Phương pháp mới để giải quyết bài toán cực trị liên quan đến tổng các điện áp

Các vấn đề về cực trị mới và hay

Kết quả 4. CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN TỔNG CÁC ĐIỆN
ÁP
Đặt vấn đề: Đây là dạng toán được Bộ GD khai thác và đưa vào đề thi trong
năm 2017, dạng toán cực trị này khá hay và khá mới mẻ đối với học sinh cũng
như các GV. Tuy nhiên các phương pháp giải trên các diễn đàn là mang đi đạo
hàm, cách đạo hàm khá dài và các hệ quả suy ra từ cách này khá rườm rà. Sau
đây tôi xin giới thiệu đến một cách giải khá là độc đáo do tôi nghiên cứu và
đưa ra kết quả đẹp, có tính bao quát cao và định hướng cho các em hướng
mới của bài toán mà Bộ có thể ra thi.
Nhắc lại kiến thức toán học liên quan.


a
b
cosx 
s inx 
Cho hàm y  a cosx  bsinx  a 2  b 2 .
2
2
2
2
a b
 a b



b
 x  x0  
y  a 2  b 2 cos  x     max  


tan


2
2
a

 ymax  a  b

1. R thay đổi để tổng điện áp (UR +UL +UC) đạt cực đại
R thay đổi thì R đóng vai trò là biến số. Xuất phát từ công thức
y  UR  UL  UC  I. R  ZL  ZC  và I 

U
U

sin 
Z Z L  ZC





 Z L  ZC

ZC  Z L
U
y
sin . 

 ZC  ZL   U 1cos  
sin  
Z L  ZC
Z L  ZC
 tan 

 a

b



 Z  ZC 
ymax  U a 2  b2  U 1   L

 Z L  ZC 
Khi   0   với tan  
hay

2

Z  ZL
b ZC  Z L

 tan 0  C
a Z L  ZC
Z L  ZC

 Z  ZC 
Z L  ZC ZC  Z L


 R0  L
R0
Z L  ZC
Z L  ZC

Kết quả: U R  U L  U C max

2

 Z  ZC 
 U 1  L

 Z L  ZC 

2

khi R0

 Z  ZC 
 L

2

Z L  ZC

1


Hoàng Sư Điểu

Với tan 0 

ZC  Z L
Z L  ZC

2. L thay đổi để tổng điện áp (UR +UL +UC) đạt cực đại
a. Thiết lập công thức
L thay đổi thì ZL đóng vai trò là biến số. Xuất phát từ công thức

U R  U L  UC 

R  Z L  ZC
U
. R  Z L  ZC   U .
2
Z
R 2   Z L  ZC 
R  ZC  Z L

Đặt y  U R  U L  U C khi đó y  U .

Ta có tan  

R 2   Z L  ZC 

2

(1).

 Z  ZC  Rtan 
Z L  ZC
(2).
 L
R
Z L  Rtan   ZC

Thay (2) vào (1):

y U.

y

U

R  ZC  Z L
R 2   Z L  ZC 

 R  2Z C 

2

U.

2

 R2

R

ymax  0    ymax 

U

R  2ZC  Rtan 
R 2  R 2 tan2 



cos      với tan  

 R  2ZC 

2

 R2

khi

R


U


 R  2Z C  cos   R sin 
R
b

a




R
R  2ZC
1
 1  2 tan RC
tan 0

ymax được biến đổi về dạng góc như sau:
2

ymax

 2Z 
 U 1  C   1  U
R 


1  2 tan RC 

2

1

 0 được đưa về dạng đại số như sau:

R  2Z C
1
R

R2
 1  2 tan RC 

 Z L0 
 ZC
tan 0
Z L 0  ZC
R
R  2Z C

b. Kết quả:
*Viết dưới dạng đại số.

U R  U L  U C max 
2

U

 R  2Z C 
R

2

 R2

với Z L 0 

R2
 ZC
R  2Z C

Các vấn đề về cực trị mới và hay
*Viết dưới dạng góc.

U R  U L  UC max  U 1  2 tan RC 

2

1
 1  2 tan RC
tan 0

 1 khi

3. C thay đổi để tổng điện áp (UR +UL +UC) đạt cực đại
C thay đổi thì ZC đóng vai trò là biến số. Xuất phát từ công thức

U R  U L  UC 

R  ZL  ZC
U
. R  ZL  ZC   U.
2
Z
R 2   ZL  ZC 
R  ZC  Z L

Đặt y  U R  U L  U C khi đó y  U .

Ta có tan  

R 2   Z L  ZC 

2

(1).

Z  ZC  Rtan 
Z L  ZC
(2).
 L
R
ZC  Z L  Rtan 

Thay (2) vào (1):

y U.

y

U

R  Z L  ZC
R 2   Z L  ZC 

 R  2Z C 

2

U.

2

 R2

R

R  2Z L  Rtan 
R 2  R 2 tan2 



cos      với tan  

ymax    0    ymax 

U

 R  2Z L 

2

 R2

R

U
 R  2Z L  cos   R sin 
R

R
R  2Z L
khi

1
 1  2 tan RL
tan 0

ymax được biến đổi về dạng góc như sau:
2

ymax

2Z 

 U 1  L   1  U
R 


1  2 tan RL 

2

1

 0 được đưa về dạng đại số như sau:

R  2Z L
1

R
R2
 1  2 tan RL 

 ZC 0  
 ZL
tan 0
Z L  ZC 0
R
R  2Z L

b. Kết quả:
*Viết dưới dạng đại số.

U R  U L  U C max 

U

 R  2Z L 
R

2

 R2

với ZC 0  

R2
 ZL
R  2Z L

*Viết dưới dạng góc.

3


Hoàng Sư Điểu

U R  U L  UC max  U 1  2 tan RL 

2

 1 khi

1
 1  2 tan  RL
tan 0

Lưu ý: Các em học sinh chứng minh được công thức sau đó mới học thuộc. Khi
các em đưa về các kết quả đẹp như thế là cơ sở để các em dễ dàng giải quyết các
bài toán khó hơn. Tuyệt đối không được học vẹt công thức khi mà chưa hiểu
được bản chất và cách chứng minh.
 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 220V vào hai đầu
đoạn mạch gồm biến trở R cuộn dây cảm thuần có độ tự cảm 100 (  ) và
tụ điện có dung kháng 300  . Điều chỉnh biến trở R= R0 để tổng điện áp
U R  U L  UC  đạt giá trị cực đại là a. Giá trị R0 và a lần lượt là
A. 100 và 220 5 V.

B. 150 và 400V.

C. 200 và 220 2 V.

D. 250  và 300V.
Hướng dẫn

Áp dụng công thức Độc
R0

 Z  ZC 
 L
Z L  ZC

2

100  300 

100  300

U R  U L  U C max  220

2

 100
2

 100  300 
1 
  220 5  492V  Chọn A.
 300  100 

Ví dụ 2. Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U vào hai đầu đoạn
mạch gồm biến trở R cuộn dây cảm thuần có cảm kháng ZL và tụ điệncó
cung kháng ZC . Biết Z C  kZ L với k > 1 .Điều chỉnh biến trở R= R0 để tổng
điện áp U R  U L  U C  đạt giá trị cực đại và bằng U 5 . Giá trị của k
bằng
A. 3.

B. 6.

C. 5.

D. 8.

Hướng dẫn

U R  U L  UC max

k  3

 Chọn D.
k  1

3

4

2

 Z  ZC 

 Z L  kZ L 
 U 1  L
  U 5  U 1 

 Z L  kZ L 
 Z L  ZC 

2


Các vấn đề về cực trị mới và hay
Ví dụ 3. Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 100V vào hai đầu
đoạn mạch gồm đỉện trở 100 Ω, cuộn dây cảm thuần có độ tự cảm 100 (
 ) và tụ điện có điện dung C thay đổi được . Điều chỉnh C để tổng điện
áp U R  U L  U C  đạt giá trị cực đại, hệ số công suất của đoạn mạch lúc
này là
A. 0,31.

B. 0,95

C. 0,70.

D. 0,86.

Hướng dẫn
Áp dụng công thức Độc đáo HSD đã được chứng minh.
Khi C thay đổi để U R  U L  U C max thì
Thay số: tan 0 

1

Z
1  2. L
R

1
 1  2 tan RL
tan 0

1
1

  cos 0  cos  ar tan   0,95
3
3


Chọn B.
Ví dụ 4. Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 100V vào hai đầu
đoạn mạch gồm đỉện trở 100 Ω, cuộn dây cảm thuần có độ tự cảm 100
và tụ điện có điện dung C thay đổi được . Điều chỉnh C để tổng điện áp
U R  U L  UC  đạt giá trị cực đại, giá trị của dung kháng lúc này là
A. 200 .

B.

200

3

C.

100

3

D. 100  .

Hướng dẫn
Áp dụng công thức dưới dạng góc.
ZC 0  

R2
1002
200
 ZL  
 100 
  Chọn B.
R  2Z L
100  2.100
3

Ví dụ 5. (Đề thi chính thức của
Bộ GD và ĐT năm 2017). Đặt
điện áp xoay chiều u = 100 2
cos(100πt +π/3) (V) t tính bằng s)
vào hai đầu đoạn mạch gồm đỉện trở 100 Ω, cuộn dây cảm thuần có độ
tự cảm 1/π (H) và tụ điện có điện dung C thay đổi được (hình vẽ). V1, V2
và V3 là các vôn kế xoay chiều có điện trở rất lớn. Điều chỉnh C để tổng
số chỉ cùa ba vôn kế có giá trị cực đại, giá trị cực đại này là
A.248V.

B.284V

C. 361V.

D.316V.

Hướng dẫn

5


Hoàng Sư Điểu
Cách 1: Dùng chức năng Mode 7 của máy tính cầm tay. FX – 570VN
UR  UL  UC 

100  200  ZC 

R  Z L  ZC
U
.  R  ZL  ZC   U.

2
Z
R 2   Z L  ZC 

R 2  100  ZC 

2

*Rõ ràng để khảo sát cực trị của hàm trên theo biến ZC thì sẽ mất rất
nhiều thời gian (Vì đạo hàm dài và rất cồng kềnh).
*Ta dùng chức năng Mode 7 của máy tính cầm tay để tìm cực trị.
Bấm Mode 7 và nhập hàm F  X  

100  200  X 
1002  100  X 

2

Đến đây ta chưa có cơ sở để chọn Start và Step. Tuy nhiên Từ các dữ kiện của

ZL  100 ta có thể ước lượng được giá trị của ZC để  UR  UL  UC  đạt giá

trị cực đại sẽ cỡ từ 50 đến 200. Do đó ta chọn
End Start
130

 Start  50
Step

Step  5, 2  Step  6 (Cở sở để chọn Step).


End  200

X

F(X)

122

314,47

128

325,85

134

316,22

140

315,68

146

314,33

X

134

F(X)

316,22

*Từ bảng tính ta dễ dàng giá trị  U R  U L  U C max  316, 22V (Giá trị cực
đại này lân cận 316,22V )

Cách 2: Áp dụng công thức độc đáo đã được chứng minh.

U R  U L  UC max  U 1  2 tan RL 

2

2

100 

 1  100  1  2.
 1  316V
100 


Chọn D.
Ví dụ 6. Đặt điện áp xoay chiều u = 220 2 cos(100πt +π/3) (V) t tính
bằng s) vào hai đầu đoạn mạch gồm đỉện trở 150 Ω, tụ điện có dung
kháng 200  . Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm thay đổi . Điều chỉnh L
để tổng số chỉ của ba vôn kế có giá trị cực đại, giá trị cực đại này là

6


Các vấn đề về cực trị mới và hay
A. 548V.

B. 784V

C. 836V.

D. 516V.

Hướng dẫn
Áp dụng kết quả độc đáo.

U R  U L  U C max  U

2

200 
2
1  2 tan RC   1  220 1  2.
  1  836V
150 


Chọn C.
Ví dụ 7. Đặt điện áp xoay chiều u = 220 2 cos(100πt +π/3) (V) t tính
bằng s) vào hai đầu đoạn mạch gồm đỉện trở 150 Ω, tụ điện có dung
kháng 200  . Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm thay đổi . Điều chỉnh L
để tổng số chỉ của ba vôn kế có giá trị cực đại, Công suất của đoạn mạch
lúc này gần đúng bằng
A. 548W.

B. 784W

C. 836W.

D. 450V.

Hướng dẫn
Áp dụng:

P

1
 1  2 tan  RC  tan 0 
tan 0

U2
U2
1
220
cos 2 0 
.

.
2
R
R 1  tan  100

1
1
3


2 ZC
2.200 11
1

1
150
R

1
3
1  
 11 

2

 451W  Chọn D.

Các trường hợp đề thi có thể sẽ khai thác:

R thay đổi để U R  U L max ; U R  U C max và U L  U C max
L thay đổi để U R  U L max ; U R  U C max và U L  U C max
C thay đổi để U R  U L max ; U R  U C max và U L  U C max
Các em tự chứng minh dựa trên các bài toán tôi đã chứng minh ở trên.
KẾT BẠN VỚI THẦY QUA FACEBOOK ĐỂ DỄ TRAO ĐỔI
/>Nhóm luyện thi:
/>
7


Hoàng Sư Điểu

GV đăng kí FILE WORD tài liệu luyện thi trong suốt 1
năm gọi ngay 0909928109 (Vui lòng không nhắn tin).
(Kèm bộ đề trong quá trình luyện đề)

Kinh mời các em và Gv đọc sách “Tuyệt phẩm các chuyên đề Vật lý. Tập
1 Điện Xoay chiều”
Cuốn sách hội tụ tinh hoa tất cả các phương pháp và các dạng toán giúp
các em giải điện xoay chiều một cách nhanh chóng. Sách được GV, các
anh chị khóa 98 và 99 yêu thích và thuộc sách bán chạy của nhà sách
Khang Việt.

Có 3 cách để mua sách:
Cách 1: Ra trực tiếp nhà sách gần nhất để mua sách.
Cách 2: Gọi điện 0903906848 gặp nhân viên của Cty Khang Việt để mua
Cách 3: Truy cập vào link để đăng kí:
(Sách Điện Xoay chiều 558 trang).

8


Các vấn đề về cực trị mới và hay
Sách casio: />GỌI NGAY 0903906848 để MUA SÁCH TUYỆT PHẨM CÁC CHUYÊN
ĐỀ DAO ĐỘNG CƠ HỌC BAO GỒM 2 CUỐN. (Sách sắp phát hành).

Mục lục
TUYỆT PHẨM CÁC CHUYÊN VẬT LÝ
TẬP 2: DAO ĐỘNG CƠ
CHỦ ĐỀ 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Dạng 1: Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí này đến vị trí khác
Dạng 2: Thời gian liên quan đến giới hạn li độ, vận tốc và gia tốc
Dạng 3: Xác định thời điểm và số lần vật qua vị trí và chiều đã biết.
Dạng 4: Tìm li độ, vận tốc, gia tốc của vật trước và sau một khoảng
thời gian ∆t.
Dạng 5. Quãng đường trong dao động điều hòa

Dạng 6. Tốc độ trung bình trong dao động điều hòa
CHỦ ĐỀ 2: CON LĂC LÒ XO.
Dạng 1: Bài tập liên quan đến đại cương con lắc lò xo
Dạng 2: Dạng toán liên quan đến năng lượng dao động.
Dạng 3. Lập phương trình dao động của con lắc lò xo
Dạng 4: Dài toán liên quan đến chiều dài của lò xo và thời gian lò xo
nén, giãn
Dạng 5: Bài toán liên quan đến lực đàn hồi, lực hồi phục.
Dạng 6: Bài toán liên quan đến căt ghép lò xo
Dạng 7 : Kích thích dao động điều hòa bằng ngoại lực
Dạng 8. Kích thích dao động bằng va chạm
Dạng 9. Bài toán liên quan đến hai vật
CHỦ ĐỀ 3:CON LẮC ĐƠN
Dạng 1: Đại cương về con lắc đơn
Dạng 2: Viết phương trình của con lắc đơn.
Dạng 3: vận tốc, gia tốc, lực căng dây của con lắc đơn.
Dạng 4: Con lắc đặt trong trường lực F.
CHỦ ĐỀ 4. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
Dạng 1: Đại cương tổng hợp dao động
Dạng 2: Tổng hợp dao động liến quan đến các đại lượng x, v, a, W....
Dạng 3: Cực trị trong tổng hợp dao động
́ giá trị li độ x (x1, x2) tại các thời điểm
Dạng 4. Bà i toán liên quan đên
thời điểm

9


Hoàng Sư Điểu
Dạng 5: Bài toán liên quan đến tổng hợp 3 dao động.

Dạng 6: Đạo hàm, xuất hiện dữ kiện mới.
Dạng 7: Biến tướng trong dao động điều hòa
CHỦ ĐỀ 5: DAO ĐỘNG TẮT DẦN, DAO ĐỘNG DUY TRÌ.
DAO DỘNG CƯỠNG BỨC – CỘNG HƯỞNG.
Dạng 1: Dao dộng cưỡng bức-cộng hưởng
Dạng 2: Dao động tắt dần (có ma sát)
CHỦ ĐỀ 6: ĐỒ THỊ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Phần 1: (Xét một dao động)
Dạng 1. Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc
Dạng 2. Đồ thị động năng, thế năng trong dao động điều hòa điều
hòa.
Dạng 3. Đồ thị lực trong dao động điều hòa
Phần 2: (Xét hai dao động)
Dạng 4: Đồ thị tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần
số
Dạng 5. Đồ thị hai dao động cùng phương khác tần số
Dạng 6. Một số loại đồ thị không phải hình sin

HỌC SINH TẠI THÀNH PHỐ HUẾ
ĐĂNG KÍ HỌC OFLINE TẠI 91A
NGUYỄN CHÍ THANH, TP HUẾ GỌI
NGAY 0909928109

10