Nghiên cứu lý thuyết Phương trình trong SGK Toán THCS

GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
LỜI NÓI ĐẦU
Trong nền kinh tế tthị trường hiện nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các
ngành nghề, ngành giáo dục hơn bao giờ hết cần phải có sự đổi mới, vận động và phát
triển để khẳng định vai trò của mình. Có như vậy chúng ta mới đáp ứng được yêu cầu xã
hội, tạo ra cho xã hội những sản phẩm là những con người có tri thức, vững chắc luôn
năng động, sáng tạo, thích hợp với cuộc sống hiện đại.
Là một sinh viên, em thấy được vai trò và tầm quan trọng của việc học toán hiện
nay. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: “Nghiên cứu lý thuyết về
phương trình trong SGK toán THCS, phân tích, bình luận. Hệ thống hoá các bài tập về
phương trình trong SGK và các sách bài tập toán THCS, bình luận đề xuất các kiến nghị
và các bài toán hay”.
Trong quá trình thực hiện đề tài em đã được sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô
đặc biệt là sự quan tâm giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo Nguyễn Thị Thanh Hà. Em xin
chân thành cảm ơn các thầy cô đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này.
Mặc dù em đã cố gắng nhiều song do thời gian và năng lực có hạn nên trong đề tài
này sẽ còn nhiều thiếu sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến để đề tài của em được hoàn
thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Thơm
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
1
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI....................................................................................................3
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU...........................................................................................4
III. PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH.........................................................................................4
A. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH..................................................................................4
B. MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH.....................................5
1. Tập xác định của phương trình....................................................................................5

2. Nghiệm của phương trình............................................................................................5
3. Giải Phương Trình.......................................................................................................5
4. Khái niệm phương trình tương đương.........................................................................7
5. Các định lý về phương trình tương đương...................................................................8
C. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH.....................................................................................8
1. Phương trình bậc nhất..................................................................................................8
2. Phương trình bậc 2 một ẩn.........................................................................................13
3. Phương trình quy về phương trình bậc 2...................................................................14
4. Phương trình tích:......................................................................................................14
ỨNG DỤNG CỦA VIỆC LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN...............................19
1. Phương trình đại số bậc cao.......................................................................................20
3. Phương trình vô tỷ: ( phương trình chứa ẩn dưới dấu căn)........................................25
4. Một số dạng phương trình không mẫu mực...............................................................27
4.1. Phương trình một ẩn: ........................................................................................27
4.2. Phương trình nhiều ẩn.........................................................................................34
MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY...............................................................................................36
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
2
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình và hệ phương trình là một nội dung trọng tâm, xuyên suốt trong
chương trình đại số ở trường THCS. Nội dung này rất phong phú và đã dạng.
Trong chương trình chính khoá cũng như trong chương trình nâng cao, bồi dưỡng
học sinh giỏi THCS thì đây là mảng kiến thức quan trọng và được đề cập đến thường
xuyên. Vì vậy là một sinh viên, một giáo viên tương lai chúng ta cần phải nghiên cứu kỹ
nội dung này để có kiến thức và kỹ năng tốt phục vụ cho việc học tập tại trường và sau
này khi trở thành một giáo viên chúng ta có thể hướng dẫn chỉ dạy cho học sinh đại trà và
cả học sinh giỏi trong việc giải các bài tập mẫu, giúp học sinh biết khai thác để tạo ra
được những bài tập tương tự hoặc khái quát hơn.
Nghiên cứu về lý thuyết phương trình và hệ phương trình chúng ta sẽ nắm được

các kỹ năng cơ bản giúp cho việc giải quyết các loại phương trình và hệ phương trình
được dễ dàng thuận lợi hơn.
• Kỹ năng giải thành thạo các phương trình bậc nhất, bậc hai và các phương trình quy
về bậc nhất, bậc hai, các áp dụng của định lý Viét.
• Giải vững các phương trình vô tỷ thông thường
• Biết cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn, phương trình bậc cao đặc biệt.
• Giải được một số phương trình và hệ phương trình không mẫu mực.
• Rèn luyện thói quen và biết đặt điều kiện khi giải phương trình và hệ phương trình.
• Rèn luyện kỹ năng biện luận, tính toán bằng số.
Nghiên cứu về phương trình và hệ phương trình trong chương trình giúp ta hiểu nội
dung chương trình và có một hệ thống bài tập về phương trình và hệ phương trình để
phục vụ tốt cho công tác giảng dạy sau này.
Với tất cả những lý do trên em thấy việc nghiên cứu phương trình và hệ phương
trình là rất bổ ích và rất cần thiết không chỉ cho quá trình học tập trong nhà trường
CĐSP va quá trình công tác của chúng ta khi trở thành một giáo viên
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
3
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
• Nghiên cứu về lý thuyết phương trình và hệ phương trình
• Hệ thống hoá các dạng bài tập phương trình và hệ phương trình trong chương trình
toán THCS.
III. PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH
Ngay từ khi còn là học sinh tiểu học, học sinh đã được học về phương trình. Nhưng
khi đó để tránh cho học sinh khó hiểu ta chỉ gọi đó là bài toán “Tìm x biết”. Tên gọi của
bài toán này được sử đến lớp 7. Lên đến lớp 8, học sinh sẽ được tiếp cận với một thuật
ngữ mới thay cho cụm từ “Tìm x, biết” là “phương trình”..
Tuy nhiên trong chương trình Toán THCS thường chỉ đề cập đến phương trình đa
thức, ít đề cập đến phương trình siêu việt. Với dạng phương trình siêu việt thường chỉ
dành cho học sinh giỏi.

A. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH.
Định nghĩa phương trình là một vấn đề khó. Cho đến nay vẫn còn nhiều ý kiến
chưa thống nhất trong việc đưa khái niệm phương trình vào chương trình Toán THCS.
SGK cải cách 1986 đã gắn khái niệm phương trình với “một việc phải làm” là giải
phương trình. Cách làm này có ưu điểm là tránh được tính hình thức trong định nghĩa.
Tuy nhiên trên thực tế không phải lúc nào nói đến phương trình là cũng phải giải phương
trình, mặc dù giải phương trình là yêu cầu trọng tâm về kỹ năng của nội dung phương
trình.
Vì vậy để đơn giản các vấn đề nêu trên SGK không xây dựng khái niệm phương
trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ “phương trình” thông qua một số
ví dụ.
VD: Trong SGK Toán 8: Tìm x, biết: 2x +5 = 3(x-1) +2
Ta gọi hệ thức 2x + 5 = 3 (x-1) + 2 là một phương trình với ẩn số x ( hay ẩn x )
Vế trái của phương trình là: 2x + 5
Vế phải của phương trình là: 3(x-1) + 2
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
4
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
Thông qua VD này học sinh sẽ hình dung được về phương trình là: Một phương trình
với ẩn x có dạng A(x) =B(x) trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức có
cùng một biến x.
B. MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH.
Khi đề cập đến phương trình ta thường thấy có những khái niệm không thể tách rời
khái niệm phương trình: “Tập xác định của phương trình”, “nghiệm của phương trình”,
“phương trình tương đương”.
1. Tập xác định của phương trình
Tập xác định chỉ được đề cập đến một cách đơn giản gọi là điều kiện xác định.
Đối với những phương trình không phải là phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương
trình chứa ẩn dưới dấu căn như phương trình bậc nhất một ẩn, hai ẩn, phương trình bậc
hai,,… thì chương trình SGK Toán THCS không đề cập đến tập xác định.

Nhưng khi học sinh được học về “phương trình chứa ẩn ở mẫu”, “phương trình
chứa ẩn dưới dấu căn” thì tìm điều kiện xác định của phương trình là một bước rất quan
trọng mà khi làm những bài toán liên quan đến dạng phương trình này học sinh không thể
bỏ qua.
2. Nghiệm của phương trình.
Khái niệm nghiệm của phương trình được trình bày thông qua những ví dụ cụ thể.
SGK lớp 8 trình bày:
: Khi x = 6, tính giá trị của mỗi vế của phương trình: 2x + 5 = 3(x-1) + 2. Ta thấy 2 vế
của phương trình trên đề nhận cùng một giá trị là 17 khi x = 6. Khi đó ta nói số 6 thoả
mãn hay nghiệm đúng phương trình.
3. Giải Phương Trình
Giải phương trình là tìm tập hợp nghiệm S của nó. Nếu S được biểu thị bởi một
hay nhiều công thức thì chúng được gọi là nghiệm tổng
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
5
?2
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
• Nếu miền xác định mở rộng ra nhưng không có nghiệm ngoại lai thì phương trình
đã cho và phương trình biến đổi vẫn tương đương.
• Nếu tất cả các ẩn số trong miền bị thu hẹp không thoả mãn phương trình đã cho thì
phương trình đã cho và phương trình biến đổi vẫn tương đương.
Xét các ví dụ sau ta sẽ thấy:
VD
1
:
0x
≠
.
2 2x +
=

2 2
(1)

2
8x −
=
2 2
(2)
* Phương trình (1) có miền xác định là: D
1
= [
2 2
;
+∞
)
Phương trình (2) có miền xác định là: D
2
= (
−∞
; -
2 2
]
∪
[
2 2
;
+∞
)
* Giải pt (1) ta được tập nghiệm của (1) là S
1

= {
2 2
}
Giải pt (2) ta được tập nghiệm của (2) là S
2
= {-
2 2
;
2 2
}
Ta thấy từ (1)  (2) đã xuất hiện nghiệm ngoại lai là -
2 2
Vì vậy phép biến đổi từ (1)  (2) không phải là phép biến đổi tương đương.
VD
2
: (x + 3)(x – 2) = 2(x - 2) (3)
x + 3 = 2 (4)
Giải Pt (3) ta được nghiệm là x = -1 và x = 2
Giải PT (4) ta được nghiệm là x = -1.
(3)  (4): (x – 3)(x – 2) = 2(x – 2)  x + 3 = 2  x = -1.
Từ (3)  (4) đã làm mất nghiệm của phương trình. Vì vậy phép biến đổi từ (3)  (4)
không phải là phép biến đổi tương đương.
Bởi vậy, các tác giả chỉ nêu ra 2 phép biến đổi hay dùng và gọi chúng là quy tắc
chuyển vế và quy tắc nhân với 1 số ( không dùng từ phép biến đổi ) đồng thời thừa nhận
rằng chúng là các phép biến đổi tương đương
Hai quy tắc này sẽ được sử dụng trong suốt chương trình như 1 công cụ chủ yếu để
giải phương trình.
Với khẳng định: Từ 1 pt, nếu ta áp dụng quy tắc chuyển vế thì được phương trình mới
tương đương với phương trình đã cho. Nêu lên khẳng định này các tác giả muốn nhấn
mạnh rằng việc áp dụng quy tắc chuyển vế hoàn toàn không kể đến việc thực hiện các

Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
6
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
phép toán đại số sau đó, vì khi thực hiện các phép toán đại số, ta có thể nhận được
phương trình không tương đương.
VD: Giải phương trình:
1 1
1
1 1
x
x x
+ = +
− −
(1)
Chuyển các biểu thức chứa ẩn của (1) sang 1 vế ta được:

1 1
1
1 1
x
x x
+ − =
− −
Thu gọn ta được x = 1
Nhưng x = 1 làm cho (1):
1 1
1 1
1 1 1 1
+ = +
− −


1 1
0 0
=
không xác định.
Vậy qua ví dụ này ta thấy khi giải một bài toán liên quan đến phương trình thường
xuất hiện nghiệm ngoại lai hoặc mất nghiệm.
+ Nghiệm ngoại lai là những nghiệm của phương trình biến đổi, thuộc vào phần mở rộng
của miền xác định.
+ Mất nghiệm là hiện tượng nếu sau phép biến đổi nào đó, miền xác định của pt đã cho bị
thu hẹp lại thì tập hợp nghiệm của nó cũng có thể bị thu hẹp lại một số nghiệm nào đó có
thể bị mất đi.
Trước đây các định lý về pt tương đương được gọi là các phép biến đổi tương
đương và thường được trình bày một cách có hệ thống sau khi đã giới thiệu khá đầy đủ về
khái niệm phương trình. Cách làm đó còn mang tính kinh nghiệm, ít hiệu quả và thường
gây sự nhàm chán cho HS.
Hiện nay để tăng cường tính thực hành, chương trình Toán THCS đã có sự thay
đổi: Không đưa vào các định lý về các phép biến đổi tương đương phát biểu như cũ.
* Khái niệm tập nghiệm của phương trình. Tập S là một tập hữu hạn hay vô hạn. Chương
trình SGK Toán THCS định nghĩa ngắn gọn dễ hiểu hơn đối với học sinh. Giải Phương
trình là tìm tất cả các nghiệm hay tìm tập nghiệm của phương trình đó.
4. Khái niệm phương trình tương đương.
* Khái niệm này dựa trên khái niệm nghiệm của phương trình. Đó là một cách tiếp cận
đơn giản và chính xác. Từ đó giúp học sinh hiểu được rằng: Hai phương trình có cùng tập
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
7
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
nghiệm nghĩa là nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia và
ngược lại.
* Khái niệm phương trình tương đương có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Khái

niệm này đã thiết lập một quan hệ tương đương trong tập hợp các phương trình. Tuy
nhiên trong chương trình Toán THCS không nói rõ vấn đề này vì tính chất đó là hiển
nhiên và học sinh cũng dễ chấp nhận khi sử dụng.
* Ký hiệu “
⇔
” lần đầu tiên được sử dụng để chỉ sự tương đương của pt.
VD: x + 1 = 0
⇔
x = -1
Trong quá trình giải các bài toán liên quan đến pt thì học sinh sẽ phải dựa vào tập
số mà ta đang xét để giải quyết các bài tập đó
5. Các định lý về phương trình tương đương.
C. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH.
Trong chương trình Toán THCS, học sinh sẽ được học các dạng phương trình sau:
1. Phương trình bậc nhất một ẩn, bậc hai một ẩn.
2. Phương trình bậc nhất 2 ẩn.
3. Phương trình tích.
4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
6. Phương trình quy về phường trình bậc nhất, bậc hai.
Ngoài ra còn có những dạng phương trình khác nhau như: phương trình bậc 3, bậc 4,
phương trình bậc cao, phương trình vô tỷ ( phương trình chứa ẩn dưới dấu căn). Tuy
nhiên những dạng phương trình này thường giành cho học sinh khá giỏi, chủ yếu là học
sinh tự học, tự nghiên cứu.
1. Phương trình bậc nhất.
1.1. Phương trình bậc nhất một ẩn
a. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax + b = 0 với a,
b cho trước và a
≠
0

b. Cách giải phương trình bậc nhất 1 ẩn:
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
8
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
ax + b = 0 (a
≠
0)

⇔
ax = -b
⇔

b
x
a
= −
Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a
≠
0), luôn có một nghiệm duy nhất
b
x
a
= −
- Chương trình SGK Toán 8 chỉ đưa vào cách giải phương trình bậc nhất một ẩn với hệ số
của x khác 0 còn trường hợp a = 0 không được đưa vào để tránh làm cho học sinh cảm
thấy phức tạp.
1.2. Phương trình bậc nhất 2 ẩn
a. Khái niệm: Phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ thức dạng:
ax + by = c (*)
Trong đó a, b, c là các số đã biết (a

≠
0 hoặc b
≠
0 )
Cặp số (x
0
; y
0
) được gọi là một nghiệm của phương trình (*) hay (*) có nghiệm là (x; y)
b. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn.
- Phương trình bậc nhất 2 ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm
Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c (d)


- Nếu a
≠
0, b
≠
0 thì (d) chính là đồ thị của hàm số.

c
x
a
=
a c
y x
b d
= − +
- Nếu a
≠

0, b = 0 thì pt trở thành ax = c
⇔

c
x
a
=
(d) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung
- Nếu a = 0, b
≠
0 thì phương trình trở thành by = c hay
c
y
b
=
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
9
0
(d)
x
y
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
(d) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.
VD1: Biểu diễn tập nghiệm của pt sau: 3x – y = 2
Lập bảng giá trị
x
1
3
−
0

2
3
1
y -3 -2 0 1

Bài 4: Với giá trị nào của m thì phương trình sau vô nghiệm
(m+1)
2
x + 1 – m = (7m – 5)x
Bài 5: Với điều kiện nào của m, a, b thì các phương trình sau có vô số nghiệm:
a. m
2
x = 9x + m
2
– 4m + 3
b. (x-1)a + (2x + 1)b = x + 2
Bài 6: Xét (d): (2m + 3)x + (m +5)y + 4m – 1= 0 (m là tham số )
a. vẽ (d) ứng với m = 1
b. Tìm điểm cố định mà mọi đường thẳng (d) đều đi qua
Bài 7: Đường thẳng ax + by = 6 ( a>0, b>0) tạo với các toạ độ một tam giác có diện
tích bằng 9. Tìm tích a.b
Bài 8: Cho a, b
∈
R
+
thỏa mãn a + b = 4
ab
. Tính tỉ số
a
b

Bài 9: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm với mọi a, b
a. x(x-a) +x(x-b) + (x-a)(x-b) = 0
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
10
3x – y = 2
0 x
y
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
b. x
2
+ (a+b)x – 2(a
2
– ab + b
2
) = 0
Bài 10: Tìm p nguyen to sao cho phương trình x
2
+ px – 12p = 0 có 2 nghiệm đều
ngưyên.
Bài 11: Dùng hệ thức Viét để tính nhẩm nghiệm của pt:
a. x
2
– 7x + 12 = 0
b. x
2
+ 7x + 12 = 0
Bài 12: Tìm giá trị của m để pt có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m:
a. x
2
– 2x + m = 0

b. x
2
+ 2(m-1)x + m
2
= 0
c. (m-1)x
2
+ (m+1)x + 2 = 0 ( m
≠
1)
Bài 13: Xác định giá trị của m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
(m-1)x
2
– 2x + 3 = 0
Bài 14: Tìm 2 số khi biết:
Tổng của chúng bằng 2, tích của chúng bằng .
Bài 15: Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm bằng:
a. Bình phương của các nghiệm của phương trình: x
2
– 2x – 1 = 0
b. Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình: x
2
+ mx – 2 = 0
Bài 16 : Cho phương trình: x
2
+ bx + c = 0 có các nghiệm x
1,
x
2
và phương trình x

2
–
b
2
x + bc = 0 có các nghiệm x
3,
x
4
. Biết x
3
– x
1
= x
4
– x
2
= 1. Xác định b và c
Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. 2x + x + 12 = 0
b. 15 – 8x = 9 – 5x
Bài 2
a. Tìm giá trị của m sao cho phương trình sau nhận x = -2 làm nghiệm:
2x + m = x – 1
b. Tìm giá trị của k biết một trong 2 phương trình sau đây nhận x = 5 làm nghiệm,
phương trình còn lại nhận x = -1 làm nghiệm: 2x = 10 và 3 – kx = 2.
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
11
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
Bài 3: Tìm tập nghiệm của mỗi phương trình sau và vẽ đường thẳng biểu diễn tập

nghiệm của nó
a. x + 5y = 3
b. 4x + 0y = -2
1.3. Phương trình quy về phương trình bậc nhất ax + b = 0 ( a
≠
0)
Mục tiêu chính của các tác giả khi đưa “Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
( a
≠
0) vào chương trình SGK Toán 8 là giúp cho học sinh ôn tập, củng cố kiến thức
đã học về pt bậc nhất và đặc biệt là cách xử lý những tình huống đơn giản thường
gặp.
VD: Giải phương trình: 2x – (3 – 5x) = 4(x + 3) (2)
(2)
⇔
2x – 3 + 5x = 4x + 12
⇔
2x + 5x – 4x = 12 + 3
⇔
3x = 15
⇔
x = 5
Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phương trình
a.
1 2 3 4
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ = +
b.

342 323 300 273
10
15 17 19 21
x x x x− − − −
+ + + =
Bài 2: Giải các phương trình sau với a, b, c là các tham số
a. a(ax+b) = b
2
(x-1)
b. a
2
x – ab = b
2
(x-1)
c.
2
1 2
1 1 1
x a x a
a a a
− −
+ =
+ − −
d.
3
x a x b x c
b c a c a b
− − −
+ + =
+ + +

Bài 3: Tìm nghiệm duy nhất của phương trình
a.
ax 2b bx a
a b
+ +
=
b.
ax axb b
bx a bx a
− +
=
+ −
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
12
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
Bài 4: Giải các phương trình
a.
2
( )( ) ( )( ) ( )( )
x x x
a b a c b a b c c a c b
+ + =
− − − − − −
b.
2 3 4
( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 2)( 3) ( 2)( 3)
x x x a
a a a a a a a a
− + =
− − − − − − − −

Bài 5: Tìm giá trị của m để:
1 4
80
3 9
x x x+ + =
có nghiệm gấp 18 lần của phương trình 6m – x = 2(8m-3x)
2. Phương trình bậc 2 một ẩn.
2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc 2 một ẩn ( nói gọn là phương trình bậc 2) là phương
trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ
số ( a
≠
0)
2.2.Cách giải.
+ Đưa về phương trình tích
+ Sử dụng công thức nghiệm: ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0).

2
4b ac∆ = −
*
∆
>0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

1 2
;

2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
*
∆
=0 thì phương trình có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
*
∆
<0 thì phương trình vô nghiệm.
* Công thức nghiệm thu gọn: ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) và b = 2b’,
' '
b ac∆ = −
+
'
∆
=0 thì pt có nghiệm kép
'

1 2
b
x x
a
= = −
+
'
0∆ >
thì pt có 2 nghiệm phân biệt

' ' ' '
1 2
;
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
+
'
0∆ <
thì pt vô nghiệm
2.3. Định lý Viét và ứng dụng của nó.
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
13
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
* Định Lý: + Nếu pt bậc 2 ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm thì
1

1 2
2
b
x x
a
c
x x
a
−

+ =




=


Đảo lại nếu có 2 số u, v thoả mãn u + v = S, uv = P thì u, v là nghiệm của phương trình
bậc hai x
2
+ Sx + P = 0 ( Đk: S
2
– 4P
≥
0)
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x
1
=1,
2

c
x
a
=
+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm
1 2
1,
c
x x
a
= − = −
* Ứng dụng: Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số có tổng bằng S và có tích bằng P thì 2 số đó là 2 nghiệm của pt: x
2
– Sx + P = 0
( Đk: S
2
– 4P
≥
0)
Việc trình bày lý thuyết về pt bậc 2 trong chương trình SGK Toán 9 chính là tiếp tục thực
hiện mục tiêu của chương trình đại số ở cấp THCS. Tuy chỉ là mở đầu và là trường hợp
đơn giản của pt bậc 2 song nó lại vô cùng quan trọng vì nó đã giải quyết gần hết mọi vấn
đề cơ bản về lý thuyết cũng như về kỹ thuật tính toán như quy tắc giải pt bậc 2 dạng ax
2
+
c = 0, ax
2
+ bx = 0 và dạng tổng quát ax
2

+ bx + c = 0 (
0a
≠
) và việc nhẩm nghiệm của pt
bậc 2 dựa vào định lý Viét và ứng dụng của chúng.
3. Phương trình quy về phương trình bậc 2.
+ Phương trình trùng phương
+ Phương trình chứa ẩn ở mẫu
+ Phương trình tích.
4. Phương trình tích:
Phương pháp tiếp cận phương trình tích là dựa vào 1 tính chất đã học của tập hợp số.
Trong một tích nếu có 1 thừa số của tích bằng 0 thi tích bằng 0. Ngược lại nếu tích bằng 0
thì ít nhất 1 thừa số của tích phải bằng 0.
0ab = ⇔
0
0
a
b
=


=

Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
14
GVHD: Nguyễn Thị Thanh Hà
Phương trình tích là bài học huy động tối đa lượng kiến thức về việc phân tích đa thức
thành nhân tử.
VD: x
2

– 4x + 3 = 0
⇔
x
2
– x – 3x + 3 = 0

⇔
x(x-1) -3 (x-1) = 0

⇔
(x-1)(x-3) = 0
⇔
1 0
3 0
x
x
− =


− =

⇔
1
3
x
x
=


=


Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải phương trình:
a. 2x
2
– 7x + 3 = 0 c. 16z
2
+24z + 9 = 0
b. 6x
2
+ x + 5 = 0 d. x
2
= 12x + 288
e. 15x
2
+ 4x – 2009 = 0 f.
2
19
7 1890 0
5
x x− − + =
Bài 2: Cho phương trình: x
2
– 2(m-1)x + m
2
= 0 ( m là tham số)
Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt?, có nghiệm kép?, vô
nghiệm?
Bài 3: Tìm k để pt sau có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia x
2

- (2k+1)x + k
2
+ 2 = 0
Bài 4: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của một phương trình. Lập phương trình bậc 2 có các
nghiệm là 2x
1
+ x
2
và 2x
2
+ x
1
Bài 5: Giải các phương trình
a. x
4
– 5x
2
+ 4 = 0
b. 2x
4
– 3x
2
– 2 = 0
c. 0,3x
4
+ 1,8x

2
+ 1,5 = 0
Bài 6: Giải các pt
a. (3x
2
– 5x + 1)(x
2
– 4) = 0
b. (x-3)
2
+ (x+4)
2
= 23 – 3x
c. 5 7x x x− = +
d. (x-1)
3
+ 0,5x
2
= x(x
2
+1,5)
e.
2
1 1
( ) 4( ) 3 0x x
x x
+ − + + =
Trường CĐSP Hà Nam Lớp Toán – Lý K11
15