Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

BÙI THỊ MINH HẢI

MỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ
ĐỊNH LÝ WILSON

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

BÙI THỊ MINH HẢI

MỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ
ĐỊNH LÝ WILSON

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN ĐÌNH BÌNH

THÁI NGUYÊN - 2017


iii

Mục lục
Lời mở đầu

1

1

3
3

2

Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson
1.1 Một số kết quả về đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
1.3

Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . . . . .
Chứng minh ban đầu Định lý Wilson . . . . . . . . . . . . . .

7
15

1.4

Ứng dụng giải một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

35

2.1
2.2

Một dạng tổng quát của Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . . . .
Một dạng tổng quát của Gauss về Định lý Wilson . . . . . . .

35
39

2.3
2.4

Một số chứng minh tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
50


1

Lời mở đầu

Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson là hai trong những định lý hữu ích,
nổi tiếng trong toán học. Chúng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau,
tuy nhiên trong luận văn này, tác giả tập trung vào trình bày các chứng minh
ban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng, các chứng minh tổ hợp gần
đây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson. Thông qua việc chứng minh
tổ hợp, tác giả muốn thể hiện gần đây các nhà toán học vẫn đang tiếp tục nghiên
cứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lý trên trong suốt hai thế
kỷ qua.
Mục đích nghiên cứu
Trình bày các chứng minh ban đầu của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson
và dạng mở rộng của chúng, sau đó trình bày thêm một số chứng minh tổ hợp
gần đây. Đồng thời trình bày một số ứng dụng của hai định lý trên.
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ và
Định lý Wilson.
- Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.
- Một số ứng dụng của hai định lý này.
Dự kiến đóng góp
Từ lịch sử các chứng minh ban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng,
các chứng minh tổ hợp gần đây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.
Thông qua việc chứng minh tổ hợp, chúng tôi muốn thể hiện các nhà toán học
vẫn đang tiếp tục nghiên cứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lý
trên trong suốt hai thế kỷ qua. Đây chính là nét mới so với kiến thức đã học ở


2

bậc Đại học.

Ngoài phần mở đầu và kết luận, bố cục Luận văn dự kiến có 02 chương
chính.
Chương 1. Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson
Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ và
Định lý Wilson.
Chương 2. Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson
Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson, ứng dụng
hai định lý đó.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Đình Bình. Tác giả
xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa
học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn
và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận
văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham
gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9B2 (khóa 2015–2017); Nhà trường và các
phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại
học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại
trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất
cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Do còn hạn chế về nhiều mặt nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rất
mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn.
Tác giả
Bùi Thị Minh Hải


3

Chương 1
Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson
Mục đích của chương là trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về
Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.
Trong suốt luận văn, nhiều khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết số và
tổ hợp sẽ được sử dụng trong chứng minh của Định lý Fermat nhỏ và Định lý
Wilson. Những chứng minh của định lý chính được sử dụng có thể được tìm
thấy trong hầu hết các sách lý thuyết số và tổ hợp. Những bổ đề quan trọng đã
được trình bày trong chương này.

1.1

Một số kết quả về đồng dư

Trong mục này, tác giả trình bày một số kết quả về đồng dư, làm cơ sở để
chứng minh Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.
Những kết quả trong mục này được tác giả tham khảo từ [1],[2].

Định nghĩa 1.1.1. Cho a, b và m là các số nguyên, và m > 0. Nếu m|(a − b) thì
ta nói a đồng dư với b (mod m) và ta viết
a≡b

(mod m).

Các khái niệm về đồng dư lần đầu tiên được chính thức giới thiệu bởi Gauss


4

trong chương thứ nhất của cuốn Disquisitiones Aritmeticae. Ông chọn kí hiệu

≡ bởi sự gần gũi của nó với đại số [5, p.65]

Bổ đề 1.1.2. Nếu ac ≡ bc (mod m) và gcd (c, m) = 1, thì a ≡ b (mod m).
Bổ đề 1.1.3. (Định lý Nhị thức). Nếu n là số nguyên dương thì
n
n

(x + y) =

∑
k=0

với

n
k

=

n
k

xn−k yk ,

n!
là số các tổ hợp chập k của n phần tử.
k!(n − k)!

Bổ đề 1.1.4. (Định lý đa thức). Nếu k1 , k2 , . . . , km và n là các số nguyên không
âm sao cho với n ≥ 1 và k1 + k2 + . . . + km = n, thì

(x1 + x2 + . . . + xm )n =

∑

n

k1 +k2 +...+km =n

với

n
k1 , k2 , . . . , km

=

k1 , k2 , . . . , km

km
x1k1 x2k2 . . . xm
,

n!
là số các hoán vị lặp của n phần tử.
k1 !k2 ! . . . km !

Bổ đề 1.1.5. (Định lý phần dư Trung Hoa). Cho m1 , m2 , . . . , mr với r ≥ 2 là các
số tự nhiên sao cho chúng nguyên tố cùng nhau từng đôi một và có tích bằng m.
Khi đó hệ r phương trình đồng dư tuyến tính:
x ≡ a1

(mod m1 )

x ≡ a2
..
.

(mod m2 )

x ≡ ar

(mod mr )

có nghiệm duy nhất (mod m).


5

Bổ đề 1.1.6. Nếu a và b là các số nguyên sao cho a ≥ b > 0, khi đó sẽ chỉ tồn
tại duy nhất các số nguyên q, r sao cho a = qb + r và 0 ≤ r < b.
Bổ đề 1.1.7. Cho v là bậc của x (mod N). Nghĩa là v là số nguyên dương nhỏ
nhất sao cho xv ≡ 1 (mod N). Khi đó hệ {1, x, x2 , . . . , xv−1 } là phân biệt (mod N)
và nguyên tố cùng nhau với N.
Bổ đề 1.1.8. Cho d = gcd(a, m). Nếu d|b, thì ax ≡ b (mod m) có chính xác d
nghiệm (mod m).
Bổ đề 1.1.9. Nếu a2 ≡ 1(mod p) và gcd(a, p) = 1 thì a ≡ 1 (mod p) hoặc
a ≡ p − 1(mod p).
Bổ đề 1.1.10. Nếu p là số nguyên tố và 0 < j < p thì p là ước của

Chứng minh. Ta có

=

p!
, vì 0 < j < p nên sẽ không có p ở mẫu
j!(p − j)!

p
, nhưng sẽ có một nhân tử p ở tử số.
j

thức của
Do đó

p
j

p
.
j

p
j

≡ 0 (mod p) nên suy ra p|

p
j

.

Bổ đề 1.1.11. Nếu p là số nguyên tố và 1 ≤ k ≤ p − 1 khi đó

p−1

(−1)k (mod p).
Sử dụng phương pháp quy nạp.
p−1
Đặt S = {k|
≡ (−1)k (mod p)}.
k
Ta có 1 ∈ S vì
Khi đó

p−1
k−1

p−1
1

= p − 1 ≡ −1 (mod p). Giả sử rằng k − 1 ∈ S.

≡ (−1)k−1 (mod p). Theo đẳng thức Pascal,

p−1
k

=

p
p−1

−
.
k
k−1

k

≡


6

Do vậy ta có
p−1

≡−

k

p−1
k−1

≡ (−1)(−1)k−1

(mod p) ≡ (−1)k

(mod p).

Do đó k ∈ S.
Bổ đề 1.1.12. Cho gcd(r, n) = 1 và r1 , r2 , . . . , rϕ(n) là các số nguyên dương bé

hơn n và nguyên tố cùng nhau với n. Nếu r là một căn nguyên thủy của n, khi
đó r, r2 , . . . , rϕ(n) đồng dư mođun n với r1 , r2 , . . . , rϕ(n) theo thứ tự, với ϕ(n) là
số các số nguyên dương bé hơn n và nguyên tố cùng nhau với n.
Bổ đề 1.1.13. Số nguyên n > 1 có căn nguyên thủy khi và chỉ khi n = 2, 4, pe
hoặc 2pe với p là số lẻ, với căn nguyên thủy của n được định nghĩa như sau:
Nếu r, n là các số nguyên tố cùng nhau, n > 0 và nếu ordn = ϕ(n) được gọi là
căn nguyên thủy modunlo n.
Bổ đề 1.1.14. (Công thức Euler). Cho a và n là các số nguyên không âm với
a ≥ n. Khi đó
n! = an −

n
1

(a − 1)n +

+ . . . + (−1)n

n

(a − 2)n −

2
n
n

n
3

(a − 3)n

(a − n)n .

Công thức Euler gốc được chứng minh theo phương pháp quy nạp. Chứng
minh dưới đây sử dụng nguyên lý Bù - Trừ
Chứng minh (How and Turnage, 2007). Ban đầu ta đếm số cách khác nhau để
đặt n vật khác nhau vào trong a ô khác nhau, với điều kiện n ô đầu tiên không
được phép để trống và n ≤ a. Khi đó sẽ có n cách chọn với ô đầu tiên, n − 1
cách chọn với ô thứ hai. Tiếp tục như vậy sẽ có n! cách để đặt vật vào trong các
ô. Bây giờ ta sẽ tìm câu trả lời theo một cách khác.
Đầu tiên, xét tập U là tập bao gồm tất cả cách sắp xếp của các vật khác nhau
vào trong các ô khác nhau không có sự hạn chế. Khi đó |U| = an , vì với mỗi n
vật sẽ có a cách chọn đối với một ô.


7

Gọi Pi là tính chất mà ô thứ i rỗng. Sử dụng nguyên lý Bù - Trừ, ta phân
phối các vật vào trong các ô không chứa bất kì tính chất nào trong các tính chất
P1 , P2 , . . . , Pn . Gọi N(Pi ) là số cách phân phối không chứa tính chất Pi và N(Pi )
là số cách phân phối chứa tính chất Pi . Khi đó sử dụng nguyên lý Bù - Trừ
N(P1 P2 · · · Pn ) = an − ∑ N(Pi ) + ∑ N(Pi Pj ) − ∑ N(Pi Pj Pk )
+ · · · + (−1)n N(P1 P2 · · · Pn ).
n
cách chọn một trong các ô trống và khi
1
đó sẽ có (a − 1)n cách sắp xếp n vật vào a − 1 ô còn lại. Do đó ∑ N(Pi ) =
n
(a − 1)n .
1

Đầu tiên ta tính ∑ N(Pi ). Có

Tương tự, ∑ N(Pi Pj ) =

n
2

(a − 2)n , ∑ N(Pi Pj Pk ) =

n

(a − 3)n và tiếp

3

n
cách chọn k của tính
k
chất và khi đó có (a − k)n cách sắp xếp n vật vào trong (a − k) ô. Do đó

tục như vậy. Do đó tổng quát với k = 1, 2, . . . , n sẽ có

N(P1 P2 · · · Pn ) = an −

n
1

(a − 1)n +

n
2

(a − 2)n − · · · + (−1)n

n
n

(a − n)n ,

hay suy ra
n! = an −

1.2

n
1

(a − 1)n +

n
2

(a − 2)n − · · · + (−1)n

n
n

(a − n)n .

Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ

Định lý 1.2.1. (Định lý Fermat nhỏ) . Nếu p là số nguyên tố, a là một số nguyên
và gcd(a, p) = 1 thì a p−1 ≡ 1 (mod p).
Định lý Fermat nhỏ là cơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất trong
kiểm tra Fermat.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full