dạy học tri thức phương pháp cho học sinh thông qua chủ đề giải toán nguyên hàm - tích phân ở lớp 12 ban nâng cao trường trung học phổ thông

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM



PHÙNG HOÀNG HẢI




DẠY HỌC TRI THỨC PHƢƠNG PHÁP CHO HỌC SINH QUA
CHỦ ĐỀ “ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ”
Ở LỚP 12 BAN NÂNG CAO TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG






LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM



PHÙNG HOÀNG HẢI




DẠY HỌC TRI THỨC PHƢƠNG PHÁP CHO HỌC SINH QUA
CHỦ ĐỀ “ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ”
Ở LỚP 12 BAN NÂNG CAO TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG


Chuyên nghành : Lý luận và phƣơng pháp dạy học Bộ môn toán
Mã số : 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC








Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS ĐÀO THÁI LAI



THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

i
Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS - TS Đào Thái Lai người
thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa toán - trường Đại
học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu .
Em xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, phòng đào tạo và nghiên cứu
khoa học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục và Đào Tạo Lạng Sơn, trường THPT

Vân Nham tỉnh Lạng Sơn, các bạn đồng nghiệp, gia đình và bạn bè đã tạo điều
kiện thuận lợi, giúp đỡ và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện
đề tài
Đặc biệt qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới NCS. La Đức
Minh đã giành thời gian và công sức giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.


Lạng Sơn, ngày 4 tháng 8 năm 2011

Tác giả


Phùng Hoàng Hải




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ii


DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT




Viết tắt

GV

HS
SGK
THPT
TTPP

Viết đầy đủ

Giáo viên
Học sinh
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông
Tri thức phương pháp












Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

iii
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
3. Giả thuyết khoa học.
4. Phương pháp nghiên cứu.
5. Cấu trúc luận văn.
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số dạng tri thức phương pháp của môn Toán ở trường THPT 06
1.1.1. Khái niệm tri thức 06
1.1.2. Tri thức phương pháp và một số dạng tri thức phương pháp của môn toán
ở trường THPT 07
1.2. Dạy học giải bài tập toán ở trường THPT 11
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông 11
1.2.2. Mục đích, ý nghĩa và chức năng của bài tập toán trong trường phổ
thông 13
1.2.2.1. Mục đích 13
1.2.2.2. Ý nghĩa 13
1.2.2.3. Các chức năng của bài tập toán 13
1.2.3. Các yêu cầu đối với lời giải của bài tập toán 14
1.2.4. Dạy học phương pháp chung để giải bài toán 16
1.2.4.1. Phương pháp chung để giải bài toán 16
1.2.4.2. Gợi ý phương pháp chung để giải toán 20
1.2.4.3. Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán 22
1.3. Quy trình dạy học tri thức phương pháp cho học sinh thông qua dạy học giải
bài tập toán ở trường THPT 23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

iv
1.3.1. Dạy học tường minh tri thức phương pháp được quy định trong chương
trình 24
1.3.2. Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động 25

1.3.3. Tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp 28
1.4. Thực trạng việc dạy học tri thức phương pháp cho học sinh thông qua dạy
học giải bài tập toán ở trường THPT 33
1.4.1. Thực trạng dạy học tri thức phương pháp ở trường phổ thông 33
1.4.2. Thực trạng dạy học tri thức phương pháp thông qua giải bài tập toán ở
trường THPT 35
1.5. Kết luận chương 1 36
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC TRI THỨC PHƢƠNG
PHÁP THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN NGUYÊN HÀM -
TÍCH PHÂN Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Tổng quan về dạy học môn Toán ở trường THPT 38
2.1.1. Đối tượng, nhiệm vụ , phương pháp của dạy học môn toán 38
2.1.2. Thực trạng việc dạy học môn toán ở trường phổ thông 40
2.1.3. Khái quát nội dung chương nguyên hàm - tích phân 41
2.1.4. Một số đặc điểm của học sinh khi học chương nguyên hàm - tích
phân 43
2.1.5. Một số khó khăn trong việc dạy học chương nguyên hàm - tích
phân 44
2.2. Các định hướng xây dựng một số biện pháp dạy học tri thức phương pháp
trong dạy học giải bài tập toán về nguyên hàm - tích phân ở trường THPT 45
2.2.1. Bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa 45
2.2.2. Khai thác và kết hợp một cách linh hoạt 3 cách dạy tri thức phương pháp
trong dạy học môn toán 46
2.2.3. Tập trung vào việc rèn luyện các yếu tố của tư duy thuật giải 46
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

v
2.2.4. Những nội dung có thể dạy tri thức phương pháp trong dạy học nội dung
chương nguyên hàm - tích phân 47
a. Dạy học khái niệm 47

b. Dạy học định lý 49
c. Dạy học quy tắc, phương pháp 50
d. Dạy học giải bài tập toán 51
2.3. Một số biện pháp sư phạm dạy học tri thức phương pháp trong dạy học giải
bài tập toán về nguyên hàm tích phân ở trường THPT 52
2.3.1. Biện pháp 1 52
2.3.2. Biện pháp 2 52
2.3.3. Biện pháp 3 52
2.3.4. Biện pháp 4 52
2.3.5. Biện pháp 5. Một số phương thức chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức
phương pháp trong dạy học nội dung chương nguyên hàm – tích phân
53
2.4. Vận dụng một số biện pháp để dạy học tri thức phương pháp trong dạy học
giải bài tập toán nguyên hàm - tích phân 58
2.4.1. Dạng toán 1: Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) dựa vào định nghĩa
58
2.4.2. Dạng toán 2: Tìm nguyên hàm của hàm số bằng phương pháp đổi biến số
64
2.4.3. Dạng toán 3: Tìm nguyên hàm của hàm số bằng phương pháp từng phần
67
2.4.4. Dạng toán 4: Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất 70
2.4.5. Dạng toán 5: Một số phương pháp tính tích phân 78
2.4.6. Dạng toán 6: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 86
2.5. Kết luận chương 2 92
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vi
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm 93
3.2. Nội dung thực nghiệm 93

3.2.1. Phương pháp thực nghiệm 94
3.3. Tổ chức thực nghiệm 94
3.4. Kết quả thực nghiệm 106
3.4.1. Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh 107
3.4.2. Kết quả kiểm tra 107
3.4.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 109
3.4.3.1. Đánh giá về mặt định tính 109
3.4.3.1. Đánh giá về mặt định lượng 110
3.5. Kết luận chương 3 111
KẾT LUẬN 112

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 113











Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong nhà trường phổ thông, môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hết

sức quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách. Cùng với việc tạo điều kiện cho HS
kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn
có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ như phân tích, tổng hợp, trừu
tượng hóa, khái quát hóa, rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao
động mới như tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo,
bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Môn Toán THPT tiếp nối chương trình trung học cơ
sở, cung cấp vốn văn hóa Toán học phổ thông một cách có hệ thống và tương
đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp tư duy. Ngoài ra
môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học khác, do tính
trừu tượng cao độ, toán học có tính thực tiễn phổ dụng. Những tri thức và kĩ
năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành
công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của
nhiều nghành khoa học khác nhau như vật lí, hóa học,… là công cụ để hoạt
động trong đời sống thực tế và vì vậy là một thành phần không thể thiếu của
trình độ văn hóa phổ thông của con người mới. Chẳng hạn, tri thức về tương
quan tỉ lệ thuận y = ax là công cụ để nghiên cứu rất nhiều hiện tượng trong
những lĩnh vực rất khác nhau, ví dụ
 Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với
đường cao h ứng với cạnh đó: S =
1
2
ah
 Quãng đường đi được s trong một chuyển động đều với vận tốc cho
trước v tỉ lệ thuận với thời gian đi t: s = vt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
 Hiệu điện thế U tỉ lệ thuận với cường độ dòng điện I khi điện trở R
không đổi: U = IR

Cùng với việc kiến tạo tri thức, môn Toán trong nhà trường phổ thông còn
rèn luyện cho HS những kĩ năng tính toán, vẽ hình, kĩ năng sử dụng những
dụng cụ toán học và máy tính điện tử,… Môn Toán còn giúp HS hình thành
và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như:
Toán học hóa tình huống cụ thể, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện
và giải quyết vấn đề,… Những kĩ năng này rất cần cho người lao động trong
xã hội hiện nay. Do đó môn Toán có khả năng to lớn giúp HS phát triển các
năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS khả năng tư duy trừu tượng,
tư duy chính xác, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong
học tập, trong nghiên cứu,…qua đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh trí
thông minh sáng tạo.
Trong chương trình Giải tích lớp 12 ban nâng cao - THPT, nội dung
nguyên hàm - tích phân đóng một vai trò quan trọng, chiếm một khối lượng
lớn về kiến thức và thời gian học của chương trình, có ý nghĩa to lớn trong
các đề thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao
đẳng và Trung học chuyên nghiệp không chỉ vậy tích phân còn có những ứng
dụng quan trọng trong thực tế: Như tính diện tích của hình thang cong, có
những ứng dụng liên môn trong nhà trường phổ thông, bên cạnh đó cùng với
phép tích phân, phép tính tích phân là nền tảng của Giải tích toán học. Hiểu rõ
cơ sở của hai phép toán trên là yêu cầu bắt buộc đối với những người học
nghề và nghiên cứu toán học. Học sinh THPT cần nắm được các kiến thức cơ
sở của toán học này để tiếp tục học ở trong các trường dạy nghề và trường Đại
học. Bởi vậy, việc giải toán nguyên hàm - tích phân là một nội dung rất thiết
thực và bổ ích đối với các em học sinh lớp 12 ban nâng cao nói riêng và lớp
12 THPT nói chung.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
Theo Nguyễn Bá Kim [7, tr 124]. Quan điểm hoạt động trong phương
pháp dạy học có thể được thể hiện ở các tư tưởng chủ đạo sau:

 Cho HS thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần
tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học;
 Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;
 Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như
phương tiện và kết quả của hoạt động;
 Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học.
Việc thực hiện hoạt động học tập nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất
định, đặc biệt là tri thức phương pháp, những tri thức như thế có khi lại là kết
quả của một quá trình hoạt động, vì vậy, trong việc dạy học, GV cần quan tâm
cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt được trong quá trình hoạt
động, trong đó TTPP đóng vai trò định hướng trực tiếp cho hoạt động và có
ảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện những kĩ năng. Như vậy xuất phát từ
vai trò của TTPP trong dạy học toán ở trường THPT, GV cần phải chú trọng
dạy học TTPP để trang bị phương tiện cho HS hoạt động và tạo điều kiện để
tổ chức dạy học toán theo quan điểm hoạt động, góp phần đổi mới phương
pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của HS.
Thực tế dạy học toán ở trường THPT cho thấy còn nhiều học sinh gặp khó
khăn khi trong quá trình giải toán về nguyên hàm - tích phân, mà một trong
những nguyên nhân thường gặp là do các em không nắm được bản chất của
khái niệm nguyên hàm - tích phân, không phân biệt được các dạng toán ứng
với những phương pháp được cho trong chương trình, không nắm được quy
trình, cách thức, phương pháp giải từng loại toán về nguyên hàm tích phân.
Trong dạy học chủ đề Nguyên hàm - tích phân, về phía GV còn có những hạn
chế như: Chưa thật sự quan tâm tới việc dạy học TTPP, còn hạn chế trong
việc hướng dẫn HS phân biệt phương pháp giải các dạng toán mà nặng về
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
trình bày lời giải và đưa thêm vào một số bài toán khó mang tính đòi hỏi tư
duy cao chưa phù hợp với đại đa số học sinh, phần truyền thụ TTPP và hướng

dẫn HS thực hiện qui trình, vận dụng phương pháp còn ít hoặc nếu có thì cũng
chỉ mang tính hình thức chưa thật sự khắc sâu cho học sinh,
Với mong muốn góp phần khắc phục những hạn chế trên và nâng cao chất
lượng dạy học nội dung tri thức phương pháp này, từ những lý do đó, chúng
tôi đã chọn đề tài: “Dạy học tri thức phương pháp cho học sinh thông qua
chủ đề “Giải toán nguyên hàm - tích phân” ở lớp 12 Ban nâng cao - trường
THPT”.
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về TTPP và triển khai vào dạy học TTPP cho học
sinh qua chủ đề “Giải toán nguyên hàm - tích phân” ở lớp 12 Ban nâng cao -
THPT.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về tri thức, TTPP và dạy học TTPP trong môn toán.
- Tìm hiểu thực tiễn ở trường THPT về vấn đề dạy học TTPP, nói riêng là
trong dạy học giải toán về nguyên hàm tích phân.
- Cụ thể hóa một số TTPP thường gặp ở nội dung giải toán về nguyên
hàm - tích phân.
- Đề xuất giải pháp dạy học TTPP thông qua một số biện pháp sư phạm.
- Thử nghiệm sư phạm.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định rõ TTPP và áp dụng những biện pháp sư phạm nêu ra trong
luận văn thì có thể nâng cao hiệu quả của việc dạy học TTPP và chất lượng
dạy học nội dung “Giải toán nguyên hàm - tích phân” ở lớp 12 ban nâng cao
trường THPT.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Nghiên cứu lý luận.

2. Quan sát điều tra thực tiễn.
3. Thử nghiệm sư phạm.
4. Thống kê toán học.
5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương
Chƣơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng II: Một số biện pháp truyền thụ tri thức phương pháp qua dạy
học giải toán nguyên hàm - tích phân.
Chƣơng III: Thử nghiệm sư phạm.
















Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Chƣơng I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 . MỘT SỐ DẠNG TRI THỨC PHƢƠNG PHÁP CỦA MÔN TOÁN Ở
TRƢỜNG THPT
1.1.1. Khái niệm về tri thức
Tri thức là một tập hợp bao gồm kinh nghiệm, giá trị, thông tin, và sự hiểu
biết thông thái mà có thể giúp đánh giá và thu nạp thêm những kinh nghiệm
và thông tin mới. Tri thức được tạo ra và ứng dụng trong đầu óc của những
người có nó. Như vậy có thể hiểu, tri thức là kết quả của quá trình con người
nhận thức thực tại khách quan đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn, là phản
ánh trung thực thực tại khách quan trong ý thức con người dưới hình thức
những biểu tượng và khái niệm, được diễn đạt trong ngôn ngữ. Tri thức là kết
quả của quá trình tư duy tích cực, tri thức không bao giờ là một cái gì bất biến
mà ngày càng được phát triển. Sự phát triển của tri thức trong quá trình nhận
thức được tiến hành theo con đường chính xác hoá, bổ sung, đào sâu, phân
hoá, đem lại cho tri thức tính hệ thống và khái quát, tri thức phải được tạo nên
một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không tiếp thu một cách thụ
động từ bên ngoài. Từ quan niệm đó, trong dạy học phải coi trọng vấn đề hình
thành cho HS cách học, cách tạo nên tri thức, cách tự học chứ không chỉ đơn
thuần là cung cấp kiến thức. Dạy học như vậy không chỉ hình thành cho HS
các tri thức sự vật, tri thức về đối tượng nghiên cứu của môn học mà còn hình
thành và phát triển hệ thống tri thức phương pháp nhận thức cho HS. Các
TTPP khi được hình thành lại trở thành điều kiện thuận lợi để HS lĩnh hội,
kiến tạo tri thức mới. Chính vì vậy việc bồi dưỡng TTPP để học sinh tiếp cận
được với nguồn thông tin và kiến tạo nên kiến thức, cần được quan tâm trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
dạy học môn toán ở trường phổ thông hiện nay. Muốn có tri thức, chúng ta
phải tiến hành hoạt động nhận thức một số dạng như sau:

- Tri thức thông thường: Là những hiểu biết được tích luỹ từ kinh nghiệm
sống thường ngày. Nhờ những tri thức thông thường, chúng ta có được những
hình dung thực tế về sự vật. Những tri thức thông thường ngày càng được đa
dạng và phong phú thêm. Chúng chứa đựng những mặt riêng biệt, đúng đắn
về thế giới khách quan và là cơ sở cho sự hình thành các tri thức khoa học.
- Tri thức khoa học: Là những hiểu biết được tích luỹ trong quá trình
nghiên cứu khoa học. Tri thức khoa học được biểu diễn dưới dạng các khái
niệm, phạm trù, tiên đề, quy luật, định luật, định lý, lý thuyết, học thuyết
Những tri thức khoa học thuộc bất kỳ một lĩnh vực nào, nếu được thực hiện ở
mức độ đầy đủ, bao giờ cũng trải qua hai quá trình: Kinh nghiệm và lý luận.
So với tri thức kinh nghiệm thì tri thức lý luận khái quát hơn, thể hiện chân lý
sâu sắc hơn, chính xác hơn và đầy đủ hơn. Vì lý do đó, phạm vi áp dụng và
ứng dụng của tri thức lý luận cũng rộng rãi hơn rất nhiều so với tri thức kinh
nghiệm, kinh nghiệm kết thúc ở đâu thì lý luận bắt đầu tiếp nối từ đó.
Do đó trong hoạt động dạy học, giáo viên cũng cần phải coi trọng tri thức
kinh nghiệm của HS trong việc giúp HS nắm vững các tri thức, đặc biệt là các
tri thức phương pháp. Thông qua quá trình đó, GV cần hệ thống hoá các kinh
nghiệm của HS thành các lý luận khái quát, giúp các em nhận thức tri thức
một cách toàn diện và sâu sắc hơn. Tri thức vừa là điều kiện vừa là kết quả
của hoạt động. Chẳng hạn, việc cộng hai số hữu tỉ đòi hỏi tri thức về giá trị
tuyệt đối và về qui tắc cộng hai số hữu tỉ. Mặt khác, việc tính đạo hàm của
một hàm số dựa vào định nghĩa cũng có thể làm nổi bật lên một tri thức là quy
tắc chung để tính đạo hàm, đó cũng là tri thức cần thiết lẫn tri thức đạt được
trong quá trình hoạt động.
1.1.2. Khái niệm tri thức phƣơng pháp và một số dạng tri thức phƣơng
pháp của môn Toán ở trƣờng THPT
Sau mỗi quá trình học tập, người học không chỉ đơn thuần thu được
những tri thức khoa học (khái niệm mới, định nghĩa mới, định lý mới, mệnh
đề mới ) mà còn phải biết và nắm được những TTPP (nghiên cứu, dự đoán,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
giải quyết ). Đó chính là những TTPP vừa là kết quả vừa là phương tiện của
hoạt động tạo cho học sinh một tiềm lực quan trọng để hoạt động tiếp theo.
Như vậy ta có thể hiểu TTPP là một dạng của tri thức khoa học trong đó
TTPP là cách thức thực hiện, phương pháp suy nghĩ hay những phương pháp
để giải quyết một vấn đề cụ thể nào đó. Ví dụ như: Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số, quy tắc tìm cực trị của một hàm số hay quy tắc tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn…đó là tri thức phương
pháp.
Theo Nguyễn Bá Kim [7, tr 41], HS kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng,
đó là cơ sở để thực hiện các mục tiêu về phương diện khác. Để đạt được mục
tiêu quan trọng này, môn toán cần trang bị cho học sinh một hệ thống vững
chắc những tri thức, kĩ năng phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, hiện
đại sát thực tiễn Việt Nam theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp đồng thời
bồi dưỡng cho họ khả năng tận dụng những hiểu biết toán học vào việc học
tập những môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất và tạo tiềm lực tiếp
thu khoa học kĩ thuật.
Để thực hiện mục tiêu này, cần tạo điều kiện cho HS kiến tạo những dạng
tri thức khác nhau, người ta thường phân biệt 4 dạng tri thức trong dạy học
môn toán:
- Tri thức sự vật: Là tri thức về toàn bộ những yếu tố và quá trình được
sắp xếp theo một trật tự nhất định, cấu thành sự vật hoặc hiện tượng. Trong
môn Toán thường là một khái niệm (Ví dụ: Khái niệm hình bình hành, khái
niệm véc tơ ), một định lý (chẳng hạn định lí hàm số sin, định lý vi-et), cũng
có khi là một yếu tố lịch sử (Lịch sử phép tính tích phân, lịch sử phát minh
logarit và bảng logarit ), một ứng dụng toán học (Ứng dụng của tích phân
trong hình học ). Dạy Toán là dạy hoạt động toán học do đó học sinh cần
thiết được biết các quá trình hình thành các khái niệm, định lý, biết vận dụng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
kiến thức, có niềm tin vào khả năng toán học của mình. Đặc trưng của tri thức
Toán học là trừu tượng hoá cao độ và lôgic chặt chẽ. Vì vậy trong hoạt động
dạy học, ngoài suy diễn lôgic, cần thiết phải coi trọng nguyên tắc trực quan,
quy nạp, trực giác toán học. Dạy học Toán cần phải cân đối các quan hệ giữa
trực quan và trừu tượng, giữa ước lượng, dự đoán và các suy luận có lý.
- Tri thức chuẩn: là những tri thức thường liên quan với những chuẩn mực
nhất đinh, chẳng hạn qui định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn
những giá trị gần đúng,
- Tri thức phương pháp: liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về
bản chất những phương pháp là những thuật giải (ví dụ như: giải phương trình
bậc hai, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ) và những phương pháp
có tính chất tìm tòi (Chẳng hạn phương pháp tổng quát của Pôlya để giải bài
tập toán học, hoặc khi giải các phương trình lượng giác có chứa nhiều hàm số
lượng giác thì có thể biến đổi làm giảm bớt hàm số lượng giác, hay một số
phương pháp dự đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất của nghiệm trong
khi giải phương trình mũ Ví dụ: Giải phương trình 2
x
+ 3
x
= 5
x
).
- Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn:
“Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học và công nghệ cũng như đời
sống”, “Khái quát hóa là một hoạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”,
Trong dạy học toán, người thầy giáo cần coi trọng đúng mức các dạng tri
thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện. Đặc biệt, tri
thức phương pháp ảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng, tri thức

giá trị liên hệ mật thiết với việc giáo dục tư tưởng chính trị và thế giới quan.
* Những TTPP thường gặp trong môn toán là:
+ Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động tương ứng
với những nội dung toán học cụ thể như tìm nguyên hàm, tính tích phân, tìm
diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường, cộng trừ, nhân chia các số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
hữu tỉ, giải phương trình trùng phương chẳng hạn giải phương trình: x
4
+ 2x
2
-
3 = 0, dựng tam giác khi biết độ dài ba cạnh của nó, chứng minh bất đẳng
thức tích phân, Ví dụ: Xây dựng cách giải phương trình lượng giác dạng
asinx + bcosx = c khi đã biết cách giải phương trình bậc hai và các công thức
biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản.
+ Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động toán học
phức hợp như: chứng minh, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích, Ví dụ:
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O,R). B, C cố định, A thay
đổi trên đường tròn (O). Tìm quĩ tích trực tâm H của tam giác ABC khi A
thay đổi trên đường tròn.
+ Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ phổ
biến trong môn toán như: phân chia trường hợp, Ví dụ: Biện luận theo tham
số m số nghiệm của phương trình x
4
- 2x
2
+ 3 = m.
+ Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ chung

như so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa, Ví dụ: Hãy so sánh log
2
10 và
log
5
30.
+ Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ
lôgic như thiết lập mệnh đề đảo của mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề
thành hội hay tuyển của chúng, Ví dụ: Hãy lập mệnh đề đảo của mệnh đề
“Trong một tam giác nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song
song với cạnh thứ ba thì định ra trên hai cạnh đó những cặp đoạn thẳng tương
ứng tỉ lệ".
Để tổ chức hoạt động có hiệu quả, người giáo viên cần nắm được tất cả
những tri thức phương pháp thích hợp có thể có chứa đựng trong nội dung bài
dạy để chọn lựa cách thức, mức độ truyền thụ phù hợp. Bởi vì những tri thức
quá chung như lược đồ dựng hình 4 bước,… sẽ ít tác dụng hướng dẫn nhưng
nếu quá chi tiết thì khó áp dụng cho tình huống khác.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
Do đó đứng trước một nội dung dạy học người GV cần hiểu được tất cả
các tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó. Nắm được như vậy
không phải là để dạy tất cả cho học sinh một cách tường minh mà còn phải
căn cứ vào mục tiêu và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, cấp độ làm
việc thích hợp, từ cấp độ dạy học tường minh TTPP được phát biểu tổng quát,
tới cấp độ thực hành ăn khớp với tri thức phương pháp. Nhìn chung, liên quan
đến những TTPP có nhiều vấn đề cân nhắc giải quyết, chẳng hạn :
+ Xác định tập hợp tối thiểu những TTPP cần truyền thụ.
+ Xác định yêu cầu về mức độ hoàn chỉnh của những TTPP cần dạy, đặc
biệt là đối với những phương pháp có tính chất tìm đoán. Những TTPP quá

chung chung sẽ ít tác dụng chỉ dẫn, điều khiển hoạt động. Mặt khác, những
TTPP phức tạp lại có thể làm cho HS lâm vào tình trạng rối ren.
+ Xác định yêu cầu về mức độ tường minh của những TTPP cần dạy: dạy
một cách tường minh hay là thông báo trong quá trình tiến hành hoạt động,
hay chỉ thực hành ăn khớp với một tri thức nào đó, hay là một hình thức trung
gian giữa những tri thức kể trên.
+ Xác định yêu cầu về mức độ chặt chẽ của quá trình hình thành tri thức
phương pháp: dựa vào trực giác hay lập luận logic,
1.2. DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN Ở TRƢỜNG THPT
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học toán ở trƣờng phổ
thông
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán. Điều căn bản là bài
tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học
sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể
hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học
phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học. Những hoạt động
trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Theo Nguyễn Bá Kim [7, Tr 103]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
đã cho thấy hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả
ba bình diện này:
Thứ nhất trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ
thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể
hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức
năng khác nhau hướng đến thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể
là:
 Hình thành, củng cố kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

 Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ;
 Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài
đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ xung cho những tri thức nào đó đã được
trình bày trong phần lý thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó
thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ
góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động
trực giác, tích cực chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong
giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,…Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh, Một bài tập cụ thể có thể
nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.
1.2.2. Mục đích, ý nghĩa và chức năng của bài tập toán trong trƣờng phổ
thông
1.2.2.1. Mục đích
Một trong những mục đích dạy toán ở phổ thông là phát triển ở HS những
năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biến những tri thức khoa học của nhân
loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thanh công cụ để nhận thức
và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập

hiện nay và sau này, làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững
chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ bản,
hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào
những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học
tập các bộ môn khoa học khác.
1.2.2.2. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ
thống hóa kiến thức và rèn luyện kĩ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức
đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình
thức tốt nhất để GV kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận
dụng kiến thức đã học. Việc giải bài tập toán có tác dụng to lớn trong việc gây
hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục,
rèn luyện con người học sinh về nhiều mặt.
1.2.2.3. Các chức năng của bài tập toán
Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
- Chức năng dạy học.
- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.
Các chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh
những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy
học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm

chất đạo đức của người lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho
HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập toán học, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến
thức và trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào
việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các
tác giả viết SGK đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có
nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm
của mình.
1.2.3. Các yêu cầu đối với lời giải của bài tập toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như
vậy là bao hàm đầy đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho
việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những
yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết
(i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số,
một hình vẽ, thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian cũng
phải đúng. Như vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình,
biến đổi biểu thức,
(ii) Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau
 Luận đề phải nhất quán;

 Luận cứ phải đúng. Ví dụ: sai lầm về luận cứ không đúng
Ngụy biện - 3 = 3
Rõ ràng là (-3)
2
= 3
2
. Từ đó
22
( 3) 3
(1), vì rằng
2
aa
nên ta có
 
2
33  
và
2
33
(2)
Vậy theo (1) và (2) ta có: - 3 = 3.
Sai lầm: Luận cứ
2
aa
không đúng;
 Luận chứng phải hợp lô gic: Ví dụ để chứng minh hằng đẳng thức
osx 1 sinx
1-sinx cosx
c 


(1), có học sinh lập luận như sau
Từ (1) suy ra:
(1 - sinx)(1+sinx) = cos
2
x, tức là 1 - sin
2
x = cos
2
x (2) rõ ràng (2) đúng, vậy
(1) cũng đúng.
Sai lầm: Sơ đồ suy luận
,A B B
A

không phải là một quy tắc suy luận hợp
lôgic.
(iii) Lời giải đầy đủ:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một
chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm,
phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,…
(iv) Ngôn ngữ chính xác:
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn.
Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật
Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các
yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu,…) trong lời giải.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.

Ngoài các yêu cầu (i) - (v), cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải
cho cùng một bài toán, phân tích so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra
lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời giải đã tìm được.
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề.
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu về mặt
trình bầy. Còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.
1.2.4. Dạy học phƣơng pháp chung để giải bài toán
1.2.4.1. Phƣơng pháp chung để giải bài toán
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi
bài toán, đó là điều không thể. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt
cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị
những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài
toán lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn
dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
 Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài
toán;
 Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải
 Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ
cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán
cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài

toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng
những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản
chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,…
 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên
quan,
 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp
lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước
đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Ví dụ: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm
trong một tam giác đều tới ba cạnh của tam giác đó là một hằng số.