Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ KIỀU THU

NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TOÁN
BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ KIỀU THU

NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TOÁN
BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

THÁI NGUYÊN - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực
và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ
cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 7 năm 2017
Người viết luận văn

Nguyễn Thị Kiều Thu

i


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong
suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy
cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường ĐHSP Hà Nội
đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trong, tạo điều kiện thuận lợi và cho
tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận
văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ
và chia sẻ với tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 7 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Kiều Thu

ii


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 2
1.1. Một số khái niệm ....................................................................................... 2
1.1.1. Không gian 𝐿𝑚 (Ω) .............................................................................. 2
1.1.2. Bất đẳng thức Holder .......................................................................... 2
1.1.3. Không gian𝑊𝑚1 (Ω) ............................................................................. 4
1.1.4. Định lý nhúng ...................................................................................... 4
1.1.5. Định lý vết ........................................................................................... 4
1.1.6. Công thức tích phân từng phần ........................................................... 5
1.1.7. Bất đẳng thức Cauchy suy rộng .......................................................... 5
1.2. Đạo hàm Frechet cấp một .......................................................................... 6
1.2.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet ............................................................... 6
1.2.2. Các ví dụ.............................................................................................. 6
1.2.3. Các tính chất ........................................................................................ 9
1.3. Đạo hàm Frechet cấp hai ........................................................................... 9
1.3.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet cấp hai ................................................. 10
1.3.2. Các ví dụ............................................................................................ 11
1.3.3. Vi phân cấp hai của phiếm hàm ........................................................ 12
1.3.4. Phân tích Taylor của phiếm hàm ....................................................... 12
1.4. Điểm dừng của phiếm hàm...................................................................... 13
1.4.1. Khái niệm .......................................................................................... 13
1.4.2. Điều kiện cần đối với cực trị của phiếm hàm ................................... 13

1.5. Điều kiện đủ của cực trị........................................................................... 14
1.5.1. Điều kiện đủ của cực tiểu địa phương ............................................... 14
1.5.2. Điều kiện đủ của cực tiểu toàn cục ................................................... 15

iii


Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE. NGUYÊN LÍ
DIRICHLET. ................................................................................................... 17
2.1. Phiếm hàm năng lượng ............................................................................ 17
2.1.1. Phiếm hàm năng lượng sinh bởi hàm Lagrange ............................... 17
2.1.2. Điều kiện của hàm Lagrange............................................................ 17
2.1.3. Miền xác định của phiếm hàm năng lượng ....................................... 17
2.2. Phương trình Euler-Lagrange .................................................................. 18
2.3. Sự tồn tại cực tiểu toàn cục của phiếm hàm năng lượng ....................... 21
2.3.1. Điểm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng ....................................... 21
2.3.2. Đạo hàm cấp hai của hàm số 𝐽(𝑡) ..................................................... 21
2.3.3. Sự tồn tại cực tiểu địa phương của phiếm hàm năng lượng.............. 22
2.3.4. Sự tồn tại cực điểm toàn cục của phiếm hàm năng lượng ................ 22
2.4. Nghiệm yếu của bài toán biên đối với một lớp phương trình elipptic á
tuyến tính cấp hai. Nguyên lí Dirichlet .......................................................... 23
2.4.1. Phương trình Euler - Lagrange.......................................................... 23
2.4.2. Nghiệm yếu của bài toán (2.16) và (2.17)......................................... 23
2.4.3. Nguyên lý Dirichlet ........................................................................... 23
2.4.4. Ví dụ .................................................................................................. 25
KẾT LUẬN....................................................................................................... 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 29

iv

MỞ ĐẦU
Từ lâu trong lĩnh vực Giải tích điều hòa, nhà toán học Dirichlet đã chỉ ra
một nguyên lý biến phân quan trọng, đó là: nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối
với phương trình Laplace chính là cực tiểu của phiếm hàm năng lượng. Nguyên
lý này hiện nay được gọi là Nguyên lý Dirichlet. Nhằm mở rộng phạm vi của
nguyên lý biến phân này, khi tìm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng được sinh
bởi một hàm được gọi là hàm Lagrange của hệ vật chất nào đó trong miền hữu
hạn của không gian nhiều chiều, Euler và Lagrange đã nhận được điều kiện cần
cho cực tiểu, đó là hàm cực tiểu của phiếm hàm cần phải thỏa mãn một phương
trình đạo nhàm riêng á tuyến tính cấp hai, mà bây giờ được mang tên các ông:
Phương trình Euler-Lagrange.
Luận văn trình bày nguyên lý Dirichlet mô tả mối quan hệ giữa nghiệm của
bài toán cực tiểu phiếm hàm năng lượng và nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối
với phương trình Euler-Lagrange, một lớp quan trọng trong số các phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai.
Nội dung luận văn gồm 29 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội
dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống phép tính vi phân trong không
gian banach, các không gian hàm , đạo hàm frechet cấp một , đạo hàm frechet cấp
hai, điều kiện đủ của cực trị.
Chương 2: Áp dụng kiến thức chuẩn bị vào chương 2 để kháo sát bài toán
cực tiểu của phiếm hàm năng lượng và trình bày nguyên lý Dirichlet đối với bài
toán biên thứ nhất cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai.
Luận văn được viết chủ yếu bởi tài liệu tham khảo [1] và [3].

1


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Không gian 𝑳𝒎 (Ω)
Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền giới nội với biên 𝜕Ω. Giả sử m ≥ 1.
Không gian 𝐿𝑚 (Ω) bao gồm các hàm 𝑢(𝑥) sao cho |𝑢(𝑥)|𝑚 ∈ 𝐿𝑚 (Ω) .
Tức là
𝐿𝑚 (Ω) = {𝑢(𝑥), ∫Ω|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥 < +∞} .
Đại lượng
1

‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω) = ‖𝑢‖𝑚,Ω = ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥)𝑚

(1.1)

là chuẩn của hàm 𝑢(𝑥).
Nhân xét:
+ Lm (Ω) là không gian Banach.
+ Khi m = 2, không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω) = ∫Ω 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥.
+ Khi m = ∞, không gian L∞ (Ω) gồm các hàm bị chặn đều trong miền Ω với
chuẩn sau
‖𝑢‖𝐿∞(Ω) = vrai sup u( x)
x

1.1.2. Bất đẳng thức Holder
Định lý 1.1. Bất đẳng thức Holder
Giả sử 𝑢 ∈ 𝐿𝑚 (Ω), v ∈ 𝐿𝑚′ (Ω)
2

Khi đó

 u( x)v( x)dx  ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖ v ‖𝐿𝑚′ (Ω) với



1
𝑚

+

1
𝑚′

=1

Chứng minh.
Trước tiên ta đi chứng minh bất đẳng thức cơ bản
𝑋𝑌 ≤

𝑋𝑚
𝑚

′

+

𝑌𝑚

, 𝑋 ≥ 0, 𝑌 ≥ 0.

𝑚′

Thật vậy , xét hàm 𝑋𝑌 −

𝑋𝑚
𝑚

(1.2)

của biến X trên [0; ∞).
1

Hàm này chỉ đạt giá trị lớn nhất tại điểm 𝑋 = 𝑌 𝑚−1 và giá trị lớn nhất đó
′

bằng

𝑌𝑚

𝑚′

. Do đó
𝑋𝑌 −

𝑋𝑚
𝑚

′

≤

𝑌𝑚

𝑚′

.

Vậy (1.2) được chứng minh.
−1

Đặt 𝑋 = |𝑢| ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥) 𝑚 ,
𝑌 = |𝑣| ∫Ω(

′
|𝑣(𝑥)|𝑚

−1
𝑚′

𝑑𝑥) .

Từ (1.2) ta có
|𝑢||𝑣| ∫

(|𝑢(𝑥)|𝑚

−1
−1

′
′
𝑚
𝑚
𝑚
𝑑𝑥) ∫ (|𝑣(𝑥)| 𝑑𝑥)

Ω

≤

1
𝑚

Ω

|𝑢|𝑚 ∫Ω ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥)−1 +

1
𝑚

′

−1

𝑣 𝑚 ∫Ω(|𝑣(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥) .
′

Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức ta nhận được

 u( x)v( x)dx  ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖𝑣‖𝐿𝑚′ (Ω) .



Chú ý: Bất đẳng thức Horder suy rộng
3

□


Giả sử 𝑢𝑖 ∈ 𝐿𝑚𝑖 (Ω), 𝑖 = 1, … , 𝑘. Khi đó bất đẳng thức Holder suy rộng
được định nghĩa bởi công thức
|∫ 𝑢1 (𝑥) 𝑢2 (𝑥) … 𝑢𝑘 (𝑥)𝑑𝑥| ≤ ‖𝑢1 ‖𝐿𝑚 (Ω)‖𝑢2 ‖𝐿 𝑚 (Ω) … ‖𝑢𝑘 ‖𝐿𝑚 (Ω),
1

với

1
𝑚1

+

1
𝑚2

+ ⋯+

1
𝑚𝑘

2

𝑘

= 1, 𝑚𝑖 > 1.

1.1.3. Không gian 𝑾𝟏𝒎 (Ω)
Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền giới nội với biến 𝜕Ω. Giả sử m ≥ 1. Không
1
gian Wm
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω) và được định

nghĩa bởi công thức sau :
𝑊𝑚1 (Ω) = {𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω); 𝑢𝑥𝑖 (𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω)| với 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛 }.
Chuẩn 𝑢(𝑥) ∊ 𝑊𝑚1 (Ω) được xác định bới công thức:

‖𝑢‖𝑊𝑚1 (Ω) = ‖𝑢‖𝐿𝑚 (Ω) + ∑𝑛𝑖=1‖𝑢𝑥𝑖 ‖

𝐿𝑚 (Ω)

.

(1.3)

1.1.4. Định lý nhúng
Định lý 1.2. Các phép nhúng sau đây là liên tục
a)

𝑊𝑚1 (Ω)  𝐿𝑞 (Ω), nếu 𝑚 ≤ 𝑛,

trong đó 𝑞 =
b)

(𝑛−1)𝑚
𝑛−𝑚

𝑣à 𝑞 > 1 𝑙à bất kỳ khi 𝑚 = 𝑛.

̅ ), nếu 𝑚 > 𝑛.
𝑊𝑚1 (Ω)  𝐶(Ω

1.1.5. Định lý vết
Định lý 1.3. Hạn chế của hàm 𝑢(𝑥) trên biên Ω xác định các toán tử vết liên tục
sau đây

𝜕Ω

Ω

4


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full