Từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng thức biến phân affine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ SIM

TỪ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG
ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ SIM

TỪ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG
ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

Chuyên ngành:

Toán ứng dụng

Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2017


i

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Lời nói đầu

2

1

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Tập affine và bao affine . . . . . . . . . . . . . .

4
4

1.1.2

Tập lồi, nón lồi và bao lồi . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phương
cực biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Các định lý tách tập lồi . . . . . . . . . . . . . . .
Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
9

1.1.6 Hàm lồi và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
12

1.1.4
1.1.5
1.2

1.2.1
1.2.2
2

12

Hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Bài toán quy hoạch toàn phương

15

2.1

Giới thiệu bài toán và sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa bài toán quy hoạch toàn phương . . . .

15
15

2.1.2
2.1.3

Các dạng bài toán quy hoạch toàn phương . . . . .
Điều kiện tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . .

17
17

Điều kiện tối ưu (Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT)) .

29

2.2
3

Ma trận xác định dương và ma trận nửa xác định
dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bài toán bất đẳng thức biến phân affine

31

3.1

31

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ii

3.1.1

Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2

3.1.2 Bất đẳng thức biến phân affine . . . . . . . . . . . 32
Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine 36

3.3

Giải bài toán quy hoạch toàn phương bằng cách đưa về bài
toán bất đẳng thức biến phân affine . . . . . . . . . . . . .

40

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


1

Bảng ký hiệu
R
x, y
x

tập số thực
tích vô hướng của hai vectơ x và y

chuẩn của vectơ x

I
A ⊆ Rn

ánh xạ đơn vị
A là tập con trong Rn

dim A
af f E

số chiều của tập A
bao affine của E

cone E
coA

bao nón sinh bởi E
bao lồi của tập A


2

Lời nói đầu
Bài toán quy hoạch toàn phương lồi là một lớp bài toán quan trọng về
tối ưu vì bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế.
Bài toán bất đẳng thức biến phân cũng là một lớp bài toán quan trọng.
Một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hay được xét là bài toán bất đẳng
thức biến phân affine. Có thể nói bài toán bất đẳng thức biến phân affine là
một dạng tổng quát của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc lồi.

Trong luận văn này xét đến mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch toàn
phương với ràng buộc lồi với bài toán bất đẳng thức biến phân. Ta nhận thấy
là bài toán quy hoạch toàn phương lồi có thể mô tả dưới một bài toán bất
đẳng thức biến phân đơn điệu. Tuy nhiên, không phải mọi bài toán bất đẳng
thức biến phân affine đều sinh ra từ bài toán quy hoạch toàn phương. Qua
đây ta thấy sự phát triển từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng
thức biến phân affine.
Cụ thể trong luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức cơ bản nhất
về tập lồi, hàm lồi và hàm toàn phương như: tập affine và bao affine; tập
lồi, nón lồi và bao lồi; điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phương
cực biên; các định lý tách tập lồi; tập lồi đa diện; hàm lồi và các tính chất;
hàm toàn phương.
Chương 2: Bài toán quy hoạch toàn phương. Trình bày định nghĩa bài
toán quy hoạch toàn phương, các dạng bài toán, điều kiện tồn tại nghiệm và
điều kiện tối ưu của bài toán quy hoạch toàn phương.
Chương 3: Bài toán bất đẳng thức biến phân affine. Giới thiệu về bài
toán bất đẳng thức biến phân affine, điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán
bất đẳng thức biến phân affine và phương pháp giải bài toán quy hoạch
toàn phương bằng cách đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân affine.


3

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng
dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời
gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt
quá trình làm luận văn.

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích
cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn
sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán
K9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường;
Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan
tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9Y (khóa
2015–2017) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình
học tập, nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh
đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện
tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Sim


4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản nhất về tập lồi, hàm lồi,
hàm toàn phương. Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu khái niệm tập lồi, hàm lồi.
Mục 1.2 trình bày định nghĩa hàm toàn phương. Các kiến thức của chương
này được viết trên cơ sở tổng hợp từ các tài liệu [1], [2] và [3].

1.1
1.1.1

Tập lồi
Tập affine và bao affine

Cho x1 , x2 là hai điểm trong Rn . Đường thẳng đi qua x1 , x2 là tập tất cả
các điểm x ∈ Rn có dạng x = (1 − λ ) x1 + λ x2 = x1 + λ x2 − x1 với λ ∈ R.
Định nghĩa 1.1.1. Tập A ⊆ Rn được gọi là tập affine (hay đa tạp tuyến tính)
nếu
(1 − λ ) x + λ y ∈ A ∀x, y ∈ A

∀λ ∈ R.

Nhận xét 1.1.1. Nếu A là tập affine, thì với
a ∈ Rn , A + a = {x + a : x ∈ A}
là tập affine.
Mệnh đề 1.1.1. Tập M ⊂ Rn là không gian con khi và chỉ khi là tập affine
chứa 0. Nghĩa là, nếu x, y ∈ M thì mọi điểm λ x + µy cũng thuộc M với
λ , µ ∈ R.


5

Định lý 1.1.1. Mỗi tập affine A không rỗng là một tập affine khi và chỉ khi
A = a + L trong đó a ∈ A và L là một không gian con.
Chứng minh.
Giả sử A là một tập affine và a ∈ A. Khi đó, A = a + L với L = −a + A.
Do −a ∈ Rn nên L = −a + A cũng là một tập affine. Hơn nữa, 0 ∈ L (vì
a ∈ A) nên L là một không gian con. Ngược lại, giả sử A = a + L với a ∈ A
và L là một không gian con. Do không gian con L là một tập affine nên
A = a + L cũng là một tập affine.
Không gian con L nói trên được gọi là không gian con song song với tập

affine A: A//M. Nó được xác định một cách duy nhất.
Định nghĩa 1.1.2. Chiều (thứ nguyên) của một tập affine A không rỗng
được định nghĩa là chiều của không gian con song song với nó. Kí hiệu
dimA.
Chú ý 1.1.1. Quy ước: dim∅ = −1.
Giả sử L là một không gian con trong Rn , phần bù trực giao của L được
xác định như sau: L⊥ = {x ∈ Rn : x⊥y, ∀y ∈ L}, trong đó x⊥y ⇔ (x, y) = 0.
Khi đó, tập L⊥ cũng là một không gian con và dim L+dim L⊥ = n, L⊥
L.

⊥

=

Định nghĩa 1.1.3. Tập affine n − 1 chiều trong Rn được gọi là một siêu
phẳng.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử β ∈ R, 0 = b ∈ Rn . Khi đó, tập
H = {x ∈ Rn : x, b = β }
là một siêu phẳng trong Rn . Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn
duy nhất bằng cách này.
Định nghĩa 1.1.4. Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk với
xi ∈ Rn và λ1 + λ2 + ... + λk = 1 gọi là một tổ hợp affine của các điểm
x1 , x2 , ..., xk .
A là một tập affine khi và chỉ khi A chứa mọi tổ hợp affine các phần tử
thuộc nó. Giao của một họ bất kì các tập affine cũng là một tập affine. Cho
E là một tập bất kì trong Rn , có ít nhất một tập affine chứa E, cụ thể là Rn .


6

Định nghĩa 1.1.5. Giao của tất cả các tập affine chứa E gọi là bao affine
(affine hull) của E, ký hiệu là a f f E. Đó là tập affine nhỏ nhất chứa E.
Định nghĩa 1.1.6. Điểm x ∈ Rn được gọi là tổ hợp affine của điểm x1 , ...., xm
∈ Rn , nếu
m

m

∃λ1 , ...., λm ∈ R, ∑ λi = 1 : x = ∑ λi xi .
i=1

i=1

Định nghĩa 1.1.7. Tập m + 1 điểm b0 , b1 , ..., bm được gọi là độc lập affine
nếu a f f {b0 , b1 , ...., bm } là m chiều.
Nhận xét 1.1.2. b0 , b1 , ..., bm độc lập affine khi và chỉ khi b1 −b0 , ..., bm −b0
độc lập tuyến tính.
Thật vậy,
a f f {b0 , b1 , ..., bm } = L + b0
trong đó, L = a f f {0, b1 − b0 , ..., bm − b0 }.
Do đó, dim L = m ⇔ b1 − b0 , b2 − b0 , ..., bm − b0 độc lập tuyến tính.
1.1.2

Tập lồi, nón lồi và bao lồi

Cho hai điểm x1 , x2 ∈ Rn . Đoạn nối x1 , x2 được định nghĩa như sau:
x1 ; x2 = x ∈ A : x = λ x1 + (1 − λ ) x2 , 0

λ

1 .

Định nghĩa 1.1.8. Tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu:
∀x1 , x2 ∈ C

∀λ ∈ R : 0

λ

1 thì λ x1 + (1 − λ ) x2 ∈ C.

Nói cách khác, nếu C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó.
Ví dụ 1.1.1. Trong R2 các hình tam giác, hình chữ nhật, hình tròn, hình elip
đều là các tập lồi.
Trong R3 các hình cầu, khối lăng trụ tam giác, khối chóp tứ giác là các tập
lồi.
Các nửa không gian, hình cầu đơn vị trong không gian Banach là các tập
lồi.
Một số hình vẽ về tập lồi, tập không lồi trong R2 (xem Hình 1.1).


7

Hình 1.1:

Định nghĩa 1.1.9. Vectơ x ∈ Rn được gọi là tổ hợp lồi của vectơ x1 , ..., xm ∈
Rn nếu ∃λi

m

0, i = 1, 2, ..., m sao cho x = ∑ λi xm .
i=1

Chú ý 1.1.2. Tập C lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các phần
tử thuộc nó. Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dimC là
thứ nguyên của bao affine của nó. Một tập lồi C trong Rn gọi là thứ nguyên
đầy nếu dimC = n.
Định nghĩa 1.1.10. Một tập con M của Rn được gọi là một nón (mũi tại 0)
nếu x ∈ M, λ > 0 thì λ x ∈ M. Nón M gọi là nón lồi nếu tập M lồi.
Điểm gốc 0 có thể thuộc hoặc không thuộc M. Tập a + M (a ∈ Rn ) gọi là
nón có mũi tại a. Nón M không chứa đường thẳng nào gọi là nón nhọn.
Trong trường hợp này, gốc 0 gọi là đỉnh của M và là nón có đỉnh tại a. Mỗi
nửa không gian đóng hay mở đều là một nón, nhưng không phải là một nón
nhọn.
Định nghĩa 1.1.11. Cho E là một tập lồi. Tập {λ x : x ∈ E, λ > 0} gọi là
bao nón sinh bởi E và kí hiệu là coneE.
Định nghĩa 1.1.12. Giả sử A ∈ Rn . Tương giao của tất cả các tập lồi chứa
A được gọi là bao lồi (Convex hull) của tập A và ký hiệu là coA.
Nhận xét 1.1.3. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A.
b) A lồi ⇔ A = coA.


8

1.1.3

Điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phương cực biên

Cho tập lồi M ⊂ Rn . Một x ∈ Rn được gọi là điểm cực biên của M nếu x
không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của hai điểm phân biệt

bất kì nào của M. Số điểm cực biên của tập lồi có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
Khi tập lồi có hữu hạn điểm cực biên thì chúng thường được gọi là các đỉnh.
Mệnh đề 1.1.3. Một tập lồi đóng khác rỗng M ⊂ Rn có điểm cực biên khi
và chỉ khi nó không chứa trọn một đường thẳng nào.
Định lý Krein–Milman. Một tập lồi đóng, bị chặn trong Rn là bao lồi của
các điểm cực biên của nó.
Cho tập lồi khác rỗng M ⊂ Rn . Vectơ d ∈ Rn , d = 0 gọi là phương lùi
xa của M nếu {x + λ d|λ 0} ⊂ M với mỗi x ∈ M. Rõ ràng, mọi nửa đường
thẳng song song với một phương lùi xa d xuất phát từ một điểm bất kì của
M đều nằm trọn trong M. Tập M không bị chặn khi và chỉ khi nó có một
phương lùi xa. Tập tất cả các phương lùi xa của tập lồi M cùng vectơ 0
tạo thành một nón lồi và được gọi là nón lùi xa của M. Hai phương d 1 , d 2
là khác biệt nếu d 1 = αd 2 với α > 0. Phương lùi xa d của M được gọi là
phương cực biên của M nếu không tồn tại các phương lùi xa khác biệt d 1 , d 2
của M sao cho d = λ1 d 1 + λ2 d 2 , λ1 , λ2 > 0.
1.1.4

Các định lý tách tập lồi

Cho hai tập C, D ⊂ Rn và siêu phẳng
H = {x ∈ Rn | a, x = α}
với a ∈ Rn \ {0} và α ∈ R. Ta nói:
+ Siêu phẳng H tách hai tập C và D nếu:
a, x

α

a, y

∀x ∈ C

∀y ∈ D.

+ Siêu phẳng tách hẳn (hay tách chặt) hai tập và nếu:
a, x < α < a, y

∀x ∈ C

∀y ∈ D.


9

Định lý 1.1.2. (Định lý tách I) Nếu hai tập lồi C, D ⊂ Rn không rỗng và rời
nhau thì có một siêu phẳng tách chúng.
Định lý 1.1.3. (Định lý tách II) Nếu hai tập lồi đóng C, D ⊂ Rn không rỗng
rời nhau và một trong hai tập ấy là compact thì có một siêu phẳng tách hẳn
chúng.
1.1.5

Tập lồi đa diện

Chúng ta nhắc lại rằng:
Tập lồi đa diện P ⊂ Rn là giao của một số hữu hạn nửa không gian con
đóng. Tập lồi đa diện là một tập lồi đóng. Nếu tập lồi đa diện bị chặn thì
được gọi là đa diện lồi hay gọi tắt là đa diện.
Mỗi điểm cực biên của tập lồi đa diện được gọi là đỉnh. Mỗi tập con lồi
khác rỗng F của tập lồi đa diện P được gọi là một diện của P nếu hễ F chứa
một điểm trong tương đối của một đoạn thẳng nào đó thuộc P thì F chứa
trọn cả đoạn thẳng đó, nghĩa là:

y, z ∈ P, x = λ y + (1 − λ ) z ∈ F, 0 < λ < 1 ⇒ y ∈ F, z ∈ F.
Định lý 1.1.4. Cho P là tập lồi đa diện được xác định bởi:
ai , x

bi ,

i = 1, ..., m.

Khi đó, tập con lồi khác rỗng F ⊂ Rn là một diện của P nếu và chỉ nếu:
F = x| ai , x = bi , i ∈ I; ai , x

bi , i ∈
/I

trong đó i| ai , x = bi , ∀x ∈ P = I0 ⊂ I ⊂ {1, ..., m}.
Từ định lý trên suy ra, một diện của tập lồi đa diện cũng là một tập lồi
đa diện và mỗi đỉnh của một diện cũng là một đỉnh của P.
Định lý 1.1.5. (Định lý biểu diễn tập lồi của đa diện) Giả sử x1 , ..., xN là
các tập đỉnh và d 1 , ..., d M là các phương cực biên của tập lồi đa diện P.


10

Khi đó, mỗi điểm x ∈ P đều có thể biểu diễn dưới dạng:
M

N

x = ∑ λi xi + ∑ µ j d j
j=1

i=1

N

trong đó, λi

0, i = 1, ..., N; µ j

0, j = 1, ..., M; ∑ λi = 1.
i=1

Ví dụ 1.1.2. Từ hình vẽ dưới đây cho thấy cách biểu diễn một điểm thuộc
tập lồi đa diện qua các đỉnh và cạnh vô hạn (mà đại diện là phương cực
biên) của tập đó.

1.1.6

Hàm lồi và tính chất

Giả sử D ⊂ Rn , f : D → R ∪ {±∞}.
Định nghĩa 1.1.13. Trên đồ thị (epigraph) của hàm f , ký hiệu là epi f được
định nghĩa là:
epi f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) r} .
Định nghĩa 1.1.14. Miền hữu hiệu của hàm f , ký hiệu là dom f được định
nghĩa là:
dom f = {x ∈ D : f (x) < +∞} .
Định nghĩa 1.1.15. Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f =
f (x) > −∞ (∀x ∈ D).

và

Định nghĩa 1.1.16. Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong
X × R. Hàm f được gọi là lõm trên D nếu − f là hàm lồi trên D.


11

Nhận xét 1.1.4. Nếu f lồi thì dom f lồi.
Thật vậy, dom f là hình chiếu trên X của epi f :
dim f = {x : f (x) < +∞} = {x : ∃r, (x, r) ∈ epi f } .
Như vậy, dom f là ảnh của tập lồi epi f qua một ánh xạ tuyến tính. Do đó,
dom f lồi.
Ví dụ 1.1.3. Chuẩn Euclide là một hàm lồi trên Rn :
x = x, x

1
2

= x1 2 , ..., xn 2

1
2

,

trong đó x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn .
Định lý 1.1.6. Giải sử D là tập lồi trong không gian Rn , hàm f : D →
(−∞, +∞]. Khi đó, f lồi trên D khi và chỉ khi:
f (λ x + (1 − λ )y)

λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1]

∀x, y ∈ D.

Định nghĩa 1.1.17. Ta gọi f là hàm lồi chặt trên tập X nếu
f (λ x1 +(1−λ )x2 ) < λ f (x1 )+(1−λ ) f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 , 0 < λ < 1.
Định nghĩa 1.1.18. Hàm f được gọi là hàm lồi mạnh nếu tồn tại số λ dương
sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi x, y thuộc D và λ ∈ [0; 1]:
f (λ x + (1 − λ )y)

λ f (x) + (1 − λ ) f (y) − λ (1 − λ )α x − y 2 .

Nhận xét 1.1.5. Hàm lồi mạnh ⇒ lồi chặt, hàm lồi chặt ⇒ hàm lồi.
Định nghĩa 1.1.19. Hàm f được gọi là đóng nếu epi f đóng trong X × R.
Mệnh đề 1.1.4. Nếu f xác định trên tập lồi X ⊂ Rn là hàm lồi thì tập
{x ∈ X| f (x) α} là tập lồi với mọi α ∈ R.
Cho hàm lồi f1 xác định trên tập lồi X1 ⊂ Rn , hàm lồi f2 xác định trên
tập lồi X2 ⊂ Rn và số thực λ > 0. Ta định nghĩa các phép toán sau:
(λ f1 (x)) = λ f1 ,

x ∈ X1 ;


12

( f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x), x ∈ X1 ∩ X2 ;
max { f1 , f2 } (x) := max { f1 (x), f2 (x)} , x ∈ X1 ∩ X2 .
Khi đó, ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 1.1.5. Cho f1 là hàm lồi trên tập X1 , f2 là hàm lồi trên tập X2 và

các số thực α, β . Khi đó, các hàm α f1 + β f2 và max { f1 , f2 } là hàm lồi
trên X1 ∩ X2 .
Mệnh đề 1.1.6. Nếu f là hàm lồi xác định trên tập lồi mở X ⊂ Rn thì f là
hàm lồi liên tục trên X.
Định lý 1.1.7. Cho hàm f khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn , khi đó f là hàm
lồi khi và chỉ khi f (y) − f (x)

∇ f (x), y − x

∀x, y ∈ X.

Định lý 1.1.8. Cho f là hàm khả vi hai lần trên tập lồi mở X ⊂ Rn , khi đó
là hàm lồi khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇2 f (x) xác định dương trên X.
Áp dụng định trên cho hàm f (x) = 12 x, Qx + x, c + α trong đó Q là
ma trận đối xứng cấp n × n . Khi đó f là hàm lồi (tương ứng, lồi chặt) trên
nếu là ma trận nửa xác định dương (tương ứng, xác định dương).

1.2
1.2.1

Hàm toàn phương
Ma trận xác định dương và ma trận nửa xác định dương

Định nghĩa 1.2.1. Ma trận thực vuông, đối xứng C (cấp n) gọi là xác định
dương nếu xT Cx > 0 với ∀x = 0 (x ∈ Rn ), gọi là nửa xác định dương (hay
xác định không âm) nếu xT Cx 0 với mọi x ∈ Rn . Ma trận C gọi là xác
định âm (hay nửa xác định âm) nếu −C là xác định dương (nửa xác định
dương).
Mệnh đề 1.2.1. Một tử thức chính bất kỳ của ma trận xác định dương (nửa
xác định dương) là ma trận xác định dương (nửa xác định dương).

Mệnh đề 1.2.2. Nếu ma trận C nửa xác định dương và xT Cx = 0 thì Cx = 0.
Mệnh đề 1.2.3. Nếu ma trận C xác định dương thì ma trận nghịch đảo C−1
tồn tại và xác định dương.


13

Mệnh đề 1.2.4. Nếu A là một ma trận tùy ý (vuông hay chữ nhật ) thì A AT
và AT A là các ma trận nửa xác định dương.
Mệnh đề 1.2.5. Ma trận đối xứng, lũy đẳng là ma trận nửa xác định dương.
1.2.2

Hàm toàn phương

Định nghĩa 1.2.2. (Hàm toàn phương) Hàm f : Rn → R được gọi là hàm
toàn phương nếu tồn tại ma trận D ∈ Rn×n , vectơ c ∈ Rn và số thực α sao
cho:
1
f (x) = xT Dx + cT x + α
2
(1.1)
1
n
= x, Dx + c, x + α ∀x ∈ R .
2


 
 
d11 ... d1n

c1
x1


 
 

 
 
Nếu D = 
 ... ... ...  , c =  ... , x =  ... thì (1.1) có thể viết thành
dn1 ... dnn
cn
xn

f (x) =

1
2

n

n

n

∑ ∑ dijxix j + ∑ cixi + α.

j=1 i=1

i=1

Ta có xT Dx = 12 xT D + DT x với mọi x ∈ Rn , công thức (1.1) không
thay đổi nếu ta thay ma trận D bởi ma trận đối xứng 21 D + DT . Do đó,
ta có thể giả sử rằng ma trận vuông D trong công thức (1.1) là ma trận đối
xứng. Các không gian của n × n – ma trận đối xứng sẽ được biểu thị bởi
Rn×n
S .
Ví dụ 1.2.1. Cho hàm bậc hai f (x) = x1 2 − 2x2 2 + 4x1 x2 . Rõ ràng f (x) là
1
2
một dạng toàn phương. Ma trận D của dạng toàn phương là D =
.
2 −2
Ví dụ 1.2.2. Cho hàm bậc hai g(x) = 2x1 2 − x2 2 + 2x1 x2 − 6x1 x3 + x2 x3 . Rõ
ràng g(x)
 là một dạng toàn
 phương 3 biến. Ma trận D của dạng toàn phương
2
1 −3


1

.
1 −1
là D = 


2



1
−3
0
2


14

Định nghĩa 1.2.3. Một dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương
mà trong biểu thức xác định không chứa tích xi x j mà chỉ chứa các số hạng
bình phương xi 2 .
Ví dụ 1.2.3. Cho hàm bậc hai f (x) = x1 2 + 2x2 2 − 3x3 2 là một dạng chính
tắc.
Định nghĩa 1.2.4. Dạng toàn phương f (x) = xT A x gọi là xác định dương
nếu xT A x > 0 với mọi x = 0, nghĩa là A là ma trận xác định dương.
Ví dụ 1.2.4. Dạng toàn phương f (x) = x1 2 + x2 2 là xác định dương vì có
1
0
ma trận A của dạng toàn phương là A =
.
0
1
Định nghĩa 1.2.5. Dạng toàn phương gọi là nửa xác định dương nếu xT A x
0 với mọi x và tồn tại ít nhất một x = 0 (x ∈ Rn ) sao cho xT A x = 0 nghĩa là
A là ma trận nửa xác định dương nhưng không xác định dương.
Ví dụ 1.2.5. Dạng toàn phương f (x) = (x1 − x2 )2

0 ∀x1 , x2 và f (x) =

0 ⇒ x1 = x2 = 1, vì thế f (x) là nửa xác định dương.
Định nghĩa 1.2.6. Dạng toàn phương f (x) = xT A x gọi là xác đinh âm (nửa
xác định âm) nếu − f (x) là xác định dương (nửa xác định dương).
Với dạng toàn phương ta có thể kiểm tra tính xác định dương của nó nhờ
dùng tính chất sau.
* Dạng toàn phương f (x) = xT A x là xác định dương khi và chỉ khi mọi
định thức con chính của A đều dương. Chẳng hạn, với n = 4 ta phải có
a11 a12 a13
a11 a12
a11 > 0,
> 0, a21 a22 a23 > 0 và |A| > 0.
a21 a22
a31 a32 a33
Định nghĩa 1.2.7. Dạng toàn phương gọi là không xác định dấu nếu tồn tại
x1 , x2 ∈ Rn \ {0} sao cho x1T A x1 > 0 và x2T A x2 < 0.


15

Chương 2
Bài toán quy hoạch toàn phương
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về bài toán quy hoạch toàn
phương. Cụ thể, Mục 2.1 giới thiệu bài toán quy hoạch toàn phương và
nêu điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương. Mục 2.2
nêu điều kiện tối ưu (điều kiện Karush–Kuhn–Tucker). Các kiến thức của
chương này được viết trên cơ sở của các tài liệu [4] và [5].

2.1

Giới thiệu bài toán và sự tồn tại nghiệm

2.1.1

Định nghĩa bài toán quy hoạch toàn phương

Định nghĩa 2.1.1. Bài toán min { f (x)|x ∈ ∆} trong đó hàm mục tiêu f là
hàm toàn phương, tập ràng buộc ∆ ⊂ Rn là tập lồi đa diện được gọi là bài
toán quy hoạch toàn phương (hay quy hoạch toàn phương) với ràng buộc
tuyến tính.
Nếu D là ma trận không, thì f là hàm tuyến tính. Do đó, lớp các bài toán
quy hoạch tuyến tính là lớp con của lớp các bài toán quy hoạch toàn phương.
Nếu f là hàm lồi thì bài toán min { f (x)|x ∈ ∆} được gọi là quy hoạch toàn
phương lồi. Nếu f không là hàm lồi thì bài toán min { f (x)|x ∈ ∆} được gọi
là quy hoạch toàn phương không lồi. Nếu ta bỏ đi hằng số α trong công
thức của f thì ta vẫn không làm thay đổi tập nghiệm của bài toán quy hoạch
toàn phương ban đầu. Do đó ta chỉ cần xét bài toán
min

1
f (x) = xT Dx + cT x| x ∈ ∆
2

(2.1)


16

Nếu ta thay ma trận A = 12 D thì bài toán min f (x) = 12 xT Dx + cT x| x ∈ ∆
trở thành min f (x) = xT A x + cT x|x ∈ ∆ .

Ví dụ 2.1.1. Cho bài toán quy hoạch toàn phương
min f (x) = −x1 2 + x2 2 : x = (x1 , x2 ) , 1

x1

3, 1

x2

3 .

Ta có :
−2 0
1
f (x) = (x1 + x2 )
2
0 2
∆ = x|x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ; 1

x1
x2

x1 , x2

3 .

Định lý 2.1.1. Cho hàm f (x) = 12 xT D x + cT x + α trong đó D ∈ Rn×n
s ,b∈
Rn , α ∈ R nếu D là ma trận nửa đối xứng xác định dương thì f là hàm lồi.
Chứng minh.

Ta có, hàm x → cT x + α là hàm lồi và tổng của hai hàm lồi là một hàm
lồi. Do đó, ta chỉ cần chứng minh f1 (x) := xT D x là hàm lồi. Thật vậy, vì D
là ma trận nửa xác định dương nên với mọi u ∈ Rn , v ∈ Rn , ta có
0

(u − v)T D(u − v) = uT D u − 2vT D u + vT D v
⇒ vT D v

uT D u − 2vT D(u − v).

(2.2)

Lấy x ∈ Rn , y ∈ Rn bất kỳ, t ∈ (0; 1), ta đặt: z = tx + (1 − t)y. Kết hợp với
(2.2) ta có :
zT D z yT D y − 2zT D (y − z)
zT D z

xT D x − 2zT D (x − z)

Vì y − z = t(y − x) và x − z = (1 − t)(x − y) nên
(1 − t)zT D z + t zT D z
Suy ra: f1 (tx + (1 − t)y) = f1 (z)

(1 − t)yT D y + txT D x.

t f1 (x) + (1 − t) f1 (y).

Vậy, f là hàm lồi.
Nhận xét 2.1.1. Nếu ma trận D trong hàm mục tiêu của bài toán quy hoạch
toàn phương là ma trận nửa xác định dương thì bài toán được gọi là quy

hoạch toàn phương lồi.


17

2.1.2

Các dạng bài toán quy hoạch toàn phương

Thông thường người ta xét bài toán với tập ràng buộc được cho bởi các
dạng sau:
min

2.1.3

1 T
x D x + cT x :
2

x ∈ Rn , A x

b .

min

1 T
x D x + cT x :
2

x ∈ Rn , A x

b,

min

1 T
x D x + cT x :
2

x ∈ Rn , A x

b, Cx = d .

x

0 .

Điều kiện tồn tại nghiệm

Xét bài toán quy hoạch toàn phương

 min f (x) :=

x ∈ Rn , A x

1 T
x Dx + cT x
2
b

(2.3)

trong đó D ∈ Rn×n , c ∈ Rn , b ∈ Rn . Tập ràng buộc và giá trị tối ưu của bài
toán được viết dưới dạng:
∆(A, b) := {x ∈ Rn : A x

b}

θ := inf { f (x) : x ∈ ∆(A, b)} .
Nếu ∆(A, b) = 0/ thì θ = +∞ (quy ước). Nếu ∆(A, b) = 0/ thì có hai
trường hợp xảy ra: hoặc θ ∈ R hoặc là θ = −∞ (khi đó, bài toán không
có nghiệm). Một vấn đề được đặt ra là khi trường hợp θ ∈ R xảy ra thì bài
toán có nghiệm tối ưu hay không? Ta có nhận xét, bài toán tối ưu với hàm
mục tiêu không phải là hàm toàn phương có thể không có nghiệm ngay cả
khi giá trị tối ưu của nó là hữu hạn. Chẳng hạn, xét ví dụ: cho bài toán
min 1x : x ∈ R, x 1 . Khi đó, bài toán không có nghiệm, trong khi giá trị
tối ưu của nó θ = inf 1x : x ∈ R, x 1 = 0 là hữu hạn.
Định lý Frank - Wolfe được phát biểu sau đây sẽ cho ta biết điều kiện
tồn tại nghiệm của bài toán (2.3).
Định lý 2.1.2. (Định lý Frank - Wolfe) Nếu θ = inf { f (x) : x ∈ ∆(A, b)} là


18

một số thực hữu hạn thì bài toán (2.3) có nghiệm.
Chứng minh.
Giả sử θ ∈ R. Ta cần chứng minh bài toán (2.3) có nghiệm. Do θ ∈ R nên
∆(A, b) = 0.
/ Lấy x0 ∈ ∆(A, b), với ρ > 0 tùy ý. Đặt ∆ρ = ∆(A, b) ∩ B(x0 , ρ)
nên ∆(A, b) = 0.

/ Lấy x0 ∈ ∆(A, b), với ρ > 0 tùy ý. Đặt ∆ρ = ∆(A, b) ∩
B(x0 , ρ). Suy ra, ∆ρ là tập lồi, khác rỗng và compact.
Xét bài toán
min f (x) : x ∈ ∆ρ .

(2.4)

Theo Định lý Weierstrass tồn tại y ∈ ∆ρ sao cho:
f (y) = qρ := min f (x) : x ∈ ∆ρ .
Vì tập nghiệm của bài toán (2.4) là khác rỗng và compact nên tồn tại yρ ∈ ∆ρ
sao cho:
yρ − x0 = min

y − x0

: y ∈ ∆ρ , f (y) = qρ .

Khi đó, luôn tồn tại ρ > 0 sao cho
yρ − x0 < ρ, ∀ρ

ρ.

(2.5)

Thật vậy, giả sử trái lại chúng ta tìm được dãy tăng {ρk } : ρk → +∞ sao
cho với mỗi k tồn tại yρk ∈ ∆ρk sao cho f (yρk ) = qρk , yρk − x0 = ρk . Để
đơn giản cho ký hiệu ta viết yk thay cho yρk . Vì yk ∈ ∆(A, b) nên Ai yk
bi ∀i = 1, ..., m.
Với i = 1 ta có dãy A1 yk bị chặn dưới nên tồn tại dãy {k } ⊂ {k} sao cho
lim A1 yk tồn tại (có thể xảy ra trường hợp lim A1 yk = +∞) không mất

k →∞

k →∞

tính tổng quát ta giả sử {k } ≡ {k}, khi đó lim A1 yk tồn tại.
k→∞

Tương tự với i = 2 ta cũng có lim A2 yk tồn tại.
k→∞

Tiếp tục quá trình trên với i = m ta có lim Am yk tồn tại. Khi đó, với mỗi
k→∞

i ∈ {1, ..., m} ta có lim Ai yk tồn tại.
k→∞

Đặt I = {1, ..., m} ,
I0 = i ∈ I0 : lim Ai yk = b ,
k→∞


19

I1 = I\I0 = i ∈ I : lim Ai yk > bi .
k→∞

Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho lim Ai yk

bi + ε ∀i ∈ I1 .
k→∞

k
0
Mặt khác yρk − x0 = ρk ⇒ y ρ−x = 1 ∀k.
k
Vì quả cầu đơn vị trong Rn là compact nên không mất tính
thể sử dụng dãy

yk −x0
ρk

tổng quát ta có
hội tụ về v ∈ Rn khi k → ∞ và v = 1.

Vì ρk → ∞ nên với mỗi i ∈ I0 ta có:
0 = lim (Ai yk − bi )
k→∞

Ai yk − bi
= lim
k→∞
ρk
Ai x0 − bi
yk − x0
+ lim
= lim Ai
k→∞
k→∞
ρk
ρk
= Ai v.

Tương tự, với mỗi i ∈ I1 ta có:
0

Ai yk − bi
lim inf
k→∞
ρk

Ai yk − Ai x0 Ai x0 − bi
= lim inf
+
k→∞
ρk
ρk
yk − x 0
Ai yk − bi
= lim Ai
+ lim
k→∞
k→∞
ρk
ρk
= Ai v.

Khi đó, Ai v = 0 ∀i ∈ I0 và Ai v
lồi đa diện ∆(A, b).

0

Do đó, y + tv ∈ ∆(A, b) với mọi t

Vì
f (yk ) = f (yρk ) = qρk

∀i ∈ I1 ⇒ v là phương lùi xa của tập

0 và y ∈ ∆(A, b)

= min f (x) : x ∈ ∆ρk
= min f (x) : x ∈ ∆(A, b) ∩ B(x0 , ρk )
và dãy {ρk } là dãy tăng ρk → +∞ nên ta có f (yk ) là dãy giảm và f (yk ) →
θ . Với k đủ lớn, ta có: θ − 1

f (yk )

θ + 1. Sử dụng công thức của hàm


20

f ta có thể viết bất đẳng thức trên dưới dạng:
θ −1

1
1 k
(y − x0 )T D(yk − x0 ) + cT (yk − x0 ) + (x0 )T D(yk − x0 ) + (x0 )T
2
2
0
Dx + cT x0
θ + 1.

Chia các vế của bất đẳng thức trên cho ρk 2 và cho k → +∞ ta được 0
1 T
2 v Dv

0 ⇒ vT Dv = 0. Từ (2.5) suy ra yk + tv ∈ ∆(A, b) với ∀t

0 và

k ∈ N.
Kết hợp với điều kiện vT Dv = 0, ta có:
1
f (yk + tv) = (yk + tv)D(yk + tv) + cT (yk + tv)
2
1 k
T
= (y )Dyk + cT yk + t (yk ) Dv + cT v .
2
Suy ra:
yk

T

Dv + cT v

0 ∀k ∈ N.

(2.6)

Giả sử trái lại (yk )T Dv + cT v < 0 với k ∈ N nào đó, thì f (yk +tv) → −∞ khi

t → +∞, điều này mâu thuẫn với giả thiết θ ∈ R. Do đó, ta có công thức
(2.6).
Mặt khác, v, v = 1 và

yk −x0
ρk

→ v nên tồn tại k1 ∈ N sao cho:

yk − x 0
,v > 0
ρk
Cố định k

∀k

k1 .

k1 ta có, yk − x0 , v > 0. Suy ra:

yk − x0 − tv

2

= yk − x0

2

−2t yk − x0 , v +t 2 v

với t > 0 đủ nhỏ. Ta lại có: Ai (yk − tv) = Ai yk
có Ai v = 0). Mặt khác, lim Ai yk
k→∞

bi +ε

bi

bi + ε2 −tAi v

bi

< yk − x0

2

(2.7)

∀i ∈ I0 (do với i ∈ I0 ta

∀i ∈ I1 nên tồn tại k2 ∈ N, k2

sao cho: Ai yk bi + ε2 ∀k k2 , i ∈ I1 .
Cố định chỉ số k k2 và chọn δk > 0 sao cho tAi v
Khi đó: Ai (yk −tv)

2

ε
3

k1

∀i ∈ I1 ,t ∈ (0, δk ).

∀i ∈ I1 ,t ∈ (0, δk ). Suy ra: yk −tv ∈


21

∆(A, b) với mọi t ∈ (0, δk ). Kết hợp với (2.6) ta có, yk − tv ∈ ∆(A, b) và
(yk − tv) − x0 = yk − x0 − tv < yk − x0 = ρk với mọi t ∈ (0, ρk ) đủ
nhỏ. Từ (2.6) ta có:
1
T
f (yk − tv) = (yk )Dyk + cT yk − t (yk ) Dv + cT v
2
T
= f (yk ) − t (yk ) Dv + cT v
f (yk ).
Do đó, yk − tv là nghiệm của bài toán min f (x) : x ∈ ∆ρk . Từ bất đẳng
thức (yk − tv) − x0 < yk − x0 suy ra yk không phải nghiệm của bài
toán trên với khoảng cách tới x0 là nhỏ nhất. Điều này mâu thuẫn với:
yk − x0 = min y − x0 : y ∈ ∆ρk , f (y) = qρk .
Vậy, ta đã chứng minh được tồn tại ρ > 0 sao cho (2.5) được thỏa mãn. Tiếp
tục quá trình chứng minh ta cần chỉ ra
∃ρ > ρ : qρ = θ .

(2.8)

Vì qρ = min f (x) : x ∈ ∆ρ nên từ (2.8) suy ra định lý đã chứng minh.
Chứng minh khẳng định (2.8).
Giả sử trái lại
qρ > θ

∀ρ

ρ.

(2.9)

ρ và qρ → θ khi ρ → +∞. Từ (2.9) suy
ra tồn tại ρi ∈ (ρ, +∞) (i = 1, 2) sao cho ρ1 < ρ2 và qρ1 > qρ2 . Vì ρ2 > ρ
Chú ý rằng, qρ

qρ với mọi ρ

nên từ kết quả (2.5) ta có: yρ2 − x0 < ρ2 .
Ta có: qρ1 > qρ2 nên ρ1 < yρ2 − x0 (Thật vậy, nếu ρ1

yρ2 − x0 thì

yρ2 ∈ ∆ρ1 và f (yρ2 ) = qρ2 < qρ1 = f (yρ1 ), điều này mâu thuẫn với cách
chọn yρ1 ). Đặt ρ3 = yρ2 − x0 ta có, ρ1 < ρ3 < ρ2 . Vì ρ3 < ρ và ρ2 > ρ
nên từ khẳng định (2.5) ta có:
yρ3 − x0 < ρ3 = yρ2 − x0 < ρ2 .
Vì ρ2 > ρ3 nên qρ3 = f (yρ3 )

(2.10)

f (yρ2 ) = qρ2 .

Nếu f (yρ3 ) = f (yρ2 ) thì từ (2.10) suy ra yρ3 vectơ chấp nhận được của bài