www.Thuvienhoclieu.Com
CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC
CHỦ ĐỀ 1
CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
(3 Tiết)
cos x OH
sin y OK
sin
tan
AT
cos
cos
cot
BS
sin
sin
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho (OA,OM ) . Giả sử M (x; y) .
tang
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
B
K
�
�
� k �
�
� 2
�
T
cotang
S
M
O
�k
H
A
cosin
Nhận xét:
, 1 �cos �1; 1�sin �1
tan xác định khi � k , k �Z
2
sin( k2 ) sin
cot xác định khi �k , k �Z
tan( k ) tan
cot( k ) cot
cos( k2 ) cos
2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
Giá trị lượng giác
cos
sin
tan
cot
I
II
III
IV
+
+
+
+
–
+
–
–
–
–
+
+
+
–
–
–
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
1
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
0
6
4
3
2
2
3
3
4
3
2
2
00
300
450
600
900
1200
1350
1800
2700
3600
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0
–1
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
–1
0
1
tan
0
3
3
1
3
3
1
3
3
cot
0
1
2
2
2
3
–1
3
3
–1
0
0
0
4. Hệ thức cơ bản:
sin2 cos2 1;
tan .cot 1;
1 tan2
1
cos2
; 1 cot2
1
sin2
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau
Góc bù nhau
Góc phụ nhau
cos( ) cos
sin( ) sin
�
�
sin� � cos
�2
�
sin( ) sin
cos( ) cos
�
�
cos� � sin
�2
�
tan( ) tan
tan( ) tan
�
�
tan� � cot
�2
�
cot( ) cot
cot( ) cot
�
�
cot � � tan
�2
�
2
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
2
Góc hơn kém
Góc hơn kém
sin( ) sin
�
�
sin� � cos
�2
�
cos( ) cos
�
�
cos� � sin
�2
�
tan( ) tan
�
�
tan� � cot
�2
�
cot( ) cot
�
�
cot� � tan
�2
�
II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
sin(a b) sina.cosb sinb.cosa
tan(a b)
tana tan b
1 tan a.tanb
tan(a b)
tana tan b
1 tan a.tan b
sin(a b) sina.cosb sinb.cosa
cos(a b) cosa.cosb sina.sinb
cos(a b) cosa.cosb sina.sinb
2. Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
tan2
2tan
1 tan2
;
1 cos2
2
1 cos2
2
cos
2
1
cos2
tan2
1 cos2
cot2
cot2 1
2cot
sin3 3sin 4sin3
cos3 4cos3 3cos
3tan tan3
tan3
1 3tan2
sin2
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
3
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
tana tanb
sin(a b)
cosa.cosb
tana tanb
sin(a b)
cosa.cosb
a b
a b
.cos
2
2
cot a cot b
sin(a b)
sina.sinb
a b
a b
.sin
2
2
cot a cot b
sin(b a)
sina.sinb
cosa cosb 2cos
a b
a b
.cos
2
2
cosa cosb 2sin
sin a sin b 2sin
sina sinb 2cos
a b
a b
.sin
2
2
� �
� �
sin cos 2.sin�
� 2.cos�
�
� 4�
� 4�
� �
� �
sin cos 2sin�
� 2cos�
�
� 4�
� 4�
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung:
+ Xác định điểm cuối của cung xem điểm đó thuộc cung phần tư nào, từ đó xác
định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.
+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để
xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của
cung và thực hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục
nằm (Ox) là trục cosin; khi thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm
trên cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó
xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào
dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+;
-/+= -
2. Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung:
+ Nếu biết trước sin thì dùng công thức: sin 2 cos 2 1 để tìm cos , lưu ý:xác
định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. tan
cot
1
tan
+ Nếu biết trước cos thì tương tự như trên.
4
www.Thuvienhoclieu.Com
sin
cos
; cot
hoặc
cos
sin
www.Thuvienhoclieu.Com
+ Nếu biết trước tan thì dùng công thức: 1 tan 2
1
để tìm cos , lưu ý:
cos 2
xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. sin tan .cos , cot
1
tan
3. Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:
Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7 hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng
đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành vế kia.
biến đổi một vế thành vế kia)
sin 2 cos 2 1
�
�
tan .cot 1 �
�k , k ���
2
�
�
1
�
�
1 tan 2
� k , k ���
�
2
cos � 2
�
1
1 cot 2
�k , k ��
sin 2
sin
cos
tan
; cot
cos
sin
a �b a 2 �2ab b 2
3
a �b a3 �3a 2b 3ab2 �b3
a 3 b3 a b a 2 ab b 2
a 3 b3 a b a 2 ab b 2
a2 b2 a b a b
2
4. Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác:
+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai ”
+ Chú ý: Với k �� ta có:
sin k 2 sin
cos k 2 cos
tan k tan
cot k cot
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Dạng 1:
Bài tập 1.1: Cho
. Xác định dấu của các giá trị lượng giác:
2
�3
�
a) sin � �
2
�
�
� �
�
b) cos �
� 2�
c) tan
� �
�
d) cot �
2
Giải
a)
3
�3
�
� �
vậy sin � � 0
2
2
2
2
�2
�
5
www.Thuvienhoclieu.Com
�
�
www.Thuvienhoclieu.Com
Dạng 2:
Bài tập 2.1: Tính các giá trị lượng giác của góc biết:
3
với
5
2
4
cos , 0
13
2
4 3
tan ,
2
5 2
3
cot 3,
2
2
2
sin , 0
5
2
3
cos 0,8 với
2
2
13
,0
8
2
19
cot ,
7 2
1
3
cos ,
4
2
2
sin ,
3 2
7
tan , 0
3
2
4 3
cot ,
2
19 2
a) sin
g) tan
b)
h)
c)
d)
e)
f)
i)
j)
k)
l)
Giải
a) Do
nên cos 0, tan 0, cot 0
2
4
�
cos loai
�
16
5
sin 2 cos 2 1 � cos 2 1 sin 2
��
4
25
�
cos nhan
�
5
�
tan
c) Do
sin
3
4
; cot
cos
4
3
3
2 nên sin 0, cos 0, cot 0
2
5
�
cos
nhan
�
1
25
41
2
2
1 tan
� cos
��
5
cos 2
41
�
cos
loai
�
41
�
sin cos .tan
4
1
41
; cot
41
tan
4
Các bài tập còn lại làm tương tự.
Bài tập 2.2: Biết sin a
a) Do
1
và a . Hãy tính các giá trị lượng giác của góc: 2 ;
3
2
2
2 2
a nên cos a 0 � cos a
2
3
6
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
sin 2a 2sin a cos a
4 2
9
cos2a cos 2 a sin 2 a
7
9
tan 2a
b)
4 2
7
;cot a
7
4 2
a � � cos 0,sin 0
2
4 2 2
2
2
sin 2
a 1 cos a
a
1 cos a
3 2 2
� sin
2
2
2
2
6
cos
a
1 cos a
32 2
2
2
6
t an
a
a
3 2 2;cot 3 2 2
2
2
Bài tập 2.3: Tính cos2a,sin 2a, tan 2a biết:
a) cos a
5
3
, a
;
13
2
3
5
b) sin a , a
c) sin a cos a
cos a
5
, a ;
13 2
4
cos a , a 0
5
2
3
2
1
3
a
và
2
4
Hướng dẫn:
a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi.
sin a
12
120
119
2
2
; sin 2a
; cos2a cos a sin a
hoặc cos2a 2 cos 2 a 1 ;
13
169
169
tan 2a
120
169
c) sin a cos a
1
1
1
3
2
� sin a cos a � 1 sin 2a � sin 2a
2
4
4
4
3
3
a �
2a 2 � cos2a 0 ;
4
2
tan 2a
cos2a 1 sin 2 2a
3
7
7
www.Thuvienhoclieu.Com
7
4
www.Thuvienhoclieu.Com
Bài tập 2.4: Cho sin 2a
+ Vì
+
5
và a . Tính sina, cosa
9
2
a nên sin a 0, cos a 0
2
a � 2a 2 nên cos2a có thể dương và có thể âm
2
2 14
cos2a � 1 sin 2 2 a �
9
TH1: cos2a
cos a
2 14
9
1 cos2a
2 14
2
6
TH2: cos2a
cos a
; sin a
1 cos2a
14 2
2
6
; sin a
1 cos2a 2 14
2
6
2 14
9
1 cos2a
14 2
2
2
Dạng 3:
Bài tập 3.1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:
a)
sin 3 a cos3a
1 sin a cos a Biến đổi:
sin a cos a
sin 3 a cos3 a sin a cos a sin 2 a sin a cos a cos 2 a
sin 2 a cos 2 a tan a 1
2
2
Biến đổi: sin a cos a sin a cos a sin a cos a , chia tử và
1 2 sin a cos a t ana 1
mẫu cho cos a
b)
c) sin 4 a cos 4 a sin 6 a cos 6 a sin 2 a cos 2 a Biến đổi:
sin 6 a cos6 a sin 2 a cos2 a sin 4 a sin 2 a cos 2 a cos 4 a
d)
t ana tan b
1
1
tan a tan b Biến đổi: cot b cot a
cot b cot a
t anb t ana
6
6
4
4
e) 2 sin a cos a 1 3 sin a cos a
8
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
VT sin 6 a cos 6 a 2 sin 2 a cos 2 a sin 4 a sin 2 a cos 2 a cos 4 a 1
2 sin 4 a cos 4 a 1 2sin 2 a cos2 a 2 sin 4 a cos 4 a sin 2 a cos 2 a 2sin 2 a cos 2 a VP
2
4
4
6
6
f) 3 sin x cos x 2 sin x cos x 1
Sử dụng a 2 b 2 a b 2ab và a 3 b3
2
g) tan 2 a sin 2 a tan 2 a.sin 2 a
VT
h)
sin 2 a
sin 2 a sin 2 a 1 tan 2 a 1 VP
2
cos a
sin a
1 cos a
2
1 cos a
sin a
sin a
sin 2 a 1 cos a
sin 2 a 1 2 cos a cos 2 a
VT
VP
sin a 1 cos a
sin a 1 cos a
2
i) cos 4 a sin 4 a 2 cos 2 a 1
Sử dụng a 2 b 2
j) 1 2 tan 2 a
VP
1 sin 2 a
( nếu sin a ��1 )
1 sin 2 a
1 sin 2 a
1
sin 2 a
... VT
cos 2 a
cos 2a cos 2 a
sin 2 a cos 2 a 1 cot a
k)
1 2sin a cos a 1 cot a
sin a cos a sin a cos a
VT
2
sin a cos a
sin a cos a
sin a
VP
sin a cos a
sin a
l) cot 2 a cos 2 a cot 2 a cos 2 a
cos 2 a 1 sin 2 a
cos 2 a
2
VT
cos a
VP
sin 2 a
sin 2 a
m) tan 2 a sin 2 a tan 2 a sin 2 a
n)
t ana sin a
cos a
sin a cot a
o)
1 sin 2 a
1 2 tan 2 a
1 sin 2 a
9
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
p)
cos 2 a sin 2 a
sin 2 a.cos2 a
cot 2 a tan 2 a
Bài tập 3.2: Chứng minh các đẳng thức sau:
1
2
3
4
1
4
a) sin 4 a cos 4 a 1 sin 2 2a cos4a
2
1
2
sin 4 a cos4 a sin 2 a cos 2 a 2sin 2 a cos 2 a 1 2. sin a cos a 1 sin 2 2a
2
1
1�
1 cos4a �
1 1
3 1
1 sin 2 2a 1 �
� 1 cos4a cos4a
2
2� 2
4 4
4 4
�
1
2
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
5 3
8 8
b) sin 6 a cos 6 a cos4a
2
3
3
2
2
Hướng dẫn: x y x y x xy y sau đó áp dụng x 2 y 2 x y 2 xy
1
4
c) sin a cos5 a cos a sin 5 a sin 4a
sin a cos5 a cos a sin 5 a sin a cos a cos 4 a sin 4 a sin a cos a cos 2 a sin 2 a cos 2a sin 2 a ...
1
4
d) cos8 a sin 8 a cos2a sin 4 a sin 2a
2
2
2
Sử dụng a b a b a b sau đó sử dụng a 2 b 2 a b 2ab
e)
cos2a
cos a sin a
1 sin 2a cos a sin a
VT
cos 2 a sin 2 a
cos 2 a sin 2 a
...
1 2sin a cos a sin a cos a 2
f) cot x t anx
Hướng dẫn:
2
sin 2 x
cos x s inx cos 2 x sin 2 x
...
s inx cos x
sin x cos x
g) cot x t anx 2 cot 2 x phân tích như trên
h)
sin 2 x
t anx
1 cos2 x
Hướng dẫn: VT
2sin x cos x
...
cos 2 x
10
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
i)
1 cos2 x
2sin 2 x
tan 2 x Hướng dẫn: VT
...
1 cos2 x
2 cos 2 x
1
4
j) cos3a sin a sin 3 a cos a sin 4a
Hướng dẫn: Tương tự như câu c
sin 3 a cos 3a
sin 2a
1
k)
sin a cos a
2
l)
Sử dụng hằng đẳng thức a 3 b3
cos a sin a cos a sin a
2 tan 2a
cos a sin a cos a sin a
Hướng dẫn: Quy đồng mẫu
m)
sin 2a 2sin a
a
tan 2
sin 2a 2 sin a
2
2
Hướng dẫn: sin2a=2sinacosa; đặt nhân tử chung sau đó áp dụng 1 cos a 2 sin
n)
1 sin a
� a �
cot 2 � �
1 sin a
�4 2 �
�
�
� a �
1 cos � a � 2 cos 2 � �
�2
�
�4 2 � VP
VT
�
�
� a �
1 cos � a � 2sin 2 � �
�2
�
�4 2 �
0)
sin 2a sin a
t ana
1 cos2a cos a
Hướng dẫn: VT
2sin a cos a
...
2 cos 2 a cos a
4sin 2 a
p)
a
a
1 cos 2 16 cos 2
2
2
a
a
4.4sin cos
2
2 VP
Hướng dẫn: VT
a
sin 2
2
q)
tan 2a
cos4a
tan 4a tan 2 a
11
www.Thuvienhoclieu.Com
a
2
www.Thuvienhoclieu.Com
VT
r)
tan 2a
1 tan 2 2a
...
2
2 tan 2a
1
tan
2
a
tan 2a
1 tan 2 2a
3 4 cos 2a cos4a
tan 4 a
3 4 cos 2a cos4a
HD: cos4a 2 cos 2 2a 1 sau đó sử dụng cos2a 1 2 sin 2 a
s)
sin a sin 3a sin 5a
tan 3a
cos a cos3a cos5a
VT
t)
sin 5a sin a sin 3a ...
cos5a cosa +cos3a
1 cos a
a
tan 2 cos 2 a sin 2 a
1 cos a
2
Sử dụng công thức hạ bậc 1 cos a 2 cos 2
a
2
Bài tập 3.3: Chứng minh các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào a
6
6
4
4
a) A 2 sin a cos a 3 sin a cos a
Sử dụng a 3 b3
A 1
4
4
b) B 4 sin a cos a cos4a
Sử dụng a 2 b2 a b 2ab và cos2a 1 2sin 2 a
2
1
2
4
c) 4 cos a 2 cos 2a cos4a
C
Sử dụng cos2a=2cos 2 a 1
3
2
Dạng 4:
Bài tập 4.1: Đơn giản các biểu thức sau:
2
2
2
a) A 1 sin a cot a 1 cot a
A cot 2 a sin 2 a.cot 2 a 1 cot 2 a 1 sin 2 a
cos 2 a
sin 2 a
sin 2 a
12
www.Thuvienhoclieu.Com
B3
www.Thuvienhoclieu.Com
2 cos 2 a 1
sin a cos a
b) B
B
cos 2 a sin 2 a
cos a sin a
sin a cos a
3
3
c) C 1 cot a sin a 1 t ana cos a
� cos a � 3
� sin a � 3
C �
1
sin a �
1
cos a sin a cos a sin 2 a cos a sin a cos 2 a sin a cos a
�
�
� sin a �
� cos a �
d) D
sin 2 a tan 2 a
cos 2 a cot 2 a
2
1 �
�
2 1 cos a
sin 2 a �
1
2
� sin a
2
sin 4 a sin a
cos 2 a �
�
c
os
a
D
.
tan 6 a
2
4
2
1
1
sin
a
cos a cos a
�
�
cos 2 a �
1 2 � cos 2 a
2
sin
a
sin a
�
�
e) E
sin a cos a 1
2
cot a sin a cos a
E
sin 2 a 2sin a cos a cos 2 a 1 2sin a cos a.sin a
2 tan 2 a
2
1
cos
a
.cos
a
�
�
cos a �
sin a �
sin
a
�
�
f) F
1 sin 2 a cos 2 a
sin 2 a
sin 2 a
1
� 1
�
F � 2 cos 2 a � sin 2 a
cos 2 a sin 2 a 1 cot 2 a 1 cot 2 a
2
sin
a
sin
a
�
�
g) G
G
2 cos 2 a 1
sin a cos a
2 cos 2 a sin 2 a cos2 a
sin a cos a
cos 2 a sin 2 a
cos a sin a
sin a cos a
2
2
h) H sin a 1 cot a cos a 1 t ana
H sin 2 a 1 cot a cos 2 a 1 t ana sin 2 a sin 2 a
sin 2 a 2sin a cos a cos 2 a sin a cos a
cos a
sin a
cos 2 a cos 2 a.
sin a
cos a
2
i) I cos 2 a cos 2 a.cot 2 a
I= cot 2 a
j) J sin 2 a sin 2 a.tan 2 a
J= tan 2 a
13
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
k) K
2 cos 2 a 1
sin a cos a
K= cos a sin a
Bài tập 4.2: Đơn giản các biểu thức:
�
� �
2
2�
� sin
a) A sin sin � � cos �
2
2
�
b) B sin 2
�
�
A=1
�
3
sin 2
cos 2
8
8
Hướng dẫn: sin
B= sin 2
3
� 3
cos �
8
�2 8
�
� cos
8
�
� �
�5
�
� �
c) C sin �x � cos x tan � x � tan �x �
2
2
2
�
�
�
�
�
�
C=-2cosx
� �
�
� �
�
�
�
� x�
sin � x � cos x ;
Hướng dẫn: sin �x � sin �
�
� 2�
�
�2
�
� �2
�
cos x cos x
�5
�
�
�
�
�
tan � x � tan �
2 x � tan � x � cot x
2
�2
�
�
�
�2
�
� �
tan �x � cot x
� 2�
17
�
�
� 9 �
x � tan 5 x cot �x
�
�2
�
� 2 �
d) D sin x cos �
D=-2sinx
17
�
�
�
�
Hướng dẫn: cos � x � cos � x 8 x � s inx
�2
�
�2
�
� 9
cot �x
� 2
� �9
�
�
�
�9
�
�
�
�
�
� x�
cot � x � cot � x 4 � cot � x � t anx
� cot �
�
�
�
�2
�
�2
�
�2
�
� �2
�
�
�
�3
�
e) E sin a có � a � cot 2 a tan � a �
2
2
�
�
�
�
E=-2sina
� �
�
�3
�
�
�
�
� x�
tan � x � cot a
Hướng dẫn: tan � a � tan �
�
2
2
2
�
�
� �
�
�
�
�
Bài tập 4.3: Tính:
a) A sin 2 100 sin 2 200 sin 2 30 0 ... sin 2 800 ( 8 số hạng)
A sin 2 100 sin 2 800 sin 2 20 0 sin 2 700 sin 2 300 sin 2 600 sin 2 40 0 sin 2 50 0
14
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
sin 2 100 cos 2100 sin 2 200 cos 2 200 sin 2 300 cos 2 300 sin 2 400 cos 2 400 4
b) B cos100 cos200 cos300 ... cos1800 (18 số hạng)
B cos100 cos1700 cos200 cos1600 ... cos900 cos1800
cos100 cos100 cos200 cos200 ... 0 1 1
c) C sin
25
9
4
19
cos
tan
cot
4
4
3
6
�
�
�
�
�
�
�
�
C sin � 6 � cos � 2 � tan � � cot � 3 � sin cos tan cot 2
4
4
3
6
�4
�
�4
�
�3
�
�6
�
d) D tan100.tan 200...tan 700 , tan 800
D t an100.tan 800 tan 200.tan 700 t an 30 0.tan 600 tan 40 0.tan 500 tan100.cot100 ..... 1
e) E cos200 cos400 cos600 ... cos1800
E cos200 cos1600 cos400 cos1400 ... cos1800 1
0
0
0
0
( cos160 cos 180 20 cos20 ; tương tự những phần còn lại nên cos200 cos1600 0 )
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
1. Nhận biết:
Câu 1: Góc có số đo 1200 được đổi sang số đo rad là :
A. 120
B.
3
2
C. 12
D.
2
3
Câu 2: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. cos 45o sin135o.
B. cos120o sin 60o. C. cos 45o sin 45o. D. cos30o sin120o.
Câu 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi ; ta có:
A. cos( + )=cos +cos
C. tan( ) tan tan
B. cos( - )=cos cos -sin sin .
D. tan ( - ) =
tan tan
1 tan . tan
Câu 4: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi ; ta có:
A.
sin 4
tan 2
cos 2
C.
1 tan
tan
1 tan
4
15
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
D. sin( ) sin cos -cos sin
B. cos( + )=cos cos -sin sin
Câu 5: sin
3
là:
10
cos
4
5
B.
A.
2. Thông hiểu:
cos
C. 1 cos 5
cos
5
2
Câu 6: Biểu thức A sin( x) cos( x) cot( x ) tan(
5
D.
3
x) có biểu thức rút gọn
2
là:
A.
B. A 2sin x
A 2 sin x .
C. A 0 .
D.
A 2cot x .
Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx
B. (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx
C. sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x
D. sin6x + cos6x = 1 – sin2xcos2x
Câu 8: Tính giá trị của biểu thức P tan tan sin 2 nếu cho
4
5
cos
A.
(
12
15
B. 3
Câu 9: Cho cos x
A.
3
)
2
3
.
5
A. 0
1
3
D. 1
2 �
�
x 0 �thì sin x có giá trị bằng :
�
5 �2
�
B.
Câu 10: Biết sin a
C.
3
.
5
C.
1
.
5
5
3
; cos b ( a ; 0 b ) Hãy tính sin(a b) .
13
5 2
2
B.
63
65
C.
56
65
D.
Câu 11: Với mọi số nguyên k, khẳng định nào sau đây là sai?
A.
4
cos(k ) ( 1) k
4
C. sin(
1
.
5
D.
B. tan(
k
2
) ( 1) k
2
2
k
) ( 1) k
2
2
D. sin( k ) ( 1) k
16
www.Thuvienhoclieu.Com
33
65
www.Thuvienhoclieu.Com
3
Câu 12: Giá trị cos[ (2k 1) ] bằng :
A.
3
2
B.
1
2
C.
1
2
D.
3
2
Câu 13: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài
quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe
gắn máy bằng 6,5cm (lấy 3,1416 )
A. 22054cm
B. 22043cm
C. 22055cm
D. 22042cm
Câu 14: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm .Trong
30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:
A. 2,77cm .
B. 2, 78cm .
C. 2, 76cm .
D. 2,8cm .
5
4
Câu 15: Cho sin a cos a . Khi đó sin a.cos a có giá trị bằng :
A. 1
B.
9
32
C.
3
16
D.
5
4
D.
1
cos x
D.
a
4
3. Vận dụng thấp:
Câu 16: Đơn giản biểu thức E cot x
A.
1
sin x
Câu 17: Cho cot
B. cosx
a
2
Câu 18: Đơn giản biểu thức F
A.
1
sin x
C. sinx
2
4
6
a .Tính K sin
sin
sin
14
7
7
7
B.
A. a
sin x
ta được
1 cos x
B.
C.
a
2
cos x tan x
cot x cos x
sin 2 x
1
cos x
C.cosx
D. sinx
Câu 19: Đơn giản biểu thức G (1 sin 2 x) cot 2 x 1 cot 2 x
A.
1
sin x
B.
1
cos x
C.cosx
Câu 20: Tính M tan10 tan 20 tan 30....tan 890
17
www.Thuvienhoclieu.Com
D. sin2x
www.Thuvienhoclieu.Com
A. 1
C. 1
B. 2
D.
1
2
4. Vận dụng cao:
1
2
Câu 21:Cho sin x cos x và gọi M sin 3 x cos3 x. Giá trị của M là:
1
8
A. M .
Câu 22: Cho
A.
7
.
9
B. M
tan 3 .
Khi đó
11
.
16
C. M
7
.
16
D. M
11
.
16
2 sin 3cos
có giá trị bằng :
4 sin 5cos
7
9
9
7
B. .
C. .
9
7
D. .
Câu 23: Cho tan cot m Tính giá trị biểu thức cot 3 tan 3 .
A. m3 3m
B. m3 3m
C. 3m3 m
D. 3m3 m
Câu 24: Với giá trị nào của n thì đẳng thức sau luôn đúng
1 1 1 1 1 1
x
cos x cos , 0 x .
2 2 2 2 2 2
n
2
A. 4.
Câu 25: Biết
A. 2 .
B. 2.
C. 8.
D. 6.
1
1
1
1
+
+ 2 + 2 = 6 . Khi đó giá trị của cos2x bằng
2
2
sin x cos x tan x cot x
C. 1 .
B. 2 .
18
www.Thuvienhoclieu.Com
D. 0 .
www.Thuvienhoclieu.Com
CH 2:
HM S LNG GIC
( 2 tit)
A. KIN THC C BN
1. Hàm số y = sin x.
*/ Tập xác định: D = ;
*/ x ta luôn có: 1 sin x 1 ;
*/ Hàm số y = sin x là một hàm số lẻ trên và là một hàm tuần
hoàn với chu kỳ 2 .
*/ Đồ thị:
y
1
x
-2
-3/2
-
0
-/2
/2
3/2
2
-1
2. Hàm số y = cos x.
*/ Tập xác định: D = ;
*/ x ta luôn có: 1 cos x 1 ;
*/ Hàm số y = cos x là một hàm số chẵn trên và là một hàm
tuần hoàn với chu kỳ 2 .
*/ Đồ thị:
y
1
x
-2
-3/2
-
0
-/2
/2
-1
3. Hàm số y = tan x.
19
www.Thuvienhoclieu.Com
3/2
2
www.Thuvienhoclieu.Com
*/ Tập xác định: D \ k , k ;
2
*/ Hàm số y = tan x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với
chu kỳ ;
*/ Đồ thị:
y
1
x
-3/2
-
-/2
-/4
/4
/2
3/2
-1
4. Hàm số y = cot x.
*/ Tập xác định: D \ k , k ;
*/ Hàm số y = cot x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với
chu kỳ ;
*/ Đồ thị:
y
1
x
-2
-3/2
-
0
-/2 -/4
/4
/2
3/2
-1
B. CC DNG THNG GP
Dng 1. Tỡm tp xỏc nh ca hm s lng giỏc
1.1 K nng c bn
a. D c gi l TX ca hs y f ( x) D { x | f ( x) cú ngha}
b.
A
cú ngha khi B 0 ;
B
A cú ngha khi A 0 ;
A
cú ngha khi B 0
B
20
www.Thuvienhoclieu.Com
2
www.Thuvienhoclieu.Com
c. 1 s inx 1 ; -1 cosx 1
1 s inx 0 &1 cos x 0
d. Cỏc giỏ tr c bit :
sin x 0
x
s inx
1
x
s inx -1
x
k , k
2
k 2 , k
2
k 2 , k
x
k
,k
cosx 1
x k 2 , k
cosx
-1
2
cosx
0
x
k 2 , k
2
e. Hm s y = tanx xỏc nh khi x k , k
f. Hm s y = cotx xỏc nh khi x k , k
1.2 Bi tp luyn tp
Bi 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
1/ y cos 2 x
3/ y sin
2/ y sin 3 x
1
x
4/ y cos x 2 4
Giải.
1/ Do 2 x , x nên hàm số đã cho có tập xác định là D .
0
2/ Hàm số y sin 3 x xác định khi và chỉ khi 3 x
x 0 . Vậy
tập xác định của hàm số đã cho là D 0; .
1
1
xác định khi và chỉ khi
x
x
xác định của hàm số đã cho là D \ 0 .
3/ Hàm số y sin
x 0. Vậy tập
4/ Hàm số y cos x 2 4 xác định khi và chỉ khi
x 2
x 2 4 0
. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
x 2
D ; 2 2; .
21
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
Bi 2: Tìm tập xác định của các hàm số:
1/ y
1 cos x
sin x
2/ y 2 cos3 x ;
;
3/ y cot x
;
3
2 x .
4/ y tan
6
Giải.
1 cos x
xác định khi và chỉ khi
sin x
k , k . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
1/ Hàm số y
sin x
0
x
D \ k , k .
2/ Hàm số y 2 cos3 x xác định khi và chỉ khi 2 cos3 x 0 . Mà
2 cos3x 0 x . Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D .
3/ Hàm số y cot x xác định khi và chỉ khi
3
sin x
x
0
3
3
k
x
3
k , k
. Vậy tập xác định
k , k .
của hàm số đã cho là D \
3
2 x xác định khi và chỉ khi
4/ Hàm số y tan
6
cos
2 x
02x
6
6 2
k
2x
2
3
k
x
3
k
, k . Vậy
2
tập xác định của hàm số đã cho là D \ k , k .
2
3
Dng 2: Xỏc nh tớnh chn l ca hm s lng giỏc
2.1. K nng c bn
Chỳ ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
22
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
Phng phỏp: Bc 1 : Tỡm TX: D ; Kim tra x D xD, x
Bc 2 : Tớnh f(-x) ; so sỏnh vi f(x) . Cú 3 kh nng
+) Nu f(-x) = f(x) thỡ f(x) l hm s chn.
+) Nu f(-x) = - f(x) thỡ f(x) l hm s l.
+) Nu f(-x) - f(x) f(x) thỡ f(x) l hm s khụng chn khụng l.
Lu ý: Mt s nhn xet nhanh xet tớnh chn l ca hm s lng giỏc
+ Tng hoc hiu ca hai hm chn l hm chn
+ Tớch ca hai hm chn l hm chn, tớch ca hai hm l l hm chn
+ Tớch ca mt hm chn v hm l l hm l
+ Bỡnh phng hoc tr tuyt i ca hm l l hm chn (p dng iu ny chỳng ta
cú th xet tớnh chn l ca hm s lng giỏc mt cỏch nhanh chúng lm trc
nghim nhanh chúng hn nhiu).
2.2 Bi tp luyn tp
Bi tp: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:
1/ y = x2sin 3x
2/ y = cosx + sin2x
3/ y = tanx.cos2x
4/ y = 2cosx 3sinx.
Giải.
1/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = x2sin 3x là D .
x D ta có:
*/ x D ;
*/ f(-x) = (-x)2sin(-3x) = - x2sin3x = - f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên .
2/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = cosx + sin2x là D .
x D ta có:
*/ x D ;
*/ f(-x) = cos(- x) + sin2(- x) = cosx + sin2x = f(x).
23
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên .
3/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = tanx.cos2x là
D \ k , k .
2
x D ta có:
*/ x D ;
*/ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên D.
4/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = 2cosx 3sinx là D .
2
5 2
.
Ta có f
, mặt khác f
nên f
4
2
4
2
4 4
Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn và cũng không phải
là hàm số lẻ.
Dng 3: Tỡm tp giỏ tr, giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht
3.1 K nng c bn
S dng cỏc t/c sau :
1 s inx 1 ; -1 cosx 1
sin2 x 1 ; A2 + B B
1 s inx 1, 1 cosx 1;0 cos 2 x 1
Hm s y = f(x) luụn ng bin trờn on a ; b thỡ max f ( x) f (b) ; min f ( x) f (a )
a ; b
a ; b
Hm s y = f(x) luụn nghch bin trờn on a ; b thỡ
max f ( x) f (a) ; min f ( x) f (b)
a ; b
;0
a ; b
a 2 b 2 a sin x b cos x a 2 b 2
3.2 Bi tp luyn tp
Bi tp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
24
www.Thuvienhoclieu.Com
www.Thuvienhoclieu.Com
1/ y 2cosx 1
3
2/ y 1 sin x 3
Giải:
1/ Ta có x: 1cosx 1 2 2cosx 2 3 y 1.
3
3
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, xảy ra khi
cosx 1 x k2 x k2 , k.
3
3
3
Giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt đợc khi
4
cosx 1 x k2 x
k2 , k.
3
3
3
2/ Ta có x
,0
1
sinx 2
0
Vậy, giá trị lớn nhất của y là
2 3, khi sin x 1 x
1 sin x
2
giá trị nhỏ nhất của y là -3, khi sin x = -1 x
3 y
2 3.
k2 , k;
2
k2 , k.
2
Dng 4.Tỡm chu ky ca hm slng giỏc
Phng phỏp gii: Khi tỡm chu kỡ ca hm s lng giỏc, ta cn bin i biu thc
ca hm s ó cho v mt biu thc ti gin v lu ý rng:
1) Hm s y sinx , y cosx cú chu ky T 2 .
2) Hm s y tanx , y cotx cú chu ky T .
2
3) Hm s y sin(ax+b) , y cos(ax+b), vi a 0 cú chu ky T a .
4) Hm s y tan(ax+b) , y cot(ax+b), vi a 0 cú chu ky T a .
5) Hm s f1 cú chu ky l T1 , hm s f 2 cú chu ky l T2 thỡ hm s f1 f 2 cú chu ky
T BCNN (T1 , T2 ) .
Bi tp:
Bi 1. Tỡm chu ky ca hm s y 1 cos 3 x
5
25
www.Thuvienhoclieu.Com