vài bài toán bất đẳng thức hay

1

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –

Bài 1: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

1 1 1 ab
bc
ac
.
   2
 2
 2
a b c c  ab a  bc b  ac
(Diễn đàn K2pi)
Lời giải:
Giâ sử b  max a; b; c .

1 ab  1 bc  1 ac 
Bất đẳng thức tương đương   2
  2
  2
0.
 a c  ab   c a  bc   b b  ac 

 a  c   a  c  bc  ab  ac    b  c  b  a   0
2

Hay





ac a2  bc c 2  ab





b b2  ac



(đúng vì b  max a; b; c ).

Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a  b  c .


Bài 2: Cho a , b , c là các số nguyên dương tùy ý thỏa mãn a2  b2  c 2 1  ab  . Chứng minh
rằng:
ac.

(Diễn đàn K2pi)
Lời giải:





Giâ sử a  c , suy ra a2  c 2  b ac 2  b  0  ac 2  b .





Mà ac 2 và b là các số nguyên dương nên b  ac 2  1 , suy ra b b  ac 2  b  ac 2 .





Vậy a2  c 2  b ac2  b   ac2 hay c 2  a2  ac 2  0 .
Do a , c là các số nguyên dương nên c 2  a2  ac 2  c 2 1  a   a2  0 .
Vậy, điều giâ sử sai. Ta có điều phâi chứng minh.
Link facebook: />
Xct :)))


2

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –


Bài 3: Cho a , b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a  b  2 . Chứng minh rằng:

aabb  3ab  4 .
(Vasile Cirtoaje)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy rộng, ta có
a

b
a
b
 a
b  aa b ab b
ab ab
,
.a 
.b  

a
b

a
b

ab
ab
 ab ab

a
2

b
2

hay là a  b  2a b   2  ab 
2

2

2

2

 a2  b2 
a b

 a b .
2



Do vậy, aabb  3ab   2  ab   3ab  4  ab  ab  1  4 .
2

Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a  b  1 .


Bài 4: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

a

2











 b 2 b 2  c 2 a 2  c 2  a  b  c   8 a 2 b 2  b 2c 2  a 2c 2 .
2

2

(Diễn đàn K2pi)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2ab 

4a2b2
.
a2  b2

Áp dụng tương tự ta được

2  ab  bc  ac  

4a2b2
4b 2 c 2
4a2 c 2


,
a2  b2 b2  c 2 a2  c 2

hay là
Link facebook: />
Xct :)))


3

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –

a  b  c

2

 a2  b2  c 2 

4a2b2
4b 2 c 2
4a2c 2
.


a2  b2 b2  c 2 a2  c 2

Vậy, ta cần chứng minh

a

2



4a2b2
4b 2 c 2
4a 2c 2 
 b2 b2  c 2 a2  c 2  a2  b2  c 2  2 2  2 2  2 2   8 a2b2  b2c 2  a 2c 2
a b b c a c 










Tương đương với a2b2 a2  b2



2





 b2 c 2 b2  c 2



2



 a2c 2 a2  c 2



2



2

.

 0 (đúng).

a  b  0
Dấu đẳng thức xây ra khi a  b  c  0 hoặc 
và các hoán vị.
c

0



Bài 5: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

a b c ab bc
  


1.
b c a bc ab
(Belarusia MO 1998)
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương

a
a  b
b  c
c 
b
 b  b  c    c  b  c    a  a  b   a  b  1,

 
 

hay là

ac
b2
bc
a  2b



.
b b  c  c b  c  a  a  b a  b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
ac

b2
a  c 2 b2  a  b  c 
.


  
bb  c  c b  c  c b  c   b a  c a  b

Link facebook: />
Xct :)))


4

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –

ab  c

Vậy, ta cần chứng minh

c

ba  c
bc
  a  2b 
 0 (đúng).
a
ac
2

Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a  b  c .


Bài 6: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

a3
b3
c3


 1.
a3  abc  b3 b3  abc  c 3 a3  abc  c 3
(Nguyễn Văn Thạch)
Lời giải:
Nhân câ 2 vế có bất đẳng thức cho a3  b3  c 3  abc và để ý rằng



a a3  b3  c 3  abc
a3  abc  b3



a 3c 3
 a3 ,
3
3
a  abc  b

ta được

a 3c 3
a 3b 3
b 3c 3


 abc ,
a3  abc  b3 b3  abc  c 3 a3  abc  c 3
hay là



a2c 2

b a3  abc  b3



 

a 2b2

c b3  abc  c 3



 

b2c 2

a a3  abc  c 3



 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawrz, ta được

a2c 2

 b a3  abc  b3




Mà

  ac    bc  a
2

2

2

3




  bc 2 a3  abc  b3  







   ac 
2

2

.



 abc  b3 .

Vậy ta có điều phâi chứng minh.
Link facebook: />
Xct :)))


5

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –

Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a  b  c .


Bài 7: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

a4
b4
c4
abc
.



3
3
3
3
3
3
2
a b b c a c
(VQBC – Phương pháp Cauchy-Schwarz chứng minh BĐT)
Lời giải:
Nhân câ 2 vế có bất đẳng thức cho a3  b3  c 3 , bất đẳng thức trên có thể viết được dưới dạng





 a  b  c  a3  b3  c 3
a4c 3
.
a b c  3 3 
2

a b
4

4

4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có

a

4 3

ac
 b3

3

a b  b c  a c 

c  a  b   a b  c   ba
2 2

3

2 2

3

3

2 2

3

2

3

c

3



  a 2b2 





1
a b3  c 3 .

4

Vậy, ta suy ra

a





a4c 3
1
  a2b2   a b3  c 3 .
3
3
4
b

Như thế ta chỉ cần chứng minh được





4 a 4  4 a 2 b 2   a b 3  c 3  2   a 
tương đương với

 a

4





 b4  4a2b2  3ab a2  b2   0 hay



 a

2

a  ,
3



 ab  b2  a  b   0 (đúng).

Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a  b  c .



Link facebook: />
Xct :)))

2


6

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –

Bài 8: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý thỏa mãn abc  1 . Chứng minh rằng:
3
 1

1
1 
18  3
 3
 3
  a  b  c .
 a 1 b 1 c 1

(Diễn đàn Mathscope)
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương

 a2
3
b2
c2 
18  2
 2
 2
   a  b  c   54 .
 a  bc b  ac c  ab 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

a  b  c
a2
b2
c2


 2 2 2

.
2
2
2
a  bc b  ac c  ab a  b  c  ab  bc  ac
2

Ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM để có

18  a  b  c 

2

 a  b  c  2

18  a  b  c 

3

a2  b2  c 2  ab  bc  ac

5

a2  b2  c 2  ab  bc  ac

.

Vậy ta cần chứng minh

a  b  c

5







81 2 2 2
a  b  c  ab  bc  ac .
2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được

a  b  c

6









 27 a2  b2  c 2  ab  bc  ac   81abc a2  b2  c 2  a  b  c  .
2

Suy ra

a  b  c

5





 81 a2  b2  c 2 





81 2 2 2
a  b  c  ab  bc  ac .
2

Vậy ta có điều phâi chứng minh.
Link facebook: />
Xct :)))


7

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –

Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a  b  c .


Bài 9: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng:

1
1
1
3
 2
 2
 .
5a  ab  bc 5b  bc  ac 5c  ac  ab 7
2

(Diễn đàn Mathscope)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

4a  b  c
b  c
1
1
1
 2
 2


.
2
2

2
5a  ab  bc 5b  bc  ac 5c  ac  ab
 b  c  5a2  ab  bc   b  c  5a2  ab  bc
2

2











Vậy ta cần chứng minh rằng
28  a  b  c   3  b  c  5a2  ab  bc ,
2

2

hay là
28 a4  58 a3b  85 ab3  156 a2b2  15abc  a  b  c  .

Ta có các đánh giá sau

58 a3b  58 ab3  116 a2b2 ,
27  a4  27  ab3  54 a2b2 ,

a

4

 14 a2b2  15abc  a  b  c  .

Cộng vế theo vế các đánh giá trên, ta có điều phâi chứng minh.
Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .

Link facebook: />
Xct :)))




8

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –


Bài 10: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

bc
ac
ab
6
.
 2
 2


2
2a  bc 2b  ac 2c  ab a  b  c
(Diễn đàn Mathscope)
Lời giải:
Nhân câ 2 vế cûa bất đẳng thức cho 4  a  b  c  và để ý rằng

4  b  c  a  b  c 
2a2  bc

 a  2b  2c 


2

2a2  bc



a2
,
2a2  bc

nên ta cần chứng minh



 a  2b  2c 

2

2a2  bc

 24  

a2
2a2  bc

Ta sẽ chứng minh 2 bất đẳng thức sau

a2
b2
c2


 1,
2a2  bc 2b2  ac 2c 2  ab

 a  2b  2c    2 a  b  2c    2 a  2b  c 
2

và

2a2  bc

* Chứng minh bất đẳng thức thứ nhất

2

2b2  ac

2c 2  ab

2

 25 .

a2
b2
c2


 1.
2a2  bc 2b 2  ac 2c 2  ab

Ta có bất đẳng thức tươn đương

bc
ac
ab
 2
 2
1
2a  bc 2b  ac 2c  ab
2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

Link facebook: />
Xct :)))

9

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –

 ab  bc  ac 
bc
ac
ab
 2
 2

1.
2
2a  bc 2b  ac 2c  ab 2abc  a  b  c   a 2b 2  b 2c 2  a 2c 2
2

 a  2b  2c    2 a  b  2c    2 a  2b  c 
2

* Chứng minh bất đẳng thức thứ hai

Giâ sử c  min a; b; c . Đặt t 

2

2a2  bc

2b2  ac

2c 2  ab

2

 25 .

bc
.
2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

 a  2 b  2 c    2 a  b  2c 
2

2a2  bc

2

2b2  ac





b  a  2b  2c   a  2a  b  2c 
2 4t 2  ab  2tc

 2 2

.
2a b  3tabc  4t 3c
b2 2a2  bc  a2 2b2  ac
2









2

Chú ý do tc  ab  t 2 nên









2 3t 2  2tc

2a2b2  3tabc  4t 3c  2t 4  3t 3c  4t 3c  t 2  ab 2t 2  2ab  3tc  2t 4  3t 3c  4t 3c ,
suy ra

 a  2 b  2 c    2 a  b  2c 
2

2a2  bc

Mặt khác

 2 a  2b  c 
2c 2  ab

2b2  ac

2

 4t  c 


2





2 4t 2  ab  2tc

2

2t 4  3t 3c  4t 3c







2

2t 4  3t 3c  4t 3c



2  3t  2c 

2

.

2t 2  tc

2

t 2  2c 2

.

Vậy, ta suy ra được

 a  2b  2c    2 a  b  2c    2 a  2b  c 
2

2a2  bc

2

2b2  ac

2c 2  ab

2



2  3t  2c 
2t 2  tc

2

 4t  c 


2

t 2  2c 2



c  31t  16c  t  c 



t  2t  c  t 2  2c 2

Ta có điều phâi chứng minh.
Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .


Link facebook: />
Xct :)))

2



 25  25 .


10

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –

4
. Chứng minh rằng:
5

Bài 11: Cho a , b là các số thực không âm tùy ý thỏa mãn a  b 

1 a
1 b
1 a  b



1.
1 a
1 b
1 a  b
(Diễn đàn Mathscope)
Lời giải:
Bình phương hai vế bất đẳng thức trên, ta có được bất đẳng thức tương đương

1  a 1  b   1  a  b  1  2
1  a 1  b  1  a  b

1 a 1 b

2
1 a 1 b

1 a  b
,
1 a  b

hay là

2  1  ab 
1  a  b  ab

2

1  a  b  ab
2

1 a  b

2
.
1  a  b  ab 1  a  b
1 a  b

Đặt u  ab và v  a  b . Khi đó ta cần chứng minh

2 1  u
1 v  u

2

1 v  u
2
1 v

2
,
1 v  u 1 v
1 v

tương đương

 1 v  u
u 2  v
1 u  v 1 v
1 v 





,
1  u  v 1  v  1  v  1  v  u   1  v  u
1  v 
hay là

 1 v  u
u 2  v
2uv
1 v 



.
1  v  u1  v  1  v 1  v  u  1  v  u 1  v 
Nếu u  0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Xét u  0 , ta có bất đẳng thức trên tương đương

2v
1 v  u
1 v


.
2v
1 v  u
1 v
Link facebook: />
Xct :)))

11

Vài bài toán Bất đẳng thức hay và khó –

Ta có các đánh giá sau

2v
2
1 v
1 v  u
1 v
(đúng).
 2


2v 3
1 v
1 v  u
1 v
Ta có điều phâi chứng minh.


2
Bài 12: Cho a1 , a2 , ... , a100 là các số thực thỏa mãn a12  a22  ...  a100
  a1  a2  ...  a100   101 .
2

Chứng minh rằng:

a1  10 .

(Rumani 2004)
Lời giải:
Giâ sử a1  10 hay a12  100 . Từ giâ thiết ta suy ra
2
2
101  a12  a22  ...  a100
  a1  a2  ...  a100   100  a22  ...  a100
  a1  a2  ...  a100  ,
2

2

hay là
2
a22  ...  a100
  a1  a2  ...  a100   1 .
2

Ta có
a1   a1  a2  ...  a100    a2  ...  a100  ,

suy ra
2
2
2 
a12   a1  a2  ...  a100   a2  ...  a100   100  a1  a2  ...  a100   a22  ...  a100
 100 .




Vậy, điều giâ sử sai. Ta có điều phâi chứng minh.


Link facebook: />
Xct :)))