PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TOÁN THCS PT VÔ TỈ

Một số phương pháp giải pt vô tỉ .
Phương trình(pt) chứa căn là 1 nội dung rất quan trọng trong chương trình bồi
dưỡng HSG toán bậc THCS và THPT,thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
chọn HSG,thi vào lớp 10 chuyên và kể cả thi đại học
Các phương pháp để giải phương trình(gpt) vô tỉ rất đa dạng và phng phú,đòi
hỏi học sinh chúng ta phải tư duy thông minh,linh hoạt,khéo léo trong việc vận
dụng ,kết hợp các phương pháp giải.
I/Phương pháp biến đổi tương đương
Chúng ta xét một ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ 1:
Gpt:
Lời giải:
Pt đã cho tương đương:
Giả sử 2 vế pt cùng dấu,bình phương 2 về rồi rút gọn được:
<=>
Thử lại thấy

<=>
<=>
thỏa mãn.Vậy pt có nghiệm

Rõ ràng,biến đổi tương đương là phương pháp đơn giản nhất đẻ gpt vô
tỉ.Nhưng khi bình phương 2 vế,ta cần chú ý tới điều kiện cùng dấu của 2 vế
pt.Để cho chắc chắn,sau khi ra kết quả,chúng ta nên thử lại và loại bỏ những
nghiệm không thỏa mãn.
Chúng ta xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2: Gpt:
Lời giải:ĐKXD
Nếu gpt này bằng cách bình phương 2 vế thì lời giải sẽ dài dòng và không phù
hợp với mỹ quan toán học 1 chút nào.Ta chú ý rằng
có

biểu thức nhân liên hợp là
và tích của chúng là
Do đó,pt đã cho tương đương:
<=>
Bình phương 2 vế được:
<=>
<=>
<=>
=>
( do
Vậy pt có nghiệm

với mọi

)


II/Dùng hằng đẳng thức để gpt vô tỉ
1)Pt dạng
Ví dụ 3:
Gpt:

<=>

và

<=>

Lời giải:
ĐKXD

Pt đã cho tương đương:
<=>
<=>
<=>
Ví dụ 4:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD

.Pt đã cho tương đương:

<=>
Việc giải tiếp 2 pt vô tỉ này quả thực là không quá khó khăn.....Chúng ta sang
dạng tiếp theo:
2)Pt dạng
Ví dụ 5:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Pt đã cho tương đương với
<=>
<=>
3)Pt dạng
Ví dụ 6:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD

<=>

Pt này tương đương:
<=>
<=>
4)Pt dạng

<=>
<=>

<=>

Ví dụ 7:Gpt:
Lời giải:
Pt đã cho tương đương:
<=>
<=>
Vậy pt có nghiệm
__________________
III/Sử dụng định lý Viét để biến đổi pt chứa căn thành pt tích
Ví dụ 8:
Gpt:
Lời giải:Đặt

ta có:
<=>

Chú ý rằng

nên nếu đặt

<=>
<=>
<=>
Ví dụ 9:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Pt đã cho tương đương:
<=>
Đặt
Đặt
<=>

thu được:
<=>

thì


<=>
Qua 2 ví dụ trên,ta thấy các bước giải cơ bản của phườn pháp này là:
Bước 1: Viết phương trình về dạng bậc 2,đặt ẩn phụ
Bước 2: Biến đổi về dạng thích hợp và kiểm tra dạng Viét
IV/Đặt ẩn phụ
Khi bình phương 2 vế của 1 pt chứa căn mà ta được 1 pt bậc caokhos giải thì
chúng ta thường nghĩ ngay đến phương pháp đặt ẩn phụ.Ẩn phụ thường chính
là biểu thức chứa căn ,làm pt đơn giản hơn hoặc đưa pt về hệ phương trình
theo ẩn phụ
1)Đặt ẩn phụ để làm gọn pt
Ví dụ 10:Gpt:
Lời giải:

ĐKXD

Đặt

hoặc [TEX-1 \leq x \leq 0[/tex].Chia cả 2 vế cho

ta có:
<=>
hay

(loại)

=>
<=>
<=>
2)Đặt ẩn phụ đưa pt về hpt
Ví dụ 11:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD

Đặt
=>
Ta thu được hệ:
Ta dễ dàng giải được hệ này!
3)Một số dạng pt đặt ẩn phụ cơ bản
a)
Đặt
b)

<=>

,ta thu được pt bậc 2:

ta được:


Đặt
Thu được pt bậc 2:

=>

c)
Đặt
=>
Thu được pt bậc 2
d)
Đặt

=>

<=>
Thu được
thu được
===============
V/Sử dụng BDT để gpt vô tỉ
Khi gpt vô tỉ ta chú ý đến các BDT sau:
1)BDT Cauchy(AM-GM)
Cho số không âm
.Khi đó ta có BDT:
Đẳng thức xảy ra <=>

Ví dụ 12:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD

.Theo BDT AM-GM ta có:

Đẳng thức xảy ra <=>
2)BDT Bunhiacopski(B.C.S)
Với 2 bộ số
và
Đẳng thức xảy ra <=>
Ví dụ 13:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Áp dụng BDT B.C.S ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>

bất kì ta có:


<=>
(do
3)Áp dụng tính chất nghịch biến của hàm
của
khi
để gpt chứa căn
Ví dụ 14:Gpt:

khi

và đồng biến

Lời giải:ĐKXD
=>
Đẳng thức xảy ra <=>
4)Sử dụng tính chất đơn điệu để gpt chứa căn
Dạng thường gặp là:
Giả sử
=>
Ví dụ 15:Gpt:

=>

=>

Lời giải:
ĐKXD
Giả sử
=>
=>
=>
=>
=>
=.
Các tính chất đơn điệu cơ bản của hàm số như sau:
*
là hàm đơn điệu tăng
*
là hàm đơn điệu tăng với

*Nếu
là hàm tăng,suy ra
là những hàm tăng
*Nếu

là những hàm tăng và luôn dương suy ra
là hàm tăng

5)Các BDT khác:
a)Với
ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>
Ví dụ 16:Gpt:
Lời giải:ĐKXD
Ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>
b)Với
,ta có BDT:

=>

là hàm giảm và


Ví dụ 17:
Gpt:
Lời giải:
Ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>
<=>

==================
VI/Một số dạng pt chứa căn đặc biệt
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 18: Gpt:
Để gpt này có rất nhiều cách,tuy nhiên có một cách khá đơn giản là đưa pt
thành hpt bằng cách đặt ẩn phụ.
Đặt

,ta thu được hệ:

Giả sử
=>
=>
Vậy
,ta có:
<=>
<=>
Vậy pt có nghiệm
Ví dụ trên minh họa cho dạng pt sau:

Ta có thể đặt

=>

và đưa về hpt đối xứng:

Hay dạng
Bằng cách đặt

,ta cũng có thể đưa về hệ:

Việc giải 2 hpt này quả thật là không quá khó đối với trình độ THCS...
=============
Cuối cùng,mời các bạn làm một số bài tập ứng dụng:
Giải các pt sau:
Dạng I:


1/
2/
3/
4/
5/
Dạng II:
6/
7/
8/
9/
10/
Dạng III
11/
12/
Dạng IV
13/
14/
15/
16/
17/
Dạng V
18/

19/
20/