đề tài phân tích đa thức thành nhân tử

TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM BẮC NINH
KHOA GD THCS
……….………..

BÀI TIỂU LUẬN
Mơn: Đại số đại cương

TÊN ĐỀ TÀI: ”PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THCS”.

GVHD

:

Th.s Nguyễn Ngọc Đức

Sinh viên :

Ngơ Thúy Hằng

Lớp

:

Sư phạm Tốn 34

Khoa

:

GD THCS

Bắc Ninh, 2015


2

Lời Cám Ơn
Trong thời gian thực hiện, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên
hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã có được một
quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài này.
Kết quả thu hoạch được không chỉ là do nỗ lực cá nhân em mà cịn có sự giúp
đỡ của q thầy cơ và các bạn.
Em xin bày tỏ lịng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc với các thầy giáo,
cô giáo trong khoa GD THCS- Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh luôn tạo
điều kiện để em thực hiện đề tài này.
Em xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn trân thành đến tới Th.s
Nguyễn Ngọc Đức – Giảng viên Khoa GD THCS của Trường Cao Đẳng Sư
Phạm Bắc Ninh, cô đã hướng dẫn và luôn động viên em trong suốt quá trình
nghiên cứu đề tài.
Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa được nhiều, kinh nghiệm cũng
như trình độ hiểu biết có hạn nên đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế,
em kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cơ giáo và
các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin trân thành cảm ơn!
Bắc Ninh, ngày 11 tháng 11 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Ngô Thúy Hằng

3

PHỤ LỤC
A. Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài……………………………….……………………………. 5
2. Mục đích nghiên cứu…………………………….…………………………....5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………….………………………...6
4. Phương pháp nghiên cứu…………………….………………………………..6
5. Cấu trúc tiểu luận………………………………….…………………………..6
B. Nội Dung
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ sở lí luận………………………………………………………………...7
1.2. Cơ sở thực tiễn……………………………………………………………...7
CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

2.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử……………………………….8
2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử……………………..9
C. Kết Luận…………………………………………………….….....…..……25
Tài liệu tham khảo…………………………………………………..………….26


4

Nhận xét của giáo viên:
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………


5

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Cơ sở lý luận

Tốn học là mơn học giữ vai trị quan trọng trong suốt bậc học phổ thông.
Là một môn học khó, địi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để
chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của
chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, để
từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một cơng việc mà bản thân
mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn thường xun phải làm.
Chương trình Tốn bậc THCS có rất nhiều chuyên đề, trong đó chuyên đề
“Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chun đề giữ một vai trị
quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các
biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì khơng
thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình
bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh khơng thành thạo phân tích biểu
thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện,
tỉnh, thành phố,... nhiều năm cũng có những bài tốn về chun đề phân tích đa
thức thành nhân tử,... Chính vì vậy, việc dạy học cho học sinh chuyên đề về
phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tơi hết
sức quan tâm.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Tình trạng học sinh khơng biết phân tích đa thức thành nhân tử, và những
đa thức phức tạp các em cũng chưa biết cách phân tích. Đây là lý do tơi chọn đề
tài này để áp dụng vào việc dạy học của tôi sau này. Với tất cả những lý do nêu
trên, tơi quyết định chọn đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử trong THCS”.
2. Mục đích
Đưa ra những ưu và khuyết điểm trong khi giải toán của học sinh, để học
sinh nắm được chìa khóa của từng phương pháp, những biến đổi, phân tích,
chứng mình hay tính tốn đơn giản trong các bài giải được dành cho các học


6

sinh tự luyện tập. Giúp cho học sinh phát triển được năng lực độc lập suy nghĩ
và tìm tịi, nhờ đó mà xây dựng được khả năng tự học và nghiên cứu.
3. Nhiệm vụ của đề tài
Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử.
Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các
phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài .
Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa
thức thành nhân tử trong giảng dạy sau này.
Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:
Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Phương pháp khảo sát thực tiễn.
Phương pháp quan sát
Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa
Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm
5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, tiểu luận được trình
bày trong 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Phân tích đa thức thành nhân tử


7

B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN THỰC TIỄN
1.1. C¬ së lÝ luËn
Khái niệm biểu thức đại số trong chương trình Tốn THCS nói chung, các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Tốn 8 nói

riêng là một chủ đề đậc biệt quan trọng trong một chuỗi kiến thức Tốn. Bởi vì
vậy, khi nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì học sinh
mới có thể vận dụng kiến thức đó giải cá dạng toán khác nhau như: Rút gọn
phân thức, tìm tập xác định của phân thức, giải phương trình tích, xét tính chia
hết của biểu thức, tính giá trị của biểu thức,…
Như vậy, nhiệm vụ của giáo viên phải truyền đạt như thế nào để học sinh
nắm được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, và qua đó học sinh
rèn luyện khả năng tư duy, khả năng tìm tịi khám phá các kiến thức đồng thời
được củng cố các kiến thức đã học như: phép nhân đơn thức, đa thức và các
hằng đẳng thức đáng nhớ,… để học sinh thấy được mối quan hệ giữa kiến thức
cũ và kiến thức mới.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Phân tích đa thức thành nhân tử là một kiến thức quan trọng trong chương trình
Tốn 8, cũng là một trong những kiến thức khá khó đối với học sinh trung bình
yếu kém. Trong khi tơi chưa có nhiều kinh nghiệm về chuyên đề này, nên tôi
nghiên cứu để giúp học sinh trung bình yếu kém học tốt hơn và nâng cao kiến
thức cho bản thân.


8

CHNG 2: PHN TCH A THC THNH NHN T
2.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
2.1.1. Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức đợc viết dới dạng tích của hai hay
nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đà cho đợc phân tích
thành nhân tử.
+ Với bất kì đa thức (khác 0) nào ta cũng có thể biểu
diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác.
Thật vậy:

anxn + an-1xn-1 + + a0 = c(

an
a
a
xn + n −1 xn – 1 + …..+ 0 ) ( víi c ≠
c
c
c

0, c ≠ 1 ).
2.1.2. Định nghĩa 2
Giả sử P(x) P [ x ] là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là
bất khả quy trên trờng P nếu nó không thể phân tích đợc
thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của
P(x). Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc phân
tích đợc trên P.
2.1.3. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành
nhân tử
2.1.3.1. Định lý 1
Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành
tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất
sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.
2.1.3.2. Định lý 2
Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và
chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức < 0. Vậy
mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích đợc thành
tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai víi ∆ < 0.

9

2.1.3.3. Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )
Giả sử f(x) = a0 + a1x + ….. + anxn , n > 1, an 0, là một
đa thức hệ số nguyên. Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho
p không phải là ớc của an nhng p là ớc của các hệ số còn lại và p 2
không phải là ớc của các số hạng tự do a0. Thế thì đa thức f(x)
là bất khả quy trên Q.
2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân t
Qua các định lý trên, ta đà chứng tỏ rằng mọi đa thức đều
phân tích đợc thành tích các đa thức trên trờng số thực R.
Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thực hành thì khó khăn
hơn nhiều, và đòi hỏi những kĩ thuật, những thói quen và
kĩ năng sơ cấp. Dới đây qua các ví dụ ta xem xét một số
phơng pháp thờng dùng để phân tích một đa thức thành
nhân tử.
2.2.1. Phơng pháp đặt nhân tử chung
Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối
của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngợc).
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)
Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)
= 2x2 (ax + 2by + ax by)
=2x2(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P = (2a2 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
Gi¶i: Ta cã:

P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a

Bµi 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:


10

B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2
Gi¶i: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z
Do ®ã: B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y 2z)(x 5y + 10z)
Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử:
C = (2a2 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)
Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x 4a)
Bài 5: phân tích cỏc đa thức sau thành nh©n tư:
a, Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
b, A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
c, B = x3 + 3x2 + 2x + 6
d, A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
2.2.2. Phơng pháp nhóm các hạng tử
Phơng pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất
giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện
từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau ®ã vËn dơng
tÝnh chÊt ph©n phèi cđa phÐp nh©n víi phép cộng. Sau đây
là một số ví dụ:
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

B = xy2 xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
Gi¶i: Ta cã: B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)
= x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))
= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))


11

= (y z)(x y)(z x)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
Gi¶i: Ta cã: A = 4x5 +6x3 +6x2 +9
= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)
= (2x3 + 3)(2x2 + 3)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
B = x6 + x4 + x2 + 1
Gi¶: Ta cã: B = x6 + x4 + x2 + 1
= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)
= (x2 + 1)(x4 + 1)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tö:
A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1
Gi¶i: Ta cã: A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1
= xm + 3(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(xm + 3 1)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P = x2(y z) + y2(z - x) + z2(x – y)

Gi¶i: Khai triĨn hai sè hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất
hiện thừa sè chung y - z
Ta cã: P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
= (y – z)((x2 + yz – x(y + z))
= (y – z)(x2 + yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))
= (y – z)(x – y)(x – z)
NhËn xÐt: dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)
nªn: P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)


12

=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y z) (x y)(x z)
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a, A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) – abc
b, Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
c, A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
d, P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
2.2.3. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Phơng pháp này dùng hằng đẳng thức để đa một đa
thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa
thức khác.
Các hằng đẳng thức thờng dùng là:
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2y2 + y4
Giải: Ta cã: A = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2
= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)
Bµi 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4


13

Gi¶i: Ta cã:
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4
= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 +
2a2b2 + b4) – a2b2
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )
2

– a2b2
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab+ b2) +(a2 +ab+

b2 )(a2- ab + b2 )
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư:
M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Gi¶i: Ta cã: M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)
= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
Bài 15: Phân tích cỏc đa thức sau thành nh©n tư
a, A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
b, A = (x + y)3 +(x - y)3
c, B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3
d, A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)
e, P = x8 – 28
f, Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
2.2.4. Phơng pháp thực hiện phép chia:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân
tích


14

f(x) = (x a).g(x) vi g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia
f(x) cho (x a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8
Gi¶i:
DƠ thÊy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 =
0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc:
f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)
DÔ thÊy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cã g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc:
g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta cã: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)
VËy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)
= (x + 2)3(x2 + 1)
Khi thùc hiÖn phÐp chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta cã thĨ
sư dơng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia đợc nhanh
hơn.
Ví dô chia f(x) cho (x + 2) nh sau:

-2

1
1

6
4

13
5

14

4

12
4

8
0

VËy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)
Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) nh sau:

-2

1
1

4
2

5
2

4
2

4
0


15

VËy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) nh sau:
-2

1
1

2
0

2
1

2
0

VËy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1)
VËy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư:
P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong c¸c íc
cđa 36: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6 ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36.
Ta thÊy : x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta cã: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36
= x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x3 – 4x2 3x + 18)
Lại phân tích Q = x3 4x2 3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0

Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc :
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)
= (x + 2)(x – 3)2
VËy: P = (x + 2)2(x – 3)2
2.2.5. Phơng pháp đặt ẩn phụ
Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi
biến) ta có thể đa một đa thức với ẩn số cồng kềnh, phức tạp
về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân
tích đợc thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ.
Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12


16

Giải: Đặt: y = x2 + x , đa thức ®· cho trë thµnh:
A = y2 + 4y – 12
= y2 – 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc:
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bµi 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đà cho trở thành:
A = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12
= y2 – 3y + 4y – 12

= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4)

(*)

Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc:
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tư
B = x12 – 3x6 + 1
Gi¶i: B = x12 3x6 + 1
Đặt y = x6 (y 0 )
Đa thức đà cho trở thành:
B = y2 3y + 1
= y2 – 2y + 1 – y
= (y – 1)2 – y


17

= (y – 1 -

y )(y + 1 + y )

(*)

Thay: y = x6 vào (*) đợc:
B = (x6 1 -

x 6 )( y + 1 + x 6 )

= (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)
Bµi 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 - 2
Giải: Đặt: y = x A = (y +

2 , ta cã x = y +

3
2 ) - 3 2 (y +

2

2
2 ) + 3(y +

2) + 2 - 2

= y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2 y + 2) + 3(y +
2) + 2 - 2

= y3 - 3y – 2
= y3 - y – 2y – 2
= y(y2 – 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y – 1) – 2)
= (y + 1)(y2 – y – 2)
= (y + 1)(y + 1)(y – 2)
= (y + 1)2(y – 2)

Thay: y = x A = (x -

2

(*)

vào (*), đợc:

2
2 + 1) (x -

2 - 2)

Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Gi¶i: Ta cã:
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
Đặt: y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đà cho trở thành:
M = y(y + 8) + 15
= y2 + 8y + 15


18

= y2 + 3y + 5y + 15
= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)
Thay: y = (x2 + 8x + 7), ta đợc:

M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
= (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)
= (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng
quát sau: phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
NÕu a + d = b + c. Ta biến đổi A thành:
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tơng tự nh bài 36, ta đa đa thức (1)
về đa thức bậc hai và từ đó phân tích đợc đa thức A thành
tích các nhân tử.
Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Giải: Giả sử x 0 , ta viết đa thức dới dạng:
A = x2((x2 +
Đặt y = x -

1
1
)+7)
2 ) + 6( x x
x
1
1
th× x2 + 2 = y2 + 2
x
x

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7)

Do ®ã:

= x2( y + 3)2
= (xy + 3x)
Thay y = x -

1
, ta đợc
x

A = x( x ) + 3x 
x


1

2

= (x2 + 3x – 1)2

2


19

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét:
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát
sau: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư:

A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + ..
+ a1x + a0
Bằng cách đa xn làm nh©n tư cđa A, hay :
A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an +
+

a n 1
a
+..+ n11
x
x

a0
xn

Sau đó đặt y = x +

1
x

ta sẽ phân tích đợc A thành nhân

tử một cách dễ dàng nh bài tập trên.
Bài 23: Phân tích cỏc đa thức sau thành nhân tử:
a, A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
b, B = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2
c, P = (x – y)3 + (y z)3 + (z x)3
2.2.6. Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng)
Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp
thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa

thức có thể đa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ:
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng mét sè c¸ch nh sau:
C¸ch 1:

A = x2 – 6x + 5
= x2 – x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)


20

Cách 2:

A = x2 6x + 5

Đặt f(x) = x2 – 6x + 5
DƠ thÊy tỉng c¸c hƯ sè cđa f(x) b»ng 0 hay f(x) = 0 nªn f(x)
chia hÕt cho
(x- 1). Thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho (x 1) đợc thơng là (x 5).
Vy

A = (x 1)(x 5)

Chú ý: Để phân tích đa thức ax 2 + bx + c (c 0) bằng phơng
pháp tách số hạng ta làm nh sau:
Bớc 1: lấy tích a.c = t

Bớc 2: phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trờng
hợp) t = pi.qi
Bc 3: tìm trong các cặp nhân tử p i, qi mét cỈp pa, qa sao
cho: pa + qa = b
Bíc 4: viÕt ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c
Bớc 5: từ đây nhóm các số hạng và đa nhân tủ chung ra
ngoài dấu ngoặc.
Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 + 2x2 - 3
Gi¶i:
B = x4 + 2x2 - 3
= x4 – x2+ 3x2 – 3
= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2 + 1
Gi¶i:
A = x4 + x2 + 1
= (x4 + 2x2 + 1) - x2
= (x2 + 1)2 - x2


21

= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Bµi 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 5x2 + 6xy + y2
Gi¶i:
F = 5x2 + 6xy + y2

= (5x2 + 5xy) + (xy + y2)
= 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y)
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a, P = x4 + x2y2 + y4
b, A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
c, P = 4x4 + 81
d, Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
e, A = x3 – x2 – x - 2
f, B = x3 + x2 – x + 2
g, C = x3 – 6x2 – x + 30
2.2.7. Phơng pháp hệ số bất định
Phơng pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng
nhau, ta có thể tính đợc các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi
bằng cách giải một hệ phơng trình sơ cấp.
Sau đây là một số ví dụ:
Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x4 6x3 + 12x2 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng :
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3= x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 +
(ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiÖn:


22
a + c = −16
ac + b + d = 12


ad + bc = −14

bd = 3

XÐt bd = 3 víi b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } víi b = 3; d = 1
HƯ ®iỊu kiƯn trë thµnh:
 a + c = −6

ac = 8
a + 3c = −14


Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do ®ã c = - 4 , a = -2
VËy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng:
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg
= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey 2 + ( bg + ce )y +
cg
= 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hƯ ®iỊu kiƯn:
ad = 3
ae +bd = 22

ag +cd =11


be = 7
bg +ce = 37



cg =10

⇒

a =3


b =1


c =5


d =1


e =7


g =2

VËy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 8x + 63


23

Giải: Ta có thể biểu diễn B dới dạng:
B = x4 – 8x + 63
= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
§ång nhất hai đa thức ta đợc hệ điều kiện:
a + c = 0
ac + b + d = 0


ad + bc = −8

bd = 63

⇔

a


b


c


d


=−
4

=7
=4
=9

VËy: B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)
2.2.8. Phơng pháp xét giá trị riêng
Đây là một phơng pháp khó, nhng nếu áp dụng nó một
cách linh hoạt thì có thể phân tích một đa thức thành
nhân tử rất nhanh. Trong phơng pháp này ta xác định dạng
các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá
trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Sau đây là một số ví dụ:
Bài 32: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0
Nh vËy P chøa thõa sè x – y
Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x thì P
không đổi ( ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x y
z → x. Do ®ã nÕu P chøa thõa sè x – y th× cịng chøa thõa sè

y – z, z – x . VËy P cã d¹ng:
k(x – y)(y – z)(z x)
Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các
biến x, y, z, còn các tích (x y)(y z)(z x) cũng có bậc ba đối
với tập hợp các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x2(y z) + y2(z – x) + z2(x – y)


24

= k(x – y)(y – z)(z – x) ®óng víi mọi x, y, z
nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x =
2; y = 1; z = 0 (*), ta đợc:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
⇔

2 = -2k

⇔

k = -1

VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y z)(x z)
Chú ý: (*) các giá trị cđa x, y, z cã thĨ chän t ý chØ cần
chúng đôi một khác nhau để (x y)(y z)(z x) 0.
Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2y2(y x) + y2z2(z y) + z2x2(y z)
Giải:

Thay x = y thì P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0

Nh vËy P chøa thõa sè x – y.
Ta thÊy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x.
Do ®ã nÕu P chøa thõa sè x – y th× cịng chøa thõa sè y – z, z –
x. VËy P cã d¹ng:
k(x – y)(y z)(z x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép
chia A cho
(x y)(y z)(z x) thơng là h»ng sè k, nghÜa lµ:

P = k(x – y)(y – z)(z – x) với k lµ h»ng sè.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta đợc :
12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)
⇔ -2 = 2k
⇔

k = -1

VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x z)
Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)


25

Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay
đổi. Thay a=b vào A ta có:
A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0
Do ®ã A  (a – b)
Suy ra A  (b – c) vµ A  (c – a). Từ đó:
A (a b)(b c)(c a)
Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nªn trong phÐp
chia A cho
(a – b)(b – c)(c a) thơng là hằng số k, nghĩa là:
A = k(a – b)(b – c)(c – a)
Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta đợc 2 = -2k hay k = - 1
A = -1(a – b)(b – c)(c – a)
= (a – b)(b – c)(a c)

Bài 35: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 y3)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay
đổi. Thay z = y vµo P ta cã:
P = 0 + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = 0
Do ®ã:

P  (y – z)

Suy ra

P  (z – x) vµ P  (x – y)

Tõ ®ã :

P  (y – z)(z – x)(z – x)

MỈt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nªn trong phÐp
chia P cho
(y – z)(z – x)(z x)đợc thơng là hằng số k, nghĩa là:
P = k(y – z)(z – x)(z – x)
Cho: x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc:
2.13 + 1.(-2)3 + 0 = k.1.(-2)
⇔ - 6 = - 2k