Chuyen de tim SHTQ cua day so

CHUYÊN ĐỀ: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán
về tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Đây cũng là một chuyên đề quan trọng của thi
HSG Tỉnh cũng như Quốc gia. Dưới đây là một vài áp dụng đơn giản giúp thầy cô và học
sinh tham khảo khi học và đặc biệt là ôn thi HSG cấp tỉnh lớp 11 năm học 2010 - 2011.
Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 …
Giải:
Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là:
1 2 3
; ; ;
n
u u u u
thì ta có:
2 1 3 2 4 3 1 1
1; 2; 3 1 1 2 3 1
n n n
u u u u u u u u n u u n
−
− = − = − = − = − ⇒ − = + + + + −

( 1)/ 2 ( 1)/ 2 1
n
n n u n n= − ⇒ = − +

Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:
1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; …
Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
1

( ):
3 2( )
n
n n
u
u
u u n N
+
=



= + ∈


Giải:
Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau:
2 2 3 2 2 1 2
1 1 2 2 3 2 1
3 2;3 3 2.3;3 3 2.3 3 3 2.3
n n n
n n n n n n
u u u u u u u u
− − −
− − − − −
= + = + = + = +

1
1 2 2 1 1
1

3 1
3 2(1 3 3 3 ) 3 2. 2.3 1
3 1
n
n n n n
n
u u
−
− − − −
−
⇒ = + + + + + = + = −
−
Cách 2: Đặt
1 1n n
v u
α
+ +
= +
sao cho
1
3
n n
v v
+
=
1 1
3 2 3 3( ) 1
n n n n n
v u u v u
α α α α

+ +
⇒ = + = + + = = + ⇒ =
. Vậy
( )
n
v
là một cấp số
nhân
có công bội q =3 và
1 1 1
1 1 1
1 2 3 2.3 1 2.3 1
n n n
n n n
v u v v u v
− − −
= + = ⇒ = = ⇒ = − = −
.
Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát 1 sau:
Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
1
( ):
( 0;1)
n
n n
u a
u
u bu c b
+

=


= + ≠

Giải:
Đặt
1 1n n
v u
α
+ +
= +
sao cho:
1 1 1
. . ( )
1
n n n n n n n
c
v b v v u bu c b v b u
b
α α α α
+ + +
= ⇒ = + = + + = = + ⇒ =
−
Như vậy
( )
n
v
là một cấp số nhân có
1 1 1

1 1 1
. ( ). ( ).
1 1 1 1
n n n
n n
c c c c
v u a v v q a b u a b
b b b b
α
− − −
= + = + ⇒ = = + ⇒ = + −
− − − −
Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
2
( ):
2 1( )
n
n n
u
u
u u n n N
+
=



= + + ∈



Giải:
Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được:

[ ]
2
1
2 ( 1) ( 2) 3 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2
n
u u n n n n n n n= + − + − + + + + − = + + − = − −
Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
2
( ):
2 3 2( )
n
n n
u
u
u u n n N
+
=



= + + ∈



Giải:
- Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra:
2 2 1 2
1 1 2 2 1
2 3 1;2 2 2(3 4) 2 2 2 .5
n n n
n n n n
u u n u u n u u
− − −
− − −
= + − = + − = +
1
1
2 2
n n
n
u u S S
−
⇒ = + = +
với
2 1
3 1 2(3 4) 2 (3 7) 5.2
n
S n n n
−
= − + − + − + +
2 2 1 2 2
1 3 1 2 1
1

2 2(3 1) 2 (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2
5.2 3 1 6(1 2 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1
8.2 3 5 4.2 3 5 5.2 3 5.
n n n
n n n n n
n n n
n
S n n S
n n n
n n u n
− − −
− − − − −
−
⇒ = − + − + + + ⇒ = + + + +
− + = + + + + − + = − + − + =
− − = − − ⇒ = − −
Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số
cộng và một cấp số nhân.
- Cách 2: Đặt
n n
v u an b= + +
sao cho
1
2
n n
v v
−
=
1 1
2 3 1 2( ( 1) ) 3; 5

n n n n
v u an b u n an b u a n b a b
− −
⇒ = + + = + − + + = + − + ⇒ = =
Có
1 1
1 1 1
3.1 5 10 3 5 .2 10.2 5.2
n n n
n n
v u v u n v
− −
= + + = ⇒ = + + = = =
5.2 3 5
n
n
u n⇒ = − −
Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
1 *
1
1
( ):
3 2 ( )
n
n
n n
u
u
u u n N

+
+
=



= + ∈


Giải:
- Cách 1: Theo giả thiết ta có:
2 1 2 1 2 2
1 1 2 2 1
3 2 ;3 3 2 .3; 3 3 2 .3
n n n n n
n n n n
u u u u u u
− − − −
− − −
= + = + = +
2 2
1 1 1 1 1 1
1
2 2
3 3 3
3 2 (1 ) 3 4(3 2 ) 5.3 2
2
2 2
n
n n n n n n n

n
n
u u
−
− − − − − +
−
⇒ = + + + + + = + − = −
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của hai cấp số
nhân.
- Cách 2: Đặt
.2
n
n n
v u k
= +
với
1
1 1 1
1 1 1 1
1
3 3 2 .2 3( .2 ) 2 2 3 2
2.2 .3 5.3 5.3 2 .
n n n
n n n n
n n n n n
n n n
v v u k u k k k k
u v v u
−
− − −

− − − +
= ⇒ + + = + ⇒ + = ⇒ =
⇒ + = = = ⇒ = −
Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2
*
2 1
1; 5
( ):
5 6 ( )
n
n n n
u u
u
u u u n N
+ +
= =



= − ∈


Giải:
Từ giả thiết ta suy ra:
2 1 1
2 3( 2 )
n n n n
u u u u
+ + +

− = −
. Đặt
1 2 1
2
n n n
v u u
+ + +
= −
1
3.
n n
v v
+
⇒ =
. Vậy
( )
n
v
là cấp số nhân có công bội q = 3 và
1 2 1
2 5 2.1 3v u u= − = − =
2 1 1
1 1 1 1
2 .3 3 2 3
n n n
n n n n n
v u u v u u
− − −
− − −
⇒ = − = = ⇒ = +

. Đặt
1
.3
n
n n
x u k
−
= +
sao
cho:
1 1 1 2
1 1 1 1
2. .3 2. 3 .3 2. 2( .3 )
n n n n
n n n n n n n
x x x u k u k x u k
− − − −
− − − −
= ⇒ = + = + + = = +
3 3. 2. 3k k k⇒ + = ⇒ = −
. Do
( )
n
x
là cấp số nhân có công bội q = 2 và
0 1 1
1 1 1
.3 2 .2 2 .3 3 3 2
n n n n n n
n n n n

x u k x x u x k x
− −
= + = − ⇒ = = − ⇒ = − = + = −
.
Bây giờ ta giải bài toán tổng quát 2 của bài toán trên:
Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2
*
2 1
;
( ):
(1)( )
n
n n n
u a u b
u
u cu du n N
+ +
= =



= + ∈


trong đó a,b,c,d là
các hằng số thực; a và b khác 0.
Giải:
Giả sử
n

n
u r
=
với r là một số thực nào đó. Khi đó từ (1) ta suy ra:
2 1
. . 0
n n n
r c r d r
+ +
− − =
2
. 0(2)r c r d⇔ − − =
. (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy
( )
n
u
.
Có hai trường hợp:
1/ (2) có hai nghiệm phân biệt
1
r
và
2
r
. Khi đó ta có:
2 1
1 1 1
. . 0
n n n
r c r d r

+ +
− − =
và

2 1 2 2 1 1
2 2 2 1 2 1 2 1 2
. . 0 ( . . ) .( . . ) .( . . ) 0
n n n n n n n n n
r c r d r k r l r c k r l r d k r l r
+ + + + + +
− − = ⇒ + − + − + =
Điều đó chứng tỏ
1 2
. .
n n
n
u k r l r= +
thỏa mãn (1). Trong đó k và l là các hằng số thỏa mãn hệ
phương trình sau:
1 2
2 2
1 2
. .
. .
k r l r a
k r l r b
+ =




+ =


. Do
( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
0
r r
D r r r r d r r
r r
= = − = − − ≠
nên
hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác
định một cách duy nhất.
Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6
1 2
2; 3 1; 1r r k l⇒ = = ⇒ = − =
1 2
. . 2 3
n n n n
n
u k r l r⇒ = + = − +
Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT
2
1 0r r− − =
có hai nghiệm:
1 2

1 5 1 5
&
2 2
r r
+ −
= =
. Từ đó ta có hệ phương trình:
1 5 1 5
. . 1(3)
2 2
3 5 3 5
. . 1(4)
2 2
k l
k l

+ −
+ =



+ −

+ =


Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = 0. Thay l = -k vào (3) ta được:
5. 1 1/ 5k k= ⇒ =
.
Vậy

1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
 
   
+ −
 
= −
 ÷  ÷
 
   
 
.
2/ (2) có nghiệm kép
2
1 2 1 2
.
2 4
c c
r r d r r= = ⇒ − = =
. Đặt
1
.
n
n n
u r v
=

; thay vào (1) ta
được:
2 1 2 2
1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
. . . . . 2. . .
n n n n n
n n n n n n n n n
r v c r v d r v r v r v v v v v
+ + + +
+ + + + + +
= + = − ⇒ − = −
Vậy
( )
n
v
là một cấp số cộng nên
.
n
v k n l= +
với k và l là các số thỏa mãn hệ phương
trình:
1
2
1
( ).
(2 ).
k l r a
k l r b
+ =




+ =


Do
1 2
3
1
2 2
1 1
0
2.
r r
D r
r r
= = ≠
nên k và l được xác định một cách duy nhất;
tức là có duy nhất dãy
( )
n
u
mà
1
( . )
n
n
u k n l r
= +
thỏa mãn điều kiện của bài toán.

Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2
*
2 1
4; 20
( ):
4 4 ( )
n
n n n
u u
u
u u u n N
+ +
= =



= − ∈


Ở đây ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm:
1 2
2r r= =
.
Giải hệ phương trình ta tìm được: k = 3 và l = -1. Vậy
(3 1).2
n
n
u n= −
Áp dụng vào giải đề thi HSG Tỉnh Lạng Sơn:

Câu 2( HSG Tỉnh LS 2008-2009):
Dãy số
{ }
n
u
xác định như sau:
0 1
1
1
1; 2 (1)
2
(2)
3
n n
n
u u
u u
u
−
+
= =



+
=



(với n = 1, 2,3,…). Tìm

n
u
Giải:
Từ (2)
1 1
3 2
n n n
u u u
+ −
⇒ = +

1 1
3 2 0
n n n
u u u
+ −
⇔ − − =
Phương trình đặc trưng
2
3 2 0X X− − =

X=1
2
X=-
3


⇔



⇒
công thức tổng quát của dãy
{ }
n
u
là:
2
(1)
3
n
n
n
u
α β
 
= + −
 ÷
 
Với n = 0:
0
0
2
1 (1)
3
α β
 
= + −
 ÷
 

1
α β
⇔ = +
(3)
Với n = 1:
2
2
2
2 .1 .
3
b
α
 
= + −
 ÷
 

4
2 (4)
9
α β
⇔ = +
Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:
14
1
5
4
9
2
9

5
α β
α
α β
β

+ =
=


 
⇔
 
+ =
 
= −



Vậy U
n
=
14 9 2
5 5 3
n
 
− −
 ÷
 

14 9 ( 2)
5 5 3
n
n
−
= −
Bài 2 (HSG Tỉnh LS 2009-2010):
Cho dãy số(x
n
) xác định như sau:
1
1
2 (1)
3
(2)
2
n
n
n
x
x
x
x
+
=



=


+


( *)n N∈
Tìm công thức tính X
n
theo n.
Giải:
Từ (2)
1
1 2 1 2 1
3 3 3
n
n n n
x
x x x
+
+
⇒ = = +
Đặt
1
1
1 1
n n
n n
u u
x x
+
+

= ⇒ =
và
1
1
2
u =
. Khi đó, ta có:
1
1 2
(3)
3 3
n n
u u
+
= +
Đến đây, áp dụng bài toán tổng quát 1, ta có:
Đặt
1 1n n
v u
α
+ +
= +
sao cho:
1 1 1
1
2 2 1 2 2
3
. . ( ) 1
2
3 3 3 3 3

1
3
n n n n n n n
v v v u u v u
α α α α
+ + +
= ⇒ = + = + + = = + ⇒ = = −
−
Như vậy
( )
n
v
là một cấp số nhân có
1 1
1
1 1 1
1 1 1 2 1 2
( 1) 1 . . . 1
2 2 2 3 2 3
n n
n
n n
v u v v q u
− −
−
   
= + − = − = − ⇒ = = − ⇒ = − +
 ÷  ÷
   
Vậy, công thức số hạng tổng quát của {

n
x
} là:
1
1 1
1 2
. 1
2 3
n
n
n
x
u
−
= =
 
− +
 ÷
 

( *)n N∈
Lạng Sơn, ngày 8/1/2010
Người soạn chuyên đề
Đặng Tiền Giang