De va dap an HSG 12 Vinh Phuc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1. Giải phương trình:
2
3
6 2 ( R)
9
x
x x
x
+ = ∈
−

Câu 2. Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 0
( , R)
8 ( 2 )
y xy
x y
x x y

− + =


∈

− = +


Câu 3. Tìm tất cả các số thực
, , ,a b p q
sao cho phương trình:
( ) ( )
( )
10
20 20
2
2 1− − + = + +x ax b x px q
thoả mãn với mọi
∈x
R.
Câu 4. Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 7. Các điểm M và N lần lượt nằm trên hai
cạnh AB và AC sao cho AN = BM. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BN và CM.
Biết diện tích tam giác BOC bằng 2.
a. Tính tỷ số
MB
AB
b. Tính giá trị
∠ AOB
(kí hiệu
∠
là góc)
Câu 5. Cho
, ,x y z

là các số thực dương thoả mãn điều kiện
1+ + =xy yz zx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
= + +
+ + +
x y z
P
y yz z xz x xy
.
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………SBD: …………………….
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH
TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008-2009
-------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)
---------------------------------------------
Câu 1 (2,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
ĐK:
2
3
9 0
3
x
x
x
>


− > ⇔

< −

0,25
+ Nếu
3x
>
, bình phương hai vế của PT ta được:
2 2
2
2
2
9 6
72
9
9
x x
x
x
x
+ + =
−
−
4 2
2
2
6. 72 0
9

9
x x
x
x
⇔ + − =
−
−
0,5
Đặt
2
2
( 0)
9
x
t t
x
= >
−
, ta có PT:
2
6 72 0 6t t t+ − = ⇔ =
.
0,5
Khi đó
2
4 2 2
2
6 36 324 0 18
9
x

x x x
x
= ⇔ − + = ⇔ =
−
Trong trường hợp này tìm được
3 2x =
0,5
+ Nếu
3x
< −
thì
3
0 6 2
2
9
x
x
x
+ < <
−
: PT vô nghiệm
0,5
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất
3 2x =
.
0,25
Câu 2 (2,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
Hệ
2 2

2 2
2
2 2

4
4 2 2 0 (1)
2 2 4
yxy
x y xy xy
x xy y
−
⇔ ⇒

=

+ + − =

+ + =


0,5
+ Nếu
0xy ≥
thì (1) trở thành:
2 2
4 0 0x y x y+ = ⇔ = =
. Thử lại không thoả mãn hệ
0,25
+ Nếu
0xy <

thì (1) trở thành:
2 2 2
4 4 0 ( 2 ) 0 2 0x y xy x y x y+ + = ⇔ + = ⇔ + =
0,5
Kết hợp với PT thứ hai của hệ ban đầu ta có
2
2 2
8
2 2
x
x
x

=
= ⇔

= −


0,5
Với
2 2x =
thì
2y = −
; Với
2 2x = −
thì
2y =
.
0,5

Vậy hệ có hai nghiệm
( ; ) (2 2; 2);( 2 2; 2)x y = − −
.
0,25
Câu 3 (1,5 điểm):
Thay
2
1
=
x
, PT đã cho trở thành:
baq
p
b
a
20
24
1
2
1020
−=⇒=






+++







+
0,25
Thay
ba 2
−=
vào PT đầu có:
( ) ( )
( )
10
2
2020
212 qpxxbbxx
++++−=−
0,25
Tính hệ số của
20
x
có:
20
20
202020
2
1
1122
−±=⇒+=
bb

0,25
Thay
ba ,
như trên vào PT đầu có:
0,5
( )
2 2 2 2
20
10
2
2 2 2 2
1 1
(1)
1
4 4
1 1
2
(2)
4 4
 
+ + = − + + + = − +
 
 
− = + + ⇔ ⇔
 
 ÷
 
 
+ + = − + − + + = − + −
 

 
x px q x x x px q x x
x x px q
x px q x x x px q x x
* Ta có
2
1
(2) 2 ( 1) 0
4
⇔ + − + + =x p x q
(không xảy ra với mọi
∈x
R)
* Từ (1):
2 2
1
1
1
4
4
R
p
x px q x x x
q
= −


+ + = − + ∀ ∈ ⇔

=



Vậy các giá trị cần tìm là:
20 20
20 20
1 1
2 1 , . 2 1 , 1 ,
2 4
= − = − − = − =a b p q
và

20 20
20 20
1 1
2 1 , . 2 1 , 1 ,
2 4
= − − = − = − =a b p q
0,25
Câu 4 (2 điểm).
a. 1,0 điểm.
Nội dung trình bày Điểm
O
A
B
C
M
N
a) Đặt
xABMB
=

/
. Suy ra
7= =
ABN BMC
S S x
, do đó:



==
−=
2
27
BOCAMON
BOM
SS
xS
0.25
Ngoài ra:
xxS
CON
75)27(227
−=−−−−=
,
x
xx
S
x
x
S

CONAON
−
−
=
−
=
1
)75(
1
,
)27(
11
−
−
=
−
=
x
x
x
S
x
x
S
BOMAMO
0.25
Do
AMOANOAMON
SSS
+=

nên:
{ }



∉
=+−
⇔−
−
+
−
−
=
1;0
0299
)27(
1
1
)75(
2
2
x
xx
x
x
x
x
xx
0.25
Giải PT trên được




=
=
3/2
3/1
x
x
hay



=
=
3/2/
3/1/
ABMB
ABMB
0.25
b. 1,0 điểm.
Nội dung trình bày Điểm
Vì
BMCABN
∆=∆
nên ta có:
0
60
=∠+∠=∠+∠=∠
CBOMBOCBOBCMBOM

.
0.25
Ta cũng có
0
180
=∠+∠
MONMAN
nên tứ giác AMON nội tiếp.
Trường hợp 1:
/ 1/ 3 2 2MB AB AM BM AN= ⇒ = =
.
Gọi Q là trung điểm AM
⇒

AQN
∆
đều
0.25
Q
⇒
là tâm ngoại tiếp tứ giác AMON và
00
15090
=∠⇒=∠=∠
AOBANMAOM
0.25
Trường hợp 2: Tương tự trên có:
00
909023/2/
=∠⇒=∠=∠⇒==⇒=

AOBAONAMNANMBAMABMB
0.25
Câu 5 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
Chứng minh được BĐT:
2 2 2 2
( )
, , ; , , 0
+ +
+ + ≥ ∀ ∈ ∀ >
+ +
x y z x y z
x y z a b c
a b c a b c
R
(Sử dụng BĐT Bunhiacôpxki)
0,25
Ta có
2 2 2 2
( )
3 3 3 3( ) 3
+ +
= + + ≥
+ + + + + +
x y z x y z
P
xy xyz yz xyz xz xyz xy yz xz xyz
0,5
Mặt khác
2

( ) 3( ) 3x y z xy yz xz+ + ≥ + + =
và
2
3
1
1 3 ( )
3 3
xy yz zx xyz xyz= + + ≥ ⇒ ≤
0,25
Do đó
3 3 3
1
4
3 3.
3 3
≥ =
+
P
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
3
x y z= = =
.
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
3 3
4
.
0,25

---------------------------------------------