Tập bài giảng Môn học Công nghệ CADCAM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Khoa Cơ khí, Trường Đại học Bách Khoa

Tập bài giảng

Môn học
Công nghệ CAD/CAM

Biên soạn theo đề cương môn học
chuyên ngành cơ khí ĐHBK ĐN

Người biên soạn : Bùi trương Vỹ
Khoa Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa
Đại học Đà nẵng.

Đà Nẵng - Năm 2008


Các hệ thống CAD/CAM
Các tiến bộ kỹ thuật đã mở ra một ứng dụng mới trong thiết kế và gia công tạo hình
các sản phẩm cơ khí, cũng như cơ cấu và Máy. Sự khác biệt cơ bản giữa phương pháp
gia công truyền thống và gia công tạo hình hiện đại là ở chỗ tạo hình dựa trên mô hình
hoá hình học vật thể.
1. Các hệ thống CAD: cho phép mô hình hoá hình học vật thể rắn dựa trên dữ
liệu hình học số cơ sở. Cho đến nay, có nhiều phương pháp khác nhau về cách mô
hình hoá hình học vật thể, tuy nhiên kỹ thuật mô hình hóa được gọi là tiến bộ nhất khi
mô hình vật thể tạo ra mang đầy đủ thông tin mà một vật thể rắn vốn có trong thực tế,
ví dụ các đặc trưng về tính chất vật liệu, tính chất cơ học...Mục tiêu cuối cùng của mô
hình hóa trong lĩnh vực gia công tạo hình là phải giúp thực hiện được nhiều ứng dụng
quan trọng, bao gồm:
─

tính toán thể tích hay khối lượng vật thể.

─

tính toán momen quán tính.

─

phân tích ứng suất.

─

tính toán truyền nhiệt.

─

phân tích động lực học.

─

tạo mã gia công.

─

mô phỏng cơ cấu.

2. Cơ sở lý thuyết của các hệ thống CAD: Trong lĩnh vực mô hình hoá vật thể,
khái niệm mô hình hình học được xử dụng cho yếu tố hình học có thể mô tả được, là
những yếu tố hình học cơ sở được dùng trong các hệ thống CAD, bao gồm:

─

Điểm

─

Đường cong, kể cả đoạn thẳng.

─

Mặt cong, kể cả mặt phẳng

─

Khối (cấu trúc đặc)

. Vật thể được mô tả bởi dữ liệu số chính xác, nếu có thể:
─

Điểm được mô tả bởi giá trị tọa độ.

─

Đường cong được mô tả bởi chuỗi điểm hoặc phương trình.

─

Mặt cong được mô tả bởi tập hợp điểm (hoặc lưới đường cong), hoặc

phương trình.

─

Khối được định nghĩa bởi mặt cong bao quanh.
2


Chương 1: Hệ thống tọa độ, Điểm, Đường và Mặt phẳng
1. Vật thể 2D
1.1 Điểm
Mặt phẳng tọa độ xy có 2 trục tọa độ x và y vuông góc. Các trục tọa độ không vuông
góc cũng có thể được dùng, nhưng giá thành tính toán cao hơn.
Một điểm trong mặt phẳng xy được mô tả bởi 2 số, (x, y), hoặc dạng ma trận x  ,
y 

trong đó x và y là các tọa độ trên các trục x và y.
1.2 Đường thẳng
─

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng xy có dạng: Ax + By +C = 0

với A, B, C là các hệ số, C là số hạng không đổi.
+

Nếu B ≠ 0, phương trình đường thẳng được viết lại: y = mx +b

trong đó m = 

C
A
và b =  ; m được gọi là độ dốc và b là điểm chắn (tức là điểm

B
B

cắt của đường thẳng và trục y )
+

Nếu B = 0, phương trình đường thẳng trở thành: Ax + C = 0. Đây là

đường thẳng song song trục y và cắt trục x tại điểm (0, -C/A).
Phương trình đường thẳng có 3 hệ số, nhưng chỉ có 2 hệ số độc lập, nghĩa là cho
trước một phương trình đường thẳng, chia phương trình nầy cho một trong các hệ số ≠
0 không làm thay đổi đường thẳng. Chẳng hạn ta có đường thẳng 4x + 5y + 7 = 0
tương đương với x + 1,25y + 1,75 = 0 và 0,8x + y + 1,4 = 0. Chia một phương trình
cho một hằng số ≠ 0 thường được gọi là chuẩn hóa. Có 1 phép chuẩn hóa rất quan
trọng bởi vì nó được dùng để tính khoảng cách từ gốc tới đường thẳng.Giả sử có
phương trình đường thẳng Ax + By +C = 0, khoảng cách từ gốc tới đường thẳng là:
d=

| C|
A 2  B2

Như vậy, sau khi chuẩn hóa phương trình đường thẳng bằng cách chia phương trình
cho căn bậc hai của tổng bình phương A và B, giá trị tuyệt đối của số hạng không đổi
mới là khoảng cách giữa gốc và đường thẳng.
1.3 Đường thẳng song song và vuông góc
Cho 2 đường thẳng : Ax+By+C = 0
Ex+Fy+G = 0
─

Hai đường thẳng Ax+By+C = 0 và Ex+Fy+G = 0 là 2 đường thẳng song

3


song nếu độ dốc của chúng bằng nhau, tức là:


─

A
E
   AF  BE
B
F

Hai đường thẳng Ax+By+C = 0 và Ex+Fy+G = 0 là 2 đường thẳng

vuông góc khi tích các độ dốc của chúng bằng -1, tức là:

 A  E 
      1  AE   BF
 B  F 
2. Vật thể 3D
2.1 Điểm
Hệ thống tọa độ trong không gian cần 3 trục tọa độ x,y và z. Do đó, một điểm trong
không gian có 3 thành phần (x,y,z) trong đó x, y và z là các tọa độ trên các trục x,y và
z.
2.2 Mặt phẳng
─

Phương trình mặt phẳng trong không gian có dạng:

Ax+By+Cz+D = 0

trong đó A,B,C,D là các hệ số, D là số hạng không đổi. Tương tự như trường hợp
đường thẳng, khoảng cách từ gốc đến mặt phẳng cho bởi:
d=
─

|D|
2

A  B2  C 2

Véc tơ pháp của một mặt phẳng chính là gradient của nó. Gradient của

phương trình f(x,y,z) = 0 được định nghĩa như sau:

 f f f 
(f) =  , , 
 x y z 
Véc tơ pháp của mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0 là {A,B,C}
Đường thẳng trong không gian được coi là giao tuyến giữa 2 mặt phẳng. Để dễ dàng
phân tích, thường dùng véc tơ mặc dù kiểu biểu diễn truyền thống cũng vẫn rất có ích.
3. Véc tơ
Véc tơ có một ưu thế trong tính toán hình học, bởi vì nó có “ tọa độ tự do”. Ý nghĩa
của “ tọa độ tự do” được làm rõ dưới đây.
Một véc tơ tương tự như một điểm. Nếu đó là một véc tơ trong mặt phẳng (hoặc trong
không gian, tương ứng), nó có 2 (hoặc 3, tương ứng) thành phần. Như vậy, một véc tơ
trong không gian n kích thước, có n thành phần. Đối với các ứng dụng cơ học, thường
phân biệt 2 dạng véc tơ: véc tơ vị trí và véc tơ hướng. Một véc tơ vị trí cho biết vị trí

4


của một điểm, còn véc tơ hướng xác định hướng. Do đó, véc tơ không phải là điểm.
Có thể cọng và trừ véc tơ, nhưng chỉ có thể nhân hay chia véc tơ cho các hằng (tức là
véc tơ có thể lấy theo tỉ lệ). Ta thường coi điểm là yếu tố hình học cố định, trong khi
véc tơ cho phép di chuyển từ điểm nầy đến điểm khác.
Chiều dài của một véc tơ bằng căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần của
nó. Véc tơ đơn vị là véc tơ có chiều dài 1. Chuyển một véc tơ sang véc tơ đơn vị bằng
cách chia các thành phần cho chiều dài của véc tơ cho trước, khi đó véc tơ đơn vị có
chiều dài 1 nhưng cùng hướng với véc tơ cho trước.
Mối liên hệ giữa điểm và véc tơ có thể được tóm tắt:
─



Đối với mỗi cặp điểm P và Q, có duy nhất 1 véc tơ v thoả mãn v = P-Q,

nghĩa là có phương và chiều dài nhất định giữa 2 điểm bất kỳ trong không gian (H1.1)

H1.1



Mỗi điểm P và véc tơ v , có 1 điểm Q duy nhất thoả mãn v = P-Q. Hay

nói một cách khác, cho trước 1 điểm P, nếu ta di chuyển điểm nầy 1 độ dài v theo

phương v , ta tìm được điểm Q (H1.2)
─

H1.2

H1.3



Điểm Q thường được viết là Q = P+ v , còn véc tơ v được viết là Q-P

─

Cho trước 3 điểm P,Q và R, các điểm nầy thoả mãn
(P-Q) + (Q-R) = (P-R)

Có thể mô tả nhận xét trên theo H1.3.
5


Như vậy, một số tính chất sau được rút ra


+

Q - Q = 0 . Dễ thấy đây là trường hợp R = Q

+

R-Q = -(Q-R). Chú ý là cả vế trái và phải của phương trình nầy đều là

+



v + (Q-R) = (Q+ v )-R.

các véc tơ.

Minh họa như H1.4

H1.4
+



Q-̣(R+ v ) = (Q-R)- v .

Chú ý là cả vế trái và phải của phương trình nầy đều là các véc tơ (H1.5). Cũng cần
nhận xét ở đây các véc tơ là tự do, không có vị trí.
Hai véc tơ cuối cùng có cùng phương và độ dài, do vậy chúng bằng nhau.

H1.5
+

P = Q+(P-Q)

Chú ý là cả vế trái và phải của phương trình nầy đều là các điểm
+





 

(Q+ v ) -(R+ w ) = (Q-R) + ( v - w )
6


H1.6
Chú ý là cả vế trái và phải của phương trình nầy đều là các véc tơ (H1.6).
3.1 Tích vô hướng của 2 véc tơ

 

với
Tích vô hướng của 2 véc tơ a và b là một số thực cho bởi: a  b  |a|.|b| cosθ


θ là góc giữa a và b


 
 

─ Nếu a  b  0, với a và b là các véc tơ ≠ véc tơ 0 , θ = 900 hay a  b
 
 
─ Nếu a  b  |a|.|b| , θ = 00 hay a // b và cùng chiều

 


─ Nếu a  b  -|a|.|b|, θ = 1800 hay a và b là 2 véc tơ có cùng phương
nhưng trái chiều.
3.2 Đường thẳng
Một đường thẳng có thể được xác định dựa trên 1 điểm cơ sở A và một véc tơ chỉ
phương d. Do vậy, phương trình véc tơ của một đường thẳng là: A+td với t: tham số.
Thường lấy véc tơ chỉ phương là véc tơ đơn vị.
3.3 Mặt phẳng


Một mặt phẳng có thể được xác định dựa trên điểm đi qua B và có véc tơ pháp n . Giả
 

sử X là 1 điểm tùy ý thuộc mặt phẳng. ( X  B ) phải vuông góc với n , hay:
  
( X  B ). n = 0  X.n – B.n = 0. Đây chính là phương trình mặt
phẳng cần tìm.
─

Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Mặt phẳng có phương trình:

Xn = Bn. Đường thẳng có phương trình: A + td cắt mặt phẳng, do đó:
(A+td).n = Bn  t =

(B  A).n
.
d.n
7

Thay t vào phương trình đường thẳng, kết quả cho giao điểm
+

Nếu d.n = 0, không tìm được t, có nghĩa là không tồn tại giao điểm.

Trường hợp nầy xảy ra khi d  n, ứng với d // mặt phẳng đã cho.
3.4 Tích có hướng giữa 2 véctơ
 
Cho trước 2 véc tơ a , b với các thành phần {a1, a2, a3} và {b1, b2, b3}. Tích có hướng
 
 
giữa 2 véctơ a và b là véc tơ a  b cho bởi:


j
i
k
a 1 a 3 a 1 a 2 
 a 2 a 3
 
a  b  a1 a 2 a 3 = 
,,

 b 2 b 3 b1 b 3 b1 b 2 
b1 b 2 b 3

 
 
a  b là 1 véc tơ vuông góc với cả 2 véc tơ a và b , có chiều dựa theo quy tắc bàn tay
   

phải theo thứ tự a , b , a  b .
 
 
─
b  a có chiều ngược với a  b
 
 
─ Độ dài của véc tơ a  b là |a||b| sinθ trong đó θ là góc nhọn giữa a và b .
 
 
Nói cách khác, nếu a  b , độ dài của a  b = |a||b|
4. Các đường và mặt đơn giản
Ta đã biết qua các loại đường và mặt đơn giản nhất (đường thẳng và mặt phẳng). Gần
với đường thẳng và mặt phẳng là các đường cônic và các mặt bậc 2. Mặc dù các đường
cônic và các mặt bậc 2 đã tồn tại từ khoảng 2000 năm qua, chúng vẫn là các vật thể
thông dụng nhất trong nhiều hệ thống thiết kế có sự trợ giúp của máy tính và mô hình
hóa vật thể.
4.1 Đường cong
4.1.1

Vòng tròn

Đường cong đơn giản nhất là vòng tròn. Phương trình vòng tròn có tâm (a,b), bán
kính r có dạng :

x  a 2  y  b 2  r 2 . Nếu tâm nằm ở gốc, phương trình trên được

viết lại: x 2  y 2  r 2 . Các phương trình trên được gọi là dạng ẩn của vòng tròn. Dạng
tham số của vòng tròn là:

x  r cos t

y  r sin t

Đối với vòng tròn có tâm không trùng với gốc, dạng tham số là:

x  a  r cos t

y  b  r sin t
8


Dạng tham số trên dùng các hàm lượng giác. Ta còn đề cập đến một dạng tham số
của vòng tròn không dùng đến các hàm lượng giác.
4.1.2

Dạng chính tắc của các đường cônic

Các đường cônic là giao tuyến của một mặt phẳng và một mặt nón tròn xoay (tức là
một mặt nón có đáy là một vòng tròn với trục hình nón vuông góc với đáy và đi qua
tâm vòng tròn).
Có 3 dạng đường cônic: ellip, hyperbol và parabol. Các ellip và hyperbol là các
đường cônic có tâm đối xứng, còn parabol là đường cônic không có tâm đối xứng.
Phương trình chính tắc của một ellip là phương trình dạng ẩn sau:

x2 y2

1
a2 b2
Các trục của ellip là trục x và trục y, a, b là các chiều dài bán trục lớn và bé.

Dạng tham số của một ellip:

x  a cos t

y  b sin t

Phương trình chính tắc của một hyperbol là phương trình dạng ẩn sau:

x 2 y2
 1
a 2 b2
Định nghĩa về trục lớn và trục bé tương tự như ellip. Trục x cắt đường cong tại 2
điểm (a, 0) và (-a, 0) còn trục y không cắt đường cong
Dạng tham số của một hyperbol:

x  a sec t

y  b tan t

Tâm của một ellip và hyperbol ở dạng chính tắc là gốc tọa độ và đường cong đối
xứng qua tâm và các trục của nó
Phương trình chính tắc của một parabol là phương trình dạng ẩn sau:
x2 = 4py
Ở dạng chính tắc nầy, với bất kỳ điểm (x,y) thuộc parabol, giá trị của y phải dương và
parabol mở lên trên. Trục của parabol là trục y. Cần chú ý thêm rằng dạng chuẩn của
một parabol cũng đã là dạng tham số. Hoặc có thể viết lại dạng tham số như sau:

x  t

t2


 y  4p

4.1.3

Dạng tổng quát của các đường cônic
9


Các đường cônic là các đường bậc 2 bởi vì dạng tổng quát nhất là một đa thức bậc 2:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey +F = 0
Ở đa thức trên, các hệ số của xy, x và y là 2B, 2D và 2E, tương ứng. Đa thức nầy có 6
hệ số nhưng đem chia nó cho một hệ số khác 0 làm giảm còn 5. Như vậy, nói chung
với 5 điều kiện có thể hoàn toàn xác định 1 đường cônic
Có các trường hợp sau:
─

Nếu B2 < A*C, phương trình tổng quát mô tả 1 ellip

─

Nếu B2 = A*C, phương trình tổng quát mô tả 1 parabol

─

Nếu B2 > A*C, phương trình tổng quát mô tả 1 hyperbol

Biểu thức B2  A*C được gọi là định thức của đa thức bậc 2 tổng quát.
4.1.4

Dạng ma trận của các đường cônic

Từ dạng tổng quát có thể viết lại dạng ma trận cho các đường cônic. Trước tiên, mỗi
điểm x = (x,y) được coi là 1 véc tơ cột có thành phần thứ 3 là 1 và do vậy ma trận
chuyển là 1 véc tơ hàng xT = [x,y,1]. Tiếp theo, 6 hệ số của đa thức bậc 2 tổng quát
được dùng để tạo ra 1 ma trận đối xứng 3×3 như sau:

x 
x = y
 
1 

xT = [x y 1]

 A B D
Q = B C E 
D E F 

Khi đó dạng đa thức bậc 2 tổng quát trở thành:

xTQ x = 0

4.2 Bề mặt
4.2.1

Dạng chính tắc của các bề mặt bậc hai

Các bề mặt bậc 2 gồm các loại khác nhau: mặt ellipsoid, mặt hyperboloid 1 tầng, 2
tầng, mặt paraboloid elliptic, mặt paraboloid hyperboloid. Chúng có dạng chính tắc mô
tả qua các phương trình ẩn như sau

Mặt ellipsoid:

x2 y2 z2


1
a 2 b2 c2

Mặt hyperboloid 1 tầng:

x2 y2 z2

 1
a 2 b2 c2

Mặt hyperboloid 2 tầng:

x 2 y2 z2

  1
a 2 b2 c2

Mặt paraboloid elliptic:

x2 y2

 2cz
a 2 b2

10

Mặt paraboloid hyperboloid:

x2 y2

 2cz
a2 b2

5 bề mặt bậc 2 nầy thường được coi là các bề mặt hạng 4. Có 2 kiểu bề mặt hạng 3 là
nón và trụ. Các bề mặt trụ còn có 3 kiểu con: trụ elliptic, trụ hyperboloid và trụ
paraboloid.
Bề mặt nón:

x2 y2 z2

 0
a 2 b2 c2

Bề mặt trụ elliptic:

x2 y2

1
a2 b2

Bề mặt trụ hyperboloid:

x2 y2


1
a 2 b2

Bề mặt trụ paraboloid:

x 2  4py

4.2.2

Dạng tổng quát của các bề mặt bậc hai

Dạng tổng quát của các bề mặt bậc hai:
Ax2+By2+Cz2 +2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Iz+J=0
Có 10 hệ số, nhưng bằng cách chia phương trình cho 1 hệ số khác 0, làm giảm còn 9
hệ số. Ngoại trừ các hệ số của x2, y2, z2 và số hạng không đổi, các hệ số còn lại đều
được nhân 2.
Cần chú ý thêm rằng nếu cho trước dạng tổng quát, ta cũng có thể nhận biết được loại
mặt bậc hai
4.2.3

Dạng ma trận của các bề mặt bậc hai

Phương trình tổng quát của các mặt bậc 2 có thể được sắp xếp lại ở dạng ma trận, với:

x 
y
x =   ; xT = [x y z 1] ; Q =
z 
 
1 

A
D

E

G

D
B
F
H

E G

F H
C I 

I J

trong đó (x y z) là tọa độ của 1 điểm. Dạng ma trận xTQ x = 0
Chú ý rằng phương trình có dạng y hệt như một cônic. Do vậy, các đường cônic và các
mặt bậc hai có cùng dạng ma trận.
Nếu biết dạng ma trận của các mặt bậc hai, ta có thể khảo sát ý nghĩa của các mặt bậc
hai hạng 4 và hạng 3. Ma trận đối xứng Q chứa các hệ số của một đa thức bậc hai tổng
quát. Hạng của ma trận là số các trị riêng ≠ 0. Như vậy, các mặt hạng 4 là các mặt có

11

Q là hạng 4. Dễ thấy rằng các mặt ellipsoid, hyperboloid, và paraboloid là các mặt
hạng 4, còn mặt nón và trụ là các mặt hạng 3. Nếu một đa thức bậc 2 tổng quát phân
tích thành tích của hai đa thức bậc 1 phân biệt (ví dụ mặt phẳng), Q có hạng là 2.
4.2.4

Dạng chính tắc của các bề mặt xuyến

Một bề mặt xuyến có thể được tạo ra khi xoay 1 vòng tròn, vòng tròn nhỏ, quanh 1
đường thẳng là trục quay. Vòng tròn di động nầy có tâm nằm trên 1 vòng tròn khác,
vòng tròn lớn. Bán kính các vòng tròn lớn và nhỏ được ký hiệu là R và r, tương ứng.
Nếu trục quay là trục z và vòng tròn lớn nằm trên mặt phẳng xy, phương trình mặt
xuyến có dạng:

( x 2  y 2  z 2 )  (R 2  r 2 )) 2  4R 2 ( r 2  z 2 )

─

Nếu R lớn hơn r, ta nhận được các mặt xuyến thông thường.

─

Nếu R bằng r, tất cả các vòng tròn di chuyển luôn tiếp tuyến với trục

quay tại gốc tọa độ.
─

Nếu R nhỏ hơn r, tất cả các vòng tròn di chuyển luôn cắt trục quay tại 2

điểm phân biệt và mặt xuyến nhận được có hình bầu dục ở bên trong của hình xuyến.
5

Tọa độ đồng nhất

Một trong các mục đích của việc xử dụng các tọa độ đồng nhất là bắt được khái niệm
vô cùng. Trong hệ tọa độ Euclide, vô cùng là thứ gì đó không tồn tại. Các nhà toán học
đã khám phá nhiều khái niệm hình học và các tính toán có thể trở nên đơn giản hơn rất
nhiều nếu khái niệm vô cùng được dùng. Ta có thể nhận ra điều nầy khi thiết kế đường
cong và bề mặt. Không xử dụng hệ tọa độ đồng nhất, khó giải quyết các bài toán thiết
kế một số loại đường cong và bề mặt cần thiết trong thiết kế đồ họa và thiết kế có sự
trợ giúp của máy tính.
Xét 2 số thực a và w và tính giá trị của a/w. Giữ giá trị của a cố định và thay đổi giá
trị của w. Khi w càng nhỏ, a/w càng lớn. Nếu w tiến đến 0, a/w tiến đến vô cùng. Như
vậy, để bắt lấy khái niệm vô cùng, ta dùng 2 số a và w tượng trưng một giá trị v với
v=a/w. Nếu w ≠ 0, giá trị v đúng bằng a/w. Nói một cách khác, ta xác nhận một giá trị
vô cùng với (a,0). Do đó, khái niệm vô cùng có thể mô tả bởi một cặp số như (a, w)
hay một thương số a/w.
Ứng dụng cho mặt phẳng tọa độ xy : Nếu thay x và y với x/w và y/w, hàm f(x,y) = 0
trở thành f(x/w, y/w) = 0. Nếu hàm f(x,y) = 0 là một đa thức, đem nhân nó với wn loại
được tất cả các mẫu số, trong đó n là bậc của đa thức.
Lấy ví dụ, cho đường thẳng Ax + By + C = 0. Thay x và y bởi x/w và y/w, ta có:
12


A(x/w)+ B(y/w)+C = 0. Nhân với w, phương trình trở thành Ax + By + Cw =0.
Giả sử có 1 đa thức bậc 2, Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. Thay x và y với
x/w và y/w, sau đó nhân kết quả với w2, ta được:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dxw + 2Eyw + Fw2 = 0
Đa thức trên có bậc của các số hạng đều bằng nhau. Như vậy, trong trường hợp
đường thẳng, các số hạng x,y và w có bậc 1, còn ở đa thức bậc 2, tất cả các số hạng
(tức là x2, xy,y2, xw,yw và w2) đều có bậc 2.

Cho trước 1 đa thức bậc n, sau khi đưa vào w, tất cả các số hạng đều có bậc n. Do đó
các đa thức nầy được gọi là các đa thức đồng nhất và các tọa độ (x,y,w) là các tọa độ
đồng nhất.
Cho trước 1 đa thức bậc n trong 1 hệ tọa độ đồng nhất, chia đa thức cho wn và thay
x/w, y/w bởi x và y tương ứng, ta được đa thức dạng truyền thống. Ví dụ có đa thức
đồng nhất bậc 3: x3 + 3xy2  5y2w + 10w3 = 0 được biến đổi thành x3 + 3xy2  5y2 +
10 = 0
Các biến đổi trên cũng đúng cho 3 kích thước. Ta có thể thay một điểm (x, y, z) với
(x/w, y/w, z/w) và nhân kết quả với w có mũ nhất định, ta được 1 đa thức đồng nhất.
Biến đổi ngược lại 1 đa thức đồng nhất bậc n theo x, y, z và w sang dạng truyền thống
y hệt như trường hợp 2 kích thước.
Chú ý
Cho trước 1 điểm (x y w) theo tọa độ đồng nhất., dễ dàng tìm thấy điểm tương ứng
trong mặt phẳng xy (x/w y/w). Ví dụ điểm (3 4 5) theo tọa độ đồng nhất đổi thành
điểm (3/5 4/5) = (0.6 0.8) trong mặt phẳng xy. Tương tự, một điểm ( x y z w) theo tọa
độ đồng nhất đổi thành một điểm (x/w y/w z/w) trong không gian.
Ngược lại, điểm (x y) trong mặt phẳng xy có tọa độ đồng nhất là bao nhiêu? Rõ ràng
là (x y 1), tuy nhiên đây không phải là duy nhất. Các tọa độ đồng nhất của một điểm (x
y) trong mặt phẳng xy là (xw yw w) đối với w ≠ 0. . Do vậy:
Chuyển đổi từ tọa độ đồng nhất sang tọa độ truyền thống là duy nhất, nhưng chuyển
đổi từ tọa độ truyền thống sang tọa độ đồng nhất không phải là duy nhất.
Lấy ví dụ, 1 điểm (4 2 3) trong không gian chuyển đổi thành (4w 2w 3w w) với w ≠ 0
5.1 Tính kích cỡ của các tọa độ đồng nhất
Các tọa độ đồng nhất cần 3 hay 4 thành phần để mô tả một điểm trong mặt phẳng xy
hay một điểm trong không gian. Thành phần thêm vào có giá trị 1 chuyển đổi các tọa
13


độ truyền thống thành tọa độ đồng nhất tương ứng.
5.2 Điểm lý tưởng hay điểm ở vô cùng

Giả sử có điểm cố định (x y). Chuyển đổi sang tọa độ đồng nhất thành (x/w y/w 1/w).
Cho w  0, (x/w y/w) di chuyển xa dần theo phương của (x y). Khi w = 0, (x/w y/w)
di chuyển đến vô cùng. Ta nói tọa độ đồng nhất (x y 0) là điểm lý tưởng hay điểm ở vô
cùng theo phương (x y).
Lấy ví dụ, cho điểm (3 5) trong mặt phẳng xy. Xét (3/w 5/w). Nếu w ≠ 0, điểm nầy
nằm trên đường thẳng y = (5/3)x. Hoặc nếu xử dụng phương trình véc tơ, (3/w 5/w) là
một điểm thuộc đường thẳng 0 + (1/w)d, trong đó điểm cơ sở O là gốc tọa độ và d véc
tơ chỉ phương {3 5}. Do đó khi w  0, điểm di chuyển đến vô cùng trên đường thẳng.
Đây là lý do tại sao ta nói (x y 0) là điểm lý tưởng hay điểm ở vô cùng theo phương (x
y). Tương tự, trong không gian, điểm (x y z 0) là điểm lý tưởng hay điểm ở vô cùng
theo phương của (x y z)
Khái niệm về tọa độ đồng nhất và điểm vô cùng ở một phương nhất định rất quan
trọng khi phân tích các mô tả đường cong và mặt.
6

Các phép biến hình

Khi nói về các phép biến hình, cần thận trọng với vật thể được biến đổi. Có 2 lựa
chọn, hoặc là các vật thể hình học được biến đổi hoặc hệ thống tọa độ được biến đổi.
Cả hai đều có mối liên hệ rất gần, nhưng công thức biến đổi thì khác. Ở đây ta đề cập
đến vật thể được biến đổi, bắt đầu với các phép biến đổi Euclide truyền thống trong đó
chiều dài và góc đo không thay đổi, tiếp theo là phép biến đổi affine và cuối cùng là
các phép chiếu.
6.1 Các phép biến đổi Euclide
Các phép biến đổi Euclide là các phép biến đổi thông dụng nhất, ví dụ phép quay,
phép tịnh tiến.
6.1.1

Các phép tịnh tiến và quay trong mặt phẳng xy

Giả sử cho trước 1 điểm (x y) trong mặt phẳng và tịnh tiến nó đến vị trí mới (x’ y’)
bằng cách cọng 1 véc tơ {h k}. Ta có x’ = x +h ; y’ = y + k. Xử dụng dạng tương tự
như các tọa độ đồng nhất, khi đó 1 điểm trở thành 1 véc tơ cột có thành phần thứ 3 là 1
Điểm (x y) trở thành

x 
y
 
1 
14


Mối liên hệ giữa (x y) và (x’ y’) có thể mô tả ở dạng ma trận

 x ' 1 0 h 
 y '   0 1 k 

  
1  0 0 1 

 x  1 0  h   x '
 y   0 1  k   y ' 
  
  
1  0 0 1  1 

x 
y
 
1 

Do đó nếu một đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0, đường thẳng có thể
được viết lại thành phương trình mới Ax’ + By’ + (-Ah –Bk +C) = 0
Nếu cho 1 điểm (x y) xoay 1 góc  quanh gốc tọa độ đến điểm mới (x’ y’), mối liên
hệ giữa chúng có thể được biểu thị:

 x ' cos   sin  0  x 
 y'   sin  cos  0  y 
 
  
1   0
1  1 
0

 x   cos  sin  0
 y    sin  cos  0

  
1   0
0 1 

 x '
 y '
 
1 

Do đó nếu xoay một đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 quanh gốc tọa độ
1 góc , đường thẳng có thể được viết lại thành phương trình mới (Acos -Bsin)x’ +
(Asin + Bcos)y’ + C = 0
Các phép quay và phép tịnh tiến có thể được phối hợp thành 1 phương trình duy nhất:

 x ' cos 
 y'   sin 
  
1   0

 sin 
cos 
0

h
k 
1 

x 
y
 
1 

 x   cos  sin   h cos   k sin  
 y    sin  cos  h sin   k cos  

  

1   0
1
0

 x '
 y '

 
1 

Phương trình trên có nghĩa là xoay điểm (x y) một góc  quanh gốc tọa độ, sau đó
tịnh tiến kết quả nhận được theo phương {h k}. Tuy nhiên nếu tịnh tiến theo phương
{h k} trước và xoay góc  sau (quanh gốc tọa độ), ta được:

 x ' cos 
 y'   sin 
  
1   0

 sin 
cos 
0

h cos   k sin    x 
h sin   k cos    y 
 1 
1

 x   cos  sin   h   x '
 y    sin  cos   k   y'
 
  
1   0
1  1 
0

Như vậy, phép quay và tịnh tiến không có tính giao hoán.

Các mô tả trên xử dụng 2 ma trận, A và B, dùng biến đổi x sang x’ ( tức là x’ = Ax)
và x’ sang x (tức là x = Bx’). Có thể thấy A và B là các ma trận nghịch đảo của nhau,
có nghĩa là nếu biết A thì B = A-1 hoặc ngược lại nếu biết B thì A = B-1.
Gọi R là ma trận biến đổi x’ sang x : x = Rx’. Thay biểu thức x nầy vào phương trình
conic ta được:(Rx’)TQ(Rx’) = 0. Sắp xếp lại các số hạng: (x’)T (RTQR)x’ = 0.
Đây là phương trình mới của conic cho trước sau khi biến đổi. Chú ý là ma trận 33
mô tả conic ở vị trí mới có dạng: RTQR
15


6.1.2

Các phép tịnh tiến và quay trong không gian

Các phép tịnh tiến trong không gian cũng tương tự như trong mặt phẳng

 x ' 1
 y ' 0
 
 z '  0
  
1  0

0

0

1
0
0

0
1
0

p
q 
r

1

x 
y
 
z 
 
1 

x 
y
 =
z 
 
1 

1
0

0


0

0  p

1 0  q
0 1  r

0 0 1 
0

 x '
 y '
 
z ' 
 
1 

Phương trình trên tịnh tiến các điểm bằng cách cọng véc tơ {p q r}
Các phép quay trong không gian phức tạp hơn, bởi vì có thể xoay quanh trục x, trục y
hay trục z. Khi quay quanh trục z, chỉ có tọa độ của x và y thay đổi còn z giữ nguyên.
Thực tế, giống như một phép quay quanh gốc trong mặt phẳng xy. Do đó, phương
trình của phép quay quanh trục z:

 x ' cos 
 y'  sin 
 
 z'   0
  
1   0

 sin 
cos 
0
0

0
0
1
0

0
0
0

1

x 
y
 
z 
 
1 

 x   cos 
 y   sin 
 =
z   0
  
1   0

sin 
cos 
0
0

0 0

0 0
1 0

0 1

 x '
 y '
 
z ' 
 
1 

Dựa vào phương trình trên có thể thấy cho  = 900 làm xoay (1 0 0) đến ( 0 1 0 ) và
(0 1 0) đến (-1 0 0), trục x quay đến trục y và trục y quay đến hướng âm của trục x
ban đầu.
Tương tự, quay quanh trục x một góc  :

0
0
 x ' 1
 y ' 0
    cos   sin 
z '  0 sin  cos 

  
0
0
1  0

0
0
0

1

x 
y
 
z 
 
1 

 x  1
 y  0
 =
 z  0
  
1  0

0
cos 
 sin 
0

0

sin  0
cos  0

1
0
0

 x '
 y '
 
z ' 
 
1 

Dựa vào phương trình trên có thể thấy cho  = 900 làm xoay (0 1 0) đến ( 0 0 1 ) và
(0 0 1) đến (0 -1 0), trục y quay đến trục z và trục z quay đến hướng âm của trục y
ban đầu.
Tuy nhiên quay quanh trục y thì khác, do cách đo góc.
Ở hệ trục tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay phải, góc đo dương có chiều từ trục z sang
trục x thay vì theo truyền thống đo từ x sang z. Do đó, quay góc  quanh trục y ở hệ
trục tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay phải tương đương với quay góc  đo từ trục x
sang trục z.
Như vậy, phương trình của phép quay quanh trục y:

16


 x '  cos 

 y '  0
 
z '   sin 
  
1   0

0 sin 
1 0
0 cos 
0 0

0
0
0

1

 x  cos 
y  0
 =
 z   sin 
  
1   0

x 
y
 
z 
 
1 

0
1
0
0

sin 
0
cos 
0

0
0
0

1

 x '
 y '
 
z ' 
 
1 

Dựa vào phương trình trên, giả sử cho  = 900 làm xoay (1 0 0) đến (0 0 -1) và (0 0
1) đến (1 0 0), trục x quay đến hướng âm của trục z và trục z quay đến trục x ban đầu.
Một ma trận quay và một ma trận tịnh tiến có thể phối hợp thành một ma trận duy
nhất như sau, trong đó các số hạng r của ma trận 33 ở trên bên trái tạo phép quay,
còn p, q, r tạo phép tịnh tiến. Ma trận nầy mô tả phép quay theo sau là phép tịnh tiến

 r11
r
x’ =  21
 r31

0
7

r12
r22
r32
0

r13 p 

r23 q 
x
r33 r 

0 1

Các phép biến đổi affine

Các biến đổi Euclide bảo toàn chiều dài và góc. Hơn nữa, hình dạng của một vật thể
hình học không thay đổi, tức là đường thẳng chuyển đổi thành đường thẳng, mặt phẳng
chuyển đổi thành mặt phẳng, vòng tròn thành vòng tròn, và ellipsoid thành ellipsoid.
Chỉ có vị trí và hướng của vật thể thay đổi.
Các biến đổi affine là tổng quát hóa các biến đổi Euclide. Với các biến đổi affine,
đường thẳng thành đường thẳng, nhưng vòng tròn thành ellip. Chiều dài và góc không
bảo toàn. Ta khảo sát các biến đổi affine tỉ lệ, cắt và biến đổi affine tổng quát.

7.1 Tỉ lệ
Các phép biến đổi tỉ lệ làm phóng to hay thu nhỏ một vật thể, như vậy làm thay đổi
kích thước và góc. Do đó chúng không phải là phép biến đổi Euclide. Ý nghĩa của tỉ lệ
là tạo ra một tỉ lệ mới gấp p lần lớn hơn theo một phương tọa độ, hay nói một cách
khác, “phóng to” p lần. Điều nầy đồng nghĩa với x’ = px hay x = x’/p
Lấy tỉ lệ có thể áp dụng cho mọi trục, mỗi trục theo một hệ số tỉ lệ khác nhau. Ví dụ,
nếu trục x, y và z được lấy tỉ lệ với các hệ số tương ứng p,q và r, ma trận biến đổi là:

 x ' p
 y '  0
 
z '  0
  
1  0

0 0 0

q 0 0
0 r 0

0 0 1

x 
y
 
z 
 
1 

 x  1 / p

y  0
 =
z   0
  
1   0

0

1 / q 0 0
0 1 / r 0

0
0 1
0

0

 x '
 y '
 
z ' 
 
1 

17


7.2 Phép cắt
Tác dụng của phép cắt giống như “đẩy” một vật thể hình học theo phương song song
với một mặt phẳng tọa độ (3D) hay một trục tọa độ (2D)

Độ xa theo phương được đẩy do hệ số cắt quyết định. Trên mặt phẳng xy, có thể đẩy
theo phương x, âm hay dương, giữ phương y cố định. Hay đẩy theo phương y, giữ
phương x cố định. Sau đây là phép cắt theo phương x với hệ số cắt a:

 x ' 1 a 0  x 
 y '   0 1 0   y 
 
  
1  0 0 1  1 

 x  1  a 0  x '
 y   0 1 0   y ' 
 
  
1  0 0 1  1 

Phép cắt theo phương y với hệ số cắt b:

 x ' 1 a 0  x 
 y '   b 1 0   y 
 
  
1  0 0 1  1 

 x   1 0 0  x '
 y     b 1 0   y '
 
  
1   0 0 1  1 

Trong không gian, có thể theo 2 phương trục tọa độ, phương thứ 3 cố định. Ví dụ
phép cắt theo 2 trục x, y với các hệ số a và b, tương ứng, giữ nguyên tọa độ z:

 x ' 1
 y ' 0
 
 z '  0
  
1  0

0 a 0

1 b 0
0 1 0

0 0 1

x 
y
 
z 
 
1 

 x  1
 y  0
 =
 z  0
  
1  0

0 a
1 b
0 1
0 0

0
0
0

1

 x '
 y '
 
z ' 
 
1 

Thử khai triển, ta có: x’ = x + az; y’ = y + bz; z’ = z. Nghĩa là một điểm (x y z) trong
không gian thành (x + az, y + bz, z). Tọa độ z không thay đổi, chỉ có x, y thay đổi.
Phép cắt theo phương xz:

 x ' 1
 y ' 0
 
 z '  0
  
1  0

a 0
1 0
c 1
0 0

0
0
0

1

x 
y
 
z 
 
1 

 x  1  a
 y  0 1
 =
 z  0 c
  
1  0 0

x 
y
 
z 
 

1 

x   1
 y   b
 =
z    c
  
1   0

0
0
0

1

 x '
 y '
 
z ' 
 
1 

0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1

 x '

 y '
 
z ' 
 
1 

0
0
1
0

Phép cắt theo phương yz:

 x ' 1
 y '  b
 
z '   c
  
1  0

0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1

7.3 Các phép biến đổi affine tổng quát
Ma trận biến đổi affine tổng quát có dạng sau
18

 x '  a 11 a 12
 y '  a
    21 a 22
 z'  a 31 a 32
  
1   0 0

a 13 a14 

a 23 a 24 
a 33 a 34 

0 1 

x 
y
 
z 
 
1 

 x   a 11
 y  a
  =  21
 z  a 31
  
1   0

a 12 a 13 a 14 

a 22 a 23 a 24 
a 32 a 33 a 34 

0 0 1 

1

 x '
 y '
 
z ' 
 
1 

So sánh với tất cả các ma trận đã đề cập ở trên, kể cả phép quay và phép tịnh tiến,
chúng đều có dạng nầy, do vậy chúng là các biến đổi affine. Các phép biến đổi affine
không làm thay đổi bậc của đa thức, đường thẳng/mặt phẳng song song biến đổi thành
đường thẳng/mặt phẳng song song, đường thẳng/mặt phẳng cắt nhau biến đổi thành
đổi thành đường thẳng/mặt phẳng cắt nhau. Tuy nhiên các phép biến đổi affine không
bảo toàn chiều dài và góc, do đó làm thay đổi hình dạng của vật thể hình học.
8

Các phép chiếu

Các phép chiếu là các phép biến đổi “tuyến tính” thông dụng nhất và cần đến việc xử
dụng các tọa độ đồng nhất. Cho trước 1 điểm trong không gian có tọa độ đồng nhất (x
y z w), hình chiếu của nó theo 1 phép chiếu là (x’ y’ z’ w’). Phép chiếu có dạng sau

 x '   p11
 y'   p
    21
z '  p 31
  
 w ' p 41

p12 p13 p14 
p 22 p 23 p 24 
p 32 p 33 p34 

p 42 p 43 p 44 

x 
y
 
z 
 
1 

 x   p11
 y  p
    21
 z   p 31
  
 w  p 41

p12 p13 p14 
p 22 p 23 p 24 
p 32 p 33 p34 


p 42 p 43 p 44 

1

x ' 
 y' 
 
 z' 
 
 w '

Ở các phương trình trên, các ma trận 44 phải không suy biến (khả nghịch). Do vậy,
các phép chiếu tổng quát hơn các phép biến đổi affine bởi vì hàng thứ tư không phải
chứa 0 0 0 1
Phép chiếu có thể mang các điểm hữu hạn ra xa vô cùng và các điểm ở vô cùng về
dãy hữu hạn. Xét phép chiếu sau

 x '   1  1 0  x 
 y'     1 2 0  y 
 
  
 w '  1 0 1   w 

 x  2 1 0  x ' 
 y   1 1 0   y ' 
 
  
 w  2 1 1   w '

Rõ ràng là biến đổi nầy chuyển điểm (x y w) = (1 0 1) thành (x’ y’ w’) = (1 -1 0).
Đó là phép chiếu biến đổi điểm (1 0) trên mặt phẳng xy thành điểm ở vô cùng theo
phương (1 -1). Theo phương trình ma trận phía bên phải x = Px’, ta có:
x = 2x’ + y’
y = x’ + y’
w = 2x’ + y’ + w’
19


Giả sử có vòng tròn x2 + y2 =1. Thay các phương trình trên vào phương trình vòng
tròn x2 + y2 = w2 ta được: x2 + 2xy + y2 - 4xw - 2yw – w2 = 0. Chia phương trình trên
cho w2 để đưa nó trở lại dạng truyền thống, ta có : x2 + 2xy + y2 - 4x - 2y – 1 = 0. Đây
là một phương trình parabol. Như vậy, một vòng tròn không có điểm vô cùng được
chuyển đổi thành một parabol có điểm ở vô cùng .
9

Phép nhân ma trận và các biến đổi

Trong nhiều trường hợp, ta cần nhiều phép biến đổi để mang 1 một vật thể đến vị trí
mong muốn. Ví dụ cần 1 phép biến đổi ở dạng ma trận q = Ap để đưa p đến q, sau đó
là một phép biến đổi thứ hai r = Bq mang q đến r, tiếp theo là một phép biến đổi khác
s = Cr đưa r tới s. Kết quả cuối của p  q  r  s có thể được tóm tắt bởi một ma
trận duy nhất là tích tất cả các ma trận có liên quan. Chú ý là ma trận biến đổi đầu
(cuối) nằm xa nhất về bên phải (trái) trong dãy ma trận.
s = Cr = C(Bq) = CBq = CB(Ap) = CBAp
Do đó, để tính kết quả cuối, ta cần tính CBA và coi nó như một ma trận duy nhất để
đưa p đến s.
Khảo sát 1 ví dụ. Giả sử muốn thực hiện các biến đổi sau cho 1 vật thể:
1.

Lấy tỉ lệ theo phương x dùng hệ số tỉ lệ 5.

2.

Sau đó xoay quanh trục z một góc 300.

3.

Kế đến, phép cắt theo phương x và y với hệ số 2 và 3, tương ứng.

4.

Sau đó là phép di chuyển điểm theo phương {2 1 2}

Gọi A, B, C và D là các ma trận biến đổi tỉ lệ, quay, cắt và tịnh tiến, tương ứng. Theo
nhận xét trên, ta có ma trận kết quả cuối H = DCBA.

5
0
A= 
0

0

0 0 0

1 0 0
B=
0 1 0


0 0 1








3 / 2 1/ 2 0
1/ 2
3/2 0
0
1
0
0
0
0

0
1 0

0
0
1
C =
0 0
0



1
0 0

5 3 / 2 1 / 2

5/ 2
3/2
H = DCBA = 
 0
0

0
 0

2
3
1
0

2 0
1 0

0
3 0
1
D =
0 0
1 0



0 1
0 0

0 2

0 1
1 2

0 1

2
1 
2

1

Do đó, một điểm x của vật thể ban đầu đến điểm x’ tương ứng sau 4 phép biến đổi
trên được tính bởi: x’ = Hx = DCBAx.
20


Chương 2: Các phương pháp mô tả đường và mặt
Ở chương nầy ta đề cập đến khái niệm chung của các đoạn đường cong dạng tham số.
2.1 Đường cong tự do
2.1.1

Đường cong tham số: Một đường cong tham số trong không gian được

biểu diễn dưới dạng: V: [0, 1] > {x(u), y(u), z(u)} trong đó x(u), y(u), z(u) là 3 hàm
có giá trị thực. V(u) ánh xạ một giá trị thực u trong khoảng đóng [0, 1] đến 1 điểm.

Như vậy, với mỗi u  [0, 1], có 1 điểm {x(u), y(u), z(u)} trong không gian. Các hàm
x(u), y(u), z(u) được dùng là các đa thức.
Ví dụ: Phương trình véc tơ của đường thẳng: A+td trong đó A: điểm cơ sở, d: véc tơ
chỉ phương. Khi đó nếu có V(u) được định nghĩa như sau
x(u) = ax + dxu
y(u) = ay + dyu
z(u) = az + dzu
với A (ax, ay, az) , d {dx,dy, dz}, thì V(u) là đường cong tham số ánh xạ với mỗi u  [0,
1] lên đoạn đường thẳng giữa A và A+d
2.1.2

Các tính chất hình học của đường cong:
1.

Véc tơ tiếp tuyến: Gọi V(u) = {x(u)

y(u)

z(u)}, u  [0, 1] là 1

đường cong tham số biến thiên liên tục trong không gian R3


─

Véc tơ tiếp tuyến tại u0, T(u 0 ) được cho bởi:

dV ( u )
 dx dy dz 


T (u 0 )  V ' (u 0 ) 

du u  u 0  du du du  u  u 0

+
─

Véc tơ tiếp tuyến đơn vị: V’(u)/|V’(u) |
Phương trình đường tiếp tuyến (chứa véc tơ tiếp tuyến) :
V(u) + tV'(u) trong đó, t: tham số.

+

Hoặc V(u) + t (V'(u)/|V’̣(u)|) nếu dùng véc tơ tiếp tuyến đơn vị

Ví dụ: Phương trình tham số của vòng tròn V(u){x(u) = rcos2u+p,y(u)=rsin2u+q}
trong đó u [0, 1].
Ta có:
Véc tơ tiếp tuyến : V’(u) {x’(u) = -2rsin2u, y’(u)=2rcos2u}
Phương trình đường tiếp tuyến :
V(u) + t V’(u) = ( rcos2u+p, rsin2u+q) + t( -2rsin2u, 2rcos2u)

21


H1.7 Thay đổi về phương của T0
─

V(u) có thể coi là quỹ đạo của một điểm theo thời gian. Khi đó


T ( u 0 ) là véc tơ vận tốc tức thời tại thời điểm u0

H1.8
─



Độ lớn của véc tơ tiếp tuyến T(u 0 ) được gọi là độ chảy của đường


cong, có giá trị là | T(u 0 ) |:

H1.9: Thay đổi về độ lớn của T0
2.

Véc tơ pháp tuyến và độ cong:

Cho trước 1 điểm cố định V(u) và 2 điểm di chuyển P và Q trên đường cong tham số.
3 điểm nầy xác định một mặt phẳng. Khi P và Q di chuyển về phía điểm cố định V(u),
mặt phẳng nầy dần tới 1 vị trí giới hạn. Đây là mặt phẳng lắc tại V(u). Rõ ràng mặt
phẳng lắc nầy chứa V(u), ngoài ra, mặt phẳng lắc cũng phải chứa cả V'(u) và V''(u),
nghĩa là 1 điểm thuộc mặt phẳng lắc có phương trình: V(u) + pV'(u) +qV''(u), trong đó
22


p và q là tham số.
─

Véc tơ pháp tuyến đôi b(u) là véc tơ đơn vị của tích có hướng 2 véc

b(u ) 

tơ V'(u) và V''(u):

V ' ( u )  V' ' ( u )
| V ' ( u )  V' ' ( u ) |

Véc tơ pháp tuyến đôi b(u) vuông góc với cả 2 véc tơ V'(u) và V''(u) nên vuông góc
với mặt phẳng lắc. Đường V(u) + tb(u) là đường pháp tuyến đôi tại V(u)
─

Véc tơ pháp tuyến là véc tơ vuông góc với cả 2 véc tơ tiếp tuyến và

véc tơ pháp tuyến đôi, có phương được xác định theo quy tắc bàn tay phải. Véc tơ
pháp tuyến đơn vị cho bởi:

n(u) 

b (u )  V ' ( u )
| b (u )  V ' ( u ) |

Đường V(u) + tn(u) là đường pháp tuyến tại V(u)
─

Các véc tơ pháp tuyến đôi b(u), véc tơ tiếp tuyến V'(u), và véc tơ

pháp tuyến n(u) tạo thành một hệ trục toạ độ với gốc V(u)(H1.10). Chú ý rằng các véc
tơ tiếp tuyến, pháp tuyến và V”(u) cùng nằm trên mặt phẳng.

H1.10: Hệ trục tọa độ tại V(u)

Hệ trục tọa độ với gốc V(u) không chỉ là 1 khái niệm toán học mà còn cung cấp thông
tin quan trọng đặc trưng cho một vật thể di chuyển. Khi vật thể di chuyển trên đường
cong, đồng nghĩa với vật thể di chuyển theo phương véc tơ tiếp tuyến, vec tơ “lên”
theo phương của véc tơ pháp tuyến đôi và tốc độ lật ứng với độ cong, phương lật theo
phương véc tơ pháp.
─

Độ cong:

Véc tơ tiếp tuyến biểu thị mức độ thay đổi của quãng đường và cho biết tốc độ di
chuyển của 1 điểm. Đạo hàm của véc tơ tiếp tuyến (tức là đạo hàm bậc 2 của quỹ đạo)
đo mức độ thay đổi của tốc độ, hay gia tốc.
Lấy một điểm cố định cho trước X và 2 điểm di chuyển P, Q trên đường cong tham

23


số. Chúng xác định 1 vòng tròn duy nhất. Khi cả hai P và Q di chuyển về phía điểm X,
vòng tròn dần đến một vị trí giới hạn (H1.11). Vòng tròn giới hạn nầy được gọi là
vòng tròn mật tiếp tại X, có tâm là O, bán kính r. Tỷ số 1/r là độ cong tại X. Như vậy,
vòng tròn mật tiếp tiếp xúc với đường cong và có cùng tiếp tuyến với đường cong tại
điểm tiếp xúc. Vòng tròn mật tiếp càng lớn thì độ cong càng nhỏ.

H1.11
Từ định nghĩa của mặt phẳng lắc, vòng tròn mật tiếp phải nằm trên mặt phẳng nầy.
Do vòng tròn mật tiếp tiếp xúc với đường cong, tức là với đường tiếp tuyến, tâm của
vòng mật tiếp nằm trên đường pháp tuyến.
Độ cong tại u, k(u) có thể được tính theo công thức: k(u) =
─

| V' ( u )  V ' ' ( u ) |
| V' ( u ) |3

Cũng phải kể đến một đặc trưng nữa là độ xoắn của đường cong.

Tuy nhiên một đường cong không gian không bị xoắn và do vậy độ xoắn bằng 0, nên
ta không đề cập ở đây.
3.

Tính liên tục của đường cong

Ta đã biết, các cạnh và các mặt của mô hình vật thể thường là đoạn cong, bản thân
mỗi mặt là một mảng bề mặt. Gọi V1(u) và V2(u), u  [0, 1] là 2 đường cong tham số.
Có các trường hợp sau đây của các đường cong tại V1(1) và V2(0):
─

Chỗ nối không liên tục, V1(1)  V2(0)

─

C0: Vị trí liên tục, V1(1) = V2(0)

─

C 0
C : Tiếp tuyến liên tục,  '
V1 (1)  V2' (0)

─

Ck, k 0: liên tục đến đạo hàm bậc k, V1j (1)  V2j (0), 0 ≤ j ≤ k.

1

H1.12: Các trường hợp của nối 2 đường cong
24


Tính liên tục về mặt hình học trong lĩnh vực mô hình hóa cũng được mô tả như trên:
─

G0, tương tự như C0.

─

G1: cùng hướng tiếp tuyến: V1' (1)  V2' (0)

─

Gk: tất cả các đạo hàm cho đến bậc k có cùng tỉ lệ.

Trường hợp đặc biệt k=2: G. Neilson đã tìm ra một công thức đơn giản để kiểm tra
tính liên tục cho G2: Hai đoạn cong C1 có tính liên tục về mặt hình học đến G2 tại điểm
nối nếu và chỉ nếu véc tơ V1'' (u )  V2'' ( v) song song với véc tơ tiếp tuyến tại điểm nối.
Chú ý là V1''(u) và V2''(v) được đánh giá tại điểm nối.
2.1.3

Đường cong hữu tỷ

Các mô tả tham số xử dụng đa thức tuy đơn giản nhưng không đủ mạnh, bởi vì có

nhiều đường cong (ví dụ các đường cônic) không thể nhận được theo cách nầy. Để
khắc phục, dùng các toạ độ đồng nhất. Lấy ví dụ, một đường cong trong không gian
được mô tả qua 4 hàm thay vì 3 như trước:
Đường cong không gian:
V(u) = {x(u), y(u), z(u), w(u)}
Đường cong trong mặt phẳng:
V(u) = {x(u), y(u),w(u)}
trong đó u là một tham số trong khoảng đóng nào đó.
Chuyển đổi đường cong nầy sang dạng truyền thống bằng cách viết:
Đường cong không gian:
V(u) = {x(u)/w(u), y(u)/w(u), z(u)/w(u)}
Đường cong trong mặt phẳng:
V(u) = {x(u)/w(u), y(u)/w(u)}
Rõ ràng là nếu w(u) =1 (một hàm không đổi), dạng đồng nhất trở thành dạng truyền
thống. Một đường cong tham số ở dạng đa thức đồng nhất còn được gọi là đường
cong hữu tỷ.
2.1.4

Nối các điểm: Nối các điểm thực hiện theo đồ hình tuần tự, do vậy cần

có các điểm nội suy dựa trên các phương trình tham số thay vì dùng hàm dạng chính
tắc.
 x  f x (u )
Với các hàm dạng tham số 
, khi đó chỉ cần thay đổi u, có thể dịch chuyển
 y  f y (u )

một đoạn nhất định dọc theo đường thẳng hoặc đường cong trong khi nếu xử dụng
25