các dạng bài tập xác xuất thống kê

Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

A- CƠNG CỤ GIẢI BÀI TẬP:

LOẠI 1: GIẢI TÍCH TỔ HỢP
• Ngun lí nhân:
- Định nghĩa: Một cơng việc A được chia làm k giai đoạn. Có n1 cách hồn thành giai
đoạn 1, có n2 cách hồn thành giai đoạn 2, . . . , có nk cách hồn thành giai đoạn k. Số
cách thực hiện công việc A là
n = n1 * n2 *…* nk
* Hoán vị:
- Cho A là tập hợp khác ∅ có số phần tử là n. Một hoán vị của A là một cách sắp xếp có
thứ tự các phần tử của A.
Mệnh đề. Số hốn vị của tập A có n phần tử bằng P n = 1.2.3…n = n!
* Chỉnh hợp:
- Cho A là tập hợp có n phần tử. Một cách sắp xếp có thứ tự m phần tử trong n phần tử
của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập m của n phần tử.
Mệnh đề. Số chỉnh hợp châp m của n phần tử là:
m
An =

n!
( n - m)!

Chỉnh hợp lặp: Một bộ thứ tự gồm m phần tử không nhất thiết khác nhau cùa 1 tập
hợp A gồm n phần tử được gọi là một chình hợp lặp chập m cùa n phần tử:
Mệnh đề. Số chỉnh hợp lặp chập m của n phận từ bằng:
•

m
An = m .
n
Tổ hợp. Một cách chọn m phần tử trong một tập hợp gồm n phần tử được gọi là một
tổ hợp chập m của n phần tử.
Mệnh đề. Số tổ hợp chập m của n phần tử bằng:
n!
m
Cn =
•

m!(n - m)!

Ngun tắc giải tốn :
Cách 1 :
1) Xác định cơng việc ?
2) Số cơng đoạn hồn thành?
3) Áp dụng Ngun lý tích.
Cách 2:
1) Mỗi cách chọn là một nhóm, hai nhóm khác nhau nếu khác nhau ít nhất một phần tử
hoặc khác nhau về thứ tự.
2) Số cách chọn là số các chỉnh hợp .

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

1

email:

Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

LOẠI 2: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển:
Xác suất của biến cố A là một số khơng âm. Kí hiệu P(A) biểu thị khả năng xẩy ra biến
m
cố A và xác định như sau :
P ( A) =
•

n

( m khả năng thuận lợi xuất hiện biến cố A, n khả năng có thể)

Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học:
Một phép thử có khơng gian các biến cố sơ cấp đồng khả năng Ω là một tập vô hạn
không đếm được. A là biến cố bất kỳ được biểu diễn bằng một miền con của Ω
•

P ( A) =

m
n

( m số đo của miền A, n là số đo của Ω )
. Định nghĩa xác suất theo thống kê :
a) Tần suất của một phép thử : A là biến cố liên kết với phép thử. Lặp lại phép thử trong n
lần thì có m lần luất hiện A.

m
n

Khi đó f(A) =

được gọi là tần suất xẩy ra biến cố A

b) Định nghĩa: Tần suất của biến cố A trong một phép thử khi số lần thử càng lớn thi f(A)
= P(A)
Tính chất cơ bản của xác suất
a) 0 ≤ p ≤ 1
b) P(Ω )= 1
c) AiΙ Aj =Ø với mọi i khác j
P(Υ Ai)=P(A1)+P(A2)+…P(An)
i = ( 1,n)
d) P(Ā) = 1 –P(A)
e) P(Ø) = 0
f) P(AΥ B) = P(A) +P(B) – P(AΙ B)
• P(AΥ BΥ C)= P(A)+P(B)+P(C )-P(A1Ι A2)-P(A1Ι A3)-P(A2Ι A3)+
P(A1Ι A2Ι A3)

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

2

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

LOẠI 3 : BÀI TẬP SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT
a) Định lý cộng xác suất:A và B là hai biến cố xung khắc đều là các biến cố liên kết của

một phép thử khi đó ta có P(AU B) = P(A) + P(B)
b) Định lý nhân xác suất:
1. Xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện hiến cố B đã
xẩy ra, được ký hiệu P(A/B), nó biểu thị khả năng xẩy ra biến cố A khi biến cố B đã
xẩy ra
-Số kết quả có thể có khi phép thử thực hiện là n
-Số khả năng thuận lợi cho biến cố B là nB
-Số khả năng thuận lợi cho cả A và M là nAB

PA / )
( B

PA B )
( I
=
PB )
(

P(AIB) =P(B).P(A/B)

2, Hai biến cố độc lập:
A và B độc lập nếu P(A/B)=P(A) hoặc P(B/A) = P(B)
* Tính chất của xác suất có điều kiện
1)0≤ P(A/B)≤1

2) P(B/B) = 1
3) Nếu AC =Ø thì P( A∪C/B) =P(A/B) +P(C/B)
4) P( A/B) = 1- P(A/B)
*Cơng thức nhân xác suất:
P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
• Công thức nhân mở rộng: Các biến cố A1,A2,…,An là các biến cố liên kết trong
một phép thử. Khi đó P( A. A2. …An) =P(A1).P(A2/A1)…(PAn/A1, A2, …An-1)
3, Các biến cố Bi lập thành hệ đầy đủ nếu Υ Bi =Ω và Ι Bi=Ø
4, Xác suất toàn phần :

n

P ( A) = ∑ P ( Bi ) P ( A / Bi )
1

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

3

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

5, Hai biến cố độc lập nếu
P(AΙ B)= P(A).(P(B)
6, Công thức Bayes

P( B i / A=)

P( B i). P( A / B i)
P( A)

7, Phép thử Bernoulli
Dãy phép thử Gi ; i=(1,n) trong đó mỗi phép thử tương ứng với một không gian biến
cố sơ cấp Ω = {A,Ā }, được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu
- Dãy các phép thử là độc lập.
- Xác suất xẩy ra biến cố A là không đổi và bằng p
 Xác suất nhị thức . Dãy pháp thử Bernoulli ( n,p)

P

( k) =C n .p
k

n

P (k; k)
n

1

 Khả năng nhất :

2

k

( −)
1p

m k

k2
=∑
P n( )
k1

−

k

-Nếu (n+1)p nguyên thì k0=(n +1) p và k1= (n+1)p-1
- Nếu (n+1)p khơng ngun thì k0=[(n+1)p ]

B- PHÂN LOẠI BÀI TẬP:

LOẠI 1: GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1) Từ địa điểm A đến địa điểm B có 4 đường đi; từ địa điểm B đến địa điểm C có 5
đường đi. Hỏi đi từ A đến B rồi về C có bao nhiêu cách đi.
Hướng dẫn giải:
Đi từ A về C có hai cơng đoạn :
(a) Đi từ A đến B có : 4 cách đi
(b) Đi từ b đến C có : 5 cách đi
Theo Ngun lý tích, đi từ A về C có :
4.5 = 20 cách đi
2) Có bao nhiêu số có 3 chữ số thiết lập từ các số 0,1,2,…,9
Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

4

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

Hướng dẫn giải:
a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn
b) Chọn chữ số hàng chục: có 10 cách chọn
c) Chọn chữ số hàng đơn vị: có 10 cách chọn
Vậy có 9.10.10= 900 số có 3 chữ số
3) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau thiết lập từ các số 0,1,2,…,9
Hướng dẫn giải:
a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn
b) Chọn chữ số hàng chục: 9 cách chọn
c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 8 cách chọn
Vậy có 9.9.8= 648 số có 3 chữ số khác nhau
4) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau thiết lập từ các số 0,1,2,…,9 số đó là số chẵn.
Hướng dẫn giải:
a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn
b) Chọn chữ số hàng chục: 9 cách chọn
c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 5 cách chọn,
Vậy có 9.9.5= 401 số chẵn có 3 chữ số khác nhau
5) Có 5 hành khách cần xếp lên 9 toa tàu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp:
a) Sao cho mỗi một hành khách có thể xếp lên một toa bất kỳ
b) Sao cho mỗi toa có tối đa một hành khách.

Hướng dẫn giải:
a) a,b,c,d,e. là hành khách; xếp cho hành khách (a) có 9 cách chọn; xếp chỗ cho người
tiếp theo cũng có 9 cách chọn. Vậy số cách xếp là 9.9.9.9.9 = 95
b) Xếp chỗ cho hành khác (a) có 9 cách chọn; xếp chỗ chọ hành khách (b) còn 8 cách
chọn, xếp chỗ cho hành khách ( c) còn 7 cách chọn,… Vậy số cách chọn là 9.8.7.6.5 =
15.120 cách xếp.
6) Người ta phát hành bộ vé số có 5 chữ số. Hỏi có thể phát hành bao nhiêu vé :
a) Vé có 5 chữ số lẻ khơng nhất thiết khác nhau?
b) Vé có số tận cùng là 25.
Hướng dẫn giải:
a) Mỗi dãy số trên một vé là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 10 phần tử 0,1,…9; 105 =
100.000 vé
b) Mỗi dãy số trên vé có 5 chữ số lẻ không nhất thiết khác nhau lấy từ tập gổm các chữ
số 1,3,5,7,9. Vậy số vé gồm 5 chữ số lẻ là số chỉnh hợp lặp chập 5 của 5 chữ số nói trên;
55 vé.
c)Một vé số có chữ số tận cùng 25 thì 3 chữ số trước là một chỉnh hợp lặp của 10. Vậy có
103 vé có hai chữ số cuối là 25
7) Lớp học có 30 sinh viên, cần cử ra ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, hai lớp phó, 1 phụ
trách học tập, một phụ trách đời sống.Hỏi nếu mọi người trong lớp đều có thể giữ một
trong các vai trị trên, có bao nhiêu cách lựa chọn.
Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

5

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

Hướng dẫn giải:
Mỗi cách chọn gồm 3 người có phân biệt vị trí của các phần tử nên mỗi cách chọn là
một chỉnh hợp chập 3 của 30;. Vậy số cách chọn là:
3
30!
30!
A30 =
=
= 28.29.30 nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ các
8) Có
bao
(30 − 3)! 27!
chữ số 1,2,3,4,5.
Hướng dẫn giải:
Mỗi số có 3 chữ số là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy số các số nguyên có 3 chữ số là
số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử :
A53 =

5!
1.2.3.4.5
=
= 3.4.5 = 60
(5 −3)!
1.2

9) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 từ các chữ số 0,1,2,3,4,5.
Hướng dẫn giải:
• Chọn số hàng nghìn có 5 cách chọn, số hàng chục và hàng trăm là chỉnh hợp chập 2
của 6 phần tử (0,1,2,3,4,5); số hàng đơn vị là chỉnh hợp chập 2 của 2 phần tử ( 0,5).

• Vậy số có bốn chữ số đó là : 5.

A

2

.

5

A

2
2

10) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4.
Hướng dẫn giải:
Mỗi số có 4 chữ số là một hoán vị của 4 phần tử P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24
11) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên một giá hàng ngang có 5 vị trí.
Hướng dẫn giải:
Mỗi cách xếp là một hốn vị của 5 phần tử P5 = 5! = 1.2.3.4.5 = 120
12) Có 5 vị khách mời A,B,C,D,E xếp 5 ghế ngồi theo một dãy hàng ngang. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp ;
a) A ngồi chính giữa;
b) A ngồi giữa B và C.
c) B và C ngồi ngoài cùng.
Hướng dẫn giải:
a) Xếp chỗ cho A, có 1cách chọn; xếp chỗ cho 4 vị cịn lại là số hốn vị của 4 vị trí cịn
lại.
Số cách xếp :1.4!= 4!

a) Xếp chỗ cho A, có 4 cách chọn; hốn vị của 2 vị trí cịn lại cạnh A,cho C, B và D,E
hốn vị của 2 vị trí cuối cùng. Vậy số cách xếp: 4.2!.2!
b) B và C hoán vị của hai vị trí đầu dãy, các vị trí cịn lại là hốn vị của 3 chỗ ngồi còn
lại dành cho 3 vị khách A,E,D. Vậy số cách xếp:2!.3!

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

6

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

13) Có thể thiết lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từ ( 0,1,…, 9) chữ số hàng
chục và hàng đơn vị là 28.
Hướng dẫn giải:
- Chọn chữ số hàng chục ngàn có : 9 cách chọn
- Chọn chữ số hàng chục và hàng đơn vị: 1 cách chọn.
- Chữ số hàng ngàn và hàng trăm là chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử lấp từ tập hợp
( 0,1,2,...,9)
14) Một hơp đựng bị có 10 viên trong đó có 6 viên bi vàng và 4 viên bi xanh
a) Bốc ngẫu nhiên 3 viên hỏi có bao nhiêu khả năng xẩy ra?
b) Khả năng để có 2 viên bi xanh trong 3 viên lấy ra?
Hướng dẫn giải:
10!
8.9.10
3

a) Mỗi lần bốc là một tổ hợp chập 3 của 10 : C10 = 3!(10 −3)! = 1.2.3 =120
b) Lấy 2 viên bi xanh, tổ hợp chập 2 của 4; lấy 1 viên bi vàng, tổ hợp chập 1 của 6
Vậy số lần bốc có 1 bi vàng 2 bi xanh là
2
1
C4 .C6 = 6.6 = 36

15) Có 8 đội bóng đấu vịng trịn một lượt tranh giải;
a) Hỏi tất cả phải đấu bao nhiêu trận;
b) Trong 8 đội chọn 3 đội giải nhất nhì 3, có bao nhiêu khả năng xẩy ra?
Hướng dẫn giải:
a) Mỗi trận phải có hai đội khác nhau, đấu vịng trịn hết lượt thì thơi, mỗi trận là một tổ
hợp chập 2 của 8. Vậy số trận đấu :
8!
7 .8
2
C8 =

2!.( 8 − 2)!

=

1 .2

= 28

c) Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 8 vậy số cách chọn là

3
A8 =

8!
= 6.7.8 = 336
(8 −3)!

16) Một đa giác lồi có 20 đường chéo, hỏi đa giác có bao nhiêu đỉnh.
Hướng dẫn giải:
Gọi số đỉnh của đa giác là n
n!
2
Cn =
Số cạnh và số đường chéo của đa giác là
2!( n −2)!
Vậy ta có phương trình :

2
Cn − n = 20 ↔

n!
n.( n −1)
n 2 − 3n
−n =
−n =
= 20
2!( n − 2)!
2
2

Điều kiện n ngun dương. Giải phương trình ta có n = 8
Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

7

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

Vậy đa giác đó có 8 đỉnh ( bát giác lồi )
17) Một bộ vé số 5 chữ số thiết lập từ 10 chữ số( 0, 1,…,9).
a) Có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau
b) Có bao nhiêu vé trong đó đúng 2 số 4
Hướng dẫn giải:
5
a) Số vé có 5 chữ số khác nhau là A10 = 10.9.8.7.6
b) Để có vé theo u cầu
2
1- Chọn vị trí có 2 số 4 là : C5
2- Ba vị trí cịn lại là chỉnh hợp lặp chập 3 của 10 phần tử ( 0,1,2,3,8,…,9) là 103
Vậy số vé có hai số 4 là

2
C5

. 103

LOẠI 2: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG ĐỊNH NGHĨA
1. Một lơ hàng gồm 100 sản phẩm , trong đó có 30 sản phẩm xấu. Lấy ngẩu nhiên 1 sản

phẩm từ lơ hàng.
a. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt
b. Lấy ra ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lơ hàng. Tìm xác suất để 10 sản phẩm
lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt
2. Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng , 6bi
đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu.
3. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất sao cho :
a. Tổng số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng 8.
b. Hiệu số chấm trên mặt hai con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2.
c. Số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng nhau
4. Một lô hàng có n sản phẩm trong đó có k sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng k
sản phẩm. Tìm xác suất để k sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu.
5. Chia 12 tặng phẩm cho 3 người . Tìm xác suất để :
a. Người thứ nhất được 3 sản phẩm
b. Mỗi người được 4 sản phẩm
6. 12 hành khách lên ngẩu nhiên 4 toa tàu. Tìm xác suất để :
a. Mỗi toa có 3 hành khách
b. Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách các toa cịn lại có 1 hành
khách.
7. Lấy ngẫu nhiên lần lược 3 chữ số từ 5 chữ số {0,1,2,3,4} xếp thành hàng ngang từ trái
sang phải. Tìm xác suất để nhận được số tự nhiên gồm 3 chữ số.
8. Một học sinh vào thi chỉ thuộc 18 câu trong 25 câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó
trả lời được 3 câu hỏi mà học sinh đó rút được
Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

8

email:

Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

9. Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30
bài tập. Mỗi đề thi gồm có 1 câu hỏi lý thuyết và 3 bài tập
được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A chỉ học 4
câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh
A chọn 1 đề thị một cách ngẫu nhiên. Với giả thiết học sinh A
chỉ trả lời được câu lý thuyết và bài tập đã học. Tính xác
suất để học sinh A :
a/ không trả lời được lý thuyết.
b/ chỉ trả lời được 2 câu bài tập.
c/ đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả
lời được câu hỏi lý thuyết và ít nhất 2 bài tập.
10. Trong hộp có 8 bi đen và 5 bi trắng. Lấy hú họa lần lượt 3 lần,mỗi lấn 1 viên ko hồn
lại. Tìm XS để viên bi lấy thứ 3 là trắng.
11. Một khách sạn có 6 phòng trọ phục vụ khách, nhưng có
tất cả 10 khách đến xin nghỉ trọ, trong đó có 6 nam và 4 nữ.
Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ai đến trước phục vụ trước
và mỗi phòng nhận 1 người”.
a/ Tìm xác suất để cho cả 6 nam đều được nghỉ trọ.
b/ Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ.
c/ Tìm xác suất sao cho ít nhất 2 trong số 4 nữ được nghỉ
trọ.
12.Có 2 lô hàng :
Lô 1 : Có 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 10 phế
phẩm
Lô 2 : Có 80 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 20 phế
phẩm.

Lấy ngẫu nhiên mỗi lô hàng một sản phẩm. Tính xác
suất :
a/ Có một sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
b/ Có hai sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
c/ Có ít nhất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
13.Giả sử có 10 khách hàng vào một cửa hàng có 3 quầy,
mỗi người chỉ tối một quầy. Tìm các xác suất :
a/ có 4 người đến quầy số 1;
b/ có 4 người đến một quầy nào đó;
c/ có 4 người đến quầy 1 và 3 người đến quầy 2.
14. Có 5 khách hàng không quen biết nhau và cùng vào mua
hàng ở một cửa hàng có 4 quầy hàng. Biết sự lựa chọn quầy

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

9

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

haøng của các khách hàng là độc lập và như nhau. Hãy tìm
xác suất của các sự kiện sau:
a. Cả 5 khách hàng vào cùng 1 quầy hàng
b. Có 3 người vào cùng 1 quầy.
c. Có 5 người vào 2 quầy tức là có đúng 2 quầy có
khách.

d. Mỗi quầy đều có người tới mua
15 .Một cơ quan ngoại giao có 25 nhân viên trong đó có 16
người biết nói tiếng Anh, 14 người biết nói tiếng Pháp, 10
người biết nói tiếng Nha, 10 người biết nói tiếng Anh và Pháp,
5 người biết nói tiếng Anh và Nga, 3 người biết tiếng Pháp và
Nha, không có ai biết nói cả 3 thứ tiếng trên. Có 1 người
trong cơ quan ấy đi công tác. Tính xác suất để người ấy :
a/ biết nói tiếng Anh hay Pháp.
b/ biết nói ít nhất 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên.
c/ chỉ biết nói 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên.
16. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài tú – lơ – khơ :
a. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài đó thuộc 1 bộ ( ví dụ :
có 3 con 4)
b. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có 4 quân bài thuộc một bộ
17. Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố “ tổng số chấm trên mặt của
hai con xúc xắc bằng 4 “
a. Liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố A
b. Tính xác suất của biến cố A
18. Một vé số có 5 chữ số. Khi quay số nếu vé của bạn mua có số trúng hồn tồn với kết
quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn trúng 4 chữ số sau thì bạn trúng giải nhì.
a. Tính xác suất để bạn trúng giải nhất.
b. Tính xác suất để bạn trúng giải nhì.
19. Xếp 5 người ngồi vào bàn trịn. Tính xác suất để A, B ngồi gần nhau.
5. Một lớp có 50 học sinh trong đó 20 em sinh vào ngày chẵn. Chọn ngẩu nhiên 3 học sinh.
Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có tổng các số ngày sinh là số chẵn.
20. Kết quả (b,c) của việc gieo hai con xúc xắc cân đối hai lần, được thay vào phương trình
x2+ bx+ c =0. Tính xác suất để :
a. Phương trình vơ nghiệm
b. Phương trình có nghịêm kép
c, Phương trình có hai nghiệm phân biệt

21. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để :
a. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên
b. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

10

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

22. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả
cầu. Tính xác suất để :
a. Hai quả cầu lấy ra màu đen
b. Hai quả cầu lấy ra cùng màu
23. Sắp xếp 5 người ngồi vào 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để :
a. A, B ngồi cạnh nhau
b. A,B ngồi cách nhau một ghế.
24. Gieo 3 con đồng xu. Tính xác suất để
a. Có đồng xu lật ngửa
b. Khơng có đồng xu nào sấp
25. Gọi (x,y) là kết quả của việc gieo hai con xúc xắc khác nhau. Tính xác suất để :
a. x lẻ , y chẳn
b. x>y
c. x+y <4
d. x chia hết cho y

26.Có 4 tấm bìa đỏ ghi 1,2,3,4 và 5 tấm bìa xanh ghi 6,7,8. Rút ngẩu nhiên 1 tấm. Tính xác
suất để :
a. Rút được tấm ghi số chẵn
b. Rút tấm bìa đỏ
27: Một lớp có 28 sinh viên trong đó có 5 SV giỏi,13 SV khá,10SV trung bình.Lấy ngẫu
nhiên 4 SV đi dự ĐH đồn trường.Tính XS để có ít nhất 2 SV giỏi đc lấy.
28. Có 100 tấm bìa hình vng được đánh số từ 1 đến 100.Ta lấy ngẫu nhiên 1 tấm bìa.Tìm
xác suất để lấy được:
a/Một tấm bìa có số khơng chứa chữ số 5
Pa = 0,8
b/Một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5
Pb= 0,6
29. Một hộp có chứa a quả cầu trắng và b quả cầu đen.Lấy ra lần lượt từ hộp từng quả
cầu(một cách ngẫu nhiên).Tìm xác suất để
a/Quả cầu thứ 2 là trắng
b/ Quả cầu cuối cùng là trắng
Đáp số : Pa = Pb = a/a+b
30. Gieo đồng thời 2 đồng xu.Tìm xác suất để có :
a/Hai mặt cùng sấp xuất hiện (P=0,25)
b/Một mặt sấp,một mặt ngửa (P=0,5 )
c/Có ít nhất 1 mặt sấp
(P=0,75 )
31 Gieo đồng thời 2 xúc xắc đối xứng và đồng chất.Tìm xác suất để được:
a/Tổng số chấm xuất hiện bằng 7 (P=1/6)
b/Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 8 (P=7/12)
c/ Có ít nhất 1 mặt 6 chấm xuất hiện (P=11/36)
Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

11

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

32.Thang máy của 1 toà nhà 7 tầng xuất phát từ tấng 1 với 3 khách.tìm xác suất để :
a/Tất cả cùng ra ở tầng 4
(P=1/216)
b/Tất cả cùng ra ở một tầng
(P=1/36)
c/Mỗi người ra ở một tầng khác nhau (P=5/9)
33. Mỗi vé xổ số kí hiệu bởi 1 số có 5 chữ số.Tìm xác suất để 1 người mua 1 vé được:'
a/Vé có 5 chữ số khác nhau
(P=0,3024)
b/Vé có 5 chữ số đều chẵn
(P=0,03125)
34. 5 người A,B,C,D,E ngồi một cách ngẫu nhiên vào 1 chiếc ghế dài.Tìm xác suất để:
a/Người C ngồi chính giữa
(P=0,2)
b/Hai người A,B ngồi ở 2 đầu
(P=0,1)
35. Trong một chiếc hộp có n quả cầu được đánh số từ 1 đến n.Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 2
quả cầu.Tính xác suất để người đó lấy được 1 quả có số hiệu lớn hơn k và một quả có số
hiệu nhỏ hơn k (đáp số : P =

2( k − 1)( n − k )
)
n ( n − 1)

36* Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy.Hỏi xác suất để 3
người cùng đến quầy số 1 là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải: Mỗi khách có 3 khả năng như nhau để dến 3 quầy.Số biến cố đồng khả
3
năng là: 3 .Còn số biến cố thuận lợi là: C10 .27 suy ra P =

10

3
C10 .27
310

37. Có n người (trong đó có m người trùng tên) xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang.Xác suất
để m người trùng tên đó đứng cạnh nhau là bao nhiêu?
Đáp số : P =

( n − m + 1)! m !
n!

38, Một lơ hàng có 1000 sản phẩm, trong đó có 3% sản phẩm xấu. Lấy hú họa 1 sản phẩm từ
lô hàng, biết sản phẩm lấy được là tốt tìm xác suất.
Hướng dẫn giải:
Số khả năng thuận lợi là 970; số khả năng có thể 1000.
Gọi x sản phẩm lấy được là tốt, xác suất
970
P(x) =
1000 = 0, 97
39) Gieo đồng thời 2 con xúc xắc đồng chất cùng khối lượng. Tìm xác suất:
Tổng số chấm mặt trên là chẵn;

a) Hiệu số chấm mặt trên có trị tuyệt đối là 3.
b) Tổng số chấm mặt trên là 6.
Hướng dẫn giải :
18
a. Số khả năng có thể 36, số khả năng thuận lợi 18. Xác suất p = 36
b. Số khả năng có thể 36, số khả năng thuận lợi 6. Xác suất p =
Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

12

6
36
email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

c. Số khả năng có thể 36, số khả năng thuận lợi 5. Xác suất p =

5
36

40, Hai hộp dựng bi; hộp 1 có 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh; hộp 2 có 10 bi trắng, 6 bi
đỏ, 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 bi, tìm xác suất
a) 2 viên cùng màu.
b) 2 viên khác màu.
Hướng dẫn giải:
a)Mỗi hộp đều có 25 bi nên khả năng có thể :

25.25 = 625
1
1
Khả năng thuận lợi 2 bi trắng(T): C 3.C 10 = 3.10 = 30
1

Khả năng thuận lợi 2 bi đỏ( D):

1

7

6

C .C

= 7.6 = 42

1

1

15

9

Khả năng thuận lợi 2 bi xanh ( X):

C .C

Xác suất hai viên cùng màu là :
P(T)+P(D)+P(X)=

30
42 135 207
+
+
=
625 625 625 625

= 15.9 = 135

b) Biến cố hai viên khác màu là biến cố đối của biến cố 2 viên khác màu nên
Xác suất hai viên khác màu là :
27 48
0
1
1− =
65 65
2
2

41, Một hộp đựng bóng đèn có 40 bóng tốt 10 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 8 bóng,
tìm xác suất trong 8 bóng có 5 bóng tốt.
Hướng dẫn giải:
50!
8
Khả năng có thể :
C 50 =
8!.42!

Khả năng thuận lợi để có 5 bóng tốt :

5

3

40

10

C .C

Xác suất để có 5 bóng tốt trong 8 bóng là :

=

40!.10!
5!.35!.3!.7!
5

.
P =C C
C
4
0

3

1

0
8
5
0

42, Có 12 hành khách lên ngẫu nhiên 3 toa tàu. Tìm xác suất :
a) Toa thứ nhất có 3 hành khách
b) Mỗi toa có 4 hành khách
Hướng dẫn giải :

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

13

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

a) Khả năng có thể, hành khách mỗi toa là một chỉnh hợp lặp chập 3 của 12 là 12.12.12 =
123.
3
9
Khả năng thuận
3
C 12.2 .29 lợi :
P = C 32
1

Xác suất :

12

b) Khả năng có thể (4!)3. 123. Hành khách các toa bằng nhau nên số khả năng thuận lợi là
tập các hoán vị của 12 hành khách 12!
Xác suất :
12!
p=

3

(4!) .12

3

43, Một ổ khóa số có 6 vịng mỗi vịng đều chia thành 10 phần bằng nhau ( 0,1,…,9), gắn
quay quanh một trục. Khi cài khóa người ta chọn mỗi vòng 1 số, sao cho khi xoay các vòng
để các điểm chọn trước thẳng hàng thì khóa mở được. Tính xác suất để mỗi vịng đều đúng
vị trí định sẵn nói trên.
Hướng dẫn giải:
Số khả năng có thể là tập các chỉnh hợp lặp chập 6 của 10 : 106
Số khả năng thuận lợi : 1
1
p=
Vậy xác suất :
6

1
0

44, Một đoàn khách gồm 6 nam và 4 nữ đến thuê phòng ở khách sạn, chỗ ở của khách sạn
chỉ còn lại 6 ( ai tới trước thì phục vụ trước). Tìm xác suất:
a) Cả 6 nam đều được nghỉ trọ.
b) 4 nam và 2 nữ nghỉ trọ.
c) Ít nhất 2 trong 4 nữ nghỉ trọ.
Hướng dẫn giải:
10!
6
C 10 = 6!.(10 − 6)! = 210
Khả năng có thể cho tất cả:
a) Khả năng thuận lợi :
b) Khả năng thuận lợi :

c) Khả năng thuận lợi:

6

p=

0

C 6.C 4 = 1
4

1
210

2

.
90
C C 4 =, =p =
6
2

4

3

3

4

2

4

6

4

6

4

6

C .C + C .C +C .C

90 3
210 7
185,
=p

185 37
=
210 42

=

LOẠI 3: BÀI TẬP SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

14

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

Bài 1: Kiểm tra theo thứ tự một lô hàn gồm n sản phẩm. các sản phẩm lấy ra đều thuộc một
trong hai loại tốt hoặc xấu . Kí hiệu Ak (k= 1,2,3 …N) là biến cố sản phẩm thứ k thuộc loại
xấu. Viết các biến cố sau đây theo các biến cố Ak.
a. Cả N sản phẩm đều xấu
b. Có ít nhất một sản phẩm xấu
c. M sản phẩm đầu tốt , các sản phẩm còn lại xấu

d. Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là xấu còn lẻ là tốt
Bài2: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu.Gọi A k là biến cố người thứ ba bắn trúng mục
tiêu (k=1,2,3).Các biến cố sau đây được viết bằng kí hiệu ra sao?
a/Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu
b/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu
c/Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu
d/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu
Bài3: Khi kiểm tra theo thứ tự một lơ hàng có 10 sản phẩm(các sản phẩm đều thuộc 1 trong
2 loại tốt hoặc xấu).Gọi Ak là biến cố "sản phẩm thứ k là loại xấu".Viết bằng kí hiệu các biến
cố sau:
a/Cả 10 sản phẩm đều xấu
b/Có ít nhất 1 sản phẩm xấu
c/Sáu sản phẩm đầu là tốt còn lại là xấu
d/Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt,thứ tự lẻ là xấu
Bài4: Có 2 hộp đựng bi:hộp 1 đựng 3 bi trắng,7 bi đỏ,15 bi xanh ; hộp 2 đựng 10 bi trắng,6
bi đỏ,9 bi xanh.Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi.Tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra cùng
màu (P= 207/625)
Bài5: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu.Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và
0,9.Tìm xác suất của các biến cố sau
a/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu
(P=0,26)
b/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu
(P=0,98)
c/Cả hai người bắn trượt
(P=0,02)
Bài6: Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng.Tính
xác suất sao cho phải bắn đến viên đạn thứ 6.Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên
đạn là 0,2.Và các lần bắn độc lập với nhau (P=0,065536)
Bài7: Gieo 2 con xúc xắc đối xứng và đồng chất.Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện là
số lẻ.B là biến cố được ít nhất một mặt một chấm.Hãy tính

a/ P( A ∪ B ) (P=23/36)
b/ P(AB) (P=1/6)
Bài8: Có 2 bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (Việc chúng hỏng là độc lập với
nhau).Tính xác suất để mạch khơng có điện do bóng hỏng nếu
a/Chúng được mắc song song
P=0,02
b/Chúng được mắc nối tiếp
P=0,28

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

15

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

Bài 9: Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng xu liên tiếp. Ai gieo được mặt sấp trước thì thắng
cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi cậu bé.
Bài 10 : Xác suất để 1 sản phẩm của nhà máy A bị hỏng là
0,05, khi kiểm tra một lô hàng gồm các sản phẩm của nhà
máy A, người ta lấy ngẫu nhiên n sản phẩm trong lô hàng, lô
hàng bị loại nếu có ít nhất k phế phẩm trong n sản phẩm lấy
ra. Tính xác suất để lô hàng bị loại với :
a/ n = 3 ;k = 1 b/
n = 5; k = 2
Bài 11 : Một mạng điện gồm một ngắt điện K và hai bóng

điện Đ1, Đ2 được ghép nối tiếp. Mạng điện bị tắt nếu ít nhất
một trong ba bộ phận trên bị hỏng.
Tìm xác suất để cho mạng điện bị tắt, biết rằng xác suất bị
hỏng tương ứng K, Đ1, Đ2, là 0,4 ; 0,5 ; 0,6 và các bộ phận đó
hỏng hóc một cách độc lập với nhau.
Bài 12: Một máy bay gồm có ba bộ phận có tầm quan trọng
khác nhau. Muốn bắn rơi máy bay, thì chỉ cần có một viên đạn
trúng bộ phận thứ nhất, hoặc hai viên đạn trúng bộ phận
thứ hai, hoặc ba viên đạn trúng bộ phận thứ ba.
Xác suất để một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, thứ hai,
thứ ba với điều kiện viên đạn đó đã trúng máy bay tương ứng
bằng 0,15 ; 0,30 và 0,55.
Tìm xác suất để máy bay bị bắn rơi khi
a/ có một viên đạn trúng máy bay ;
b/ có hai viên đạn trúng máy bay;
c/ có ba viên đạn trúng máy bay;
d/ có bốn viên đạn trúng máy bay.
Bài 13: Hai máy bay lần lượt ném bom vào một mục tiêu đã
định. Mỗi máy bay có mang theo ba quả bom và mỗi lần lao
xuống chỉ ném một quả. Xác suất trúng đích của một quả
bom ở máy bay thứ nhất bằng 0,4 còn của máy bay thứ hai là
0,5. Mục tiêu bị phá hủy ngay sau khi qủa bom đầu tiên rơi
trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy sao cho
không sử dụng hết tất cả số bom ở hai máy.
Bài 14: Một hộp có 10 viên bi trong đó có 7 bi đỏ và 3 bi
xanh.
a. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại cho tới khi lấy
được bi xanh thì thôi.
Tìm xác suất để lấy được bi xanh không quá 2 lần lấy bi

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

16

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

b. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại cho tới khi lấy
được 2 bi đỏ thì thôi. Tìm xác suất để lấy được 2 bi đỏ khi lấy
ra không quá 3 bi.
Bài 15: Hai cầu thủ bóng rổ, mỗi người ném bóng 2 lần, xác
suất ném trúng đích của mỗi cầu thủ theo thứ tự là 0,6 và
0,7. Tính xác suất :
a/ Số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất nhiều hơn
số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ hai.
b/ Số lần ném trúng rổ của hai người như nhau.
Bài 16 : Một căn phòng điều trị có 3 bệnh nhân bệnh nặng
với xác suất cần cấp cứu trong vòng một giờ của các bệnh
nhân tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Tìm các xác suất sao cho
trong vòng một giờ :
a/ có hai bệnh nhân cần cấp cứu.
b/ có ít nhất một bệnh nhân không cần cấp cứu.
Bài 17 : Một công ty đầu tư 2 dự án A và B. Xác suất thua lỗ
dự án A là 10% và xác suất thua lỗ dự án B là 20%. Sự thua
lỗ của 2 dự án là phụ thuộc với nhau và biết xác suất để
công ty thua lỗ cả 2 dự án A và B là 5%.

a/ Tìm xác suấ để cả 2 dự án A và B đều không bị thua
lỗ.
b/ Tìm xác suất để có đúng 1 dự án bị thua lỗ.
Bài 18: Một Công ty đấu thầu 2 dự án A và B, dự án A đấu
thầu trước. Khả năng thắng thầu dự án A là 90%. Nếu dự án
A thắng thầu thì khả năng thắng thầu dự án B là 80%. Nếu dự
án A không thắng thầu thì khả năng thắng thầu dự án B là
50%
a. Tìm xác suất Công ty thắng thầu ít nhất một dự án.
b. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu một dự án
c. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu dự án B.
Bài 19 Một Công ty đấu thầu 2 dự án A và B, khả năng
thắng thầu dự án A là 90%; khả năng thắng thầu dự án B là
77% và khả năng thắng thầu đồng thời cả 2 dự án là 72%
a. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu 1 dự án
b. Tìm xác suất Công ty có ít nhất 1 dự án không thắng
thầu
c. Tìm xác suất Công ty đều không thắng thầu cả 2 dự án
.

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

17

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

Baøi 20 : Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau:
Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm mẫu đại diện. Nếu mẫu này
không chứa quả cam hỏng nào thì sọt cam được xếp loại 1. Nếu
mẫu cho một hoặc hai quả hỏng thì sọt cam xếp loại 2. Trong
trường hợp còn lại (có từ 3 quả hỏng trở lên) sọt cam được
xếp loại 3.
Trên thực tế 3% số cam trong sọt bị hỏng. Tìm xác suất để sọt
cam được xếp loại :
a/ Loại 1 ;
b/ Loại 2 ;
c/ Loại 3.
Bài 21 : Một bài thi trắc nghiệm (multiple-choice test) gồm 12
câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 câu trả lời, trong đó chỉ có một
câu đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi
câu trả lời sai bị trừ 1 điểm.
Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu
trả lời. Tìm xác suất để:
a/ Anh ta được 13 điểm ;
b/ Anh ta được điểm âm.
Bài 22. Một hộp có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm. Lẫy
ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm một không hoàn lại cho
tới khi lấy được hai thành phẩm thì dừng lại.
a. Tìm xác suất để chỉ lấy ra sản phẩm ở lần thứ tư thì
dừng lại.
b. Tìm xác suất để việc dừng lại khi không lấy quá 4 sản
phẩm
Bài 23 : Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vị trí A với
2
3

1
3.

xác suất
và ở vị trí B với xác suất
Có ba phương án bố
trí 4 khẩu pháo bắn máy bay như sau :
Phương án 1 : 3 khẩu đặt tại A, một khẩu đặt tại B.
Phương án 2 : 2 khẩu đặt ở A, 2 khẩu đặt ở B.
Phương án 3 : 1 khẩu đặt ở A và 3 khẩu đặt ở B.
Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo
là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với nhau, hãy
chọn phương án tốt nhất.
Bài 24. Một thiết bị có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Khả
năng chỉ có một bộ phận bị hỏng là 0,38. Tìm xác suất để

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

18

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

boä phận thứ nhất bị hỏng, biết rằng khả năng để bộ phận
thứ 2 bị hỏng là 0,8

Bài 25 : Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng
đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất ra thị trường, mỗi
bóng đèn đều được qua kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra
không thể tuyệt đối hoàn hảo nên một bóng đèn tốt có
xác suất 0,9 được công nhận là tốt và một bóng đèn hỏng
có xác suất 0,95 bị loại bỏ. Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu
chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng.
Bài 26 : Có 4 nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 5
người, nhóm thứ hai có 7 người, nhóm thứ ba có 4 người và
nhóm thứ tư có 2 người. Xác suất bắn trúng đích của mỗi
người trong nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba và
nhóm thứ tư theo thứ tự là 0,8 ; 0,7 ; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu
nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác định xem
xạ thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất.
Bài 27 : Trong số bệnh nhân ở một bệnh viện có 50% điều
trị bệnh A, 30% điều trị bệnh B và 20% điều trị bệnh C. Xác
suất để chữa khỏi các bệnh A, B và C trong bệnh viện này
tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân được
chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân đã được chữa khỏi
bệnh.
Bài 28 : Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất một
loại sản phẩm (1 cách độc lập). Phân xưởng 1, 2, 3 sản xuất
36%, 34%, 30% tổng sản phẩm của nhà máy, tỉ lệ phế phẩm
của phân xưởng 1, 2, 3 lần lượt là 0,12 ; 0,10 ; 0,08.
a/ Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy.
b/ Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, giả sử sản
phẩm đó là thành phẩm, khả năng thành phẩm đó thuộc
phân xưởng nào nhiều hơn.
Bài 29: Có 2 lô hàng, lô 1 có 10 thành phẩm, 4 phế phẩm ;
lô II có 12 thành phẩm, 5 phế phẩm. Từ lô 1 lấy ra 1 sản

phẩm, từ lô II lấy ra 3 sản phẩm. Rồi từ số sản phẩm lấy ra
đó lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm, tính xác suất để :
a/ 2 sản phẩm chọn ra lần cuối đều là thành phẩm.
b/ có ít nhất 1 thành phẩm.
Bài 30 : Có 2 thùng hàng, thùng thứ I chứa 10 sản phẩm,
thùng thứ II chứa 8 sản phẩm và trong mỗi thùng đều có 2

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

19

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

pheá phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở thùng hàng
thứ I cho vào thùng hàng thứ II rồi lại lấy ngẫu nhiên từ
thùng hàng thứ II 1 sản phẩm rồi bỏ lại vào thùng hàng thứ
I, cuối cùng lấy 1 sản phẩm từ thùng hàng thứ I. Tính xác
suất :
a/ sản phẩm lấy ra cuối cùng là phế phẩm.
b/ sản phẩm lấy ra cuối cùng thuộc thùng hàng thứ II ở
lúc ban đầu.
Bài 31 : Tỉ số khách nội tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào
1 cửa hàng A trong 1 ngày là 8 : 4 : 1. Xác suất để khách nội
tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào cửa hàng và mua hàng
lần lượt là 0,4 ; 0,3 và 0,2.

a/ Tính xác suất để có 1 khách hàng vào cửa hàng mua
hàng.
b/ Giả sử có 1 người khách mua hàng. Tính xác suất để
người đó là khách ngoại quốc.
Bài 32 : Một hộp có 3 bi đỏ, 2 bi xanh lần thứ nhất lấy ra 1 bi
và quan sát, nếu là bi đỏ thì bỏ bi đó vào hộp cùng với 2 bi
đỏ khác nhữa, nếu là bi xanh thì bỏ bi đó vào hộp cùng 1 bi
xanh khác nữa. Lần thứ hai lấy ra 1 bi và quan sát.
a/ Tính xác suất để bi lấy ra lần 2 là bi đỏ.
b/ Giả sử bi lấy ra lần 2 là bi đỏ, tính xác suất để bi đỏ
đó là bi của hộp lúc ban đầu (tức không phải bi đỏ mới bỏ
vào).
Bài 33 : Trong việc truyền tin bằng điện tín ta thường dùng các
tín hiệu chấm (.) và gạch ngang (− Do tiếng ồn ngẫu nhiên nên
).
1
4

1
5

trung bình có
dấu chấm và
dấu gạch ngang truyền đi bị sai
(tín hiệu này chuyển thành tín hiệu kia). Tỷ số của các tín
hiệu chấm và gạch ngang được truyền đi là 3/5. Tìm xác suất
để tín hiệu sau truyền đi đến nơi nhận đúng như ban đầu là :
a/ tín hiệu chấm.
b/ tín hiệu gạch ngang.
Bài 34 : Có hai chiếc hộp, hộp I có 2 thành phẩm, 1 phế

phẩm, hộp II có 3 thành phẩm, 1 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1
hộp rồi từ đó lấy ra một sản phẩm bỏ vào hộp kia, sau đó
từ hộp kia lấy ra 1 sản phẩm.

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

20

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

a/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra bỏ vào hộp kia và
sản phẩm lấy từ hộp kia ra đều thành phẩm.
b/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần sau cũng là
thành phẩm.
Bài 35 : Trong một kì thi vào Đại học mỗi thí sinh phải lần lượt
thi 3 môn. Khả năng để một thí sinh A nào đó thi đạt môn thứ
1 là 0,8, nếu thi đạt môn thứ 1 thì khả năng thi đạt môn 2 là
0,8 nhưng nếâu thi không đạt môn thứ 1 thì khả năng thi đạt
môn thứ 2 là 0,6, nếu thi đạt cả 2 môn đầu thì khả năng thi
đạt môn 3 là 0,8, nếu thi không đạt cả hai môn đầu thì khả
năng thi đạt môn 3 là 0,5 ; nếu chỉ có một môn trong 2 môn
thi trước đạt thì khả năng thi đạt môn 3 là 0,7. Tính xác suất
để thí sinh đó thi
a/ đạt cả 3 môn.
b/ không đạt cả 3 môn.

c/ chỉ đạt có 2 môn.
Bài 36 : Có 2 xạ thủ loại 1 và tám xạ thủ loại 2, xác suất
bắn trúng đích của các loại xạ thủ theo thứ tự là 0,9 và 0,8.
a/ Lấy ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên
đạn. Tìm xác suất viên đạn đó trúng đích.
b/ Nếu lấy ra hai xạ thủ và mỗi người bắn một viên, thì khả
năng của hai viên đều trúng đích là bao nhiêu ?
Bài 37 : Có 2 lô sản phẩm.
Lô 1 : Gồm toàn chính phẩm.
Lô 2 : Có tỉ lệ phế phẩm và chính phẩm là ¼.
Chọn ngẫu nhiên một lô, trong lô này lấy ngẫu nhiên một
sản phẩm, thấy nó là chính phẩm, rồi hoàn lại sản phẩm
này vào lô. Hỏi rằng nếu lấy ngẫu nhiên (cũng từ lô đã
chọn) một sản phẩm thì xác suất để sản phẩm này là phế
phẩm bằng bao nhiêu ?
Bài 38 : Có 2 lô hàng.
Lô 1 : Có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm.
Lô 2 : Có 8 thành phẩm và 2 phế phẩm.
Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 3 sản
phẩm rồi trong số sản phẩm được lấy ra lại lấy tiếp ngẫu
nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong hai sản phẩm đó
có ít nhất một thành phẩm.
Bài 39 : Xí nghiệp A sản xuất một loại sản phẩm với xác
suất hỏng của mỗi sản phẩm bằng p, ở phân xưởng, sản

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

21

email:

Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

phaåm có thể được một trong ba nhân viên kiểm tra chất lượng
với xác suất như nhau. Xác suất phát hiện sản phẩm hỏng
của người thứ i là pi (i = 1,3). Nếu sản phẩm không bị loại ở
phân xưởng thì được chuyển đến KCS của nhà máy và ở đó,
sản phẩm hỏng sẽ được phát hiện với xác suất po, tìm xác
suất để sản phẩm bị loại.
Bài 40 : Một hộp có đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9
quả bóng còn mới. Lần đầu ta lấy ra ba quả để thi đấu. Sau
đó lại trả ba quả đó vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra ba quả.
Tìm xác suất để cả ba quả bóng lấy ra lần thứ hai đều là
bóng mới.
Bài 41: Có 3 chiếc hộp:Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh
Hộp 2 có 5 bi đỏ và 2 bi xanh
Hộp 3 có 4 bi đỏ bà 5 bi xanh
Lấy 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 sau đó lấy 1 bi bỏ vào hộp 3
rồi từ hộp 3 lấy ra 1 bi.
a. Tìm xác suất bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ
b. Biết bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ. Tìm xác suất để bi đó
là bi của hộp 3 lúc đầu.
Bài 42 Có hai chiếc hộp:
- Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh - Hộp 2 có 4 bi đỏ và 3 bi xanh
Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 1 bi bỏ vào hộp
kia. Sau đó từ hộp kia lấy 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp kia là 2 bi đỏ.

b. Biết 2 bi lấy ra từ hộp kia là 2 bi đỏ. Tìm xác suất để
trong đó có 1 bi đỏ của hộp này và 1 bi của hộp kia.
Bài 43: Có 2 chiếc hộp :
Hộp 1 : có 3 bi đỏ và 2 bi xanh.. Hộp 2 : có 5 bi đỏ và 3 bi xanh.
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 trộn đều. Sau đó
từ hộp 2 lấy ra 2 bi.
a/ Tìm xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ.
b/ Tìm xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp 2 có 1 bi của hộp 1
bỏ vào và 1 bi của hộp 2 lúc ban đầu. Khi biết 2 bi đã lấy ra
từ hộp 2 là 2 bi đỏ.
Bài 44. Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lần 1 lấy ngẫu
nhiên từ hộp ra 1 bi, nếu là bi đỏ thì bỏ bi đỏ đó trở lại hộp
và thêm vào 2 bi đỏ nữa, nếu là bi xanh thì bỏ bi xanh đó trở
lại hộp và thêm vào 4 bi xanh nữa. Lần 2 lấy từ hộp ra 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra lần 2 là bi xanh.

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

22

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

b. Biết 2 bi lấy lần 2 là 2 bi xanh. Tìm xác suất để 2 bi xanh
lấy ra đó là 2 bi xanh của hộp lúc ban đầu.
Bài 45. Có 2 chiếc hộp: Hộp 1: Có 6 bi đỏ và 4 bi xanh

Hộp 2: Có 5 bi đỏ và 3 bi xanh
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2, sau đó từ hộp 2
lấy ra 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp là 2 bi đỏ.
b. Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ. Tìm xác suất để 2 bi
đỏ là 2 bi của hộp 1 bỏ vào.
c. Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ và không bỏ 2 bi đó
trở lại mà lấy ra tiếp thêm 1 bi. Tìm xác suất bi lấy ra tiếp đó
là bi đỏ.
Bài 46 Có 3 chiếc hộp: Hộp 1: Có 3 bi đỏ và 2 bi xanh
Hộp 2: Có 7 bi đỏ và 3 bi xanh
Hộp 3: Có 4 bi đỏ và 3 bi xanh
Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 bi và từ hộp 2 ra 1 bi đem bỏ
vào hộp 3 trộn đều. Sau đó lấy từ hộp 3 ra 1 bi.
a. Tìm xác suất bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ
b. Biết bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ. Tìm xác suất để bi đỏ
lấy
Bài 47 : Tỷ số xe vận tải và ô tô con đi qua đường phố có
5
2.

trạm bơm dầu là
Xác suất để cho một xe tải qua phố được nhận dầu là 0,1.
Còn xác suất để một xe con qua phố được đến nhận dầu là
0,2.
Có một xe ô tô đến trạm để nhận dầu. Tìm xác suất để xe
đó là xe tải.
Bài 48: Một nhà máy sản xuất bút máy có 90% sản phẩm
đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Trong quá trình kiểm nghiệm, xác
suất để chấp nhận một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật

là 0,95 và xác suất để chấp nhận một sản phẩm không đạt
tiêu chuẩn kỹ thuật là 0,08.
Tìm xác suất để một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật qua
kiểm nghiệm được chấp nhận.
Bài 49: Có 2 quả tên lửa bắn vào một mục tiêu một cách
độc lập. Xác suất trúng mục tiêu của quả tên lửa thứ nhất
và quả tên lửa thứ 2 tương ứng là 70% và 80%. Nếu có 1
quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bị diệt với xác suất là 80%.

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

23

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

Neáu cả 2 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bị diệt với xác
suất là 90%.
a. Tìm xác suất để mục tiêu bị diệt
b. Biết mục tiêu đã bị tiêu diệt. Tìm xác suất để quả
tên lửa thứ nhất trúng mục tiêu.
Bài 50: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 8 thành và 2
phế phẩm. Trong quá trình vận chuyển thì bị mất đi 2 sản
phẩm không rõ chất lượng ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm
trong 8 sản phẩm còn lại.
a. Tìm xác suất để 2 sản phẩm ta lấy là thành phẩm.

b. Tìm xác suất để có ít nhất 1 thành phẩm bị mất. Biết
rằng 2 sản phẩm ta lấy đều thành phẩm.
Bài 51: Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác
suất câu được cá trong 1 lần thả câu ở chỗ thứ nhất, thứ 2
và thứ 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng người đó đã chọn
1 chỗ và thả câu 3 lần độc lập và chỉ câu được 2 con cá.
Tìm xác suất để người đó câu ở chỗ thứ nhất.
Bài 52 :Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà
có hai cách : hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết
rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1/3 các trường hợp còn lại
đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về
đến nhà trước 6 giờ; còn nếu đi lối cầu thì chỉ có 70% trường
hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Tìm xác suất để cn đó đã đi lối
cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ.
Bài 53: Tại một bệnh viện tỷ lệ mắc bệnh A là 10%. Để
chẩn đoán xác định người ta làm phản ứng miễn dịch, nếu
không bị bệnh thì phản ứng dương tính chỉ có 10%. Mặt khác
biết rằng khi phản ứng là dương tính thì xác suất bị bệnh là
0,5.
a/ Tìm xác suất phản ứng dương tính của nhóm có bệnh.
b/ Tìm xác suất chẩn đoán đúng.
Bài 54 : Hai người thợ cùng may một loại áo với xác suất để
may được sản phẩm chất lượng cao tương ứng là 0,8 và 0,9.
Biết có một người khi may 6 áo thì có 5 sản phẩm chất lượng
cao. Tìm xác suất để người đó may 6 áo nữa thì có 5 áo chất
lượng cao.
Bài 55 : Giả sử có 3 kiện hàng với số sản phẩm tốt tương
ứng của mỗi kiện là 20, 15, 10. Lấy ngẫu nhiên một kiện
hàng (giả sử 1 kiện có cùng khả năng bị rút) rồi từ đó lấy

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

24

email:


Trường CĐ Sư Phạm Đăklăk

PHÂN LOẠI BÀI TẬP XÁC SUẤT

huù họa 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm đó
lại kiện hàng vừa lấy ra, sau đó lại lấy tiếp 1 sản phẩm thì
được sản phẩm tốt.
Tìm xác suất để các sản phẩm được lấy từ kiện hàng thứ 3,
biết rằng các kiện hàng đều có 20 sản phẩm.
Bài 56: Một cái hộp có 8 thành phẩm và 2 phế phẩm. Trong
quá trình vận chuyển bị mất đi 2 sản phẩm không rõ chất
lượng . Lấy ngẫu nhiên 2 sản trong 8 sản phẩm còn lại.
a/ Tìm xác suất 2 sản phẩm lấy ra là thành phẩm.
b/ Tìm xác suất để có ít nhất 1 thành phẩm bị mất , biết
rằng 2 sản phẩm láy ra là thành phẩm.
c/ Biết rằng 2 sản phẩm lấy ra là thành phẩm. Tìm xác
suất để lấy tiếp một sản phẩm nữa dược phế phẩm.
Bài 57: Một thùng rượu có 20 chai, trong đó có 3 chai rượu giả.
Trong quá trình vận chuyển bị mất 1 chai không rõ chất lượng.
Lấy ngẫu nhiên 1 chai trong 19 chai còn lại.
a. Tìm xác suất để chai lấy ra là chai thật
b. Biết chai lấy ra là chai thật. Tìm xác suất để lấy tiếp ra
2 chai nữa có 1 chai thật và 1 chai giả.

Bài 58 : Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn
trúng đích của người thứ 1, 2, 3 lần lượt là 0,5 ; 0,6 ; 0,7. Gọi Ai là sự
kiện chỉ người thứ i bắn trúng mục tiêu i = 1, 2, 3. Hãy biểu diễn
các sự kiện sau theo các sự kiện Ai, A i ; i = 1, 2, 3 và tính xác suất
của các sự kiện đó.
a/ A = sự kiện chỉ có một người bắn trúng đích.
b/ A = sự kiện có nhiều nhất 1 người bắn trúng đích.
c/ C = sự kiện mục tiêu (đích) bị bắn trúng.
Bài 59: Ta kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm. Các
sản phẩm đều thuộc một trong hai loại : tốt hoặc xấy. Ta ký hiệu
Ak (k = 1,10) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu.
Viết bằng ký hiệu các biến cố sau đây :
a/ Có 10 sản phẩm đều xấu.
b/ Có ít nhất một sản phẩm xấu.
c/ Có 6 sản phẩm kiểm tra đầu là tốt, các sản phẩm còn lại
là xấu.
d/ Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, còn các
sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ là xấu.
Bài 60: Cho các lơ sản phẩm có số lượng và phân loại bảng (30). Lấy ngẫu nhiên một lơ rồi

từ đó lấy 1 sản phẩm.

Nguyễn Hồng Tân _ Tin K35

25

email: