Khao sat ham bac 3 va cac bai toan lien quan

ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3
Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a ≠ 0 có đồ thò là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b
−b
(a ≠ 0 )
1) y” = 0 ⇔ x =
3a
−b
x=
là hoành độ điểm uốn. Đồ thò hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
3a
2)
i)
ii)
iii)

Để vẽ đồ thò 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm)
a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x1)
+ hàm số tăng trên (x2, +∞)
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ
điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x1)

+ hàm số giảm trên (x2, +∞)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
3)

Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0;
thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là y = r x + q

4)

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
⇔ 
y(x1 ).y(x 2 ) < 0

5)
i)

Giả sử a > 0 ta có :
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > α
y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa α < x1 < x 2

⇔ y(α) < 0

y(x1 ).y(x 2 ) < 0
ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < α
y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa x1 < x 2 < α

⇔ y(α ) > 0

y(x1 ).y(x 2 ) < 0

Tương tự khi a < 0 .
6) Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M ∈ (C).
Nếu M ≡ I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.



Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn.
7)

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y(x0) = 0
(x0 là hoành độ điểm uốn)

Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α là 1 nghiệm
của (1).
Nếu x = α là 1 nghiệm của (1), ta có
ax3 + bx2 + cx + d = (x - α)(ax2 + b1x + c1)
nghiệm của (1) là x = α với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường
hợp sau:
i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
ii) nếu (2) có nghiệm kép x = α thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ α thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là
y = −x3 + mx2 − m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
1)
Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác

A , Bø . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp
tuyến tại M với (C).
2)
Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C).
3)
Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
4)
Đònh p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung
điểm của hai tiếp điểm là điểm cố đònh.
5)
Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6)
Tìm điểm cố đònh của (Cm). Đònh m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố đònh này vuông góc nhau.
7)
Đònh m để (Cm) có 2 điểm cực trò. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò.
8)
Đònh m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9)
Đònh m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghòch biến trong (0, +∞).
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành
hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
8)

BÀI GIẢI
PHẦN I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thò (độc giả tự làm)

1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại
tại x = 2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại M
là k1 = – 3n2 + 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp




1
(với 0 < k1 ≤ 3). Hoành độ của tiếp
k1
1
tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x = −
(= k2)
k1
1
⇔ 3x2 – 6x −
= 0. Phương trình này có a.c < 0, ∀ k1 ∈ (0, 3] nên có 2
k1

tuyến tại M có hệ số góc là k2 = −

nghiệm phân biệt, ∀ k1 ∈ (0, 3]. Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt
mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.
2) E (e, 1) ∈ ∆. Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D).
 − x3 + 3n 2 − 3 = h(x − e) + 1
(D) tiếp xúc (C) ⇔ hệ 
có nghiệm.
2
−
3

x
+
6
x
=
h

⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1
(1)
3
2
⇔
– x + 3x – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
⇔
(x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
⇔
x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex
⇔
x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0
(2)
2
(2) có ∆ = (3e – 1) – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2
5
Ta có ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e > .
3
Biện luận :
5
i) Nếu e < – 1 hay < e < 2 hay e > 2

3
⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ có 3 tiếp tuyến.
5
ii) Nếu e = – 1 hay e = hay e = 2
3
⇒ (1) có 2 nghiệm ⇒ có 2 tiếp tuyến.
5
iii) Nếu – 1 < e < ⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ có 1 tiếp tuyến.
3
Nhận xét : Từ đồ thò, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1)
chắc chắn có nghiệm x = 2, ∀ e.
3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), ∀ e và đường x = α không là tiếp
tuyến nên yêu cầu bài toán.
⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1




4)

5)
i)
ii)

5

 e < −1∨ e > 3

⇔
 x1 , x 2 là nghiệm của (2)

 (−3x2 + 6x )(−3x 2 + 6x ) = −1
1
1
2
2


5

e
<
−
1
hay
e
>

3

3e − 1
⇔
 x1 + x2 =
 x .x = 1 2
 1 2
 9x1.x 2 (x1 − 2)(x 2 − 2) = −1
5

e < −1 hay e >
⇔


3
 9 [1 − (3e − 1) + 4] = −1
55
 55 
⇔ e=
. Vậy E  ,1
27
 27 
Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :
y' = p ⇔ 3x2 – 6x + p = 0
(3)
Ta có ∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3
Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p.
Gọi x3, x4 là nghiệm của (3).
Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm. Ta có :
x3 + x 4 − b
=
=1
2
2a
y3 + y 4 − (x33 + x34 ) + 3(x32 + x 24 ) − 6
=
= −1
2
2
Vậy điểm cố đònh (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M3M4.
Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a ≠ 0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :
∀ M ∈ (C), ta có :
Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.

Cách 2 : Gọi M(x0, y0) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :
y = k(x – x0) − x30 + 3x 20 − 3
(D)
Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
− x 3 + 3 x 2 − 3 = (−3 x 2 + 6 x)( x − x0 ) − x03 + 3 x02 − 3
(5)
3
3
2
2
2
⇔
x − x 0 − 3(x − x 0 ) + (x − x 0 )(−3x + 6x) = 0

⇔
⇔

x − x 0 = 0 ∨ x2 + xx 0 + x20 − 3x − 3x 0 − 3x 2 + 6x = 0
x = x 0 hay 2x 2 − (3 + x 0 )x − x 20 + 3x 0 = 0




x = x 0 hay (x − x 0 )(2x + x 0 − 3) = 0
3 − x0
⇔
x = x 0 hay x =
2
Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0) ∈ (C)
3 − x0

⇔
x0 =
⇔ x0 = 1
2
Suy ra, y0 = 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn).
Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm
kép là x0
Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x2 + 2mx
6) (Cm) qua (x, y), ∀m
⇔ y + x3 = m (x2 – 1) , ∀m
x 2 − 1 = 0
x = 1
x = −1
⇔
⇔
hay



3
y = −1
y = 1
y + x = 0
Vậy (Cm) qua 2 điểm cố đònh là H(1, –1) và K(–1, 1).
Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần
lượt là :
a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m.
2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau.
± 10
⇔ a1.a2 = – 1 ⇔ 9 – 4m2 = – 1 ⇔ m =

.
2
7) Hàm có cực trò ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
⇔ 3x2 = 2mx có 2 nghiệm phân biệt.
2m
⇔ x = 0 và x =
là 2 nghiệm phân biệt.
3
⇔ m ≠ 0. Khi đó, ta có :
1 
2
 1
y =  m 2 x − m  +  x − m  y'
9 
9
 3
và phương trình đường thẳng qua 2 cực trò là :
2
y = m 2 x − m (với m ≠ 0)
9
8) Khi m ≠ 0, gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta có :
2m
x1.x2 = 0 và x1 + x2 =
3
2
 2

⇒
y(x1).y(x2) =  m 2 x1 − m  m 2 x 2 − m 
9

 9

2
4
= − m 2 (x1 + x 2 ) + m 2 = − m 4 + m 2
9
27

⇔




Với m ≠ 0, ta có y(x1).y(x2) < 0

⇔

−

4 2
m +1 < 0
27

27
3 3
⇔ m>
4
2
Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2

⇔ 
y(x1 ).y(x 2 ) < 0

⇔

m2 >

⇔

m >

Nhận xét :

3 3
2

3 3
thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương.
2
3 3
thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.
Khi m >
2
a) Hàm đồng biến trên (1,2) ⇔ – 3x2 + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2). Nếu m ≠ 0 ta
2m
có hoành độ 2 điểm cực trò là 0 và
.
3
 2m 
Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 

,0 . Vậy loại trường hợp m <
 3 
0
Nếu m = 0 ⇒ hàm luôn nghòch biến (loại).

i) Khi m < −
ii)

9)

i)
ii)

 2m 
iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 0,
 3 
 2m 
Do đó, ycbt ⇔ m > 0 và [1,2] ⊂ 0,
 3 
2m
⇔
≥2 ⇔ m≥3
3
b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0.
2m 

Khi m ≤ 0 ta có hàm số nghòch biến trên  − ∞,
và hàm số cũng
3 


nghòch biến trên [0, +∞).
Vậy để hàm nghòch biến trên [0, +∞) thì m ≤ 0.
Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn.

10)

y" = – 6x + 2m , y" = 0 ⇔ x =

m
3

(Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.




y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành.


3 3
3 3
m>
 m >

2 ⇔
2
⇔
 m

3



m
m2
 y  = 0
−
+ m.
−m=0
 27
  3 
9

3 3
 m >
±3 6
2
⇔
⇔m =

2
2
 2m − 1 = 0
 27
11) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Dk) là
– x3 + mx2 – m = kx + k + 1
⇔ m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = k + 1 – x + x2
⇔ x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0
(11)
a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

⇔ (11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1
1 + m + 1 + k + m + 1 ≠ 0
⇔

2
 (m + 1) − 4( k + m + 1) > 0
 k ≠ −2m − 3
m 2 − 2m − 3
⇔ (*) 
 k <
4
b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1) ∈ (Cm) nên ta có :
(Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.
 m 2m 3

⇒
(Dk) qua điểm uốn  ;
− m  của (Cm)
 3 27


⇔

2m 3
m 
− m = k  + 1 + 1
27

3
3

2m − 27m − 27
⇒
k=
(**)
9(m + 3)
Vậy ycbt ⇔ k thỏa (*) và (**).
12) Phương trình tiếp tuyến với (Cm) đi qua (–1,1) có dạng :
y = k(x + 1) + 1
(Dk)
Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (Dk) và (Cm) là :
– x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1
(12)
2
2
3
⇔ m(x – 1) = (– 3x + 2mx)(x + 1) + 1 + x
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2
⇔ x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0
(13)

⇒




m +1
2
y' (–1) = – 2m – 3
2
 m + 1

 m + 1
 m + 1 1 2
y' 
 = −3
 + 2m 
 = (m – 2m – 3)
 2 
 2 
 2  4
Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là :
y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
1
y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1
4
Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc
chắn có nghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm
là x = – 1.
13) Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là :
h = – 3x2 + 2mx
b m
Ta có h đạt cực đại và là max khi x = − = (hoành độ điểm uốn)
2a 3
Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

⇔

x=–1 ∨ x=

2

 2 m  m2 m2
Nhận xét : − 3x + 2mx = −3 x −  +
≤
3
3
3

Ghi chú : Đối với hàm bậc 3
y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có :
i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
2