Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về dao động mạng

Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, khẩn trương đến nay khóa luận của em đã ho
viên khoa Vật lí.

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo
luận này.


Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực
ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Nếu sai


MỤC
LỤC

Trang

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………….1
NỘI DUNG……………………………………………………………………3
Chương 1. Cấu trúc tinh thể…………………………………….......................3
1.1. Cấu thành vật rắn và thế liên kết các nguyên tử………………………3
1.2. Các mạng Bravais……………………………………………………..5
1.3. Véctơ mạng đảo……………………………………………………...10
1.4. Vùng Brillouin…………………………………………………….

12

1.5. Điều kiện tuần hoàn Born – Karman………………………………...13

Chương 2. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng……………………………..15
2.1. Dao động mạng trong hệ một chiều gồm một loại nguyên tử……….15
2.2. Dao động mạng trong hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử………..19
2.3. Dao động mạng trong hệ ba chiều phức tạp………………………

23

2.4. Tọa độ chuẩn trong dao động mạng ba chiều………………………..29
Chương 3. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng….......................................33
3.1. Năng lượng và hàm sóng của dao động mạng – Phonon………… 33

3.2. Toán tử dịch chuyển nguyên tử u   m ……………………………..39




i
as q, t
và
 

 

3.3. Phương trình chuyển



as

động của các toán tử



 q, t  ……………………………………………………………………...........42
3.4. Nhiệt động lực học thống kê của tinh thể……………………………43
3.4.1. Năng lượng tự do của dao động mạng……………………….....43

3


3.4.2. Năng lượng và nhiệt dung của vật rắn…………………………..45
3.5. Mô hình Einstein và mô hình Debye………………………………...46 3.5.1. Mô hình Einstein…
3.5.2. Mô hình Debye…………………………………………………48 KẾT LUẬN…………………………………
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………........54

4


1. Lý do chọn đề tài
Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay ngành vật lí học nói chung và vật lí
Trong lý thuyết cổ điển, các nguyên tử tương tác với nhau và liên kết trong chuỗi nguyê
điều hòa trong tinh thể thành hệ các dao động tử điều hòa. Coi mỗi năng


Mục đích nghiên cứu.
Qua nghiên cứu tìm hiểu về đề tài: “Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về dao động mạng”
Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật rắn.
Dao động mạng tinh thể theo lý thuyết cổ điển. Xét các bài toán dao động mạng tinh th
Áp dụng lý thuyết lượng tử vào nghiên cứu dao động mạng tinh thể.

Đối tượng nghiên cứu.
Mạng tinh thể vật rắn.
Phương pháp nghiên cứu.
Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
Thống kê, lập luận, diễn giải.
Dùng phương pháp của vật lý thống kê và của cơ học lượng tử.
Cấu trúc khóa luận.
Khóa luận gồm có 3 chương:
Chương 1. Cấu trúc tinh thể
Chương 2. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng
Chương 3. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng


NOI DUNG
CH ONG 1. CAU TRUC TINH THE
1.1. Cau thanh vat ran va thé lién két c:ic nguyén tfr
Trang thai ran ciia va)t chat cé› the ton tai ducic la do xuat hien cac
luc tuong tac giiia cac hat cau tao nén vat ran khi chiing lai gan nhau fi
khoang cach dii nho trong vat ran. Muon tao thanh cau trtic on dinh cua
va)t ran thi trong vat ran phai ton tai hai loai luc lién két: Luc hiit giua cac
hat dé giu cho chung khfing rcii xa nhau va luc day de cho chung khong tp
lai vcii nhau. Vi va(y, vé ban chat trong vat ran chi cé› hai loai luc lién két
do la luc hiit va luc day. Sau day ta sé di tim hiéu cq thé cac dang lién két dién
hinh trong vat ran:
Luc Vandovanxo la loai lien két thu6ng ga)p nhat trong va)t ran,
xuat hien giiia hai nguyén In hay phan tu bat ki.

a
" V’
trong dé›,

(1.1)

a

giiia cac phan tit khi thuc hay du‹ic gpi la phan bfi chinh, p la ap xuat, V la the
tich, a, b la phan bfi chinh, R la hang so, T 1:i nhiet do tuyet doi.
Luc nay xuat hien giita cac phan In bao hoa nhu O„ H , N , CH 4 --’ '

cac nguyén tit khi tro nhu Ar, Ne.
Trong tracing hpp tong quat luc lien két Vandovanxo gom ba loai
tuong tac chinh: Tuong tac tan xa, tuong tac dinh huéng va tuong tac cain
ung.

7


Tuong tac tan xa la loai luc lién két xuat hien do chuyén dong ciia
dien tit trong c:ic nguyén tit lan ca)n. Nang lupng tuong tac ducic tinh
theo cong thirc:

8


(1.2)

U
tx
——
4

r6

(1.3)

(1.4)
Ci vitng nhiet do
cao:
(1.5)

Udh “

trong dé›: M la momen lucing cuc, × la hang so dien moi, ²B la hang so
Boltzmann, ²B —— 1,38.10"' J/K, T la nhiet do tuyet doi, r la khoang cach
giiia cac nguyén tu.
Tuong tac ciim ring co nang lupng tuong tac duoc biéu dién nhu sau:
(1.6)
Trong truéng hpp tong quat khi hai nguyén tu lai gan nhau cé› thé xuat
hien cii ba loai luc lién két. Nang lupng tuong tac dupc biéu dién nhu sau:
U —— U„

Udh‘U„

Bang thuc nghiem ngucii ta chtmg minh ducic: U„ << U„ ,U dh -


Lién két ion la loai lién két xuat hien gifra kim loai dién hinh vcii
nhom Halogen. Biin chat ciia lién két ion la luc tuong tac tinh dien giiia cac
ion trai dau.
Nang lupng tuong tac dupc xac dinh:

B

(1.7)

r"
trong do: B, n la hang

dien tich, r la khoang cach giiia cac nguyén tu,

× la hang so dien
moi.
Lién két cong hoa tri la loai lién két ducic tao thanh bcii cac
ca(p electron co spin doi song. Day l:i loai lién két manh m(ac dii la lién
két giiia cac nguyén tu trung hoa. Vi dq nhu lién két trong tinh thé kim
cuong, Si, Ge, GaAs, GaP, AlP, v.v. .
Lién két cong hoa tri cé› tinh dinh hu6ng va bao hoa.
Lién két kim loai la loai lién két xuat hien trong kim loai, vé cc ban
lién két kim loai giong nhu lién két cong hé›a tri fi cho co cac dien tu hoa tri
gé›p chung nhung trong lién két cong hé›a tri thi cac dien th gé›p chung la do
su dé›ng gop tu cac nguyén tu lan can gan nhau nhat va chi ciia tung c(ap dien
In. Con trong lién két kim loai thi tat ca cac nguyén tit cua tinh the déu cho
dé›ng gé›p vao cac dien In gé›p chung. M)at khac, dien In gé›p chung khfing
dinh xu c nguyén tit ma dich chuyén tu do trong cac mang tinh thé.
Lién két Hidro xuat hien trong trucing hpp khi nguyén tit Hidro lién
két vcii nguyén th cé› tinh am dien manh nhu Cl , P, O , N . . . . ii ct
cac dien tu nay mat mot dien In lién két mang dien tich am con Hidro mat
mot mot dien tit mang dien tich duong. Lién két co ban chat ciia luc httt tinh
dien.

1.2. C:ic mang Bravais
Dé mo ta cau triic bén trong ciia tinh thé
nguucciiii

ta su dpng khai niéem

mang khfing gian: Trong va)t ran cac nguyén tit, phan tit duoc sap sép
mot cach déu da)n va tuan hoan trong khfing gian tao thanh mang tinh thé.
Tinh thé ly tuéng ph:ii thoa man ba diéu kien sau day:


— Su sap sép cfia cac nguyén tft, phan tit la hoan toan tuan hoan.


- Phai hoan toan dong nhat, nghia la ci mpi ncii no déu chira nhfmg
nguyén tu nhu nhau v:i phan bo nhu nhau.
— Ph:ii co kich thucic dai vfi han.
Ngucii ta co the xay d g mang tinh the bang cach la)p lai trong khfing
gian theo mot quy lua)t nhat dinh cac don vi cau trtic giong nhau dupc gpi la
fi so cap.
Cl tinh thé don giiin (Ag, Cu, Al,.
. .)
Cl tinh thé phuc
tap

chi chiia mot nguyén tu.

chira nhiéu nguyén In, phan tu.

H2.1
Hinh H2. 1 dién tit mang tinh thé nha(n duoc bang cach tinh tién cac
hat dpc theo ba trpc:
Ox theo cac doan: at, 2a„ 3a„
Oy theo cac doan: at, 2a„ 3a ,
Oz theo c:ic doan: at, 2a , 3a„ .
Khi do vi tri cfia mot nut mang bat ky ducic xac dinh bcii vécto:

(2.1)
trong dé›: n, (i=l, 2, 3) la cac “ nguyén, at
Tap hpp cac diem cé› ban kinh véctci r dv:ac xac dinh theo cfing thuc
(2. 1) vcii cac gia tri kh:ic nhau cfia u, (i= l, 2, 3) sé lap thanh mang
khong


gian va cac diem dé› gpi la cac nut ciia mang khfing gian hay ducic gpi la niit
mang.
Hinh hop dupc xay dung tu ba vécto cc sci dupc gpi la
thanh mang cé› cung mot hinh dang, kich thucic

H2.2
Vé nguyén tac dé mo ta mot

phiii biét sau dai lupng la ba

“ don gian hay o nguyén thiiy va
Tuy nhién, trong nhiéu truéing hpp de mo ta mot cach day dii hon su
doi ximg ciia mang tinh thé, fi cc sci dupc xay dung bang cach chua cac hat
khfing chi ci dinh rnii con co ci cac diem
kh:ic,

gpi la fi phuc tap.

Can cii vao tinh chat doi ximg ciia cac loai mang khong gian ngucii ta
chia thiinh biiy he ting véi bay loai

khac nhau, moi he duoc d(ac trung


B:ing 2.1
So mang tinh the

Tann ta (Triclinic)

Tann ta

Tain giac (Trigonal)

He tain giac

Lqc giac (Hexagonal)

He lpc giac

12

Tinh chat


Tiép theo ta nghién ciiu cac m)at va cac hu6ng cua tinh the.

Trong mot mang tinh the ta lufin co the xac dinh ta)p hpp cac m)at
song song ma chung chua c:ic diem mang. Cac m)at n:iy l:i cac m(at tinh
the. M)at phang mang la m)at phang chua ba nut mang.
De ghi ten cac ma)t tinh the ngufii ta su dpng cac chi so Miller. Ta co
“c O triing
nut mang nao dé›.
Gia su cé› mot m)at phang mang cat ba trpc tpa do Ox, Oy, Oz tai
cac diém A, B, C cé› cac tpa do lan lupt la n„ nd, nd nhu hinh H2.4.

H2.
4

‘I

Quy dong mau “

‘2

‘3

oi D la mau so chung nho nhat, khi do:

h ——

D

D

D

‘1

‘2

‘3

La chi so mang cfia m)at phang nay. Ki hieu la (hkl) va bo ba so
ducic da)t trong dau ngo)ac duoc gpi la chi so Miller ciia m(at phang mang:


Chti y: Cac m)at phang mang song song thi co cung chi so Miller
vi va)y chi so Miller (hkl) cé› the ki hieu cho mot m(at phang mang hay cho
mot hp ma)t phang mang song song vcii nhau.
Néu m)at phang mang song song vcii mot trpc tpa do thi coi nhu m)at
cuc va chi so Miller coi nhu bang 0.
Néu m)at phang mang cat trpc tpa do ci diém cé› tpa do am thi chi
so Miller tuong ring co gia tri am va ki hieu dau “ ”
1.3. Véctir mang dao

Mang thua(n la mang khong gian ducic xac dinh tit ba véctci cci sci
at, at, at vi tri cfia moi niit mang dupc xac dinh nhci vécto:

(3.1)

3

(3.2)

Tinh chat cfia vécto mang
diio: Tinh chat 1:

14


(3.4)

(3.5)
Tinh chat 2: Do lén cua vécto mang dao cé› thii nguyén nghich dao
cua chiéu dai.
(3.6)
Tinh chat 3: Hinh hop chit nha)t d g nén tu ba véctci cci sci cua mang

“ so cap
(3.7)
cfia mang thua)n.

(3.8)
vufing goc v‹ii m)at phang (hkl) cfia mang
thuan.
Dinh ly 2: Khoiing cach d

) giiia hai m)at phang lién tiép nhau thuoc

(3.9)


1.4. Viing Brillouin

Viing Brillouin duoc dinh nghia la fi mang cc sc cua fi mang dao.
Nhan xét: Tat ca c:ic dai lupng vat ly da)c trung cho tinh the mot
chiéu phq thuoc vao vécto song hieu dpng k (do l6n cua vécto song k ) se

duoc la)p
Va do tinh chat tuan hoan nay nén ta
chi can xét tan

electron trong mang mot chiéu don gi:in trong

khoiing
ximg qua goc tpa
do.
(4.1)
Hinh biéu dién su phq thuoc

ciia

in va

k

trong khoang

nén k ct thu nguyén cua nghich dao chiéu dai, va)y /c
la dai lupng duoc xét trong khfing gian mang diio. Trong truéng hpp dang
xét,


Khoang gia
tri

mang dao gpi la viing Brillouin thir

nhat.
1.5. Diéu ki(n tuan hoan Born — Karman

Trong thuc té khfing co tinh the léin vfi han ma chi cé› tinh the chiia
rat nhiéu nguyén tu. Néu tinh the la httu han thi cac tinh chat ciia tinh the vfi
han bi vi pham fi bién va trong tinh thé mot chiéu thi dé› chinh la diém
dau va diém cuoi ciia day nguyén th. Tuy nhién néu tinh the la dti l6n thi anh
hu6ng ciia bién la rat nho va cé› the bo qua ta coi tinh chat ciia tinh the khi
ay gan giong nhu tinh thé vfi han.
De dam bao diéu kien tuan hoan ciia tinh the ngucii ta dna vao diéu
kien tuan hoan Born — Karman nhu sau: Dao dong cua nguyén In fi dau day
giong vcii dao dong ciia nguyén tu ci cuoi day, xét vcii tinh the cé› N nguyén
th.
Us —— U,

(5. 1)

U, la do dfii hay do dich chuyén cua nguyén tu thii n khoi vi tri can
bang. Do cac nguyén In dao dong tao nén cac song. Ham song la nghiem ciia
phuong trinh dao dong co dang:
(5.2)

“ oc dao

la so song hay



véi in =1, 2, 3. . ., L=Na la chiéu dai cita day nguyén tit.
Trong mang mot chiéu

a

cac gi:i tri cua in nam

trong khoang:
N
2

2
Vay se co N gia tri ciia in ting vcii N gia tri ciia k.


CH ONG 2. LY THUYET CO DIEN VE DAO DONG MANG
2.1. Dao dong mang trong h( mot chiéu gom mot loai nguyén tfr
B:ii toan: Xét tinh the dupc cau tao tu c:ic nguyén tif giong nhau,
d(at cach déu nhau trén mot duéng thang, khoang cach giita cac nguyén tu
1:i a, khoi lupng nguyén tit la m.
Vi tri cua nguyén tu thir n dupc xac dinh bang tpa do:

(1.1)
trong dé›: If, la tpa do cua nguyén tu c vi tri can bang, U, la do dci hay do
dich chuyén ciia nguyén th thir n khoi vi tri can bang va U, << a .
Khi dé›, ta cé› thé nang tuong tac cua N nguyén tu trén mot duéng
thang se la ham ciia tpa do ciia N nguyén tit, tuc la:

Vi U, << a nén ta cé› the khai trién Taylor the nang / theo U,, Mr:
sau:
n
U

n,in

1
3! n,in,h

"n

n’

(1.2)


2 n,m

(1.3)

N

"n" m

U.—— —
Z$..U.

(1.4)

N

,o

d’

Un
dt’

Theo dinh luat II Newton, ta co:

N

in——\

N

"n" m

,o

U.—— — Zé..U.

(1.5)

Phuong trinh (1.5) la phuong trinh dao dong ciia nguyén tu thu n
trong mang tinh thé mot chiéu don gian, trong dé› /,p gpi la hang luc vi no
da)c trung cho tuong tac giiia nguyén In thir n va nguyén In thu m.
Gia tri ciia hang luc /,p chi phq thuoc vao khoang cach giua hai
nguyén tu thii n va nguyén tu thu in, tiic la phq thuoc vao
chinh la php thuoc vao n — in .a .
Do vay ta co the viét:

, lip hay

•• '(«.. =.

flo* •


(1.6)