Chuyên đề tự luận nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.27 MB, 67 trang )
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x
được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x K .
Kí hiệu:
f x dx F x C .
Định lí:
1) Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên
K đều có dạng F x C , với C là một hằng số.
Do đó F x C, C
là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K .
2. Tính chất của nguyên hàm
f x dx f x và f ' x dx f x C ; d f x dx f x dx
Nếu F(x) có đạo hàm thì:
kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 .
f x g x dx f x dx g x dx
d F ( x) F ( x) C
Công thức đổi biến số: Cho y f u và u g x .
Nếu
f ( x)dx F ( x) C thì f g ( x) g '( x)dx f (u)du
F (u) C
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
1
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƢỜNG GẶP
1.
0dx C
3.
x dx
4.
x
1
2
2.
dx x C
1 1
x C 1
1
1
dx C
x
1
x dx ln x C
6. e dx e C
5.
x
18.
x
x
a dx
9.
sin xdx cos x C
tan x.dx ln | cos x | C
10.
11. cot x.dx ln | sin x | C
12.
1
cos
2
x
dx tan x C
1
sin x dx cot x C
14. 1 tan x dx tan x C
13.
2
2
15.
1 cot x dx cot x C
2
1
dx
1
ax b a ln ax b C
1 ax b
e
C
a
1 a kx b
20. a kx b dx
C
k ln a
1
21. cos ax b dx sin ax b C
a
1
22. sin ax b dx cos ax b C
a
1
23. tan ax b dx ln cos ax b C
a
1
24. cot ax b dx ln sin ax b C
a
1
1
dx tan ax b C
25.
2
cos ax b
a
1
1
dx cot ax b C
26.
2
sin ax b
a
1
27. 1 tan 2 ax b dx tan ax b C
a
1
28. 1 cot 2 ax b dx cot ax b C
a
19.
ax
C
ln a
8. cos xdx sin x C
7.
1 ax b
16. ax b dx
c , 1
a 1
1
1 1
17.
dx .
C
2
a ax b
ax b
e
ax b
dx
BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
dx
1
x
arctan C
2
x
a
a
dx
1
ax
a2 x2 2a ln a x C
dx
2
2
x2 a2 ln x x a C
dx
x
a2 x2 arcsin a C
dx
1
x
x x2 a2 a arccos a C
arcsin a dx x arcsin a
1 a x2 a2
C
x x2 a2 a ln
x
b
ln ax b dx x a ln ax b x c
sin ax b a ln tan
a
2
dx
a 2 x 2 dx
x a2 x2 a2
x
arcsin C
2
2
a
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
x
x
a2 x2 C
x
x
a2 x2 C
arccos a dx x arccos a
arctan a dx x arctan a 2 ln a
x
x
a
2
arc cot a dx x arc cot a 2 ln a
x
x
dx
1
ax b
C
2
dx
1
ax b
C
2
sin ax b a ln tan
e
e
2
ax
ax
a
cos bx dx
sin bx dx
x2 C
2
x2 C
eax a cos bx b sin bx
a 2 b2
eax a sin bx b cos bx
a 2 b2
C
C
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
a. Đổi biến dạng 1:
Nếu
f ( x) F ( x ) C
và với u t là hàm số có đạo hàm thì :
f (u)du F (u) C
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bước 1: Chọn x t , trong đó t là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx ' t dt
Bước 3: Biến đổi : f ( x)dx f t ' t dt g t dt
Bước 4: Khi đó tính :
f ( x)dx g (t )dt G(t ) C .
* Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp :
Dấu hiệu
Cách chọn
Đặt x a sin t ; với t ; . hoặc x a cos t ;
2 2
a2 x2
với t 0; .
Đặt x
x2 a2
với t 0; \ .
2
Đặt x a tan t ; với t ; . hoặc x a cot t
2 2
a2 x2
ax
. hoặc
ax
a
. ; với t ; \ 0 hoặc x
sin t
cos t
2 2
a
với t 0; .
ax
.
ax
x a b x
1
a x2
2
Đặt x a cos 2t
Đặt x a (b – a) sin 2 t
Đặt x a tan t ; với t ; .
2 2
b. Đổi biến dạng 2:
Nếu hàm số f x liên tục thì đặt x t . Trong đó t cùng với đạo hàm của nó ( ' t là
những hàm số liên tục) thì ta được :
f ( x)dx f t ' t dt g (t )dt G(t ) C .
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
3
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
PHƢƠNG PHÁP CHUNG.
Bước 1: Chọn t x . Với x là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt ' t dt .
Bước 3: Biểu thị : f ( x)dx f t ' t dt g (t )dt .
Bước 4: Khi đó : I f ( x)dx g (t )dt G(t ) C
* Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp :
Dấu hiệu
Cách chọn
Hàm số mẫu số có
t là mẫu số
Hàm số : f x; x
t x
Hàm f x
a.s inx+b.cosx
c.s inx+d.cosx+e
Hàm f x
1
x
x
t tan ; cos 0
2
2
Với : x a 0 và x b 0 .
x a x b
Đặt : t x a x b
Với x a 0 và x b 0 .
Đặt : t x a x b
2. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
u( x).v '( x)dx u( x).v( x) v( x).u '( x)dx
udv uv vdu ( với du u’ x dx,
Hay
dv v’ x dx )
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng :
I f ( x)dx f1 ( x). f 2 ( x)dx
u f1 ( x)
du f '1 ( x)dx
Bước 2: Đặt :
v f ( x)dx
dv f 2 ( x)
2
Bước 3: Khi đó: u.dv u.v v.du
Dạng I:
sin x
I P( x) cos x .dx
e x
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
4
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
u P( x)
sin x
Đặt
dv cos x .dx
e x
u '.du P '( x)dx
cos x
v sin x
e x
cos x
Vậy I P( x) sin x e x
cos x
sin x .P '( x)dx
e x
Dạng II: I P( x).ln xdx
u ln x
Đặt
dv P( x)dx
Dạng III
1
1
du x dx
Vậy I lnx.Q x Q( x). dx
x
v P( x)dx Q( x)
sin x
I ex
dx
cos x
u e x
Đặt
sin x
dv cos x .dx
du e x dx
cos x
v sin x
cos x cos x x
Vậy I e x
e dx .
-
sin x sin x
cos x x
Bằng phương pháp tương tự tính được
e dx sau đó thay vào I ra kết quả.
sin x
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
5
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
TÍCH PHÂN
1. CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a) .
a
b
* Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi
b
f ( x)dx hay
a
f (t )dt . Tích phân đó
a
chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
2. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Giả sử cho hai hàm số f ( x) và g( x) liên tục trên K . a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có :
a
1.
f ( x)dx 0
a
b
2.
a
f ( x)dx f ( x)dx .
a
b
3.
b
a
4.
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx .
b
b
a
a
5. kf ( x)dx k . f ( x)dx .
6. Nếu f ( x) 0, x a; b thì :
b
f ( x)dx 0x a; b
a
b
b
a
a
7. Nếu x a; b : f ( x) g ( x) f ( x)dx g ( x)dx .
b
8. Nếu x a; b Nếu M f ( x) N thì M b a f ( x)dx N b a .
a
PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I. ĐỔI BIẾN
a. Phƣơng pháp đổi biến số dạng 1.
Định lí . Nếu 1) Hàm x u(t ) có đạo hàm liên tục trên ; .
2) Hàm hợp f (u(t )) được xác định trên ; .
3) u( ) a, u( ) b .
b
a
Khi đó: I f ( x)dx f (u (t ))u ' (t )dt .
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
6
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bước 1: Đặt x u t
Bước 2: Tính vi phân hai vế : x u(t ) dx u '(t )dt
xb
Đổi cận:
xa
t
t
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t
b
a
Vậy: I f ( x)dx f u (t ) u '(t )dt g (t )dt G(t )
G( ) G( )
b. Phương pháp đổi biến dạng 2
Định lí: Nếu hàm số u u( x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn
a; b
sao cho
f ( x)dx g u( x) u '( x)dx g (u)du thì:
b
u (b )
a
u (a)
I f ( x)dx
g (u )du .
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bƣớc 1: Đặt u u( x) du u ' ( x)dx
xb
u u (b)
Bƣớc 2: Đổi cận :
xa
u u (a )
Bƣớc 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u
b
b
Vậy: I f ( x)dx g u ( x).u '( x)dx
a
a
u (b )
g (u )du
u (a)
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a; b thì:
b
b b
'
u
(
x
)
v
(
x
)
dx
u
(
x
)
v
(
x
)
v( x)u ' ( x)dx
a
a a
b
Hay udv uv
a
b
a
b
vdu
a
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bƣớc 1: Viết f ( x)dx dưới dạng udv uv'dx bằng cách chọn một phần thích hợp của
f ( x) làm u ( x) và phần còn lại dv v '( x)dx
Bƣớc 2: Tính du u ' dx và v dv v '( x)dx
b
Bƣớc 3: Tính
b
vu '( x)dx và uv a
a
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
7
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
Cách đặt u và dv trong phƣơng pháp tích phân từng phần.
Đặt u theo thứ tự ưu tiên:
b
b
P( x)e dx
P( x) ln xdx
x
Lốc-đa-mũ-lượng
a
a
b
b
P( x) cos xdx
e
a
a
x
cos xdx
u
P(x)
lnx
P(x)
ex
dv
e x dx
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: Nên chọn u là phần của f ( x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v'dx là phần của
f ( x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1. Tích phân hàm hữu tỉ
dx
1 adx
1
Dạng 1: I
ln ax b
a ax b a
ax b
( với a 0 )
dx
1
1
(ax b) k .adx
.(ax b) k 1
Chú ý: Nếu I
k
a
a(1 k )
(ax b)
Dạng 2: I
dx
a 0 ( ax2 bx c 0 với mọi x ; )
ax bx c
2
Xét b2 4ac .
+ Nếu 0 : x1
b
b
; x2
2a
2a
1
1
1
1
1
thì :
ax bx c a( x x1 )( x x2 ) a( x1 x2 ) x x1 x x2
2
1
x x1
1
1
1
1
I
ln x x1 ln x x2
ln
dx
a( x1 x2 ) x x1 x x2
a( x1 x2 )
a( x1 x2 ) x x2
1
1
+ Nếu 0 : 2
ax bx c a( x x0 )2
b
1
tan t dx
1 tan 2 t dt
2
2
2a
4a
2 a
Dạng 3: I
mx n
dx,
ax 2 bx c
(trong đó f ( x)
a 0 .
mx n
liên tục trên đoạn ; )
ax 2 bx c
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
dx
1
dx
1
b
x0
thì I 2
2
2a
a ( x x0 )
a( x x0 )
ax bx c
dx
dx
+ Nếu 0 thì I 2
2
2
ax bx c
b
a x
2a 4a 2
Đặt x
8
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
mx n
A(ax 2 bx c) '
B
A(2ax b)
B
2
2
2
2
2
ax bx c
ax bx c
ax bx c ax bx c ax bx c
+) Ta có I
.
Tích phân
A(2ax b)
dx A ln ax 2 bx c
2
ax bx c
Tích phân
mx n
A(2ax b)
B
dx
dx
dx
2
2
2
ax bx c
ax bx c
ax bx c
ax
2
dx
thuộc dạng 2.
bx c
b
P( x)
dx với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
Q
(
x
)
a
Tính tích phân I
Nếu bậc của P( x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q( x) thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc của P( x) nhỏ hơn bậc của Q( x) thì xét các trường hợp:
+ Khi Q( x) chỉ có nghiệm đơn 1 , 2 ,..., n thì đặt
An
A1
A2
P( x)
.
...
Q( x) x 1 x 2
x n
+ Khi Q( x) có nghiệm đơn và vô nghiệm Q( x) x x 2 px q , p 2 4q 0 thì đặt
P( x)
A
Bx C
2
.
Q( x) x x px q
+ Khi Q( x) có nghiệm bội
Q( x) ( x )( x )2 với thì đặt:
A
P( x)
B
C
.
Q( x) x
x x 2
Q( x) ( x )2 ( x )3 với thì đặt:
P( x)
A
B
C
D
E
.
2
3
2
3
2
(x ) (x )
(x ) (x ) (x ) (x )
x
2. Tích phân hàm vô tỉ
b
R( x, f ( x))dx
trong đó R( x, f ( x)) có dạng:
a
+) R x,
ax
. Đặt x a cos 2t , t 0;
ax
2
+) R x, a 2 x 2 . Đặt x a sin t hoặc x a cos t
ax b
ax b
+) R x, n
. Đặt t n
cx d
cx d
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
9
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
+) R x, f ( x)
1
(ax b) x 2 x
Với x 2 x ' k ax b . Đặt t x 2 x hoặc t
1
ax b
+) R x, a 2 x 2 . Đặt x a tan t , t ;
2 2
+) R x, x 2 a 2 . Đặt x
+) R
n1
, t 0; \
cos x
2
a
x ; 2 x ;...; i x Gọi k BSCNN n1; n2 ; ...; ni . Đặt x t k
n
n
a. Tích phân dạng : I
1
ax bx c
2
dx
a 0
b
x
u
b
2a
2
du dx
Từ : f(x)=ax bx c a x 2
2a 4a
K
2a
2
Khi đó ta có :
* Nếu 0, a 0 f ( x) a u 2 k 2
f ( x) a . u 2 k 2 (1)
a 0
2
b
* Nếu : 0 f ( x) a x
(2)
b
2a
f ( x ) a x 2a a . u
* Nếu : 0 .
+ Với a 0 : f ( x) a x x1 x x2
+ Với a 0 : f ( x) a x1 x x2 x
f ( x) a .
x x1 x x2
f ( x) a .
(3)
x1 x x2 x
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
Phƣơng pháp :
* Trường hợp : 0, a 0 f ( x) a u 2 k 2
f ( x) a . u 2 k 2
Khi đó đặt : ax 2 bx c t a .x
t2 c
2
x
; dx
tdt
b2 a
b2 a
bx c t 2 2 ax
x t t0 , x t t1
t2 c
t a .x t a
b2 a
a 0
2
b
* Trường hợp : 0 f ( x) a x
b
2a
f ( x ) a x 2a a . u
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
10
(4)
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
Khi đó : I
1
a x
1
a
dx
b
2a
1
b
b
ln x : x
0
2a
2a
a
1
dx
1
b
b
b
x
ln x : x
0
2a
2a
2a
a
* Trường hợp : 0, a 0
- Đặt :
x x1 t
ax 2 bx c a x x1 x x2
x x2 t
* Trường hợp : 0, a 0
- Đặt :
x1 x t
ax 2 bx c a x1 x x2 x
x2 x t
b. Tích phân dạng : I
mx n
ax 2 bx c
a 0
dx
Phƣơng pháp :
+Bước 1: Phân tích f ( x)
mx n
ax 2 bx c
A.d
ax 2 bx c
ax 2 bx c
B
ax 2 bx c
1
+Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B
+Bước 3: Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
+Bước4 : Tính I 2 A
Trong đó
ax 2 bx c
1
ax 2 bx c
dx
1
B
dx (2)
ax 2 bx c
a 0 đã biết cách tính ở trên.
1
c. Tích phân dạng : I
2
mx n ax bx c
a 0
dx
Phƣơng pháp :
+Bước 1: Phân tích :
1
mx n
ax 2 bx c
1
n
m x ax 2 bx c
m
. (1)
1
n
1
y x t t m dy x t dx
1
n
+Bước 2: Đặt : x
2
y
m
1
1
1
2
x t ax bx c a t b t c
y
y
y
'
+Bước 3: Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I
'
Tích phân này chúng ta đã biết cách tính .
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
11
dy
Ly 2 My N
.
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
x
d. Tích phân dạng : I R x; y dx R x; m
x
dx
( Trong đó : R x; y là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x, y và , , , là các hằng số đã biết )
Phương pháp :
+Bước 1: Đặt : t m
x
(1)
x
+Bước 2: Tính x theo t bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x t
+Bước 3: Tính vi phân hai vế : dx ' t dt và đổi cận
x
+Bước 4: Tính : R x; m
x
'
dx R t ; t ' t dt
'
3. Tích phân hàm lƣợng giác
Một số công thức lƣợng giác
a. Công thức cộng:
cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b
tan(a b)
sin(a b) sin a.cos b sin b. cos a
tan a tan b
1 tan a.tan b
b. Công thức nhân:
1 tan 2 a
cos 2a cos a – sin a 2cos a –1 1– 2sin a
1 tan 2 a
2
2 tan a
1 tan 2 a
cos3 4cos3 3cos
sin 2a 2sin a.cos a
2
2
2
2 tan a
1 tan 2 a
sin 3 3sin 4sin 3
; tan 2a
;
c. Công thức hạ bậc:
sin 2 a
1 cos 2a
1 cos 2a
1 cos 2a
; cos 2 a
; tan 2 a
2
1 cos 2a
2
sin 3
3sin sin 3
4
d. Công thức tính theo t : t tan
sin a
2t
1 t2
cos3
;
cos 3 3cos
4
a
2
cos a
1 t2
1 t2
tan a
e.Công thức biến đổi tích thành tổng:
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
12
2t
1 t2
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
1
cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
cos .cos
f. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos 2 cos
.cos
Hệ quả:
cos sin 2 cos 2 sin
4
4
2
2
cos cos 2sin
.sin
2
2
sin sin 2sin
.cos
2
2
sin sin 2 cos
.sin
2
2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
cos sin 2 cos 2 sin
4
4
Công thức thƣờng dùng:
3 cos 4
cos 4 sin 4
4
5
3cos
4
cos6 sin 6
8
Một số dạng tích phân lƣợng giác
b
Nếu gặp I f sin x .cos xdx . Đặt t sin x .
a
b
Nếu gặp dạng I f cos x .sin xdx . Đặt t cos x .
a
b
Nếu gặp dạng I f tan x
a
b
Nếu gặp dạng I f cot x
a
dx
. Đặt t tan x .
cos 2 x
dx
. Đặt t cot x .
sin 2 x
I. Dạng 1: I1 = sinx dx ; I 2 cosx dx
n
n
2. Phƣơng pháp
2.1. Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
2.2. Nếu n 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.
2.3. Nếu 3 n lẻ ( n 2 p 1) thì thực hiện biến đổi:
I1 = sin x dx = sin x
n
2p+1
dx sin x sin xdx 1 cos 2 x d cos x
p
2p
k
p
k
p
C p0 C1p cos2 x ... 1 C pk cos 2 x ... 1 C pp cos 2 x d cos x
1k k
1 p p
1
2 k 1
2 p 1
C p0 cos x C1p cos3 x ...
C p cos x ...
C p cos x C
3
2k 1
2 p 1
I 2 = cos x dx = cos x
n
2p+1
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
dx cos x cos xdx 1 sin 2 x d sin x
p
2p
13
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
k
p
k
p
C p0 C1p sin 2 x ... 1 C pk sin 2 x ... 1 C pp sin 2 x d sin x
k
p
0
1 k
1
1 1 3
2 k 1
2 p 1
C p sin x C p sin x ...
C p sin x ...
C pp sin x C
3
2k 1
2 p 1
II. Dạng 2: J = sin m x cos n x dx Với (m, n *)
1. Phƣơng pháp:
1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên
a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
b. Nếu m chẵn, n lẻ thì biến đổi:
I = sin x
m
cos x
2p+1
dx sin x
m
cos x
2p
m
cos xdx sin x 1 sin 2 x d sin x
p
k
p
k
p
m
sin x C p0 C1p sin 2 x ... 1 C pk sin 2 x ... 1 C pp sin 2 x d sin x
m 3
2 k 1 m
2 p 1 m
c. Nếu m chẵn,
0 sin x m1
k
p
1 sin x
k sin x
p sin x
Cp
... 1 C p
... 1 C p
C p
C
m 1
m3
2k 1 m
2 p 1 m
n lẻ (n 2p 1) thì biến đổi:
I sin x
2p+1
cos x
n
dx cos x sin x sin xdx cos x 1 cos 2 x d cos x
n
2p
p
n
k
p
n
k
p
cos x C p0 C1p cos 2 x ... 1 C pk cos 2 x ... 1 C pp cos 2 x d cos x
n 3
2 k 1 n
2 p 1 n
d. Nếu
0 cos x n 1
k
p
1 cos x
k cos x
p cos x
C p
Cp
... 1 C p
... 1 C p
C
n 1
n3
2k 1 n
2 p 1 n
m, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2 hoặc 1.3 cho số mũ lẻ bé hơn.
1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u sinx
B sin m x cosn xdx sin x
m
cos2 x
n 1
2
• Tích phân (*) tính được 1 trong 3 số
cos xdx u m 1 u 2
n
•
1 tan x dx cos
•
1 cot x dx sin
•
tan xdx cos x dx
dx
2
x
d tan x tan x C
dx
2
• cot xdx
2
2
sin x
x
d cot x cot x C
d cos x
cos x
ln cos x C
d sin x
cos x
dx
ln sin x C
sin x
sin x
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
du (*)
m 1 n 1 m k
nguyên
;
;
2
2
2
III. Dạng 3: I1 = tan x dx ; I 2 = cot x dx (n ).
n
m 1
2
14
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn a; b , trục hoành và
b
hai đường thẳng x a , x b được xác định: S f ( x) dx
a
y
y f (x)
O
a c1
c2
y f (x)
y 0
(H )
x a
x b
c3 b x
b
S
f (x ) dx
a
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x) , y g ( x) liên tục trên đoạn a; b và
b
hai đường thẳng x a , x b được xác định: S f ( x) g ( x) dx
a
y
(C1 ) : y f1 ( x )
(C ) : y f2 ( x )
(H ) 2
x a
x b
(C1 )
(C2 )
b
O
c2
a c1
b
x
Trên a; b hàm số f ( x) không đổi dấu thì:
S
f (x ) f (x ) dx
1
2
a
b
b
f ( x) dx
a
f ( x)dx
a
Nắm vững cách tính tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g ( y) ,
d
x h( y) và hai đường thẳng y c , y d được xác định: S g ( y ) h( y ) dy
c
2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
a) Thể tích vật thể:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;
S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,
(a x b) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn a; b .
( )
O
x
a
b
S(x)
b) Thể tích khối tròn xoay:
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
15
x
V
b
S (x )dx
a
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ( x) , trục
hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox :
y
y f (x)
O
a
b
x
(C ) : y f ( x )
b
2
(Ox ) : y 0
Vx f ( x ) dx
x
a
a
x b
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x g ( y) , trục
hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy :
y
d
O
c
x
(C ) : x g( y )
(Oy ) : x 0
y c
y d
d
V y g( y ) dy
2
c
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y f ( x) , y g ( x) và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox :
b
V f 2 ( x) g 2 ( x) dx .
a
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
16
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM
VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP
1.
(7 x 3)dx
5 x x
dx
3x 2
x
17.
dx
( x 2) 2
16.
x
4 sin 3 x
1 cos x dx
2.
3.
3
( x 2 x)dx
18.
4.
x2 2 x 1
2 x 1 dx
19.
5.
5 x 4 3x 3
x 2 dx
6.
( x 2 2) 2
x 2 dx
3
x2
dx
x3
x 2 dx
3xdx
20. 2
x 5x 4
21. (tanx - cotx) 2 dx
2 x3 1
22.
dx
ex
2x 1
23.
dx
x 1 x 1
7. 1 3 x dx
3
8.
2
9.
x
x
2
x 33 x 2 2 dx
x4
dx
3
x
24. e 2 x3dx
e x
dx
25. e 4
cos 2 x
3x 2 x 3 x
10.
dx
x
x
sin 2 xdx
12. sin 2 x. cos 3xdx
11.
2
27.
cos 3 x
1 sin x dx
3 x 1
cos
29. tan
13. sin(2 x 1)dx
28.
x
dx
2
dx
15.
(3 2 x) 5
2
14. 2 sin
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
26.
30.
17
dx
3
x sin xdx
2
xdx
e3 x1
4 x dx
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1.
2.
(3x 2)
10
dx
5 3x dx
x 2 1.xdx
4.
dx
5x 3
5.
(x
6.
x
3.
8.
5 2 x3
dx
x
e
22.
23.
x
24.
(3 2 x)
x
2
dx
xdx
2014
dx
5
5) 4 x 2 dx
25. (2 x 2 1) 7 xdx
x 1.dx
26. sin 2014 x cos xdx
3
7. x.e x
3x 2
21.
2
1
dx
27.
ln 3 x
x dx
28. cot gxdx
9. x 2 x 3 1.dx
29.
30. tgxdx
11. cos 3 x sin 2 xdx
dx
13.
e
14.
dx
x2 x 1
x (1 x )
2
31.
32.
e
x 2 dx
1 x2
dx
5
2x
dx
1
33. x 2 1 x 2 .dx
x
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
tgxdx
2
x
cos
10. x 3 x 2 1.dx
12.
sin x
dx
5
x
cos
34.
18
xe x 1
x(e x ln x) dx
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
15.
e 2 x dx
16.
1 x 2 .dx
17.
18.
1 x
19.
20.
dx
35.
sin x
36.
cos x
37.
tanx dx
38.
cotx dx
e tgx
cos 2 x dx
39.
e
40.
sin
ex 3
dx
4 x2
dx
2
4 cos x
sin xdx
dx
1
1
(s inx+ cos x)dx
s inx cos x
3
xdx
BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƢƠNG PHÁP
NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
1.
x.sin xdx
21.
2.
x cos xdx
22. ln xdx
3.
( x 1) sin xdx
23. ln 2 xdx
4.
x sin 2 xdx
24. x 2 ln xdx
5.
x cos 2 xdx
25. sin x dx
6.
x.e
26.
x
x ln xdx
dx
ln xdx
ln(1 x)
dx
x2
x
7.
x ln xdx
27.
8.
x
28. x ln(1 x 2 )dx
2
cos xdx
9. ( x 2 5) sin xdx
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
29. 2 x xdx
19
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
10.
x sin
2
30. ln( x 2 1)dx
xdx
31. (2 x 3) ln xdx
11. x 3e x dx
2
12. x 2 cos 2 xdx
32.
x2 1
dx
33. 1 tan x tan 2 x e x dx
34. cosln x dx
14. e x . cos xdx
x
cos
2
x
35. 2 x ln(1 x)dx
dx
1 x
dx
1 x
36. x. ln
37. x 2 ln 2 xdx
38. cos x. ln(1 cos x)dx
16. x tan 2 xdx
17. (2 x 3)e x dx
18. x 2 e x dx
19. e
20.
13. ( x 2 2 x 3) cos xdx
15.
x. ln x x 2 1
e
x
x
dx
39. e2 x cos xdx
sin xdx
40.
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
20
ln(cos x)
dx
cos 2 x
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
2
Ví dụ 1: Tính tích phân I=
(x
3
2 x 1)dx
1
Giải:
2
I=
4
( x3 2 x 1)dx = x x 2 x 1 2 1 2 2 1 1 1 3 2
4
1
1
Ví dụ 2: Tính tích phân I=
e
3 x 1
4
4
dx
1
3
Giải:
1
I=
1
3
3 x 1
e3 x 1dx = e 11 1 (e4 e0 )
3
3
3
sin x cosx
Ví dụ 3: Tính tích phân I
dx.
sin
x
cosx
2
4
Giải:
2
2
d sin x cosx
sin x cosx
2
I
ln sin x cosx ln 2
dx
sin x cosx
sin x cosx
4
4
4
Ví dụ 4: Tính tích phân I
2
dx
1 cosx .
0
Giải:
x
d
dx
dx
x
2
I
tan 2 1
x
x
1
cosx
2
2
2
0
0 2cos
0 cos
0
2
2
2
2
2
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
21
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP
1
1
1. I = (2 x x 1)dx
2
16. I = e
0
2
3
1(7 x 2 x 5 )dx
1
17. I =
(e
x
x)dx
0
1
x
2
(e x 1)dx
3. I =
dx
0
1
2. I =
2 x 1
2
18. I =
0
sin 3x
2 cos 3x 1 dx
0
x x 2x 2
4. I =
dx
x3
1
2
3
2
19. I =
2
4
sin x dx
0
1
5. I = ( x3 x x )dx
4
20. I = (sin 4 x cos 4 x)dx
0
0
2
x - 2x - x 2 dx
6. I =
3
2
-1
2
21. I = (sin 6 x cos 6 x)dx
0
3
1
1 x2 x3 4 dx
3
2
7. I =
22. I =
tan x cot x dx
2
6
5x x x 2 x 1
dx
x
1
e
8. I=
3
2
9. I = 3 4 x
3
3 x2
2
8
dx
23. I =
4
sin 3 x
dx
2
0 cos x
2
24. I =
1
sin 4 x dx
4
2 x 11 7 x 3 x
dx
10. I =
3x
1
e
2
25. I =
0
dx
1
x
26. I = cos 2 x( sin x cos x)dx
4
4
0
3
4
12. I = sin xdx
6
2
11. I = ( x 1)( x x 1)dx
1
cos
27. I =
sin 2 x dx
1
3
4
4
13. I = cos xdx
28. I =
0
4
2x
dx
3
29. I =
0
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
2
4
14. I = tan xdx
4
sin
tan x 2 cot x dx
2
4
22
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
2 1 cos x
4
30. I =
15. I = cot xdx
0 1 cos x
0
dx
LUYỆN TẬP DÙNG VI PHÂN 1
1
dx
11 5x
1/ I
.
2
2
6. I =
2
cox x cos 2 xdx
2
0
e x
e x 1 dx
0
1
2. I =
2
7. I = sin 2 x
1
dx
3
1
3. I x3 (1 x 4 )3dx
2
8. I =
0
sin
5
xdx
0
22
3
4. I
3
3x 5dx
9. I =
1
2
2
3
sin 2x(1 sin x) dx
0
e
3
5. I =
2
2015
( x 1) (2 x) dx
sin(ln x)
dx
x
1
10. I =
0
LUYỆN TẬP DÙNG VI PHÂN 2
2
4
6. I
1. I cos xdx.
3
0
6
4
tan x 2
e
dx
2. I=
2
cos
x
0
7. I =
2
e
1
dx
2x 1
sin 2 x
sin 2x dx
4
3
3. I= x(2 x 2 ) 2015dx
8. I =
1
1
4. I x3 2 x 2 dx
9. I =
0
4 1 2sin 2
3
sin x.ln(cos x)dx
0
4
1
5. I =
x
4 x 2 dx
0
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
10. I =
0
23
x
dx
0 1 sin 2x
tgx .dx
cos2 x
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
2. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
a. Phƣơng pháp đổi biến số dạng 1.
Định lí . Nếu
1) Hàm
x u (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn ; ,
2) Hàm hợp
3)
f (u(t )) được xác định trên ; ,
u( ) a, u( ) b ,
b
thì
I
f ( x)dx f (u(t ))u (t )dt .
'
a
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bƣớc 1: Đặt x = u(t)
Bƣớc 2: Tính vi phân hai vế:
Đổi cận:
x u(t ) dx u' (t )dt
xb
xa
t
t
Bƣớc 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t
b
Vậy: I
f ( x)dx f u(t )u' (t )dt g (t )dt G(t ) G( ) G( )
a
* Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp :
Dấu hiệu
Cách chọn
; .
2 2
Đặt x = |a| sint; với t
a2 x2
hoặc x = |a| cost; với t 0; .
Đặt x =
. ; với t ; \ 0 .
sint
2 2
hoặc x =
. ; với t 0; \ .
cost
2
x2 a2
a
; .
2 2
Đặt x = |a|tant; với t
a2 x2
ax
. hoặc
ax
a
hoặc x = |a|cost; với t 0; .
ax
.
ax
x a b x
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
Đặt x = acos2t
Đặt x = a + (b – a)sin2t
24
Nguyên hàm và tích phân Nguyễn Chiến
; .
2 2
1
a x2
Đặt x = atant; với t
2
1
Ví dụ 1:
1 x 2 dx
0
Giải:
. dx=costdt
;
2 2
Đặt x=sint với : t
Đổi cận:
x
0
1
t
0
2
1 x 2 dx 1 sin 2 tcostdt=cos2tdt
Do đó : f(x)dx=
1
Vậy :
2
f ( x)dx
0
1 cos2t dt 1 t 1 sin 2t
2
2
0
2
1
1 cos2t dt
2
1 1 1
2
4
0 2 2 2
1
Ví dụ 2: Tính .I x 2 1 x 2 dx
0
Giải:
. dx = costdt
;
2 2
Đặt x = sint , t
Đổi cận:
x
0
1
t
0
2
1
2
2
Khi đó: .I x 2 1 x 2 dx sin 2 t 1 sin 2 t .costdt
0
0
1 1
12
1 cos 4t dt t sin 4t 2
16
8 4
80
0
1
x3
Ví dụ 3: Tính I
dx.
1 x8
0
Giải:
1
Ta có:
1
x3
x3
dx
0 1 x8
0 1 x4 2 dx.
Nguyễn Chiến: 0973.514.674
25
1
12 2
2
2
sin
tcos
tdt
sin 2tdt
4 0
4 0
