Đề tài vận dụng một số phương pháp tích cực để rèn luyện kĩ năng giải bài toán cực trị hình học ở trường THCS

Lời Cám Ơn
Trong thời gian thực hiện, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên
hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã có được một
quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài này.
Kết quả thu hoạch được không chỉ là do nỗ lực cá nhân em mà còn có sự giúp
đỡ của quý thầy cô và các bạn.
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc với các thầy giáo,
cô giáo trong khoa- Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh luôn tạo điều kiện để
em thực hiện đề tài này.
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn trân thành đến tới Th.s
Nguyễn Minh Yến – Giảng viên Khoa của Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc
Ninh, cô đã hướng dẫn và luôn động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đề
tài.
Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa được nhiều, kinh nghiệm cũng
như trình độ hiểu biết có hạn nên đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế,
em kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và
các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin trân thành cảm ơn!
Bắc Ninh, ngày 11 tháng 11 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Ngô Thúy Hằng


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trên thế giới, từ thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều phương pháp dạy học
học tích cực. Cụm từ “ phương pháp dạy học tích cực ” để chỉ những phương
pháp dạy học phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học nhằm
hướng tới việc hoạt động hóa, tính tích cực hóa hoạt động nhận thức của người
học, hay nói cách khác là vận dụng một số phương pháp dạy học nhằm phát huy

tính tích cực nhận thức của người học.
Trong toán học, hình học vốn đã hấp dẫn học sinh bởi tính trực quan
của nó. Chúng ta không thể phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng to lớn của hình
học trong việc rèn luyện tư duy toán học, một phẩm chất rất cần thiết cho hoạt
động sáng tạo của con người. Tuy nhiên, toán mà đặc biệt la môn hình học, mỗi
học sinh đều cảm thấy có những khó khăn riêng của mình. Nguyên nhân của
những khó khăn đó là: Học sinh chưa nắm vững các khái niệm cơ bản, các định
lý, tính chất của các hình đã học. Một số học sinh không biết cách vận dụng các
kiến thức ấy như thế nào vào việc giải bài tập. Sách giáo khoa cung cấp cho học
sinh một hệ thống đầy đủ kiến thức cơ bản nhưng chưa thể truyền tải các kiến
thức đó đến các em một cách sâu đậm nếu không có bàn tay chế biến của người
giáo viên. Hơn nữa, khi học sinh phải tiếp xúc với các bài toán, các chuyên đề
nâng cao, mà người giáo viên chưa kịp trang bị đủ các kĩ năng cần thiết để giải
roán thì sẽ rất dễ dẫn đến tâm lý chán nản, buông xuôi ở nhiều học sinh.
Đối với bộ môn toán hình học, ngoài các bài toán về chứng minh hình
học, các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích còn có “Các bài toán cực trị hình
học” (hay còn gọi là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình
học phẳng). Đây là những dạng toán khó, hấp dẫn, thường gặp trong các câu hỏi
khó thi tuyển sinh vào lớp 10 hay trong quá trình thi học sinh giỏi môn Toán.
Việc dạy và học như thế nào để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của xã hội.
Và để đáp ứng yêu cầu ấy, không riêng vì học sinh, mà bản thân giáo
viên phải không ngừng học hỏi nâng cao trình độ tìm ra phương pháp dạy học
sao cho có thể phát huy được tính tích cực của học sinh. Vậy tính tích cực là gì?
Và phương pháp dạy học tích cực trong Toán hình lớp 8,9 như thế nào? Đó là
vấn đề hiện nay mọi người đang hướng đến để tìm ra một phương pháp thích
hợp. Và không riêng vì mọi người mà bản thân tôi cũng muốn tìm hiểu rõ
phương pháp dạy học tích cực này để giúp ích cho việc giảng dạy sau này. Xuất
phát từ những vấn đề trên và giúp đỡ học sinh có những định hướng chung ban
đầu khi gặp những bài tập về cực trị hình học, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “
Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kĩ năng giải các

bài toán cực trị hình học trong chương trình THCS”.
2. Mục đích nghiên cứu
Qua nghiên cứu về lý luận và thực tiễn, tôi chọn “Vận dụng một số
phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hình
học trong chương trình THCS” đề nhằm hướng tới hoạt động hóa, tích cực hóa


hoạt động nhận thức của người học, hay nói cách khác là phát huy tính tích cực
nhận thức của người học. Và để hỗ trợ cho việc giảng dạy của tôi sau này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thế nào là phương pháp dạy học tích cực?
Các kĩ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình
Toán?
Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực như thế nào để rèn
luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hình học trong chương trình THCS.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học và
lý huận dạy học bộ môn Toán).
Nghiên cứu các công trình khoa học có các vấn đề liên quan trực tiếp
đến đề tài.
Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, bài viết, sách giáo viên, sách
nâng cao liên quan tới đề tài này.
4.2. Phương pháp phỏng vấn
4.3. Phương pháp quan sát
4.4. Phương pháp trò chuyện
5. Cấu trúc tiểu luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, tiểu luận
được trình bày trong 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học tích cực và kĩ

năng giải toán.
Chương 2: Một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị
hình học trong chương trình lớp 8,9 theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận
thức của học sinh.


B. NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học tích cực và kĩ
năng giải Toán.
1.1. Định nghĩa phương pháp dạy học tích cực
1.1.1. Tính tích cực nhận thức
1.1.1.1. Tính tích cực
Theo tác giả I.F.Kharlamop: “Tính tích cực là trạng thái hoạt động của
học sinh, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong
quá trình nắm vững tri thức”.
Tính tích cực là một phẩm chất vốn có của con người trong đời sống xã
hội. Khác với động vật, con người không chỉ tiêu thụ những gì có sẵn trong
thiên nhiên mà còn chủ động sản xuất ra những của cải vật chất cần cho sự tồn
tại của xã hội, sáng tạo ra nền văn hóa ở mỗi thời đại.
Hình thành và phát triển tính tích cực nhận thức là một nhiệm vụ quan
trọng và chủ yếu của giáo dục nhằm đào tạo ra những con người tự chủ, năng
động, sáng tạo, phù hợp với yêu cầu của xã hội trong thời kì mới. Có thể xem
tính tích cực như là một điều kiện đồng thời là kết quả của sự phát triển nhân
cách học sinh trong quá trình phát triển giáo dục.
1.1.1.2. Tính tích cực học tập
I.F.Kharlamop khẳng định: “Học tập là quá trình nhận thức tích cực”, ở
đó tính tích cực không chỉ tồn tại như một trạng thái, một nét tính cách cụ thể
mà nó còn là kết quả của quá trình tư duy, là mục đích cần đạt của quá trình dạy
học và nó có tác dụng nâng cao không ngừng hiệu quả học tập của học sinh.
Tính tích cực của con người được biểu hiện trong hoạt động, đặc biệt

trong những hoạt động chủ động chủ thể. Học tập là hoạt động chủ đạo của lứa
tuổi đi học. Tính tích cực trong học tập – về thực chất – là tính tích cực nhận
thức, đặc trưng ở khát vọng hiểu biết, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá
trình chiếm lĩnh tri thức.
Tính tích cực trong nhận thức trong học tập liên quan trước hết với
động cơ học tập. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tự giác.
Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lí tạo nên tính tích cực. Tính tích cực sản
sinh nếp tư duy độc lập. Suy nghĩ độc lập là mầm móng của sáng tạo. Ngược lại,
phong cách học tập tích cực độc lập sáng tạo sẽ phát triển tự giác, hứng thú bồi
dưỡng động cơ học tập.
Tính tích cực biểu hiện ở khẩu hiệu như: hăng hái trả lời các câu hỏi
của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu ý kiến của mình
trước đặt vấn đề nêu ra; hay nêu thắc mắc đòi hỏi giải tích cặn kẽ những vấn đề
chưa rõ; chủ động vận dụng kiến thức kĩ năng đã học để nhận thức vấn đề mới;
tập trung chú ý vào vấn đề đang học kiên trì hoàn thành các bài tập, không nản
chí trước những tình huống khó khăn…
G.I.Sukina đã chia tính tích cực ra làm ba cấp độ:


Tính tích cực bắt chước tái hiện: Xuất hiện do tác động kích thích từ
bên ngoài (yêu cầu của giáo viên), trong trường hợp này, người học thao tác trên
đối tượng, bắt chước theo mẫu hoặc mô hình của giáo viên, nhằm chuyển đối
tượng từ ngoài vào trong theo cơ chế: “Hoạt động bên ngoài và bên trong có
cùng cấu trúc”. Nhờ đó, kinh nghiệm hoạt động được tích lũy thông qua kinh
nghiệm của người khác.
Tính tích cực tìm tòi: đi liền với quá trình hình thành khái niệm, giải
quyết các tình huống nhận thức, tìm tòi các phương thức hành động trên cơ sở
có tính tự giác, có tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ý chí của học
sinh. Loại này xuất hiện không chỉ do yêu cầu của giáo viên mà còn hoàn toàn
tự phát trong quá trình nhận thức. Nó tồn tại không chỉ ở dạng trạng thái, cảm

xúc mà còn ở dạng thuộc tính bền vững của hoạt động. Ở mức độ này tính độc
lập cao hơn mức trên, cho phép học sinh tiếp nhận nhiệm vụ và tự tìm cho mình
phương tiện thực hiện.
Tính tích cực sáng tạo: Thể hiện khi chủ thể nhận thức tìm tòi kiến
thức mới, tự tìm ra phương thức hành động riêng và trở thành phẩm chất bền
vững của cá nhân.
1.1.2. Phương pháp dạy học tích cực
Phương pháp tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều
nước, để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính
tích cực, chủ động, sáng tạo của người học.
“Tích cực” trong phương pháp dạy học được dùng với nghĩa là hoạt
động nhận thức của người học, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động chứ
không dùng theo nghĩa trái với nghĩa tiêu cực.
Phương pháp tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt
động nhận thức của người học, nghĩa là tập trung vào việc phát huy tính tích cực
của người học chứ không phải tập trung vào việc pháy huy tính tích cực của
người dạy, đành rằng để dạy học theo phương pháp tích cực thì giáo viên phải
nỗ lực nhiều hơn so với kiểu dạy theo kiểu thụ động.
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Rõ ràng là cách dạy của
giáo viên. Có nhưng ngược lại, thói quen học tập của trò có ảnh hưởng tới cách
dạy của giáo viên. Có trường hợp học sinh đòi hỏi cách dạy tích cực hoạt dộng
của giáo viên nhưng giáo viên chưa đáp ứng được. Cũng có trường hợp giáo
viên hăng hái áp dụng phương pháp dạy học tích cực nhưng thất bại vì học sinh
chưa nắm vững, vẫn quen lối học tập thụ động. Vì vậy, giáo viên phải kiên trì
dùng cách hoạt động để dần dần xây dựng cho học sinh phương pháp học tập
chủ động một cách vừa sức từ thấp tới cao. Trong đổi mới phương pháp phải có
sự hợp tác giữa thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì
mới thành công.
Trong những thập kỉ gần đây, vấn đề tính tích cực của học sinh trong
học tập đã được nghiên cứu rất sâu rộng và hàng hoạt những nguyên tắ lí luận

dạy học nhằm phát huy tính tích cực của học sinh đã được nêu ra. Những
nguyên tắc quan trọng nhất trong số đó là:
Việc nắm vững kiến thức lý thuyết phải chiếm ưu thế.


Nguyên tắc của việc dạy học phải được tiến hành ở mức độ khó
khăn tăng dần.
Nguyên tắc đòi hỏi nhịp độ khẩn trương của công tác học tập.
Nguyên tắc đòi hỏi chăm lo tích cực đến sự phát triển của mọi học
sinh.
Nguyên tắc làm cho học sinh ý thức được bản thân quá trình học.
1.2. Những dấu hiệu đặc trưng của phương pháp tích cực
1.2.1. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh
Trong phương pháp tích cực, người học - đối tượng của hoạt động
“dạy”, đồng thời là chủ thể của “hoạt động học” - được cuốn hút vào các hoạt
động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá
những điều mình chưa rõ chứ không phải thụ động tiếp thu những tru thức đã
được giáo viên sắp đặt. Được đặt vào những tình huống thực tế, người học trực
tiếp quan sát, thảo luận làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo hướng suy
nghĩ của riêng mình, từ đó vừa nắm được kiến thức mới, vừa nắm được phương
pháp “làm ra” kiến thức, kĩ năng đó, không rập khuôn theo những khuôn mẫu
sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo.
Dạy học theo cách này thì giáo viên không chỉ đơn giản truyền đạt tri
thức mà còn hướng dẫn hành động. Chương trình dạy học phải giúp cho từng
học sinh biết hành động và tích cực tham gia các chương trình hành động của
cộng đồng.
1.2.2. Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học
Phương pháp tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho
học sinh không chỉ là một biện pháp âng cao hiệu quả dạy học mà còn là một
mục tiêu dạy học.

Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh với sự bùng nổ thông tin,
khoa học, kĩ thuật công nghệ thông tin phát triển như vũ bão – thì không thể
nhồi nhét vào đầu óc trẻ phương pháp học ngay từ bậc tiểu học và càng lên bậc
học cao hơn càng phải được chú trọng.
Trong phương pháp học thì cốt lõi là phương pháp tự học. Nếu rèn
luyện cho người học có được pương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ
tạo cho họ lòng ham học, khơi dạy nội lực vốn có trong mỗi con người, kết quả
học tập sẽ được nhân lên gấp bội. Vì vậy, ngày nay người ta nhấn mạnh mặt hoạt
động học trong quá trình dạy học, mỗ lực tạo sự chuyển biến từ học tập thụ động
sang tự học chủ động, đặt vấn đề phát triển tự học ngay trong trường phổ thông,
không chỉ tự học ở nhà sau bài lên lớp mà còn tự học có sự hướng dẫn của giáo
viên.
1.2.3. Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học nhóm.
Trong một lớp học mà trình độ kiến thức tư duy của học sinh không thể
dồng đều tuyệt đối khi áp dụng phương pháp tích cực buộc phải chấp nhận sự
phân hóa về cường độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, nhất là khi bài học
được thiết kế thành mọt chuỗi công tác độc lập.
Áp dụng phương pháp dạy học tích cực ở trình độ càng cao thì sự
phân hóa này càng lớn. Việc sử dụng các phương tiện công nghệ thông tin trong


nhà trường sẽ đáp ứng yêu cầu cá thể hoạt động theo nhu cầu và khả năng của
mỗi học sinh.
Tuy nhiên, trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều
được hình thành bằng những hoạt động độc lập của cá nhân. Lớp học là môi
trường giao tiếp thầy – trò, trò – trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá
nhân trên con đường chiếm lĩnh nội dung học tập. Thông qua thảo luận, tranh
luận trong tập thể, ý kiến mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua
đó người học nâng mình lên một trình độ mới. Bài học vận dụng được vốn hiểu
biết và kinh nghiệm của mỗi học sinh và của cả lớp chứ không phải chỉ dựa trên

vốn hiểu biết và kinh nghiệm của giáo viên.
Trong nhà trường, phương pháp học tập theo nhóm được tổ chức ở cấp
nhóm, tổ, lớp hoặc trường. Được sử dụng phổ biến trong dạy học là hoạt động
hợp tác trong nhóm nhỏ 4 – 6 người. Học tập theo nhóm làm tăng hiệu quả học
tập, nhất là lúc giải quyết những vấn đề gây cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu
phối hợp giữa cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung.
Trong hoạt động theo nhóm nhỏ sẽ không thể có hiện tượng ỷ lại; tính
cách năng lực của mỗi thành vuên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý
thức tổ chức, tinh thần tương trợ.
Mô hình hợp tác trong xã hội đưa vào đời sống học đường sẽ làm cho
các thành viên quan tâm dần với sự phân công hợp tác trong lao động xã hội.
Trong nền kinh tế thị trường đã xuất hiện nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia, liên
quốc gia, năng lực hợp tác phải trở thành một mục tiêu giáo dục mà nhà trường
phải chuẩn bị cho học sinh.
1.2.4. Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò
Trong hoạt động học, việc dánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích
nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo
điều kiện nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy.
Trước đây quan niệm giáo viên giữ độc quyền đánh giá học sinh.
Trong phương pháp tích cực, giáo viên phải hướng dẫn học sinh phát triển kĩ
năng tự đánh giá tự điều chỉnh cách học. Liên quan điều này, giáo viên cần tạo
điều kiện thuận lời để học sinh được tự đánh giá lẫn nhau. Tự đánh giá đúng và
điều chỉnh hoạt động kịp thời là một năng lực rất cần cho sự thành đạt trong
cuộc sống mà nhà trường phải trang bị cho học sinh.
Theo hướng phát triển của phương pháp tích cực để đào tạo những con
người năng động, sớm thích nghi với đời sống xã hội thì việc kiểm tra, đánh giá
không thể dừng lại ở yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đã học,
phải khuyến khích trí thông minh, óc sáng tạo trong việc giải quyết những tình
huống thực tế.
Với sự trợ giúp của các thiết bị kĩ thuật, kiểm tra đánh giá sẽ không

còn là công việc nặng nhọc đối với giáo viên, mà lại cho nhiều thông tin kịp thời
hơn để linh hoạt điều chỉnh hoạt động dạy, chỉ đạo hoạt động học.
Từ dạy và học thụ động sang dạy và học tích cực, giáo viên không còn
đóng vai trò đơn thuần là người truyền đạt kiến thức, giáo viên trở thành người
thiết kế, tổ chức, hướng dẫn các hoạt động độc lập hoặc theo nhóm nhỏ để học
sinh tự lực chiếm lĩnh nội dung học tập, chủ động đạt các mục tiêu kiến thức, kĩ


năng, thái độ theo yêu cầu của chương trình. Trên lớp học sinh hoạt động là
chính, giáo viên có vẻ nhàn nhã hơn nhưng trước đó khi soạn giáo án, giáo viên
đã phải đầu tư công sức, thời gian rất nhiều so với kiểu dạy và học thụ động,
mới có thể thực hiện bài lên lớp với vai trò là người gợi mở, xúc tác, động viên,
cố vẫn, trọng tài trong hoạt động tìm tòi hào hứng tranh luận sôi nổi của học
sinh. Giáo viên phải có trình độ chuyên môn sâu rộng, có trình độ sư phạm lành
nghề mới có thể tổ chức hướng dẫn các hoạt động của học sinh mà nhiều khi
diễn biến ngoài tầm dự kiến của giáo viên.
1.3. Một số phương pháp dạy học tích cực ở trường THCS
1.3.1. Phương pháp vấn đáp
1.3.1.1. Bản chất
Phương pháp vấn đáp là quá trình tương tác giữa giáo viên và học sinh,
thực hiện thông qua hệ thống câu hỏi và câu trả lời tương ứng về một chủ đề
nhất định được giáo viên đặt ra.
1.3.1.2. Ưu điểm
Vấn đáp là cách thức tốt nhất để kích thích tư duy độc lập của học sinh,
dạy học sinh cách tự suy nghĩ đúng đắn. Bằng cách này học sinh hiểu nội dung
học tập tốt hơn cách học vẹt, thuộc lòng.
Gợi mở vấn đáp giúp lôi cuốn học sinh tham gia vào bài học, làm cho
không khí lớp học sôi nổi, sinh động, kích thích hứng thú học tập và lòng tự tin
của học sinh, rèn luyện cho học sinh năng lực diễn đạt sự hiểu biết của mình và
hiểu ý diễn đạt của người khác.

1.3.1.3. Hạn chế
Hạn chế lớn nhất của phương pháp vấn đáp là rất khó soạn thảo và sử
dụng hệ thống câu hỏi gợi mở và dẫn dắt học sinh theo một chủ đề nhất quán. Vì
vậy, đòi hỏi giáo viên phải có sự chuẩn bị rất công phu, nếu không, kiến thức mà
học sinh thu nhận được qua trao đổi sẽ thiếu tính hệ thống, tàn mạn, thậm chí là
vụn vặt.
1.3.1.4. Một số lưu ý
Phương pháp vấn đáp thường được sử dụng phối hợp với các phương
pháp khác nhằm làm cho học sinh tích cực, hứng thú và học tập hiệu quả hơn.
Khi soạn các câu hỏi, giáo viên cần lưu ý các yêu cầu sau đây:
Câu hỏi phải có nội dung chính xác, rõ ràng, sát với mục đích, yêu cầu
của bài học, không làm cho người học có thể hiểu theo nhiều cách khác nhau.
Câu hỏi phải sát với từng loại đối tượng học sinh. Nghĩa là phải có nhiều câu hỏi
ở các mức độ khác nhau, không quá dễ và cũng không quá khó. Giáo viên có
kinh nghiệm thường tỏ ra cho học sinh thấy các câu hỏi đều có tầm quan trọng
và độ khó như nhau (để học sinh yếu có thể trả lời được những câu hỏi vừa sức
mà không có cảm giác tự ti rằng mình chỉ có thể trả lời những câu hỏi dễ mà
không quan trọng).
1.3.2. Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3.2.1. Quan niệm
Theo I.IA.Lecne: “Dạy học giải quyết vấn đề là dạy học trong đó học
sinh tham gia một cách tích cực vào quá trình giải quyết các vấn đề, các bài toán


có vấn đề… được xây dựng một cách có dụng ý trong các chương trình dạy học
và các tài liệu dạy học”.
1.3.2.2. Đặc điểm và mức độ của phương pháp dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau:
Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là

được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn. (Một tình huống là vấn đề chỉ khi:
Người học có nhu cầu giải quyết; không có sẵn lời giải; không vượt quá khả
năng của người học).
Các mức độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
Bảng 1: Các mức độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Phát hiện, Khám phá Chọn chiến
Kiểm tra
Giải
nêu vấn đề
vấn đề
lược và PP
kết quả
Mức 1
GV
GV
GV
GV
GV
Mức 2
GV
GV-HS
GV
GV
GV
Mức 3
GV-HS
HS
GV-HS
GV
GV-HS

Mức 4
HS
HS
HS
HS
GV-HS

Vai
Trò
Người
Học

Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào
việc dạy học giải bài tập toán.
Khi đặt vấn đề dạy học bài tập theo hướng phát hiện và giải quyết
vấn đề, trước hết phải đề cập đến nội dung bài toán đó. Bài toán đặt ra phải thực
sự gợi vấn đề, tức là kêu gọi học sinh những khó khăn trong tư duy hoặc hành
động chứ không phải những bài toán chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng
một quy tắc có tính chất thuật toán. Điều này cũng có tính chất tương đối, bởi lẽ
có bài toán đối với người này là vấn đề nhưng với người khác thì không.
Tìm hiểu bài toán phát hiện vấn đề

Khám phá

Chọn phương pháp và chiến lược

Giải

Đánh giá kết quả phát triển bài toán
Sơ đồ 1: Các bước giải quyết vấn đề trong môn Toán

1.3.2.3. Ưu điểm
Phương pháp này góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy phê
phán, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Phát triển cho học sinh khả năng tìm tòi, xem xét vấn đề dưới nhiều
góc độ khác nhau.
Học sinh vừa nắm được kiến thức, vừa nắm được phương pháp đi tới
kiến thức đó.
Chuẩn bị năng lực thích ứng với đời sống xã hội: Phát hiện kịp thời và
giải quyết hợp lý các vấn đề này sinh.
1.3.2.4. Nhược điểm
Đòi hỏi giáo viên có năng lực sư phạm phải đầu tư nhiều thời gian,
công sức.
Sử dụng phương pháp này phải cần nhiều thời gian hơn so với phương
pháp khác.
1.3.2.5. Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề
Chỉ nên sử dụng phương pháp này để dạy một bộ phận nội dung học
tập và phải cần có sự giúp đỡ của giáo viên với mức độ nhiều ít khác nhau.
Giáo viên cần hiều đúng các cách tạo tình huống gợi vấn đề và tận
dụng các cơ hội để tạo ra tình huống đó, đồng thời tạo điều kiện để học sinh tự
lực giải quyết vấn đề.
Tùy hứng nội dung kiến thức mà lựa chọn phương pháp phát hiện và
giải quyết vấn đề sao cho phù hợp.
1.3.3. Phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ
1.3.3.1. Quan niệm
Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ là một phương pháp dạy học trong đó
giáo viên tổ chức và điều khiển các nhóm học sinh tiến hành hoạt động tập thể
để các em cùng làm việc, cùng hợp tác, cùng giải quyết vấn đề, cùng nhau hoàn

thành nhiệm vụ học tập hoặc phấn đấu vì một mục đích chung.
1.3.3.2. Đặc điểm của phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ
Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ có một số đặc điểm cơ bản sau:
Tất cả các thành viên trong nhóm phải nhận ra rằng các vấn đề mà
nhóm giải quyết là vấn đề của cả nhóm mà sự thành công hay thất bại đều
liên quan trực tiếp đến mọi thành viên trong nhóm.
Một số thời điểm có thể sử dụng phương pháp dạy học hợp tác theo
nhóm nhỏ:
Kiểm tra bài tập về nhà
Dạy bài mới
Bài ôn tập
1.3.3.3. Quy trình thực hiện
Bước 1: Làm việc chung cả lớp
Nêu vấn đề, xác định nhiệm vụ nhận thức
Tổ chức các nhóm, giao nhiệm vụ cho các nhóm
Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm.
Bước 2: Làm việc theo nhóm


Phân công trong nhóm, từng cá nhân làm việc độc lập
Trao đổi ý kiến, thảo luận trong nhóm
Cứ đại diện trình bày kết quả làm việc của nhóm.
Bước 3: Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp
Các nhóm lần lượt báo cáo các kết quả
Thảo luận chung
Giáo viên tổng kết, đặt vấn đề cho bài tiếp theo hoặc vấn đề
tiếp theo.
1.3.3.4. Ưu điểm
Học sinh được học cách công tác trên nhiều phương diện.
Mọi học sinh đều được tham gia, học sinh chia sẻ kinh nghiệm, học hỏi

lẫn nhau.
Kiến thức trở nên sâu sắc, bền vững, dễ nhớ.
Học sinh tự tin, hứng thú trong học tập và sinh hoạt.
Kĩ năng giao tiếp, kĩ năng hợp tác của học sinh được phát hiện.
1.3.3.5. Nhược điểm
Nếu không phân công hợp lí, chỉ có một vài học sinnh học khá tham
gia còn đa số học sinh không hoạt động.
Ý kiến các nhóm có thể quá phân tán hoặc mâu thuẫn với nhau.
Thời gian có thể bị kéo dài.
Với những lớp có sĩ số đông hoặc lớp học chật hẹp, bàn ghế khó di
chuyển thì khó tổ chức hoạt động nhóm.
Khi tranh luận, dễ dẫn tới lớp ồn ào, ảnh hưởng đến các lớp khác.
1.3.3.6. Một số lưu ý
Phải lựa chọn nội dung thảo luận nhóm sao cho phù hợp.
Tạo điều kiện để các nhóm tự đánh giá lẫn nhau hoặc cả lớp cùng đánh
giá.
Không nên lạm dụng hoạt động nhóm. Tránh xu hướng hình thức
(tránh lối suy nghĩ: dạy học tích cực là phải sử dụng hoạt động nhóm).
1.3.4. Phương pháp dạy học khám phá
1.3.4.1. Quan niệm
Theo nhà tâm lý học J.Piaget, nhận thức của con người là kết quả của
quá trình thích ứng với môi trường qua hai hoạt động đồng hóa và điều ứng. Tri
thức không hoàn toàn được truyền thụ từ người biết mà nó được chính cá thể
xây dựng từ những vấn đề mà người học cảm thấy cần thiết và có khả năng giải
quyết vấn đề đó, thông qua tình huống cụ thể, họ sẽ kiến tạo nên tri thức cho
riêng mình.
1.3.4.2. Đặc điểm của phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn
Phát huy nội lực của học sinh, tư duy tích cực – độc lập – sáng tạo
trong quá trình học tập.
Giải quyết thành công các vấn đề là động cơ trí tuệ kích thích trực tiếp

lòng ham mê học tập của học sinh. Đó chính là động lực của quá trình dạy học.
Hợp tác với các bạn trong quá trình học tập, tự đánh giá, tự điều chỉnh
vốn tri thức của bản thân là cơ sở hình thành phương pháp tự học. Đó là động
lực thúc đẩy sự phát triển bền vững của mỗi cá nhân trong cuộc sống.


Mối liên hệ giữa phương pháp khám phá và dạy học nêu vấn đề
Bảng 2: Mối liên hệ giữa phương pháp khám phá và dạy học nêu vấn đề
Dạy học nêu vấn đề
Dạy học – khám phá
Tình huống có vấn đề
Tình huống có vấn đề
- Vấn đề học tập:
- Vấn đề học tập:
+ Vấn đề lớn có nội dung rộng
+ Vấn đề nhỏ
+ Phát hiện vấn đề là do GV
HS và + Giáo viên đưa ra vấn đề
HS
bản thân HS
- Hình thành giả thuyết
- Hình thành giả thuyết
- Chứng minh giả thuyết
- Giải quyết vấn đề:
+ Giải quyết các vấn đề nhỏ đến vấn
+ Giải quyết vấn đề nhỏ
đề lớn
+ GV bao quát lớp
+ GV diễn giảng đến HS, đàm thoại
+ HS hợp tác theo nhóm, giữa các

đến học sinh
nhóm và với thầy
- Đánh giá của GV dẫn đến HS tự đánh - Đánh giá: Tự đánh giá, tự điều chỉnh
giá
trong nhóm, lớp và với thầy
- Vận dụng vấn đề
- Vận dụng vấn đề
1.3.4.3. Quy trình thực hiện
Bước 1: Xác định rõ vấn đề, giáo viên giúp từng học sinh xác định rõ
vấn đề cần khám phá cũng như mục đích của việc khám phá đó.
Bước 2: Nêu các giả thuyết (ý kiến) sau khi nắm rõ mục đích, vấn đề
cần khám phá, từng học sinh làm việc cả nhân hoặc làm việc nhóm đề xuất các
giải pháp để giải quyết vấn đề.
Bước 3: Thu thập các dữ liệu, học sinh tìm kiếm dữ liệu, thông tin để
chứng tỏ đề xuất mình đưa ra có tính khả thi. Từ đó, học sinh sẽ bác bỏ những
đề xuất bất khả thi và lựa chọn đề xuất hợp lí.
Bước 4: Đánh giá các ý kiến của học sinh trao đổi, tranh luận về các
đề xuất được đưa ra.
Bước 5: Khái quá hóa. Dưới sự chỉ đạo của giáo viên mỗi nhóm sẽ
trình bày về vấn đề được phát hiện. Từ đó, giáo viên lựa chọn những phán đoán,
kết luận dùng để hình thành kiến thức mới.
1.3.4.4. Ưu điểm
Phát huy được nội lực của học sinh, tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo
trong quá trình học tập.
Giải quyết thành công các vấn đề là động cơ trí tuệ kích thích trực tiếp
lòng ham mê học tập của học sinh. Đó chính là động lực của quá trình dạy học.
Hợp tác với bạn trong quá trình học tập, tự đánh giá, tự điều chỉnh vốn tri thức
của bản thân là cơ sở hình thành phương pháp tự học. Đó chính là động lực thúc
đẩy sự phát triển bền vững của mỗi cá nhân trong cuộc sống.
Giải quyết cấc vấn đề nhỏ vừa sức của học sinh được tổ chức thường

xuyên trong quá trình học tập, là phương thúc để học sinh tiếp cận với kiểu dạy
học hình thành và giải quyết các vấn đề có nội dung khái quát rộng hơn.
Đối thoại trò trò, trò thầy đã tạo ra bầu không khí học tập sôi nổi, tích
cực và góp phần hình thành mối quan hệ giao tiếp trong cộng đồng xã hội.


1.3.4.5. Khó khăn
Để áp dụng được phương pháp này học sinh phải có kiến thức, kĩ năng
cần thiết để thực hiện các nhiệm vụ mang tính khám phá, tìm ra tri thức mới.
Đối tượng học sinh trung bình, yếu sẽ gặp khó khăn khi học theo phương pháp
này.
Việc triển khai dạy học khám phá đòi hỏi người giáo viên phải có kiến
thức, nghiệp vụ vững vàng, có sự chuẩn bị bài giảng công phu.
Trong quá trình khám phá của học sinh thường này sinh những tình
huống, những khám phá ngoài dự kiến của giáo viên, đòi hỏi sự linh hoạt trong
xử lí các tình huống của người giáo viên – người hướng dẫn.
Thời gian của quá trình khám phá ra kiến thức mới chiếm khá nhiều
trong toàn bộ tiến trình của bài học, nên tùy thuộc vào từng nội dung, mục tiêu
dạy học và sự phân phối thời gian dạy học mới có thể áp dụng được.
Trong hoạt động khám phá đối với phép biến hình đòi hỏi giáo viên
phải có các mô hình, hình ảnh… đòi hỏi cơ sở vật chất của việc dạy học phải
đáp ứng được thì kết quả mới đem lại như ý muốn.
1.3.5. Phương pháp luyện tập thực hành
1.3.5.1. Bản chất
Luyện tập và thực hành giải toán nhằm củng cố, bổ sung, lắm vững
chắc thêm các kiến thức lí thuyết. Trong luyện tập, người ta nhấn mạnh tới việc
lặp lại với mục đích học thuộc kí hiệu, quy tắc, định lí, công thức,... đã học và
làm cho việc sử dụng kĩ năng được thực hiện một cách tự động, thành thực.
Trong thực hành, người ta không chỉ nhấn mạnh vào việc học thuộc mà còn
nhằm áp dụng hay sử dụng một cách thông minh các tri thức để giải được các

bài toán khác nhau. Vì thế, trong dạy học Toán, bên cạnh việc cho học sinh
luyện tập một số chi tiết cụ thể, giáo viên cũng cần lưu ý cho học sinh thực hành
phát triển các kĩ năng.
1.3.5.2. Quy trình thực hiện
Bước 1: Xác định tài liệu cho luyện tập và thực hành.
Bước này bao gồm việc tập trung chú ý của học sinh về một kĩ
năng cụ thể hoặc những sự kiện cần luyện tập hoặc thực hành.
Bước 2: Giới thiệu mô hình luyện tập hoặc thực hành
Khuôn mẫu để học sinh bắt chước hoặc làm theo được giáo
viên giới thiệu, có thể thông qua các ví dụ cụ thể.
Bước 3: Thực hành hoặc luyện tập sơ đồ.
Học sinh tìm hiểu về tài liệu để luyện tập hoặc thực hành, học
sinh có thể tự thử kĩ năng của mình và có thể đặt câu hỏi về những kĩ năng đó.
Việc nhắ lại sơ bộ có thể tiến hành trong hoạt động của cả lớp với sự hướng dẫn
của giáo viên. Nếu luyện tập hay thực hành một kĩ năng tự động thì mỗi bước
cần có lời chỉ dẫn cụ thể. Bài tập loại này cần được tiếp tục cho tới khi nào học
sinh biết chính xác họ phải làm gì và nhận rõ mức độ hoàn thành mà các em cần
đạt được.
Bước 4: Thực hành đa dạng


Giáo viên đưa ra các bài tập đòi hỏi học sinh phải sử dụng
nhiều định lí, công thức... Các bài tập càng đa dạng thì học sinh càng có cơ hội
rèn luyện kĩ năng, vận dụng các kiến thức khác nhau để giải toán.
Bước 5: Bài tập cá nhân
Học sinh có thể luyện tập, thực hành những bài tập có trong
sách giáo khoa, hoặc sách bài tập hoặc các bài tập tham khảo khác nhằm phát
triển kĩ năng giải toán và rèn luyện tư duy.
1.3.5.3. Ưu điểm
Đây là phương pháp có hiệu quả để mở rộng sự liên thông và phát

triển các kĩ năng.
Luyện tập và thực hành có hiệu quả trong việc củng cố trí nhớ, tính
lọc và trau chuốt các kĩ năng đã học tạo cơ sở cho việc xây dựng kĩ năng nhận
thức ở mức cao hơn.
Đây là phương pháp đễ thực hiện và được thực hiện trong hầy hết các
giờ học toán.
1.3.5.4. Hạn chế
Luyện tập và thực hành có xu hướng làm cho học sinh nhàm chán nếu
giáo viên không nêu mục đích một cách rõ ràng và có sựu khuyến khích cao.
Do bản chất của việc nhắc đi nhắc lại nên học sinh khó có thể đạt
được sự lanh lợi và tập trung, dễ tạo nên sự học vẹt, đặc biệt là chưa xây dựng
được sự hiểu biết ban đầu đầy đủ.
1.3.5.5. Một số lưu ý
Các bài tập luyện tập được nhắc đi nhắc lại với tốc độ ngày càng
nhanh hơn và áp lực lên học sinh cũng mạnh hơn. Tuy nhiên không nên tạo ra áp
lực quá cao mà chỉ vừa đủ để khuyến khích học sinh làm bài chịu khó hơn. Thời
gian cho luyện tập, thực hành cũng không nên kéo dài quá dễ gây nên sự nhạt
nhẽo và nhàm chán. Cần thiết kế các bài tập có sự phân hóa để khuyến khích
mọi đối tượng học sinh đều tham gia thực hành luyện tập phù hợp với năng lực
của mình. Cũng có thể tổ chức các hoạt động luyện tập, thực hành thông qua
nhiều hoạt động khác nhau, kể cả việc tổ chức thành các trò chơi học tập nhằm
làm cho học sinh hào hứng hơn, đồng thời qua các hoạt động đó các kĩ năng của
học sinh cũng được rèn luyện.


Chương II: Một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giai các bài toán cực trị
hình học trong chương trình THCS theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức
của học sinh.
2.1. Biện pháp 1: Giúp học sinh nhận dạng các bài toán cực trị hình học
trong chương trình THCS.

2.1.1. Dạng 1: Vận dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên,
đường xiên và hình chiếu:
• Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài
một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
• Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng
đến đường thẳng đó:
Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và
ngược lại.
2.1.2. Dạng 2: Vận dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất
đẳng thức tam giác:
• Trong một tam giác, tổng dộ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn
độ dài cạnh còn lại.
• Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn
độ dài cạnh còn lại.
• Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và
nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lai.
2.1.3. Dạng 3: Vận dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc:
Trong các đường nối liền hai điểm, đoạn thẳng nối hai điểm đó là ngắn nhất.
2.1.4. Dạng 4: Vận dụng các bất đẳng thức trong đường tròn:
• Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.
• Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi khoảng
cách đến tâm nhỏ hơn.
• Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi
góc ở tâm lớn hơn.
• Trong hai cung lớn của một đương tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi
dây
2.1.5. Dạng 5: Vận dụng bất đẳng thức đại số:
X2 �0

-X2 �0
(x + y )2 �4xy dấu “=” xảy ra khi � x = y.
Suy ra, nếu x + y là hằng số thì xy lớn nhất � x = y
Nếu xy là hằng số thì x + y nhỏ nhất � x = y
Bất đẳng thức Côsi với hai số không âm:

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC, hãy tìm một điểm M sao cho
MA2 + MB2 + MC2 là nhỏ nhất.


Hướng dẫn giải:
Kí hiệu độ dài các cạnh cảu tam giác ABC là a, b và c. Gọi G là trọng tâm của
tam giác.
Trước hết ta có thể chứng minh rằng :
GA2 + GB2 + GC2 = (a2+b2+c2)
Bây giờ nếu ta chứng minh được rằng mọi điểm M (M≠G) nằm trong tam giác
ABC, ta đều có : MA2 + MB2 + MC2 >

(a2 + b2 + c2)

Thì điểm phải tìm chính là điểm G (trọng tâm của tam giác ABC).
Gọi A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
Thế thì MA1 là đường trung tuyến của tam giác
MBC và ta có :
A

(MC

MA12 =

2

)

+ MB2 -

C

M

G

Tương tự :
B

MB12 =

(MC

2

B

C

A

)

+ MA2 -

MC12 =
(MA2 + MB2 )
Dùng định lí stuya cho
AMA1 và tia MG ta
được:
MG2.AA1 = MA2.GA1 + MA12.AG – AA1.AG.GA1
=
Hay MG2 =
=

MA2.AA1 +
MA2 +
MA2 +

→ MG2 +
AG2 =
Tương tự ta được :
MG2 +

MA12.AA1 – AA1.

MA12 -

(MA

BG2 =

AA12

(MC

.

2

2

+ MB2 -

+MB2 + MC2 -

(MA
(MA

2

AA12

))
)
)

+MB2 + MC2 -

2
MG2 +
CG2 =
+MB2 + MC2 Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được :

MG2 +

AG2

(AG2 + BG2 + CG2) = MA2 + MB2 + MC2 –

Hay MA2 + MB2 + MC2 =

(a + b + c ) + 3MG
2

2

2

(a + b + c )
2

2

2

2

Đẳng thức chứng tỏ rằng MA2 + MB2 + MC2
(a2 + b2 + c2) nếu M ≠ G,
và M nằm trong
ABC. Đó là điều phải chứng minh.

Nhận xét: ở đây cách giải này, HS phải phát hiện được đẳng thức
GA2 + GB2 + GC2 =

(a2+b2+c2) để từ đó áp dụng với mọi điểm M trong tam

giác có MA2 + MB2 + MC2 >
(a2 + b2 + c2); dấu “=” xảy ra khi M≡G. Đây là
dạng toán khó nên giáo viên phải sử dụng thật linh hoạt các phương pháp dạy
học để giúp HS rèn luyện các kĩ năng giải bài toán này.
2.2. Biện pháp 2: Sử dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
(GQVĐ) để rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hình học
Bảng 2.1: Các kĩ năng giải quyết vấn đề trong môn Toán
Giai
Kiểm tra
Chọn chiến lược
đoạn Phát hiện
Khám phá bài
kết quả
và phương pháp
Giải
GQ
vấn đề
toán
đánh giá
giải
VĐ
quá trình
Các Xác định -Phân tích tính
-Phân tích
-Vẽ

-Tính toán
kĩ
các yếu
đầy đủ của các dữ -Tổng hợp
hình
-Suy luận
năng tố.
kiện (cái gì thiếu, -Nhìn bài toán
-Tưởng -Thử
cần
-Nhận biết cái gì thừa?)
dưới góc độ khác. tượng
….
có
câu hỏi.
-Tổ chức, thể
-Xây dựng và giải -Tính
-Đọc được hiện các dữ kiện
bài toán đơn giản toán
hình ảnh. (Biểu đồ, bảng,
hơn.
-Suy
…..
sơ đồ, đồ thị,
- Đoán và thử
luận
mệnh đề,…)
-Sắp xếp dữ liệu
logic
-Ước lượng.

-Suy luận logic
….
- Phỏng đoán.
…..
…..
Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội
tiếp
ABC, tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy.
Phân tích và tìm lời giải của bài toán:
-Vấn đề của bài toán: Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp
ABC
-Khám phá bài toán:
+ Các dữ kiện: M
AB, N
BC, P
AC
+ Phỏng đoán: Kẻ đường phụ, sử dụng quy tắc giữa các điểm.
-Chọn chiến lược và phương pháp giải quyết:
A
Vẽ E,F sao cho AB là đường trung trực của NE,
F
AC là đường trung trực của NF.
P
NM+MP+PN = EM+MP+PF
EF(quy tắc
M
giữa các điểm)
E
-Giải:
Xét

MNP nội tiếp
ABC một cách tùy ý
B
N
C
(M
AB, N
BC, P
AC). Vẽ E,F
sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là
đường trung trực của NF.


Chu vi
MNP bằng NM+MP+PN= EM+MP+PF
EF
Ta cần xét khi nào thì EF nhỏ nhất.
Ta có
=
1 +
2 =
EAF là tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất
khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.
EF nhỏ nhất
AE nhỏ nhất
AN nhỏ nhất
AN
BC
Như vậy chu vi
MNP nhỏ nhất khi N là chân đường cao kẻ từ A còn M và P

là giao điểm của EF với AB và AC.
Ta có nhận xét rằng khi N là chân đường cao kẻ từ A thì M và P cũng là
chân hai đường cao còn lại của tam giác.
Chứng minh nhận xét như sau:
Xét
HMP có AB là đường phân giác của
,
AC là đường phân giác của
F
A
.
P
M
Ta có:
AB, AC gặp nhau tại A nên HA là
E
tia phân giác của góc trong tam
giác tại đỉnh H.
Hay HA là tia phân giác của
B
C
H
. Vì AH
HC nên HC là
đường phân giác góc ngoài của
tam giác tại đỉnh H. Theo trên, AC
là đường phân giác ngoài của tam giác tại đỉnh P, HC gặp AC tại C nên MC là
tia phân giác góc trong tại đỉnh M.
MB và MC là các tia phân giác của hai góc kề bù nên MB
MC.

Tương tự PC
PB.
Vậy chu vi
MNP nhỏ nhất khi M, N, P là chân ba đường cao của
ABC.
Do
ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên của tam giác.
-Kiểm tra kết quả, đánh giá kết quả: Tính toán, kiểm tra lại cách làm.
-Nhận xét: ở bài toán này đề bài cho rất ít dữ liệu. Yêu cầu của đề bài là dựng
một tam giác có chu vi nhỏ nhất nên ta có thể nghĩ ngay đến việc thay thế chu vi
tam giác bởi một đường gấp khúc có đồ dài bằng nó, tiếp theo sử dụng tính
chất : độ dài đường gấp khúc nối 2 điểm không nhỏ hơn đoạn thẳng nối 2 điểm
đó. Ta cũng có thể sử dụng cách giải khác bằng cách chỉ cho học sinh sử dụng
diện tích không đổi của
ABC làm giá trị so sánh trung gian. Bất đẳng thức
sử dụng là ‘diện tích tứ giác không lớn hơn nửa tích 2 đường chéo của chúng, và
đẳng thức xảy ra khi 2 đường chéo này vuông góc với nhau’.
2.3. Biện pháp 3 : Sử dụng hệ thống câu hỏi để rèn luyện kĩ năng giải các
bài toán cực trị hình học:
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ
ME
AB, MF
AD. Xác định vị trí của M trên BD để diện tích tứ giác
AEMF nhỏ nhất.
Dự kiến các câu hỏi-trả lời của GV và HS:


Câu hỏi 1: Các em có nhận xét gì về chu vi của hình chữ nhật AEMF ?
HS: Chu vi của hình chữ nhật AEMF=2AB không đổi.
Câu hỏi 2: Vậy em có nhận xét gì về tổng ME + MF ?

HS: ME + MF bằng một nửa chu vi hình chữ nhận AEMF nên cũng không đổi.
Câu hỏi 3: Vậy tích ME.MF = SAEMF lớn nhất khi nào ?
HS: ME.MF

=

Vậy Max SAEMF là
khi ME=MF.
Gợi ý giải:
Gọi cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là a.
Ta có chu vi hình chữ nhật AEMF = 2A không đổi nên ME + MF = a không đổi.
Do đó tích ME.MF = SAEMF lớn nhất khi và chỉ khi ME=MF.
Suy ra AEMF là hình vuông khi và chỉ khi M trùng với O (với O là giao điểm
của 2 đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD).
2.4. Biện pháp 4 : Sử dụng phương pháp học hợp tác theo nhóm nhỏ để
rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hình học.
Ví dụ 4: AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của một đường tròn
tâm O, bán kính R. M là một điểm bất kì thuộc (O ;R). Tìm giá trị lớn nhất của
P=MA.MB.MC.MD
GV: Trên hình vẽ điểm M có thể nằm trên các cung AC, CB, BD, DA nhỏ. Thấy
sẽ chia lớp mình làm 4 nhóm ứng với mỗi vị trí của điểm M. Các nhóm hãy trao
đổi, thảo luận với nhau để tìm giá trị lớn nhất của P=MA.MB.MC.MD
Nhóm 1: Tìm GTLN của P=MA.MB.MC.MD, với M
cung AC nhỏ.
Nhóm 2: Tìm GTLN của P=MA.MB.MC.MD, với M
cung CB nhỏ.
Nhóm 3: Tìm GTLN của P=MA.MB.MC.MD, với M
cung BD nhỏ.
Nhóm 4: Tìm GTLN của P=MA.MB.MC.MD, với M
cung DA nhỏ.

A

D

A

M

M

C

O

A

D

O

C

D

O

C D

A

C

O

M

B

B

M

B

B

Nhóm 1
Nhóm 2
Nhóm 3
Nhóm 4
Sau khi cho các nhóm trao đổi, thảo luận xong, GV yêu cầu từng nhóm
trình bày kết quả thực hiện nhiệm vụ của nhóm mình,
các nhóm còn lại theo dõi, quan sát và góp ý.
A
M
K
Kết quả trình bày của các nhóm:
Nhóm 1: P= MA.MB.MC.MD= (MK.AB).(MH.CD).
(Với K, H là hình chiếu của M lên AB và CD)
Ta có P=4R2.MK.MH

D
O

H

B

C


MK.MH

=

=

=
Vậy P
4R2.
= 2R4
P đạt Max là 2R4 khi MK=MH
hay M là điểm chính giữa của cung AC.
Nhóm 2: P=MA.MB.MC.MD=(MA.MB).(MC.MD)
MA.MB
=

=

A

O

D

= 2R2

MC.MD

=

MK.MH

=
=

A

=

=

O

D

C

M

Vậy P

4R2.
= 2R4
P đạt Max là 2R4 khi MK=MH
hay M là điểm chính giữa của cung AC.
Nhóm 4: P=MA.MB.MC.MD = (ME.AB).(MF.CD)
(với E, F là hình chiếu của M lên AB và CD)
Ta có P=4R2.ME.MF
ME.MF

M

B

=
= 2R2
Vậy P
4R4
P đạt Max là 4R4 khi MA=MB ; MC=MD (vô lí)
Nhóm 3: P=MA.MB.MC.MD=(MK.AB).(MH.CD)
(với K,H là hình chiếu của M lên AB và CD)
Ta có P=4R2.MK.MH

=

C

B

D

M

A
E

F

O

=

Vậy P
4R2.
= 2R4
P đạt Max là 2R4 khi MK = MH
Hay M là điểm chính giữa của cung AD
Nhận xét:Giáo viên nhận xe

B

C