Ứng dụng lý thuyết điều khiển trong tối ưu tần số riêng và khối lượng của kết cấu thanh (LA tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Trần Minh Thúy

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN
TRONG TỐI ƯU TẦN SỐ RIÊNG VÀ KHỐI LƯỢNG
CỦA KẾT CẤU THANH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Trần Minh Thúy

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN
TRONG TỐI ƯU TẦN SỐ RIÊNG VÀ KHỐI LƯỢNG
CỦA KẾT CẤU THANH

Chuyên ngành : Cơ kỹ thuật
Mã số : 62520101

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS. BÙI HẢI LÊ
2. PGS.TS. TRẦN ĐỨC TRUNG

Hà Nội – 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung trình bày trong luận án này được nghiên
cứu bởi bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Bùi Hải Lê và
PGS.TS. Trần Đức Trung. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và
chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2018

Người hướng dẫn

Nghiên cứu sinh

TS. Bùi Hải Lê

Trần Minh Thúy

PGS. TS. Trần Đức Trung


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ môn Cơ học vật liệu và kết cấu, Bộ
môn Hình họa & Vẽ kỹ thuật, Viện Cơ khí, Viện Đào tạo Sau đại học,
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi thực

hiện công trình này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Trần Đức Trung và
TS. Bùi Hải Lê đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để tôi có thể thực hiện và
hoàn thành Luận án này.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bố mẹ, chồng, các
con, các anh chị em đồng nghiệp và các bạn đã luôn động viên, giúp đỡ
tôi trong thời gian qua.
Hà Nội,

/2018

Trần Minh Thúy


MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRONG DAO ĐỘNG
1.1
Tổng quan về điều khiển tối ưu và đối tượng điều khiển
1.1.1
Điều khiển, điều khiển tối ưu và bài toán tối ưu hóa kết cấu
1.1.2
Dao động xoắn, dao động dọc và dao động uốn của thanh
1.1.3
Các đại lượng cơ bản đặc trưng của dao động kết cấu
1.2
Các phương pháp điều khiển dao động của kết cấu
1.2.1
Các phương pháp điều khiển dao động của kết cấu
1.2.2

Tổng quan tình hình nghiên cứu về điều khiển dao động của kết cấu
1.3
Điều khiển tối ưu dải tần số riêng và khối lượng kết cấu dạng thanh
1.3.1
Mô hình khảo sát dao động của kết cấu
1.3.2
Các bài toán khảo sát về dao động kết cấu dạng thanh
1.3.3
Các nội dung thực hiện của bài toán tối ưu đa mục tiêu
1.4
Kết luận chương 1
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THEO PMP, HÀM ĐA MỤC TIÊU
TỔNG QUÁT
2.1
Phương trình vi phân trạng thái của thanh (trục)
2.1.1
Phương trình vi phân trạng thái của trục chịu dao động xoắn
2.1.2
Dao động dọc của thanh
2.1.3
Dao động uốn của thanh
2.1.4
Phương pháp ma trận truyền
2.2
Điều khiển tối ưu và nguyên lý cực đại Pontryagin
2.2.1
Bài toán điều khiển tối ưu
2.2.2
Nguyên lý cực đại Pontryagin
2.2.3

Thuật giải bài toán tối ưu áp dụng nguyên lý cực đại Pontryagin
2.3
Tối ưu hóa kết cấu áp dụng PMP
2.3.1
Áp dụng PMP trong tối ưu hóa kết cấu
2.3.2
Hàm đa mục tiêu tổng quát trong tối ưu hóa kết cấu
2.3.3
Phương pháp phân tích trọng số và xây dựng tập giải pháp khả thi
2.4
Kết luận chương
CHƯƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH SỬ
DỤNG PMP
3.1
Điều khiển tối ưu đa mục tiêu trục dao động xoắn sử dụng PMP
3.2
Điều khiển tối ưu đa mục tiêu thanh dao động dọc sử dụng PMP
3.3
Bài toán độ cứng dầm chịu uốn sử dụng PMP
3.3.1
Giải bằng nguyên lý cực đại Pontryagin
3.3.2
Đặt bài toán
3.3.3
Nhận xét
3.4
Thuật toán và chương trình tính
3.5
Kết luận chương 3
CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ

6
6
6
7
11
11
11
12
19
19
20
22
22
24
24
24
25
26
27
30
30
35
37
39
39
43
46
48
49

49
54
59
59
65
66
67
67
68


4.1
Bài toán 1: Kiểm tra độ tin cậy của thuật toán và chương trình tính
68
4.1.1
Trục chịu dao động xoắn
69
4.1.2
Thanh chịu dao động dọc
71
4.1.3
Nhận xét
73
4.2
Bài toán 2: Điều khiển tối ưu đa mục tiêu trục chịu dao động xoắn sử dụng PMP
73
4.2.1
Tối ưu tần số riêng của trục chịu xoắn
74
4.2.2

Ảnh hưởng của dạng dao động riêng đến cấu hình tối ưu của trục
79
4.2.3
Tối ưu đa mục tiêu đồng thời các tần số riêng của trục
80
4.2.4
Tối ưu đa mục tiêu đồng thời tần số riêng và tổng khối lượng của trục
82
4.2.5
Phân tích định tính cấu hình tối ưu tương đương của các trục chịu dao động
xoắn có chiều dài và điều kiện biên khác nhau
83
4.2.6
Phân tích định lượng cấu hình tối ưu tương đương của các trục chịu dao động
xoắn có chiều dài và điều kiện biên khác nhau
87
4.2.7
Dao động cưỡng bức của trục xoắn chịu kích động điều hòa
89
4.2.8
Nhận xét
90
4.3
Bài toán 3: Điều khiển tối ưu đa mục tiêu thanh chịu dao động dọc sử dụng PMP
90
4.3.1
Tối ưu tần số riêng của thanh chịu dao động dọc sử dụng PMP
91
4.3.2
Tối ưu đa mục tiêu đồng thời tần số riêng thứ nhất và tổng khối lượng của

thanh sử dụng PMP
93
4.3.3
Ảnh hưởng của khối lượng tập trung đến cấu hình tối ưu của thanh
95
4.3.4
Phân tích định tính và định lượng cấu hình tối ưu tương đương của các thanh
chịu dao động dọc
95
4.3.5
Dao động cưỡng bức của thanh chịu kích động điều hòa dọc trục
97
4.3.6
Nhận xét
98
4.4
Bài toán 4: Ví dụ số về bài toán độ cứng dầm chịu uốn sử dụng PMP
99
4.4.1
Tính toán dầm cho độ cứng nhỏ nhất, điều khiển on – off
99
4.4.2
Tính toán dầm cho độ cứng lớn nhất
102
4.5
Kết luận chương 4
103
KẾT LUẬN VÀ CÁC HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
105
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

107
TÀI LIỆU THAM KHẢO
108
A.
Thí nghiệm số khảo sát tập giải pháp khả thi
113
B.
Tính kiểm nghiệm trên phân mềm ANSYS
117
C.
Lựa chọn cấu hình trục tối ưu
130
D.
Sơ đồ chi tiết thuật toán bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu tần số riêng
và tổng khối lượng của bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu
132


iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Kí hiệu

Đơn vị

Chú thích

a

m

Chiều dài quy ước

A

m2

Diện tích mặt cắt ngang của thanh

B

m

Chiều rộng mặt cắt ngang của dầm

b*

Hằng số

ci

Hệ số trong hàm mục tiêu

cW

Hệ số trong hàm mục tiêu

de

m

Đường kính đoạn thứ e của trục/thanh

dmax

m

Đường kính lớn nhất

dmin

m

Đường kính nhỏ nhất

E

N/m2

Mô đun đàn hồi kéo, nén

F

Hàm mục tiêu

f

Tần số của lực kích động điều hòa

G

Mô đun đàn hồi trượt

N/m2

H

Hàm Hamilton

[H ]

Ma trận truyền của toàn bộ trục/thanh

[He ]

Ma trận truyền của đoạn trục/thanh thứ e

h

m

Chiều cao mặt cắt ngang của dầm

Jp

m4

Mô men quán tính mặt cắt ngang của trục
Hệ số tỉ lệ giữa hệ phương trình vi phân trạng thái ban

k

đầu và hệ liên hợp trong hàm Hamilton

ki    k1 , k2 ,, kn 

Các trọng số

kW

Trọng số giữa tần số và khối lượng

ki

Trọng số giữa các tần số

T

L

m

Tổng chiều dài của trục/thanh

Le

m

Chiều dài đoạn thứ e của trục/thanh

l

m

Chiều dài tính từ đầu bên trái của trục/thanh

M

Nm

Mô men xoắn, uốn

(x):

kg/m

Khối lượng/ đơn vị dài của thanh


MH

Biến trạng thái liên hợp

n

Số nút

nL

Số nguyên dương

Q

Lực cắt

N

pM

Biến liên hợp của M

pN

Biến liên hợp của N

pQ

Biến liên hợp của Q

pu

Biến liên hợp của u

pv

Biến liên hợp của v

pW

Biến liên hợp của W

p

Biến liên hợp của 

p

Biến liên hợp của 

R1, R2, R12, RW

Các hệ số tỉ lệ không thứ nguyên

S

m2

Diện tích mặt cắt ngang của trục

t

giây

Thời gian

t0

giây

Thời điểm đầu

tf

giây

Thời điểm cuối

U   U1,U 2 ,,U r 

Véc tơ biến điều khiển

Umin

Cận dưới của biến điều khiển

Umax

Cận trên của biến điều khiển

T

u (x,t)

m

Chuyển vị dọc trục của thanh

y

m

Độ võng
Độ võng liên hợp

yH
W

kg

Tổng khối lượng của trục/thanh

W0

kg

Tổng khối lượng của trục/thanh ban đầu

qi    q1 , q2 ,, qn 

Các biến thiết kế/trạng thái

x

Trục của trục/thanh

q

Véc tơ biến trạng thái

T

x0

m

Tọa độ đầu

xf

m

Tọa độ cuối




kg/m3

Khối lượng riêng



N/m3

Trọng lượng riêng



rad

Góc xoắn, góc xoay

H

Biến trạng thái liên hợp

0i

1/s

Tần số riêng thứ i của kết cấu trước tối ưu

i

1/s

Tần số riêng thứ i của kết cấu

1Par

Tần số riêng thứ nhất không thứ nguyên của kết cấu

BC

Điều kiện biên (Boundary Of Freedom)

DOF

Bậc tự do (Degree Of Freedom).

NCS

Nghiên cứu sinh.

TH

Trường hợp

NOC

Điều kiện cần tối ưu (Optimal Necessary Condition).

OF

Hàm mục tiêu

PMP

Nguyên lý cực đại Pontryagin (Pontryagin’s Maximum
Principle).

PTVP

Phương trình vi phân

PS

Không gian tham số (Parametric Space).

SS

Không gian trạng thái (State Space).


vi

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang
Bảng 4.1 Tần số riêng thứ nhất và thứ hai (rad/s) của kết cấu trục ngàm - tự do.
69
Bảng 4.2 Tần số riêng thứ nhất và thứ hai (rad/s) tối ưu của kết cấu trục ngàm – tự do.
70
Bảng 4.3 Tần số riêng thứ nhất và thứ hai (rad/s) của kết cấu thanh ngàm – tự do.

71

Bảng 4.4 Tần số riêng thứ nhất và thứ hai (rad/s) tối ưu của kết cấu thanh ngàm- tự do.
72
Bảng 4.5 Các trường hợp mô phỏng.

74

Bảng 4.6 Các tập Pareto của 2 mục tiêu 1 và 2.

82

Bảng 4.7 Các tập Pareto của 2 mục tiêu 1 và W.

83

Bảng 4.8 Các trường hợp khảo sát cấu hình tối ưu tương đương của trục.

84

Bảng 4.9 Các kết quả 1, 2, 4, 8 và W trong các trường hợp khảo sát.

87

Bảng 4.10 Các trường hợp khảo sát của thanh chịu dao động dọc tự do.

91

Bảng 4.11 Mức độ trade-off giữa các mục tiêu của thanh.

94

Bảng 4.12 Các trường hợp khảo sát và kết quả tối ưu của thanh để phân tích cấu hình
tối ưu tương đương.

96


vii

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH, ĐỒ THỊ

Trang
Hình 1.1 Các kết cấu, bộ phận máy chịu tải trọng động có thể gây ra dao động dọc, dao

động xoắn và dao động uốn [ />
9

Hình 1.2 Các dạng dao động của kết cấu thanh (trục).

10

Hình 1.3 Mô hình dao động xoắn của trục có thiết diện thay đổi.

19

Hình 1.4 Mô hình dao động dọc của thanh có thiết diện thay đổi.

20

Hình 1.5 Mô hình dao động uốn của thanh (dầm) có thiết diện thay đổi.

20

Hình 1.6 Mô hình khảo sát tính toán tối ưu kết cấu thanh(trục) đã thiết kế

21

Hình 2.1 Trục tròn chịu xoắn.

24

Hình 2.2 Thanh chịu dao động dọc.

25

Hình 2.3 Thanh chịu uốn.

26

Hình 2.4 Sơ đồ hệ thống của quá trình lặp.

38

Hình 2.5 Hệ trục 6 bậc.

42

Hình 2.6 Tập giải pháp khả thi và các tập Pareto.

47

Hình 3.1 Hệ trục n-1 bậc.

49

Hình 3.2 Sơ đồ thuật toán của bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu tần số riêng và
tổng khối lượng của hệ trục xoắn.

54

Hình 3.3 Thanh thẳng gồm n-1 đoạn và n khối lượng tập trung.

54

Hình 3.4 3 khả năng dạng hàm lồi H.

61

Hình 3.5 Dầm hai bậc theo điều kiện độ cứng nhỏ nhất.

62

Hình 3.6 Dầm với bề rộng giảm đơn điệu theo điều kiện độ cứng lớn nhất.

64

Hình 3.7 Dầm bậc gần với cấu hình với bề rộng giảm đơn điệu.

65

Hình 3.8 Dầm ngàm – tự do.

65

Hình 4.1 Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của trục 6 đoạn.

70

Hình 4.2 Mô hình thanh 6 đoạn.

71

Hình 4.3 Tập giải pháp khả thi của hai tần số riêng đầu tiên của thanh 6 đoạn.

72

Hình 4.4 Sự thay đổi của 1, 2, W trong các trường hợp mô phỏng (ngàm - tự do). 75
Hình 4.5 Sự thay đổi của 1, 2, W trong các trường hợp mô phỏng (tự do - tự do). 75
Hình 4.6 Sự thay đổi của 1, 2, W trong các trường hợp mô phỏng (ngàm - ngàm). 76
Hình 4.7 Cấu hình tối ưu của trục TH 2 với n = 21, 41 và 81 nút.

76


viii

Hình 4.8 Sự thay đổi của R1 , R 2 , R12 , RW trong các trường hợp mô phỏng.

77

Hình 4.9 Sự thay đổi của cấu hình tối ưu theo chiều dài của trục, TH 2.

77

Hình 4.10 Sự thay đổi của cấu hình tối ưu theo chiều dài của trục, TH 3.

78

Hình 4.11 Sự thay đổi của cấu hình tối ưu theo chiều dài của trục, TH 4.

78

Hình 4.12 Sự thay đổi của cấu hình tối ưu theo chiều dài của trục, TH 5.

78

Hình 4.13 Dạng dao động riêng thứ nhất của trục.

79

Hình 4.14 Dạng dao động riêng thứ hai của trục.

79

Hình 4.15 Tập giải pháp khả thi của 2 mục tiêu 1 và 2.

81

Hình 4.16 Tập giải pháp khả thi của 2 mục tiêu 1 và W.

83

Hình 4.17 Dạng riêng và cấu hình tối ưu định tính của các trục trong các trường hợp
TH1-6.

85

Hình 4.18 Cấu hình trục tối ưu TH1 và TH3.

87

Hình 4.19 Cấu hình trục tối ưu TH2, TH4, TH5 và TH6.

88

Hình 4.20 Đáp ứng tần số của trục trong các trường hợp TH 1-5.

89

Hình 4.21 Các cấu hình tối ưu của thanh.

92

Hình 4.22 Thay đổi của R1 , R 2 , R12 , RW của thanh.

92

Hình 4.23 Tập Pareto của thanh.

94

Hình 4.24 Ảnh hưởng của khối lượng tập trung đến cấu hình tối ưu của thanh trong
trường hợp 1  max.

95

Hình 4.25 Cấu hình thanh tối ưu TH 1 và TH 3.

96

Hình 4.26 Cấu hình thanh tối ưu TH 2, TH 4, TH 5 và TH 6.

97

Hình 4.27 Đáp ứng tần số của thanh trong các trường hợp TH 1-5.

98

Hình 4.28 Đồ thị xác định độ võng lớn nhất tại đầu tự do của dầm phụ thuộc vị trí điểm
chuyển bậc của dầm.

101

Hình 4.29 Dầm hai bậc tăng độ cứng

102

Hình 4.30 Đồ thị xác định độ võng nhỏ nhất tại đầu tự do của dầm phụ thuộc vị trí
điểm chuyển bậc của dầm.

102


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Điều khiển là sự tác động lên đối tượng, hệ thống, quá trình,... có tác dụng duy trì hoặc
thay đổi trạng thái của hệ thống theo quy luật mong muốn. Có thể tìm được các quy luật
điều khiển khác nhau cùng thỏa mãn yêu cầu điều khiển đặt ra. Do vậy, thường quá trình
điều khiển còn có yêu cầu phải tối ưu theo một nghĩa nào đó, chẳng hạn, thời gian điều
khiển ngắn nhất, năng lượng tiêu hao ít nhất,..., khi đó ta gọi là điều khiển tối ưu. Điều
khiển tối ưu được áp dụng nhiều trong kỹ thuật. Chẳng hạn, trong động lực học máy, trong

các máy gia công cơ khí, các thiết bị vận chuyển, các quá trình sản xuất tự động, ... yêu cầu
tối ưu là thời gian thực hiện ngắn nhất, tiêu hao nhiên liệu ít nhất, độ sai lệch nhỏ nhất,...
Đối với các công trình, kết cấu, bộ phận máy,... yêu cầu tối ưu về vật liệu, kích thước, khối
lượng kết cấu, nhằm đạt được tiêu chuẩn đề ra, đảm bảo độ an toàn cao, độ nguy hiểm nhỏ
nhất,...
Các máy móc, thiết bị, công trình và kết cấu thường chịu tải trọng động sinh ra bởi hoạt
động của máy hoặc được truyền từ các máy, thiết bị khác, hoặc từ môi trường. Tải trọng
động làm xuất hiện dao động, còn gọi là rung động trong các máy, công trình và kết cấu.
Trong điều kiện đòi hỏi của phát triển sản xuất, các hệ thống làm việc với tốc độ ngày càng
cao, rung động càng lớn. Dao động có thể có hại hoặc có ích. Trong nhiều trường hợp, dao
động có hại ảnh hưởng đến sự làm việc ổn định, độ chính xác, độ bền, tuổi thọ, … của các
máy, cơ cấu, hệ thống.v.v. Dao động có hại còn ảnh hưởng đến sức khỏe, sự an toàn, sự dễ
chịu, tuổi thọ của con người [8]. Với các dao động có lợi, có thể ứng dụng để phục vụ con
người trong sản xuất và đời sống, chẳng hạn, các cảm biến rung, tốc kế rung, máy sàng
rung, máy đầm rung, máy khoan rung, nghiền rung, tiếp liệu rung,…
Lý thuyết dao động đã chỉ ra rằng tần số riêng và dạng dao động riêng là những đặc
trưng quan trọng của quá trình dao động [8]. Khi tần số dao động cưỡng bức trùng hoặc
gần với tần số dao động riêng sẽ xảy ra hiện tượng cộng hưởng làm dao động tăng lên rất
mạnh. Do vậy kiểm soát và điều khiển được quá trình dao động, đặc biệt là hiện tượng
cộng hưởng là yêu cầu rất cần thiết. Có nhiều phương pháp để thực hiện việc kiểm soát và
điều khiển quá trình dao động, trong đó có phương pháp làm thay đổi tần số riêng. Việc
thay đổi (tối ưu) cấu trúc kết cấu có thể dẫn đến thay đổi (tối ưu) tần số riêng.


2

Lý thuyết điều khiển tối ưu, mà trụ cột chính là Nguyên lý cực đại Pontryagin [1, 3, 10,
20], Pontryagin’s Maximum Principle-PMP), được áp dụng trong nhiều bài toán kỹ thuật,
trong đó có bài toán điều khiển tối ưu cấu trúc kết cấu chịu dao động. Tối ưu cấu trúc là
thay đổi các tham số cấu trúc, thay đổi kích thước của kết cấu và dẫn đến làm thay đổi tần

số riêng và kiểm soát dao động của kết cấu.
Đã có nhiều công trình khoa học nghiên cứu vấn đề này và các kết quả được công bố là
khá đồ sộ, được áp dụng hiệu quả trong việc điều khiển các quá trình dao động. Tuy vậy
vẫn còn nhiều vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu, hoàn thiện. Chẳng hạn, vấn đề tối ưu
dải tần số riêng bằng việc điều chỉnh kích thước kết cấu trong khi đảm bảo tiêu chuẩn về
khối lượng (thể tích) kết cấu, để việc kiểm soát, điều khiển các hiện tượng cộng hưởng
trong các kết cấu hiệu quả và tối ưu. Cùng với lý thuyết điều khiển, các giải thuật và phần
mềm ứng dụng là những công cụ để giải quyết bài toán đặt ra.
Như vậy, áp dụng lý thuyết điều khiển tối ưu cùng với các công cụ tin học hiện đại để
giải quyết vấn đề cấp bách về tối ưu cấu trúc kết cấu, kiểm soát hiện tượng dao động và
cộng hưởng của kết cấu vừa đáp ứng tính cấp thiết, vừa có tính thời sự.
Chính vì vậy luận án được thực hiện với đề tài: “Ứng dụng lý thuyết điều khiển trong
tối ưu tần số riêng và khối lượng của kết cấu thanh.”.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Mục đích chung là tìm cơ sở khoa học và giải pháp thực tế để tối ưu cấu trúc kết cấu
nhằm đạt được dải tần số riêng phù hợp trong khi đảm bảo tiêu chuẩn về khối lượng của
kết cấu.
Mục đích cụ thể là giải thuật và chương trình nhận được cho phép tính xác định tối ưu
dải tần số riêng và khối lượng của kết cấu một cách thuận lợi.
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Luận án tập trung nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu dải tần số riêng và khối lượng
của kết cấu sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin.
Đối tượng nghiên cứu của luận án là kết cấu dạng thanh chịu dao động dọc, trục chịu
dao động xoắn, dầm chịu uốn.
4. Nội dung nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu
Nội dung nghiên cứu:
Nghiên cứu tổng quan về điều khiển, điều khiển tối ưu, dao động của kết cấu.


Nghiên cứu chuyên sâu về nguyên lý cực đại Pontryagin, áp dụng vào bài toán tối ưu

đa mục tiêu của đề tài; thiết lập bài toán và xây dựng mô hình nghiên cứu dao động xoắn
của trục, dao động dọc và dao động uốn của thanh.
Thiết lập và giải bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu kết cấu thanh, trục theo tần số riêng và
khối lượng của kết cấu.
Xây dựng tập Pareto nhằm đánh giá mức độ thỏa hiệp (trade-off) giữa các mục tiêu.
Xây dựng tập giải pháp khả thi (feasible region) để đưa ra toàn bộ các cấu hình có thể có
của kết cấu đối với các mục tiêu quan tâm.
Khảo sát quan hệ của các dạng dao động riêng đến cấu hình tối ưu của kết cấu để từ đó
suy ra cấu hình tối ưu định tính của kết cấu mà chưa cần tính toán số. Tìm quy luật cấu
hình tối ưu tương đương của các kết cấu có chiều dài, điều kiện biên khác nhau.
Xây dựng thuật toán và chương trình tính cho phép điều khiển tối ưu dải tần số riêng và
khối lượng của kết cấu sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin.
Phạm vi nghiên cứu:
Dao động tự do tuyến tính của các kết cấu dạng thanh chịu dao động dọc, trục chịu dao
động xoắn.
Các kết cấu được làm từ vật liệu đồng nhất, đàn hồi tuyến tính, đẳng hưởng.
Các kết quả tính toán, mô phỏng một số mô hình dao động xoắn, dao động dọc, mô
hình chịu uốn tĩnh.
Phương pháp nghiên cứu:
Về lý thuyết: Thiết lập điều kiện cần tối ưu dải tần số riêng và khối lượng của kết cấu
sử dụng PMP. Xây dựng hàm đa mục tiêu tổng quát cho bài toán tối ưu đa mục tiêu.
Về tính toán số: Xây dựng thuật toán và chương trình tính viết bằng ngôn ngữ Matlab
để giải điều kiện cần tối ưu kể trên của kết cấu.
5. Những kết quả mới của luận án
Đề xuất các hàm đa mục tiêu tổng quát cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dải tần số riêng
và khối lượng của kết cấu.
Xác định được tường minh hệ số tỉ lệ k giữa các biến trạng thái trong hệ phương trình
vi phân trạng thái với các biến liên hợp trong hệ phương trình vi phân liên hợp trong hàm
Hamilton (điều kiện tối ưu của PMP) cho các hàm đa mục tiêu tổng quát kể trên. Thiết lập
được điều kiện cần tối ưu cho các bài toán đa mục tiêu tổng quát sử dụng PMP.

4

Xây dựng tập Pareto nhằm đánh giá mức độ thỏa hiệp (trade-off) giữa các mục tiêu, và
tập giải pháp khả thi (feasible region) để đưa ra toàn bộ các cấu hình có thể có của kết cấu
đối với các mục tiêu quan tâm.
Cung cấp cơ sở đánh giá định tính cấu hình tối ưu của kết cấu mà chưa cần tính toán
số, đề xuất quy luật cấu hình tối ưu tương đương của các kết cấu, khảo sát được ảnh hưởng
của khối lượng tập trung đến cấu hình tối ưu của kết cấu.
Giải thuật và chương trình tính toán thuận lợi, hiệu quả.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Luận án đã kế thừa, phát triển và góp phần làm phong phú thêm các ứng dụng Nguyên
lý cực đại Pontryagin trong giải quyết bài toán tối ưu đa mục tiêu.
Các bài toán được nghiên cứu trong luận án và các kết quả nhận được cho phép áp
dụng điều chỉnh cấu trúc kết cấu nhằm kiểm soát vùng cộng hưởng của kết cấu. Các bài
toán này có thể được ứng dụng trong giảm dao động có hại hoặc tăng cường dao động có
lợi của kết cấu.
7. Cấu trúc của luận án
Mở đầu
Chương 1: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu.
Chương 1 đặt bài toán tổng quát cho đề tài nghiên cứu về ứng dụng điều khiển tối ưu
trong tối ưu cấu trúc kết cấu, dẫn ra các vấn đề nghiên cứu trong luận án; phân tích và lựa
chọn đối tượng nghiên cứu là dao động xoắn của trục, dao động dọc và dao động uốn của
thanh; dẫn ra các mô hình khảo sát, tính toán phù hợp; tham khảo, nghiên cứu các công
trình đã công bố và phân tích, đánh giá để đặt bài toán cho hướng nghiên cứu của luận án
và phương pháp nghiên cứu là áp dụng PMP; tìm hiểu, phân tích những công trình đã công
bố liên quan bài toán và hướng nghiên cứu của luận án để nhận biết những kết quả đã đạt
được, cũng như những vấn đề cần tiếp tục hoàn thiện; từ đó đặt ra các nội dung nghiên cứu
tiếp theo.

Chương 2: Cơ sở điều khiển tối ưu theo PMP, hàm đa mục tiêu tổng quát.
Chương 2 trình bày cơ sở điều khiển tối ưu theo PMP. Các hệ phương trình vi phân
trạng thái biểu diễn quá trình động lực của kết cấu, một trong những thành phần chính của
bài toán điều khiển tối ưu, được dẫn ra. Các bài toán tối ưu nói chung và điều khiển tối ưu
cấu trúc kết cấu áp dụng PMP được trình bày. Thuật giải chung cho bài toán điều khiển tối
ưu áp dụng PMP được phân tích. NCS đề xuất mới việc thiết lập hàm đa mục tiêu tổng
quát và việc áp dụng vào bài toán tối ưu đa mục tiêu dải tần số riêng; và bài toán tối ưu đa


mục tiêu tần số riêng và khối lượng. Để áp dụng vào bài toán được nghiên cứu trong luận
án, NCS phân tích việc lựa chọn trọng số, xây dựng tập Pareto và tập giải pháp khả thi để
triển khai thực hiện trong các chương sau.
Chương 3: Điều khiển tối ưu đa mục tiêu trục và thanh sử dụng PMP.
Chương 3 trình bày phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu tối ưu cấu trúc trục và
thanh. Mục tiêu là tối ưu dải tần số riêng và khối lượng thanh. Các nội dung chính bao gồm
thiết lập bài toán cho từng trường hợp, trình phương pháp giải bài toán, đưa ra sơ đồ giải
thuật cho việc tính toán và lập trình.
Chương 4: Kết quả tính toán số.
Trong chương này, các kết quả tính toán số do NCS thực hiện được trình bày bao gồm
các nhóm:
- Bài toán kiểm tra độ tin cậy của thuật toán và chương trình.
- Các bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu dải tần số riêng và khối lượng của kết cấu
trục chịu dao động xoắn và thanh chịu dao động dọc dựa trên nguyên lý cực đại
Pontryagin.
- Bài toán ứng dụng điều khiển on-off cho dầm chịu uốn.
Kết luận chung: Trình bày những kết quả chính và đóng góp mới của luận án.
Các công trình đã công bố của tác giả liên quan đến đề tài luận án.
Tài liệu tham khảo.
Các kết quả của luận án đã được công bố ở 08 công trình khoa học, bao gồm:
• 02 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế SCI (Tạp chí Meccanica, Nhà xuất bản

Springer).
• 01 bài báo đăng trên Tạp chí Cơ học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt
Nam.
• 03 bài báo đăng trên Tạp chí Khoa học và Công nghệ – Viện Hàn lâm Khoa học và
Công nghệ Việt Nam.
• 01 bài báo đăng trên Tuyển tập Công trình Cơ học kỹ thuật toàn quốc.
• 01 bài báo đăng trên Tuyển tập Công trình Khoa học và Công nghệ quốc tế.


6

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
TRONG DAO ĐỘNG

Chương 1 đặt bài toán tổng quát cho đề tài nghiên cứu về ứng dụng điều khiển tối ưu
trong tối ưu cấu trúc kết cấu, dẫn ra các vấn đề nghiên cứu trong luận án; phân tích và lựa
chọn đối tượng nghiên cứu là dao động xoắn của trục, dao động dọc và dao động uốn của
thanh; dẫn ra các mô hình khảo sát, tính toán phù hợp; tham khảo, nghiên cứu các công
trình đã công bố và phân tích, đánh giá để đặt bài toán cho hướng nghiên cứu của luận án
và phương pháp nghiên cứu là áp dụng PMP; tìm hiểu, phân tích những công trình đã công
bố liên quan bài toán và hướng nghiên cứu của luận án để nhận biết những kết quả đã đạt
được, cũng như những vấn đề cần tiếp tục hoàn thiện; từ đó đặt ra các nội dung nghiên cứu
tiếp theo.

1.1 Tổng quan về điều khiển tối ưu và đối tượng điều khiển
1.1.1 Điều khiển, điều khiển tối ưu và bài toán tối ưu hóa kết cấu
Điều khiển là sự tác động lên đối tượng, hệ thống, quá trình,...(gọi chung là hệ thống)
có tác dụng duy trì hoặc thay đổi trạng thái của hệ thống theo một quy luật nào đó. Điều

khiển có phổ biến trong các hệ thống tự nhiên, xã hội và kỹ thuật. Các đối tượng, hệ thống,
quá trình,... bị (được) điều khiển được gọi là đối tượng bị (được) điều khiển hoặc ngắn gọn
là đối tượng điều khiển. Trạng thái của đối tượng thường được biểu diễn bởi n tham số y1,
y2, ..., yn; hoặc bởi véc tơ y của các tham số này. Các tham số y1, y2, ..., yn được gọi là các
biến trạng thái hoặc gọi véc tơ  y là véc tơ biến trạng thái. Điều khiển được thực hiện
bởi việc điều chỉnh các tham số của đối tượng điều khiển hoặc thực hiện các tác động điều
khiển lên đối tượng. Các tác động điều khiển hoặc các tham số được điều chỉnh được gọi là
các biến điều khiển gồm r tham số u1, u2, ..., ur; hoặc véc tơ điều khiển u . Thông thường
các véc tơ biến trạng thái  y và biến điều khiển u thay đổi theo thời gian hoặc diễn ra
trong không gian. Gọi biến độc lập là thời gian t, có thể biểu diễn y=y(t), u=u(t). Trường
hợp sự thay đổi của y, u diễn ra trong không gian thì biến độc lập là tọa độ x trong không
gian, y=y(x), u=u(x).


1.1 Tổng quan về điều khiển tối ưu và đối tượng điều khiển

7

Bài toán điều khiển được đặt ra là: tại thời điểm t0 đối tượng ở trạng thái y(t0)=y0Rn,
tìm điều khiển u(t)Rr, để dẫn đối tượng đến trạng thái y(tf)=yfRn.
Có thể tìm được các quy luật khác nhau u=u(t) của véc tơ điều khiển thỏa mãn yêu cầu
điều khiển đặt ra, và cũng như vậy có thể có các quy luật y=y(t) khác nhau đưa hệ từ y0 đến
yt. Do vậy thường quá trình điều khiển hệ từ y0 đến yt còn có yêu cầu phải tối ưu theo một
nghĩa nào đó, chẳng hạn thực hiện quá trình nhanh nhất, năng lượng tiêu hao ít nhất,..., khi
đó ta gọi là điều khiển tối ưu.
Như vậy, điều khiển tối ưu là: tại thời điểm t0 đối tượng ở trạng thái y(t0)=y0Rn, tìm
điều khiển u(t)Rr, để dẫn đối tượng đến trạng thái y(tf)=yfRn, thỏa mãn yêu cầu làm cực
tiểu (cực đại) mục tiêu nào đó. Mục tiêu thường được biểu diễn bởi một hàm mục tiêu của
các biến trạng thái, biến điều khiển và biến độc lập.
Lý thuyết điều khiển và điều khiển tối ưu được áp dụng trong nhiều bài toán kỹ thuật,

trong đó có bài toán điều khiển tối ưu hóa kết cấu các đối tượng chịu dao động như bộ
phận máy, công trình, kết cấu (thường gọi chung là kết cấu) nhằm kiểm soát dao động của
chúng. Tối ưu hóa kết cấu là thay đổi các tham số kết cấu, thay đổi kích thước của kết cấu
và dẫn đến làm thay đổi dao động của hệ thống.
Bài toán tối ưu hóa kết cấu được nghiên cứu trong luận án là tối ưu hóa kết cấu theo dải
tần số riêng bằng việc điều chỉnh, lựa chọn kích thước kết cấu để đạt được mục tiêu là dải
tần số riêng nhằm kiểm soát dao động (cộng hưởng) theo mục đích ứng dụng, hoặc chẩn
đoán kết cấu. Việc thay đổi kích thước có thể dẫn đến làm thay đổi các tiêu chuẩn khác của
kết cấu như khối lượng, thể tích,... Do vậy, thường dẫn đến bài toán tối ưu đa mục tiêu.
Mục tiếp theo sẽ tìm hiểu tổng quan về đối tượng điều khiển và các vấn đề liên quan
đến bài toán được nghiên cứu.

1.1.2 Dao động xoắn, dao động dọc và dao động uốn của thanh
Dao động phổ biến trong tự nhiên cũng như trong kỹ thuật, hiện tượng dao động xảy ra
với các công trình kiến trúc, xây dựng, dao động của cầu, dao động trong các phương tiện
giao thông vận tải, các máy móc, thiết bị,… [8, 12].
Các quá trình dao động diễn ra theo thời gian rất đa dạng, với những tính chất đặc
trưng, nguồn gây ra dao động cũng như ảnh hưởng của dao động khác nhau. Đặc biệt dưới
tác dụng của tải trọng động sẽ gây ra dao động cưỡng bức, ảnh hưởng lớn nhất đến hệ
thống.


8 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRONG DAO ĐỘNG

Khi nghiên cứu dao động người ta thường phân loại dao động để việc khảo sát, tính
toán thuận lợi và đưa ra cách thức, phương pháp can thiệp, làm thay đổi dao động theo
hướng phục vụ lợi ích của con người.
Các quá trình dao động được phân loại tùy theo các quan điểm, các căn cứ khác nhau
[12]. Dưới dây dẫn ra một số cách phân loại thường gặp và được áp dụng trong nghiên cứu
đề tài luận án.

Căn cứ vào cơ chế gây nên dao động người ta phân thành:
- Dao động tự do,
- Dao động cưỡng bức,
- Tự dao động,
- ...
Căn cứ vào số bậc tự do người ta phân thành:
- Dao động của hệ một bậc tự do,
- Dao động của hệ nhiều bậc tự do,
- Dao động của hệ vô hạn bậc tự do.
Căn cứ vào phương trình vi phân dao động người ta phân thành:
- Dao động tuyến tính,
- Dao động phi tuyến.
Căn cứ vào dạng chuyển động người ta phân thành:
- Dao động dọc,
- Dao động xoắn,
- Dao động uốn.
Ngoài ra còn nhiều cách phân loại khác tùy theo mục đích nghiên cứu.
Dao động của các kết cấu dạng thanh, trục là những mô hình đặc trưng cho các dạng
dao động xảy ra ở các công trình, trong các máy và bộ phận máy. Việc nghiên cứu các mô
hình dao động của các kết cấu dạng thanh, trục sẽ cho những kết quả giúp giải quyết các
bài toán thực tế về dao động của các kết cấu công trình cũng như trong các máy và thiết bị.
Сhính vì vậy đề tài luận án chọn các mô hình và dạng dao động nghiên cứu là dao động
xoắn của trục, dao động dọc của thanh thẳng.
Trên các hình 1.1 dẫn ra một số hình ảnh về các kết cấu, bộ phận máy chịu tải trọng
động khi làm việc có thể sinh ra dao động dọc, dao động xoắn và dao động uốn cho các kết
cấu dạng thanh, trục. các hình a, b, c lần lượt là máy đùn ép nhựa, máy lốc tôn, máy đột.
Các trục chịu tải trọng dọc là lớn, ngoài ra còn chịu tải trọng ngang, mô men xoắn.


1.1 Tổng quan về điều khiển tối ưu và đối tượng điều khiển

1.1.a

1.1.c

9

1.1.b

1.1.d

1.1.e

1.1.f

1.1.g

1.1.h

Hình 1.1 Các kết cấu, bộ phận máy chịu tải trọng động có thể gây ra dao động dọc, dao
động xoắn và dao động uốn [ />

10 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRONG DAO ĐỘNG

Các hình d, e là các tua bin làm việc ở chế độ tải trọng lớn theo hướng dọc, ngang trục
và cả mô men xoắn. các hình f, g, h cũng như vậy các trục trong đó truyền chuyển động và
chịu tải trọng theo cả các hướng dọc, ngang và xoắn.
Theo phương pháp của lý thuyết điều khiển tối ưu, cần dẫn ra mô hình toán học của đối
tượng điều khiển. Do vậy với các kết cấu chịu dao động cần xây dựng mô hình có thể áp
dụng lý thuyết dao động [5, 8, 9, 12, 59], để dẫn ra hệ phương trình vi phân trạng thái cùng

các đại lượng đặc trưng, làm cơ sở cho việc giải bài toán tối ưu hóa kếtcấu. Trên hình
1.2.a,b,c là các mô hình được xây dựng từ kết cấu thực biểu diễn ở hình 1.1.

1.2.a Mô hình kết cấu có dao động xoắn và dao động uốn.

1.2.b Mô hình kết cấu có dao động dọc, dao động xoắn và dao động uốn.

1.2.c Mô hình kết cấu có liên kết (gối đỡ) trung gian.
Hình 1.2 Các dạng dao động của kết cấu thanh (trục).
Trên hình 1.2.a là mô hình được xây dựng từ kết cấu thực là trục mang bánh răng trụ
răng thẳng, tải trọng động chủ yếu là mô men xoắn và lực nằm trong mặt phẳng vuông góc
với trục quay. Từ mô hình này cần khảo sát dao động xoắn và dao động uốn của kết cấu.
Mô hình 1.2.b được xây dựng từ trục mang bánh răng trụ răng nghiêng, tải trọng động là
lực dọc trục, mô men xoắn và lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay. Các dao
động dọc, dao động xoắn và dao động uốn cần được khảo sát.
Như đã chỉ ra ở các hình 1.1 các quá trình dao động xoắn, dao động dọc và dao động
uốn rất phổ biến trong các trục của các máy bởi điều kiện làm việc, sự tồn tại các sai lệch
về kết cấu, và đặc biệt là sự có mặt thường xuyên của tải trọng động [50, 54, 59, 62].


1.2 Các phương pháp điều khiển dao động của kết cấu

11

Việc khảo sát, tính toán dao động xoắn, dao động dọc và dao động uốn của các mô hình
trục, thanh là cơ sở để hiểu và từ đó điều khiển được các quá trình dao động của các kết
cấu, công trình, các bộ phận máy,…

1.1.3 Các đại lượng cơ bản đặc trưng của dao động kết cấu
Lý thuyết dao động đã cho thấy những đại lượng đặc trưng cơ bản của dao động nói

chung và dao động kết cấu là biên độ dao động, pha dao động (pha ban đầu) và tần số riêng
[1, 2, 8, 12]. Biên độ dao động và pha ban đầu phụ thuộc các điều kiện đầu và các tham số
của kết cấu. Tần số riêng không phụ thuộc vào các điều kiện đầu, mà chỉ phụ thuộc vào các
tham số của kết cấu. Tần số riêng là một đại lượng đặc trưng cơ bản nhất cho một hệ dao
động nói chung và đặc biệt là dao động kết cấu. Việc xác định tần số riêng là một trong các
nhiệm vụ quan trọng nhất, giúp giải quyết nhiều bài toán quan trọng của kỹ thuật.
Quá trình dao động trong kết cấu, bộ phận máy là một quá trình phức tạp trong đó ở
giai đoạn đầu bao gồm cả dao động tự do, dao động tự do có cản, dao động cưỡng bức.
Dưới tác dụng của lực cản, các dao động tự do sẽ tắt dần và cuối cùng chỉ còn lại dao động
cưỡng bức. Như đã biết, biên độ dao động phụ thuộc điều kiện đầu và các tham số của hệ
thống, và với dao động cưỡng bức, biên độ phụ thuộc cả vào nguồn kích động. Đặc biệt khi
tần số dao động cưỡng bức bằng hoặc rất gần với tần số dao động riêng thì biên độ dao
động tăng lên rất lớn do hiện tượng cộng hưởng. Thông thường, với các kết cấu, công trình
hay bộ phận máy, thiết bị, các tham số của hệ thống thường được xác định phụ thuộc yêu
cầu kỹ thuật. Do vậy để tránh hoặc khai thác hiện tượng cộng hưởng người ta nghiên cứu,
tìm giải pháp điều khiển dao động, bằng cách thay đổi một trong các đại lượng quan trọng
bậc nhất của dao động là tần số riêng. Bên cạnh việc tránh hoặc áp dụng được hiện tượng
cộng hưởng, việc tính toán khảo sát tần số riêng cũng là cơ sở để chẩn đoán kết cấu [30,
34, 41, 49, 53, 58, 67, 71].

1.2 Các phương pháp điều khiển dao động của kết cấu
1.2.1 Các phương pháp điều khiển dao động của kết cấu
Như đã trình bày, ba đại lượng đặc trưng cơ bản, xác định dao động của kết cấu là biên
độ dao động, pha ban đầu và tần số riêng. Như vậy để điều khiển (làm thay đổi) dao động,
cần tìm các giải pháp thay đổi các đại lượng đặc trưng cơ bản nói trên.


12 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRONG DAO ĐỘNG

Biên độ dao động và pha ban đầu phụ thuộc các điều kiện đầu, các tham số của kết cấu

và nguồn kích động (lực) gây ra dao động. Vậy, để làm thay đổi biên độ và pha ban đầu
của dao động có thể thực hiện bằng việc thay đổi điều kiện đầu, thay đổi tham số của hệ,
thay đổi làm triệt tiêu hoặc hạn chế nguồn lực kích động. Tuy vậy việc thay đổi nguồn lực
kích động không phải lúc nào cũng làm được bởi các kết cấu, công trình và máy móc, thiết
bị tồn tại và hoạt động trong điều kiện thực tế, phụ thuộc vào yêu cầu kỹ thuật, chức năng
của các máy và điều kiện bên ngoài.
Có nhiều phương pháp làm thay đổi tham số của hệ dẫn đến thay đổi biên độ và pha
ban đầu và cả tần số dao động riêng. Chẳng hạn thay đổi tham số độ cứng, khối lượng của
kết cấu, bộ phận máy, thay đổi các phần tử cản, thay đổi kết cấu làm thay đổi đặc trưng
hình học khối lượng của các kết cấu, bộ phận dao động của máy,…. Đối với các kết cấu
cần giảm rung có thể lắp bộ giảm chấn động lực, các thiết bị khử rung. Đối với các dao
động có ích cũng có nhiều cách làm thay đổi dao động như trên, trong đó, thay vì lắp bộ
giảm chấn động lực, thiết bị khử rung, người ta lắp bộ kích rung đồng thời với việc điều
chỉnh tham số kết cấu.
Mặc dù các phương pháp được kể đến là rất đa dạng và hiệu quả, song như đã biết khi
hiện tượng cộng hưởng xảy ra thì biên độ dao động sẽ tăng lên rất lớn. Như vậy tần số
riêng đóng vai trò rất quan trọng và chính là đại lượng đặc trưng quan trọng nhất cần được
điều khiển để làm thay đổi dao động hoặc kiểm soát dao động theo mong muốn.
Vấn đề điều khiển tần số riêng đã được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu và có
nhiều công trình khoa học được công bố, với những thành tựu to lớn, cho phép ứng dụng
vào thực tiễn sản xuất và kỹ thuật.
Như vậy bài toán tối ưu hóa kết cấu để nhận được dải tần số riêng mong muốn có thể
nghiên cứu dưới dạng bài toán điều khiển tối ưu.
Mục 1.2.2 sẽ trình bày những khảo sát, nghiên cứu, tìm hiểu các công trình đã công bố,
những kết quả đã đạt được, phân tích những vấn đề cần tiếp tục hoàn thiện và phát triển, từ
đó rút ra vấn đề cần nghiên cứu, giải quyết trong luận án.

1.2.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu về điều khiển dao động của kết cấu
Bài toán điều khiển tối ưu nói chung có thể giải bằng nhiều phương pháp, chẳng hạn có
thể áp dụng nguyên lý biến phân cổ điển, nguyên lý tối ưu Bellman, Nguyên lý cực đại

Pontryagin. Trong bài toán điều khiển dao động nói chung và điều khiển tối ưu dải tần số
riêng nhằm tối ưu cấu trúc mô hình kết cấu thanh và trục, các biến trạng thái là các đại


1.2 Các phương pháp điều khiển dao động của kết cấu

13

lượng đặc trưng cho chuyển vị và nội lực trong kết cấu, các biến điều khiển thường là kích
thước mặt cắt ngang của thanh, trục. Các biến điều khiển còn được gọi là biến thiết kế bởi
nhờ việc xác định giá trị tối ưu của chúng, cho phép thiết kế mô hình thanh, trục thỏa mãn
điều kiện tối ưu tần số riêng đạt giá trị max (min) và khối lượng min (max). Cũng vì biến
điều khiển là kích thước hình học của kết cấu nên thường bị giới hạn trong một khoảng
đóng nhất định. Như vậy với bài toán tối ưu dải tần số riêng của kết cấu thanh chịu dao
động dọc và uốn, trục chịu dao động xoắn, các biến điều khiển nằm trong một miền kín
nên việc áp dụng nguyên lý biến phân cổ điển gặp khó khăn do các điều kiện tối ưu có thể
nằm trên biên của miền kín đó [4, 11]
Việc áp dụng nguyên lý Bellman cho bài toán tối ưu tần số riêng cũng có khó khăn do
phương trình thiết lập điều kiện tối ưu có dạng phương trình đạo hàm riêng. Với bài toán
tối ưu tần số riêng ta thường áp dụng hệ phương trình vi phân trạng thái là hệ phương trình
vi phân thường. Mặt khác, khi áp dụng nguyên lý Bellman thường dẫn đến phương pháp
truy hồi, do vậy biểu thức biểu diễn, tính toán đồ sộ, cồng kềnh và đòi hỏi công cụ tính
toán, máy tính cấu hình mạnh.
Việc áp dụng nguyên lý cực đại Pontryagin cho phép áp dụng phương pháp giải tích số
kết hợp công cụ tin học hiện đại, và với giải thuật tính toán sáng tạo cho phép kế thừa các
bước khảo sát tính toán một cách liên tục để nhận được kết quả nhanh chóng[4, 11, 13, 76]
Qua nghiên cứu tổng quan, phương pháp PMP được áp dụng rộng rãi trên thế giới cho
nhiều bài toán điều khiển tối ưu, với nhiều công trình đã công bố và kết quả khá đồ sộ. Từ
phân tích trên cho thấy, áp dụng PMP cho bài toán tối ưu dải tần số riêng của thanh, trục là
phù hợp.

Từ các công trình đã công bố và các kết quả nghiên cứu của nhiều tác giả, các nhà khoa
học trong nước và trên thế giới cho thấy: Bài toán điều khiển dao động dựa trên tối ưu cấu
trúc, tối ưu tham số của kết cấu nói chung và tối ưu hóa theo tần số riêng nói riêng (và dẫn
đến điều khiển tối ưu trị riêng) của kết cấu được giải quyết một cách thuận lợi và rất hiệu
quả nhờ áp dụng Nguyên lý cực đại Pontryagin (đã được nói đến trong phần mở đầu của
luận án: Pontryagin’s Maximum Principle-PMP).
PMP được phát biểu vào năm 1956 [55, 63] bởi nhà toán học, viện sĩ người Nga Lev
Xemionovich Pontryagin (03.9.1908-03.05.1988 Moscow) và được chứng minh vào những
năm 1957, 1958 bởi các học trò của ông. Một trong những bài toán được giải quyết một
cách hiệu quả bởi PMP là tối ưu quá trình động lực từ thời điểm đầu t0 đến thời điểm cuối
tf [55, 63].