A′

ε.

Định lý 1.1.3.2
Giả sử f

là hàm số xác định trong khoảng [a, + khả tích trong
∞

(x)

)

mọi đoạn hữu hạn [ a, A], A ≥ a . Khi đó tích
phân

hội tụ khi và

+∞

∫

f (x)

dx
a

+∞

chỉ khi tích phân

∫

f (x)

hội tụ, với b

dx

Chứng minh:

b

Giả sử b là số thực bất kì,

> a ) . Khi đó với A > a

(b
(có thể xem
A

> b ).

A

Ta có:

> a.

b

A

∫ f (x) dx ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx.
=
a

a
A

lim f (x)
Do
A→+∞ dx

∫

a

b

A

limkhi f (x)
tồn tại hữu hạn khi và chỉ
dx

∫

A→+∞ b

tồn tại


hữu hạn nên tích phân

+∞

∫

f (x)

hội tụ khi và chỉ khi tích phân

dx

hội tụ.

+∞

∫b

f (x) dx

a

Định lý 1.1.3.3
+∞

Giả sử tích phân

∫

a

f (x)
dx

+∞

và

∫a

g(x)
dx

hội tụ với α ,
β ∈ R . Khi đó

b

tích phân

∫[α f (x) +
g(x) ] dx
a

β

cũng hội tụ và ta có:


+∞

b

∫[α f (x)

+∞

f (x) dx + g(x) dx.

β g(x) ] dx
= α ∫

β

+
a

∫

a

a

1.1.4. Dấu hiệu hội tụ đối với tích phân suy rộng của hàm không âm Các
dấu hiệu so sánh

+

Giả sử f(x) là hàm số xác định và không âm trong khoảng [a, ∞)
,
khả tích trong mọi đoạn hữu hạn [a,

( A ≥ a)

A ],

.

+∞

Ta xét tích phân:

∫a

A

Đặt F ( A) =

a

f (x) dx .

∫ f (x) dx.
A

f (x) ≥ 0,
Hàm ∀x ≥ a

nên F (
A)

∫ f (x)

=
dx

là hàm đơn điệu, không giảm

a

trong khoảng

[ a,

+ ∞) . Do đó nếu F(A) là hàm số bị chặn trên thì sẽ tồn
tại

giới hạn hữu hạn

lim F ( A) . Còn nếu F(A) không bị chặn trên thì

A→+∞

lim

F(
A
→
A)
+
∞

= + ∞.

F(
+ Nếu hàm A)

∫ f (x) dx ,

=
>
a

+∞

a , bị chặn trên thì tích phân

A

A