Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC Y DƯỢC

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ
PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY
CỦA MỘT SỐ NHÓM LIE REDUCTIVE
THỰC THẤP CHIỀU

Mã số : ĐH2015 – TN05-03

Chủ nhiệm đề tài: TS Đỗ Thị Phương Quỳnh

Thái Nguyên, 2017


i
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC Y DƯỢC

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ
PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY
CỦA MỘT SỐ NHÓM LIE REDUCTIVE
THỰC THẤP CHIỀU

Mã số : ĐH2015 – TN05-03

Chủ nhiệm đề tài: TS Đỗ Thị Phương Quỳnh

Tổ chức chủ trì
(ký, họ và tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài
(ký, họ và tên)


ii

Mục lục

Trang bìa phụ

i

Mục lục

ii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

v

Thông tin kết quả nghiên cứu

vii

Mở đầu

1

1 Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg

4

1.1

Công thức tổng Poisson cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-Laplace . . . . .

7

1.3

Công thức vết Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Công thức vết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 SL(2, R)
2.1

11

Xây dựng nhóm SL(2, R) và đại số Lie của nó . . . . . . . . . . . 12
2.1.1

Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2

Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3

Nhóm con compact cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


iii

2.2

3

2.1.4

Nhóm con Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.5

Phân tích Iwasawa và phân tích Cartan . . . . . . . . . . . 15

Biểu diễn của SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1

Tương ứng Langlands hình học . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2

Lượng tử hóa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Đặc trưng nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4

Công thức trên nhóm con nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1

Công thức vết tổng quát

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.2

Tích phân quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.3

Công thức trên nhóm nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.4

Vế hình học của công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.5

Vế phổ của công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.6

Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

SU(2, 1)
3.1

3.2

3.3

34

Xây dựng nhóm SU(2, 1) và đại số Lie của nó . . . . . . . . . . . 34
3.1.1

Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2

Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.3

Nhóm con compact cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.4

Nhóm con Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Biểu diễn của SU(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1

Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2

Trường hợp chỉnh hình hoặc không chỉnh hình

. . . . . . 40

Công thức vết trên nhóm con nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1

Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2

Tích phân quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


iv
3.3.3

Công thức trên nhóm nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Kết luận và kiến nghị

50

Danh mục các công trình công bố của tác giả

51

Tài liệu tham khảo

52


v
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
C

Tập số phức

N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

Z

Tập số nguyên

R∗+

Tập số thực dương

C∗

là tập số phức khác không
Tích nửa trực tiếp phải
Tích nửa trực tiếp trái

⊕

Tổng trực tiếp

∼
=

Đẳng cấu

K\G/K

G chia thương trái và phải cho K

diag(λ1 , λ2 , ..., λn )

Ma trận đường chéo

L2

Không gian các hàm bình phương khả tích

o

Phần rời rạc của không gian các hàm

L2

bình phương khả tích
L2cont

Phần liên tục của không gian các hàm
bình phương khả tích

tr A

Vết của ma trận A

det A

Định thức của ma trận A


vi
Dk
π1 (

Biểu diễn chuỗi rời rạc
)

Nhóm cơ bản của không gian tôpô

Θ⊥

Phần bù trực giao của Θ trong L2 (G)

H(SL(2, R))

Đại số Hecke trên SL(2, R) gồm các hàm lớp C0∞
và K- bất biến 2 phía

||f | |

Chuẩn của hàm f

ˆ
G

Nhóm đối ngẫu của G, gồm các lớp tương đương
của các biểu diễn unita bất khả quy của G

S1

Đường tròn đơn vị

C0∞ (R)

Lớp hàm trơn có giá compact

⊕
R

Tích phân trực tiếp của các biểu diễn

IndG
Bχ

Biểu diễn cảm sinh từ B lên G

{Γ}

Tập các phần tử đại diện của các lớp liên hợp

V ol

Thể tích

O(f )

Tích phân quỹ đạo của hàm f

Gal(C/R)

Nhóm Galois của mở rộng C/R

G

Phủ phổ dụng của nhóm G

Sk (Γ)

Không gian các dạng modular trọng k
của nhóm con rời rạc Γ


vii
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Đơn vị: Trường Đại học Y Dược

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
Tên đề tài: Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy
của một số nhóm Lie Reductive thực thấp chiều
Mã số: ĐH2015 – TN05-03
Chủ nhiệm: TS. Đỗ Thị Phương Quỳnh
Cơ quan chủ trì: Đại học Y Dược Thái Nguyên
Thời gian thực hiện: 2015 - 2017

2. Mục tiêu:
Đề tài nghiên cứu giải tích điều hòa trên các nhóm Lie thực thấp chiều
SL(2, R); SU(2, 1). Chúng tôi phân loại các biểu diễn của các nhóm này. Thông
qua biểu diễn cảm sinh, lượng tử hóa trường, chúng tôi nghiên cứu công thức vết
của biểu diễn tự đẳng cấu trên các hàm thuộc đại số Hecke, và tính công thức
vết trên các nhóm con nội soi tương ứng. Dùng công thức vết Arthur-Selberg
chúng tôi tìm ra công thức tổng Poisson trên mỗi nhóm Lie đó.
3. Tính mới và sáng tạo
Xây dựng được công thức tổng Poisson trên nhóm Lie thực thấp chiều bằng
công cụ giải tích.
4. Kết quả nghiên cứu:
• Công thức tường minh về tích phân quỹ đạo trên các nhóm con nội soi của
nhóm Lie SL(2, R); SU(2, 1).


viii
• Công thức tính vết tường minh của các biểu diễn chuỗi rời rạc của các
nhóm Lie trên.
• Định lý về công thức tổng Poisson cho mỗi nhóm Lie kể trên.
5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học:
1. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, " Automorphic representations of
SL(2, R) and quantization of fields", American research Journal of Mathematics, Vol 1 - No 2, 2015, p.25- 37.
2. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, "Poisson summation and endoscopy
for SU(2,1)" , East - West Journal of Mathematics, Vol 17, No 2, 2015, p.101 116.
3. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, "Poisson summation and endoscopy
for Sp(4, R)" , SEAMS Bull. Math. Vol 40, p 837 -856, 2016.
5.2. Sản phẩm đào tạo:
Đào tạo 01 nghiên cứu sinh.
Tên đề tài: "Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy

của một số lớp nhóm Lie Reductive thực thấp chiều"
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích
mang lại của kết quả nghiên cứu:
Đề tài thực hiện cụ thể hóa một số lĩnh vực của Chương trình Langlands cho
các nhóm thấp chiều bằng các tính toán cụ thể. Kết quả thu được của đề tài
cho một nhập môn dễ hiểu về Chương trình Langlands. Vì vậy kết quả mà luận
án thu được có thể làm tài liệu chuyên khảo cho học viên cao học, nghiên cứu
sinh, các nhà nghiên cứu chuyên ngành Toán giải tích, Giải tích điều hòa, Lý
thuyết nhóm Lie


ix
Đề tài đưa ra những tính toán rất cụ thể và tường minh về công thức tổng
Poisson cho hai nhóm SL(2, R); SU(2, 1) là công cụ cần thiết cho giải tích điều
hòa.
Đào tạo, bồi dưỡng nhân lực: Đào tạo 1 tiến sỹ Toán học.
Nâng cao năng lực nghiên cứu của những người tham khảo, đặc biệt với chủ
nhiệm đề tài.
Bổ sung 01 tài liệu tham khảo phục vụ cho việc nghiên cứu, giảng dạy và
học tập của học viên nghiên cứu về giải tích điều hòa.

Ngày 14 tháng 7 năm 2017
Tổ chức chủ trì
(ký, họ và tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài
(ký, họ và tên)


x

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
Project title: Automorphic representation and decomposion spectral of regular representation of lowly dimensional real reductive Lie groups.
Code number: ĐH2015 – TN05-03
Coordinator: Do Thi Phuong Quynh, DA
Implementing institution: Thai Nguyen university of Medicine and Pharmacy
Duration: from 2015 to 2017
2. Objective(s):
The thesis researches about lowly dimensional real SL(2,R); SU(2,1); and
their Lie algebras then we given representations of Lie group. Through induction
representation, quantization on field we research trace formula of automorphic
representations, and compute trace formula on endoscopy subgroup of those Lie
groups. Since Arthur-Selberg we find Poisson summation formula on each Lie
group above.
3. Creativeness and innovativeness
Formulated the Sum Poisson formula on the low real Lie group dimensional with
analytical tools.
4. Research results:
• 1. Explicit formula for orbital integrals in endoscopic subgroups of Lie
groups SL(2, R); SU(2, 1).
• Explicit trace formula of discrete representations for orbital integrals in
endoscopic subgroups of Lie groups over there.
• Theorem of Poisson summation for each Lie groups mentioned above.


xi
5. Products:
5.1. Scientific product: 1. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, " Automorphic representations of SL(2, R) and quantization of fields", American research
Journal of Mathematics, Vol 1 - No 2, 2015, p.25- 37.
2. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, "Poisson summation and endoscopy

for SU(2,1)" , East - West Journal of Mathematics, Vol 17, No 2, 2015, p.101 116.
3. Do Ngoc Diep, "Do Thi Phuong Quynh, Poisson summation and endoscopy
for Sp(4, R)" , SEAMS Bull. Math. Vol 40, p 837 -856, 2016.
5.2. Training product: Train 01 doctoral.
Title of dissertation: “Automorphic representations and spectral decomposion of
the regular representation of some real reductive Lie groups of low dimension.”
6.Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits
of research results:
The thesis show clearly Langlands program for low-dimensional groups, with
specific calculations. The results of the research for a straightforward introduction to the Langlands program.
Explicit formula for orbital integrals in endoscopic subgroups of Lie groups
SL(2, R); SU(2, 1).
Training and retraining of human resources: To train a doctoral in Mathematics.
Capacity of the participants, especially the leader.
Additional 01 reference material for the research, teaching and learning of
students, specialized students in Analysis.


1

Mở đầu
1. Tính cấp thiết của vấn đề cần nghiên cứu
Trong giải tích điều hòa cổ điển trên R, công thức Poisson cho các hàm suy
rộng là:
+∞

+∞

e−inx ,

δ(x − n) = 2π
n=−∞

n=−∞

trong đó δ là hàm Dirac. Công thức trên đóng vai trò rất quan trọng với một
hàm f ∈ C0∞ (R) được viết ở dạng
+∞

+∞

fˆ(m),

f (m) = 2π
m=−∞

m=−∞

trong đó
1
fˆ(m) =
2π

π

f (x)e−imx dx
−π

là biến đổi Fourier của f . Vế trái của công thức trên được xem là phân tích của
biểu diễn chính quy thành tổng các thành phần bất khả quy và vế phải được

xem là tổng các giá trị biến đổi Fourier. Chính công thức này có thể cho một
phân tích trên không gian các hàm bình phương khả tích như sau:
⊕
2

L (R/πZ) =

Cn ,
n∈Z

với Cn = C. Mặt khác, công thức này dễ dàng được phát triển trên ngôn ngữ
nhóm cho các nhóm sau: R, R∗+ , C∗ .
Bài toán được đặt ra là nghiên cứu để tìm ra công thức tổng Poisson tương


2
tự như công thức Poisson nói trên trong khuôn khổ giải tích điều hòa trừu tượng
trên các nhóm nửa đơn hoặc reductive. Công thức Poisson trừu tượng tổng quát
chưa tồn tại nên chúng tôi tiếp cận đến bài toán này trên lớp các nhóm Lie có
hạng 1 là nhóm SL(2, R) hoặc phủ phổ dụng SU(1, 1) cho nên chỉ cần nghiên
cứu trường hợp SL(2, R) là đủ. Nhóm hạng 2 là SU(2, 1), trong các trường hợp
này chúng tôi tính toán tích phân quỹ đạo cụ thể.

Trong đề tài này, tôi sẽ trình bày trong 3 chương với kết cấu như sau :
Chương 1: Là chương chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi dẫn dắt từ công
thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg.
Chương 2: Nhóm SL(2, R), trình bày các kết quả kể trên cho SL(2, R).
Chương 3: Nhóm hạng 2 SU(2, 1), trình bày các kết quả kể trên cho SU(2, 1).
2. Mục tiêu
Đề tài có mục tiêu thể hiện tường minh các biểu diễn tự đẳng cấu thông qua

lượng tử hóa và áp dụng chúng vào việc phân tích phổ toán tử Laplace và phần
rời rạc của biểu diễn chính quy của các nhóm reductive thực thấp chiều. Từ đó
dùng nội soi để viết công thức Poisson cho các nhóm SL(2, R) và SU(2, 1).
3. Đối tượng
Các đối tượng được nghiên cứu là các biểu diễn tự đẳng cấu và việc tìm ra
các thể hiện cụ thể trong không gian các hàm có tính chất thích hợp. Sau đó
chúng sẽ được dùng vào việc phân tích biểu diễn chính quy trên không gian
L2 (Γ/G), đặc biệt là phần phổ rời rạc o L2 (Γ/G).
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các nội dung chính như sau:
• Biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie thực thấp chiều cụ thể các nhóm hạng


3
1: SL(2, R), nhóm hạng 2: SU(2, 1).
• Nhóm con nội soi cho các nhóm reductive thấp chiều kể trên.
• Phân tích phổ rời rạc của biểu diễn chính quy, công thức vết của biểu diễn
và tổng Poisson.
5. Cách tiếp cận đề tài
Tiếp cận đề tài theo hướng sử dụng biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie
reductive sử dụng công thức vết của Arthur-Selberg, sau đó chỉ ra vế phổ và vế
hình học của công thức tổng Poisson cho 2 nhóm SL(2, R) và SU(2, 1).
6. Phương pháp nghiên cứu
Do đặc thù của việc nghiên cứu ví dụ cụ thể là phải vận dụng các lý thuyết
trừu tượng để tính toán ra kết quả cụ thể nên các phương pháp nghiên cứu chính
trong luận án bao gồm:
• Biểu diễn cảm sinh (xem [17]).
• Lượng tử hóa hình học (xem [16]).
• Phân tích phổ toán tử Laplace suy rộng trên diện Riemann.
7. Nội dung và kết quả nghiên cứu

4

Chương 1
Từ công thức Poisson cổ điển đến
công thức vết Arthur-Selberg
Chương này mang tính chất chuẩn bị, chúng tôi dẫn giải từ công thức Poisson
cổ điển đến hiện đại bằng cách dùng công thức vết Arthur-Selberg và tích phân
quỹ đạo do đó các định lý được phát biểu mà không chứng minh.

1.1

Công thức tổng Poisson cổ điển

Cho một hàm số f khả tích tuyệt đối trên [−π; π]; khi đó hệ số của biến đổi
Fourier được xác định như sau:
1
cn (f ) = fˆ(n) =
2π

2π

1
−inx

e
0

e−2πinx f (2πx)dx.

f (x)dx =
0

Một hàm thỏa mãn điều kiện Dini tại một điểm x ∈ [−π; π] nếu tồn tại một
lân cận U = U (x) sao cho
1) f (x± ) := lim f (x ± t) tồn tại;
t→+0

2) Tích phân

U

(f (x − t) − f (x− )) − (f (x + t) − f (x+ ))
dt
t


5
hội tụ tuyệt đối.
1 π
f (t)e−ikt dteikx , xét hàm khả tích tuyệt đối f trên
−π
2π
khoảng [−π; π] thỏa mãn điều kiện Dini tại một điểm x, khi đó ta có
+n
k=−n

Với Sn (f ) =

+n

Sn (f ) =
k=−n

1
2π
1
=
2π

1
2π

π

f (t)e

dte

ikx

−π

π

=

−ikt

f (t)

e

i(n+ 12 )(x−t)

−e

i 12 (x−t)

1
=
2π

+n

π

f (t)(
−π

eik(x−t) )dt

k=−n

−i(n+ 21 )(x−t)
1

e
− e−i 2 (x−t)

sin(n + 12 )(x − t)
dt
f (t)
sin( 12 (x − t))
−π
π
sin(n + 12 )t
1
=
f (x − t)
dt.
2π −π
sin( 12 t)
−π
π

Vì vậy ta có
f (x+ ) + f (x− )
2
1
(f (x − t) − f (x− )) − (f (x + t) − f (x+ ))
sin(n + )tdt → 0.
1
2
2 sin 2 t
Sn (f ) −

1
=
π

π
0

Tích phân này là hội tụ tuyệt đối và đều.
Định lý 1.1 Giả sử hàm f là khả tích tuyệt đối trên [−π; π] và thỏa mãn điều
kiện Dini. Khi đó chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối đến nửa tổng của hai giá trị
giới hạn
+∞

cn (f )einx =
−∞

f (x+ ) + f (x− )
.
2

Đặc biệt nếu hàm là liên tục thì ta có công thức nghịch đảo như khai triển
Fourier
+∞

cn (f )einx .

f (x) =
n=−∞


6
Xét ϕ là hàm thuộc lớp Schwartz S(R). Ảnh Fourier của nó cũng thuộc lớp hàm
Schwartz ϕˆ ∈ S(R). Khi đó tổng

+∞

ϕ(x + 2πk)

f (x) =
k=−∞

hội tụ và tổng là hàm liên tục.Ta có công thức hệ số Fourier của nó như sau:
π

1
ck (f ) =
2π

f (x)e−ikx dx
−π

+∞

=
k=−∞

1
=
2π

2π

1
2π

ϕ(x + 2πk)e−ikn dx
0

+∞

ϕ(x)e−ikx dx
−∞

= ϕ(k).
ˆ
Khi đó ta có công thức tổng Poisson trên R là:
+∞

+∞

+∞

cn (f )e

ϕ(x + 2πk) =

f (x) =

inx

n=−∞

n=−∞

n=−∞

inx
ϕ(n)e
ˆ
.

=

Định lý 1.2 (Tổng Poisson xem [1]) Với mọi hàm ϕ ∈ C0∞ (R) trơn có giá
compact ta có
+∞

+∞

ϕ(m).
ˆ

ϕ(n) =
n=−∞

m=−∞

Công thức này tương đương với dạng phân bố như sau:
+∞

+∞

e−inx ,

δ(x − n) =
n=−∞

n=−∞

trong đó δ là hàm Dirac và ϕ(m)
ˆ
là một biến đổi Fourier.
Công thức được hiểu rằng tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy là biểu
diễn chính quy của nhóm phủ R = S1 → S1 .
Định lý 1.3 (xem [31]) Ta có phân tích sau:
1
L (R/2πZ, dθ) =
2π

⊕

2

Cn ,
n∈Z


7
trong đó Cn là không gian một chiều với tác động của x ∈ R bằng phép nhân
lên e2πinx .
Định lý 1.4 (xem [31])
⊕
2

C1ξ dξ,

L (R) =
R

trong đó Cξ là không gian một chiều C1 với tác động của x ∈ R lên e2πiξx .

1.2

Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-Laplace

Nhóm nhân C∗ = R∗+ × S1 là vi phôi với mặt phẳng thực 2 chiều R2 \{0} bởi
ánh xạ
C → C∗ , z −→ ez .
Ta nhắc lại công thức tích phân Laplace Fourier cổ điển
+∞

1
fˆ(n, λ) =
2π

2π

|z|−iλ e−2πni arg(z) f (z)
0

0

d|z|
d arg(z).

|z|

Nó cũng chính là công thức tích phân Laplace Fourier
1
cn (f ) = fˆ(n, 0) =
2π

2π

e−2πni arg(z) f (z)d arg(z)
0

với
1
fˆ(λ) = fˆ(0, λ) =
2π

+∞

|z|−iλ f (z)
0

d|z|
|z|

trong đó công thức nghịch đảo là
+∞

f (z) =

cn (f )e
−∞

2πin arg(z)

1
+√
2π

+∞

|z|−iλ fˆ(λ)dλ.
−∞

Không gian Hilbert L2 (C∗ ) được phân tích thành một tổng của các chuỗi rời
rạc và tích phân liên tục.


8
Định lý 1.5 Ta có phân tích sau:
1 d|z|
L (C /2πZ × {1},
d arg(z)) =
2π |z|
2

⊕

∗

⊕

C1λ dλ,

Cn ⊕
n∈Z

R

trong đó Cn là không gian một chiều C1 với tác động của z ∈ C∗ như phép nhân
với e−2πin arg z , Cλ là không gian một chiều C1 với tác động của z ∈ C∗ như phép
nhân với |z|−iλ−1 .

1.3

Công thức vết Arthur-Selberg

Trong phần này chúng tôi trình bày về công thức vết Arthur-Selberg trên
một nhóm G tổng quát. Đây là mục quan trọng vì từ công thức vết này đã giúp
chúng tôi nghĩ đến cách tính được công thức vết của biểu diễn chính quy trên
các nhóm Lie reductive ở 2 chương sau.

1.3.1

Công thức vết

Lấy nhóm con hữu hạn sinh kiểu Langlands Γ của G (xem [6], [21]) với số
hữu hạn các nhọn. Lấy f ∈ C0∞ (G) và ϕ thuộc không gian biểu diễn cảm sinh
[16], trong đó tác động của biểu diễn cảm sinh IndG
B χ chuỗi rời rạc được xem

như một biểu diễn con của biểu diễn chính quy phải R bởi các phép tịnh tiến
phải trên biến. Toán tử R(f ) được xác định một cách tự nhiên như tích phân:
R(f )ϕ =

f (y)R(y)ϕ(x)dy =
G

=

f (y)ϕ(xy)dy
G

f (x−1 y)ϕ(y)dy (bất biến phải của độ đo Haar dy)
G 


=

f (x−1 γy) ϕ(y)dy.


Γ\G

γ∈Γ

Vì vậy, tác động này có thể được biểu diễn bởi một toán tử với hạch Kf (x, y)


9
dạng

[R(f )ϕ](x) =

Kf (x, y)ϕ(y)dy,
Γ\G

trong đó
f (x−1 γy).

Kf (x, y) =
γ∈Γ

Vì hàm f là hàm có giá compact nên tổng này là hội tụ, và theo đó nó là hữu
hạn. Cho x bất kỳ, cố định và Kf thuộc lớp L2 (Γ\G × Γ\G) thì vết của một
toán tử được xác định như sau:
Kf (x, x)dx.

tr R(f ) =
Γ\G

Theo giả thiết, nhóm con rời rạc Γ là hữu hạn sinh. Ký hiệu {Γ} là tập các phần
tử đại diện của các lớp liên hợp. Cho bất kỳ γ ∈ Γ ký hiệu nhóm con tâm của
γ ∈ Ω ⊂ G là Ωγ , trong trường hợp đặc biệt, Gγ ⊂ G. Theo định lý Fubini cho
tích phân kép, ta có thể đổi thứ tự của tích phân để có
tr R(f ) =

Kf (x, x)dx
Γ\G

f (x−1 γx)dx

=
Γ\G γ∈Γ

f (x−1 δ −1 γδx)dx

=
Γ\G γ∈{Γ} δ∈Γ \Γ
γ

f (x−1 γx)dx

=
γ∈{Γ}

Γγ \G

f (x−1 u−1 γux)dudx

=
γ∈{Γ}

Gγ \G

Γγ \Gγ

Vol(Γγ \Gγ )f (x−1 γx)dx.

=
γ∈{Γ}

Gγ \G

Vì vậy để tính được công thức vết ta sẽ tính theo thứ tự sau:


10
• Xác định lớp liên hợp của các γ trong Γ: ta nói γ là kiểu elliptic (các giá
trị riêng khác nhau cùng dấu), kiểu hyperbolic (không suy biến, với các giá
trị riêng khác dấu), kiểu parabolic (suy biến).
• Tính thể tích Vol(Γγ \Gγ ) của không gian thương của nhóm con dừng Gγ
theo nhóm con dừng rời rạc trong nó Γγ .
• Tính toán công thức tích phân quỹ đạo (xem [22]), theo định nghĩa là
f (x−1 γx)dx.
˙

O(f ) =
Gγ \G

Ý tưởng chính trong luận án là sẽ tính toán công thức tích phân quỹ đạo
trên nhóm con nội soi khi ấy tích phân trở thành các tích phân thông
thường.

1.3.2

Công thức vết ổn định

Nhóm Galois (xem [22]) Gal(C/R) = Z2 của trường phức C là tác động trên
biểu diễn chuỗi rời rạc bởi đặc trưng κ(σ) = ±1. Vì vậy tổng của các đặc trưng
có thể được viết lại như tổng trên lớp ổn định của các đặc trưng [22]
∞

ε(σ)Θεn (f ),

tr R(f ) =
n=1 σ∈Z2

trong đó ε(σ) =




1

nếu σ

là phần tử đơn vị



−1 nếu σ

là liên hợp phức.


11

Chương 2
SL(2, R)
Lý thuyết Lie cho phân loại các nhóm Lie và nhóm đại số liên thông theo đại
số Lie. Theo phân loại đó chỉ có một đại số Lie nửa đơn hạng 1(chính xác đến

đẳng cấu) là sl(2, R) và tương ứng với nó là nhóm Lie liên thông SL(2, R), phủ
phổ dụng tương ứng là SL(2, R) là mở rộng tâm của SL(2, R) bởi Z/2Z. Toàn
bộ lý thuyết biểu diễn (xem [25]) và công thức tổng Poisson cho phủ phổ dụng
của SL(2, R) hoàn toàn tương tự như cho SL(2, R). Vì vậy đối với nhóm hạng 1
ta chỉ cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) là đủ.
Trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các
biểu diễn tự đẳng cấu và lượng tử hóa cũng như công thức Poisson của SL(2, R).
Ta biết rằng biểu diễn chuỗi rời rạc có liên quan đến tổng của các không gian
riêng của toán tử Laplace và Hecke, tức là các biểu diễn tự đẳng cấu dưới dạng
biểu diễn cảm sinh với phân thớ cảm sinh trên diện Riemann.
Nhóm hạng 1 mà ta nghiên cứu ở đây là nhóm SL(2, R), trong lý thuyết biểu
diễn của nhóm này [20] ta đã biết: mọi biểu diễn unita (hoặc không unita) bất
khả quy tương đương unita (hoặc không unita) với một trong các chuỗi sau (xem
[7], [27]):
(1) Biểu diễn chuỗi liên tục cơ bản (πs , Ps );


12
(2) Biểu diễn chuỗi rời rạc (πk± , Dn ), n ∈ N, n = 0;
(3) Giới hạn của biểu diễn chuỗi rời rạc (π0± , D± );
(4) Biểu diễn chuỗi bổ sung (πs , Cs ), 0 < s < 1;
(5) Biểu diễn một chiều tầm thường 1;
(6) Biểu diễn hữu hạn chiều không unita Vk .
Có nhiều nghiên cứu về dạng tự đẳng cấu và các biểu diễn tự đẳng cấu, hầu
hết mối quan hệ giữa chúng là mối quan hệ cảm sinh. Trong chương này chúng
tôi sử dụng ý tưởng của lượng tử hóa hình học (xem [5]) để nói rõ hơn về biểu
diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie.

2.1
2.1.1

Xây dựng nhóm SL(2, R) và đại số Lie của nó
Nhóm Lie

Nhóm G = SL(2, R) là nhóm các ma trận thỏa mãn:








a b 
SL(2, R) = g = 
 a, b, c, d ∈ R, det g = 1 .




c d
2.1.2

Đại số Lie

Đại số Lie của G = SL(2, R) là g = sl(2, R) = H, X, Y R trong đó







1 0 
0 1 
0 0
H=
,X = 
,Y = 
,
0 −1
0 0
1 0
thỏa mãn hệ thức giao hoán tử Cartan:
[H, X] = 2X; [H, Y ] = −2Y ; [X, Y ] = H.
Đại số Lie của A là a = H

R,

đại số Lie của N là n = X

là
b = a ⊕ n = H, X

R.

R.

Đại số Lie của B

13
2.1.3

Nhóm con compact cực đại

Nhóm G = SL(2, R) có tâm hữu hạn đẳng cấu với Z/2Z, và có duy nhất
nhóm con compact cực đại K (với độ chính xác đến liên hợp) là








 cos θ sin θ 
K = k(θ) = ± 
 θ ∈ [0, 2π) ,




− sin θ cos θ
2.1.4

Nhóm con Borel

Nhóm SL(2, R) có nhóm con Borel







 a b


B= 
 a, b, d ∈ R, ad = 1 .



 0 d
Nhóm con Borel này được phân tích duy nhất thành tích nửa trực tiếp của căn
lũy đơn N và một xuyến chẻ ra cực đại T ∼
= R∗+ và một nhóm con compact
M = {±1}. Phân tích này chính là phân tích Cartan G = BK, B = M A

N.

Dựa vào phân tích Cartan đó thì một phần tử bất kỳ của G sẽ được phân tích
như sau:







1/2

a b  y

=
c d
0


1/2
1 x y
=

0 1
0



y −1/2 x ± cos θ ± sin θ 


−1/2
y
∓ sin θ ± cos θ


0  ± cos θ ± sin θ 

,
−1/2
y
∓ sin θ ± cos θ

trong đó
y =

c2

1
+ d2

cos θ = ±y 1/2 d, hay θ = arccos √
±y 1/2 sin θ ± y −1/2 x cos θ = b hay x = ±

(b + cy)
.
d

d
c2 + d2