Ứng dụng lý thuyết điều khiển trong tối ưu tần số riêng và khối lượng của kết cấu thanh (tt)

MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài
Lý thuyết điều khiển tối ưu, mà trụ cột chính là Nguyên lý cực đại
Pontryagin (Pontryagin’s Maximum Principle-PMP), được áp dụng trong
nhiều bài toán kỹ thuật, trong đó có bài toán điều khiển tối ưu cấu trúc kết
cấu chịu dao động.
Các máy móc, thiết bị, công trình và kết cấu thường chịu tải trọng động,
làm xuất hiện dao động, còn gọi là rung động. Tần số ri ng và d ng dao động
riêng là những đặc trưng quan trọng của quá trình dao động. Khi tần số dao
động cưỡng bức trùng hoặc gần với tần số dao động riêng sẽ xảy ra hiện
tượng cộng hưởng làm dao động tăng l n rất m nh. Kiểm soát và điều khiển
được quá trình dao động, đặc biệt là hiện tượng cộng hưởng là yêu cầu rất
cần thiết.
Đã có nhiều công trình khoa học nghiên cứu vấn đề này với những kết quả
đồ sộ, được áp dụng hiệu quả trong việc điều khiển các quá trình dao động.
Tuy vậy vẫn còn nhiều vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu, hoàn thiện.
Chẳng h n, vấn đề tối ưu dải tần số riêng bằng việc điều chỉnh kích thước kết
cấu trong khi đảm bảo tiêu chuẩn về khối lượng (thể tích) kết cấu. Cùng với
lý thuyết điều khiển, các giải thuật và phần mềm ứng dụng là những công cụ
để giải quyết bài toán đặt ra.
Chính vì vậy luận án này ứng dụng l thuyết điều khiển để tối ưu cấu trúc kết
cấu, nghiên cứu tối ưu đa mục tiêu dải tần số riêng và khối lượng kết cấu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài
Mục đích chung là tìm cơ sở khoa học và giải pháp thực tế để tối ưu cấu
trúc kết cấu nhằm đ t được dải tần số riêng phù hợp trong khi đảm bảo tiêu
chuẩn về khối lượng của kết cấu.
Mục đích cụ thể là giải thuật và chương trình nhận được cho phép xác
định tối ưu dải tần số riêng và khối lượng của kết cấu một cách thuận lợi.
Đối tƣợng nghiên cứu của tài
Luận án tập trung nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu dải tần số ri ng và
khối lượng của kết cấu sử dụng PMP.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là kết cấu d ng thanh chịu dao động
dọc, trục chịu dao động o n, dầm chịu uốn.
Nội dung nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu
Nội dung nghiên cứu:
Nghiên cứu tổng quan về điều khiển, điều khiển tối ưu, dao động của kết
cấu.
1


Nghiên cứu chuyên sâu về nguyên lý cực đ i Pontryagin, áp dụng vào bài
toán tối ưu đa mục tiêu của đề tài; thiết lập bài toán và xây dựng mô hình
nghiên cứu dao động kết cấu
Thiết lập và giải bài toán tối ưu đa mục tiêu cho tần số riêng và khối lượng
của kết cấu.
Xây dựng tập Pareto nhằm đánh giá mức độ thỏa hiệp (trade-off) giữa các
mục ti u
y dựng tập giải pháp khả thi feasible region) để đưa ra toàn bộ
các cấu hình có thể có của kết cấu đối với các mục ti u quan t m
Khảo sát quan hệ của các d ng dao động riêng đến cấu hình tối ưu của kết
cấu để t đó suy ra cấu hình tối ưu định tính của kết cấu mà chưa cần tính
toán số ìm quy luật cấu hình tối ưu tương đương của các kết cấu có chiều
dài, điều kiện bi n khác nhau
Xây dựng thuật toán và chương trình tính cho ph p điều khiển tối ưu dải
tần số ri ng và khối lượng của kết cấu sử dụng PMP.
Phạm vi nghiên cứu:
ao động tự do tuyến tính của các kết cấu d ng trục chịu dao động o n,
thanh chịu dao động dọc ác kết cấu được làm t vật liệu đồng nhất, đàn hồi
tuyến tính, đẳng hưởng ác kết quả tính toán, mô phỏng một số mô hình dao
động xo n, dao động dọc và dao động uốn.
Phương pháp nghiên cứu:

Về lý thuyết: Thiết lập điều kiện cần tối ưu dải tần số ri ng và khối lượng
của kết cấu sử dụng PMP. Xây dựng hàm đa mục tiêu tổng quát cho bài toán
tối ưu đa mục tiêu.
Về tính toán số: Xây dựng thuật toán và chương trình tính viết bằng ngôn
ngữ Matlab để giải điều kiện cần tối ưu kể tr n của kết cấu.
Những kết quả mới của luận án
Đề xuất các hàm đa mục tiêu tổng quát cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dải
tần số riêng và khối lượng của kết cấu.
ác định được tường minh hệ số tỉ lệ k giữa các biến tr ng thái trong hệ
phương trình vi ph n tr ng thái với các biến liên hợp trong hệ phương trình vi
phân liên hợp trong hàm Hamilton. Thiết lập được điều kiện cần tối ưu cho
các bài toán đa mục ti u tổng quát sử dụng PMP
Xây dựng tập Pareto nhằm đánh giá mức độ thỏa hiệp (trade-off) giữa các
mục ti u, và tập giải pháp khả thi feasible region) để đưa ra toàn bộ các cấu
hình có thể có của kết cấu đối với các mục ti u quan t m
Cung cấp cơ sở đánh giá định tính cấu hình tối ưu của kết cấu mà chưa
cần tính toán số, đề xuất quy luật cấu hình tối ưu tương đương của các kết
2


cấu, khảo sát được ảnh hưởng của khối lượng tập trung đến cấu hình tối ưu
của kết cấu
Giải thuật và chương trình tính toán thuận lợi, hiệu quả.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Luận án đã kế th a, phát triển và góp phần làm phong phú thêm các ứng
dụng Nguyên lý cực đ i Pontryagin trong giải quyết bài toán tối ưu đa mục
tiêu.
ác bài toán được nghiên cứu trong luận án và các kết quả nhận được cho
phép áp dụng điều chỉnh cấu trúc kết cấu nhằm kiểm soát v ng cộng hưởng
của kết cấu ác bài toán này có thể được ứng dụng trong giảm dao động có

h i hoặc tăng cường dao động có lợi của kết cấu
Cấu trúc của luận án
Luận án gồm phần mở đầu, 4 chương, kết luận, tài liệu tham khảo và các
chương trình tính toán mô phỏng.
Mở đầu
Chƣơng 1: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu.
Chƣơng 2: ơ sở điều khiển tối ưu theo PMP, hàm đa mục tiêu tổng quát.
Chƣơng 3: Điều khiển tối ưu đa mục ti u trục và thanh sử dụng PMP.
Chƣơng 4: Kết quả tính toán số.
Kết luận chung: Trình bày những kết quả chính và đóng góp mới của luận
án.
Các công trình đã công bố của tác giả liên quan đến đề tài luận án:
Các kết quả của luận án đã được công bố ở 08 công trình khoa học, bao gồm
02 bài báo SCI, 04 bài trên t p chí quốc gia, 01 bài tuyển tập Hội nghị khoa
học toàn quốc, 01 bài Hội nghị khoa học quốc tế.
Tài liệu tham khảo.
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU
TRONG DAO ĐỘNG
hương này nhằm đặt bài toán tổng quát cho đề tài nghiên cứu về ứng
dụng điều khiển tối ưu trong tối ưu hóa kết cấu; phân tích và lựa chọn đối
tượng nghiên cứu; dẫn ra các mô hình khảo sát, tính toán phù hợp; đặt bài
toán cho hướng nghiên cứu của luận án, các nội dung nghiên cứu và phương
pháp nghiên cứu. Các nội dung chính bao gồm:
- Tổng quan về điều khiển tối ưu và đối tượng điều khiển.
- ác phương pháp điều khiển dao động của kết cấu
- Điều khiển tối ưu dải tần số riêng và khối lượng kết cấu trục và thanh.

3

CHƢƠNG 2 CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU THEO PMP, HÀM ĐA
MỤC TIÊU TỔNG QUÁT
hương này trình bày cơ sở điều khiển tối ưu theo PMP, dẫn ra các hệ
phương trình vi ph n tr ng thái biểu diễn quá trình động lực của kết cấu.
Thiết lập các bài toán tối hóa kết cấu áp dụng PMP Đề xuất mới việc thiết
lập hàm đa mục tiêu tổng quát. Trình bày thuật giải bài toán tối ưu và phương
pháp xây dựng tập Pareto và tập giải pháp khả thi.
2.1 Phƣơng trình vi phân trạng thái của trục v thanh [10, 55]
Trục chịu dao động xo n:

M
dM
 d

;
   J   2


 dx GJ  dx

(2.6)

Thanh chịu dao động dọc:
 du N
;
 
 dx EA

dN

   A 2u
dx

(2.10)

Thanh chịu dao động uốn:
 dy
d
M
dM
dQ

;
 Q;
   ( x) 2 y
  ;
dx
EJ ( x) dx
dx
 dx

(2.12)

Ma trận truyền của trục dao động xo n
 n 
 0 
 0 

H
...

H
H

H







M 
n 1
2
1 

M 
 n
 M0 
 0

Ma trận truyền của thanh dao động dọc
 un 
 u0 
 u0 

H
...
H
H


H







n 1
2
1 
N 

N 
 n
 N0 
 0
2.2 Điều khiển tối ƣu v nguyên lý cực đại Pontryagin
Quá trình động lực
qi  fi  q  t  ,U  t  , t  , i  1, n

(2.15)

(2.17)

(2.49)

Hàm mục tiêu:
m

G   bi qi (t f ),

mn

(2.53)

i 1

Bài toán điều khiển tối ưu tổng quát: tìm điều khiển tối ưu U*(t)Gu(t) sao
cho U*(t) đưa quá trình động lực tuân theo (2.49), q(t)Rn, t điểm đầu
q(t0)=q0 đến điểm cuối q(tf )=qf, đồng thời hàm mục ti u đ t giá trị nhỏ nhất
(min) hoặc giá trị lớn nhất (max).
Nguyên lý cực đại Pontryagin:
4


Hàm Hamilton H là hàm phụ thuộc các biến qi(i=1,..,n), Uj(j=1,..,r) và
pj(j=1,..,n), các biến pj được gọi là biến liên hợp:
n

H  p, q,U , t    p, f  q,U , t     pi f i  q,U , t 

(2.54)

i 1

Nguyên lý cực đại Pontryagin: Nếu v c tơ điều khiển U(t) là tối ưu, tức
đảm bảo phiếm hàm mục tiêu (2.53) cực tiểu (cực đ i) thì hàm Hamilton đ t
cực đ i (cực tiểu), các biến liên hợp thỏa mãn hệ phương trình li n hợp:

n
H  p, q,U , t 
f  q,U , t 
pj  
  pi i
q j
q j
i 1

(2.55)

Với:

p j  t f   b j

(2.56)

Thuật toán giải bài toán tối ưu áp dụng PMP trên hình 2.4.

Hình 2.4 Sơ đồ hệ thống của quá trình lặp. [20]

2.3 Tối ƣu cấu trúc kết cấu áp dụng PMP
N S đề xuất hàm đa mục tiêu tổng quát cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dải
tần số riêng và khối lượng kết cấu:
s
c 
c W
(2.74)
F   ki i i  kW W  min
i 1

0 i
W0
rong đó: i là tần số thứ i; s là số tần số riêng cần tối ưu; ci = ±1 và cW =
±1 tương ứng với các trường hợp cực đ i và cực tiểu các mục tiêu i và W;
0i và W0 tương ứng là tần số riêng thứ i và tổng khối lượng trục ban đầu
trước tối ưu); các hệ số ki (i=1,..,s), kw là các trọng số, mỗi hệ số nằm trong
giới h n [0,1], nhưng phải thỏa mãn điều kiện:
s

 k  k  1
i 1

i

(2.75)

W

Các trọng số ki (i=1,..,s), kw được lựa chọn phù hợp (2.75) và mục ti u ưu
tiên. Áp dụng cho các bài toán của luận án, hàm (2.74) thường được đưa về
d ng (2.79) khi tối ưu hóa theo tần số riêng thứ nhất và thứ hai; và (2.80) khi
tối ưu hóa theo tần số riêng thứ nhất (hoặc thứ hai) và khối lượng:
5


F  k1

c11

01

 (1  k1 )
cii

c 22

02

 min

(2.79)

cW W
 min
(2.80)
0i
W0
Ở đ y kw là trọng số của mục ti u khối lượng, 1-kw là trọng số của mục
tiêu tần số riêng thứ nhất hoặc thứ hai.
Trên hình 2.6 biểu diễn phương pháp ph n tích trọng số và các tập Pareto,
xây dựng tập giải pháp khả thi toàn bộ các cấu hình có thể có của kết cấu.
F  (1  kW )

 kW

Tập Pareto

W

E

Wmax

B

F
Tập giải pháp
khả thi
O

A

C
Tập Pareto

Tập Pareto
Wmin

H

G

D

1min

1max 1

Hình 2.6 T p gi i pháp h thi và các t p areto.

CHƢƠNG 3
ĐIỀU HIỂN TỐI ƢU ĐA MỤC TI U TRỤC VÀ
THANH S DỤNG PMP
hương này trình bày phương pháp giải bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu kết
cấu trục và thanh. Mục tiêu là tối ưu hóa kết cấu theo dải tần số riêng và khối
lượng thanh. Thiết lập bài toán cho t ng trường hợp, trình bày phương pháp
giải, đưa ra sơ đồ giải thuật cho việc tính toán và lập trình.
3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục dao động o n s dụng PMP
Đo n trục
1
N t 1
2

2

e
3

e

n-2
e+1

n-2

n-1
n-1

n
x

DOF 1

Hình 3.1

d1
L1

2

ệ tr c n-

d2
L2

3

e

de
Le

e+1

n-2

dn-2
Ln-2

n-1

dn-1
Ln-1

n

c

Xét mô hình trục chịu xo n hình 3.1. de, Le: đường kính, chiều dài đo n thứ e;
e: góc xo n t i n t e. G: mô đun đàn hồi trượt N m2); : khối lượng riêng
6


(kg/m3); Jp: mô men quán tính mặt c t ngang (m4), Jp = d4/32; M: mô men
xo n (Nm); : tần số ri ng của trục s-1).
Hệ phương trình vi ph n tr ng thái biểu diễn bởi (2.6).
ốn điều kiện bi n được xem xét bao gồm:
(a) tự do-tự do: M(0) = M(L) = 0;
(3.1a)
(b) ngàm-tự do: (0) = 0, M(L) = 0;
(3.1b)
(c) tự do-ngàm: M(0) = 0, (L) = 0;
(3.1c)
(d) ngàm-ngàm: (0) = 0, (L) = 0.
(3.1d)
Bài toán tối ưu: tìm de (e = 1  n-1), de   dmin , dmax  , để hệ tuân theo (2.6) và
thỏa mãn hàm đa mục tiêu (2.80). với các thành phần trong (2.80): i là tần
số thứ i, kW  0, 1 là trọng số, W là tổng khối lượng trục, 0i và W0 tần số
riêng thứ i và tổng khối lượng trục ban đầu trước tối ưu) ci = ±1 và cW = ±1.
Định lý omega: qua các phương trình (2.6), (2.80) và (3.1), hàm Hamilton H

đạt cực đại đối với diện tích mặt cắt ngang S và hệ số tỉ lệ k giữa các biến
trạng thái an đầu và các biến trạng thái liên hợp đạt giá trị dương:
c k
1  M2
2 2 2
(3.3)
H  


cS
i    W W  S  max  theoS 
2
k  GcS
W

0
Chứng minh: Coi tần số riêng i và khối lượng trục W cũng là các biến tr ng
thái Đặt Jp=cS2, S-diện tích mặt c t ngang. Qua các phép biến đổi, định lý
được chứng minh và tìm được công thức tường minh của k:
L
2 i0i
k 
cS 2 2 dx
(3.18)

ci (1  kW ) 0
k là dương m đối với trường hợp cực đ i cực tiểu i.
V y, dựa trên M trong điều khiển tối ưu tần số riêng của hệ tr c chịu
xoắn, điều kiện cần tối ưu thu được bao gồm: phương trình vi phân trạng
thái (2.6), 4 trường hợp điều kiện biên (3.1), kho ng xác định của biến điều

khiển de   d min , d max  và điều kiện cực đại của hàm Hamilton (3.3).
Sơ đồ thuật toán trên Hình 3.2
de
(ban đầu)

Hội tụ?
(i, W)

Bài toán phân tích

+

Kết quả
de, i, W

¯
de
(mới)

ài toán tối ưu

Hình 3.2 Sơ đồ thu t toán của ài toán điều hiển tối ưu đa
riêng và tổng hối lượng của hệ tr c xoắn
7

c tiêu tần số


3.2 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh dao động dọc s dụng PMP
hanh thẳng, mặt c t ngang tr n chiều dài L, chia thành n-1 đo n, ở các n t

có khối lượng tập trung me (e = 1 ÷ n), Hình 3 3 Le và de: chiều dài và đường
kính của đo n thứ e.
Đo n thanh
1
N t 1

2
2

e
3

e

n-2
e+1

n-2

n-1
n-1

n
x

m1

DOF

m2

d1
L1
u1

m3

me
de
Le

d2
L2
u2

mn-2

me+1

u3

ue

mn-1

dn-2
Ln-2
ue+1

un-2

un-1

dn-1
Ln-1

mn

un

Hình 3.3 Thanh th ng n- đoạn, n hối lượng t p trung

Hệ phương trình vi ph n tr ng thái biểu diễn bởi (2.10).
Điều kiện cân bằng t i mặt c t có khối lượng tập trung:
N  N  m 2u;
u  u
(3.19)
Điều kiện biên:
(a) tự do-tự do: N(0) = N(L) = 0;
(3.20a)
(b) ngàm-tự do: u(0) = 0, N(L) = 0;
(3.20b)
(c) tự do-ngàm: N(0) = 0, u(L) = 0
(3.20c)
(d) ngàm-ngàm: u(0) = 0, u(L) = 0.
(3.20d)
Bài toán tối ưu: tìm de (e = 1  n-1), de   d min , d max  , để hệ tuân theo (2.10)
và thỏa mãn hàm đa mục tiêu (2.80).
Định lý omega: qua các phương trình (2.10), (3.19), (3.20) và (2.80), hàm
a ilton đạt cực đại đối với diện tích mặt cắt ngang A và hệ số tỉ lệ k giữa

các biến trạng thái an đầu và các biến trạng thái liên hợp đạt giá trị dương:
 c k
1  N2
(3.21)
H  
  Ai2u 2   W W  A  max  theoA
k  EA
W

0
Cách chứng minh định l tương tự trường hợp dao động xo n, tìm được công
thức tường minh của k :

2 i0i
k 
Au 2 dx
(3.37)

ci (1  kW ) 0
V y, dựa trên M trong điều khiển tối ưu đa
c tiêu d i tần số riêng và
tổng hối lượng của thanh dao đ ng d c tự do c ể đến hối lượng t p
trung, điều kiện cần tối ưu thu được bao gồ : phương trình vi phân trạng
thái (2.10), (3.19), 4 trường hợp điều kiện biên (3.20), kho ng xác định của
biến điều khiển de   dmin , d max  và điều kiện cực đại của hàm Hamilton (3.21).
Sơ đồ thuật toán Hình 3.2.
L

8

3.3 B i toán độ cứng dầm ch u uốn s dụng PMP
Dầm liên kết ngàm-tự do, nằm ngang, dài L, mô đun đàn hồi E, trọng lượng
riêng , mặt c t ngang hình chữ nhật h.b hằng số, h và b - chiều cao và
chiều rộng Hình 3 4)

Hình 3.4

ầ ngà -tự do

Độ võng đầu tự do y
ác định tham số đầu vào, c nh đáy d, có thể thay đổi
để thay đổi độ võng t i đầu tự do y(L), ví dụ lấy trong miền:
d  dmin , dmax    d1 , d2  . d(x) được xem tương tự như điều khiển U(t).
Bài toán tối ưu: tìm quy luật thay đổi của biến điều khiển d(x) trong
khoảng [d1,d2] sao cho tr ng thái của dầm (chuyển vị y, góc xoay , mô men
uốn M, lực c t Q) thay đổi t vị trí đầu x = 0 đến vị trí cuối x= L với hàm mục
tiêu y(L) đ t giá trị lớn nhất/nhỏ nhất (ứng với dầm có độ cứng nhỏ nhất hoặc
lớn nhất): y(L)  max/min.
Giải bằng nguyên lý cực đại Pontryagin
ìm được Hàm Hamilton có d ng là hàm lồi của điều khiển d.
Mp
c12
M
H d   
p   hpQ d    c22 d , Với c12 
 0; c22   hpQ  0
Echd
d
Ech

H(d) là hàm lồi, giá trị cực tiểu H(d) = min chỉ có thể đ t ở biên d1 đầu có
ngàm) và d2 (cuối tự do).

Hình 3.5

h n ng dạng hà

lồi

Biện luận hàm hồi H(d) cho thấy khi hàm mục tiêu y(L) đ t min độ cứng
dầm nhỏ nhất) thì dầm có d ng bậc một điểm chuyển tiếp với giá trị chiều
rộng dầm min ở đầu ngàm và max ở đầu tự do. Điểm chuyển tiếp ̅ = có thể
ác định theo PMP hoặc khảo sát t điều kiện y(L) = max, hình 3.6. ta có
điều khiển d ng on-off cho dầm độ cứng nhỏ nhất độ võng lớn nhất).
9


Hình 3.6

ầ hai

c theo điều iện đ võng lớn nhất (đ cứng nhỏ nhất)

Khi hàm mục tiêu y(L) đ t ma độ cứng dầm lớn nhất) thì chiều rộng tiết
diện ngang của dầm giảm đơn điệu t giá trị max ở đầu ngàm và đến min ở
đầu tự do, hình 3.7.

Hình 3.7

ầ với ề r ng gi

đơn điệu theo điều iện đ cứng lớn nhất

3.4 Thuật toán v chƣơng trình tính
Sơ đồ thuật toán chung khi áp dụng PMP như tr n Hình 3 2
3.5 ết luận chƣơng 3
rong chương này, N S đã trình bày các bài toán tối ưu cấu trúc, trục chịu
dao động xo n và thanh chịu dao động dọc sử dụng nguyên lý cực đ i
Pontryagin p dụng PMP trong điều khiển on-off khảo sát độ võng dầm chịu
uốn tìm cấu hình tương ứng.
ác đóng gớp mới của chương này bao gồm:
- Chứng minh định lý omega áp dụng vào bài toán tối ưu dải tần số riêng
và khối lượng kết cấu.
- ác định được tường minh hệ số tỉ lệ k giữa các biến tr ng thái trong hệ
phương trình vi ph n tr ng thái với các biến liên hợp trong hệ phương trình vi
phân liên hợp trong hàm Hamilton điều kiện tối ưu của PMP) cho các hàm
đa mục ti u tổng quát kể tr n
- Thiết lập được điều kiện cần tối ưu cho các bài toán đa mục ti u tổng
quát kể tr n sử dụng PMP.
ác đóng góp mới này đã kh c phục được những tồn t i trong các công
trình trước [1, 15, 16, 36, 51-53] được ph n tích ở chương 1

10


CHƢƠNG 4
T QU T NH TO N SỐ
4.1 B i toán 1: iểm tra độ tin cậy của thuật toán v chƣơng trình tính
4.1.1 Trục ch u dao động o n
Xét trục tròn chịu dao động xo n, điều kiện biên ngàm-tự do như tr n Hình

2.3. n 7 n t 6 đo n), G = 0.7691011 N/m2, khối lượng riêng  = 8000
kg/m3, chiều dài mỗi đo n trục Le = 0.1 m.
iả sử, đường kính của các đo n trục đều là 0.02 m.
Tính toán tần số riêng thứ nhất và thứ hai và so sánh với kết quả trong một số
tài liệu tin cậy [1, 44].
Bài toán tối ưu: ác hàm mục ti u như sau:
F  i  min/ max, i  1,2
(4.1)
Khi đó, điều kiện cần tối ưu 3 3) trở thành:
M2
(4.2)
H 
  cS 2i2 2  max/min  theo S 
2
GcS
Kết quả tối ưu được tìm kiểm với hai phương pháp:
- Tìm kiếm trên tập hợp các giải pháp khả thi [1], gọi là phương pháp v t c n.
- Sử dụng PMP với điều kiện tối ưu 4 1) và 4 2)
Rời r c hóa biến thiết kế de (e = 1÷6), bước de = 0.002m
4.1.2 Thanh ch u dao động dọc
Xét thanh tròn chịu dao động dọc, điều kiện biên: ngàm-tự do như tr n Hình
4.2. n 7 n t 6 đo n), E = 21011 N/m2, khối lượng riêng  = 8000 kg/m3,
chiều dài mỗi đo n Li = 0.1 m.
Bài toán phân tích: đường kính của các đo n thanh đều, 0.02 m.
Bài toán tối ưu: đường kính của các đo n thanh thay đổi trong khoảng
de  0.01, 0.02 m.
ác hàm mục ti u như 4 1)
Khi đó, điều kiện cần tối ưu 3 21) trở thành:
N2
H 

  Ai2u 2  max/min  theo A
(4.3)
EA
Kết quả tối ưu của bài toán này được tìm kiếm với hai phương pháp v t c n
và sử dụng PMP với điều kiện cần tối ưu
4.1.3 Nhận t
Kết quả tính toán các tần số ri ng thứ nhất và thứ hai của các kết cấu cho
sai lệch lớn nhất là 2 59 so với tài liệu tham khảo [44] công thức giải tích)
Kết quả tối ưu tần số ri ng thứ nhất và thứ hai sử dụng PMP tr ng hoàn toàn
so với các kết quả thu được t phương pháp v t c n ậy, thuật toán và
chương trình tính sử dụng trong uận án đảm bảo độ tin cậy
11


4.2 B i toán 2: Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục ch u dao động o n s
dụng PMP
4.2.1 Tối ƣu tần số riêng của trục ch u o n
Xét trục tròn có G = 0.7691011 N/m2, khối lượng riêng  = 8000 kg/m3.
Trục được chia thành n-1 đo n n nút), chiều dài mỗi đo n Le = L/(n-1), L =
2m Đường kính ban đầu d0 = 0.2m. Sự thay đổi đường kính trong khoảng de
 0.1, 0.2 m.
Bảng 4.5 Các trường hợp mô phỏng.

rường
hợp

de (m)
(e = 1 ÷ 20)

Hàm

mục tiêu

Điều kiện tối ưu
(theo S)

TH 1

0.2

TH 2

0.1, 0.2

1  max



M2
  cS 212 2  max
GcS 2

TH 3

0.1, 0.2

2  max



M2

  cS 222 2  max
GcS 2

TH 4

0.1, 0.2

1  min

M2
  cS 212 2  max
GcS 2

TH 5

0.1, 0.2

2  min

M2
  cS 222 2  max
GcS 2

ác trường hợp tối ưu trong ảng 4.5. Bốn hệ số tỉ lệ không thứ nguyên
sau được sử dụng:
  01
  02
  1   02  01 
R1  1
R 2  2

R12  2
;
;
;
 01
 02
02   01

Rw 

W  W0
W0

(4.4)

01, 02 và W0; và 1, 2 và W lần lượt là tần số riêng thứ nhất, thứ hai và
khối lượng trục trong trường hợp TH 1 và các trường hợp tối ưu H 2, H 3,
TH 4, TH 5.
Kết quả cho thấy 3 cách chia nút, 21, 41, 81 nút, nhận được kết quả khác nhau
dưới 5%, (xem hình 4.4).

Hình 4.7 biểu diễn tính toán cho H2, điều kiện biên ngàm-tự do, xét theo
các đ i lượng không thứ nguyên de/d0-l/L, kết quả cho thấy sự thay đổi đường
kính trục rất ít với các mô hình 21, 41, 81 nút.
Vì vậy, mô hình gồm 20 đo n 21 n t), với trường hợp ngàm-tự do được sử
dụng để biểu diễn kết quả số của các bài toán tiếp theo.
12


3

200
Fixed-Free
200
150Ngàm - tự do
150
100

2

100
50

1

500

0

0
-50

-1

-50
-100

4

-2

160

Series1
Series2
1
Series1
Series3
2
Series2
Series4
W
Series3
Series4

*1

2
**

110

W
***

60

****

10

-100

1

2

3

1

2

3

-40

4

5

4

5

-3
2  max

2a 2b 2c

3a 3b 3c

4a 4b 4c

5a 5b 5c

Case
TH 1

Case
TH 2

Case
TH 33

Case
TH 4

Case
TH 5

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0

  max

TH 2 (n = 21)
TH 2 (n = 41)
TH 2 (n = 81)
0.1
0.2
0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ô phỏng (ngà

0.9

4

n = 81

1a 1b 1c

Hình 4.4 Sự thay đổi của 1, 2, W trong các trường hợp
do)
Sự thay đổi của

đường kính trục, de/d0

3
n = 41

2
n = 81

n = 41

n = 21

n = 81

n = 41

n = 21

n = 81

n = 41

n = 21

n = 81

1
n = 41

-5

-90
n = 21

-4
n = 21

weight, %
and total
frequencies
thecủa
Variation
lượng,
tần số và khối
hayofđổi

5

- tự

1

l/L

Hình 4.7 Cấu hình tối ưu của trục TH2, n = 21, 41 và 81 nút

Hình 4.8 Sự thay đổi của R1, R2, R12, Rw

Sự thay đổi các tần số riêng và khối lượng trước và sau tối ưu biểu diễn qua
các hệ số tỉ lệ (4.4) biểu diễn trên hình 4.8.

13


Sự thay đổi của
đường kính trục, de/d0

Trên Hình 4.10 biểu diễn sự thay đổi của cấu hình tối ưu theo chiều dài
không thứ nguyên, l/L của trục.

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5

2  max
TH 3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

l/L

Hình 4.10 Cấu hình tối ưu theo chiều dài của tr c, TH 3
4.2.2 nh hƣởng của dạng dao động riêng đến cấu hình tối ƣu của trục
D ng dao động riêng thứ nhất theo chiều dài không thứ nguyên của trục
ngàm-tự do, l/L, trên Hình 4.13.
Đối chiếu cấu hình của trục và d ng dao động riêng nhận thấy: những vị trí
kích thước trục lớn ứng với nút sóng-chuyển vị bé biểu diễn qua đồ thị d ng
ri ng, và ngược l i, kích thước trục nhỏ ứng với đỉnh sóng-chuyển vị lớn.
Như vậy, có thể dự đoán cấu hình và cải tiến sơ bộ kích thước trục mà chưa
cần thực hiện các thuật toán tối ưu
4
TH
TH
TH
TH
TH

3

2

1
2
3
4
5

1

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

l/L

ạng dao đ ng riêng thứ nhất của tr c
4.2.3 Tối ƣu đa mục tiêu đồng thời các tần số riêng của trục
Điều khiển tối ưu đa mục tiêu cho 2 tần số ri ng đầu tiên của trục. Trục
ngàm-tự do như trong mục 4.2.1 với n = 21.
Điều kiện cần tối ưu (3.3) trở thành:
Hình 4.13

14


1  M 21
1  M 2 2
2 2 2 
2 2 2 
H



cS







cS
2 2   max  theo S 
1 1 

2
k1  GcS 2
 k 2  GcS


(4.5)
Mi, i – nội lực mô men và góc xo n ứng với i,

2 i0i
ki 
cS 22i dx , 0i là tần số riêng thứ i của trục trong TH 1 với

ci (1  kW ) 0
20 phần tử (mục 4.2.1).
L

Bảng 4.6 Các tập Pareto của 2 mục tiêu 1 và 2.

Tập
Pareto

Hàm mục tiêu

Lời giải

c1 c2
kỳ vọng

AB

1  min & 2  min

O1

1

1

BC

1  min & 2  max

O2

1

-1

CD

1  max & 2  max

O3

-1

-1

DA

1  max & 2  min

O4

-1

1

Tập giải pháp khả thi của 2 mục tiêu 1 và 2 được thể hiện trên Hình 4.15.
100

O3

C
90
O2

80
70

2Par, %

60

B

50
D

40
30
20

O1

10
A
0

0

10

O4
20

30

40

50

60

70

80

90

100

1Par, %

Hình 4.15 T p gi i pháp h thi của 2

15

c tiêu 1 và 2


rong đó, 1Par và 2Par được định nghĩa như sau:
100(1Ex  1low )
100(2Ex  2low )
(4.6)
1Par 
, 2Par 
1up  1low
2up  2low
Các kết quả này có thể được mở rộng để điều khiển cũng như ph n tách tần
số riêng bất kỳ của hệ trục.
4.2.4 Tối ƣu đa mục tiêu đồng thời tần số riêng v tổng khối lƣợng của
trục
Điều khiển tối ưu đa mục tiêu cho tần số riêng thứ nhất và khối lượng của
trục ngàm-tự do như trong mục 4.2.1 với n=21. Ở đ y, điều kiện cần tối ưu

(3.3), trở thành:
 c k
1  M2
H  
  cS 212 2   W W  S  max  theo S 
2
k  GcS
W0


(4.7)

2 101
cS 2 2 dx , 01 và W0 lần lượt là tần số riêng thứ
trong đó k 

c1 (1  kW ) 0
nhất và tổng khối lượng của hệ trục trong TH1 với 20 phần tử (xem mục
4.2.1).
Hệ số WPar được định nghĩa như sau:
100(WEx  Wlow )
WPar 
(4.8)
Wup  Wlow
L

Với Wup và Wlow lần lượt là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tổng khối
lượng trục. WEx là giá trị cực trị của khối lượng hệ trục được ác định t điều
kiện cần tối ưu 4 7)
Tập giải pháp khả thi của cặp giá trị (1, W) trên Hình 4.16.

100

O2

O3

C

90
80
70

WPar, %

60
50

B
D

40
30
20
10
A

O1

0
0

10

20

30

40

O4
50

60

70

80

90

100

1Par, %

Hình 4.16 T p gi i pháp h thi của 2

16

c tiêu 1 và W

Bảng 4.7 Các tập Pareto của 2 mục tiêu 1 và W.

Tập Pareto

Hàm mục tiêu

Lời giải
c
kỳ vọng 1

AB

1 min & W min

O1

1

BC

1 min & W max

O2

1 -1

CD

1  max & W max O3

-1

-1

DA

1  max & W  min O4

-1

1

cW
1

4.2.5 Phân tích đ nh tính cấu hình tối ƣu tƣơng đƣơng của các trục ch u
dao động o n c chiều d i v điều kiện biên khác nhau
ựa tr n các kết quả ph n tích về ảnh hưởng của d ng dao động ri ng đến
cấu hình tối ưu của trục trong mục 4 2 2, các d ng dao động ri ng và các cấu
hình tối ưu của các trường hợp H 1-6 được vẽ một cách định tính tr n Hình
4.17.
H1
: ngàm-tự do, nL = 1, 1  max):
i điểm N1: 

M2
0 và M  ma , điều kiện 4.9a) trở thành: 
 max
GcS 2

2

, ta thu được: S  max.
i điểm 1: M
0 và 2  ma , điều kiện
  cS 212 2  max , suy ra: S  min.

4.9a) trở thành:

Ph n tích tương tự như tr n, có thể thu được các cấu hình tối ưu định tính của
các trục, bảng 4 8, trong các trường hợp khảo sát c n l i
Bảng 4.8 Các trường hợp khảo sát cấu hình tối ưu tương đương.
rường
n
hợp
TH 1

nL

21 1

Điều kiện Hàm mục Điều kiện cần
biên (BC)
tiêu (OF)
tối ưu (theo S)
ngàm-tự do

1  max



M2
  cS 212 2  max
2
GcS

(4.9a)
…

17


a. TH 1: chiều dài nL*L (nL = 1), BC: ngàm-tự do, 1  max, d ng riêng thứ nhất (n t đứt), và cấu hình tối ưu (hình dưới)
A1
N1
b. TH 2: chiều dài nL*L (nL = 1), BC: ngàm-ngàm, 1  max, d ng riêng thứ nhất (n t đứt), và cấu hình tối ưu (hình dưới)
A1
N1

N2

c. TH 3: chiều dài nL*L (nL = 2), BC: ngàm-ngàm, 1  max, d ng riêng thứ nhất (n t đứt), và cấu hình tối ưu (hình dưới)
A1
N1

N2

d. TH 4: chiều dài nL*L (nL = 2), BC: ngàm-ngàm, 2  max, d ng riêng thứ hai (n t đứt), và cấu hình tối ưu (hình dưới)
A1
N1

A2
N2

N3

e. TH 5: chiều dài nL*L (nL = 4), BC: ngàm-ngàm, 4  max, d ng riêng thứ tư (n t đứt), và cấu hình tối ưu (hình dưới)
A1
N1

A2
N2

A3
N3

A4
N4

N5

f. TH 6: chiều dài nL*L (nL = 8), BC: ngàm-ngàm, 8  max, d ng riêng thứ tám (n t đứt), và cấu hình tối ưu (hình dưới)
A1
N1

A3

A2
N2

N3

A4
N4

A6

A5
N5

N6

A7
N7

A8
N8

N9

ạng riêng và cấu hình tối ưu định t nh của các tr c trong các
trường hợp T -6
4.2.6 Phân tích đ nh lƣợng cấu hình tối ƣu tƣơng đƣơng của các trục
ch u dao động o n c chiều d i v điều kiện biên khác nhau
Hình 4.17

Bảng 4.9 Các kết quả 1, 2, 4, 8 và W trong các trường hợp khảo sát.

rường
n

hợp

nL OF

ần số ri ng
tối ưu, rad/s

TH 1

21

1

1  max

1 = 9093

W1 = 36.2540

TH 2

21

1

1  max

1 = 17851

W2 = 36.8509

TH 3

41

2

1  max

1 = 9093

W3 = 72.5080 = 2W1

TH 4

41

2

2  max

2 = 17851

W4 = 73.7018 = 2W2

18

ổng khối lượng Wi, kg

TH 5

81

4

4  max

4 = 17851

W5 = 147.4036 = 4W2 =
2W4

TH 6

161 8

8  max

8 = 17851

W6 = 294.8072 = 8W2 =
4W4 = 2W5

Cấu hình tối ưu của trục với các trường hợp biểu diễn trên hình 4.19.
TH 2

TH 4

TH 5

TH 6

Đường kính được chuẩn hóa de/d0

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

l/(8L), l = 0 ÷ 8L

Hình 4.19 ấu hình tr c tối ưu T 2, T 4, T và T 6.
4.2.7 Dao động cƣ ng bức của trục o n ch u kích động điều h a
Khảo sát dao động cưỡng bức của trục o n chịu kích động điều h a với trục
đã được tối ưu cấu tr c
t trục ngàm–tự do có các thông số và các trường
hợp khảo sát H 1-5 như trong mục 4 2 1 Hình 4 20
1

TH 1
TH 2

0.8

TH 3

0.6

TH 4
TH 5

0.4

0.2

0

Hình 4.20

200

400

600

800

1000 1200
f, Hz

áp ứng tần số của tr c, các T

19

1400

-5

1600

1800

2000

Thay đổi của đường kính
thanh được chuẩn hóa, de/d0

4.3 B i toán 3: Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh ch u dao động dọc s
dụng PMP
4.3.1 Tối ƣu tần số riêng của thanh ch u dao động dọc s dụng PMP

1
TH 2
TH 3
TH 4
TH 5

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0

Hình 4.21

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
l/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ác cấu hình tối ưu của thanh

4.3.2 Tối ưu đa mục tiêu đ ng thời t n số riêng thứ nhất và t ng khối ượng của
thanh s dụng P P

rong mục này, bài toán điều khiển tối ưu đa mục ti u, cực đ i tần số ri ng
thứ nhất và đồng thời cực tiểu tổng khối lượng, của thanh được thực hiện
Xây dựng được tập Pareto trên hình 4.23 thể hiện mức độ nhượng bộ giữa các
mục tiêu. ập Pareto cho thể hiện các mức độ thỏa hiệp trade-off) có thể có
giữa các mục ti u -1  min và  min).

100

A
B
C

90
80
70

D

WPar, %

60
50
40

E

30
20

F

10
0

G

O
0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1Par, %

Hình 4.23 T p Pareto của thanh.

20


hay đổi của đường kính
thanh được chẩn hóa, de/d0

4.3.3 nh hƣởng của khối lƣợng tập trung đến cấu hình tối ƣu của thanh
1.1
m11 = 0 kg
m11 = 30 kg
m11 = 60 kg
m11 = 90 kg
m11 = 120 kg
m11 = 150 kg

1
0.9
0.8
m11

0.7
0.6
0.5
0.4
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
l/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 4.24 nh hư ng của hối lượng t p trung đến cấu hình tối ưu của
thanh trong trường hợp 1  max.
4.3.4 Phân tích đ nh tính v đ nh lƣợng cấu hình tối ƣu tƣơng đƣơng của
các thanh ch u dao động dọc
Mục này tr n cơ sở liên hệ giữa các d ng dao động với cấu hình tối ưu của
kết cấu để ph n tích cấu hình tối ưu định tính, các tính toán ph n tích định
lượng để kiểm tra khẳng định.
4.3.5 Dao động cƣ ng bức của thanh ch u kích động điều h a dọc trục
ính toán dao động cưỡng bức cho thanh tối ưu cấu tr c để đánh giá, kiểm
nghiệm và làm cơ sở lựa chọn khi thiết kế.

4.4 B i toán 4: Ví dụ số về bài toán dầm ch u uốn s dụng PMP
Khi xét dầm có độ cứng nhỏ nhất, ta khảo sát dầm hai bậc mặt c t ngang hình
chữ nhật, chiều cao h không đổi, diện tích S, hình 3.6. J = cS. Trọng lượng
riêng của dầm là  ác định độ võng đầu tự do theo khoảng cách chia bậc .
Giải bài toán sức bền vật liệu, độ võng đầu tự do:
y2  L  


2 EJ 2

S2

L4
  3

S1  S2 L  L 
4 2 Ec  3

 

4

2

  L
2 Ec  6 3

3



 L 





S 2  L2  L
2 EJ 2 

2




L
3
3

L2 2   S2  4 2 3 L2 2 


  L 

2  EJ1  6 3
2 

Tính toán bằng số với dầm thép có chiều dài L = 1m, chiều rộng các đo n lần
lượt là d1 = 0.10m, d2 0 12m, độ võng y2( ) đ t cực đ i t i khoảng cách chia
bậc = 0.669m.

Xét dầm có độ cứng lớn nhất, khảo sát bằng số với dầm thép có L = 2m,
h 0 25m, đầu ngàm dmax 0 18m, đầu tự do dmin =0.16m, hình 4 31 Độ võng
y2 ) đ t cực tiểu t i khoảng cách chia bậc = 0.8926m.
21


Hình 4.29 Dầm hai b c t ng đ cứng
4.5 ết luận chƣơng 4
rong chương này, luận án đã tiến hành các tính toán: Kiểm tra độ tin cậy
của thuật toán và chương trình tính; Điều khiển tối ưu đa mục ti u dải tần số
ri ng và tổng khối lượng của trục chịu dao động o n sử dụng PMP; Điều
khiển tối ưu đa mục ti u dải tần số ri ng và tổng khối lượng của thanh chịu
dao động dọc sử dụng PMP và Điều khiển on – off dầm chịu uốn sử dụng
PMP.
huật toán và chương trình tính sử dụng trong uận án đảm bảo độ tin
cậy Kết quả tính toán có sai lệch lớn nhất là 2 59 so với tài liệu tham khảo
công thức giải tích) Kết quả tối ưu sử dụng PMP tr ng hoàn toàn so với các
kết quả thu được t phương pháp v t c n
Những kết qu mới:
- Khảo sát được ảnh hưởng của điều kiện bi n và kích thước lưới phần tử
đến tần số tối ưu và cấu hình tối ưu của trục
- T các kết quả tính toán xây dựng được tập Pareto nhằm đánh giá mức
độ thỏa hiệp (trade-off) giữa các mục ti u và tập giải pháp khả thi feasible
region) để đưa ra toàn bộ các cấu hình tối ưu có thể có của kết cấu.
- Phân tích về liên hệ giữa các d ng dao động với cấu hình tối ưu của kết
cấu để suy ra cấu hình tối ưu định tính, các tính toán ph n tích định lượng đã
khẳng định sự phù hợp của ph n tích định tính. Với kết cấu thanh đã khảo sát
được ảnh hưởng của khối lượng tập trung đến cấu hình tối ưu của thanh chịu
dao động dọc tự do
- T các kết quả tính toán, bằng xử lý số liệu và mô phỏng đã đề uất quy

luật cấu hình tối ưu tương đương của các trục có bậc tần số tối ưu, chiều dài
và điều kiện bi n khác nhau
- Kết quả bài toán tối ưu kết cấu dầm chịu uốn cho thấy một ứng dụng của
PMP với luật điều khiển on-off.

22


- Ph n tích đáp ứng tần số của các cấu hình kết cấu khác nhau để người
d ng có thể lựa chọn một cấu hình ph hợp với v ng làm việc và các mục
đích khác khi sử dụng
K T LUẬN VÀ C C HƢỚNG NGHIÊN CỨU TI P THEO
T UẬN
Điều khiển tối ưu được áp dụng trong nhiều bài toán kỹ thuật trong đó có
tối ưu cấu trúc kết cấu để kiểm soát dao động, một hiện tượng phổ biến trong
các máy, kết cấu chịu tác dụng của tải trọng động. Luận án đã tập trung
nghiên cứu về điều khiển tối ưu, về dao động kết cấu, thiết lập các bài toán
điều khiển tối ưu nhằm tối ưu cấu trúc kết cấu áp dụng nguyên lý cực đ i
PMP. Các bài toán tối ưu được nghiên cứu trong luận án tập trung giải quyết
vấn đề tối ưu đa mục tiêu dải tần số riêng và khối lượng kết cấu dựa trên việc
áp dụng PMP. Các giải thuật tính toán được trình bày và các chương trình
được lập ra đã cho ph p tính toán và ph n tích các số liệu để nhận được các
kết quả mong muốn huật toán và chương trình tính sử dụng trong uận án
đảm bảo độ tin cậy
Những kết quả mới của luận án là:
1 Đề xuất hàm đa mục tiêu tổng quát cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dải
tần số riêng và khối lượng kết cấu Hàm đa mục ti u cho ph p t đến các
mục ti u đồng thời, và khảo sát tất cả các trường hợp có thể có.
2. ác định được tường minh hệ số tỉ lệ k giữa các biến tr ng thái trong hệ
phương trình vi ph n tr ng thái với các biến liên hợp trong hệ phương trình vi

phân liên hợp trong hàm Hamilton điều kiện tối ưu của PMP) cho các hàm
đa mục ti u tổng quát kể tr n hiết lập được điều kiện cần tối ưu cho các bài
toán đa mục ti u tổng quát sử dụng PMP.
3. Xây dựng được tập Pareto nhằm đánh giá mức độ thỏa hiệp (trade-off)
giữa các mục ti u cho các hàm đa mục ti u tổng quát
y dựng được tập giải
pháp khả thi feasible region) để đưa ra toàn bộ các cấu hình có thể có của kết
cấu đối với các mục ti u quan t m
4 Ph n tích định tính cấu hình tối ưu của kết cấu dựa trên mối liên hệ
tương ứng giữa d ng dao động riêng và cấu hình của kết cấu; đề uất quy luật
cấu hình tối ưu tương đương của các kết cấu có bậc tần số tối ưu, chiều dài và
điều kiện bi n khác nhau
5 Khảo sát được hiệu quả của việc tối ưu tần số trong thay đổi v ng cộng
hưởng của kết cấu thông qua ph n tích đáp ứng tần số
Luận án đã kế th a, phát triển và góp phần làm phong phú thêm các ứng
dụng nguyên lý cực đ i Pontryagin và cách tiếp cận tìm lời giải tối ưu trong
tính toán kết cấu. ác bài toán được nghiên cứu trong luận án nhằm ác định
23


và thay đổi v ng cộng hưởng kết cấu ác bài toán này có thể được ứng dụng
trong giảm dao động có h i hoặc tăng cường dao động (t o rung) có ích của
kết cấu
Các kết quả tr n đã được công bố ở 08 bài báo rong đó có 02 bài đăng
trên t p chí khoa học quốc tế S I, 04 bài đăng tr n t p chí khoa học quốc gia
và 01 bài báo đăng tr n tuyển tập hội nghị khoa học cấp quốc gia, 01 bài
đăng tr n tuyển tập hội nghị quốc tế về khoa học và công nghệ.
C C HƢỚNG NGHIÊN CỨU TI P THEO
Dựa tr n cơ sở nghi n cứu, tính toán mô phỏng của Luận án, các hướng
nghiên cứu tiếp theo có thể như sau:

1. Ứng dụng PMP nghiên cứu tối ưu đa mục ti u dải tần số và khối lượng
của các kết cấu phức t p, các mô hình thực tế để triển khai ứng dụng.
2. Ứng dụng PMP nghiên cứu tối ưu đa mục ti u dải tần số và khối lượng
của các kết cấu khi t các trường hợp kết cấu chịu đồng thời dao động xo n
và dao động dọc, dao động xo n và dao động uốn, dao động dọc và dao động
uốn.
3. Ứng dụng điều khiển tối ưu nghi n cứu dải dung sai của tần số riêng
theo dung sai kích thước và khối lượng của kết cấu, tìm phương pháp phân
tích, chẩn đoán kỹ thuật và phương pháp tối ưu cấu trúc dựa trên các dữ liệu
phân tích.

24