Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (779.38 KB, 90 trang )

www.thuvienhoclieu.com

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.

Bài 1.

Cho dãy số ( an )

1

 a1 = a + a


3
2
 an +1 = 2an − 2an − 2
3an 2 − 4an − 1 . Chứng minh rằng với mọi số thực
xác định bởi : 

a ≠ 0 thì dãy ( an ) hội tụ. Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy ( an ) .
Hướng dẫn giải

Nếu

a > 0 thì

a+

1
≥2

(do bất đẳng thức AM-GM).
a

−a +

1
1
≥2
a + ≤ −2
(do bất đẳng thức AM-GM) nên
.
−a
a

Nếu

a < 0 thì

Nếu

*
a = 1 thì a1 = 2 . Ta chứng minh: an = 2, ∀ n ∈ ¥ .

Hiển nhiên a1 = 2 .

2.23 − 2.22 − 2
ak = 2 ⇒ ak +1 =
=2
Giả sử
3.22 − 4.2 − 1

.
Vậy

lim an = lim 2 = 2

.

a > 0

*
. Nếu  a ≠ 1 thì a1 > 2 . Ta chứng minh an > 2 ∀n ∈ ¥ .

Rõ ràng a1 > 2 . .
Giả sử ak > 2 . Ta chứng minh ak + 1 > 2 .

2ak 3 − 2ak 2 − 2
2
ak +1 > 2 ⇔
> 2 ⇔ 2 ak ( a k − 2 ) > 0
2
3ak − 4ak − 1
( đúng).
Ta chứng minh ( an ) là dãy giảm, thật vậy :.
2
− an 3 + 2an 2 + an − 2 − ( an − 1) ( an − 2 )
∀ n, an +1 − an =
=
<0

3an 2 − 4an − 1
3an 2 − 4an − 1
.

( do tử âm, mẫu dương vì.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1

www.thuvienhoclieu.com


2+ 7
 an >
3
3an 2 − 4an − 1 > 0 ⇔ 

2− 7
 an <
3 .


Mà

an > 2 >

( an )

2+ 7
⇒ 3 an 2 − 4 a n − 1 > 0
).
3

giảm và bị chặn dưới ⇒ ( an ) có giới hạn là L .

2an 3 − 2an 2 − 2
2 L3 − 2 L2 − 2
lim an +1 = lim
⇒
3an 2 − 4an − 1
3L2 − 4 L − 1

⇒ L = 2 ( an > 2 ⇒ L ≠ −1 )

.

Vậy lim an = 2 .
. Nếu

a > 0 thì a1 ≤ − 2 . Tương tự, ta có:.

2
− an 3 + 2an 2 + an − 2 − ( an − 1) ( an − 2 )
∀ n, an +1 − an =
=
>0
3an 2 − 4an − 1
3an 2 − 4an − 1

.

nên ( an ) tăng. Hơn nữa ( an ) bị chặn trên bởi − 1 , thật vậy.

2 a k 3 − 2 ak 2 − 2
2
ak + 1 < − 1 ⇔
< − 1 ⇔ ( ak + 1) (2a − 3) < 0
2
3ak − 4ak − 1
.
Vậy ( an ) tăng và bị chặn trên ⇒ ( an ) có giới hạn là L .

an < −1, ∀n , an +1 − an > 0, ∀n
L=

2 L3 − 2 L2 − 2
⇒ L = −1 ( an < −1⇒ L ≠ 2 )
3L2 − 4 L − 1
.

Vậy lim an = − 1 .
Tóm lại: + Nếu

a = 1 thì lim an = 2 .

a > 0

+ Nếu  a ≠ 1 thì lim an = 2 .
+ Nếu

a < 0 thì lim an = − 1 .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2

www.thuvienhoclieu.com

 x1 > 0

1 2 3
2015

*
 xn +1 = xn + x + x 2 + x 3 + L + x 2015 ( n ∈ ¥ )
n
n
n
n
được xác định bởi 
. Tìm giới

Cho dãy số ( xn )

Bài 2.

α

hạn của dãy nxn khi

n → +∞ ,

với

α

là số thực cho trước.

Hướng dẫn giải
Dễ dàng chứng minh được xn > 0, ∀ n ≥ 1 bằng qui nạp.
Ta có.
2


1
1
1
xn +1 > xn + , ∀ n ≥ 1 ⇒ xn2+1 >  xn + ÷ = xn2 + 2 + 2 > xn2 + 2 ; ∀ n ≥ 1
xn
xn 
xn

.
Bởi vậy ∀ n ∈ N, n ≥ 2 thì xn > xn −1 + 2 > xn− 2 + 4 > … > x1 + 2 ( n − 1) .
2

2

⇒ xn > 1, ∀n ≥ 2 và lim xn = +∞
n → +∞

Với n ∈ N , đặt
*

xn +1 = xn +

xn > 1; ∀n ≥ 2 ⇒ 0 < tn <

2

2

.

1
2 3
2015
+ tn
tn = 2 + 3 +…+ 2015
xn
xn xn
xn .
trong đó

t
xn2 , với t = 2 + 3 + … + 2014 + 2015 (1), suy ra.
2

2
n +1

x



2t
1
1
− x =  xn + + tn ÷ − xn2 = 2 + tn2 + 2 + 2 xntn + n → 2
xn
xn
xn


. khi n → +∞ .
2
n


b1 = x12


2
2
Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy ( bn ) với  bn = xn − xn −1 , ∀ n ≥ 2. .
ta có

lim bn =

n → +∞

b1 + b2 + … + bn
= lim bn = 2.
n →+∞
2 suy ra n→ +∞
.
n
lim

2
2
2
2
2
2
2
n 1
xn2 ( xn − xn−1 ) + ( xn−1 − xn− 2 ) + … + ( x2 − x1 ) + x1 b1 + b2 + … + bn
lim 2 = .
=
=

Mà n
suy ra n→ +∞ xn 2 .
n
n

n 1

=
n→+∞ x 2
2 như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro).
Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp
n
lim

Xét dãy ( cn ) : c1 = x1 − 2; cn = xn − xn−1 − 2 với n = 2,3… .
2

lim cn = 0

n → +∞

2

2

ε
cn < , ∀ n ≥ m.
nên ∀ ε > 0 tồn tại m∈ N sao cho
.
2
*

{ }

Gọi M = max ci với 1 ≤ i ≤

m −1.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3

www.thuvienhoclieu.com

ε

Với

 2 ( m − 1) M 
2 ( m − 1) M
( m − 1) M < ε
m′ = 
 +1
< m'
ε


ở trên tồn tại
thì
ε
hay
m′
2.

Xét n > max { m, m '} . ta có.

| ∑ i =1ci |

≤

∑ i =m ci

lim

| ∑ i =1ci |

n

n

n

n

+

∑

m −1
i =1

| ci |

n

<

ε
2 + ( m − 1) M < ε + ( m − 1) M < ε + ε = ε .
o đó theo định
n
2
m′
2 2

( n − m + 1)
n

n

nghĩa

n → +∞

n

=0

.

2
2
2
2
2
2

2
n 1
xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn −1 − xn− 2 ) + … + ( x2 − x1 ) + x1 c1 + c2 + … + cn
lim 2 = .
=
=
+ 2
. suy ra n→ +∞ xn 2 .
n
n
n

1
n.xnα = n.xn−2 → khi n → +∞
Nếu α = − 2 thì
.
2
α

α +2

−2

α

α +2

−2

Nếu

α > −2

thì n.xn = xn .n.xn → +∞ khi n → +∞ .

Nếu

α < −2

thì n.xn = xn .n.xn → 0 khi

Bài 3.

Cho hai số

a1 , b1 với 0 < b1 =

n → +∞ .

a

1

< 1 .Lập hai dãy số ( an ) , ( bn ) với n = 1, 2,.. .Theo quy tắc

1
an+1 = (an + bn ) b = a .b
lim a
lim b
n +1 n Tính: n → ∞ n và n → ∞ n .

sau: giải nghĩa cái đó là:.
, n +1
2
.

Hướng dẫn giải

π

Tính a2 , b2 với 0 < b1 = a1 < 1 ta có thể chọn 0 < a < 2 sao cho: b1 = cosa ,.
Suy ra a1 = cos a .
2

1
1
a
a2 = (cos 2 a + cos a) = cos a(cos a + 1) = cos a.cos 2
2
2
2.
a
a
b2 = cos a.cos 2 .cos a = cos a.cos
2
2.
Bằng quy nạp, chứng minh được:.

a
a
a

a
a
an = cos a.cos ...cos n −1 cos n −1 (1) bn = cos a.cos ...cos n −1 (2)
.
2
2
2
2
2
Nhân hai vế của (1) và (2) cho
www.thuvienhoclieu.com

sin

a
2n −1 và áp dụng công thức sin 2a được:.
Trang 4

www.thuvienhoclieu.com

a
2n −1 ,
a
2n.sin n −1
2

sin 2a.cos

an =

bn =

sin 2a
a
2n.sin n −1
2 .

Tính giới hạn:.

lim an =
n→ ∞

sin 2a
,
2a

lim bn =
n→ ∞

sin 2a
2a .

Cho dãy số ( an ) , a1 = 1 và

Bài 4.

an+1 = an +

1

a
lim n = 2
an .Chứng minh: n→ ∞ n
.

Hướng dẫn giải
2
k +1

a

n
n −1
n −1
1
1
2
2
= a + 2 + 2 ⇒ ∑ ai = ∑ a j + ∑ 2 + 2( n − 1).
ak
i=2
j =1
j =1 a j
.
2
k

n −1

1

.
2
2n − 1 , ∀ n ≥ 2. .
j =1 a j Vậy an >

an2 = 2n − 1 + ∑

ak2 > 2k − 1 ∀ k ≥ 2 ⇒

1
1
1
1
<
<
=
=
4
2
2
a k (2k-1) (2k-1) − 1 4k(k+1)

1 1
1
− ÷

4  k −1 k  .

n −1

1 1
1
1 n −1 1
1 5
<
(1
−
)
<
⇒ ∑ 4 < 1+ =
∑
4
n −1 4
4 4.
j =1 a j
Suyra: k = 2 ak 4
n −1

n −1
1
1
5
≤
(
n
−
1)
∑j =1 a 2
∑j =1 a 4 < (n − 1) 4 (n ≥ 2).
j