Nguyên hàm Tích phân – Số phức

Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
NGUYÊN HÀM

f ( x ) = 2x + 1
Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
1

∫ f ( x ) dx = ( 2x + 1) + C
2

A.

1

C.

∫ f ( x ) dx = 2 ( 2x + 1)

2

B.

+C

D.

∫ f ( x ) dx = 4 ( 2x + 1)

2

+C

∫ f ( x ) dx = 2 ( 2x + 1)

2

+C

f ( x ) = ln 4x
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số
x

A.
C.

x

∫ f ( x ) dx = 4 ( ln 4x − 1) + C

B.

∫ f ( x ) dx = x ( ln 4x − 1) + C

D.

∫ f ( x ) dx = 2 ( ln 4x − 1) + C
∫ f ( x ) dx = 2x ( ln 4x − 1) + C

1

f ( x ) = ( 2x − 1) e x

Câu 3: Một nguyên hàm của

A.

xe

là:

(x

1
x

2

− 1) e

1
x

B.

C.

1

1

x 2e x

ex

D.

f ( x ) = cos ( 2x + 3 )
Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

A.

C.

1

∫ f ( x ) dx = − sin ( 2x + 3) + C

B.

∫ f ( x ) dx = − 2 sin ( 2x + 3) + C
1

∫ f ( x ) dx = sin ( 2x + 3) + C

D.

∫ f ( x ) dx = 2 sin ( 2x + 3) + C

y = x.e2x
Câu 5: Nguyên hàm của hàm số

A.

1 2x
e ( x − 2) + C
2

B.

là:

1 2x 
1
e  x − ÷+ C
2
2


2e

2x

( x − 2) + C

C.

D.

1

2e 2x  x − ÷+ C

2


f ( x ) = 3 x + 1 ( x > −1)
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số

∫ f ( x ) dx =
A.

4
3
x
+
1
(
)3 +C
4

∫ f ( x ) dx =
B.

4
4
x
+
1
(
)3 +C
3

Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
2

C.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( x + 1)

2
3

3

+C

D.
f ( x) =

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:
1

A.
C.

∫ f ( x ) dx = 2 ln x
∫ f ( x ) dx = 2 ln x

2

2

A.

C.

D.

2x + 3
dx
2
− x −1

∫ 2x

A.

(

dx
2x − 1 + 4

)

(

2x − 1 + 2 + C
D.
y = f ( x) =

Câu 10: Nguyên hàm của hàm số

e 2x
ex + 1

+ 4x − 5 ) + C

là:

2x − 1 + 4 ln

(

2x − 1 + 4 + C

2x − 1 − 4 ln

(

2x − 1 + 4 + C

B.

)

2

1
5
= − ln 2x + 1 + ln x − 1 + C
3

3

2x − 1 + 4 + C

2x − 1 − 4 ln
C.

∫ f ( x ) dx = ln ( x

+ 4x − 5 + C

2
5
= − ln 2x + 1 − ln x − 1 + C
3
3

D.

Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số

2

là:

B.

I=∫

4 ln

∫ f ( x ) dx = ln x

+ 4x − 5 + C

2
5
= − ln 2x + 1 + ln x − 1 + C
3
3

)

là:
I = e x + 1 − ln ( e x + 1) + C

I = x + ln x + C
A.

B.
I = e x + ln ( e x + 1) + C

I = x − ln x + C
C.

D.
y=

Câu 11: Họ các nguyên hàm của hàm số

+C

x+2
x + 4x − 5

B.

2
2
= − ln 2x + 1 − ln x − 1 + C
3
3

2
3

2

+ 4x − 5 + C

Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số

∫ f ( x ) dx = − 2 ( x + 1)

x −1
x2

là:

)

Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
1
+C
x

ln x −

A.

ln x +

B.
x 2 + 2x + 3

Câu 12: Nếu

A.
F( x) =

C.

ex +

C.

1
+C
x

ln x +

D.

1
+C
x

( x + 1) dx

F( x ) = ∫
F( x) =

1
+C
x

thì

1
ln ( x 2 + 2x + 3) + C
2

F ( x ) = x 2 + 2x + 3 + C
B.
F ( x ) = ln

1
x 2 + 2x + 3 + C

2

D.

x +1
x 2 + 2x + 3

+C

f ( x ) = cos ( 5x − 2 )
Câu 13: Nguyên hàm của hàm số

A.

C.

là:

1
F ( x ) = sin ( 5x − 2 ) + C
5

F ( x ) = 5sin ( 5x − 2 ) + C
B.

1
F ( x ) = − sin ( 5x − 2 ) + C
5

F ( x ) = −5sin ( 5x − 2 ) + C

D.

Câu 14: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A.

∫ 0dx = C

1

(C là hằng số).

x α+1
∫ x dx = α + 1 + C

∫ x dx = ln x + C

B.

α

C.

(C là hằng số).

f ( x) =
Câu 15: Cho hàm số

∫ f ( x ) dx =
A.

3
+C
x

A.

2x 3 3
+ +C
3
x

∫ f ( x ) dx =

2x 3 3
+
+C
3
2x

D.

Câu 16: Biết F(x) là nguyên hàm của
3
2

∫ f ( x ) dx =
B.

f (x) =

ln

B.

1
2

(C là hằng số).

. Chọn phương án đúng:

2x 3 3
− +C
3
x

3
∫ f ( x ) dx = 2x −

C.

2x 4 + 3
x2

D.

∫ dx = x + C

(C là hằng số).

1
x −1

và F(2) =1. Khi đó F(3) bằng

C.

ln 2

D. ln2 + 1


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
f ( x ) = e 2x +3

Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số

∫ f ( x ) dx = 2e

A.

C.

2x + 3

là :

+C

B.

2x + 3
∫ f ( x ) dx = e + C

D.

Câu 18. Một nguyên hàm F(x) của hàm số

1

2x + 3

1

2x +3

∫ f ( x ) dx = 3 e

∫ f ( x ) dx = 2 e

3
f(x)=2sin5x+ x+
5

+C

+C

sao cho đồ thị của hai hàm số F(x),

f(x) cắt nhau tại một điểm thuộc Oy là:

A.

C.

2
2
3
- cos5x+ x x+ x-1
5
3
5

B.

2
2
3
- cos5x+ x x+ x+1
5
3
5

D.
1

F (x )
Câu 19: Cho

=

∫ ( x + 1 + sin x)dx

2
2
3
- cos5x+ x x+ x
5
3
5

2
2
3
- cos5x+ x x+ x+2
5
3
5

F (0) = −1
và

, ta có F(x) bằng:

F ( x) = ln x + 1 − cos x − 1

F ( x) = ln(x + 1) − cos x

A.

B.
F ( x) = ln x + 1 − cos x − 3

F ( x) = ln x + 1 − cos x

C.

D.

f ( x) =
Câu 20. Tính nguyên hàm của hàm sau

1
x ln x

1

A.

∫ x ln x dx = ln(ln x) + C
1

C.

1

B.

1

∫ x ln x dx = ln x + C

Câu 21: Họ các nguyên hàm của hàm số

∫ x ln x dx = ln ln x + C
1

D.

1

∫ x ln x dx = − ln x + C

1
f ( x ) = x3 − x2 + 4x − 2
2

là


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức

A.

C.

3
F ( x ) = x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + C

2
3
F ( x ) = x2 − 2x + 4 + C
2

.

B.

.

D.

1
1
F ( x ) = x4 − x3 + 2x2 − 2x + C
8
3
1
1
F ( x ) = x4 − x3 + 2x2 + C
8
3

.

.

y = cos2 x sinx
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số

A.

1
cos3 x + C
3

Câu 23: Giá trị

là

− cos x + C
3

B.

m

C.

1
− cos3 x + C
3

D.

1 3
sin x + C
3

F (x) = mx3 + (3m + 2)x2 − 4x + 3
để hàm số

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3x2 + 10x − 4
là
A.

m= 3

B.

m= 0

C.
y = x2 +

Câu 24. Họ các nguyên hàm của hàm số

A.

C.

x3
4 3
+ 3ln x −
x +C
3
3

Câu 25. Nếu

A.

ln 3 x
4

3
−2 x
x

D.

m= 2

là:

.

x3
4 3
+ 3ln x −
x +C
3
3

∫ f ( x)dx

m=1

B.

.

D.

x3
4 3
+ 3ln x −
x
3
3

.

x3
4 3
− 3ln x −
x +C
3
3

.

= ln4x + C thì f(x) bằng :

;

B.

∫ x dx = f (x)

4 ln 3 x
x

;

C.

1
x ln x

;

D.

4
1+ x2

2

Câu 26: Nếu

và f(0) = 0 thì

f (x) = 2x
A.

B.

F (x) = ∫
Câu 27: Cho

f (x) = −2x
2ln x
dx
x

C.

1
f (x) = x3
3

D.

và F(1) = 1, khẳng định nào sau đây là đúng?

1
f (x) = x2
3


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
F (x) = ln2 x

F (x) = ln2(x + 1)

A.

B.

Câu 28: Nếu

cos2x
2

2 − cos2x

B.

Câu 29: Biết

F (x) = cos x

F (x) = − cos x

F (x) = 1− cos x

;

g(x) = f ′′(x)

B.

D.

1
2 x

Câu 31. Nguyên hàm của hàm số

là:

x.

2
.
x

2 x.

B.

C.
y=e

Câu 32. Nguyên hàm của hàm số
1 2x
e
e2 x
2
A.
B.

∫

g(x) = f ′′′(x)

C.
y=

Câu 33. Biết

D.

là một nguyên hàm của f(x), khi đó
g(x) = f ′(x)

g(x) = f (x)

x
.
2

F (x) = 2 − cos x

C.

F (x) = x3 + 3x2

g(x) = 6x + 6

A.

D.

khi đó

B.

Câu 30: Cho

cos2x

C.

F (x) = ∫ sinxdx; F (0) = 1

A.

D.

và f(0) = 1 thì f(x) bằng

1−

A.

F (x) = 1+ ln2 x

C.

f (x) = ∫ sin2xdx

3− cos2x
2

A.

F (x) = 1+ ln(x2)

D.

2x

là

C.

f ( x)dx = 2 cos x + tan x + C

2 xe 2 x −1

x≠

(C là hằng số,

D.

π
+ kπ
2

,k

∈Ζ

2e 2 x

). Khi đó f(x)

được xác định bởi:
− 2 sin x +

A.

1
cos 2 x

2 sin x −

B.

Câu 34: Nguyên hàm của hàm số

1

A.

∫ f ( x)dx = 3 ( x

2

1
cos 2 x

2 sin x + ln cos x
2.

− 2 sin x + ln cos x

C.

f ( x ) = x x2 − 1

D.

là

2

− 1) x 2 − 1 + C
.

B.

∫ f ( x)dx = 3 ( x

2

− 1) x 2 − 1 + C
.


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức

1

C.

∫ f ( x)dx = − 3

1

x2 − 1 + C
.

D.
y=

Câu 35: F(x) là một nguyên hàm của

A.

1 1
+ +3
x x2

B.

x−2
x3

∫ f ( x)dx = 2

1 1
− −3
x x2

A. sinx -

C. sinx -

1
3

1
3

sin3x -

C.

1 1
− − 2 +1
x x

B. sinx -

sin3x - 2

.

. Nếu F(-1)=3 thì F(X) bằng:

Câu 36: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cos3x thỏa F(
1
3

x2 −1 + C

D. sinx -

1
3

1
3

π
2

D.

1 1
− + 2 +1
x x

1
3

)=-

sin3x

sin3x – 1

f ( x) = 3 5x + 1

Câu 37. Tìm nguyên hàm của hàm số
33

A.

∫ f ( x)dx = 4

3

C.

∫ f ( x)dx = 20

?
3

5 x + 1 ( 5 x + 1) + C

B.
3

∫ f ( x)dx = 20
3

5x + 1 + C

D.

∫ f ( x)dx = 20

3

3

5 x + 1 ( 5 x + 1) + C
5 x + 1 ( 5 x + 1) + C
2


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức

f (x) = x + sin x
Câu 38: Nguyên hàm F(x) của hàm số

A.

thỏa mãn

x2
F(x) = - cosx + .
2
F(x) = cosx +

C.

Câu 39: Tính

F(0) = 19

B.

x2
+ 20.
2

x2
F(x) = - cosx + + 2.
2
F(x) = - cosx +

D.

xe x − ln xe x + 1 + C.

A. F(x) =

B. F(x) =
xe x + 1 − ln xe− x + 1 + C.

e x + 1 + ln xe x + 1 + C.

C. F(x) =

D. F(x) =
x

∫

2

x + 2 − x2 + 1

Câu 40: Tính

3

dx

3

3

2
2
F ( x ) = ( x 2 + 2) 2 + ( x 2 + 1) 2 + C
3
3
3

C.

x2
+ 20.,
2

( x 2 + x )e x
∫ x + e− x dx

xe x + 1 + ln xe x + 1 + C.

A.

là

B.

3

3

1
1
F ( x) = ( x 2 + 2) 2 − ( x 2 + 1) 2 + C
3
3
3

1
1
F ( x) = ( x 2 + 2) 2 + ( x 2 + 1) 2 + C
3
3

D.

3

2
2

F ( x) = ( x 2 + 2) 2 − ( x 2 + 1) 2 + C
3
3

F ( x) = e x + e− x + x
Câu 41: Hàm số
−x

là một nguyên hàm của hàm số:

f ( x) = −e + e + 1
x

A.

B.

1
f ( x ) = −e − x + e x + x 2
2

1
f ( x) = e x + e − x + x 2
2

f ( x) = e − x + e x + 1
D.

C.
f ( x) =

5
+ x3
x

Câu 42: Tìm nguyên hàm của các hàm số
2

A.

∫ f ( x)dx =5ln x − 5

2

x5 + C

C.

∫ f ( x)dx = − 5ln x + 5

x5 + C


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
2

B.

∫ f ( x)dx = − 5ln x − 5

Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số:

A.

C.

2

x 5 + C....

D.

∫ f ( x)dx =5ln x + 5

y = ∫ x 4x + 7 dx

5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

20  5
3

5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

14  5

3

B.

D.

x 5 + C ...

.

5
3
1 1
( 4x + 7) 2 − 7 ( 4x + 7) 2  + C

8  5
3
5
3
1 2
( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×2 ( 4 x + 7 ) 2  + C

16  5
3


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
dx
1− x

∫
Câu 44. Nguyên hàm
C
1− x

A.
C.

có kết quả là:

B.

−2 1 − x + C
D.

Câu 45: Nguyên hàm của hàm số

1

A.

C 1− x

∫ x ln x dx = ln x + C

1
f ( x) =
x ln x

1

B.

∫ x ln x dx = − ln x + C
I=∫

Câu 46: Họ nguyên hàm của hàm số
2x − 1 − 2 ln

(

2
+C
1− x

1

C.

∫ x ln x dx = ln ( ln x ) + C

dx
2x − 1 + 4

)

(

2x − 1 + 4 + C

(

)

2x − 1 + 4 + C

2 2x − 1 − ln

C.

2x − 1 + 4 + C

(

)

2x − 1 + 4 + C

D.

∫
Câu 47 : Họ nguyên hàm của hàm số

2x + 3
dx
2 x2 − x −1

2
5
ln 2 x + 1 + ln x − 1 + C

3
3

B.

2
5
ln 2 x + 1 − ln x − 1 + C
3
3

Câu 48 :
Nguyên hàm
1
3
A. 3 tan x + C
Câu 49
:

)

2x − 1 − ln

B.
2x − 1 − 4 ln

C.

D.

1

×

A.

A.

1

∫ x ln x dx = ln x + C

sin 2 x
∫ cos4 x dx

D.

1

Nguyên hàm
2A. x − 2 ln | x + 1| + C

x

2
5
− ln 2 x + 1 + ln x − 1 + C
3
3

1
5
− ln 2 x + 1 + ln x − 1 + C
3
3

bằng
tan 3 x + C

C.

3 tan 3 x + C

D.

1
tan x + C
3

bằng
B. 2 ln | x + 1| +C

C.

2 x +C

D.

2 x − 2 ln | x + 1 | +C

B.

∫ 1+

là:

dx


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
Câu 50: Cho
A.
C.

I = f ( x) = ∫ xe x dx

f (0) = 2015

biết

,vậy I=?

I = xe x + e x + 2016

B.

I = xe x + e x + 2014

I = xe x − e x + 2016

D.

I = xe x − e x + 2014

sinx
Câu 51: Hàm số y = 1+ cosx có nguyên hàm là hàm số:

B ln (1+ cosx) + C

A. ln 1+ cosx + C
cos

C. ln
Câu 52.

A.

C.

x
2 +C

∫ cos

2

cos

D. 2.ln

xdx
bằng:

1
sin 2 x 
x+
÷+ C
4
2 

B.

1
( x + sin 2 x ) + C
4

∫
Câu 53.

D.

1
( 2 x + sin 2 x ) + C
4

ln x
dx
x

A.

B.

∫x

Câu 54.
2
1 + x4
3
A.

(

C.

1
( 2 x + sin 2 x ) + C
4
−

ln ln x + C

x

x
2 +C

3

(

1 + x4 + C

B.
4

C.

1 2
ln x + C
2

ln
D.

x2
+C
2

x 4 + 1dx

)

3

2 1+ x

x2
( ln x − 1) + C
2

1
1 + x4
6

)

2 x3

+C
D.
f ( x) =

1+ x

4

x

( x + 1)

5

1 + x4 + C

+C

.

Câu 55. Tìm nguyên hàm của hàm số

1

∫ = ( x + 1)
A.

3

1
1 1
− ÷+ C.
 .
 4 x +1 3 

x

∫ ( x + 1)
B.

5

dx =

1
1 x
− ÷+ C.
 .
( x + 1)  4 x + 1 3 
1

3


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức

x

∫ ( x + 1)

5

dx =

1
1 1
− ÷+ C .
 .
( x + 1)  4 x + 1 3 
1

x

∫ ( x + 1)

6

C.

Câu 56: Tìm họ nguyên làm của

−

1
x + x5

)

−

B.

(

∫x

2

)

1
1
− ln x + ln x 2 + 1 + C
2
2x
2

(

)

1
1
− ln x − ln x 2 + 1 + C
2
2x
2

(

D.

)

sin xdx

− x 2 .cos x + 2 ( x sin x − cos x ) + C

x 2 .cos x + 2 ( x sin x + cos x ) + C

A.

B.

x 2 .cos x − 2 ( x sin x + cos x ) + C

− x 2 .cos x + 2 ( x sin x + cos x ) + C

C.

D.

Câu 58: Cho

a>0

và

a ≠1 C
.

là hằng số. Phát biểu nào sau đây đúng ?

∫a

2x

a2x
∫ a dx = 2ln a + C
2x

∫ a dx = a .ln a + C
x

C.

5

có dạng:

1

1
− ln x − ln x 2 + 1 + C
2
2x
2

Câu 57: Tìm

A.

1
1 1
− ÷+ C .
 .
( x + 1)  4 x + 1 3 
1

3

1
1
+ ln x + ln x 2 + 1 + C
2
2x
2

(

C.

dx =

D.
f ( x) =

A.

5

x

B.

dx = a 2 x + C
D.

∫a

2x

dx = a 2 x .ln a + C

f ( x) =

x ( x + 2)
( x + 1) 2

Câu 59: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số

A.

x2 + x −1
F ( x) =
x +1

B.

x2 − x − 1
F ( x) =
x +1

C.

x2 + x + 1
F ( x) =
x +1

?

D.

x2
F ( x) =
x +1

f ( x ) = 2x 3 − 3x 2 + 1 − sin 2x
Câu 60: Một nguyên hàm F(x) của hàm số

A/

x4
x3
1
1
F ( x ) = 2 − 3 + x + .cos 2x +
4
3
2
2

khi F(0)=1 là:

B/

x4
x3
1
1
F ( x ) = 2 + 3 + x + .cos 2x +
4
3
2
2


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức

F( x ) = 2
C/

x4
x3
1
1
− 3 − x + .cos 2x +
4
3
2
2

D/

y = 3 x2 +
Câu 61: Họ các nguyên hàm của hàm số

A.

C.

53 5
x + 14ln 1- x +C
3

14
1- x
-

B.

33 5

x - 14ln 1- x +C
5

D.

Câu 62: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
B. 1-tanx

là:

33 5
x + 14ln 1- x +C
5

33 5
x + 14ln 1- x +C
5

y =A. –tanx

x4
x3
1
1
− 3 + x + .cos 2x −
4
3
2
2

F( x ) = 2

1
cos2x

và F(0)=1. Khi đó F(x) là:

C. 1+tanx

D. tanx-1

y=

x(2 + x)
(x + 1)2

Câu 62: Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số

x2 - x - 1
y=
x +1
A.

x2 + x + 1
y=
x +1
B.

Câu 63. Nguyên hàm F(x) của hàm số

1
1
−
+C
3
3cos x cos x

A.

C.

1
1
+
+C
3
3cos x cos x

x2
y=
x +1

x2 + x - 1
y=
x +1

C.

D.

sin 3 x
f ( x) =
cos 4 x
−
B.

là:

1
1
−
+C
3
3cos x cos x

1
1
−
+C
3
3cos x cos 2 x

D.
f ( x) = (2 x − 3) 2

Câu 64: Tìm nguyên hàm của hàm số

∫

f ( x )dx =

A.

∫
C.

f ( x )dx =

(2 x − 3) 3
+C
3
(2 x − 3) 3
+C
6

B.

∫ f ( x)dx = (2 x − 3)

∫
D.

f ( x )dx =

3

+C

(2 x − 3)3
+C

2


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
f ( x) = 3sin 3 x − cos 3 x

Câu 65: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

∫ f ( x)dx = cos 3x − sin 3x + C

∫ f ( x)dx = cos 3x + sin 3x + C

B.

1

C.

1

∫ f ( x)dx = − cos 3x − 3 sin 3x + C

1

∫ f ( x)dx = − 3 cos3x − 3 sin 3x + C

D.
f ( x) = e x − e− x

Câu 66: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
C.

∫ f ( x)dx = e

x

∫ f ( x)dx = e

x

+ e− x + C

B.
− e− x + C

D.

F ( x) =

A.
F ( x) =

C.

2
56
(3 x + 4) 3 x + 4 +
9

9

D.

Câu 68: Tìm nguyên hàm của hàm số

A.

C.

∫

3x 4
+C
2x4 + 6

A.

∫ (2 x − 1)e
C.

B.

3x

− e− x + C

∫ (2 x − 1)e

3x

2
16
(3x + 4) 3 x + 4 +
3
3

F ( x) =

2
8
(3x + 4) 3 x + 4 +
3
3

∫ f ( x)dx = ln( x

4

+ 1) + C

∫ f ( x)dx = 4 ln( x

4

+ 1) + C

dx

(2 x − 1)e3 x 2e3 x

−
+C
3
9

1
dx = ( x 2 − x)e3 x + C
3

F ( x) =

1

D.

3x
∫ (2 x − 1)e dx =

x

x3
x4 + 1

f ( x )dx = x3 ln( x 4 + 1) + C

Câu 69: Tính nguyên hàm

∫ f ( x)dx = −e

B.

f ( x) =

∫

+ e− x + C

của hàm số

1
38
3x + 4 +
3
3

f ( x )dx =

x

f ( x) = 3 x + 4

F ( x)

Câu 67: Tìm nguyên hàm

∫ f ( x)dx = −e

3x
∫ (2 x − 1)e dx =

B.

D.

∫ (2 x − 1)e

3x

(2 x − 1)e3 x 2e3x
−
+C
3
3

dx = ( x 2 − x )e3 x + C


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
ln x
dx
x

∫
Câu 70:

bằng:

3
2

2 ( ln x ) + C
A.

B.

2
3

( ln x )

3

1
+C
2 ln x

+C

C.

D.

3
2

( ln x )

3

+C

Nguyên hàm - Tích phân – Số phức

TÍCH PHÂN
Câu 1: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
π

π

1

2
x
sin
dx
=
∫0 2
∫0 sinxdx

∫ (1+ x )

x

dx = 0

0

A.

B.
1

1

1

2
∫ x ( 1 + x ) dx = 2009

∫ sin ( 1 − x ) dx = ∫ sin xdx
0

2007

0

C.

D.

−1

π
2

I = ∫ ( x + esin x ) cos x.dx
0

Câu 2: Tính tích phân

I=

A.

π
+e−2
2

I=

B.

π
+e
2

I=

C.

π
−e
2

I=

D.

π
+e+2

2

1

I = ∫ x ln ( 1 + x 2 ) dx
0

Câu 3: Tính tích phân
I=

A.

193
1000

I = ln 2 −

B.

1
2

C.

I = ln 3 − 1

D.

3
3

I = ln 3 −
2
2

x2

∫ f ( t ) dt = x cos ( πx )

f ( 9)
Câu 4: Tìm

0

, biết rằng

f ( 9) = −

A.

1
6

f ( 9) =

B.

1
6

f ( 9) = −

C.

1
9

f ( 9) =

D.

1
9

e

1

I = ∫  x + ÷ln xdx
x
1

Câu 5: Tính tích phân
I=
A.

e2
4

I=
B.

e2 − 3
4

I=

C.

3
4

I=
D.

e2 + 3
4

2

I = ∫ x 2 .ln xdx
Câu 6: Tích phân
8ln 2 −

A.

7
3

1

có giá trị bằng:

B.

8
7
ln 2 −
3
9

C.

24 ln 2 − 7

D.

8
7
ln 2 −
3
3


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
π
4

I = ∫ sin 2 x.cos 2 xdx
0

Câu 7: Tính tích phân
I=

A.

π
16

I=

B.

π
32

I=

C.

π
64

I=

D.

π
128

ln 3

I=

∫ xe dx
x

0

Câu 8: Tính tích phân
A.

I = 3ln 3 − 3

B.

I = 3ln 3 − 2

C.

I = 2 − 3ln 3

I = 3 − 3ln 3

D.

[ a; b]
Câu 9: Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên
b

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )

. Phát biểu nào sau đây sai ?
b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≠ ∫ f ( t ) dt

a

A.

B.
a

∫ f ( x ) dx = 0

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

a

C.

D.
sin ( ln x )
dx
x
1
e

∫
Câu 10: Tính tích phân
A.

1 − cos1

B.
a

có giá trị là:

2 − cos 2

C.

cos 2

D.

cos1

7 2a − 13
I = ∫ 7 .ln 7dx =
42
0
x −1

Câu 11: Cho tích phân
A.

a =1

. Khi đó, giá trị của a bằng:
B.

a=2

C.

a =3

D.

a=4

5

dx

= ln a
x
2

∫
Câu 12: Cho

A.

5
2

. Tìm a

B. 2

C. 5

D.

m

∫ ( 2x + 6 ) dx = 7
0

Câu 13: Cho
A.

m =1

hoặc

. Tìm m

m=7

B.

m =1

hoặc

m = −7

2
5


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
C.

m = −1

hoặc

m=7

D.

m = −1

hoặc

m = −7

Câu 14: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau ?
b

b

b

a

a

a

∫ [f (x) + g(x)]dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx

b

b

b

a

a

a

∫ [f (x) − g(x)]dx = ∫ f (x)dx − ∫ g(x)dx

A.

B.
b

b

b

a

a

a

∫ f (x)g(x)dx = ∫ f (x)dx.∫ g(x)dx

b

b

a

a

∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx

C.

D.
π
a

cos 2x
1
dx = ln 3
1 + 2sin 2x
4
0

I=∫

Câu 15. Cho

. Giá trị của a là:

A. 3

B. 2

C. 4

D. 6

1

I = ∫ x x 2 + 1dx
0

Câu 16. Giá trị của tích phân

A.

C.

là.

1
I = (2 2 − 1)
3

B.

1
I = − (2 2 − 1)
3

D.

1
I = (2 2 + 1)
3
1
I = (2 − 2 2 )
3

π
2

I = ∫ x sin xdx
0

Câu 17. Giá trị của tích phân

là

A. -1

B.
d

∫

∫

a

C. 1

b

,

, với

3

B.

a
C.

liên tục trên đoạn
2

10

0

6

B. 4

a

thì
D.

∫

10

0

thỏa mãn

P = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

∫ f ( x)dx

8

[ 0;10]

Khi đó giá trị của

D.

b

f ( x)dx = 2

f (x)

A. 10

−

d

f ( x )dx = 5

Câu 18. Nếu
−2
A.

Câu 19: Cho

π
2

bằng:
0
6

f (x)dx = 7; ∫ f (x)dx = 3
2

là
C. 3

D. - 4

π
+1
2


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
3

3

∫
Câu 20. Cho
A. 1

∫

f ( x)dx = −2

5

∫ f ( x)dx

f ( x)dx = −3

5

1

,

. Khi đó

B. 5

1

có giá trị là:
C. -1

D. -5

[ a;b]

Câu 21: Nếu u = u(x), v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

. Khẳng định nào

sau đây là khẳng định đúng ?
b

. = uv
.
∫ udv
a

b
−
a

b

b

.
∫ vdu

. = uv
.
∫ udv

a

a

A.

b
−
a

b

.
∫ vdv
a

B.
b

. = uv
.
∫ udv
a

b
−
a

b

b

.

∫ udu

∫

a

udv
. = uv
. |ba

a

C.
2

0

,

A. 1

1

.

2

∫ f (x)dx = 2 ∫ f (x)dx = 4
Câu 22: Cho

− ∫ vdu
.
b

D.
1

a

∫ f (2x)dx
, khi đó

B. 2

0

bằng

C. 3

D. 6

b

∫ xdx
a

Câu 23:

bằng

1 2 2
(a − b )
2

A.

1
− (b2− a2)
2

B.

1
− (a2 − b2)
2

C.

D. b - a

Câu 24: Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới:

Trong các tích phân sau tích phân nào có giá trị lớn nhất?
3

3

∫

∫

f (x) dx

∫

−1

−1

A.

π
π
;0 < b <
2
2

3

∫

f (x) dx

2

B.
0< a <

Câu 25: Cho

3

f (x)dx
C.

, khi đó:

0

D.

f (x) dx


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
b

b

1

∫ cos2 xdx = tanb− tana

1

∫ cos2 xdx = tana − tanb

a

a

A.

B.
b

b

1

1
1
∫ cos2 xdx = cosa − cosb
a

1

1

1

∫ cos2 xdx = cosb − cosa
a

C.

D.
ln3

ln(x + 1) = t

Câu 26: Phương trình
A.

x = f (t), ∀t > 0

có nghiệm dương duy nhất

ln3

B.

∫

2 − ln3

C.

thì

8+ ln3

D. -

0

ln3

2

∫a
Câu 27. Cho tích phân I=

A. I =

ax
ln a

x

dx

1

(a dương, a khác 1). Khẳng định nào sau đây đúng?

2

x

a ln a

1

2

x.a

1

B. I =
b

∫

và

A. -4

D.

∫ ( f ( x) − 2 g ( x))dx

a

Câu 28. Cho

1

a

. Tích phân

B. 4

a x +1
x +1

b

∫ g ( x)dx = −3

a

2

C.

b

f ( x)dx = 2

x −1

bằng.

C. 6

D. 8

m

∫ (4 x

3

+ 3 x 2 )dx

0

Câu 29. Giá trị của m để có đẳng thức
A 0

B. 1

=

m4 + 8

C. 2

là:

D.3

π
a

cos 2x
1
dx = ln 3
1 + 2sin 2x
4
0

I=∫

Câu 30: Cho

. Tìm giá trị của a là:

A. 3

B. 2

C. 4

D. 6

π
4

∫ x.cos2xdx
0

Câu 31. Giá trị của

A.

π
8

là :

B.

π
8

+

1
4

C.

π
4

-

1
4

D.

π
8

-

1
4

2
1

f 2(t)dt
bằng

Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
m

∫ (2 x + 5)dx = 6
0

Câu 32. Tìm m biết
A. m = 1 , m = 6

B. m = -1 , m = - 6

C. m = 1, m = -6

D. m = -1 , m = 6
4

1

∫

64 − x 2

0

dx

Câu 33. Giá trị của

A.

là :

π
2

π
3

B.
1

x

∫ 1+ x

π
4

C.

D.

π
6

dx

4

0

Câu 34. Giá trị của

A.

là :

π
2

π
4

B.

π
3

C.

5

7

0

0

D.
7

∫ f ( x)dx = 3 ∫ f (u)du = 10
Câu 35. Cho

∫ f (t )dt
5

,

A. 3

π
8

Tính

B. 13

C. 7

D. không tính được

2

x4 + 1

Câu 36. Cho f(x) =

A.

17 − 1

B.

∫ f ′( x). f ( x)dx
0

khi đó

bằng

17 − 1
2

5

C.
2

ò éë2-

ò f ( x) dx = 10
2

Câu 37. Cho

5

17
2

D. 8

4 f ( x) ù
ûdx

. Khi đó

bằng:

A. 32.

B. 34.

C. 36.

b

ò( 2x -

b

Câu 38. Giá trị nào của
b= 0

A.

để

?

b= 3

hoặc
b= 5

C.

6) dx = 0

1

b= 0

.

B.

b= 0

hoặc

b= 1

hoặc
b= 1

.

D.
2

I = ò x2 x3 +1dx
0

Câu 39. Tính tích phân

.

b= 5

hoặc

.

D. 40.


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
16
9

A.

-

.

16
9

B.
e

52
9

.

C.

1+ 3ln x
dx
x

I =ò
1

52
9

-

.

D.

.

t = 1+ 3ln x

Câu 40. Cho
và
.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
2

I =

2

2
tdt.
3ò
1

I =

A.

2

2 2
t dt.
3ò
1

2

I = t3
9 1

B.

C.

I =

.

14
.
9

D.

9

f ( x)
Câu 41: Biết

là hàm số liên tục trên

3

3

∫

0

f ( 3x) dx = 3

∫

0

A.

¡

∫ f ( 3x) dx

0

và

0

. Tính
3

f ( 3x) dx = 4

B.

3

∫ f ( x) dx = 9

∫

0

.
3

f ( 3x) dx = 2

C.

∫ f ( 3x) dx = 1
0

D.

1

Câu 42: Biết

0 < a <1

I = −a 2 + a −
A.

I = ∫ x − a dx
0

. Tính tích phân

1
2

I=
B.

x
4

I = ∫ x tan 2 xdx =
0

1
−a
2

B. 8
π

6

Câu 44: Cho tích phân

B. 2
I =∫

π2

0

Câu 45. Cho tích phân

C.

khi đó tổng

I = ∫π3

Chọn đáp án đúng:
−
A. 3

I = a2 − a +

π
π2
− ln b −
a
32

Câu 43: Cho
A. 4

.

a +b

1
2

bằng

C. 10

D. 6

ln ( sin x )

 3
dx = a ln  3 ÷
÷− bπ
cos x
 4

A = log 3 a + log 6 b

2

. Tính

−
C. 1
x .sin xdx = aπ 2 + b
. Tính

D.

D. 1

A = a −b

Chọn đáp án đúng:
A. 7

B. 10

C. 6

I =1− a

D. 2


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
I =∫

Câu 46: Cho

 a

dx
b
= ∫
+
dx
2x − x −1
 x − 1 c ( 2 x + 1) 
2

(

P = 5 a 2 + b 2 − 6ab − b 4 − a 4

) ( 2a + b ) .c

3

Khi đó

bằng:

A. 1

B.

3
2

C. 3

2

1

I =∫

x ( x + 1)

1

2

dt = ln a + b

Câu 47. Tính tích phân

A.

2
3

D. 0

. Khi đó
−

B.

2
3

S = a + 2b

C. 1

π

∫ x ( x + sin x ) dx = aπ

3

D.

bằng:
−1

+ bπ

0

Câu 48: Tính tích phân

. Tính tích ab :

A. 3

1
3

B.

C. 6

D.

2

I = ∫ (4 x + 3).ln xdx = 7 ln a + b
1

Câu 49: Tính tích phân

A. 1

Câu 50: Với

A.

a<0

∫

1

0

a = −b

2x

(a−x )

2 2

I =∫
1

:

D.

1
2

có giá trị là:

a +1
a ( 1− a)
C.

ee − 1
b

4

dx

. Tích phân

B.
5

Câu 52: Biết

1

a

B.

Câu 51: Cho
A.

∫

e3 x dx =

( a + b) π

C. 0

a2 + 1
a ( a − 1)

a +1
a −1

sin
. Tính

B. -1

2
3

D.

1
a

. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

a
C.

a>b

dx
x 3x + 1
được kết quả

D.

a=b

I = a ln 3 + b ln 5

. Giá trị

2a 2 + ab + b 2

là:


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
A. 8

B. 7

C. 3

D. 9

2

∫ ln xdx = a ln 2 + b
Câu 53: Biết

a, b ∈ ¤

1

với

A. 1

. Khi đó tổng

B. -1

a +b

bằng

C. 2
1

D. -2

dx

I =∫

4 − x2

0

Câu 54. Đổi biến tích phân

thành:

π
6

π
6

π
6

∫ dt

∫ tdt

0

∫

0

A.

0

B.

dt
t

∫ dt
0

C.

π
2

∫ (2 x − 1 − s inx)dx

I=

0

Câu 55. Cho I=

π
3

. Biết

D.

π2 π
− −1
a b

Cho các mệnh đề sau :
(1) a = 2b

(2) a + b = 5

(3) a +3b=10

(4) 2a + b = 10

B. (2),(3),(4)

C. (1),(2),(4)

D. (1);(3);(4)

Các phát biểu đúng
A. (1),(2),(3)
1

x 3 dx 1
I =∫ 4
= ln b
x +1 a

0

Câu 56. Cho

Chọn phát biểu đúng

A. a:b=2:1

B. a+b=3

f ( x ) = a sin π x + b

a, b

Câu 57. Tìm các số

C. a-b=1

để hàm số

A.

B.

1

f ( 1) = 2
thỏa mãn:
a=

a = −π , b = 2

a = π ,b = 2

D. Tất cả đều đúng

C.

∫ ( 2 x + ln ( x + 1) ) dx = 3ln 3 + b

0

và

π
,b = 2
2

∫ f ( x ) dx = 4
a=−

D.

2

0

Câu 58. Kết quả tích phân
A.

3

B.

4

C.

5

. Giá trị

3+ b

là:
D.

7

2

Câu 59. Tích phân

A.

1
2

I = ∫ x dx
−1

B.

có kết quả là
3
2

C.

5
2

D.

7
2

?

π
,b = 2
2


Nguyên hàm - Tích phân – Số phức
1

I = ∫ ( x + 1) ( e x − 3) dx
0

Câu 60. Cho tích phân

. Kết quả tích phân này dạng

I = e−a

. Đáp án nào sau

đây đúng?
a=

A.

9
2

9
4

a=

B.

a=

C.

9
5

a=

D.

8
3

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Tính diện tích hình phẳng
y = f (x)

- Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
liên tục trên [a; b] , trục
x=a x=b
hoành và hai đường thẳng
,
được tính theo công thức:
b

S = ∫ f ( x) dx
a

y = f ( x)

- Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = g ( x)

và hàm số

b

S = ∫ f ( x ) − g(x) dx
a

2. Thể tích khối tròn xoay
y = f (x)

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
liên tục trên [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng
x= a, x= b khi quay quanh trục Ox tạo nên 1 khối tròn xoay. Thể tích V được tính theo công thức:
b

V = π ∫ f 2 ( x)dx
a

y = f ( x)
y = g ( x)
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và hàm số
và hai đường thẳng x= a, x= b
khi quay quanh trục Ox tạo nên 1 khối tròn xoay. Thể tích V được tính theo công thức:
b

V = π ∫ f 2 ( x) − g 2 ( x) dx
a

b

V = π ∫ f 2 (y)dy

a

Tương tự, khi cho quay quanh Oy