Tính chất nghiệm của phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN VIỆT HƯNG

TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ
KHÔNG ÔTÔNÔM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN VIỆT HƯNG

TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ
KHÔNG ÔTÔNÔM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS. TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY

THÁI NGUYÊN - 2017


iii

Mục lục
Bảng ký hiệu
Lời mở đầu
1 Lý thuyết nửa nhóm toán tử
1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất cận tăng . . .
1.2 Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm . . . . . . .

iv
1
4
4
13

2 Sự tồn tại và ổn định của nghiệm phương trình trung
tính với quá khứ không ôtônôm
16
2.1 Phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm . . . 16
2.2 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân và toán tử trễ 18
3 Nhị phân mũ
3.1 Phổ và tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm . . . . .
3.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

24
31

Kết luận

33

Tài liệu tham khảo

34


iv

Bảng ký hiệu
N

: tập các số tự nhiên.

R

: tập các số thực.

R+

: tập các số thực không âm.

L1,loc (R)

:= {u : R → R|u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R},

với ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.

X
C

: không gian Banach.
:= C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0],
r>0, nhận giá trị trong X với chuẩn u

C

= sup

u(t) .

t∈[−r,0]

C0 (R− , X) := {f : R− → X : f liên tục và lim f (t) = 0} không gian
t→−∞

hàm với chuẩn sup.


1

Lời mở đầu
Vào đầu thế kỉ 20 phương trình trung tính được xem như một trường
hợp đặc biệt của phương trình vi phân sai phân.
Ví dụ :
u (t) − u (t − 1) + u(t) = 0,

√
u (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0,
u (t) − 2u(t) + u (t − 1) − 2u(t − 1) = 0,
(xem [3, 4, 5, 23, 36]), hoặc dưới dạng tổng quát của phương trình vi
phân cấp n và sai phân cấp m :
F t, u(t), u(t − r1 ), ..., u(t − rm ), u (t), u (t − r1 ), ..., u (t − rm ), ...
..., u(n) (t), u(n) (t − r1 ), ..., u(n) (t − rm ) = 0
với F là hàm của (m + 1)(n + 1) biến.
Để hiểu được nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phương
trình vi phân cấp 1 và sai phân cấp 1
a0 u (t) + a1 u (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > 0 cố định .
(1)
Nếu a0 = a1 = 0, thì phương trình này gọi là phương trình sai phân. Nó
không chứa bất kỳ vi phân nào.
Nếu a0 = 0, a1 = 0, thì phương trình trên gọi là phương trình vi phân
sai phân "lùi" hay đơn giản là phương trình vi phân có trễ, vì nó mô tả
sự phụ thuộc vào hệ trang thái của nó trong quá khứ.
Nếu a0 = 0, a1 = 0, thì phương trình trên gọi là phương trình vi phân
sai phân "tiến" hay phương trình vi phân "tiến", vì nó mô tả sự phụ
thuộc vào hệ trạng thái của nó trong tương lai.


2

Cuối cùng nếu a0 = 0, a1 = 0, thì loại phương trình vi phân sai phân
này gọi là hỗn tạp, vừa "lùi" vừa "tiến". Vì vậy trong trường hợp này
phương trình trên gọi là phương trình vi phân trung tính. Ta tham khảo
Bellman and Cooke [3, Chương. 2] cho cả lịch sử của bài toán.
Gần đây Wu and Xia [41] đã chỉ ra rằng hệ tương ứng của phương
trình có nhị phân mũ là tương đương với hệ phương trình trung tính

∂2
∂
F ut = a 2 F ut + Φut
∂t
∂x

(2)

được gọi là phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương trình
trung tính. Ở đây hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ 0 và không gian
Banach X của hàm trên đường tròn đơn vị S 1 , tức là : X = H 1 (S 1 )
hoặc X = C(S 1 ), hàm lịch sử ut được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ)
với θ ∈ [−r, 0] và t ≥ 0. Cuối cùng F và Φ được gọi là toán tử sai phân
và toán tử trễ là tuyến tính và bị chặn từ C([−r, 0], X) → X. Có một
phương pháp để giải quyết bài toán trên do Hale [21, 22], ông đã chỉ ra
sự tồn tại và duy nhất và các tính chất của toán tử nghiệm.
Trong luận văn này chúng tôi đã đưa ra một phương pháp tiếp cận
nửa nhóm tuyến tính của phương trình (NPDE). Sau đó chúng tôi đã
chỉ ra phương trình (NPDE) là đặt chỉnh và nghiệm của nó là ổn định
mũ bằng phương pháp nửa nhóm. Để thực hiện điều đó chúng ta xây
dựng phương trình (NPDE) mà ta sẽ nghiên cứu trong luận văn.
∂
F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0,
∂t
∂
∂
u(t, s) =
u(t, s) + a(s)Au(t, s), t ≥ 0 ≥ s,
∂t
∂s

(3)
(4)

trong đó hàm u(·, ·) lấy giá trị trong không gian Banach X, A là toán
tử tuyến tính (không bị chặn) trên X sinh ra nửa nhóm (T (t))t≥0 , hàm
a(·) ∈ L1,loc (R+ ) thỏa mãn điều kiện γ1 ≥ a(t) ≥ γ0 > 0 hầu khắp
t ≥ 0. Đặt A(s) := −a(s)A. Dựa trên các điều kiện thích hợp của toán
tử sai phân F và toán tử trễ Φ ta có thể chứng minh nửa nhóm nghiệm
của phương trình này có nhị phân mũ với điều kiện là họ tiến hóa lùi
s
U = (U (t, s))t≤s≤0 = T ( t a(τ )dτ ) sinh bởi A(s) ổn định mũ đều và
toán tử B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 trên X. Hơn nữa,
với các điều kiện tính dương của (etB )t≥0 , U, F và Φ ta đi chứng minh


3

nửa nhóm nghiệm nói trên là dương và chỉ ra điều kiện đủ để nửa nhóm
nghiệm ổn định mũ.
Luận văn được chia làm 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm toán tử,
các định nghĩa và tính chất của nửa nhóm.
Chương 2: Trình bày về sự tồn tại nửa nhóm trung tính, cùng với
điều kiện ổn định mũ đều của họ tiến hóa lùi ta xây dựng nửa nhóm
liên tục mạnh trên E = C0 (R− , X) thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida.
Chương 3: Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm trung tính
với quá khứ không ôtônôm, khi nửa nhóm (etB )t≥0 có nhị phân mũ. Để
chứng minh tính nhị phân mũ của nửa nhóm có nhiễu ta phải chỉ ra

tính nhị phân mũ của nửa nhóm không có nhiễu (TB,0 (t))t≥0 , dựa vào
nửa nhóm lũy linh, sự ổn định đều của họ tiến hóa và các tính chất, kết
quả của phổ toán tử.
Tác giả muốn gửi lời cảm ơn và biết ơn chân thành của mình tới tất
cả những người đã hỗ trợ, giúp đỡ tác giả về chuyên môn, vật chất và
tinh thần trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin chân thành
cảm ơn PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy trường Đại học Bách khoa Hà
Nội, người đã hướng dẫn, nhận xét và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong
suốt quá trình thực hiện luận văn. Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô
giáo của trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, những người
đã tham gia trực tiếp trong quá trình giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y
khóa 2015 – 2017, các phòng ban chức năng, khoa Toán Tin và trường
Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cám ơn đến tập
thể lớp K9Y, gia đình bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tác
giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Việt Hưng


4

Chương 1

Lý thuyết nửa nhóm toán tử
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về nửa nhóm và một số
kết quả cần thiết cho chương 2 và chương 3.

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất cận tăng

Định nghĩa 1.1.1 Họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X), X là không gian Banach gọi
là nửa nhóm liên tục mạnh nếu:
(i) T (t + s) = T (t).T (s), ∀t, s ≥ 0.
(ii) T (0) = I toán tử đồng nhất.
(iii) lim+ T (t)x = T (t0 )x, ∀x ∈ X, ∀t0 ≥ 0.
t→t0

Chú ý 1.1.2
(i) Nếu (T (t))t≥0 ⊂ L(X) thỏa mãn các điều kiện với mọi t, s ∈ R ta
có một nhóm liên tục mạnh.
(ii) Trong trường hợp nửa nhóm tại t0 = 0 xét giới hạn bên phải.
Ví dụ 1.1.3 X là không gian Banach, A ∈ L(X). Khi đó T (t) = etA
(t ≥ 0) là nửa nhóm liên tục mạnh.
Chứng minh. Ta có T (t) = etA :=

∞
n=0

(tA)n
n! , t

≥ 0, vì

||tA)n ||
tn ||A||n
tn+1 ||A||n+1 tn ||A||n

t||A||
≤
và lim
:
= lim
= 0 < 1.
n→∞ (n + 1)!
n→∞ n + 1
n!
n!
n!


5

∞

Suy ra chuỗi
∞

Nên
n=0

n=0
(tA)n
n!

||(tA)n ||
n!

hội tụ theo Dalambert.

hội tụ trong L(X) (do hội tụ tuyệt đối −→ hội tụ trong

L(X)).
Ta có T (0) = I (quy ước 00 = I).
Xét
∞
∞ n n
sn An
t A
)(
)=
T (t)T (s) = (
n!
n!
n=0
n=0

∞

C n An
n=0

trong đó
Cn

tn s0
tn−1 s1
t0 s n

=
+
+ ... +
n! 0! (n − 1)! 1!
0! n!
1
=
n!
=
∞

Do đó T (t)T (s) =
n=0
∞

Ta có: T (t) − I =
n=1

n

k=0

n!
tk sn−k
k!(n − k)!

1
(t + s)n .
n!

((t+s)A)n
n!
(tA)n
n!

= T (t + s) nên T (t) = etA là nửa nhóm.
∞

⇒ ||T (t) − I|| ≤
n=1

tn ||An ||
n!

= et||A|| − 1 −→ 0

khi t → 0+
suy ra lim+ ||T (t) − I|| = 0 nên (T (t))t≥0 liên tục đều nên nó liên tục
t→0

mạnh
Bổ đề 1.1.4 X là không gian Banach, F : Kcompact ⊂ R → L(X)
.Các mệnh đề sau tương đương:
(i) F liên tục đối với tô pô toán tử mạnh tức là K
liên tục ∀x ∈ X.

t → F (t)x ∈ X

(ii) F bị chặn đều trên K tức là: ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K và các ánh xạ
K t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X liên tục ∀x ∈ D, D trù mật

trong X.
(iii) F liên tục với tô pô hội tụ trên các tập com pact của X, tức là ánh
xạ KxC
(t, x) → F (t)x ∈ X liên tục đều với mọi tập compact
C ⊂ X.


6

Chứng minh. (iii) ⇒ (ii) tầm thường.
(i) ⇒ (ii) Vì ánh xạ t → F (t)x liên tục trên K compact nên với x cố
định, x ∈ X, nó bị chặn ∀x ∈ X
{F (t)x : t ∈ K} bị chặn theo Banach - steihau ta có: ||F (t)||, t ∈ K bị
chặn trên R : ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K.
(ii) ⇒ (iii) Giả sử ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K, ε > 0 cố định, C compact suy
ra ∃x1 , ..., xn ∈ D sao cho: C ⊂ ∪ni=1 (xi + Mε U ), với U = B(0, 1) ⊂ X là
hình cầu đơn vị trong X chọn δ > 0 sao cho ||F (t)xi − F (s)xi || < ε, (i =
1, .....n) và ∀t, s ∈ K : |t − s| < δ
x, y ∈ C; t, s ∈ K thỏa mãn ||x − y|| < Mε , |t − s| < δ
chọn i ∈ {1, ..., n} sao cho ||x − xi || < Mε ta có:
||F (t)x−F (s)y|| ≤ ||F (t)(x−xi )||+||(F (t)−F (s))xi ||+||F (s)(xi −x)||+
+ ||F (s)(x − y)|| < 4ε
nên ánh xạ (t, x) → F (t)x liên tục đều đối với t ∈ K, x ∈ C.
Mệnh đề 1.1.5 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach. Khi
đó các mệnh đề sau tương đương:
(a) (T (t))t≥0 là liên tục mạnh.
(b) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ X.
t→0

(c)∃δ > 0, M ≥ 1 và D ⊂ X , D trù mật trong X sao cho

(i) ||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ],
(ii) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ D.
t→0

Chứng minh. (a) ⇒ (c.ii) tầm thường.
(a) ⇒ (c.i) với δ > 0 bất kỳ x cố định x ∈ X ánh xạ t → T (t)x liên tục
trên [0, δ] suy ra { T (t)x , t ∈ [0, δ]} bị chặn ∀x ∈ X theo nguyên lý bị
chặn đều (Banach- Steihau), nên ||T (t)x|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], M ≥ 1 (do
T (0) = I = 1).
(c) ⇒ (b), giả sử {tn }n ⊂ [0, ∞), tn → 0 khi n → ∞. Đặt K = {tn , n ∈
N } ∪ {0}, Kcompact ⊂ R và T (.) K bị chặn (||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K)
và T (.) K x liên tục ∀x ∈ D, D trù mật trong X. Theo bổ đề 1 ta có
lim T (tn )x = x, ∀x ∈ X. Vì {tn }n ⊂ [0, +∞), tn → 0.

n→∞


7

(b) ⇒ (a), giả sử t0 > 0 và x ∈ X. Khi đó
lim T (t0 + h)x − T (t0 )x ≤ T (t0 ) lim T (h)x − x = 0.

h→0+

h→0

Do đó lim+ T (t0 + h)x = T (t0 )x, nên T (t)x liên tục bên phải tại t = t0 .
h→0

Nếu h < 0 ta có

T (t0 + h)x − T (t0 )x ≤ T (t0 + h)

x − T (−h)x

nên T (t)x liên tục bên trái tại t = t0 .
Từ giả thiết lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ X nên tồn tại M > 1, δ > 0 sao cho
t→0

với mọi t ∈ [0, δ] ta có ||T (t)|| ≤ M . (Vì nếu không ∀n = n1 , tồn tại tn ∈
[0; n1 ] sao cho T (tn ) ≥ n. Khi đó tn → ∞ thì T (tn ) → +∞, (n →
+∞)). Theo Banach-Steihau tồn tại x ∈ X sao cho { T (tn )x , n ∈ N }
không bị chặn, điều này mâu thuẫn với lim T (tn )x = x.
n→∞

Đặt n = tδ0 ta có n ≤ tδ0 < n + 1 suy ra nδ ≤ t0 < (n + 1)δ,
t
< δ suy ra T (t) =
∀t ∈ [0, t0 ], do t ≤ t0 < (n + 1)δ nên n+1
t
t
T (n + 1). n+1
≤ T ( n+1
) n+1 ≤ M n+1 . Do đó T (t0 + h)x − T (t0 )x ≤
M n+1 x − T (−h) → 0, với t0 + h ∈ [0; t0 ], (h < 0) suy ra T (t0 + h) ≤
M n+1 (h → 0) nên lim− T (t0 + h)x = T (t0 )x. Vậy lim T (t0 + h)x = T (t0 )
h→0

h→0

⇒ (a).

Mệnh đề 1.1.6 Mọi nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , tồn tại hằng
số ω ∈ R và M ≥ 1 sao cho
||T (t)|| ≤ M eωt
Chứng minh. Chọn M ≥ 1 sao cho ||T (s)|| ≤ M, ∀0 ≤ s ≤ 1 và t ≥ 0 ta
viết t = s + n với n ∈ N, 0 ≤ s < 1. Khi đó
T (t) ≤ T (s)

T (1)

n

≤ M n+1 = M enlnM ≤ M eωt .

ω := lnM với mỗi t ≥ 0.
Bổ đề 1.1.7 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh và x ∈ X. Ánh
xạ qũy đạo ξx : t → T (t)x ∈ X. Khi đó các tính chất sau tương đương
(a) ξx (.) khả vi trên R+ .
(b) ξx (.) khả vi bên phải tại t = 0.


8

Định nghĩa 1.1.8 Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định bởi
1
Ax := ξx. (0) = lim (T (h)x − x)
h→0 h
trên miền xác định D(A) = {x ∈ X : lim h1 (T (h)x − x) tồn tại } đươc
h→0

gọi là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không

gian Banach X.
Định lí 1.1.9 Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 ta có:
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính.
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A)
và dtd T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0.
(iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có

t
0 T (s)xds

∈ D(A).

(iv) ∀t ≥ 0 ta có:
t

T (t)x − x = A

T (s)xds nếu x ∈ X
0
t

T (s)Axds nếu x ∈ D(A).

=
0

Chứng minh. (i) Hiển nhiên do T (t) là toán tử tuyến tính và tính chất
của giới hạn Ax = lim T (h)x−x
.

h
h→0

(ii) Lấy x ∈ D(A) từ định nghĩa của A
1
T (h)x − x
lim+ (T (t + h)x − T (t)x) = T (t) lim+
= T (t)Ax
h→0 h
h→0
h
1
⇒ lim+ (T (h)T (t)x − T (t)x) tồn tại.
h→0 h
Do vậy T (t)x ∈ D(A) và AT (t)x = T (t)Ax.


9

(iii) x ∈ X, t ≥ 0 ta có :

=
=
=
=
=
=

t
t

1
[T (h)
T (s)xds −
T (s)xds]
h
0
0
1 t
1 t
T (h + s)xds −
T (s)xds
h 0
h 0
1 t
1 t+h
T (s)xds −
T (s)xds
h h
h 0
1 t+h
1 h
1 t
1 t
T (s)xds +
T (s)xds −
T (s)xds −
T (s)xds
h h
h t
h 0

h h
1 t+h
1 h
T (s)xds −
T (s)xds
h t
h 0
1 h
1 h
T (t + s)xds −
T (s)xds
h 0
h 0
1 h
1 h
T (t)
T (s)xds −
T (s)xds −→ T (t)x − x khi h → 0.
h 0
h 0
t

Vậy 0 T (s)xds ∈ D(A).
(iv) Nếu x ∈ D(A), thì hàm s → T (s) T (h)x−x
hội tụ đều trên [0, t]
h
đến hàm s → T (s)Ax khi h → 0 do ||T (s)|| ≤ M, ∀s ∈ [0, t]. Vì vậy,
1
lim+ (T (h) − I)
h→0 h

t
0

t

T (s)xds = lim+
h→0
t

=

0

1
T (s) (T (h) − I)xds
h

T (s)Axds.
0

Do đó T (t)x − x =

t
0 T (s)Axds, ∀x

∈ D(A).

Định lí 1.1.10 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử
đóng với miền xác định trù mật và xác định nửa nhóm một cách duy

nhất.
Chứng minh. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X. Toán
tử sinh A là toán tử tuyến tính. Ta chứng minh A là toán tử đóng.
Giả sử {xn }n ⊂ D(A), xn → x, Axn → y ta cần chứng minh x ∈ D(A)
và Ax = y. Thật vậy, theo (iv) của định lí (1.2.7) ta có:
t

T (t)xn − xn =

T (s)Axn ds, t > 0.
0


10

Do T (.)Axn hội tụ đều trên [0, t], (||T (s)|| ≤ M, ∀s ∈ [0, t]) cho n → ∞
t

⇒ T (t)x − x =

T (s)yds
0

⇒

1
1
(T (t)x − x) =
t
t

t

T (s)yds.
0

Theo (iii) của định lí (1.2.7) ta có
1 t
1 t
t 0 T (s)xds ∈ D(A) nên lim+ t 0 T (s)xds = x, ∀x ∈ X.
t→0

Vậy D(A) trù mật trong X.
Định nghĩa 1.1.11 (A,D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach
X. Tập các giá trị chính quy của A: ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) là song
ánh }.
Khi đó R(λ, A) := (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A) gọi là giải thức của A.
Định lí 1.1.12 Cho(T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không
gian Banach X, và lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho T (t) ≤
M eωt , ∀t ≥ 0. Khi đó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0
ta có các tính chất sau:
(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=
λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).

∞ −λs
T (t)xds
0 e

tồn tại, ∀x ∈ X thì

(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
(iii) ||R(λ, A)|| ≤

M
Reλ−ω , ∀Reλ

> ω.

+∞

Công thức R(λ, A)x = 0 e−λs T (s)xds gọi là biểu diễn tích của giải
thức.
Tích phân ở đây là tích phân Rieman suy rộng
+∞

t

e−λs T (s)xds = lim
0

t→+∞

e−λs T (s)xds.
0

Chứng minh. Bằng cách thay nửa nhóm đã cho bằng nửa nhóm điều


11

chỉnh có thể giả thiết λ = 0. Khi đó, x ∈ X tùy ý và h > 0 ta có:
T (h) − I
T (h) − I ∞
R(0)x =
T (s)xds
h
h
0
1 ∞
1 ∞
T (s + h)xds −
T (s)xds
=
h 0
h 0
1 ∞
1 ∞
=
T (s)xds −
T (s)xds
h h
h 0
1 h
= −
T (s)xds.
h 0
Cho h → 0+ , vế phải → −x, do R(0)x ∈ D(A) nên AR(0)x = −x
suy ra AR(0) = −I.
t
Với x ∈ D(A) ta có: lim 0 T (s)xds = R(0)x

và lim A
t→+∞

t→+∞
t
t
lim 0 T (s)Axds
0 T (s)xds = t→+∞

= R(0)Ax, R(0)x ∈ D(A)

Do A là toán tử đóng nên R(0)Ax = AR(0)x = −x.
Vì vậy R(0) = (−A)−1 .
(ii) và (iii) được suy ra từ (i) với ước lượng:
t

t

e−λs T (s)ds ≤
0

t

|e−λs | T (s) ds ≤ M
0

|e−λs |eωs ds
0
t

e(ω−Reλ)s ds.

= M
0

Vì Reλ > ω nên
t → ∞.

t (ω−Reλ)s
ds
0 e

=

1
(ω−Reλ)t
ω−Reλ (e

− 1) →

1
ω−Reλ

khi

Hệ quả 1.1.13 Toán tử sinh (A,D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 thỏa mãn T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0, với Reλ > ω, n ∈ N ta có:
(−1)n−1 dn−1
R(λ, A)x
(n − 1)! dλn−1

∞
1
=
sn−1 e−λs T (s)ds, ∀x ∈ X
(n − 1)! 0

R(λ, A)n x =

(1.1)
(1.2)

Ta cũng có :
R(λ, A)n ≤

M
, ∀n ∈ N, Reλ > ω.
(Reλ − ω)n

(1.3)


12

Chứng minh. (1.1 ) và (1.2) tương đương
dn−1
R(λ, A)x = (−1)n−1 (n − 1)!R(λ, A)n x
n−1
dλ
∞

sn−1 e−λs T (s)ds.

n−1

= (−1)

0

Với λ, µ ∈ ρ(A) ta có: (λI − A)R(λ, A) = I
⇒ [λR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A),
tương tự:
[µR(µ, A) − AR(µ, A)]R(λ, A) = R(λ, A)
lại có (λI − A)R(λ, A) = R(λ, A)(λI − A) = I ⇒ AR(λ, A) = R(λ, A)A.
Nên R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A) gọi là phương trình
giải thức Hilbert, nên R(λ, A)R(µ, A) giao hoán.
Với λ = µ ta có:
R(λ, A) − R(µ, A)
= −R(λ, A)R(µ, A)
λ−µ
d
cho µ → λ ⇒ dλ
R(λ, A) = −R(λ, A)2 nên ( 1.1) đúng với n = 2.
+∞ −λs
+∞
d
d
Do dλ
R(λ, A)x = dλ
e T (s)xds = − 0 se−λs T (s)xds
0

do vậy ( 1.2) đúng với n = 2.
Trường hợp tổng quát ta suy ra bằng quy nạp,
Giả sử (1.1) đúng với n ta chứng minh (1.1) đúng với n + 1

dn
d
n−1
R(λ,
A)x
=
(−1)
(n
−
1)!
R(λ, A)n
n
dλ
dλ
= (−1)n−1 (n − 1)!nR(λ, A)n−1
= (−1)n n!R(λ, A)n+1 x (do

d
R(λ, A)x
dλ

d
R(λ, A) = −R(λ, A)2 )
dλ

suy ra ( 1.1) đúng với n + 1.

dn
d
R(λ, A)x = (−1)n−1
n
dλ
dλ

+∞

sn−1 e−λs T (s)xds
0

+∞

sn e−λs T (s)xds ⇒ ( 1.2) đúng với n + 1.

= (−1)n
0


13
∞
1
sn−1 e−λs T (s)ds||
||R(λ, A) x|| =
||
(n − 1)! 0
∞
M
≤

sn−1 e(ω−Reλ)s ds||x||
(n − 1)! 0
(tích phân từng phần n-1 lần)
M
=
||x||
(Reλ − ω)n
n

nên ( 1.3) được chứng minh.

1.2

Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ và
nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh và đặc trưng phổ cho tính ổn
định và nhị phân của nửa nhóm đó. Trước hết, ta nhắc lại khái niệm ổn
định mũ đều như sau.
Định nghĩa 1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh
(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại > 0 sao cho
lim e t T (t) = 0.

t→∞

Sau đây, ta đưa ra các khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm như sau:
Định nghĩa 1.2.2 Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được
gọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng
trực tiếp X = Xs ⊕ Xu , các không gian con đóng Xs , Xu bất biến đối
với (T (t))t≥0 sao cho hạn chế của (Ts (t))t≥0 trên Xs , và (Tu (t))t≥0 trên

Xu thỏa mãn các điều kiện:
1. Nửa nhóm (Ts (t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs ;
2. Nửa nhóm (Tu (t))t≥0 có nghịch đảo và (Tu (−t))t≥0 ổn định mũ đều
trên Xu .
Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân
mũ của nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và
cận tăng của nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây.


14

Định nghĩa 1.2.3 Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng trên không
gian Banach X. Khi đó
s(A) := sup{Reλ : λ ∈ σ(A)}
được gọi là cận phổ của A.
Định nghĩa 1.2.4 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 với toán
tử sinh (A, D(A)). Khi đó
ω0 := ω0 (T ) := ω0 (A) := inf ω ∈ R : ∃M > 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0
được gọi là cận tăng của T .
Nhận xét: Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0 (A) < 0.
Tuy nhiên, ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán tử
sinh vì trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán
tử sinh có thể xác định cụ thể. Để làm điều đó ta cần đến khái niệm
"Định lý Ánh Xạ Phổ (Spectral Mapping Theorem - SMT)" sau đây.
Định lí 1.2.5 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A))
được gọi là thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ (SMT) nếu:
(SMT)

σ(T (t))\{0} = etσ(A) với t ≥ 0.

(1.4)

Ta lưu ý rằng, trong trường hợp tổng quát điều kiện s(A) < 0 không
kéo theo tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh
bởi A (chẳng hạn xem [32, Ví dụ 1.2.4]). Tuy nhiên, nếu (T (t))t≥0 thỏa
mãn Định lý Ánh Xạ Phổ thì ta có đặc trưng sau:
(T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0.
Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây được lấy từ
[12].
Định lí 1.2.6 Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , các mệnh đề
sau là tương đương:
i (T (t))t≥0 có nhị phân mũ;
ii σ(T (t)) ∩ D = ∅ với một/ mọi t > 0, trong đó D là đường tròn đơn
vị.


15

Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ (SMT) và A là
toán tử sinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với
(iii) σ(A) ∩ iR = ∅.
Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh
Xạ Phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa
mãn σ(T (t)) ⊂ D.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0.
Hơn nữa nếu dùng trung bình Cesàro thì ta có đặc trưng sau đây của
tính nhị phân mũ mà không cần dùng đến Định lý Ánh Xạ Phổ.
Định lí 1.2.7 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không
gian Banach X với toán tử sinh A. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương.
(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ.

(ii) iR ⊂ ρ(A) và
(C, 1)
k∈Z

1
R(iω + ik, A)x := lim
N →∞ N

N −1

n

R(iω + ik, A)x
n=0 k=−n

hội tụ với mọi ω ∈ R và x ∈ X.
Chú ý, định lý này được lấy từ [32, Định lý 2.6.2], trong khi chứng minh
chủ yếu do G. Greiner và M. Schwarz [17, Định lý 1.1 và Hệ quả 1.2].
Phiên bản liên tục của định lý trên được chứng minh bởi M. Kaashoek
và S. Verduyn Lunel trong [29, Định lý 4.1].
Định lí 1.2.8 Nửa nhóm liên tục mạch (T (t))t≥0 trên dàn Banach X
được gọi là dương nếu mỗi toán tử T (t) là dương, tức là:
nếu 0 ≤ f ∈ X thì 0 ≤ T (t)f


16

Chương 2

Sự tồn tại và ổn định của nghiệm

phương trình trung tính với quá
khứ không ôtônôm
2.1

Phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm

Xét phương trình trung tính tuyến tính với toán tử sai phân và toán tử
trễ vô hạn có dạng:

 ∂ F u = BF u + Φu với t ≥ 0,
t
t
t
∂t
(2.1)
u0 (t) = ϕ(t) với t ≤ 0,
trong đó u(·) lấy giá trị trong không gian Banach X, B là toán tử tuyến
tính trên X (như là toán tử đạo hàm riêng), các toán tử tuyến tính bị
chặn F và Φ là toán tử sai phân và toán tử trễ (tương ứng) từ C0 (R− , X)
vào X, và hàm lịch sử được xác định như sau
ut (s) := u(t + s),

∀t ≥ 0, s ≤ 0.

Ta biết rằng (xem [21, 22, 41, 40, 1, 33]), trong trường hợp tồn tại nửa
nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 trên C0 (R− , X) sao cho nghiệm của phương
trình (2.1) được cho bởi ut = TB,F,Φ (t)ϕ. Ta xét hàm u : R+ × R− → X
được xác định bởi
u(t, s) = [TB,F,Φ (t)f ](s)

17

khi đó ta có đẳng thức
∂
∂
u(t, s) = u(t, s)
∂t
∂s
được biết như luật cân bằng giữa tốc độ của quá trình tiến hóa trong
quá khứ và trong tương lai [8, trang 39-40]. Tuy nhiên, trong một số
ứng dụng trong mô hình sinh học về di truyền học được đưa ra bởi các
nhà khoa học đoạt giải Nobel là Jacob và Monod [25] (xem Goodwin
[15, 16]), luật cân bằng này có thể không đúng. Brendle và Nagel (xem
[6]) đưa ra một ý tưởng để điều khiển sự không cân bằng. Giả sử rằng
giá trị của hàm lịch sử thay đổi theo luật tiến hóa (xem [13] với công
thức trong không gian Lp ). Do đó, sự thay đổi này dẫn đến hệ phương
trình trung tính tuyến tính với quá khứ không ôtônôm
∂
F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0,
∂t
∂
∂
(u(t, s)) =
(u(t, s)) + a(s)Au(t, s), t ≥ 0 ≥ s,
∂t
∂s
u(0, s) = ϕ(s), s ≤ 0.

(2.2)

(2.3)

Ở đây, hàm u(·, ·) lấy giá trị trong không gian Banach X và B là toán
tử đạo hàm riêng tuyến tính, toán tử sai phân F và toán tử trễ Φ là
các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian C0 (R− , X) vào X, A là
toán tử tuyến tính (không bị chặn) trên X sinh ra nửa nhóm (T (t))t≥0 ,
hàm a(·) ∈ L1,loc (R+ ) thỏa mãn điều kiện γ1 ≥ a(t) ≥ γ0 > 0 hầu khắp
t ≥ 0. Đặt A(s) := −a(s)A, khi đó toán tử −A(s) của bài toán Cauchy
lùi không ôtônôm

 dx(t) = −A(t)x(t), t ≤ s ≤ 0,
dt
(2.4)
x(s) = xs ∈ X,
là đặt chỉnh với cận mũ. Trong trường hợp đặc biệt, tồn tại một họ
tiến hóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t≤s≤0 được xác định bởi U (t, s) =
s
T ( t a(τ )dτ ) sao cho nghiệm của (2.4) cho bởi x(t) = U (t, s)x(s) với
t ≤ s ≤ 0.
Với giả thiết như trong [18, Chương 4] ta giải hệ phương trình (2.2)
và (2.3) bằng cách xây dựng nửa nhóm tiến hóa liên tục mạnh trên
không gian C0 := C0 (R− , X). Nửa nhóm này thu được bằng cách chứng


18

minh rằng toán tử tương ứng (xem Định nghĩa 2.2.8) thỏa mãn điều
kiện Hille-Yosida, ta có thể viết toán tử sai phân như sau F = δ0 − Ψ
với Ψ là “nhỏ" (xem (2.10)). Ta tham khảo [14, 13, 19, 6] về tính đặt
chỉnh của phương trình có trễ (tức là đối với trường hợp Ψ = 0) với quá

khứ không ôtônôm. Trong chương này, với điều kiện nêu trên của toán
tử sai phân F và toán tử trễ Φ là "nhỏ", ta chứng minh rằng nửa nhóm
nghiệm của phương trình này có nhị phân mũ với điều kiện là họ tiến
hóa lùi U = (U (t, s))t≤s≤0 sinh ra bởi −A(s) là ổn định mũ và toán tử
B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ trên X. Hơn nữa, với các điều kiện
tính dương của (etB )t≥0 , Φ, F và U (t, s), t ≤ s ≤ 0, ta chứng minh rằng
nửa nhóm nghiệm nói trên là dương. Áp dụng lí thuyết phổ của nửa
nhóm dương thu được một tiêu chuẩn phổ cho tính ổn định mũ của nửa
nhóm nghiệm đang xét. Kết quả của chúng tôi được chứa trong Định
lý 3.1.6, đã mở rộng các kết quả cho trễ và các phương trình trung tính
(xem [14, 24, 40, 19, 6]).

2.2

Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân và
toán tử trễ

Trong phần này, ta nhắc lại việc xây dựng và các kết quả thu được trong
[18, Chương 4] về tính đặt chỉnh của hệ phương trình (2.2) và (2.3) cũng
như biểu diễn của giải thức của nửa nhóm nghiệm tiến hóa của hệ này.
Chúng ta bắt đầu từ họ tiến hóa U trên R− và mở rộng nó trên R để
xác định nửa nhóm tiến hóa tương ứng trên C0 (R, X). Đối với hầu hết
các khái niệm của các nửa nhóm tiến hóa, chúng ta tham khảo các tài
liệu [7] hoặc [12, Chương VI.9].
Định lí 2.2.1 Một họ các toán tử tuyến tính bị chặn U = (U (t, s))t≤s≤0
trên không gian Banach X được gọi là một họ tiến hóa lùi (liên tục
mạnh, bị chặn) trên R− nếu:
(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với t ≤ r ≤ s ≤ 0.
(ii) Ánh xạ (t, s) → U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,
với (t, s) ∈ ∆ := {(t, s) ∈ R2 : t ≤ s ≤ 0}.

19

(iii) Tồn tại các hằng số H ≥ 1 và ω1 ∈ R sao cho
U (t, s) ≤ Heω1 (s−t) ,

∀t ≤ s ≤ 0.

Hằng số
ω(U) := inf{α ∈ R : ∃H ≥ 1 sao cho U (t, s) ≤ Heα(s−t)

∀t ≤ s ≤ 0}

được gọi là cận tăng của U. Trong trường hợp ω(U) < 0, ta nói rằng họ
tiến hóa U là ổn định mũ đều.
Khái niệm của họ tiến hóa lùi được nảy sinh khi ta xét các phương trình
tiến hóa đặt chỉnh trên nửa đường thẳng âm R− có dạng

 du(t) = −A(t)u(t), t ≤ s ≤ 0,
dt
(2.5)
u(s) = us ∈ X.
Hơn nữa, ta nói rằng bài toán Cauchy lùi (2.5) là đặt chỉnh với cận mũ
nếu tồn tại họ tiến hóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t≤s≤0 , khi đó nghiệm
của (2.5) được cho bởi x(t) = U (t, s)x(s) với t ≤ s ≤ 0. Rõ ràng, đối với
họ tiến hóa lùi trên R− , ta có kết quả tương tự như trong trường hợp
của họ tiến hóa trên R+ . Ta tham khảo [14, 13, 35, 6]) về tính đặt chỉnh
của phương trình (2.5). Nói cách khác, họ toán tử (−A(t))t≤0 sinh ra họ
tiến hóa lùi U. Để sử dụng sau này, ta tóm tắt việc xây dựng các nửa

nhóm tiến hóa dịch chuyển trái và vài kết quả sau. Trước hết, họ tiến
hóa (U (t, s))t≤s≤0 được mở rộng cho họ tiến hóa lùi trên R bởi



U (t, s)
với t ≤ s ≤ 0,


U˜ (t, s) := U (t, 0)
với t ≤ 0 ≤ s,



U (0, 0) = Id với 0 ≤ t ≤ s.
Định nghĩa 2.2.2 Trên C˜0 := C0 (R, X), ta xác định
chuyển trái (T˜(t))t≥0 ứng với (U˜ (t, s))t≤s bởi



U (s, s + t)f˜(s + t)


(T˜(t)f˜)(s) := U˜ (s, s+t)f˜(s+t) = U (s, 0)f˜(s + t)



f˜(s + t)
˜ D(G)).
˜

Ta kí hiệu toán tử sinh của nó là (G;

nửa nhóm dịch

với

s≤s+t≤0

với

s≤0≤s+t

với

0≤s≤s+t


20

˜ D(G))
˜ là một toán
Có thể thấy (xem [19, Bổ đề 2.5]) rằng toán tử (G;
˜ và u˜(s) = 0 với mọi a < s < b,
tử địa phương theo nghĩa, nếu u˜ ∈ D(G)
˜ u](s) = 0 với mọi a < s < b. Khi đó, tính địa phương của G
˜ cho
thì [G˜
phép chúng ta xác định toán tử G trên C0 := C0 (R− , X) như sau.
Định nghĩa 2.2.3 Lấy
˜

D(G) := f˜|R− : f˜ ∈ D(G)
và xác định
˜ f˜](t) với t ≤ 0 và f = f˜|R .
[Gf ](t) := [G
−
Ta có sự mô tả của G sau đây được lấy từ Bổ đề 2.5 ở [19].
Bổ đề 2.2.4 Cho u, f ∈ C0 = C0 (R− , X) và λ ∈ C. Khi đó u ∈ D(G)
và (λ − G)u = f nếu và chỉ nếu u và f thỏa mãn
s

u(t) = eλ(t−s) U (t, s)u(s)+

eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ

với t ≤ s ≤ 0. (2.6)

t

Ta lưu ý rằng toán tử G được dùng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
của họ tiến hóa trên nửa đường thẳng (xem [19, 20, 30]). Toán tử G trở
thành toán tử sinh của nửa nhóm nào đó nếu ta hạn chế nó để miền xác
định nhỏ hơn, chẳng hạn D := {u ∈ D(G) : [Gu](0) = 0} (xem [20]).
Tuy nhiên, với ứng dụng sau này ta xét trường hợp tổng quát và đưa ra
giả thiết sau.
Giả thiết 2.2.5 Trên không gian Banach X và C0 := C0 (R− , X) ta xét
các toán tử sau đây:
(i) (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (etB )t≥0 trên
X thỏa mãn etB ≤ M eω2 t với các hằng số M ≥ 1 và ω2 ∈ R.
(ii) Toán tử sai phân F : C0 → X và toán tử trễ Φ : C0 → X là tuyến
tính và bị chặn.

Định nghĩa 2.2.6 Trên không gian C0 ta xác định nửa nhóm tiến hóa
dịch chuyển trái (TB,0 (t))t≥0 cho bởi

U (s, s + t)f (s + t), s + t ≤ 0,
[TB,0 (t)f ](s) =
U (s, 0)e(t+s)B f (0), s + t ≥ 0,


21

với mọi f ∈ C0 .
Dễ dàng thấy rằng (TB,0 (t))t≥0 là liên tục mạnh. Ta kí hiệu toán tử sinh
của nó là GB,0 . Ta có các tính chất của GB,0 và (TB,0 (t))t≥0 được lấy từ
[19, Mệnh đề 2.8].
Mệnh đề 2.2.7 Các khẳng định sau thỏa mãn
(i) Toán tử sinh của (TB,0 (t))t≥0 được cho bởi
D(GB,0 ) := {f ∈ D(G) : f (0) ∈ D(B) và (G(f ))(0) = Bf (0)},
GB,0 f := Gf với f ∈ D(GB,0 ).
(ii) Tập {λ ∈ ρ(B) : Reλ > ω(U)} ⊂ ρ(GB,0 ). Hơn nữa, với λ thuộc tập
này, giải thức R(λ, GB,0 ) được cho bởi
0
λt

eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ

[R(λ, GB,0 )f ](t) = e U (t, 0)R(λ, B)f (0) +
t

với f ∈ C0 , t ≤ 0.
(2.7)

(iii) Nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 thỏa mãn
TB,0 (t) ≤ Keωt , t ≥ 0,

(2.8)

với các hằng số K = M H và ω := max{ω1 , ω2 }, ở đó các hằng số
M, H, ω1 , ω2 xuất hiện trong Định nghĩa 2.2.1 và Giả thiết 2.2.5.
Sau đây, ta sử dụng toán tử sai phân và toán tử trễ tương ứng F, Φ ∈
L(C0 , X) để xác định hạn chế của toán tử G từ Định nghĩa 2.2.2.
Định nghĩa 2.2.8 Toán tử GB,F,Φ được xác định bởi
GB,F,Φ f := Gf trên miền xác định
D(GB,F,Φ ) := {f ∈ D(G) : F f ∈ D(B) và F (Gf ) = BF f + Φf(2.9)
}.
Ta viết F dưới dạng
F ϕ := ϕ(0) − Ψϕ,

ϕ ∈ C0 ,

(2.10)