giải bài tập tích phân suy rộng

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

1 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

TÍNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

CÂU 1
+∞

Tính tích phân suy rộng I =
1

1

x

1
t
x 1 +∞
.
Đổi cận
t 1 0

Đặt t = ⇒ x = ⇒ dx = −

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

dx

x x2 + x + 1

·

dt
.
t2

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

2 / 36

Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Khi đó
0

I=
1

1
1 t.

1
t2

d t + 21
2

0

t + 12 + 34
= ln

1

− dt
t2
+ 1t

=
+1

0

dt
1 + t + t2

1
= ln t + +
2

=

1

t2 + t + 1
0

3
3
2
+ 3 − ln
= ln 1 +
.
2
2
3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

3 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

TÍNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

CÂU 2
+∞

Tính tích phân suy rộng I =
1

arctan x
dx.
x2


dx
 u = arctan x
1 + x2
Đặt
⇒

dx
 dv =

 v = −1
2
x
x


 du =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

4 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Khi đó
1
I = − . arctan x
x
π
= +

4

+∞

1

dx
−
x

π
= + ln
4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

+∞

+∞

+
1

1

+∞

1

dx

=
x(1 + x2 )

1
xdx
π
=
+
ln
|x|
−
ln(1 + x2 )
2
1+x
4
2
+∞

x
1 + x2

=
1

+∞

=
1

π

1
π ln 2
+ ln 1 − ln
= +
4
2
2 4

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

5 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞), giá trị
của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa
hình học là diện tích của hình phẳng vô hạn
được giới hạn bởi x = a, trục Ox và đồ thị
hàm f (x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

6 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

CHÚ Ý.

Từ ý nghĩa hình học của tích phân suy rộng,
ta được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn và
khác 0
lim f (x) = A = 0

x→+∞

và f (x) khả tích trên mọi đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞)
thì tích phân suy rộng

+∞

f (x)dx phân kỳ

a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

7 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

1

Nếu α > 1 thì I =

2

Nếu α

1

2

3

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

+∞ dx

hội tụ.

α
a x

+∞ dx
1 thì I =
phân kỳ.
α
a x

Nếu α > 1 thì I =
Nếu α < 1 thì I =
Nếu α = 1 thì I =

+∞
2
+∞
2
+∞

dx
xα . lnβ x
dx
xα . lnβ x
dx

xα . lnβ x
β > 1, phân kỳ nếu β 1.

hội tụ.
phân kỳ.
hội tụ nếu

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

8 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

CÂU 3
Tìm α để tích phân sau hội tụ
+∞

I=

dx

xα 1 + x2
3

1

1

1

1
=
3
xα .x2/3 xα+2/3
xα 1 + x2
2
1
Để tích phân I hội tụ thì α + > 1 ⇔ α > .
3
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x→+∞

∼

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

9 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

CÂU 4
Tìm α để tích phân sau hội tụ
+∞

I=

(2x + 3)dx

(4 + xα ) 1 + x4
3

1

Trường hợp 1: α > 0
(2x + 3)
(4 + xα ) 1 + x4
3

x→+∞

∼

2x
2
=
xα .x4/3 xα+1/3
1
3

2
3

Để tích phân I hội tụ thì α + > 1 ⇔ α > .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

10 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Trường hợp 2: α = 0
(2x + 3)
(4 + xα ) 1 + x4
1
I phân kỳ vì < 1
3
Trường hợp 3: α < 0
3

(2x + 3)

x→+∞

∼

x→+∞

∼

2
2x
=
5.x4/3 5x1/3

2x
1
=
4.x4/3 2x1/3

(4 + xα ) 1 + x4
1
I phân kỳ vì < 1.
3
Vậy để tích phân I hội tụ thì α > 2/3.
3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

11 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

CÂU 5
Tìm α để tích phân sau hội tụ
+∞

I=
1

(3−x + 4x)dx
(5 + xα )α−1

Trường hợp 1: α > 0
(3−x + 4x) x→+∞ 4x
4
∼
=
(5 + xα )α−1
xα(α−1) xα(α−1)−1

Để tích phân I hội tụ thì
α(α − 1) − 1 > 1 ⇔ α > 2 ∨ α < −1 ⇒ α > 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

12 / 36

Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Trường hợp 2: α = 0
4
(3−x + 4x) x→+∞ 4x
=
∼
(5 + xα )α−1
6−1 6−1 .x−1
I phân kỳ vì −1 < 1
Trường hợp 3: α < 0
(3−x + 4x) x→+∞ 4x
4
∼
=
(5 + xα )α−1
5α−1 5α−1 .x−1
I phân kỳ vì −1 < 1
Vậy để tích phân I hội tụ thì α > 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

13 / 36

Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

CÂU 6
Tìm α để tích phân sau hội tụ
+∞

I=
3

−e−x + ln x
dx
(1 + xα )α−2

Trường hợp 1: α > 0
−e−x + ln x x→+∞ ln x
1
∼
=
(1 + xα )α−2
xα(α−2) xα(α−2) . ln−1 x

Để tích phân I hội tụ thì α(α − 2) > 1
⇔ α > 1 + 2 ∨ α < 1 − 2 ⇒ α > 1 + 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

14 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Trường hợp 2: α = 0
1
−e−x + ln x x→+∞ ln x
=
∼
(1 + xα )α−2
2−2 2−2 .x0 ln−1 x
I phân kỳ vì 0 < 1
Trường hợp 3: α < 0
−e−x + ln x x→+∞ ln x
1
∼
=
(1 + xα )α−2
1
x0 ln−1 x
I phân kỳ vì 0 < 1

Vậy để tích phân I hội tụ thì α > 1 + 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

15 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

CÂU 7
Tìm α để tích phân sau hội tụ
+∞

I=
2

eαx dx
(x − 1)α ln x

Trường hợp 1: α > 0
αx
eαx
x→+∞
x→+∞ e
∼
−→ +∞
(x − 1)α ln x
xα ln x

Do đó, tích phân I phân kỳ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

16 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Trường hợp 2: α = 0
1
eαx
x→+∞ 1
∼
=
(x − 1)α ln x
ln x x0 . ln1 x
I phân kỳ vì 0 < 1
Trường hợp 3: α < 0
eαx
(x − 1)−α eαx
=
(x − 1)α ln x
ln x

x−α eαx
ln x
1
x2

x→+∞

∼

x−α eαx
ln x

x−α+2 x→+∞
= −αx
−→ 0
e . ln x

Vậy để tích phân I hội tụ thì α < 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

17 / 36


Tích phân suy rộng loại 2

Tính tích phân suy rộng loại 2

Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ [a, b), giá trị
của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa
hình học là diện tích của hình phẳng vô hạn
được giới hạn bởi x = a, x = b trục Ox và đồ
thị hàm f (x), trong đó x = b là tiệm cận đứng
của hàm số f (x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

18 / 36


Tích phân suy rộng loại 2

Tính tích phân suy rộng loại 2

Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ (a, b], giá trị
của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa
hình học là diện tích của hình phẳng vô hạn
được giới hạn bởi x = a, x = b trục Ox và đồ
thị hàm f (x), trong đó x = a là tiệm cận đứng
của hàm số f (x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

19 / 36


Tích phân suy rộng loại 2

Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

Nếu hàm số f (x) không bị chặn khi x → c, với
c ∈ (a, b) thì tích phân suy rộng
b
a

c

f (x)dx =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

a

b

f (x)dx +

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

f (x)dx
c

TP. HCM — 2016.

20 / 36


Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

Tích phân suy rộng loại 2

ĐỊNH LÝ 2.1
b

Tích phân suy rộng

f (x)dx được gọi là hội
a
c

tụ nếu cả 2 tích phân

b

f (x)dx và
a

f (x)dx
c

đều hội tụ không phụ thuộc lẫn nhau.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

21 / 36


Tích phân suy rộng loại 2

1

Nếu α < 1 thì tích phân
b
a

2

Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

a

dx
và

(b − x)α

b

dx
và
(b − x)α

a

dx
hội tụ
(x − a)α

Nếu α
b

b

1 thì tích phân
a

dx
phân kỳ
(x − a)α

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

22 / 36


Tích phân suy rộng loại 2

Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

CÂU 8
Tính tích phân suy rộng loại 2
3

I=
1

dx
4x − x2 − 3
3

I=
1

d(x − 2)
1 − (x − 2)2

= arcsin(x − 2) =

= arcsin 1 − arcsin(−1) =
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

3

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1

π π
+ = π.
2 2
TP. HCM — 2016.

23 / 36


Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

Tích phân suy rộng loại 2

CÂU 9
Tính tích phân suy rộng loại 2
2

I=
0

dx
(x − 1) x2 − x + 1

1

I=
0

2

dx
(x − 1) x2 − x + 1

+
1

dx
(x − 1) x2 − x + 1

= I1 + I2

Tích phân I hội tụ khi cả hai tích phân I1 , I2 cùng hội
tụ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

24 / 36


Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

Tích phân suy rộng loại 2

1

1

x→1−

(x − 1) x2 − x + 1

∼

(x − 1) 12 − 1 + 1

1
(x − 1)1
Tích phân I1 phân kỳ. Vậy I cũng phân kỳ.
=

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

25 / 36