cực trị hàm nhiều biến cuc_tri_ham_nhieu_bien
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.57 MB, 105 trang )
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
1 / 52
NỘI DUNG
1
CỰC TRỊ TỰ DO
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
2 / 52
NỘI DUNG
1
CỰC TRỊ TỰ DO
2
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
2 / 52
NỘI DUNG
1
CỰC TRỊ TỰ DO
2
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
3
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
2 / 52
Cực trị tự do
Định nghĩa cực trị tự do
ĐỊNH NGHĨA 1.1
Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại tại điểm
(x0 , y0 ) nếu như f (x, y) f (x0 , y0 ), với mọi
(x, y) nằm trong lân cận của (x0 , y0 ). Giá trị
f (x0 , y0 ) được gọi là giá trị cực đại.
1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
3 / 52
Cực trị tự do
Định nghĩa cực trị tự do
ĐỊNH NGHĨA 1.1
Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại tại điểm
(x0 , y0 ) nếu như f (x, y) f (x0 , y0 ), với mọi
(x, y) nằm trong lân cận của (x0 , y0 ). Giá trị
f (x0 , y0 ) được gọi là giá trị cực đại.
Hàm hai biến f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm
(x0 , y0 ) nếu như f (x, y) f (x0 , y0 ), với mọi
(x, y) nằm trong lân cận của (x0 , y0 ). Giá trị
f (x0 , y0 ) được gọi là giá trị cực tiểu.
1
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
3 / 52
Cực trị tự do
Định nghĩa cực trị tự do
CHÚ Ý.
1
Nếu f (x, y) f (x0, y0), với mọi (x, y) ∈ Df thì
f đạt GTLN tại (x0 , y0 ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
4 / 52
Cực trị tự do
Định nghĩa cực trị tự do
CHÚ Ý.
1
2
Nếu f (x, y) f (x0, y0), với mọi (x, y) ∈ Df thì
f đạt GTLN tại (x0 , y0 ).
Nếu f (x, y) f (x0, y0), với mọi (x, y) ∈ Df thì
f đạt GTNN tại (x0 , y0 ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
4 / 52
Cực trị tự do
Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự do
ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ z = f (x, y) CÓ CỰC TRỊ TỰ DO
ĐỊNH LÝ 1.1
Nếu hàm số z = f (x, y) có cực trị tại điểm
(x0 , y0 ) và đạo hàm riêng cấp một của f tồn
tại tại điểm (x0, y0) thì
fx (x0 , y0 ) = 0
fy (x0 , y0 ) = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
(1)
TP. HCM — 2016.
5 / 52
Cực trị tự do
Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự do
CHỨNG MINH.
Cho (x0, y0) là điểm cực đại. Đặt g(x) = f (x, y0).
Nếu f có cực đại tại điểm (x0, y0) thì
g(x) = f (x, y0 )
f (x0 , y0 ),
với mọi x thuộc lân cận của x0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
6 / 52
Cực trị tự do
Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự do
CHỨNG MINH.
Cho (x0, y0) là điểm cực đại. Đặt g(x) = f (x, y0).
Nếu f có cực đại tại điểm (x0, y0) thì
g(x) = f (x, y0 )
f (x0 , y0 ),
với mọi x thuộc lân cận của x0. Theo định lý
Fermat đối với hàm một biến g(x), ta có
g (x0 ) = 0 ⇒ g (x0 ) = fx (x0 , y0 ) = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
6 / 52
Cực trị tự do
Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự do
CHỨNG MINH.
Cho (x0, y0) là điểm cực đại. Đặt g(x) = f (x, y0).
Nếu f có cực đại tại điểm (x0, y0) thì
g(x) = f (x, y0 )
f (x0 , y0 ),
với mọi x thuộc lân cận của x0. Theo định lý
Fermat đối với hàm một biến g(x), ta có
g (x0 ) = 0 ⇒ g (x0 ) = fx (x0 , y0 ) = 0.
Tương tự đối với h(y) = f (x0, y) ta cũng được
fy (x0 , y0 ) = 0■
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
6 / 52
Cực trị tự do
Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự do
Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA CỰC TRỊ
Chú ý. Nếu fx (x0, y0) = 0 và fy (x0, y0) = 0 thì
phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt
cong z = f (x, y) tại điểm (x0, y0) là
z = f (x0 , y0 ) = z0 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
7 / 52
Cực trị tự do
Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự do
Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA CỰC TRỊ
Chú ý. Nếu fx (x0, y0) = 0 và fy (x0, y0) = 0 thì
phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt
cong z = f (x, y) tại điểm (x0, y0) là
z = f (x0 , y0 ) = z0 .
Từ đây chúng ta suy ra ý nghĩa hình học của
cực trị: Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong
z = f (x, y) tại điểm cực trị là mặt phẳng nằm
ngang z = z0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
7 / 52
Cực trị tự do
Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị
ĐỊNH LÝ 1.2
Cho hàm số z = f (x, y) có đạo hàm riêng liên tục đến
cấp hai trong lân cận của điểm dừng P(x0 , y0 ). Số
A = fxx (x0 , y0 ), B = fxy (x0 , y0 ), C = fyy (x0 , y0 ),
A B
∆=
= AC − B2 . Theo tiêu chuẩn Sylvester:
B C
1
Nếu
∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực tiểu
A>0
2
Nếu
∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực đại
A<0
3
Nếu ∆ < 0 thì điểm P(x0 , y0 ) KHÔNG là điểm cực trị
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
8 / 52
Cực trị tự do
1
Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị
∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực tiểu vì
A>0
d2 f (x0 , y0 ) = Adx2 + 2Bdxdy + Cdy 2 là dạng toàn
Nếu
phương xác định dương.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
9 / 52
Cực trị tự do
1
Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị
∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực tiểu vì
A>0
d2 f (x0 , y0 ) = Adx2 + 2Bdxdy + Cdy 2 là dạng toàn
Nếu
phương xác định dương.
2
∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực đại vì
A<0
d2 f (x0 , y0 ) = Adx2 + 2Bdxdy + Cdy 2 là dạng toàn
Nếu
phương xác định âm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
9 / 52
Cực trị tự do
1
Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị
∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực tiểu vì
A>0
d2 f (x0 , y0 ) = Adx2 + 2Bdxdy + Cdy 2 là dạng toàn
Nếu
phương xác định dương.
2
∆>0
thì điểm P(x0 , y0 ) là điểm cực đại vì
A<0
d2 f (x0 , y0 ) = Adx2 + 2Bdxdy + Cdy 2 là dạng toàn
Nếu
phương xác định âm.
3
Nếu ∆ < 0 thì điểm P(x0 , y0 ) KHÔNG là điểm cực
trị vì d2 f (x0 , y0 ) = Adx2 + 2Bdxdy + Cdy 2 là dạng toàn
phương không xác định dấu.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
9 / 52
Cực trị tự do
Phương pháp tìm cực trị tự do
PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO I
Cho hàm số f (x, y) xác định trên miền xác
định D(f ). Các bước tìm cực trị tự do của
hàm này như sau:
Tìm điểm dừng
1
fx = 0
⇒ Pi (xi , yi ), i = 1, 2, . . .
fy = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
10 / 52
Cực trị tự do
Phương pháp tìm cực trị tự do
PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO II
2
∂2 f
Tại điểm Pi (xi , yi ) đặt A = 2 (xi , yi ),
∂x
2
2
∂f
∂f
B=
(xi , yi ), C = 2 (xi , yi ), ∆ = AC − B2
∂x∂y
∂y
Nếu ∆ > 0, A > 0 thì hàm đạt cực tiểu tại (xi , yi ).
Nếu ∆ > 0, A < 0 thì hàm đạt cực đại tại (xi , yi ).
Nếu ∆ < 0 thì hàm không đạt cực trị tại (xi , yi ).
Nếu ∆ = 0 thì ta phải xét bằng định nghĩa
∆f = f (x, y) − f (xi , yi )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
11 / 52
Cực trị tự do
Phương pháp tìm cực trị tự do
VÍ DỤ 1.1
Tìm cực trị tự do của hàm số
f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
12 / 52
Cực trị tự do
Phương pháp tìm cực trị tự do
VÍ DỤ 1.1
Tìm cực trị tự do của hàm số
f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y
Bước 1. Tìm điểm dừng
fx = 3x2 − 6x = 0
fy = 6y 2 − 6 = 0
⇒ Có 4 điểm dừng
P1 (0, −1), P2 (0, 1), P3 (2, −1), P4 (2, 1).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
12 / 52
Cực trị tự do
Phương pháp tìm cực trị tự do
VÍ DỤ 1.1
Tìm cực trị tự do của hàm số
f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y
Bước 1. Tìm điểm dừng
fx = 3x2 − 6x = 0
fy = 6y 2 − 6 = 0
⇒ Có 4 điểm dừng
P1 (0, −1), P2 (0, 1), P3 (2, −1), P4 (2, 1).
Bước 2. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2
fxx = 6x − 6, fxy = 0, fyy = 12y.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
12 / 52
Cực trị tự do
Phương pháp tìm cực trị tự do
BƯỚC 3. KHẢO SÁT TẠI TỪNG ĐIỂM DỪNG
P1 (0, −1), A = fxx (0, −1) = −6,
B = fxy (0, −1) = 0, C = fyy (0, −1) = −12,
∆ = AC − B2 = (−6).(−12) − (0)2 > 0.
A<0
⇒ P1 điểm CĐ, fCĐ = f (0, −1) = 4.
∆>0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
13 / 52
Cực trị tự do
Phương pháp tìm cực trị tự do
BƯỚC 3. KHẢO SÁT TẠI TỪNG ĐIỂM DỪNG
P1 (0, −1), A = fxx (0, −1) = −6,
B = fxy (0, −1) = 0, C = fyy (0, −1) = −12,
∆ = AC − B2 = (−6).(−12) − (0)2 > 0.
A<0
⇒ P1 điểm CĐ, fCĐ = f (0, −1) = 4.
∆>0
P2 (0, 1), A = fxx (0, 1) = −6, B = fxy (0, 1) = 0,
C = fyy (0, 1) = 12,
∆ = AC − B2 = (−6).(12) − (0)2 < 0.
⇒ P2 không là điểm cực trị.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
TP. HCM — 2016.
13 / 52
