DE VA DAP AN HSG VINH PHUC 2012

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
————————————

Câu 1 (3,0 điểm).
1. Cho f  x  

x3
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1  3x  3x 2
 1 
A f 

 2012 

 2 
f
  ... 
 2012 

 2010 
f

 2012 

 2011 

f

 2012 

x2 x
x 1
1 2x  2 x


x x 1 x x  x  x
x2  x
Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

2. Cho biểu thức P 
Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương  x ; y  thỏa mãn  x  y    x  y  6  .
3

2

Câu 3 (1,5 điểm).
Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện:
abc  bcd  cda  dab  a  b  c  d  2012

Chứng minh rằng:  a 2  1 b 2  1 c 2  1 d 2  1  2012 .
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho ba đường tròn  O1  ,  O2  và  O  (kí hiệu  X  chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử

 O1  ,  O2  tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và  O1  ,  O2  lần lượt tiếp xúc trong với  O  tại

M 1 , M 2 . Tiếp tuyến của đường tròn  O1  tại điểm I cắt đường tròn  O  lần lượt tại các điểm
A, A ' . Đường thẳng AM 1 cắt lại đường tròn  O1  tại điểm N1 , đường thẳng AM 2 cắt lại đường
tròn  O2  tại điểm N 2 .
1. Chứng minh rằng tứ giác M 1 N1 N 2 M 2 nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường
thẳng N1 N 2 .
2. Kẻ đường kính PQ của đường tròn  O  sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên
cung 
AM 1 không chứa điểm M 2 ). Chứng minh rằng nếu PM 1 , QM 2 không song song thì các
đường thẳng AI , PM 1 và QM 2 đồng quy.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu
xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc
các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….


Câu 1
1. Chứng minh: thì f(x) + f(1-x) = 1, trong đó f  x  

x3
1  3x  3x 2

Mà f(1006/2012) = f(1/2) = 1/2
Từ đó: A = 2011/2
2. Cho biểu thức P 
ĐKXĐ: x  0; x  1
Rút gọn: P 

x 2

x2 x
x 1
1 2x  2 x


x x 1 x x  x  x
x2  x

= 1+

1 x

x  x 1
x  x 1
Dễ thấy 0  P  2 . Từ đó P = 1 hoặc P = 2, từ đó x = 0 hoặc x = 1 (Loại)

Vậy không tồn tại x để P nhận giá trị nguyên
Câu 2:

x  y  n
Vì x , y nguyên dương nên luôn tồn tại số n thỏa mãn 

2

 x  y  6  n
x  y  4
x  1
Đặt –n = a ta tìm được a = 2 suy ra 


 x  y  6  8  y  3

Vậy cặp số nguyên dương cần tìm là (x,y) = (1,3)
Bài 3:
Ta có:

3

ta suy ra được n  1

2012   abc  bcd  cda  dab  a  b  c  d     ab  1 c  d    cd  1 a  b  
2

2

2
2
2
2
  ab  1   a  b    cd  1   c  d  



2 2
2
2
2 2
2
2

  a b  a  b  1 c d  c  d  1   a 2  1 b 2  1 c 2  1 d 2  1

Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Bài 4:
Câu a:
Áp dụng tính chất của đoạn tiếp tuyến và cát tuyến cắt nhau:
+ Trong (O1): AI2 = AN1.AM1
+ Trong (O2): AI2 = AN2.AM2.
Do đó: AN1.AM1= AN1.AM1 nên tứ giác M1N1N2M2 nội tiếp.
Gọi H là giao của OA với N1N2 Ta suy ra góc A N1N2 =
ra HN1 A  N1 AH  900  AHN1  900  OA  N1 N 2
b) Gọi K là giao điểm của PM1 với QM2 ta chứng minh được PQ // O1O2 Suy ra

900

suy

 O1M1I’

=  O1I’M1 nên tam giác O1M1I’ cân ( I’ là giao điểm của QM1 và O1O2)
Suy ra O1I’ = O1M1 Suy ra I  I’ nên Q, I, M1 thẳng hàng suy ra QM1  PK
Chứng minh tương tự ta có PM2  KQ nên I là trực tâm của tam giac KPQ suy ra
PQ  KI mà AI  PQ nên K, I, A thẳng hàng
Vậy PM1, QM2, AI đồng quy tại K khi QM2 không song song với PM1

Bài 5:Cách 1: Vẽ ngũ giác đều ABCDE Theo nguyên lý Dirichle luôn tồn tại 2 đỉnh cung màu.
Gỉa sử đó là 2 đỉnh A và B cùng màu xanh
+ nếu 1 trong 3 đỉnh B,C,D có màu xanh thì suy ra điều phải chứng minh.
+ Nếu cả ba đỉnh B,C,D không tô xanh mà tô cùng một màu thì suy ra đpcm

+ Nếu trong 3 đỉnh B, C, D có hai đỉnh cùng màu ( Giả sử D,C tô đỏ. B tô tím) thì
tam giác DEB thoa mãn đkđb
Ta có điều phải chứng minh
Cách 2: Vẽ Hình vuông ABCD có tâm là O. Lập luận tương tự cách 1 với 5 điểm
A,B,C,D,O. Ta được đpcm.