SKKN Tích phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (148.17 KB, 15 trang )

SáNG KIếN KINH NGHIệM Trần Viết Kiên
A. Đặt vấn đề .
I)Lời mở đầu.
Để bồi dỡng năng lực t duy độc lập ,t duy tích cực và t duy sáng tạo của học
sinh, trớc tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản phổ thông
vững trắc, có khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy ngời giáo viên phả
vận dụng các phơng pháp khác nhau, hớng các em vào một môi trờng hoạt
động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục. Học tập
phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của
học sinh. Ngời thầy giáo phảI giúp học sinh xem xét một bài toán dới nhiều
góc độ khác nhau, kích thích sự liên tởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu
của bài toán. Giữa bài toán cha biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết
cách giải. Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trờng hợp riêng lẻ để
đem đến cáI chung nhất mang tính chân lý. Từ đó vận dụng các phơng pháp
toán học để giảI quyết các bài toán đặt ra.
Với lý do đó tôi chọn đề tài Phơng pháp giải toán nguyên
hàm tích phân theo hớng phát triển t duy sáng tạo
cho học sinh
II)Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu.
1) Thực trạng:
Trong chơng trình giảI tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm
một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích phân cha
nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, cha có nhiều phơng pháp. Học
sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hớng nhất định nào đó. Do đó các bài
toán về nguyên hàm, tích phân cha khai thác hết đợc, cha phát huy đợc tính
sáng tạo, khám phá của học sinh.

1
SáNG KIếN KINH NGHIệM Trần Viết Kiên
Tôi nhận thấy việc khai thác các phơng pháp giải các bài toán về nguyên hàm,
tích phân để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều

cách giải khác nhau là một điều rất quan trọng.
2) Kết quả:
Khi tôi đợc phân cônggiảng dạy lớp 12, kiến thức về giảI tích học sinh lớp
tôi đợc phân công còn hạn chế,các bài toán về nguyên hàm, tích phân còn ít
nên việc vận dụng các phơng pháp giảI còn chậm và đang còn bế tắc trong
cách định hìnhphơng pháp giải.
Tôi đã dần hình thành các phơng pháp giải, phát triển từ bài toán cơ bản đến
những bài toán ở mức độ khó hơn.
Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy đợc tốt hơn, tôi đã mạnh dạn cảI
tiến nội dung, phơng pháp, khai thác cấu trúc logic của bài toán, tìm ra nhiều
phơng pháp giải cho bài toán, phát triển bài toàn dới nhiều hình thức khác
nhau.
B. GiảI quyết vấn đề.
I) Giải pháp thực hiện.
1. Các yêu cầu cơ bản về giải toán nguyên hàm tích phân.
I.1 Học sinh nắm vững các định nghĩa nguyên hàm tích phân, các tính chất
cơ bản và các phơng pháp chủ yếu để tính nguyên hàm và tích phân.
I.2 Học sinh có kĩ năng giải toán nguyên hàm và tích phân bằng nhiều phơng
pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân để trong một
số trờng hợp ta có thể tính các tích phân bằng một phơng pháp đơn giản
hơn thông thờng.
I.3 Học sinh đợc phát triển về t duy thuật giải trong quá trình tính nguyên hàm,
tích phân theo những quy trình xác định, đợc rèn luyện về tính linh hoạt ,
khả năng sáng tạo trong quá trình giải toán.

2
SáNG KIếN KINH NGHIệM Trần Viết Kiên
Trong chơng trình môn toán trờng phổ thông trung học, nội dung
kiến thức mà học sinh học về nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 gồm các
vấn đề sau đây:

- Định nghĩa nguyên hàm. Các tính chất của nguyên hàm. Bảng các
nguyên hàm cơ bản.
- Định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phơng pháp
tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
1.Các phơng pháp xác định nguyên hàm tích phân
1.1. Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa
Ví dụ : Chứng minh rằng hàm số:

<++

=
01
0
)(
2
khixxx
khixe
xF
x
là một nguyên hàm của hàm số:

<+

=
012
0
)(
khixx
khixe
xf
x
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trờng hợp sau:
- Với x 0, ta có:

<+
>
=
012
0
)('
khixx
khixe
xF
x
- Với x = 0, ta có:

1lim
0

)0()(
lim)0('
1
1
lim
0
)0()(
lim)0('
0
00
02
00
=

=

=
=
+
=

=
++

+

x
ee
x
FxF
F
x
exx
x
FxF
F
x
xx
xx

3
SáNG KIếN KINH NGHIệM Trần Viết Kiên
Nhận xét rằng F(0
-
) = F(0
+
) = 1 F(0) = 1, có nghĩa là hàm số
F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
Tóm lại :
)(
012
0
)(' xf
khixx
khixe
xF

x
=

<+

=
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
1.2. Xác định tích phân bằng phơng pháp phân tích.
Phơng pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để
biến đổi biểu thức dới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên
hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận đợc từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ
bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Phơng pháp chung:
B ớc 1: Biến đổi f(x) về dạng:
f(x) =

=
n
i
ii
xf
1
)(

với f
i
(x) có nguyên hàm trong bảng công thức và
i

là các hằng số.
B ớc 2: Khi đó:

==
==
n
i
iii
n
i
i
dxxfdxxfdxxf
11
)()()(

Ví dụ: Tính tích phân :

+
=
x
e
dx
I
1
.
Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + e

x
) e
x
.
Ta đợc:

( )
( )

+
+
=

+
=
+
=
+
+
=
+
x
x

x
x
x
x
x
xx
x
e
ed
dxdx
e
e
I
e
e
e
ee
e
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

4

SáNG KIếN KINH NGHIệM Trần Viết Kiên
= x - ln(1 + e
x
) + C.
1.3. Xác định tích phânbằng phơng phápđổi biến số.
Phơng pháp đổi biến số đợc sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân.
Phơng pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý
sau:
Định lý1:
b. Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:
f(u)du = F(u) + C.
c. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với
đạo hàm (t) là những hàm số liên tục, ta đợc:
f(x)dx = f[(t)].(t)dt.
Phơng pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ
bản dựa trên định lý sau:
Định lý 2:
a. Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm trong
khoảng [a,b] thì:

)(
)(
)(
)(
)()(
b
a
b
a
uFduuf

=
.
b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x =
(t) xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện
sau:
(i). Tồn tại đạo hàm (t) liên tục trên đoạn [, ].
(ii). () = a và ( ) = b.
(iii). Khi đó:
[ ]

=
b
a
dtttfdxxf

.)(')()(

5
SáNG KIếN KINH NGHIệM Trần Viết Kiên
Tuy nhiên cái khó của phơng pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay
u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể.
Lu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu Cách chọn