CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

01

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
w

1

1|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ MỞ RỘNG

 dx  x  C

 du  u  C

x 1
 C    1
 1
ax
x
a
dx

 C  0  a  1

ln a
dx
 x  ln x  C  x  0 
x
x
 e dx  e  C

u1
 C    1
 1
au
u
a
dx

 C  0  a  1

lna
du

 u  ln u  C  u  0 
u
u
 e du  e  C

 cos xdx  sin x  C

 cos udu  sin u  C

 sin xdx   cos x  C

 sin udu   cos u  C

1
2

x

H
oc
ai

ie

iL

sin kx
C
k

2

u

1

dx  tan x  C

 sin

2

u

du  tan u  C

du   cot u  C

ro

 cos

1

 cos

dx   cot x  C

s/

x

2

 cos kxdx 

up

1

 sin

cos kx
C
k

Ta

 sin kxdx  


 u du 

uO
nT
hi
D


 x dx 

01

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM HAY GẶP

1
 ax  b   C
a

.c

 d  ax  b  

om

/g

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

 1

bo

ok

1  ax  b 

  ax  b  dx  a    1 
dx

1

ax  b

dx 

w

w

w

.fa

e

a

c

ce

 ax  b  a ln ax  b  c

px  q

dx 

1 ax  b
e

c
a

e kx
C
k
1

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c
 sin  ax  b  dx 

1
cos  ax  b   c
a
1

 tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c

1
a px  q  c
p ln a

dx
1
x
 a 2  x 2  a arctg a  c

 c ,   1

kx

 e dx 

1

 cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c

2

dx
1
 sin 2  ax  b   a cotg  ax  b   c

2|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
x

dx
a x
2

2

 ln  x  x 2  a 2   c

 arcsin

dx
x a
2

2



x

x

1 a  x2  a2


c
 x x 2  a 2 a ln
x

x

a

a2  x2  c

x

2

 x2   c

x

a

 arc cotg a dx  x arc cotg a  2 ln  a

b

dx

 ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c

 x2   c

ax  b
c
2

ie

dx

x a2  x2 a2
x
 arcsin  c
2
2
a

1

s/

Ta

 sin  ax  b   a ln tg
ax
 e cos bx dx 

up

e ax  a sin bx  b cos bx 
c
a 2  b2

1

 sin  ax  b   a ln tg

2

ax  b
c
2

e ax  a cos bx  b sin bx 
c
a 2  b2

ro

ax
 e sin bx dx 

x

a 2  x2  c

 arctg a dx  x arctg a  2 ln  a

dx



x

 arccos a dx  x arccos a 

1
x
arccos  c
a
a

a 2  x 2 dx 

x

 arcsin a dx  x arcsin a 

x
c
a



dx
1
 tg  ax  b   c
 ax  b  a

01

x a

2

2

H
oc

dx
2

 cos

ai



dx
1
ax

ln
c
2
x
2a a  x

uO
nT
hi
D



2

iL

a

bo

ok

.c

om

/g

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
I. Phương pháp đổi biến số dạng 1.
Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau
1/ Quy tắc :
 Bước 1: Đặt x=v(t)
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
 Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt

ce

 Bước 4: Tính

v (b )

b


a

f ( x)dx 



v(a )

 Bước 5: Kết luận : I= G (t )

.fa

g (t ) dt  G (t )

v(b)
v(a )

v(b)
v(a )

w

w

w

2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm )
* Chú ý :
a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :
Dấu hiệu

3

Cách chọn

3|

Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


a
  
 t   ; 
x 
sin t
 2 2


a
 
 t   0;   \  
x 
cost
2


a2  x2


  
 x  a tan t  t    2 ; 2 




 x  a cot t  t   0;  

ax
ax

ax
a x

x=a.cos2t

x=a+  b  a  sin 2 t

 x  a  b  x 


ie

b. Quan trọng nhất là nhận ra dạng :
- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :


H
oc

x2  a2

ai





 x  a sin t   2  t  2

 x  a cost  0  t  

uO
nT
hi
D

a2  x2

01

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />




a

2

x



2 2 k 1

k  Z  .

om

II. Đổi biến số dạng 2

dx

ro




/g

* áp dụng để giải bài toán tổng quát :

up

s/

Ta

iL

1
1
1
1
* 2

dx    0   
dx   2
du
2
2
a u k

 ax  bx  c

b     

a  x+   
 
 2a   2a  


b

Với :  u  x+ , k 
, du  dx  .
2a
2a



ok

.c

1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : )

 Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) .
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx
 Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .

 f ( x)dx  
a

ce

bo

 Bước 4: Tính

u (b )

b

u(a)

 Kết luận : I= G (t )

.fa

g (t )dt  G (t )

u (b)
u ( a)

u (b)
u (a)

w

w

w

2. Nhận dạng :
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ


P( x)
dx
 ax+b

 a  0

A. DẠNG : I= 



* Chú ý đến công thức :

m

4
m



dx  ln ax+b . Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta


a
 ax+b

4|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />



 ax

2





P ( x)
dx
 bx  c

01



B. DẠNG :



P( x)
m
1
 ax+b dx   Q( x)  ax+b dx   Q( x)dx  m ax+b dx

chia tử cho mẫu dẫn đến



Công thức cần lưu ý :



u '( x)

dx  ln u ( x)


 u ( x)

uO
nT
hi
D





u '( x)dx
 ln  u ( x) 

u ( x)

Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t .
3. Tam thức : f ( x)  ax 2  bx  c vô nghiệm :

s/

Ta

iL

b

u  x

P( x)
P( x)
2a

Ta viết : f(x)=

;

2
2
2
2

b      a  u  k  k  

a  x    
 

2a
2a   2a  



ie



ai

Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
2. Tam thức : f ( x)  ax 2  bx  c có hai nghiệm kép
Cơng thức cần chú ý :

H
oc

1. Tam thức : f ( x)  ax 2  bx  c có hai nghiệm phân biệt


 ax

3

P( x)
dx
 bx 2  cx  d

ro



C. DẠNG :

up

Khi đó : Đặt u= ktant

Cơng thức cần chú ý :

1


 x

dx 

1
1 
. m1
1 m x 

om



/g

1. Đa thức : f(x)= ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có một nghiệm bội ba
m

bo

ok

.c

2. Đa thức : f(x)= ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai nghiệm :
Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu
3. Đa thức : f(x)= ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có ba nghiệm

.fa

ce

 PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ
I. KIẾN THỨC

1. Cần nhớ một số cơng thức tìm ngun hàm sau :
f '( x )
dx  f ( x)  C
f ( x)
1
- 
dx  ln x  x 2  b  C
2
x b
u '( x)
- Mở rộng : 
du  ln u ( x)  u 2 ( x)  b  C
2
u ( x)  b

w

w

w

-

2

5

5|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />


1. Tích phân dạng : I  


1
ax 2  bx  c

 a  0

dx

a. Lý thuyết :

01

b

x
u


b 
  
2a
2

Từ : f(x)=ax  bx  c  a  x    2   
 du  dx
2a  4a   

K
 2a

ai

Khi đó ta có :
- Nếu   0, a  0  f ( x)  a  u 2  k 2  

H
oc

2

uO
nT
hi
D

f ( x)  a . u 2  k 2 (1)

a  0
2
b 


- Nếu :   0  f ( x)  a  x    

(2)
b
2a 

 f ( x)  a x  2a  a . u

- Nếu :   0 .

f ( x)  a .

 x  x1  x  x2  (3)
a .  x1  x  x2  x  (4)

+/ Với a<0 : f ( x)  a  x1  x  x2  x  

f ( x) 

ie

+/ Với a>0 : f ( x)  a  x  x1  x  x2  

Ta

iL

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
b. Cách giải .
*. Trường hợp :   0, a  0  f ( x)  a  u 2  k 2   f ( x)  a . u 2  k 2

s/

Khi đó đặt :





ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up


t2  c
2
x

; dx 
tdt


b2 a
b2 a
bx  c  t 2  2 ax

2
ax  bx  c  t  a .x  

 x    t  t0 , x    t  t1

t2  c
t

a
.
x

t

a

b2 a

a  0
2
b 


*. Trường hợp :   0  f ( x)  a  x    
b

2
a


 f ( x)  a x  2a  a . u

 1
b 
b

ln  x   : x 
0



2a  
2a
a 
1
1
1

Khi đó : I  
dx 
 b dx   1  b  
b
a
b



a x
x

ln  x   : x 
0
2a
2a
2a  
2a
 a 
*. Trường hợp :   0, a  0
 x  x1  t

.fa

- Đặt : ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   

 x  x2  t

w

w

w

*. Trường hợp :   0, a  0
 x1  x  t

- Đặt : ax 2  bx  c  a  x1  x  x2  x   

6

 x2  x  t



2. Tích phân dạng : I  


mx  n
ax 2  bx  c

dx

 a  0
6|

Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
b.1 : Phân tích f ( x) 

mx  n
ax 2  bx  c

A.d





ax 2  bx  c

ax 2  bx  c



B
ax 2  bx  c

1

01

Phương pháp :




1

 a  0  đã biết cách tính ở trên

dx

ax  bx  c
2



3. Tích phân dạng : I  


1

 mx  n 

ax 2  bx  c

 a  0

dx

Phương pháp :
b.1. Phân tích :

1

 mx  n 

1



. (1)

uO

nT
hi
D



ai





Trong đó

H
oc

b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B
b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)


1
b.4. Tính I = 2 A ax 2  bx  c
 B
dx (2)

ax 2  bx  c


n


m  x   ax 2  bx  c
m



1 
n
1
 y  x  t  t  m   dy   x  t dx


1
n

b.2 Đặt :  x   
2
y
m
 x  1  t  ax 2  bx  c  a  1  t   b  1  t   c





y
y 
y 

'

dy
b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I   
. Tích phân này chúng ta đã biết cách
2
Ly  My  N
'
ax  bx  c

up

s/

Ta

iL

ie

2

ro

tính .






/g

4. Tích phân dạng : I   R  x; y  dx   R  x; m

om







x 
 x 


 dx


bo

ok

.c

( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và  ,  ,  ,  là các hằng số đã biết )
Phương pháp :
x 
b.1 Đặt : t= m
(1)
 x 

b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x    t 
b.3. Tính vi phân hai vế : dx=  '  t  dt và đổi cận


.fa

ce


x 
b.4. Cuối cùng ta tính :  R  x; m
 x 



w

w

w

*) Tính tích phân: I 






'


 dx   R   t  ; t   '  t  dt
'


mx  n
dx,
ax 2  bx  c

 a  0 .
7

mx  n
(trong đó f ( x ) 
liên tục trên đoạn  ;   )
ax 2  bx  c
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
7|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
mx n
A(2axb)
B


ax2 bx c ax2 bxc ax2 bx c



.

Tích phân

2
A(2axb)
dx = Aln ax  bx  c
2
ax bxc







Tích phân



2



*) Tính tích phân I 

01



dx
tính được.
ax  bx  c



b

H
oc







ai

+)Ta có I=



mxn
A(2axb)
B
dx  2
dx  2

dx
2
ax bxc
 ax bxc
 ax bx c

uO
nT
hi
D



P ( x)

 Q( x) dx với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
a

ie

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.

1 ,  2 ,..., n thì đặt

up

s/

An
P( x)

A1
A2
.


 ... 
Q ( x ) x  1 x   2
x  n

Ta

+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn

iL

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:





ro

+ Khi Q( x)   x    x 2  px  q ,   p 2  4q  0 thì đặt

.c

Q( x)   x    x    với    thì đặt

bo

ok

+ Khi

om

/g

P ( x)
A
Bx  C

 2
.
Q ( x) x   x  px  q
2

P ( x)
A
B
C
.



2
Q( x) x  
x   x   

w

w

w

.fa

ce

 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
b

 a; b thì:

b

b
u ( x)v ( x)dx   u ( x)v( x)   v( x)u ' ( x) dx
a a
a





'

b

b

8

hay udv  uv b  vdu .
a a
a





Áp dụng cơng thức trên ta có qui tắc cơng thức tích phân từng phần sau:
8|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
udv  uv ' dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x)

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng

 Bước 3: Tính

b



 dv   v ( x)dx .
'

b



vdu  vu ' dx và uv

a

01

du  u ' dx và v 

a

b
a

.

ai

 Bước 2: Tính

dv  v ' ( x )dx.

H

oc

làm u(x) và phần cịn lại

uO
nT
hi
D

 Bước 5: Áp dụng cơng thức trên.
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
b

 P( x)e dx
x

a

b

b

b

 P( x)ln xdx  P( x)cos xdx  e cos xdx
x

a

a

a

P(x)

lnx

P(x)

dv

e x dx

P(x)dx

cosxdx

ex

cosxdx

Ta

iL

ie

u

s/

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng cơng thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và

up

dv  v ' dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần

ro

của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

dv  v ' dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm

/g

số đã biết hoặc có ngun hàm dễ tìm.

om

Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:


 P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những

.c

 Nếu tính tích phân

ok



e , cos ax,

ce

bo

hàm số:

ax

.fa
w
w





 Nếu tính tích phân

w

du  P ' ( x)dx
u  P( x)


sin ax thì ta thường đặt 


dv  Q( x)dx v  Q( x) dx


 P( x)Q( x)dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì


 du  Q '  x  dx
u

Q
(
x
)


ta đặt


dv  P( x) dx v  P ( x)dx




9

9|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />


 Nếu tính tích phân I 

e



ax



cos bxdx hoặc

J  eax sin bxdx thì





H
oc

01

du  ae ax dx
ax
u


e


ta đặt


1
dv  cos bxdx v  sin bx

b

uO
nT
hi
D

ai

 du  ae ax dx
ax
u

e


hoặc đặt


1

dv  sin bxdx v   cos bx

b

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân
ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.

iL

dx
asinx  b cos x  c

Ta



1. Tính I 

ie

 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác

Phương pháp:

s/

x
2dt
t  tan  dx 

2
1 t2

up

Đặt

dx



bo

ce
.fa
w
w
w

2dt
đã biết cách tính.
 2at  b  c

dx
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d

Phương pháp: I 

Đặt

2

.c

2. Tính I 

om

 asinx  b cos x  c    c  b  t

ok

I

/g

ro

1 t2
2t
Ta có: sin x 
và cos x 
1 t2
1 t2

dx

  a  d  sin x  b sin x cos x   c  d  cos x
2

2

dx
cos 2 x

 a  d  tan 2 x  b tan x   c  d 



t  tgx  dt 

dx
dt
đã tính được.
I 
2
2
cos x
 a  d  t  bt   c  d 



10

10|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
3. Tính I 

m sin x  n cos x  p
dx .
a sin x  b cos x  c



01

Phương pháp:

m sin x  n cos x  p  A  a sin x  b cos x  c   B  a cos x  b sin x   C , x +) Vậy

ai
uO
nT
hi
D

a cos x  b sin x

dx

 a sin x  b cos x  c dx  C  a sin x  b cos x  c

Tích phân  dx

a cos x  b sin x

 a sin x  b cos x  c dx  ln a sin x  b cos x  c  C

Tích phân

dx

 asinx bcosx c tính được.

 R sin x,cos x  dx , với R sin x,cos x  là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx

up

Nguyên hàm dạng

s/

Tích phân

tính được

ie



= A dx  B

iL



m sin x  n cos x  p
dx =
a sin x  b cos x  c

Ta

I

H
oc

+)Tìm A, B, C sao cho:

ro

Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết
cách tính tích phân.

.c

2t
1 t2
;cos x 
1 t2
1 t2

ok

Ta có sin x 

om

/g

 Trường hợp chung: Đặt t  tan x  dx  2dt
2
1 t2

 Những trường hợp đặc biệt:

R  sin x,cos x  là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

bo

+) Nếu

ce

R   sin x,  cos x   R  sin x,cos x  thì đặt t  tan x hoặc t  cot x , sau đó đưa

w

w

w

.fa

tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu

R  sin x,cos x  là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

R   sin x,cos x    R  sin x,cos x  thì đặt t  cos x .
+) Nếu

11

R  sin x,cos x  là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:
11|

Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
R  sin x,  cos x    R  sin x,cos x  thì đặt t  sin x .
TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT

01

1.Cho hàm số y  f ( x) liên tục và lẻ trên đoạn   a; a  . Khi đó

I

H
oc

a

 f ( x)dx  0 .

I

y  f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn  a; a  . Khi đó

a

a

a

0

uO
nT
hi
D

2.Cho hàm số

 f ( x)dx  2 f ( x)dx .

Chứng minh : Ta có

a



I

0

f ( x)dx 

a

 f ( x)dx

(1)

0

ie

a



a

f ( x)dx 

0

 f ( x)dx bằng cách đặt x  t  0  t  a   dx  dt

iL

Ta tính J 
0

0

a

a

a

a

0

0

Ta

a

a

a

 f ( x)dx  2 f ( x)dx

ro

Thay (2) vào (1) ta được I 

a

/g

0

y  f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn   :  . Khi đó

om

3.Cho hàm số

s/

 f ( x)dx   f (t )dt   f (t )dt   f ( x)dx (2)

up

J 

ai

a







f ( x ) dx



Đặt t= -x  dt= - dx

ok

Chứng minh:

.c

f (x)
1
I   x
dx 
a 1
2


ce

bo

at  1
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1=
at

.fa

Khi x= -  thì t = 

w

w

w

Vậy

x

; x =



I 

f (x)
  a x  1dx 


-t



thì t =- 



a t f (t )
 a t  1 dt 




at  1  1
 a t  1 f ( t ) dt




12

f (t )
  f (t )dt   t
dt   f ( x)dx  I
a

1




12|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />




f ( x)
1
I   x
dx   f ( x ) dx
a 1
2 


Suy ra



2

2

0

0

.

ai

 f (sin x)dx   f (cos x)dx

H
oc



01

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;   .Khi đó
 2 


2

 x  dx   dt

Khi x = 0 thì

t


2

, khi

x


2

thì t = 0


0

0









2

2

0

0

 f (sin x)dx   f (sin( 2  t )dt   f (cos t )dt   f (cos x)dx

iL

Do đó

2

ie

t

.

Ta

Đặt

uO
nT
hi
D

Chứng minh:

2

0;1 thì

 

2 

 



2 

 xf (cos x)dx   

/g

0;1 thì

ro



*Nếu f(x) liên tục trên



 xf (sin x)dx  2  f (sin x)dx

up

*Nếu f(x) liên tục trên

s/

Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các cơng thức

f (cos x)dx



w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om



w

13

13|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

01

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
w

14

14|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01