Sáng kiến kinh nghiệm về giải bất phương trình chứa tham số

Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
I. Lý do chọn đề tài:
Trong chơng trình toán của trung học phổ thông, thì dạng toán tìm
các giá trị của tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm đúng trên một
tập D nào đó là một trong những dạng toán rất phổ biến và tơng đối
quan trọng. Nhng việc giải nó thì học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn, kể
cả khi có những lời giải sẵn nhng học sinh cũng không hiểu tại sao lại
phải đa ra các điều kiện nh thế.
Giả sử ta xét các bài toán sau đây:
Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = (m
2
+1)x
2
+ (2m - 1)x 5 < 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-1 ; 1).
Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = -(m
2
+2)x
2
2mx +1 m > 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2 ; + ).
Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình
f(x) = 2mx
2
(1 5m)x +3m +1 > 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2 ; 0).
Trên đây là 3 bài toán có đề bài hoàn toàn hợp lý.
Khi giải bài toán 1 thì điều kiện đúng đa ra là:

( 1) 0
(1) 0
af
af





Với bài toán 2 thì khi gặp thờng học sinh cũng bắt tay ngay vào
việc giải nó mà không biết nhận xét để đa ra kết quả nhanh và chính xác
hơn. Nếu để ý thì ta thấy hệ số a = -(m
2
+2) < 0, m R nên không
có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện bài toán (bài toán vô nghiệm).
Khi gặp bài toán 3 thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn, nếu
không cẩn thận thì sẽ dẫn đến thiếu nghiệm ngay. Để giải bài toán 3 thì
ta phải xét 4 trờng hợp sau:
TH1:
0
0
a >


<

TH2:
0
0
. ( 2) 0

2
2
a
a f
s
>











TH3:
0
0
. (0) 0
0
2
a
a f
s
>

TH4:
0
. ( 2) 0
. (0) 0
a
a f
a f
<







1
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
Nhng chắc chắn rằng nhiều học sinh không hiểu đợc là tại sao ta
lại phải xét các trờng hợp nh thế. Song nếu có sự giúp đỡ của đồ thị thì
việc giải bài toán 3 trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều và ít xảy ra tình
trạng thiếu nghiệm. Thật vậy để tìm đợc các giá trị của tham số thỏa

mãn điều kiện bài toán thì (về mặt đồ thị) ta có các trờng hợp sau (có
thể) xảy ra giữa vị trí của đồ thị hàm số
f(x) = 2mx
2
(1 5m)x +3m +1
và trục Ox thỏa mãn bài toán nh sau:
Nhìn vào đồ thị trong các trờng hợp trên thì ta dễ dàng suy ra điều
kiện cho các trờng hợp của bài toán 3:
ứng với a) ta có điều kiện là TH1
ứng với b) và c) ta có điều kiện chung là TH2
ứng với d) và e) ta có điều kiện chung là TH3
ứng với f) ta có điều kiện là TH4
Vì lý do đó mà tôi chọn đề tài: Sử dụng đồ thị để giải một số bài
toán tìm các giá trị của tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm
đúng trên tập D nhằm giúp các em học sinh cũng nh các thầy cô giáo
có những nhận xét đúng đắn để đa ra lời giải đúng cho những bài toán
về dạng này.
II. Thực trạng cũ và giải pháp mới:
1.Thực trạng cũ:
Khi gặp các bài toán dạng này thì học sinh rất lúng túng và gặp
nhiều khó khăn trong vấn đề đa ra các trờng hợp đúng để từ đó đi tìm đ-
ợc các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện bài toán.
2
( )
-2 0
( )
-2 0
( )
-2 0
( )

-2 0
( )
-2 0
( )
-2 0
a) b) c)
d) e)
f)
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
2.Giải pháp mới:
Khi gặp bài toán dạng này thì học sinh nên vận dụng đồ thị để đa
ra các trờng hợp đúng của bài toán, từ đó tìm đợc các giá trị của tham số
thỏa mãn điều kiện của bài toán mà lại tránh đợc nhiều thiếu sót.
III. Nội dung:
Trong khi chúng ta đi giải dạng toán này, nhng chúng ta rất ít khi
chú ý tới một kết quả rất đơn giản mà lại rất hữu ích sau đây:
Nếu hệ số a > 0 thì Parabol y = ax
2
+ bx + c có bề lõm quay
lên trên. Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu ta xét vị trí tơng đối của
Parabol y = ax
2
+ bx + c với trục Ox thì có 3 khả năng sau:
Nếu hệ số a < 0 thì Parabol y = ax
2
+ bx + c có bề lõm quay
xuống dới. Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu ta xét vị trí tơng đối của
Parabol y = ax
2

+ bx + c với trục Ox thì có 3 khả năng sau:
*Chú ý: Trong các hình vẽ của các bài toán thì trục nằm ngang
là trục Ox và Parabol là đồ thị của hàm số bậc hai.
Để tìm các giá trị của tham số m sao cho tam thức bậc hai
f(x,m) > 0 (hay f(x,m) < 0) trên tập D nào đó, có nghĩa là ta phải tìm
các giá trị của tham số m để cho đồ thị hàm số f(x,m) nằm phía trên
(hay nằm phía dới) trục hoành (trục Ox) với mọi x thuộc tập D.
Dựa vào những nhận xét đó thì việc giải các bài toán nh đã nêu
trong phần I là tơng đối đơn giản.
Ta lần lợt xét một số bài toán sau đây:
Bài toán 4: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
3
a) b) c)
a) c)b)
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
f(x) = x
2
+ 2(2m+1)x + 4m
2
3 > 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (0 ; 1).
Chỉ dẫn:
Nếu khi gặp bài toán này mà chúng ta không cẩn thận thì việc giải
nó thờng rất dễ nhầm lẫn và dẫn đến thiếu nghiệm. Nhng nếu dựa vào
đồ thị, ta có nhận xét sau: Để tìm các giá trị của tham số m thỏa mãn
điều kiện bài toán, thì ta phải tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ
thị của hàm số
f(x) = x
2

+2(2m+1)x +4m
2
3
nằm phía trên trục hoành (trục Ox) với mọi x thuộc khoảng (0 ; 1).
Vì hệ số a = 1 > 0 nên ta có các trờng hợp có thể xảy ra sau đây:
Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là:
0
0
a >


<

Với trờng hợp b) và c) thì tơng ứng điều kiện là:
0
0
(1) 0
1
2
a
af
s
>

Với trờng hợp d) và e) thì tơng ứng điều kiện là:
0
0
(0) 0
0
2
a
af
s
>












Từ đó ta có lời giải bài toán này nh sau:
Giải:
4
a) b) c)

d)
e)
( )
0 1
( )
0 1
( )
0 1
( )
0 1
( )
0 1
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 3
trờng hợp sau:
TH1:
0
0
a >


<


2 2
1 0
4(2 1) 4(4 3) 0m m
>

+ <

m < -1
TH2:
0
0
. (1) 0
1
2
a
a f
s
>












2
1 0
1
8 0

(2 1) 1
m
m
m
>








+

-1 m 1
TH3:
0
0
. (0) 0
0
2
a
a f
s
>

2
1 0
1
4 3 0
(2 1) 0
m
m
m
>








+


1
3 3

2 2
1
2
m
m m
m













Kết hợp kết quả của 3 trờng hợp trên ta đợc m R đều thỏa mãn
điều kiện bài toán.
Bài toán 5: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = x
2
m(m-2)x + 2m
2
4 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [1 ; 2].
Chỉ dẫn:
Với bài toán này nếu chúng ta biết minh họa bằng đồ thị thì nó có

các trờng hợp sau có thể xảy ra:


Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là:
0
(1) 0
(2) 0
a
af
af
>


=


<

Với trờng hợp b) thì tơng ứng điều kiện là:
0
(1) 0
(2) 0
a
af
af
>

5
3
2
m
a)
[ ]
1 2
b)
[ ]
1 2
c)
[ ]
1 2
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I

Với trờng hợp c) thì tơng ứng điều kiện là:
0
(1) 0
(2) 0
a
af
af
>


<

=

Kết hợp 3 điều kiện trên ta đợc điều kiện chung là:
0
(1) 0
(2) 0
a
af
af
>







Do đó ta có lời giải bài toán 5 nh sau:
Giải:
Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn điều kiện
sau:
0
. (1) 0
. (2) 0
a
a f
a f
>

Giải hệ trên ta sẽ tìm đợc kết quả của bài toán.
Bài toán 6: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = -2x
2
+(m-3)x +m-3 < 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [-1; 0].
Chỉ dẫn:
Đây là bất phơng trình bậc hai có hệ số a < 0, nên khi giải ta nên
để ý rằng đồ thị của f(x) có thể có các khả năng sau đây xảy ra thỏa
mãn điều kiện bài toán:
Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là:
0
0
a <


<

6
a) c)b)
d) e)
-1 0

[ ]
-1 0
[ ]
-1 0
[ ]
-1 0
[ ]
-1 0
[ ]
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
Với trờng hợp b) và c) thì tơng ứng điều kiện là:
0
0
( 1) 0
1
2
a
af
s
<





>


<

Với trờng hợp d) và e) thì tơng ứng điều kiện là:
0
0
(0) 0
0
2
a
af
s
<





>


>


Từ nhận xét đó ta có lời giải bài toán nh sau:
Giải:
Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 3
trờng hợp sau:
TH1:
0
0

a <


<

TH2:
0
0
( 1) 0
1
2
a
af
s
<





>


<


TH3:
0
0
(0) 0

0
2
a
af
s
<





>


>



Kết hợp kết quả của 3 trờng hợp trên ta tìm đợc các giá trị của
tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài toán7: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình
f(x) = -m
2
x
2
+ 2(m+2)x -1 > 0
thỏa mãn với mọi x thuộc đoạn [0 ; 1].
Chỉ dẫn:
Trong bài toán này ta thấy rằng nếu m 0 thì hệ số a < 0, nên bài
toán chỉ có một khả năng duy nhất xảy ra nh sau:

7
[ ]
0 1
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
Từ đó ta có lời giải của bài toán nh sau:
Giải:
Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn điều kiện:
0
(0) 0
(1) 0
a
af
af
<


<


<


Giải hệ trên ta đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện
bài toán.
Bài toán 8: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình
f(x) = mx
2
+2(m+1)x + 4m > 0
thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-2; +).

Chỉ dẫn:
Đây là một bất phơng trình mà hệ số a ta cha biết là âm hay dơng,
khi gặp bài toán này thờng học sinh rất lúng túng. Nhng nếu dựa vào đồ
thị ta có nhận xét về các trờng hợp có thể xảy ra nh sau:
Nếu hệ số a < 0 thì đồ thị của f(x) quay bề lõm xuống dới nên
không có trờng hợp nào xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán.
Nếu hệ số a > 0 thì (về đồ thị) ta có các trờng hợp (có thể) xảy ra
thỏa mãn điều kiện bài toán nh sau:
Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là:
0
0
a >


<

8
a)
(
-2 +
b)
(
-2 +

c)
(
-2 +