Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình toán lớp 10

SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
I.
I.
PHẦN MỞ ĐẦU
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Khi giảng dạy chương trình hình học lớp 10, chương vectơ,gặp dạng toán :
tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước. chúng tôi nhận thấy học
sinh rất lúng túng khi gặp dạng toán này.
Nguyên nhân vì sao? Chúng tôi xin nêu ra mấy nguyên nhân sau:
 Học sinh lần đầu tiên tiếp cận kiến thức về vectơ
 Mặt bằng học lực của học sinh còn yếu
 Học sinh không nắm vững phương pháp
 Bản thân giáo viên còn chủ quan , chưa có sự quan tâm đúng mức đối
với dạng toán này .
Thấy được vấn đề đó, tôi mới đưa ra một sáng kiến nhỏ giúp học sinh với
kiến thức của mình có thể hiểu rõ được phương pháp, giải quyết được một số bài
toán đơn giản về dạng này.
Việc đổi mới phương pháp dạy học đòi hỏi người giáo viên phải tìm ra được
giải pháp giúp học sinh của mình học tốt hơn.
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:
Giúp học sinh giải quyết được một số bài toán đơn giản về dạng bài tập “Tìm
một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước”.
` Giúp học sinh vận dụng được lí thuyết vào giải toán, thực hiện tốt nguyên lí
giáo dục “học đi đôi với hành”.
Đây là kiến thưc không mới nhưng nếu người giáo viên không có sự đầu tư
đúng mức thì hiệu quả thu được sẽ không cao .
3. Nhiệm vụ
Đưa ra đưa ra các kiến thức liên quan
Đưa ra phương pháp giải dạng toán trên
Vận dụng phương pháp vào bài toán cụ thể đánh giá và phân tích kết quả .

Chỉ ra hiệu quả và khả năng ứng dụng của sáng kiến. Nêu kiến nghị .
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :1
SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
II.
II.
PHẦN NỘI DUNG
PHẦN NỘI DUNG
1. Kiến thức liên quan:
Khái niệm hai vectơ cùng hướng, ngược hướng
Dựng một vectơ qua một điểm cố định cho trước bằng một vectơ cho trước
Qui tắc ba điểm
Tích của một số với một vectơ
2. Phương pháp:
Biến đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng
AI
= k
v
, trong đó A là một điểm
cố định, I là điểm cần xác định, k là một số thực khác 0,
v
là vectơ không thay đổi.
Lấy điểm A làm gốc dựng vectơ
AI
= k
v
, như vậy ta đã xác định được điểm
I thoả mãn yêu cầu bài toán.
3. Giải các bài toán
Bài toán 1: Cho hai điểm A và B phân biệt. Tìm điểm I thỏa mãn đẳng thức
vectơ

0IA IB+ =
uur uur r
Để định hướng cho học sinh làm bài toán này ta làm như sau:
+ Cho học sinh vẽ hình
+ Xác định các vectơ không đổi
+ Giữ nguyên một vectơ có chứa điểm cần dựng ở trong đẳng thức vectơ, chẳng
hạn:
IA
uur
.
+ Áp dụng qui tắc 3 điểm biến đổi
?IB IA= +
uur uur
. Khi đó
0 IA+AI+AB=0IA IB+ = ⇔
uur uur r uur uur uuur r
1
2IA IA
2
BA BA⇔ = ⇔ =
uur uuur uur uuur
Vậy điểm I được xác định như sau:
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Xác định điểm I thỏa mãn đẳng thức vectơ
IA IB IC BC+ + =
uur uur uur uuur
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :2
SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
Để định hướng cho học sinh làm bài toán này ta làm như sau:
+ Cho học sinh vẽ hình

+ Xác định các vectơ không đổi
+ Giữ nguyên một vectơ có chứa điểm cần dựng ở trong đẳng thức vectơ, chẳng
hạn:
IA
uur
.
+ Áp dụng qui tắc 3 điểm biến đổi
?IB IA= +
uur uur
và
?IC IA= +
uur uur
. Khi đó
IA IB IC BC+ + =
uur uur uur uuur
IA+(IA+AB)+(IA+AC)=BC⇔
uur uur uuur uur uuur uuur
3IA=BC AC AB⇔ − −
uur uuur uuur uuur

3IA=BC CA AB⇔ + −
uur uuur uuur uuur

3IA=BA AB⇔ −
uur uuur uuur

2
IA
3
BA⇔ =

uur uuur
Vậy điểm I được xác định như sau:

I
Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm I thỏa mãn đẳng thức vectơ
IA IB IC ID BC BD+ + + = +
uur uur uur uur uuur uuur
Để định hướng cho học sinh làm bài toán này ta làm như sau:
+ Cho học sinh vẽ hình

+ Xác định các vectơ không đổi
+ Giữ nguyên một vectơ có chứa điểm cần dựng ở trong đẳng thức vectơ, chẳng
hạn:
IA
uur
.
+ Áp dụng qui tắc 3 điểm biến đổi
?, ?IB IA IC IA= + = +
uur uur uur uur
và
?ID IA= +
uur uur
.
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :3
SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
Khi đó

IA IB IC ID BC BD+ + + = +
uur uur uur uur uuur uuur
IA+(IA+AB)+(IA+AC)+(IA+AD)=BC BD⇔ +

uur uur uuur uur uuur uur uuur uuur uuur
4IA+AB+AC+AD=BC BD⇔ +
uur uuur uuur uuur uuur uuur
4IA=BC BD AB AC AB⇔ + − − −
uur uuur uuur uuur uuur uuur
4IA=BC CA BD DA AB⇔ + + + −
uur uuur uuur uuur uuur uuur
4IA=BA BA AB⇔ + −
uur uuur uuur uuur
4IA=3BA⇔
uur uuur

3
IA
4
BA⇔ =
uur uuur
Vậy điểm I được xác định như sau:

Bài toán 4: Cho đa giác
1 2 1

n n
A A A A
−
. Xác định điểm I thỏa mãn đẳng thức vectơ
2
1 3 1 2 3 2 4 2n n n
IA IA IA IA IA A A A A A A
−

+ + + + + = + + +
uur uur uuur uuuur uuur uuuur uuuuur uuuuur
L L
Để định hướng cho học sinh làm bài toán này ta làm như sau:
+ Cho học sinh vẽ hình
+ Xác định các vectơ không đổi
+ Giữ nguyên một vectơ có chứa điểm cần dựng ở trong đẳng thức vectơ, chẳng
hạn:
1
IA
uur
.
+ Áp dụng qui tắc 3 điểm biến đổi
2 1
?IA IA= +
uuur uur
,
3 1
?IA IA= +
uuur uur
, …,
1
?
n
IA IA= +
uuur uur
.
Khi đó

2

1 3 1 2 3 2 4 2n n n
IA IA IA IA IA A A A A A A
−
+ + + + + = + + +
uur uur uuur uuuur uuur uuuur uuuuur uuuuur
L L
1
1 1 2 1 1 2 3 2 4 2n n
IA IA A A IA A A A A A A A A⇔ + + + + + = + + +
uur uur uuuur uur uuuur uuuur uuuuur uuuuur
L L
1
2 3 2 4 2 1 2 1n n
nIA A A A A A A A A A A⇔ = + + + − − −
uur uuuur uuuuur uuuuur uuuur uuuur
L L
1
2 3 3 1 2 4 4 1 2 1 1 2n n
nIA A A A A A A A A A A A A A A⇔ = + + + + + + −
uur uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur
L
1
2 1 2 1 2 1 1 2
nIA A A A A A A A A⇔ = + + + −
uur uuuur uuuur uuuur uuuur
L
1
2 1
( 1)nIA n A A⇔ = −
uur uuuur

1
2 1
( 1)n
IA A A
n
−
⇔ =
uur uuuur
Từ 4 bài toán trên ta có thể tổng quát hóa lên bài toán sau:
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :4
SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
Cho đa giác
1 2 1

n n
A A A A
−
. Xác định điểm I thỏa mãn đẳng thức vectơ
2
1 1 2 3 3 1 1 2 3 2 4 2n n n n n
IA IA IA IA IA A A A A A A
α α α α α
− −
+ + + + + = + + +
uur uur uuur uuuur uuur uuuur uuuuur uuuuur
L L
(với
1 2 3 1
, , , ,

n n
α α α α α
−
∈

*
)
Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Cho học sinh vẽ hình đa giác
1 2 1

n n
A A A A
−
Bước 2: Giữ nguyên một vectơ có chứa điểm cần dựng ở trong đẳng thức vectơ,
chẳng hạn:
1
IA
uur
.
Bước 3: Áp dụng qui tắc 3 điểm biến đổi
2 1
?IA IA= +
uuur uur
,
3 1
?IA IA= +
uuur uur
, …,
1

?
n
IA IA= +
uuur uur
.
Khi đó
2
1 1 2 3 3 1 1 2 3 2 4 2n n n n n
IA IA IA IA IA A A A A A A
α α α α α
− −
+ + + + + = + + +
uur uur uuur uuuur uuur uuuur uuuuur uuuuur
L L
1
1 1 2 1 2 1 1 2 3 2 4 2
( ) ( )
n n n
IA IA A A IA A A A A A A A A
α α α
+ + + + + = + + +
uur uur uuuur uur uuuur uuuur uuuuur uuuuur
L L
1
1 1 2 1 2 3 2 4 2 2 1 1
2
n n n n
IA IA IA A A A A A A A A A A
α α α α α
+ + + = + + + − − −

uur uur uur uuuur uuuuur uuuuur uuur uuuur
L L L
1 2 1 2 3 2 4 2 2 1 1
2
( )
n n n n
IA A A A A A A A A A A
α α α α α
+ + + = + + + − − −
uur uuuur uuuuur uuuuur uuur uuuur
L L L
Bước 4: Ta biến đổi
2 3 2 4 2 2 1 1
2
n n n
A A A A A A A A A A
α α
+ + + − − −
uuuur uuuuur uuuuur uuur uuuur
L L
thành một vectơ
v
r
cố định
Bước 5: Suy ra
1
1 2
1
( )
n

IA v
α α α
=
+ + +
uur r
L
Bước 6: Biểu diễn điểm I trên hình vẽ.
4. Bài tập tham khảo
Bài 1 : Cho hai diểm phân biệt A, B. Hãy xác định các điểm P, Q, R biết
a.
2 3 0PA PB+ =
uuur uuur
c.
3 0RA RB− =
uuur uuur
b.
2 0QA QB− + =
uuur uuur
Bài 2: Cho tam giác ABC. Hãy tìm các điểm G, P, R, Q, S biết
a.
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur
b.
2 0PA PB PC+ + =
uuur uuur uuur
c.
3 2 0QA QB QC+ + =
uuur uuur uuur
d.
0RA RB RC− + =

uuur uuur uuur
e.
5 2 0SA SB SC− − =
uur uur uuur
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :5
SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
Bài 3: Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm M thuộc d sao cho vectơ
2u MA MB MC= + +
r uuur uuur uuuur
có độ dài nhỏ nhất.
5. Kết quả
Kết quả của những tiết dạy thực nghiệm được đánh giá trên cơ sở lấy điểm số
các bài tập, bài kiểm tra của học sinh.
a. Kết quả bài kiểm tra thực nghiệm
- Học sinh đã xác định được yêu cầu của đề bài
- Học sinh xác định được phương pháp giải bài toán phù hợp, đúng với yêu
cầu đề bài.
- Tỉ lệ học sinh tự rèn luyện được kĩ năng tìm điểm thỏa mãn điều kiên cho
trước chiếm tỉ lệ cao.
- Học sinh nắm được các bước tiến hành trong khi giải bài tập .
Từ đó tỉ lệ học sinh đọc và phân tích đề bài tốt , xác định phương pháp giải
đối với bài toán cao hơn so với khi chưa được áp dụng.
Kết quả thực nghiệm ở lớp 10B, 10C năm học : 2011 - 2012 của trường THPT
Anh Hùng Núp đạt kết quả như sau :
Lớp
Tổng số Số lượng học sinh
biết xác định
hướng giải
chưa biết
hướng giải

10B 43 38 5
10C 41 37 4
Tổng số 84 75 9
Tỉ lệ (%) 100 89.3 10.7
Vì vậy mà kết quả bài kiểm tra thực nghiệm đạt được như sau:
Lớp
Tổng số
học sinh
Số lượng học sinh đạt
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :6
SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
Điểm
giỏi
Điểm
khá
Điểm
TB
Điểm
trên
TB
Điểm
yếu,
kém
10B 43 7 13 18 38 5
10C 41 6 15 16 37 4
Tổng
số
84 13 28 34 75 9
Tỉ lệ
(%)

100 15.5 33.3 40.5 89.3 10.7
b. Nhận xét kết quả
Qua quá trình áp dụng sáng kiến đối với các lớp đã thu được kết quả như sau :
- Về tâm lí : Đã từng bước tạo được sự hứng thú, khơi dậy lòng say mê học
tập ở học sinh.
- Về kiến thức : - Học sinh xác định được phương pháp giải bài toán phù
hợp, đúng với yêu cầu đề bài , chiếm lĩnh kiến thức một cách nhanh chóng và chắc
chắn.
- Về kĩ năng : Kĩ năng giải các bài toán cùng dạng được thuần thục, chính
xác. Qua đó hình thành khả năng tư duy và thái độ học toán tốt hơn ở học sinh.
Đồng thời học sinh vận dụng các kiến thức Toán học vào thực tiễn cuộc
sống một cách dễ dàng và hiệu quả.
III.
III.
PHẦN KẾT LUẬN
PHẦN KẾT LUẬN
1. Ứng dụng của sáng kiến:
Với sáng kiến trên chúng tôi đã giúp học sinh của mình giải được các dạng
bài toán đơn giản về “Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước” một
cách dễ dàng.
Áp dụng sáng kiến này, học sinh của chúng tôi không còn lúng túng khi gặp
dạng toán này nữa, một số học sinh còn tỏ ra rất hào hứng.
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :7
SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
Việc đưa ra phương pháp và giúp học sinh áp dụng phương pháp để giải toán
là không khó. Do đó, sáng kiến dễ dàng áp dụng.
2. Lời kết:
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của chúng tôi. Hy vọng đề tài
sẽ góp phần cho việc học và dạy về dạng toán “Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng
thức vectơ cho trước” được hiệu quả hơn. Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất

lượng bộ môn .
Và qua sáng kiến này tôi cũng rút ra được một điều : Mỗi đơn vị kiến thức
toán học trong từng bài dạy đều cần có sự quan tâm đầu tư đúng mức của người
thầy mới thu được kết quả tốt , việc tìm tòi và phát hiện các phương pháp tiếp cận
chúng là vô bờ . Đòi hỏi chúng ta phải phấn đấu không ngừng trong việc tìm tòi và
phát hiện các phương pháp tiếp cận sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh .
Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa được nhiều. Tôi rất mong
nhận được ý kiến đóng góp của các bạn .
Xin chân thành cảm ơn.
Người thực hiện

Lương Thế Hùng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Mộng Hy : Bài tập hình học 10,NXBGD.2010
2. Văn Như Cương : Bài tập hình học 10,NXBGD.2009
3. Đoàn Quỳnh-Văn Như Cương :Hình học 10 nâng
cao,NXBGD.2008
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :8
SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
4. Trần Thành Minh :Giải toán hình học 10, NXBGD.2009.
MỤC LỤC
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :9
SKKN: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước trong chương trình Toán 10
Trường THPT Anh Hùng Núp Trang :10