SKKN Vấn đề học Tích phân

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
LỜI GIỚI THIỆU
Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác,
… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới .
Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như ( khối hộp chữ nhật , khối lập
phương , khối lăng trụ , khối chóp , ….gọi chung là khối đa diện ) học sinh đều được học
công thức tính thể tích . Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không
đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu , đặc biệt là tư duy cụ thể hoá , trừu
tượng hoá .Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8 , 9 , 10 , 11
vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân , trong đó yếu tố “trực quan và
thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu .
Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích
của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn
.Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng
cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay . Khi học vấn đề này nhìn chung các
em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy
thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là
những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó
trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi
tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho
những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
Tài liệu “ GIÚP HỌC SINH 12 HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có
chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những
khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của
vật thể tròn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà
học sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này
trong chương các lớp học , học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học
tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh
cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi TN THPT , ôn thi ĐH , CĐ .
Tài liệu này gồm các phần :

- Phần một :
Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích
phân hiện nay .
1/ Những khó khăn và sai làm mà học sinh thường mắc phải .
2/ Hướng khắc phục .
- Phần hai
Diện tích của hình phẳng
I.Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục
hoành .
2/ Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
3/ Các bài toán minh họa và bài tập tương tự .
4/ Diện tích của hình tròn và hình elip.
II . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số .
1/ Cách tìm giao điểm của hai đồ thị.
2/ Một vài ví dụ về cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số .
3/ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số .
- Phân ba: Thể tích của vật thể tròn xoay.
I. Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay .
1/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
2/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một vật thể quanh trục tung.
1
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
II . Thể tích của khối cầu , khối trụ .
1/ Thể tích khối cầu
2/ Thể tích khối trụ

Dù tác giả đã rất cố gắng , song bài viết này cũng khó tránh khỏi những thiếu sót,rất
mong nhận được sự góp ý của học sinh và quý bạn đồng nghiệp.

Xin chân thành cám ơn .
PHẦN MỘT
2
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng
dụng của tích phân hiện nay .
1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải .
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình
toán giải tích lớp 12 . Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa
hình học của tích phân , đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
hàm số ,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục
hoành hoặc trục tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , ,
đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH . Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh
(kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :
- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật
thể tròn xoay ) .
Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã
học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng
được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này .
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp
học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh chưa thấy sự gần
gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học .
-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại
học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu .
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn xoay )
một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị
để xét dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ
diện tích ; cộng , trừ thể tích . Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp
phải .
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .

Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức :
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfI )()(
Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f(x)
không đổi dấu trong khoảng (a ; b).
Ví dụ :
dxxxS
∫
+−=
3
0
2
23
Học sinh viết sai là :
dxxxS
∫
+−=
3
0
2
)23(
2/ Hướng khắc phục .
- Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào
từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :
+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .

+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
+ Hoặc dùng công thức sau :
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfI )()(
Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) .
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ
đạo và để học sinh tham khảo . Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận
3
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
dụng vào giải toán . Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng .Từ đó học sinh có
cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn .
- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học
sinh luyện tập từ dễ tới khó . Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải , số còn lại để
học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên.
PHẦN HAI
DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
4
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = a , x = b
Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
b ; a
.

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức :
∫
=
b
a
dxxfS )(
(1)
 Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị
tuyệt đối .
• Nếu
[ ]
b ; a x , 0)(
∈∀≥
xf
thì
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
• Nếu
[ ]
b ; a x , 0)(
∈∀≤
xf
thì
( )

∫∫
−==
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
 Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) . Thường có
hai cách làm như sau :
-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc
hai” để xét dấu các biểu thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 ,
f(x) ≤ 0 trên đoạn
[ ]
b ; a
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn
[ ]
b ; a
để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó .
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì
[ ]
b ; a x , 0)(
∈∀≥
xf
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì

[ ]
b ; a x , 0)(
∈∀≤
xf

-Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Vd 1 : Tính
dxxI
∫
−
+=
0
2
42
Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4
x -∞ -2 0 +∞
f(x)=2x + 4
- 0 +  +
Suy ra
[ ]
2;0-x , 042
∈∀≥+
x
Do đó
[ ]
4)2(4)2(0
2

0
)4()42(42
22
0
2
0
2
=−+−−=
−
+=+=+=
∫∫
−−
xxdxxdxxI
Vd 2 :
dxxxJ
∫
−+−=
3
0
2
22
Xét dấu tam thức f(x) = - x
2
+ 2x – 2 , có
0121)2)(1(1'
2
<−=−=−−−=∆
, a = - 1
< 0
Suy ra f(x) < 0

R
∈∀
x
5
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
x -∞ 0 3 +∞
f(x)= -x
2
+ 2x - 2 - -2 - -5 -
Suy ra
[ ]
0;3x , 0)(
∈∀<
xf
0
3
)2
3
()22(22
2
3
3
0
2
3
0
2
xx
x
dxxxdxxxJ

+−=+−=−+−=
∫∫
6069
3
27
0.20
3
0
3.23
3
3
2
3
2
3
=−+−=






−−−+−=
Vd 3
dxxxK
∫
+−=
2
0
2

23
Cách 1 Xét dấu tam thức f(x) = x
2
– 3x + 2 , có a = 1 > 0 ; và



=
=
⇔=+−
2
1
023
2
x
x
xx
x -∞ 0 1 2 +∞
f(x)= x
2
- 3x + 2 + 2 + 0 - 0 +
Suy ra
[ ]
0;1x , 0)(
∈∀≥
xf
và
[ ]
1;2x , 0)(
∈∀≤

xf
Do đó :
∫∫∫
+−−+−=+−=
2
1
2
1
0
2
2
0
2
)23()23(23 dxxxdxxxdxxxK
1
2
)2
2
3
3
(
0
1
)2
2
3
3
(
2323
x

xx
x
xx
+−−+−=
=
6
5
-
)
6
1
(
−
=1
Cách 2
1
6
1
6
5
)23()23(23
2
1
2
1
0
2
2
0
2

=
−
+=+−++−=+−=
∫∫∫
dxxxdxxxdxxxK

3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.
Bài toán 1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 , trục
hoành , các đường thẳng x = - 2 , x = 0 .
y
x
f x
( )
= 2
⋅
x+4
4
-2
O
1
Hình 1
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−
+=
0
2
42

Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
2;0-x , 042
∈∀≥+
x
6
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Do đó
[ ]
4)2(4)2(0
2
0
)4()42(42
22
0
2
0
2
=−+−−=
−
+=+=+=
∫∫
−−
xxdxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 2 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= - 2x - 4 , trục
hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = - 2 .
y
x
f x

( )
= -2
⋅
x-4
4
-2
O
1
Hình 2
Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x – 4 , trục hoành và hai đường
thẳng x = - 2 , x = 0 .
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−
−−=
0
2
42
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
2;0-x , 042
∈∀≥−−
x
Do đó
[ ]
4)2(4)2(0
2
0

)4()42(42
22
0
2
0
2
=−+−−=
−
+=+=−−=
∫∫
−−
xxdxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 3 . Tính diện tích của hình phẳng (được tô màu ) sau đây :
y
x
f x
( )
= x
3
4
-2
O
1
A
B
Hình 3
Giải : Hình phẳng trên được giới hạn bởi bốn đường y = x ,trục hoành và hai đường
thẳng x = 0 , x = 3.
Diện tích S của hình phẳng trên là

dxxS
∫
=
3
0
Vì
[ ]
0;3x , 0
∈∀≥
x
2
9
2
0
2
3
0
3
)
2
(
222
3
0
3
0
=−====
∫∫
x
dxxdxxS

(đvdt)
7
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài toán 4. Tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây .
y
x
f x
( )
= x
2
3
4
-2
O
1
A
B
Hình 4
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
2
, trục hoành và hai đường thẳng
x = 0 , x = 2.
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
=
2
0
2
Vì

[ ]
0;2x , 0
2
∈∀≥
x
3
8
3
0
3
2
0
2
)
3
(
333
2
0
2
2
0
2
=−====
∫∫
x
dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 5 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x
2

, trục
hoành Ox và hai đường thẳng x = -1 ; x = 2 .
y
x
f x
( )
= -x
2
3
-4
-1
-2
O 1A
B
Hình 5
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−
−=
2
1
2
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
1;2-x , 0
2
∈∀≤
x

3
3
1
3
8
3
)1(
3
2
1
2
)
3
(
333
2
1
2
2
1
2
=+=
−
−=
−
==−=
∫∫
−−
x
dxxdxxS

(đvdt)
Bài toán 6.
Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0 , x = 0 và x = 3.
Hãy tính diện tích hình thang đó .
8
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y
x
f x
( )
= -x-2
3
-4
2
-1-2
O
1
A
B
Hình 6
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−−=
3
0
2
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]

0;3x , 02
∈∀≤−−
x
2
21
6
2
9
0.2
2
0
3.2
2
3
0
3
)2
2
()2(2
222
3
0
3
0
=+=







+−+=+=+=−−=
∫∫
x
x
dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 7.
Cho hàm số y = -x
2
+2x – 2 có đồ thị (C ) .Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị (C) , trục hoành và hai đường thẳng x =0 , x = 3
(C)
y
x
f x
( )
= -x
2
+2
⋅
x
( )
-2
3
-4
2
-1-2
O
1

A
B
Hình 7
Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x
2
+2x - 2 , trục hoành và các
đường thẳng x = 0 , x = 3 .
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxxS
∫
−+−=
3
0
2
22
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
0;3x , 022
2
∈∀≤−+−
xx
0
3
)2
3
()22(22
2
3
3

0
2
3
0
2
xx
x
dxxxdxxxS
+−=+−=−+−=
∫∫
6069
3
27
0.20
3
0
3.23
3
3
2
3
2
3
=−+−=







−−−+−=
(đvdt)
9
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài toán 8. Hãy tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây:
y
x
f x
( )
= x
2
+2
⋅
x+2
3
6
2
-1
4
-2
O
1
A
B
Hình 8
Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
2
+2x +2 , trục hoành và các đường
thẳng x = -1 , x = 1 .

Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxxS
∫
−
++=
1
1
2
22
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
1;1-x , 022
2
∈∀≥++
xx
1
1
)2
3
()22(22
2
3
2
1
2
1
1
2
−
++=++=++=

∫∫
−−
xx
x
dxxxdxxxS
3
14
1
3
1
3
3
1
)21
3
1
(3
3
1
2)1(
3
)1(
1.21
3
1
2
3
2
3
=+++=−+

−
−+=






−−+
−
−++=
(đvdt)
Bài toán 9.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số
y = x
3
–x
2
+ 2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x = - 1 ; x = 2 .
y
x
f x
( )
= x
3
-x
2
( )
+2
3
6

2
-1
4
-2
O
1
A
B
Hình 9
Giải : Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxxS
∫
−
+−=
2
1
23
2
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
1;2-x , 02
23
∈∀≥+−
xx
10
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1
2
)2
34

()2(2
34
2
1
23
2
1
23
−
+−=+−=+−=
∫∫
−−
x
xx
dxxxdxxxS
12
85
2
3
1
4
1
4
3
8
4)2
3
1
4
1

(4
3
8
4
16
)2
3
)1(
4
)1(
(2.2
3
2
4
2
3434
=+−−+−=−+−+−=−
−
−
−
−+−=

(đvdt)
Bài toán 10. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
)(
−
−−
==

x
x
xfy
,
trục hoành và các đường thẳng x = -1 ; x = 0 .
y
x
f x
( )
=
-x-2
x-1
3
-4
2
-1-2
O 1
A
B
Hình 10
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dx
x
x
S
∫
−
−
−−

=
0
1
1
2
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
1;0-x , 0
1
2
∈∀≥
−
−−
x
x
∫∫∫∫
−−−−
−
−−=
−
−−−
=
−
−−
=
−
−−
=
0
1

0
1
0
1
0
1
)
1
3
1()
1
3)1(
)
1
2
(
1
2
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
S

12ln32ln311ln.30)2ln31()1ln30(
1
0
) 1ln3(
−= =+−−−=−−−−=
−
−−−=
xx
(đvdt)
Bài toán 11 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
3
, trục hoành
và các đường thẳng x = -1 , x =
2
3
.
y
x
f x
( )
= x
3
3/2
3
-1
4
-2
O
1
A

B
Hình 11
Giải
11
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−
=
2
3
1
3
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
1;0-x , 0
3
∈∀≤
x
và






∈∀≥
2
3

0;x , 0
3
x
0
2
3
)
4
(
1
0
)
4
(
44
2
3
0
3
0
1
3
0
1
2
3
0
33
2
3

1
3
xx
dxxdxxdxxdxxdxxS
+
−
−=+−=+==
∫∫∫ ∫∫
−−−
64
97
64
81
4
1
0
64
81
)
4
1
0(
4
0
4
)
2
3
(
)

4
)1(
4
0
(
4
4
44
=+=−+−−=−+
−
−−=
(đvdt)
Bài toán 12 Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 2 có đồ thị (C ) (Hình 12) .

(C)
y
x
f x
( )
= x
3
-3
⋅
x
2
( )

+2
3
2
-1
4
-2
O
1
A
B
Hình 12
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành , trục tung và
đường thẳng x = 2 .
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = 0 , x = 2 được tính bởi công thức :

dxxxS
∫
+−=
2
0
23
23
Cách tính 1
Dựa vào đồ thị , suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm có
hoành độ x = 1 .
12
Ghi nhớ :

Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, …, x
k
thuộc (a ; b) thì trên
mỗi khoảng (a ; x
1
) , (x
1
; x
2
) , …, (x
k
; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi .
Khi đó để tính tích phân
∫
=
b
a
dxxfS )(
ta có thể tính như sau :
∫∫∫∫
+++==
b
x
x
x
x

a
b
a
k
dxxfdxxfdxxfdxxfS )(...)()()(
2
1
1
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Hơn nữa x
3
-3x
2
+ 2 ≥ 0 ∀ x ∈ [ 0 ; 1 ] và x
3
-3x
2
+ 2 ≤ 0 ∀x∈ [ 1 ; 2 ]
Do đó
dxxxdxxxdxxxS )23()23(23
2
1
0
2
1
323
2
0
23
+−−+−=+−=

∫ ∫∫






+−−+−−−+−=+−−+−=
)21
4
1
(2.22
4
2
021
4
1
1
2
)2
4
(
0
1
)2
4
(
3
4
3

4
3
4
xx
x
xx
x
2
5
21
4
1
4841
4
1
=+−+−+−+=
(đvdt)

Cách tính 2
∫∫∫
+−++−=+−=
2
1
23
1
0
23
2
0
23

)23()23(23 dxxxdxxxdxxxS
2
5
4
5
4
5
4
5
4
5

1
2
)2
4
(
0
1
)2
4
(
3
4
3
4
=+=
−
+=+−++−=
xx

x
xx
x
(đvdt)
Bài toán 13 Cho hàm số y = x
4
- 3x
2
+ 2 có đồ thị ( C ) . (Hình 13 )
(C)
y
x
f x
( )
= x
4
-3
⋅
x
2
( )
+2
3
2
-1
4
-2
O
1
A

B
Hình 13
Hãy tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) , trục hoành , và hai đường
thẳng x = - 1 , x = 1.
Giải
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = -1
, x = 1 được tính bởi công thức :

dxxxS
∫
−
+−=
1
1
24
23
Dựa vào đồ thị , suy ra x
4
-3x
2
+ 2 ≥ 0 ∀ x ∈ [ -1 ; 1 ]
Do đó
5
12
1
1
)2
5
()23(23
3

1
1
5
24
1
1
24
=
−
+−=+−=+−=
∫∫
−−
xx
x
dxxxdxxxS
(đvdt)
Bài toán 14 . Cho hàm số y = -x
4
+ 5x
2
- 4 có đồ thị (C ) (Hình 14)
13
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
(C)
y
x
f x
( )
= -x
4

+5
⋅
x
2
( )
-4
3
-4
2
-1-2
O 1
A
B
Hình 14
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành .
b/Tính diện tích của hình phẳng được tô màu ở trên .
Giải
a/ Ta có



±=
±=
⇔




=
=

⇔=−+−
2
1
4
1
045
2
2
24
x
x
x
x
xx
Dựa vào đồ thị ta có đồ thị (C ) cắt trục hoành tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là
( -2 ; 0) , ( -1 ; 0) , ( 1 ; 0) , (2 ; 0) .
b/ Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị (C ) ,trục hoành và hai đường thẳng x =- 2 ,
x = 2.
Giải
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = -2 , x = 2 được tính bởi công thức :

dxxxS
∫
−
+−=
2
2
24
23

Dựa vào đồ thị , suy ra -x
4
+5x
2
- 4 ≥ 0 ∀ x ∈ [ -2 ; -1] ∪[ 1; 2]
- x
4
+ 5x
2
– 4 ≤ 0 ∀ x ∈ [ -1 ; 1 ]
Do đó
dxxxdxxxdxxxdxxxS )45()45( )45(45
2
1
24
1
1
2424
1
2
2
2
24
−+−++−+−+−=−+−=
∫∫∫∫
−
−
−−
8
15

22
15
76
15
22
=++=
S
(đvdt)
Bài toán 15 . Cho hàm số y = -x
3
- x + 1 có đồ thị ( C) (Hình 15)
a/ Xét chiều biến thiên của hàm số đó.
b/ Tính diện tích của hình phẳng (màu đen ) ở Hình 15.
14
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
(C)
y
x
f x
( )
= -x
3
-x
( )
+1
3
2-1
4
-2
O

1
A B
Hình 15
Giải
a/ Vì y’ = -3x
2
– 1 < 0 ∀ x∈ (- ∞ ; + ∞)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - ∞ ; + ∞)
b/ Vì -x
3
–x + 1 ≥ 0 ∀ x ∈ [ - 1 ; 0 ]
4
7
)1(1
0
1
3
0
1
3
=+−−=+−−=
∫∫
−−
dxxxdxxxS
(đvdt)
Bài toán 16 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục
hoành , trục tung và đường thẳng x = e . Hình 16
y
x
f x

( )
= x
⋅
ln x
( )
Gi aoDiem
3
O
1
A
e
Hình 16
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S cần tìm là
∫∫
==
ee
xdxxdxxxS
11
lnln
Đặt







=

=
⇒



=
=
2
1
ln
2
x
v
dx
x
du
xdxdv
xu
15
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Do đó
4
1
1
42
1
ln
2
1
.

2
1
ln
2
ln
222
1
2
1
22
1
+
=−=−=−==
∫∫∫
e
e
xe
xdx
e
x
x
xd
x
x
e
x
x
xdxxS
eee

(đxdt)
Bài toán 17. Cho hàm số
1
2
2
+
−+
=
x
xx
y
có đồ thị ( C ).
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành .
b/Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y =0 , x = 0 ,
x = 3 .
y
x
f x
( )
=
x
2
+x
( )
-2
x+1
GiaoDiem
GiaoDiem
3-1
4

-2 O
1
Hình 17
Giải :a/ Ta có



−=
=
⇔





−≠



−=
=
⇔



≠+
=−+
⇔=
+
−+

⇔=
2
1
1
2
1
01
02
0
1
2
0'
2
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
y
Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ lần lượt là ( - 2 ; 0) và ( 1 ; 0)
b/ Diện tích S cần tìm là
dx
x
xx
dx

x
xx
dx
x
xx
S
∫∫∫
+
−+
+
+
−+
=
+
−+
=
3
1
2
1
0
2
3
0
2
1
2
1
2
1

2
1
3
)1ln2
2
(
0
1
)1ln2
2
( )
1
2
()
1
2
(
22
3
1
1
0
+−++−=
+
−+
+
−=
∫∫
x
x

x
x
dx
x
xdx
x
x
16
Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
2ln4
2
9
2ln2
2
1
4ln2
2
9
2ln2
2
1
−=+−−+−=
(đvdt)
Bài toán 18 .
Tính diện tích hình phẳng sau,biết rằng đồ thị (C ) là đồ thị của hàm số y = e
2x
.
(C)
y
x

f x
( )
= e
2
⋅
x
-1
-2
O
1
Hình 18
Giải :
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e
2x
, trục hoành y = 0 , trục tung
x = 0 và đường thằng x = -1 .
Vì e
2x
> 0 với mọi x thuộc R nên e
2x
> 0
[ ]
0;1
−∈
x
nên diện tích S của hình
phẳng đã cho là :
)
1
1(

2
1
)(
2
1
1
0
2
1
102
0
1
2
e
eeedxeS
xx
−=−=
−
==
−
−
∫
(đvdt)
Bài toán 19.
Tính diện tích của hình phẳng sau , biết rằng đồ thị (C ) là đồ thị của hàm số
45
+=
xy
(C)
y

x
f x
( )
= 5
⋅
x+4
-1
4
-2
O 1
B
Hình 19
Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số
45
+=
xy
, trục hoành , và hai
đường thẳng x = 0 , x = 1 .
Vì
45
+=
xy
≥ 0 với mọi
[ ]
1;0
∈
x
dxxS
∫

+=
1
0
45
. Đặt u = 5x + 4 => du = 5dx
17