CHƯƠNG III – DÃY SỐ
BÀI 1: DÃY SỐ
Câu 1.
n
.Khẳng định nào sau đây là đúng?
n 1
1 2 3 5 5
.
A. Năm số hạng đầu của dãy là : ;
;
;
;
2 3 4 5 6
[1D3-1] Cho dãy số Un với Un
B. 5 số số hạng đầu của dãy là :
1 2 3 4 5
;
;
;
;
2 3 4 5 6 .
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Thay n lần lượt bằng 1, 2, 3, 4, 5 ta được 5 số hạng đầu tiên là
Câu 2.
1 2 3 4 5
; ; ; ; .
2 3 4 5 6
1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n n
1 1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ;
2 6 12 20 30
[1D3-2] Cho dãy số un với un
2
B. Là dãy số tăng.
C. Bị chặn trên bởi số M
1
.
2
D. Không bị chặn.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có un 1 un
1
n 1 n 1
2
1
1
1
2
0 với
n n n 1 n 2 n n 1 n n 1 n 2
2
n 1.
Do đó un là dãy giảm.
Câu 3.
1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n
1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là : 1; ; ; ;
2 3 4 5 .
[1D3-2] Cho dãy số un với un
B. Bị chặn trên bởi số M 1 .
C. Bị chặn trên bởi số M 0 .
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Nhận xét : un
1 1
1 .
n
1
Dãy số un bị chặn dưới bởi M 1 .
Câu 4.
[1D3-1] Cho dãy số un với un a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số có un 1 a.3n 1
.B. Hiệu số un 1 un 3.a .
C. Với a 0 thì dãy số tăng
D. Với a 0 thì dãy số giảm.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có un 1 un a.3n 1 a.3n a.3n 3 1 2a.3n .
Câu 5.
Cho dãy số un với un
A. Dãy số có un 1
a 1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
n2
a 1
.
n2 1
B. Dãy số có : un 1
C. Là dãy số tăng.
a 1
n 1
2
.
D. Là dãy số tăng.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có un 1
Câu 6.
a 1
n 1
2
.
[1D3-2] Cho dãy số un với un
A. un 1
a 1
.
(n 1) 2
C. Hiệu un 1 un a 1 .
a 1
( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
n2
2n 1
B. Hiệu un 1 un 1 a .
.
2
n 1 n 2
2n 1
n 1
2
n2
.
D. Dãy số tăng khi a 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
1
2n 1
2n 1
Ta có un 1 un a 1 .
.
2 a 1 . 2
1 a . 2
2
2
2
n 1 n
n
n
1
n
n
1
Câu 7.
[1D3-1] Cho dãy số un với un
a. n 1
A. un 1
.
n2
an 2
(a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây?
n 1
a. n 1
B. un 1
.
n 1
2
2
C. un 1
a.n 2 1
.
n 1
D. un1
an 2
.
n2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
a. n 1
a n 1
.
Ta có un 1
n 1 1 n 2 2
2
Câu 8.
2
[1D3-2] Cho dãy số un với un
an 2
( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
n 1
a. n 2 3n 1
a. n 1
A. un 1
.
n2
B. un 1 un
C. Là dãy số luôn tăng với mọi a .
D. Là dãy số tăng với a 0 .
2
(n 2)(n 1)
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Chọn a 0 thì un 0 ,dãy un không tăng, không giảm.
Câu 9.
[1D3-1] Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này
là:
A. un 5(n 1) .
B. un 5n .
C. un 5 n .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có:
5 5.1
10 5.2
15 5.3
20 5.4
25 5.5
Suy ra số hạng tổng quát un 5n .
D. un 5.n 1 .
Câu 10. [1D3-2] Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này
là:
A. un 7n 7 .
B. un 7.n .
C. un 7.n 1 .
D. u n : Không viết được dưới dạng công thức.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
8 7.1 1
15 7.2 1
22 7.3 1
29 7.4 1
36 7.5 1
Suy ra số hạng tổng quát un 7 n 1 .
1 2 3 4
Câu 11. [1D3-1] Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
2 3 4 5
A. un
n 1
.
n
B. un
n
.
n 1
C. un
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có:
0
0
0 1
1
1
2 11
2
2
3 2 1
3
3
4 3 1
4
4
5 4 1
Suy ra un
n
.
n 1
n 1
.
n
D. un
n2 n
.
n 1
Câu 12. [1D3-1] Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001;... . Số hạng tổng quát của
dãy số này có dạng?
A. u n 0
,00
01 .
...
n chöõ soá 0
B. u n
1
0
,00
01 . C. u n n 1 .
...
10
n1 chöõ soá 0
D. u n
1
.
10 n 1
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0
…………………………….
Suy ra un có n chữ số 0 .
Câu 13. [1D3-1] Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có
dạng
A. u n 1 .
B. u n 1 .
C. u n (1) n .
D. un 1
n 1
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
Các số hạng đầu của dãy là 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;... un 1 .
1
2
3
4
5
n
Câu 14. [1D3-1] Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0; 2; 4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có
dạng?
A. u n 2n .
B. u n 2 n .
C. u n 2 (n 1) .
D. un 2 2 n 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là
nên
un 2 2. n 1 .
Câu 15. [1D3-1] Cho dãy số có các số hạng đầu là:
1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số
3 3 2 33 3 4 35
này là?
A. u n
1 1
.
3 3 n 1
B. u n
1
3
n 1
.
C. u n
Hướng dẫn giải
1
.
3n
D. u n
1
3 n 1
.
Chọn C.
5 số hạng đầu là
1 1 1 1 1
1
; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;... nên un n .
31 3 3 3 3
3
k
( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
3n
k
k
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 .
B. Số hạng thứ n của dãy số là n 1 .
3
3
Câu 16. [1D3-1] Cho dãy số un với un
C. Là dãy số giảm khi k 0 .
D. Là dãy số tăng khi k 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Số hạng thứ n của dãy là un
k
.
3n
Câu 17. [1D3-1] Cho dãy số un với un
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
(1) n 1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
1
.
10
B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
1
11
D. Bị chặn trên bởi số M 1 .
C. Đây là một dãy số giảm.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Dãy un là một dãy đan dấu.
Câu 18. [1D3-1] Cho dãy số un có un n 1 với n N * . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2 ; 3; 5 .
B. Số hạng un 1 n .
C.Là dãy số tăng.
D. Bị chặn dưới bởi số 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
5 số hạng đầu của dãy là 0;1; 2; 3; 4 .
Câu 19. [1D3-2] Cho dãy số un có un n 2 n 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 .
B. u n 1 n 2 n 2 .
C. u n 1 u n 1 .
D. Là một dãy số giảm.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có :
2
un 1 un n 1 n 1 1 n 2 n 1 n 2 2n 1 n 2 n 2 n 1 2n 0 n 1
Do đó un là một dãy giảm.
u1 5
Câu 20. [1D3-1] Cho dãy số u n với
.Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào
u n 1 u n n
dưới đây?
( n 1) n
( n 1) n
A. u n
.
B. u n 5
.
2
2
C. u n 5
( n 1) n
.
2
D. u n 5
(n 1)( n 2)
.
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có un 5 1 2 3 ... n 1 5
n n 1
.
2
u1 1
Câu 21. [1D3-3] Cho dãy số un với
2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng
un 1 un 1
nào dưới đây?
A. un 1 n .
C. un 1 1 .
2n
B. un 1 n .
D. un n .
Lời giải
Chọn D.
un 1 un 1 un 1 u2 2; u3 3; u4 4;...
2n
Ta có:
Dễ dàng dự đoán được un n .
Thật vậy, ta chứng minh được un n * bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với n 1 u1 1 . Vậy * đúng với n 1
+ Giả sử * đúng với mọi n k k * , ta có: uk k . Ta đi chứng minh * cũng đúng với
n k 1 , tức là: uk 1 k 1
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số un ta có: uk 1 uk 1 k 1 . Vậy * đúng với
2k
mọi n * .
u1 1
Câu 22. [1D3-3] Cho dãy số un với
2 n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng
un 1 un 1
nào dưới đây?
A. un 2 n .
B. u n không xác định.
C. un 1 n .
D. un n với mọi n .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: u2 0; u3 1; u4 2 ,... Dễ dàng dự đoán được un 2 n .
u1 1
Câu 23. [1D3-3] Cho dãy số un với
. Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào
2
un 1 un n
dưới đây?
n n 1 2n 1
n n 1 2n 2
A. un 1
B. un 1
.
.
6
6
C. un 1
n n 1 2n 1
.
6
D. un 1
n n 1 2n 2
.
6
Lời giải
Chọn C.
Ta
u1 1
2
u2 u1 1
2
.
u3 u2 2
...
u u n 12
n 1
n
có:
un 1 12 2 2 ... n 1 1
2
Câu 24. [1D3-3] Cho dãy số un
Cộng
hai
vế
ta
được
n n 1 2n 1
6
u1 2
với un 1 un 2n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng
nào dưới đây?
A. un 2 n 1 .
2
B. un 2 n 2 .
C. un 2 n 1 .
2
Lời giải
Chọn A.
D. un 2 n 1 .
2
u1 2
u u 1
1
2
2
. Cộng hai vế ta được un 2 1 3 5 ... 2n 3 2 n 1
Ta có: u3 u2 3
...
un un 1 2n 3
u1 2
Câu 25. [1D3-3] Cho dãy số un với
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un 1 2 u
n
n 1
n 1
n 1
n
A. un
.
B. un
..
C. un
.
D. un
.
n
n
n
n 1
Lời giải
Chọn C.
3
4
5
n 1
Ta có: u1 ; u2 ; u3 ;... Dễ dàng dự đoán được un
.
2
3
4
n
1
u
Câu 26. [1D3-3] Cho dãy số un với 1 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un 1 un 2
1
1
1
1
A. un 2 n 1 .
B. un 2 n 1 . C. un 2n .
D. un 2n .
2
2
2
2
Lời giải
Chọn B.
1
u1 2
u2 u1 2
1
1
Ta có: u3 u2 2 . Cộng hai vế ta được un 2 2... 2 2 n 1 .
2
2
...
un un 1 2
Câu 27. [1D3-3] Cho dãy số un
n
1
A. un 1 . .
2
u1 1
với
un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un 1 2
1
B. un 1 .
2
n 1
.
1
C. un
2
Lời giải
Chọn D.
n 1
.
1
D. un 1 .
2
n 1
.
Ta
u1 1
u2 u1
2
u2
.
u3
2
...
un un 1
2
có:
u1.u2 .u3 ...un 1 .
Nhân
hai
u1.u2 .u3 ...un 1
1
1
un 1 . n 1 1 .
2.2.2...2
2
2
vế
ta
n 1
n 1 lan
u1 2
Câu 28. [1D3-3] Cho dãy số un với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
un 1 2un
A. un n n 1 .
C. un 2 n 1 .
B. un 2n .
D. un 2 .
Lời giải
Chọn B.
u1 2
u 2u
1
2
Ta có: u3 2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un 2.2n 1.u1.u2 ...un 1 un 2n
...
un 2un 1
1
u1
Câu 29. [1D3-3] Cho dãy số un với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
2
un 1 2un
1
1
A. un 2 n 1 .
B. un n 1 .
C. un n .
D. un 2n 2 .
2
2
Lời giải
Chọn D.
1
u1 2
u2 2u1
1
Ta có: u3 2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un .2n 1.u1.u2 ...un 1 un 2n 2
2
...
un 2un 1
Câu 30. [1D3-3] Cho dãy số un với un
A. un 1
1
n 1
2
1
.
1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
2
B. un un 1 .
được
C. Đây là một dãy số tăng.
D. Bị chặn dưới.
Lời giải
Chọn B.
Câu 31. [1D3-2] Cho dãy số un với un sin
n 1
A. Số hạng thứ n 1 của dãy: un 1 sin
C. Đây là một dãy số tăng.
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n2
B. Dãy số bị chặn.
D. Dãy số không tăng không giảm.
Lời giải
Chọn D.
Dãy số không tăng không giảm.
BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG
Câu 32. [1D3-2] Khẳng định nào sau đây là sai?
1
u1
1 1 3
2.
A. Dãy số ;0; ;1; ;..... là một cấp số cộng:
2 2 2
d 1
2
1
u
1 1 1
1 2
B. Dãy số ; 2 ; 3 ;..... là một cấp số cộng:
.
2 2 2
d 1 ; n 3
2
u 2
C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2; là cấp số cộng 1
.
d 0
D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0,001; 0,0001; không phải là một cấp số cộng.
Lời giải
Chọn B.
1
u1
1 1 1
2
Dãy số ; 2 ; 3 ;..... không phải cấp số cộng do
u2 1 .
2 2 2
d 1
2
1
1
Câu 33. [1D3-1] Cho một cấp số cộng có u1 ; d . Hãy chọn kết quả đúng
2
2
1
1
1 1 1
A. Dạng khai triển : ;0;1; ;1....
B. Dạng khai triển : ;0; ;0; .....
2
2
2 2 2
C. Dạng khai triển :
1 3 5
;1; ; 2; ;.....
2 2 2
1 1 3
D. Dạng khai triển: ;0; ;1; .....
2 2 2
Lời giải
Chọn D.
Câu 34. [1D3-3] Cho một cấp số cộng có u1 3; u6 27 . Tìm d ?
A. d 5 .
B. d 7 .
C. d 6 .
D. d 8 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: u6 27 u1 5d 27 3 5d 27 d 6
1
Câu 35. [1D3-3] Cho một cấp số cộng có u1 ; u8 26 Tìm d ?
3
11
3
10
A. d .
B. d .
C. d .
3
11
3
D. d
3
.
10
Lời giải
Chọn A.
1
11
Ta có: u8 26 u1 7d 26 7d 26 d
3
3
Câu 36. [1D3-3] Cho cấp số cộng un có: u1 0,1; d 0,1 . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
A. 1, 6 .
C. 0,5 .
B. 6 .
D. 0, 6 .
Lời giải
Chọn C.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng un là: un u1 n 1 .0,1 u7 0,1 7 1 .0,1
1
2
Câu 37. [1D3-2] Cho cấp số cộng un có: u1 0,1; d 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.
B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5
.D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.
Lời giải
Chọn B.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng un là: un 0,1 n 1 .1 n
Giả sử tồn tại k * sao cho uk 0,5 k
11
.
10
11
8
0,5 k (loại). Tương tự số 0,6
10
5
Câu 38. [1D3-2] Cho cấp số cộng un có: u1 0,3; u8 8 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.
B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.
C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6.
D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: u8 8 u1 7d 8 0,3 7d 8 d
11
10
Số hạng tổng quát của cấp số cộng un là: un 0,3
11
n 1 u7 6,9
10
Câu 39. [1D3-3] Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
A. 7; 12; 17 .
B. 6; 10;14 .
C. 8;13;18 .
D. 6;12;18 .
Lời giải
Chọn A.
u2 2 5 7
u1 2
Khi đó
22 u1 4d d 5 u3 7 5 12
u5 22
u 12 5 17
4
1
16
và
để được cấp số cộng có 6 số hạng.
3
3
4 7 10 13
4 7 11 14
3 7 11 15
B. ; ; ; .
C. ; ; ; .
D. ; ; ; .
3 3 3 3
3 3 3 3
4 4 4 4
Câu 40. [1D3-3] Viết 4 số hạng xen giữa các số
A.
4 5 6 7
; ; ; .
3 3 3 3
Lời giải
Chọn B.
1
1
4
4
7
u2 1 ; u3 1
u1 3
16
3
3
3
3
Ta có
.
u1 5d d 1
3
u 16
u 10 ; u 13
6 3
4 3 5 3
Câu 41.
[1D3-1] Cho dãy số u n với : un 7 2n . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 3 số hạng đầu của dãy: u 1 5; u2 3; u3 1 .
B. Số hạng thứ n + 1: un 1 8 2n .
C. Là cấp số cộng có d = – 2.
D. Số hạng thứ 4: u4 1 .
Lời giải
Chọn B.
Thay n 1; 2;3; 4 đáp án A, D đúng
un 1 7 2 n 1 5 2n 7 2n (2) un (2)n * . suy ra đáp án B sai
Câu 42. [1D3-1] Cho dãy số un với : un
1
n 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
A. Dãy số này không phải là cấp số cộng.
B. Số hạng thứ n + 1: un 1
1
n.
2
C. Hiệu : un 1 un
1
.
2
D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S 12 .
5
Lời giải
Chọn C.
Ta có: un 1
1
1
1
1
n 1 1 n 1 un n * Đáp án C đúng.
2
2
2
2
Câu 43. [1D3-1] Cho dãy số un với : un 2n 5 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Là cấp số cộng có d = – 2.
B. Là cấp số cộng có d = 2.
C. Số hạng thứ n + 1: un 1 2n 7 .
D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S 4 40
Lời giải
Chọn A.
Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai.
Thật vậy un 1 2 n 1 5 2n 5 2 un +2 n * đáp án A sai.
Câu 44. [1D3-1] Cho dãy số un có: u1 3; d
A. un 3
1
n 1 .
2
C. un 3
1
n 1 .
2
1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
1
B. un 3 n 1 .
2
1
D. un n 3 n 1 .
4
Lời giải
Chọn C.
Sử dụng công thức SHTQ un u1 n 1 d
n 2 . Ta có: un 3 n 1
1
2
1
1
Câu 45. [1D3-2] Cho dãy số un có: u1 ; d . Khẳng định nào sau đây đúng?
4
4
5
4
5
4
A. S5 .
B. S5 .
C. S5 .
D. S5 .
4
5
4
5
Lời giải.
Chọn C.
n 2u1 n 1 d n u1 un
, n *
Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: Sn
2
2
Tính được: S5
5
4
Câu 46. [1D3-2] Cho dãy số un có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
A. u1 16
C. u1
B. u1 16
1
16
D. u1
1
16
Lời giải
Chọn A.
n u1 un
S n
u1 u8 2S8 : 8 u8 u1 18
2
u1 16.
Ta có: d un u1
u8 u1 7d
u8 u1 14
n 1
Câu 47. [1D3-2] Cho dãy số un có d 0,1; S5 0,5. Tính u1 ?
A. u1 0,3.
B. u1
10
.
3
C. u1
10
.
3
D. u1 0,3.
Lời giải
Chọn D.
un u1 n 1 d
u5 u1 4.0,1
u1 0,3 . Suy ra chọn đáp án D.
Ta có : u u 2 S n
u5 u1 0, 25
n 1
n
Câu 48. [1D3-2] Cho dãy số un có u1 1; d 2; S n 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?
A. n 20 .
B. n 21 .
C. n 22 .
D. n 23 .
Lời giải
Chọn D
n 2u1 n 1 d
n 23
2.483 n. 2. 1 n 1 .2 n 2 2n 483 0
Ta có: Sn
2
n 21
Do n N * n 23 .
Câu 49. [1D3-2] Cho dãy số un có u1 2; d 2; S 21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.
C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.
D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.
Lời giải
Chọn B.
n 2u1 n 1 d
n 6
Ta có: Sn
2.21 2 n. 2. 2 n 1 . 2 n 2 n 21 0
2
n 7
Do n N * n 6 . Suy ra chọn đáp án B.
Câu 50. [1D3-1] Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, n 2. ?
A. un u1 d .
B. un u1 n 1 d
C. un u1 n 1 d
D. un u1 n 1 d .
Lời giải
Chọn D.
Công thức số hạng tổng quát : un u1 n 1 d , n 2 .
Câu 51. [1D3-2] Xác định x để 3 số : 1 x; x 2 ;1 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của x .
B. x 2 .
C. x 1 .
D. x 0 .
Lời giải :
Chọn C.
Ba số : 1 x; x 2 ;1 x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi x 2 1 x 1 x x 2
2 x 2 2 x 1 suy ra chọn đáp án C.
Câu 52. [1D3-2] Xác định x để 3 số : 1 2 x; 2 x 2 1; 2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. x 3 .
C. x
B. x
3
.
4
3
.
2
D. Không có giá trị nào của x .
Lời giải
Chọn B.
Ba số : 1 2 x; 2 x 2 1; 2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
2 x 2 1 1 2 x 2 x 2 x 2 1
4x2 3 x
3
. Suy ra chọn đáp án B.
2
Câu 53. [1D3-2] Xác định a để 3 số : 1 3a; a 2 5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của a .
B. a 0 .
C. a 1
D. a 2 .
Lời giải
Chọn A.
Ba số : 1 3a; a 2 5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a 2 5 1 3a 1 a a 2 5
a 2 3a 4 a 2 a 4 a 2 a 4 0 . PT vô nghiệm
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 54. [1D3-2] Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a 2 c 2 2ab 2bc .
B. a 2 c 2 2ab 2bc .
C. a 2 c 2 2 ab 2bc .
D. a 2 c 2 ab bc .
Lời giải
Chọn B.
a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
b a c b b a c b a 2 c 2 2ab 2bc .
2
2
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 55. [1D3-3] Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a 2 c 2 2ab 2bc 2ac .
B. a 2 c 2 2ab 2bc 2ac .
C. a 2 c 2 2ab 2bc 2ac .
D. a 2 c 2 2ab 2bc 2ac .
Lời giải
Chọn C.
a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
b a c b b a c b a 2 c 2 2ab 2bc
2
2
a 2 c 2 2c 2 2ab 2bc 2ab 2c c b
2ab 2c b a 2ab 2bc 2ac
Câu 56. [1D3-3] Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một
cấp số cộng ?
A. 2b 2 , a, c 2 .
B. 2b, 2 a, 2c .
C. 2b, a, c .
Lời giải
Chọn B.
Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a c 2b
2 b c 2.2a 2b 2c 2 2a
D. 2b, a , c .
2b, 2a, 2c lập thành một cấp số cộng
Câu 57. [1D3-2] Cho cấp số cộng un có u4 12; u14 18 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 20, d 3 .
B. u1 22, d 3 .
C. u1 21, d 3 .
D. u1 21, d 3 .
Lời giải
Chọn C.
u4 u1 3d
u 3d 12 d 3
1
Ta có :
. Suy ra chọn đáp án C
u1 21
u14 u1 13d
u1 13d 18
Câu 58. [1D3-2] Cho cấp số cộng un có u4 12; u14 18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng là:
A. S = 24.
B. S = –24.
C. S = 26.
D. S = –25.
Lời giải
Chọn A.
n 2u1 n 1 d
16 2. 21 15.3
S16
24 .
Sử dụng kết quả bài 17. Tính được Sn
2
2
Câu 59. [1D3-2] Cho cấp số cộng un có u5 15; u20 60 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 35, d 5 .
B. u1 35, d 5 .
C. u1 35, d 5
D. u1 35, d 5 .
Lời giải
Chọn B.
u5 u1 4d
u1 4d 15 d 5
Ta có :
. Suy ra chọn B.
u1 35
u1 19d 60
u20 u1 19d
Câu 60. [1D3-2] Cho cấp số cộng un có u5 15; u20 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng là:
A. S20 = 200
B. S20 = –200
C. S20 = 250
D. S20 = –25
Lời giải
Chọn C.
n 2u1 n 1 d
20 2. 35 19.5
S20
250 .
Sử dụng kết quả bài 17. Tính được Sn
2
2
Câu 61. [1D3-2] Cho cấp số cộng (u ) có u2 u3 20, u5 u7 29 . Tìm u1 , d ?
n
A. u1 20; d 7 . B. u1 20,5; d 7 .
C. u1 20,5; d 7 . D. u1 20,5; d 7 .
Lời giải
Chọn C.
2u1 3d 20
u 20,5
1
.
Áp dụng công thức un u1 (n 1) d ta có
d 7
2u1 10d 29
Câu 62. [1D3-2] Cho cấp số cộng:
2; 5; 8; 11; 14;........ Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên?
A. d 3;S20 510 .
B. d 3;S20 610 .
C. d 3;S20 610 .
D. d 3;S20 610 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có 5 2 ( 3); 8 5 ( 3); 11 8 ( 3); 14 11 ( 3);.... nên d 3 .
Áp dụng công thức S n nu1
n(n 1)
d , ta có S 20 610 .
2
Câu 63. [1D3-3] Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc
bằng 25o . Tìm 2 góc còn lại?
A. 65o ; 90o.
B. 75o ; 80o.
C. 60o ; 95o.
D. 60o ; 90o.
Lời giải
Chọn D.
Ta có : u1 u2 u3 180 25 25 d 25 2d 180 d 35 .
Vâỵ u2 60; u3 90.
Câu 64. [1D3-3] Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng
30o. Tìm các góc còn lại?
A. 75o ; 120o; 165o.
B. 72o ; 114o; 156o.
C. 70o ; 110o; 150o.
D. 80o ; 110o; 135o.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: u1 u2 u3 u4 360 30 30 d 30 2d 30 3d 360 d 40 .
Vâỵ u2 70; u3 110; u 4 150 .
1 1 3 5
; - ; - ; - ;... Khẳng định nào sau đây sai?
2 2 2 2
A. (un) là một cấp số cộng.
B. có d 1 .
Câu 65. [1D3-2] Cho dãy số un :
C. Số hạng u20 19,5 .
Lời giải
Chọn C.
D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 .
1 1
3
1
5
3
( 1); - (1); - ( 1);..... . Vậy dãy số trên là cấp số cộng với
2 2
2
2
2
2
công sai d 1 .
Ta có
Ta có u20 u1 19d 18,5 .
2n 1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
3
1
2
1
2
A. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d .
B. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d .
3
3
3
3
Câu 66. [1D3-2] Cho dãy số un có un
C. (un) không phải là cấp số cộng.
D. (un) là dãy số giảm và bị chặn.
Lời giải
Chọn B.
Ta có un 1 un
2(n 1) 1 2n 1 2
1
và u1 .
3
3
3
3
1
. Khẳng định nào sau đây sai?
n2
A. Các số hạng của dãy luôn dương.
B. là một dãy số giảm dần.
Câu 67. [1D3-2] Cho dãy số un có u n
C. là một cấp số cộng.
D. bị chặn trên bởi M =
1
.
2
Lời giải
Chọn C.
1
1
1
Ta có u1 ; u 2 ; u 3 . u2 u1 u3 u2 nên dãy số không phải là cấp số cộng.
3
4
5
Câu 68. [1D3-3] Cho dãy số un (un) có u n
1
2
A. Là cấp số cộng có u1 ; d ;
3
3
C. Hiệu u n 1 u n
2(2n 1)
3
2n 2 1
. Khẳng định nào sau đây sai?
3
B. Số hạng thứ n+1: un 1
2(n 1) 2 1
3
D. Không phải là một cấp số cộng.
Lời giải
Chọn A.
Ta có un 1 un
2(n 1) 2 1 2n 2 1 2(2 n 1)
. Vậy dãy số trên không phải cấp số cộng.
3
3
3
BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
Câu 69. [1D3-1] Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân
B. Số hạng tổng quát un = 1n =1
C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1 D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n.
Lời giải
Chọn C.
Ta có 1 1(1); 1 1(1) . Vậy dãy số trên là cấp số nhân với u1 1; q= 1 .
1 1 1 1
Câu 70. [1D3-1] Cho dãy số : 1; ; ; ; ; ... . Khẳng định nào sau đây là sai?
2 4 8 16
1
1
A. Dãy số này là cấp số nhân có u1= 1, q = . B. Số hạng tổng quát un = n1 .
2
2
C. Số hạng tổng quát un =
1
2n
D. Dãy số này là dãy số giảm.
.
Lời giải
Chọn C.
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1. ; . ; . ;
. ;.... Vậy daỹ số trên là cấp số nhân với
2
2 4 2 2 8 4 2 16 8 2
1
u1 1; q= .
2
Ta có
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có : un u1q
n 1
1
2
n 1
1
.
2 n 1
Câu 71. [1D3-1] Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.
B. Là cấp số nhân có u1 1; q=1.
C. Số hạng tổng quát un ( 1) n .
D. Là dãy số giảm.
Lời giải
Chọn B.
Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với u1 1; q=1.
1 1 1
1
Câu 72. [1D3-2] Cho dãy số : 1; ; ; ; . Khẳng định nào sau đây là sai?
3 9 27 81
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
1
B. Dãy số này là cấp số nhân có u1 1; q= .
3
C. Số hạng tổng quát. un 1 .
n
1
3n 1
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
1
1
1 1 1
1 1
1
1. ; . ;
. ;....... Vậy dãy số trên là cấp số nhân
3
9
3 3 27
9 3
3
1
với u1 1; q=- .
3
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un u1q
n 1
1
1
3
1
Câu 73. [1D3-2] Cho cấp số nhân un với u1 ; u 7 32 . Tìm q ?
2
1
A. q .
B. q 2 .
C. q 4 .
2
n 1
1 .
n
1
.
3n 1
D. q 1 .
Lời giải
Chọn B.
Áp
dụng
công
thức
số
hạng
tổng
q 2
.
un u1q n 1 u7 u1.q 6 q 6 64
q 2
quát
cấp
số
nhân
ta
có
Câu 74. [1D3-2] Cho cấp số nhân un với u1 2; q=-5 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát
un ?
A. 10; 50; 250; 2 5
n 1
B. 10; 50; 250; 2. 5n 1 .
.
C. 10; 50; 250; 2 .5n .
D. 10; 50; 250; 2 5
n 1
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có u2 u1.q 2 . 5 10; u 3 u2 .q 10. 5 50; u 4 u3 .q 50. 5 250 .
Số hạng tổng quát un u1.q n 1 2 . 5
n 1
.
Câu 75. [1D3-2] Cho cấp số nhân un với u1 4; q 4 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát
un ?
A. 16; 64; 256; 4 .
B. 16; 64; 256; 4 .
C. 16; 64; 256; 4 4 .
D. 16; 64; 256; 4n .
n
n
Lời giải
Chọn C.
n
Ta có u2 u1.q 4. 4 16; u 3 u2 .q 16. 4 64; u 4 u3 .q 64. 4 256 .
Số hạng tổng quát un u1.q n 1 4. 4
n 1
.
Câu 76. [1D3-2] Cho cấp số nhân un với u1 1; q=0,00001 . Tìm q và un ?
A. q
1
1
; u n n1
10
10
B. q
1
; u n 10n1
10
C. q
1
1
; un
10
10n1
D. q
(1) n
1
; un
10
10n1
Lời giải
Chọn D.
Ta có u6 u1.q 5 0, 00001 1.q 5 q
1
Số hạng tổng quát un u1.q n 1 1.
10
1
.
10
n 1
1
n
10n 1
.
A. Số hạng thứ 103
1
1
. Số 103 là số hạng thứ mấy của un ?
10
10
B. Số hạng thứ 104
C. Số hạng thứ 105
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Câu 77. [1D3-3] Cho cấp số nhân un với u1 1; q
Lời giải
Chọn B.
Ta có un u1.q n 1
1
1
1.
103
10
10
n 1
n 1 103 n 104 .
Câu 78. [1D3-3] Cho cấp số nhân un với u1 3; q= 2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của un ?
A. Số hạng thứ 5.
B. Số hạng thứ 6.
C. Số hạng thứ 7.
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Lời giải
Chọn C.
Ta có un u1.q n 1 192 3. 2
n 1
2
n 1
Câu 79. [1D3-3] Cho cấp số nhân un với u1 3; q
A. Số hạng thứ 11
C. Số hạng thứ 9
64 n 1 6 n 7 .
1
. Số 222 là số hạng thứ mấy của un ?
2
B. Số hạng thứ 12
D. Không là số hạng của cấp số đã cho
Lời giải
Chọn D.
1
Ta có un u1.q n 1 222 3.
2
đã cho.
Câu 80. [1D3-3] Cho dãy số
1
2
n 1
1
2
n 1
74 . Vậy 222 không là số hạng của cấp số
; b ; 2 . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?
A. b 1 .
B. b 1 .
C. b 2 .
D. Không có giá trị nào của b.
Lời giải
Chọn D.
b 0
Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi
.
1
b 2 . 2 1
Vậy không có giá trị nào của b.
1
1
. Giá trị của a là:
; a;
5
125
1
1
C. a .
B. a .
25
5
Câu 81. [1D3-1] Cho cấp số nhân:
A. a
1
.
5
D. a 5.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
1
1 1
Ta có: a 2 .
a
5
125
625
25
Câu 82. [1D3-2] Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:
1
1
u1
u1
2
B.
C. un n 2 1
A.
2
u u 2
u
n
n 1
n1 2 . u n
u 1; u2 2
D. 1
un 1 un 1.un
Hướng dẫn giải
Chọn B.
u
Do n 1 2 ( không đổi) nên dãy số un :
un
1
u1
2
là một cấp số nhân.
u
n1 2 . u n
Câu 83. [1D3-1] Cho dãy số: -1; x; 0,64 . Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. Không có giá trị nào của x.
B. x 0, 008.
C. x 0, 008.
D. x 0, 004.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dãy số: -1; x; 0,64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân x 2 0, 64 ( Phương trình vô nghiệm)
Câu 84. [1D3-2] Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:
1
1
1
A. u n n 1
B. u n n2
C. u n n 2
4
4
4
D. u n n 2
1
4
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: un
1
4
n2
un 1
1
4
n 3
. Suy ra
un
1
1
( Không đổi). Vậy un : u n n2 là một cấp
un 1 4
4
1
số nhân có công bội q .
4
Câu 85. [1D3-2] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với
n
n
1
A. un là dãy số tăng.
4
1
B. un là dãy số tăng.
4
C. un 4n là dãy số tăng.
D. un 4 là dãy số tăng.
n
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: un 0, với mọi n và
un
4n
n 1 4 1 nên un là dãy số tăng.
un 1 4
Câu 86. [1D3-2] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với
1
3
A. u n n là dãy số giảm.
B. u n n là dãy số giảm.
10
10
C. un 10 n là dãy số giảm.
D. un 10 là dãy số giảm.
n
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: un 0, với mọi n và
un 10n 1 1
1 nên un là dãy số giảm.
un 1 10n 10
Câu 87. [1D3-1] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
5
1
A. Cấp số nhân: 2; 2, 3; 2,9; ... có u6 2 .
3