Xấp xỉ trung bình bình phương

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, toán học
tính toán, là một nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, giải
phương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu.
Các bài toán xấp xỉ hàm số là một trong những nội dung chính của giải
tích số, bằng việc thay một hàm số có dạng phức tạp bởi một hàm số đơn giản
hơn với sai số nhỏ.
Trong các bài toán xấp xỉ hàm thường nghiên cứu các bài toán nội suy,
bài toán xấp xỉ đều. Song hai dạng toán này có một số nhược điểm. Người ta
thấy rằng bài toán xấp xỉ trung bình bình phương đã khắc phục được những
nhược điểm đó.
Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo “NGUYỄN VĂN HÙNG” và nhận
thứctrên, tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: “Xấp xỉ trung bình bình phương”.
Cụ thể ở đây tôi nghiên cứu 2 vấn đề:
- Xấp xỉ thực nghiệm.
- Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbret và không gian L2a,b.
Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận của tôi khó tránh
khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các
thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu “Xấp xỉ trung bình bình phương” tìm hiểu các bài toán
xấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và
không gian L2a,b.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các bài toán xấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhất
trong không gian Hilbert và không gian L2a,b.


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các bài toán xấp xỉ thực nghiệm và

bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và không gian L2a,b.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc và phân tích tài liệu liên quan

2


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH
Định nghĩa 1.1.1. Trên tập X , xác định một cấu trúc nếu
với mọi x, y X với mọi t□ (hoặc t□ ) xác định phép cộng
x+y X và phép nhân txX thỏa mãn các tính chất sau:
a. x+y=y+x
b. (x+y)+z=x+(y+z)
s(tx)=(st)x
c. (s+t)x=sx+tx
t(x+y)=tx+ty
d. X: x+=x; xX
e. (-x)X: x+(-x)=0; xX
f. 1.x=x
Trong đó x,y,zX; s,t □ (hoặc
s,t □ ) Khi đó (X,) là không
gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2.Cho hệ n vectơ x1, x2…..xn trong không gian
tuyến tính X. Xét đẳng thức véctơ 1 x1+ 2 x2 +3 x3+ …….+ n
xn = 0. Đẳng thức xảy ra nếu 1 = 2 =…. =n= 0 thì hệ n véctơ đó
độc lập tuyến tính hoặc tồn
tại bộ 1, 2, .
…,n với

2

n



i

i

1

để đẳng thức trên xảy ra thì hệ n vectơ đó

0

phụ thuộc tuyến tính.
1.2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Định nghĩa1.2.1 Giả sử x là một không gian tuyến tính trên □ .


Ánh xạ . X □ xác định trên X lấy giá trị xác định trên tập
số thực :
x □ ; xX thoả mãn các điều kiện:


a. x 0; xX
x =0x=0
b. x   x + y ; x,yX

y
c.  = x ; xX;  □
x

được gọi là chuẩn trên X
Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn . được gọi là một không gian
tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa1.2.2 Hai . 1; . 2 cùng xác định trong không gian tuyến tính
X gọi là tương đương, nếu tồn tại 2 hằng số C1, C2 >0 sao cho:
xX ; C1 x 1 x

2

C2 x

1

Định nghĩa 1.2.3 Cho X,Y là 2 không gian tuyến tính định chuẩn.
Ánh xạ A:XY gọi là (giới nội) bị chặn nếu tồn tại hằng số M>0
sao cho:
xX , Ax

Y M

x

X

Định lý : Nếu X là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều thì mọi
chuẩn trong X tương đương.

Chứng minh
Thật vậy, giả sử trên X có . 1; . 2 là 2 chuẩn cho trước
Gọi S= xX / x
nên x 2

1

=1. Vì S đóng và X có số chiều hữu hạn

đạt max và min trên S kí hiệu là M và m tương ứng.
Xét x 0 là phần tử bất kỳ trong X.
Khi đó: x 2 = x . x
1

x1

x
= x 1.
2

Nên m 

x

vì rằng :
2

x
x1

1
1


x

M do đó
: m x 1x 2
M x 1

x1

2

Vậy 2 chuẩn là tương đương.


Ví dụ: Với số p1; xét Lp0,1với x = x(t) Lp0, 1và y=
y(t)Lp0,1ta định nghĩa:
(x+y)(t)=x(t)+y(t); t 0,1
(kx)(t)=kx(t); t 0,1
Không gian Lp0,1 với 2 phép toán trên là một không gian tuyến tính
1
với xLp0,1và xét : x
0

1 p


= x(t)



p



Khi đó x là một chuẩn trên Lp  0,1
1.3. KHÔNG GIAN HILBERT
1.3.1 Tích vô hướng
1.3.1.1 Định nghĩa
Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số thực □ hoặc
trường số phức □ ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ
tích descartes X x X vào trường P,kí hiệu . , .thoả mãn tiên đề:
1. (x,yX) x,y=
x, y
2. (x,y,zX) x +y, z= x ,
z + y , z 3. (x,yX)
(P) x,y =x,y
4. (xX); x,x>0, nếu x 0
x,x=0, nếu x = 0
Cácphần tử x,y,z…. gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x,ygọi là
tích vô hướng của 2 nhân tử x và y. Các tiên đề 1,2,3,4 gọi là các tiên đề của
tích vô hướng.
1.3.1.2 Một số tính chất đơn giản
1. (x,yX), 0 , x= 0 vì 0 , x= 0.x , x= 0.x , x= 0
2. (x,yX), (P) x , y= x,y
y, x


Thật vậy x ,

y =

 y, x = 

=

x, y


3. (x,y,zX), x , y +z= x , y+x, z
Thật vậy x , y + z
=

y z, x  y, x 

z, x

x, y


z, x

1.3.2 Không gian tiền Hilbret
Định nghĩa : Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô
hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Hệ quả: Mọi không gian có tích vô hướng đều là không gian định chuẩn
với chuẩn x = x, x
.

Chứng minh

Giả sử dãy điểm bất kỳ (xn) X hội tụ tới x, dãy điểm bất kỳ
(yn) X
hội tụ tới y. Khi đó: (C>0)
(nN * ),

y n C

xn , yn x, y xn , yn x, yn x, yn x, y
xn x . yn  x . y  C x  x . y 
n
n
n
y
y
x 

Suy ra, lim x ,
n
n

(n
N * ).

 x, y .

yn

1.3.3. Không gian banach
1.3.3.1 Dãy cơ bản

Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu:
lim

m ,n 

xn , xm 0

1.3.3.2 Định nghĩa không gian banach
Không gian định chuẩn X gọi là không gian banach, nếu mọi dãy cơ bản
trong X đều hội tụ.
1.3.3.3 Một số ví dụ về không gian banach
Ví dụ 1: Đối với số thực bất kỳ x R ta đặt

:

x x


Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức : x x


1

cho ta một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là R . Dễ
1

dàng thấy R là không gian banach.
k

Ví dụ 2: Cho không gian véctơ k chiều E , trong đó :

k

E = x =(x1, .....,xk); xj C . Đối với véctơ bất kỳ x = (x1
k

,..........,xk) E ta đặt:
k

x 

x

2
j j 0

Từ công thức và hệ tiên đề metric suy ra:
k

k

Cho một chuẩn trên E không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là E .
k

Dễ dàng thấy E là không gian banach .
Ví dụ 3: Cho không gian véctơ La,b. Đối với hàm số bất kỳ x(t)

La,bta đặt:
b

x x(t)dt

a

Từ công thức

x d

x,

và hệ tiên đề metric suy ra công thức

b

cho một chuẩn trên La,bkhông gian định chuẩn tương ứng kí

x
x(t)
dt
a

hiệu là La,blà không gian banach.
1.3.4 Không gian Hilbert
1.3.4.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1: Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đủ.
Định nghĩa 2: Ta gọi một tập H0 gồm những phần tử x,y,z,... nào
đấy là không gian Hilbert nếu H thỏa mãn:
1. H là không gian tuyến tính trên trường P;


2. H được trang bị một tích vô hướng .,. ;
3. H là không gian banach với chuẩn x 

x, x ; xH.


Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.
Định nghĩa 3: Cho H là không gian Hilbert. Hệ các phần tử ei iI
của H gọi là:
Trực giao nếu en, ,

0 (nm)

em

Trực chuẩn nếu: en ,
em

(với n,m 
N)

(  1 nếu n=m)
n,m



n,
m

Quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt
Cho một hệ thống các véc tơ độc lập tuyến tính

( xn )n1
H

gồm hữu

hạn hay đếm được phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ thống này thành hệ
trực chuẩn nhờ quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt.
Đặt e1 x1 x1 thì e 1.
1
Đặt y2
x2

Hiển nhiên,

x2 ,
e1

e1
thì

y2 ,
e1

 x2 , x2 , e1 ,
e1
e1
e1

y2  sẽ kéo theo x1,x2 phụ thuộc tuyến tính,

y2
 ,
vì



điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Đặt e 
y2 y2 ta
được:
2

e,
e
2

0, e
1

1

2

Giả sử đã xây dựng được k phần tử e1, e2,….., ek sao cho
ei , e j  ;(i, j 1, 2,..., k )
ij
Đặt

0 .

k


yk 1 xk 1



xk 1 , ei

thì với ik

k 1

yk 1, e j

k

xk 1 ,e j


x

k
i
1
1

,ei

k

 xk
, ej
1

xk
1,ei


i
1

ei , e j

ei ,e j


 xk
,e j
1

xk 1, e j 0

Và yk 1 , vì : sẽ kéo theo x1,…..xk+1 phụ thuộc tuyến tính, điều
yk 1 
này mâu thuẫn với giả thiết.
yk 1 yk 1ta
Đặt ek 
1
được:

ek 1, j 0,( j 1, 2,..., k )và: ek 1 1
e

Nếu hệ thống ( xn ) gồm m véc tơ độc lập tuyến tính (n=1,2…), thì quá
n1

trình trên dừng lại ở bước thứ m (mN *); còn nếu hệ
thống

( xn )

gồm vô

n1

hạn véc tơ độc lập tuyến tính (n=1,2,…) thì quá trình trên có thể tiếp tục mãi.
Cuối cùng ta nhận được hệ trực chuẩn cần tìm.
Quá trình biến hệ thống véc tơ độc lập tuyến tính của không gian H
thành hệ véc tơ trực chuẩn như trên thường gọi là quá trình trực giao hóa
Hilbert-schmidt.
Bất đẳng thức Bessel
Nếu

(en )

là một hệ trực chuẩn nào đó trong không gian Hilbert H, thì

n1

x H ta đều có bất đẳng thức:


n1

2

x,
en

2

 x (*)

Bất đẳng thức (*) gọi là bất đẳng thức Bessel.
Chứng minh
Với k nguyên dương bất kì ta đặt:
k

yk x  x, en en
n1


(k không vượt lực lượng của hệ trực chuẩn đã cho)
Khi đó:
k

yk ,



ji
n1

k

x, e j
ej

x 



k

x,
en

x, e j e j

en ,


j1


k

 x,



j1

k

x, e j
ej

k

 x,
en

en , x, e j e j





n1

k

2





k





x, e j
j

1

k

2

k



e j , x en , e j

n1 j1

x, e j

k

j1

x,
en

k

2

0

 x, e j



j1

j1

yk  x, en en


n1

Áp dụng định lý Pythagore ta được:
k

2

2

x  yk

2

 yk


x, e
n

1

2

n

en
k

2

2

k

 x,
en

 x, en

 
n
1

n1

Do tính chất tùy ý của k, ta nhận được bất đẳng thức (*).
Định lý được chứng minh.
Tích vô hướng
trực chuẩn

x,
en

gọi là hệ số Fourier của phần tử x H đối
với hệ

(en )n1 H . Bất đẳng thức Bessel chứng tỏ chuỗi số
dương gồm

các bình phương modun các hệ số Fourier của một phần tử bất kì của không
gian Hilbert H theo một hệ trực chuẩn tùy ý trong không gian H bao giờ cũng
hội tụ.Từ đó suy ra chuỗi
10




x,
en

n1

en hội tụ và gọi là chuỗi Fourier (hay khai

triển Fourier) của phần tử x thuộc H theo hệ trực chuẩn (en )n1 H .
Định lý về đẳng thức Paseval
Cho

(en )

là một hệ trực chuẩn trong không gian H. Năm mệnh đề sau

n1

tương đương:
1.

Hệ (en )
n1

là cơ sở trực chuẩn của không gian H;

2. (x H )x x,
en




en ;

n1

11

3. (x, y
H )



x,
y

x,
en

en ,
y



(đẳng thức Paseval);

n

1

4.
(
H)

x  x,
2

en

2

(phương trình đóng);


n1

5. Bao tuyến tính của hệ (en ) trù mật khắp nơi trong không gian H.
n1

( nghĩa là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kì các phần tử
thuộc hệ (en )
n1

trù mật khắp nơi trong không gian H).

1.3.4.5 Một số ví dụ
n

n

Ví dụ 1: Xét X=R ; với x = (x1, . ….,xn) R ; y= (y1, . ….,yn)
n
R;
n

Đặt: x,
y

xi yi . Có

n

cùng với tích vô hướng xác định như

thể thấy R
i1

trên là một không gian Hilbert.
Ví dụ 2: Xét x= L2a,blà không gian các hàm bình phương khả tích trên
đoạn a,b bao gồm các hàm thực x(t) xác định, bình phương khả tích trên
a,bsao cho:
b

p(t)x

2

(t)dt 

a

Trong đó p(t) là hàm trọng (p(t) thường được chọn thỏa mãn các điều
kiện xác định và khả tích trên a,b; p(t) 0 trên a,bvà p(t)=0 chỉ trên
một tập có độ đo 0). Ta trang bị trên L2 a,bmột tích vô hướng bằng cách
đặt với x(t); y(t) L2 a,bthì:
x, y

b

p(t)x(t) y(t)dt
a


Không gian L2 a,bvới tích vô hướng vừa xác định là không
gian Hilbert.
Ví dụ 3: Xét trường hợp cụ thể của L2 a,bở trên a= -1; b= 1; p(t)
k-1

=1 và xét hệ đa thức x1(t)=1; x2(t)= t;……; xk(t)= t ; (k2).


Hãy trực giao hóa hệ xk (t) nói trên bằng quá trình trực giao
hóa Hilbert-schmidt.
Nhận thấy

x
2 ; e  1 ; thay số ta
có e
1
x1

x1



1

1

2

1
Dễ thấy x2, , e1  1 tdt  nên y2 = x2= t; t-1,1



1
1

Vậy

1

2

1

0

2
3

y2 (

t.tdt)

2



Vì e2 y 2 y 2 thay số ta có: e2


3
2

Ta có: xx ,
3

1

t;

1 2
1
2
 t dt 
3
1 2

1

2
e3 , e2  t 3 tdt 0
2
1



 x , e

y x
3
1

e  x , e e
3

3

1

3

2



2

Thay số ta được:
1
2
y t 

1

(

y
3

3


y



3

1 2
2
(t  )

1
3

e 
5

dt) 2
3

1

1

2
 t  ;.........



3

22
35

3

2





2

3

t  1,1


Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩn ei.
Tuy nhiên do ta chỉ quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhân mỗi
ei với một hằng số thích hợp để được một véc tơ mới, vẫn kí hiệu là ei
nhưng với dạng đơn giản hơn, như sau:
e1(t)=1; e2(t)=t; e3(t)=

1

3t
2

2



1 ; e (t) 5t 3t
;
4
3
2

e5 (t) 

4

35t
2
30t
3
8

; e6 (t) 1


63t

8

5


3
70t

15t ;.......


CHƯƠNG 2
XẤP XỈ THỰC NGHIỆM
2.1

Bài toán tổng quát
Giả sử hàm số f(x) ta không biết biểu thức giải tích của nó, chỉ biết một

số điểm tương ứng:
y0, y1,…….., yn ứng với x0, x1, …., xn
Ta phải tìm hàm:
( x) a00 ( x) a11 (
x)  ....... ann (x)

(1.1)
( x)

với

j là hàm cho

trước (j=0,1,….n), aj là những số chưa biết.
( x)
min
 f ( x) 2
Ta có:
n

D
(
xi ) f ( xi )
i1

( xi )
 f ( xi )

n

2

2

m



 a
 j (x j )  yi

j

(1.2)

min

i1 j1

là hàm m+1 biến a0,….., am.

Bài toán tìm cực tiểu của biểu thức (1.2) được gọi là xấp xỉ bằng đa thức
hay phương pháp bình phương bé nhất ta đi giải hệ phương trình:
D
 

0

0a
.......... (1.3)
..
2

D
Do
0
D



am

 0;j


nên hệ (1.3) vừa là điều kiện đủ vừa là điều kiện cần để
aj

2

(1.2) có cực tiểu.Từ đó ta suy ra hàm y gần nhất với f(x) bằng phương pháp
bình phương vế thứ nhất ta chỉ việc giải hệ (1.3).


2.2

Xấp xỉ hàm bậc nhất

2.2.1 Phương pháp giải
Ta phải tìm hàm y=ax+b gần nhất với f(x) theo phương pháp bình
phương vế thứ nhất:
n

D  a b y 2
i1
x i
n

 
2x i axi b yi 
D
 i 0

n
a

2  ax i b yi 
D
 io
n
b D

a 0
ax b yi 0
 2x
i i 0 i


n
D


 
2 axi b yi 0
 io
o


b
n
in
 


2


n

i

i

i

a x b x  x y
i 0
i0
i0
(2.1)
 n
n
a
1)b yi
xi (n
i0


i 0
(hệ phương trình tuyến tính)
Giải hệ 2.1 suy ra a,b =? Suy ra hàm cần tìm.
2.2.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:

x

-0,23

0,74

1,27

2,16

y

-2,11502

-1,63499

-1,36504

-0,92003

Tìm y=ax+b gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ
nhất?
Giải