BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BÀI TẬP ÔN THI

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Biên soạn

ThS. LÊ TRƯỜNG GIANG

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14, tháng 02, năm 2016


Mục lục
Trang
Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
1
1.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương 2 Đại lượng ngẫu nhiên
20
2.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chương 3 Mẫu ngẫu nhiên và bài toán ước lượng
3.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Ước lượng trung bình tổng thể . . . . . . .
3.1.3 Ước lượng tỷ lệ tổng thể . . . . . . . . . .
3.1.4 Ước lượng phương sai tổng thể . . . . . .
3.1.5 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.
.
.
.
.
.

Chương 4 Kiểm định giả thiết thống kê
4.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Kiểm định trung bình tổng thể . . . . . . .
4.1.2 Kiểm định tỷ lệ tổng thể . . . . . . . . . . .
4.1.3 Kiểm định phương sai tổng thể . . . . . . .
4.1.4 So sánh hai trung bình với hai mẫu độc lập
4.1.5 So sánh hai tỷ lệ với hai mẫu độc lập . . . .
4.1.6 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

73
73
73
75
76
79
80
83

.
.

.
.
.
.
.
.

90
90
90
92
94
95
97
98
110

Phụ lục : Bảng tra thống kê

126

Tài liệu tham khảo

137
i


Chương 1
Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
1.1

Bài tập có hướng dẫn

Bài 1.1. Một sinh viên khi vào thi môn xác suất thống kê chỉ thuộc 12 trong số 20
câu hỏi thi. Tính xác suất để sinh viên đó trả lời được cả 4 câu hỏi trong phiếu thi mà
anh ta phải trả lời.
Giải
Gọi A là biến cố sinh viên trả lời được cả 4 câu hỏi trong phiếu thi mà anh ta phải trả
lời, khi đó
C4
P (A) = 12
≈ 0, 102.
4
C20
Bài 1.2. Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tìm xác suất để có
3 người đến quầy số 1.
Giải
Theo giả thiết bài toán ta có thể xem việc mỗi hành khách đến các quầy là một giai đoạn.
Khi đó ta có 10 giai đoạn, mỗi giai đoạn có 3 cách. Theo quy tắc nhân ta có số trường
hợp đồng khả năng là n = 310 .
Gọi A là biến cố có 3 người đến quầy số 1. Khi đó số trường hợp thuận lợi cho A là số
cách chọn ngẫu nhiên 3 người từ 10 người để xếp vào quầy số 1 và 7 người còn lại sẽ đến
3
ngẫu nhiên vào quầy 2 và quầy 3. Tức là m = C10
.27 .
Vậy
3
C10
.27
P (A) =

≈ 0, 2601.
310

Bài 1.3. Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a = 2cm.
Giải
1


Gọi A là biến cố điểm M rơi vào hình tròn nội
√ tiếp tam giác đều cạnh a = 2cm. Gọi h là
3 √
đường cao trong tam giác đều, khi đó h = a.
= 3
2
+ Ta có diện tích của tam giác đều đã cho là
√
1
mes (Ω) = ah = 3
2
+ Ta có diện tích hình tròn đã cho là
π
1
mes (A) = π.R2 = πh2 = .
9
3
Vậy theo công thức xác suất hình học ta có
P (A) =

mes (A)
π/3

= √ ≈ 0, 605.
mes (Ω)
3

Bài 1.4. Hai số thực a và b được chọn ngẫu nhiên sao cho −2 ≤ b ≤ 0 và 0 ≤ a ≤ 3.
Tính xác suất để khoảng cách giữa a và b lớn hơn 3.
Giải
Không gian mẫu của phép thử: {(a, b) ∈ R2 : −2 ≤ b ≤ 0 và 0 ≤ a ≤ 3} được biểu diễn
trong mặt phẳng tọa độ bởi hình chữ nhật (G) có 2 đỉnh đối diện là (0,0) và (3,-2). (G)
có diện tích mes(G) = 2.3 = 6.
Biến cố "khoảng cách giữa a và b lớn hơn 3" được biểu diễn bởi miền tam giác (H) gồm
những điểm trong mặt phẳng tọa độ (a,b) sao cho a − b > 3. Đó là những điểm thuộc (G)
và ở phía dưới đường thẳng x − y − 3 = 0. (H) có diện tích mes(H) = (2.2)/2.
Vậy theo công thức xác suất hình học ta có
p=

mes (H)
1
= .
mes (G)
3

Bài 1.5. Hai người công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất để người thứ
nhất làm ra phế phẩm là 0,02 và người thứ hai làm ra phế phẩm là 0,03. Rút một sản
phẩm từ số sản phẩm của hai người. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra không là phế
phẩm.
Giải
Gọi Bi là biến cố sản phẩm lấy ra là do người công nhân thứ i làm, i = 1, 2. Dễ thấy B1
và B2 tạo ra nhóm đầy đủ các biến cố.
Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra không là phế phẩm. Khi đó

P (A) = P (B1 ) .P (A/B1 ) + P (B2 ) .P (A/B2 ) = 0, 975.
Bài 1.6. Trong phòng làm việc của một công ty có 3 máy tính hoạt động độc lập nhau.
Xác suất để trong một khoảng thời gian T mỗi máy có sự cố là 0,1; 0,2; 0,15.
2


a. Tính xác suất trong khoảng thời gian T không có máy nào có sự cố.
b. Tính xác suất trong khoảng thời gian T có ít nhất 1 máy không có sự cố.
Giải. Trong một khoảng thới gian T, gọi Ai là biến cố máy i, i ∈ {1, 2, 3} không có sự cố.
Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập toàn phần.
a. Xác suất trong khoảng thời gian T không có máy nào có sự cố là
P (A1 .A2 .A3 ) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = (1 − 0, 1).(1 − 0, 2).(1 − 0, 15) = 0, 612.
b. Xác suất trong khoảng thời gian T có ít nhất 1 máy không có sự cố
1 − P (A1 .A2 .A3 ) = 1 − 0, 612 = 0, 398.
Bài 1.7. Xác suất để thu được một tín hiệu thông tin là 0,6
a. Có người nói rằng: "Như vậy cứ phát một tín hiệu 10 lần thì chắc chắn có tới 6 lần
thu được tín hiệu đó". Nói vậy đúng hay sai? giải thích?
b. Tìm xác suất thu được tín hiệu thông tin khi tín hiệu đó được phát đi 3 lần.
c. Nếu muốn thu được tín hiệu thông tin với xác suất không dưới 0,95 thì cần phải
phát tín hiệu đó tối thiểu mấy lần?
Giải. Phát đi tin hiệu 1 lần và quan tâm đến việc có bắt được tín hiệu đó hoặc không
được xem như thực hiện một phép thử Bernoulli.
a. Việc phát đi 10 lần tín hiệu thì xác suất thu được tín hiệu đó 6 lần được cho bởi
công thức Bernoulli
6
P10 (6; 0, 6) = C10
.0, 66 .0, 44 ≈ 0, 2508.

Như vậy phát biểu trên là chưa phù hợp.
b. Xác suất thu được tín hiệu thông tin khi tín hiệu đó được phát đi 3 lần

3

P3 (k; 0, 6) = 1 − P3 (0; 0, 6) = 1 − 0, 43 = 0, 936.
k=1

c. Gọi số lần phát tín hiệu cần thiết là n, xác suất thu được tín hiệu cho bởi
n

Pn (k; 0, 6) = 1 − Pn (0; 0, 6) = 1 − 0, 4n .
k=1

Theo giả thiết ta cần giải bất phương trình sau
1 − 0, 4n ≥ 0, 95.
Tương đương với n ≥ 3, 2694. Như vậy cần phát tín hiệu tối thiểu 4 lần.
3


Bài 1.8. Một cơ sở sản xuất có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm A, với
sản lượng tương ứng theo tỉ lệ 3:5:4 và tỉ lệ sản phẩm loại 1 trong các phân xưởng này
tương ứng là 60%, 65%, 75%.
a. Hãy cho biết tỉ lệ sản phẩm loại 1 trong các sản phẩm A của cơ sở này
b. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm A của cơ sở thì nhận được một sản phẩm không
đạt loại 1. Khi đó sản phẩm này có nhiều khả năng nhất của phân xưởng nào?
Giải. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm A của cơ sở sản xuất trên. Gọi Ai là biến cố lấy được
sản phẩm của phân xưởng i, i ∈ {1, 2, 3} sản xuất. Hệ {A1 , A2 , A3 } đầy đủ
P (A1 ) =

3
12

P (A2 ) =

5
12

P (A3 ) =

4
.
12

a. Gọi B là biến cố sản phẩm lấy được là sản phẩm loại 1
P (B) = P (A1 ).P (B|A1 ) + P (A2 ).P (B|A2 ) + P (A3 ).P (B|A3 )
3
5
4
=
.0, 6 + .0, 65 + .0, 75 ≈ 0, 6708.
12
12
12
Như vậy, tỉ lệ sản phẩm loại 1 của cơ sở này xấp xỉ 67, 08%.
b. Xác suất để sản phẩm được lấy ngẫu nhiên không phải là sản phẩm loại 1
P (B) = 1 − P (B) = 0, 3292.
Xác suất sản phẩm này do phân xưởng 1 sản xuất
P (A1 |B) =

P (A1 )P (B|A1 )
=
P (B)

3
.(1
12

− 0, 6)
≈ 0, 3038.
0, 3292

Tương tự xác suất sản phẩm do phân xương 2, phân xưởng 3 sản xuất được tính
như sau
5
.(1 − 0, 65)
P (A2 )P (B|A2 )
P (A2 |B) =
= 12
≈ 0, 4430.
0, 3292
P (B)
P (A3 )P (B|A3 )
P (A3 |B) =
=
P (B)

4
.(1
12

− 0, 75)
≈ 0, 2531.

0, 3292

Như vậy nhiều khả năng sản phẩm không phải loại 1 được lấy là do phân xưởng 2
sản xuất.
Bài 1.9. Địa phương A gồm 3 khu vực dân cư, có dân số tương ứng theo tỉ lệ 3:5:4. Biết
tỉ lệ hộ nghèo trong khu vực I là 10%, khu vực II là %, khu vực III là 7%. Hãy tính tỉ lệ
hộ nghèo ở địa phương A.
Giải. Gặp ngẫu nhiên một hộ dân của địa phương A, gọi Ai biến cố hộ dân này thuộc
khu vực i, i ∈ {I, II, III}. Theo giả thiết ta có
P (AI ) =

3
12

P (AII ) =
4

5
12

P (AIII ) =

4
.
12


Gọi B là biến cố hộ dân đó nghèo. Hệ biến cố {AI , AII, AIII } đầy đủ
P (B) = P (AI ).P (B|AI ) + P (AII ).P (B|AII ) + P (AIII ).P (B|AIII )
5

4
3
.0, 1 + .0, 08 + .0, 07 ≈ 0, 0817.
=
12
12
12
Như vậy, tỉ lệ hộ nghèo của địa phương A xấp xỉ 8, 17%.
Bài 1.10. Một hệ thống dịch vụ có 3 mức phí dịch vụ. Mỗi khách hàng vào đây chỉ chọn
một trong ba mức phí này. Biết rằng tỉ lệ khách hàng chọn các mức phí này là: 3:4:3.
a. Tìm xác suất để trong 6 khách hàng vào hệ dịch vụ này, số khách chọn mức phí II
gấp đôi số khách chọn hai mức phí còn lại.
b. Tìm xác suất để có ít nhất 2 khách hàng chọn mức phí II trong 6 khách hàng vào
hệ này.
Giải. Gọi A2 là biến cố " khách hàng vào hệ thống chọn mức phí II". Ta có xác suất
P (A2 ) =

4
= 0, 4.
10

a. Theo yêu cầu bài toán thì trong 6 khách hàng vào hệ thống thì có 4 khách hàng
chọn mức phí II và 2 khách hàng chọn hai mức phí còn lại. Áp dụng công thức
Bernoulli ta có xác suất tương ứng
P4 (6, 0, 4) = C64 (0, 4)4 .(0, 6)2 = 0, 13824.
b. Xác suất có ít nhất 2 khách hàng chọn mức phí II trong 6 khách hàng vào hệ thống
6

P6 (k; 0, 4) = 1 − P6 (0; 0, 4) − P6 (1; 0, 4) = 1 − 0, 66 − C61 .0, 4.0, 65 = 0, 76672.
k=2

Bài 1.11. Điều tra về giới tính của sinh viên ở một trường học, người ta thấy rằng có
65% nam và 35% nữ. Trong đó, tỷ lệ học sinh nữ và nam thích chơi game tương ứng là
20% và 25%. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của trường này, tính xác suất:
a) Sinh viên được chọn thích chơi game.
b) Sinh viên được chọn là nam, biết rằng sinh viên này thích chơi game.
Giải
a) Gọi A là biến cố chọn được sinh viên thích chơi game; A1 là biến cố chọn được sinh
viên nữ; A2 là biến cố chọn được sinh viên nam.
Ta có P (A1 ) = 35%; P (A2 ) = 65% và {A1 , A2 } là hệ đầy đủ
5


áp dụng CTXSTP:
P (A) = P (A1 ) .P (A/A1 ) + P (A2 ) .P (A/A2 ) = 35%.20% + 65%.25% = 0.2325.
b) Ta cần tính:
P (A2 /A) =

P (A2 .A)
P (A2 ) .P (A/A2 )
=
= 0, 6989.
P (A)
P (A)

Bài 1.12. Một nhà máy có hai phân xưởng. Sản lượng của phân xưởng I gấp 3 lần sản
lượng của phân xưởng II. Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng I và II lần lượt là 3% và 5%.
Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, tính xác suất:
a) Chọn được sản phẩm tốt do phân xưởng I sản xuất.
b) Chọn được 1 phế phẩm.

c) Giả sử chọn được sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm này do phân xưởng I
sản xuất.
Giải
Gọi A là biến cố chọn được sản phẩm tốt; Ai là biến cố chọn được sản phẩm do phân
xưởng thứ i sản xuất, i = 1, 2.
1
3
⇒ P (A1 ) = ; P (A2 ) =
4
4
a) Ta cần tính:
3
P (A.A1 ) = P (A1 ) .P (A/A1 ) = . (1 − 3%) = 0, 7275
4
b) Ta cần tính: P (A). Ta có: {A1 , A2 } là hệ đầy đủ
áp dụng CTXSTP:
3
1
P A = P (A1 ) .P A/A1 + P (A2 ) .P A/A2 = .3% + .5% = 0.035.
4
4
c) Ta cần tính:
P (A1 /A) =

P (A1 ) .P (A/A1 )
P (A1 .A)
=
.
P (A)
P (A)

áp dụng CTXSTP ta có:
1
3
P (A) = P (A1 ) .P (A/A1 ) + P (A2 ) .P (A/A2 ) = .97% + .95% = 0, 965.
4
4
3
.97%
Khi đó, P (A1 /A) = 4
≈ 0, 7539.
0, 965
Bài 1.13. Xác suất tiêu thụ điện năng trong mỗi ngày không vượt quá mức quy định
ở một nhà máy là p = 0, 75. Tính xác suất trong 6 ngày liên tiếp có 4 ngày lượng điện
không vượt mức quy định.
6


Giải
Từ bài toán ta nhận được n = 6, k = 4, p = 0, 75, q = 0, 25. Khi đó,
P6 (4) = C64 (0, 75)4 (0, 25)2 = 0, 3.
Bài 1.14. Ngân hàng đề thi môn Xác Suất Thống Kê có 500 câu hỏi. Thầy Hùng chọn
ngẫu nhiên 20 câu hỏi để làm đề thi cuối kỳ. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong
đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng đạt 0,5 điểm. Bạn Hậu làm bài thi
bằng cách chọn hú họa một phương án cho mỗi câu hỏi. Tính xác suất để bạn Hậu đạt 8
điểm.

Giải
Gọi A là biến cố bạn Hậu đạt 8 điểm.
Theo đề bài ta có lược đồ Bernoulli với:

+ Số phép thử : n = 20.
+ Xác suất để bạn Hậu trả lời đúng 1 câu hỏi: p = 0, 25.
Ta có
16
P (A) = P20 (16) = C20
(0, 25)16 (0, 75)4 = 0, 357.10−6

Bài 1.15. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%. Xem một lô hàng gồm 75 sản
phẩm do máy đó sản xuất ra.
a) Tính xác suất để trong lô hàng có 10 phế phẩm.
b) Tính xác suất để có ít nhất một phế phẩm?
Giải
Nếu xem việc máy sản xuất ra một sản phẩm là một phép thử Bernoulli, với xác suất cho
"thành công" là p = 0, 08, thì khi máy đó sản xuất 75 sản phẩm, nó đã thực hiện quá
trình B(75; 0, 08).
a) Xác suất phải tính:
10
P75 (10) = C75
(0, 08)10 .(0, 92)65 ≈ 0, 03941

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 phế phẩm
P (B) = 1 − (1 − p)n = 1 − (1 − 0, 08)75 ≈ 0, 998
Bài 1.16. Cho 3 hộp linh kiện máy tính mà khả năng lựa chọn của mỗi hộp là như nhau.
Hộp thứ nhất có 30 linh kiện, trong đó có 20 linh kiện tốt và 10 linh kiện xấu. Hộp thứ
hai có 30 linh kiện đều tốt. Hộp thứ ba có 30 linh kiện, trong có 15 linh kiện tốt và 15
linh kiện xấu. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 linh kiện.
7


a) Tính xác suất linh kiện lấy ra là linh kiện tốt.

b) Giả sử linh kiện lấy ra là tốt. Tìm xác suất để linh kiện đó là của hộp thứ 3.
Giải
a) Gọi A là biến cố lấy ra là tốt và Bi là biến cố linh kiện lấy ra từ hộp thứ i; i = 1, 2, 3.
Dễ thấy B1 , B2 , B3 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố. Theo công thức xác suất đầy
đủ, ta có:

P (A) = P (B1 ) .P (A/B1 ) + P (B2 ) .P (A/B2 ) + P (B3 ) .P (A/B3 )
=

1
3

20 30 15
+
+
30 30 30

=

13
.
18

b) Xác suất để linh kiện tốt lấy ra là của hộp thứ 3:
P (B3 /A) =

P (B3 ) .P (A/B3 )
= 0, 23.
P (A)

Bài 1.17. Nhân viên một công ty A nhận về 3 kiện hàng để bán trong một cửa hàng
trưng bày sản phẩm. Mỗi kiện hàng gồm 10 sản phẩm, trong đó gồm có sản phẩm loại
I và sản phẩm loại II. Kiện hàng thứ nhất có 6 sản phẩm loại I, kiện hàng thứ hai có 8
sản phẩm loại I và kiện hàng thứ ba có 9 sản phẩm loại I. Nhân viên bán hàng chọn ngẫu
nhiên một kiện và từ kiện đó chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm để trưng bày.
a. Tính xác suất để 2 sản phẩm trưng bày là 2 sản phẩm loại I.
b. Giả sử đã chọn 2 sản phẩm để trưng bày là sản phẩm loại I. Tính xác suất để 2 sản
phẩm loại I này thuộc kiện hàng thứ ba.
Giải
a) + Gọi A là biến cố 2 sản phẩm trưng bày là 2 sản phẩm loại I.
Ai là biến cố 2 sản phẩm này thuộc kiện hàng thứ i, i ∈ {1, 2, 3}.
Ta có hệ {A1 , A2 , A3 } là hệ đầy đủ các biến cố.
+ Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có
3

P (A) =

P (Ai ) P (A/Ai )
i=1

= P (A1 ) P (A/A1 ) + P (A2 ) P (A/A2 ) + P (A3 ) P (A/A3 )
=

1 C62
1 C2
1 C2
79
. 2 + . 28 + . 29 =
3 C10
3 C10

3 C10
135
8


b) Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất cần tìm
1 C92
. 2
P (A3 ) P (A/A3 )
36
3 C10
=
P (A3 /A) =
=
79
P (A)
79
135
Bài 1.18. Có hai hộp sản phẩm, mỗi hộp chứa 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Người ta
chuyển 1 sản phẩm từ hộp I sang hộp II, sau đó chuyển trả lại 1 sản phẩm từ hộp II về
hộp I. Cuối cùng người đó lấy ở mỗi hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để cả 2 sản phẩm
lấy ra đều là chính phẩm.
Giải
+ Gọi A là biến cố cả hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm;
H1 là biến cố chuyển 1CP từ hộp I sang hộp II và chuyển 1CP từ hộp II sang hộp I;
H2 là biến cố chuyển 1PP từ hộp I sang hộp II và chuyển 1PP từ hộp II sang hộp I;
H3 là biến cố chuyển 1CP từ hộp I sang hộp II và chuyển 1PP từ hộp II sang hộp I;
H4 là biến cố chuyển 1PP từ hộp I sang hộp II và chuyển 1CP từ hộp II sang hộp I;
+ Ta có
8 9

.
10 11
2 3
P (H2 ) = .
10 11
8 2
P (H3 ) = .
10 11
2 8
P (H4 ) = .
10 11
P (H1 ) =

72
;
110
6
=
;
110
16
=
;
110
16
=
;
110
=

+ Xác suất cần tìm
4

P (Hi ) P (A/Hi ) ≈ 0, 6371

P (A) =
i=1

Bài 1.19. Ba người mỗi người bắn một viên đạn vào cùng một mục tiêu với xác suất bắn
trúng lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,9. Biết rằng có ít nhất một viên trúng đích, tính xác suất
để người thứ nhất bắn trúng.
Giải
+ Gọi A là biến cố có ít nhất một viên trúng đích; Ai là biến cố người thứ i bắn trúng,
i ∈ {1, 2, 3}.
9


+ Ta có
P (A) = 1 − P A = 1 − P A1 A2 A3 = 1 − 0, 3.0, 2.0, 1 = 0, 994
+ Xác suất cần tìm
P (A1 /A) =

P A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3
P (A1 A)
=
≈ 0, 7042
P (A)
P (A)

Bài 1.20. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả còn mới và 6 quả đã sử

dụng. Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên 3 quả trong 15 quả để thi đấu, sau đó lại trả vào
hộp. Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tìm xác suất để cả 3 quả lấy ra lần sau đều mới.
Giải
+ Gọi A là biến cố 3 quả bóng lấy ra lần sau đều mới.
Ai là biến cố 3 quả bóng lấy ra lần đầu có i quả bóng mới, i ∈ {0, 1, 2, 3}.
Ta có hệ {A0 , A1 , A2 , A3 } là hệ đầy đủ các biến cố.
+ Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có
n

P (A) =

P (Ai ) P (A/Ai )
i=0

= P (A0 ) P (A/A0 ) + P (A1 ) P (A/A1 ) + P (A2 ) P (A/A2 ) + P (A3 ) P (A/A3 )
=

C91 C62 C83
C92 C61 C73
C93 C63
C63 C93
.
+
.
+
.
+
. 3 ≈ 0, 089
3
3

3
3
3
3
3
C15
C15
C15
C15
C15
C15
C15
C15

Bài 1.21. Có hai chuồng nuôi gà cùng kích thước đặt cạnh nhau; chuồng thứ I có 5 con
mái và 9 con trống; chuồng thứ II có 4 con mái và 6 con trống. Để cân đối số lượng gà
trong mỗi chuồng, người ta chọn ngẫu nhiên 2 con gà từ chuồng I cho vào chuồng II. Sau
đó chọn ngẫu nhiên 2 con gà từ chuồng II để làm thịt. Tính xác suất để
a. Hai con gà chọn ra là gà trống.
b. Hai con gà chọn ra gồm một con trống và một con mái.
Giải
a) + Gọi A là biến cố 2 con gà chọn ra là gà trống.
Ai là biến cố 2 con gà từ chuồng I vào chuồng II có i con gà trống, i ∈ {0, 1, 2}.
Ta có hệ {A0 , A1 , A2 } là hệ đầy đủ các biến cố.
+ Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có
n

P (A) =

P (Ai ) P (A/Ai )

i=0

= P (A0 ) P (A/A0 ) + P (A1 ) P (A/A1 ) + P (A2 ) P (A/A2 )
=

C52 C62
C51 C91 C72
C92 C82
.
+
.
+
. 2 ≈ 0, 35
2
2
2
2
2
C14
C12
C14
C12
C14
C12
10


b) + Gọi B là biến cố 2 con gà chọn ra gồm 1 gà trống và 1 gà mái.
Ai là biến cố 2 con gà từ chuồng I vào chuồng II có i con gà trống, i ∈ {0, 1, 2}.
Ta có hệ {A0 , A1 , A2 } là hệ đầy đủ các biến cố.

+ Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có
n

P (B) =

P (Ai ) P (B/Ai )
i=0

= P (A0 ) P (B/A0 ) + P (A1 ) P (B/A1 ) + P (A2 ) P (B/A2 )
=

1.2

C92 C41 C81
C52 C61 C61 C51 C91 C51 C71
.
+
.
+
. 2 ≈ 0, 51
2
2
2
2
2
C14
C12
C14
C12
C14

C12

Bài tập đề nghị

Bài 1.22. Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 0,09; mắc bệnh khớp
là 0,12 và mắc cả hai bệnh là 0,07. Khám ngẫu nhiên một người trong vùng đó, tính xác
suất để người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh khớp.
ĐS: 0,86
Bài 1.23. Một người bắn liên tiếp 5 viên đạn vào mục tiêu với xác suất trúng đích của
mỗi viên đạn là 0,2. Để phá hủy mục tiêu thì cần từ 3 viên trúng mục tiêu trở lên. Tính
xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.
ĐS: 0,0579.
Bài 1.24. Đoạn AB có độ dài l bị bẻ gãy làm 3 đoạn tại 2 điểm ngẫu nhiên. Tính xác
suất để 3 đoạn này ghép lại thành một tam giác.
1
ĐS: .
4
Bài 1.25. Giả sử A và B hẹn gặp nhau trong khoảng thời gian [0;60] với điều kiện người
thứ nhất tới sẽ đợi người kia trong 20 đơn vị thời gian, sau đó đi khỏi. Tính xác suất để
A và B gặp nhau.
5
ĐS: .
9
Bài 1.26. Trong hộp có 7 bi trắng và 8 bi đen. Lấy từ hộp ra lần lượt 2 bi (bi lấy xong
không hoàn lại hộp). Tìm xác suất để 2 bi đều trắng.
ĐS: 0,2.
Bài 1.27. Có hai hộp thuốc. Hộp thứ nhất đựng 8 lọ thuốc, trong đó có 3 lọ kém chất
lượng; hộp thứ hai đựng 6 lọ thuốc, trong đó có hai lọ kém chất lượng.
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ. Tính xác suất để được 1 lọ tốt và 1 lọ kém
chất lượng.

11


b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra một lọ thì được lọ kém chất lượng.
Tính xác suất để lọ kém chất lượng đó thuộc hộp 2.
ĐS: a) 11/24; b) 8/17.
Bài 1.28. Có hai hộp đựng bi: hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đen; hộp II có 6 bi trắng và 4
bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra 1 bi.
Tính xác suất:
a) Bi lấy từ hộp II là bi trắng.
b) Bi lấy từ hộp I sang hộp II là bi trắng, biết rằng bi lấy từ hộp II là bi trắng.
ĐS: a) 7/12; b) 5/11.
Bài 1.29. Hộp thứ nhất có 5 quả cầu trắng và 10 quả cầu đỏ , hộp thứ hai có 3 quả cầu
trắng và 7 quả cầu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu, rồi từ 2 quả cầu đó lấy
ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất để quả cầu lấy ra sau là cầu trắng. ĐS: 0,31667.
Bài 1.30. Từ một nhóm bạn gồm 8 người: Nhàn, Bình, Trường, Hiền, Thảo, To, Ngọc,
Giang. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn từ nhóm này, tính xác suất để trong đó có "Giang".
ĐS: 0,375.
Bài 1.31. Một nhà phân tích thị trường chứng khoán đưa ra một danh sách cụ thể 5 loại
cổ phiếu. Giả sử xếp được bảng thứ tự tăng trưởng của 5 loại cổ phiếu này vào năm tới
và khả năng xếp hạng đều như nhau. Tính xác suất để dự đoán đúng 3 loại cổ phiếu xếp
ở đầu bản này
a) Không kể thứ tự
b) Xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba.
ĐS: 0,1; 0,0167.
Bài 1.32. Sơn và Lộc cùng bắn vào một tấm bia một cách độc lập, mỗi người bắn một
phát. Xác suất để Sơn và Lộc bắn trúng bia lần lượt là 0,6 và 0,8. Tính xác suất để bia
bị trúng đạn.
ĐS: 0,92.
Bài 1.33. Khảo sát về mức độ quan tâm của công nhân tại thành phố Hồ Chí Minh

với 3 tờ báo Thanh Niên, Tuổi Trẻ, Pháp Luật. Người ta thu được số liệu sau: có 20%
người dân xem báo Thanh Niên; 15% người dân xem báo Tuổi Trẻ; 10% người dân xem
báo Pháp Luật; 5% xem báo Thanh Niên và Tuổi Trẻ; 4% xem báo Thanh Niên và Pháp
Luật; 3% xem báo Tuổi Trẻ và Pháp Luật và 2% xem cả ba tờ báo trên. Chọn ngẫu nhiên
một công nhân tại thành phố, tính xác suất để người này không xem báo nào trong ba
tờ báo đã nêu.
12


ĐS: 0,65.
Bài 1.34. Một danh sách có 10 sinh viên, trong đó có 4 sinh viên khoa X và 6 sinh viên
khoa Y . Chọn ngẫu nhiên từ danh sách này 4 sinh viên. Tính xác suất trong các trường
hợp sau:
a) Chọn được số sinh viên khoa X bằng số sinh viên khoa Y .
b) Chọn được ít nhất một sinh viên khoa X.
ĐS: a)

13
3
; b)
.
7
14

Bài 1.35. Một đoạn mạch điện mắc nối tiếp theo thứ tự gồm: công tắc I, công tắc II và
bóng đèn. Bóng đèn sẽ phát sáng nếu cả hai công tắc đều đóng. Giả sử khả năng để công
tắc I và công tắc II đóng lần lượt là 0,8 và 0,6. Cho biết hai công tắc hoạt động độc lập
nhau. Tính xác suất:
a) Bóng đèn phát sáng.
b) Công tắc I mở, biết rằng bóng đèn tắt.

c) Công tắc II mở, biết rằng bóng đèn tắt.
ĐS: 0,48; 0,3846; 0,7692.
Bài 1.36. Một hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.
a) Lấy ngẫu nhiên một hộp để kiểm tra, tính xác suất lấy được phế phẩm
b) Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm từ hộp (nghĩa là
lấy lần đầu 1 sản phẩm ghi kết quả sau đó trả lại hộp rồi lại lấy lần thứ hai), tính
xác suất lấy được 2 phế phẩm.
c) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm từ hộp, tính
xác suất lấy được 2 phế phẩm.
d) Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp, tính xác suất lấy được 2 phế phẩm.
ĐS: a) 0,3; b) 0,09; c) 0,0667; d) 0,0667.
Bài 1.37. Hãy tìm tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng gồm nhiều sản phẩm. Biết rằng người
ta kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 1000 sản phẩm của lô hàng này thấy có 5 phế phẩm.
ĐS: 0,5%.
Bài 1.38. Một hộp có 10 bi trong đó có 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác
suất sao cho trong 3 bi lấy ra có ít nhất một bi đỏ.
ĐS: 0,8333.
Bài 1.39. Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy là 10%.
13


a) Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm của nhà máy, tính xác suất để chọn được ít nhất
một phế phẩm.
b) Phải chọn ít nhất bao nhiêu sản phẩm để có xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm
không bé hơn 0.95.
ĐS: a) 1 − (0, 9)100 ; b) 29.
Bài 1.40.Một lớp có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi toán, 50 sinh viên giỏi
văn và trong số này có 15 sinh viên vừa giỏi toán vừa giỏi văn. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh
viên của lớp. tính xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất 1 trong 2 môn trên.
ĐS: 85%.

Bài 1.41. Một lớp học có 60 học sinh trong đó có 28 em giỏi Toán, 30 em giỏi Lý, 32 em
giỏi Ngoại ngữ, 15 em vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý, 10 em vừa giỏi Lý vừa giỏi Ngoại ngữ,
12 em vừa giỏi Toán vừa giỏi Ngoại ngữ, có 2 em giỏi cả 3 môn. Gọi ngẫu nhiên một học
sinh của lớp. Tính xác suất gọi được em giỏi ít nhất 1 môn.
ĐS: 0,9167.
Bài 1.42. Một mẫu có 10 người, trong đó có 6 người bị bệnh. Chọn ngẫu nhiên 6 người,
tính xác suất để chọn được số người bị bệnh nhiều hơn số người không bị bệnh.
ĐS: 23/42.
Bài 1.43. Bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 phong bì tương ứng đã ghi sẵn địa chỉ. Tính xác
suất sao cho có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó.
ĐS: 0,625.
Bài 1.44. Một hộp có 10 vé trong đó có 3 vé có thưởng. Tính xác suất người thứ hai bốc
được vé trúng thưởng, biết rằng người đầu đã bốc được một vé trúng thưởng (mỗi người
chỉ được bốc một vé).
ĐS: 0,2222.
Bài 1.45. Để dập tắt nạn dịch sâu bệnh hại lúa, đội bảo vệ thực vật đã tiến hành phun
thuốc 3 lần liên tiếp trong 1 tuần. Xác suất sâu bị chết sau lần phun thứ nhất là 0,5. Nếu
sống sót ở lần phun thứ nhất thì khả năng sâu bị chết ở lần phun thứ hai là 0,7. Nếu sống
sót ở lần phun thứ hai thì khả năng sâu bị chết ở lần phun thứ ba là 0,9. Tính xác suất
sâu bị chết sau đợt phun thuốc.
ĐS: 98,5%.
Bài 1.46. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt. hai người khách
hàng lần lượt đến mua mỗi người một sản phẩm. Hỏi khả năng mua được sản phẩm tốt
của mỗi người có giống nhau không, tại sao?
ĐS: như nhau.
Bài 1.47. Có 2 chuồng nuôi chuột. chuồng I có 4 con chuột trắng và 3 con chuột đen,
14


chuồng II có chuột trắng và 5 chuột đen. Chọn ngẫu nhiên 2 con từ chuồng I bỏ vào chuồng

II, từ chuồng II chọn ngẫu nhiên 1 con. Tính xác suất để con chuột chọn từ chuồng II có
màu trắng.
ĐS: 66/189.
Bài 1.48. Một kho hàng chứa cùng một loại sản phẩm do ba nhà máy sản xuất, biết số
sản phẩm của nhà máy I chiếm 2/3 sản phẩm của kho hàng, số sản phẩm của nhà máy
II chiếm 1/4 số sản phẩm của kho hàng, số sản phẩm còn lại của nhà máy III. Tỷ lệ sản
phẩm tốt của mỗi nhà máy lần lượt là 80%, 60% và 40%. Hỏi tỷ lệ sản phẩm tốt của nhà
máy là bao nhiêu?
ĐS: 72%.
Bài 1.49. Một mạch điện gồm 2 bộ phận độc lập được mắc nối tiếp, với xác suất bị hỏng
trong thời gian nào đó của mỗi bộ phần lần lượt là 0,01 và 0,015. Tại một thời điểm người
ta thấy mạch điện bị ngừng làm việc ( do ít nhất một bộ phận nào đó bị hỏng ). Tìm xác
suất để để bộ phận thứ nhất hỏng.
ĐS: 0,396378.
Bài 1.50. Qua thống kê thực tế người ta thấy rằng: tỷ lệ người viêm họng trong số người
nghiện thuốc lá là 60% và trong số người không hút thuốc lá là 40%. Giả sử một vùng
dân cư hiện có 30% người nghiện thuốc.
a) Tính tỷ lệ người bị viêm họng của vùng dân cư này?
b) Nếu chọn được người không bị viêm họng từ vùng này, tính xác suất để người này
là người nghiện thuốc lá.
ĐS: a) 46%; b) 22,2%.
Bài 1.51. Người ta thống kê tỷ lệ sâu răng ở hai trường tiểu học A và B trong một huyện
lần lượt là 20% và 30%. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi trường 2 học sinh. Tính xác suất để
chọn được đúng 2 học sinh bị sâu răng.
ĐS: 0,362.
Bài 1.52. Bài toán chiếc kim Buffon: Trên mặt phẳng kẻ các đường thẳng song song cách
nhau khoảng 2a. Tung ngẫu nhiên một cái kim có chiều dài 2l (l < a). Tính xác suất để
cái kim cắt một đường thẳng bất kỳ trên mặt phẳng.
ĐS:

2l
.
aπ

Bài 1.53. Cho A, B là hai biến cố độc lập và P (A) = 0.3 và P (B) = 0.7. Tính xác suất:
a) P (AB).
b) P (A/B).
15


c) P (B/A).
ĐS: 0, 21; 0, 3; 0, 7.
Bài 1.54. Trong một hộp có 10 bi trắng và 20 bi đen. Hỏi xác suất để trong hai bi lấy ra
có một bi trắng, còn bi kia đen? (bi lấy ra không hoàn lại hộp).
a) Lấy đồng thời 2 bi.
b) Lấy lần lượt từng viên.
ĐS: 0, 4598.
Bài 1.55. Nam nộp hồ sơ đi dự thi vào trường đại học A và trường cao đẳng B. Khả
năng Nam thi đậu vào trường đại học là 0,6 và trường cao đẳng là 0,8. Khả năng Nam
không thi đậu vào ít nhất một trong hai trường là 0,3. Tính xác suất để Nam thi đậu vào
ít nhất một trong hai trường A và B.
ĐS: 0, 7.
Bài 1.56. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt
lớn hơn 4 chấm.
ĐS:

1
.
3

Bài 1.57. Từ một nhóm bạn gồm 5 người: Nam, Ngọc, Tú, Quyên và Hải. Chọn ngẫu
nhiên 3 bạn từ nhóm này, tính xác suất để trong đó có bạn Quyên.
ĐS: 0, 6.
Bài 1.58. Trong một tuần lễ có 7 tai nạn giao thông. Tính xác suất để mỗi ngày xảy ra
đúng 1 tai nạn?
ĐS:

7!
.
77

Bài 1.59. Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó 8 sản phẩm loại A. Kiểm tra lần lượt
không hoàn lại 2 sản phẩm của kiện hàng. Xác suất để 2 sản phẩm kiểm tra có không
quá 1 sản phẩm loại A là bao nhiêu?
ĐS:

17
.
45

Bài 1.60. Trong một xưởng có 3 máy làm việc. Trong một ca, máy thứ nhất có thể cần
sửa chữa với xác suất 0,12; máy thứ hai với xác suất 0,15 và máy thứ ba với xác suất 0,18.
Tìm xác suất sao cho trong một ca làm việc có ít nhất một máy không cần sửa chữa.
ĐS: 0,99676.
16


Bài 1.61. Một lô hàng có 3 kiện sản phẩm: kiện thứ nhất có 8 sản phẩm tốt và 2 phế
phẩm; kiện thứ hai có 10 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm; kiện thứ ba có 15 sản phẩm tốt
và 5 phế phẩm. Một khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi kiện ra 2 sản

phẩm. Người này sẽ mua kiện hàng nếu cả 2 sản phẩm được lấy ra đều tốt. Tính xác suất
để có ít nhất một kiện hàng được mua.
ĐS: 0,9285.
Bài 1.62. Một người buôn bán bất động sản đang muốn bán một mảnh đất lớn. Ông ta
dự đoán rằng: nếu nên kinh tế tiếp tục phát triển thì khả năng mảnh đất được mua là
80%; ngược lại nếu nền kinh tế ngừng phát triển thì ông ta chỉ bán được mảnh đất đó
với xác suất 40%. Theo dự báo của một chuyên gia kinh tế: xác suất nên kinh tế tiếp tục
tăng trưởng là 65%. Tính xác suất để người này bán được mảnh đất.
ĐS: 0,66.
Bài 1.63. Một lớp có số sinh viên nữ bằng 3 lần số sinh viên nam. Tỷ lệ sinh viên nam
và nữ giỏi Toán lần lượt là 30% và 40%. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp này.
Tính xác suất:
a) Sinh viên này giỏi Toán.
b) Sinh viên này là nữ, biết rằng sinh viên này giỏi Toán.
ĐS: 0,375; 0,8.
Bài 1.64. Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Số sản phẩm
của phân xưởng thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt chiếm 25%, 25% và 50% tổng sản lượng
của nhà máy. Tỷ lệ phế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là 1%, 2,5% và 4,5%. Lấy
ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ nhà máy này
a) Tính xác suất lấy được sản phẩm tốt. Nêu ý nghĩa thực tế của kết quả này.
b) Nếu lấy được sản phẩm tốt thì theo bạn, sản phẩm đó có khả năng là do phân
xưởng nào sản xuất nhất?
ĐS: 0,96875; phân xưởng thứ ba.
Bài 1.65. Có hai chuồng thỏ: chuồng I có 5 thỏ đen và 10 thỏ trắng; chuồng II có 8 thỏ
đen và 15 thỏ trắng. Quan sát thấy từ chuồng I có một con thỏ chạy sang chuồng II; sau
đó từ chuồng II có 1 con thỏ chạy ra ngoài. Tính xác suất để:
a) Con thỏ chạy từ chuồng I sang chuồng II là con thỏ trắng.
b) Con thỏ chạy từ chuồng II là con thỏ trắng.
c) Con thỏ chạy từ chuồng I sang chuồng II là con thỏ trắng và con thỏ chạy từ chuồng
II ra ngoài cũng là con thỏ trắng.

17


d) Con thỏ chạy từ chuồng I sang chuồng II là con thỏ trắng, biết rằng con thỏ chạy
từ chuồng II ra ngoài là con thỏ trắng.
ĐS: 2/3; 0,6528; 0,4444; 0,6808.
Bài 1.66. Có hai chuồng thỏ: chuồng I có 8 thỏ đen và 12 thỏ trắng; chuồng II có 6 thỏ
đen và 15 thỏ trắng. Quan sát thấy từ chuồng I có 1 con thỏ chạy sang chuồng II; sau đó
từ chuồng II có 2 con thỏ chạy ra ngoài. Tính xác suất để:
a) Hai con thỏ chạy từ chuồng II ra ngoài là hai con thỏ trắng.
b) Trong 2 con thỏ chạy ra từ chuồng 2 có 1 con thỏ trắng.
c) Hai con thỏ chạy từ chuồng II ra ngoài là hai con thỏ đen.
ĐS: 0,4935; 0,4312; 0,0753.
Bài 1.67. Có hai chuồng gà: chuồng I có 12 gà mái và 8 gà trống; chuồng II có 15 gà mái
và 10 gà trống. Quan sát thấy có 2 con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II; sau đó có 1
con gà chạy từ chuồng II ra ngoài. Tính xác suất để:
a) Hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con gà mái
b) Trong hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II có 1 con gà trống.
c) Hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con gà trống
d) Con gà chạy từ chuồng II ra ngoài là gà trống.
ĐS: 0,3474; 0,5052; 0,1474; 0,4.
Bài 1.68. Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng kia có 1 con mái và 5 con
trống. Từ mỗi chuồng ta bắt ra ngẫu nhiên một con làm thịt. Các con gà còn lại được
dồn vào một chuồng thứ ba. Từ chuồng thứ ba này lại bắt ngẫu nhiên một con gà. Tính
xác suất để ta bắt được gà trống.
ĐS:

304
.
840

Bài 1.69. Có 3 hộp: mỗi hộp đựng 5 viên bi, trong đó hộp thứ i có i bi trắng . Chọn ngẫu
nhiên một hộp, rồi từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi.
a) Tìm xác suất để lấy được 3 viên bi trắng.
b) Nếu trong 3 bi lấy ra có một bi trắng, tìm xác suất để viên bi trắng đó là của hộp
thứ nhất.
18


ĐS: 0, 048;

3
.
29

Bài 1.70. Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào 1 tấm bia một cách độc lập. Xác suất bắn
trúng bia của mỗi viên đạn bằng nhau và bằng 0,6. Tìm xác suất có từ 5 đến 7 viên đạn
trúng đích.
ĐS: 0, 6665.
Bài 1.71. Trong một hộp có 9 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ còn lại là bi xanh. Lần lượt
lấy ngẫu nhiên có hoàn lại 3 bi. Tìm xác suất để:
a) Lấy được 2 bi xanh.
b) Lấy được ít nhất 1 bi đỏ.
ĐS: 0,4444; 0,7037.

19


Chương 2
Đại lượng ngẫu nhiên

2.1

Bài tập có hướng dẫn

Bài 2.1. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, X ∼ B(10; 0, 6), Y ∼ P (3).
a. Tính E(2X − 3Y + 5),

V ar(2Y − 3X − 10),

E {(3X − 5Y )2 } .

b. Tính xác suất {X = 3} ∪ {Y ≥ 1} .
Giải. Theo giả thiết X ∼ B(10; 0, 6) nên E(X) = 10.0, 6 = 6; V ar(X) = 10.0, 6.0, 4 = 2, 4
và Y ∼ P (3) suy ra E(Y ) = 3; V ar(Y ) = 3.
a. Theo tính chất của kì vọng
E(2X − 3Y + 5) = 2E(X) − 3E(Y ) + 5 = 8.
Theo tính chất của phương sai
V ar(2Y − 3X − 10) = 4D(Y ) + 9D(Y ) = 36.6
Ta có E(X 2 ) = D(X) + [E(X)]2 = 38, 4; E(Y 2 ) = 12. Từ đó cùng với giả thiết X, Y
độc lập ta có
E {(3X − 5Y )2 } = E {(9X 2 − 30XY + 25Y 2 }
= 9.E(X 2 ) − 30E(X).E(Y ) + 25E(Y 2 ) = 105, 6.
b. Tính xác suất
{X = 3} ∪ {Y ≥ 1} = P (X = 1) + P (Y ≥ 1) − P (X = 3).P (Y ≥ 1)
1
1
= C10
0, 6. 0, 49 + (1 − e−3 ) − C10
0, 6. 0, 49 .(1 − e−3 ) ≈ 0, 9503.
Bài 2.2. Có 3 thùng hàng: thùng thứ nhất có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại

1; thùng thứ hai có 15 sản phẩm trong đó có 9 sản phẩm loại 1; thùng thứ ba có 12 sản
phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại 1. Từ mỗi thùng lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Gọi X là
biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại 1 trong 9 sản phẩm được lấy ra.
20


a. Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.
b. Tính xác suất để số sản phẩm lấy ra ít nhất là 2.
Giải. a. Gọi X1 , X2 , X3 lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại 1 trong 3 sản
phẩm lấy ra từ thùng 1, thùng 2, thùng 3. Ta có X1 ∼ H(n; M ; N ) trong đó n = 3, M =
7; N = 10 từ đây ta có
21
M
= ,
E(X1 ) = n.
N
10
V ar(X1 ) = n.

M
M
. 1−
N
N

.

N −n
= 0, 49.
N −1

Tương tự ta có
108
9
E(X2 ) = ; V ar(X2 ) =
5
175
E(X3 ) = 2; V ar(X3 ) =

6
.
11

Ta có X = X1 + X2 + X3 và các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , X3 độc lập toàn phần. Theo
tính chất của kỳ vọng và phương sai ta có
E(X) = E(X1 ) + E(X2 ) + E(X3 ) = 5, 9.
D(X) = D(X1 ) + D(X2 ) + D(X3 ) = 1, 6526.
b. Tính xác suất P (X ≥ 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1). Trong đó,
P (X = 0) = P (X1 = 0).P (X2 = 0)P (X3 = 0) =

C33 C63 C43
1
. 3 . 3 =
3
C10 C15 C12
150150

P (X = 1) = P (X1 = 1).P (X2 = 0).P (X3 = 0) + P (X1 = 0).P (X2 = 1).P (X3 = 0)
53
.

+P (X1 = 0).P (X2 = 0).P (X3 = 1) =
200200
Từ đó suy ra
P (X ≥ 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) =

600437
.
600600

Bài 2.3. Thời gian (giờ) mà một người đi từ nhà đến cơ quan là đại lượng ngẫu nhiên X
có phân phối chuẩn N (0, 5; 0, 01). Cơ quan của anh ta làm việc từ 7 giờ sáng.
a. Nếu anh ta xuất phát từ nhà lúc 6 giờ 30 phút thì xác suất bị trễ giờ làm việc là
bao nhiêu?
b. Nếu muốn xác suất không bị trễ giờ ít nhất là 0,95 thì anh ta phải xuất phát từ
nhà muộn nhất mấy giờ?
21


Giải. a. Theo giả thiết X ∼ N (0, 5; 0, 01) xác suất để anh ta xuất phát lúc 6 giờ 30 đến
cơ quan bị trễ được cho bởi
P (6, 5 + X > 7) = P (X > 0, 5) = 0, 5 − Φ0

0, 5 − 0, 5
0, 1

= 0, 5.

b. Gọi t0 là thời điểm mà anh ta xuất phát, xác suất anh ta không bị trễ được tính bằng
biểu thức
P (t0 + X ≤ 7) = P (X ≤ 7 − t0 ) ≥ 0, 95.

Tương đương với
0, 5 + Φ0

6, 5 − t0
0, 1

≥ 0, 95

6, 5 − t0
≥ 1, 645. Từ đây tìm được giá trị t0 ≤ 6, 3355. Như vậy anh ta cần khởi
0, 1
hành trễ nhất là 6 giờ 20 phút 8 giây.
hay

Bài 2.4. Nhu cầu hàng năm về mặt hàng A ở địa phương B là đại lượng ngẫu nhiên X (
nghìn tấn) có hàm mật độ xác suất được cho bởi
k.x2 .(15 − x), 0 ≤ x ≤ 15
0, x ∈
/ [0; 15]

f (x) =

a. Tìm hằng số k và cho biết nhu cầu bình quân hằng năm về mặt hàng này ở đại
phương B.
b. Tính xác suất để nhu cầu trong một năm về mặt hàng này ở B không vượt quá 13
nghìn tấn.
Giải. a. Do f là hàm mật độ xác suất của X nên thỏa điều điện
+∞

f (x)dx = 1

−∞

hay
15

kx2 (15 − x)dx = 1.
0

4
. Với giá trị k trên, dễ thấy rằng f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
16875
Nhu cầu bình quân hằng năm được tính bởi
Từ đây tìm được giá trị k =

+∞

E(X) =

15

xf (x)dx =
−∞

0

4
x3 (15 − x)dx = 9.
16875

Vậy bình quân hằng năm nhu cầu mặt hàng A là 9 tấn.

b. Xác suất nhu cầu về mặt hàng này ở B không vượt quá 13 nghìn tấn là
13

P (X ≤ 13) =

13

f (x)dx =
−∞

0

4
15279
x2 (15 − x)dx =
.
16875
16875

Bài 2.5. Tại một trạm xăng, bình quân trong 30 phút có 12 khách đến đổ xăng.
22


a. Tính xác suất trong 30 phút có từ 10 đến 15 khách đến đổ xăng ở trạm xăng này?
b. Tỷ lệ khách có mức đổ xăng 50 nghìn đồng là 60%. Trong số 96 khách vào đổ xăng,
thì số khách đổ xăng mức 50 nghìn đồng nhiều nhất là bao nhiêu?
Giải. a. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số khách và đổ xăng tại trạm này. Theo giả thiết
ta có X ∼ P oi(λ), với λ = 12. Xác suất có từ 10 đến 15 người đến trạm đổ xăng là
15

15

P (10 ≤ X ≥ 15) =

P (X = k) =
k=10

3k −3
.e ≈ 0, 0011.
k!
k=10

b. Gọi Y là số người vào đổ xăng ở trạm trên với mức 50 nghìn đồng trong số 96 khách.
Ta có Y ∼ B(n, p), với n = 96, p = 0, 6. Ta có
M od(Y ) = (n + 1)p = 58.
Vậy nhiều khả năng nhất là 58 khách sẽ vào trạm đổ xăng với mức 50 nghìn đồng.
Bài 2.6. Lô hàng I có 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm, lô hàng II có 14 sản phẩm tốt
và 5 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng I ra 1 sản phẩm và bỏ vào lô hàng II. Sau
đó, từ lô hàng II chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản
phẩm lấy ra từ lô hàng II.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Tính P (1 < X ≤ 4) .
Giải
a) Lập bảng PPXS của X:
Ta có: X = 0, 1, 2, 3.
Gọi A là biến cố sản phẩm lấy từ lô hàng I bỏ vào lô hàng II là sản phẩm tốt.
⇒ A, A là hệ đầy đủ, do đó áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có
P (X = k) = P (A) .P (X = k/A) + P A .P X = k/A
=

k
k
10 C15
.C53−k
2 C14
.C63−k
.
+
.
, k = 0, 3
3
3
12
C20
12
C20

Vậy bảng phân phối xác suất của X là:
X
p

0

1

2

3

7

684

8
57

1057
2280

2639
6840

23