Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHÙNG THỊ THU HÀ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC
HÀM SỐ SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHÙNG THỊ THU HÀ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC
HÀM SỐ SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2016


i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Một số kiến thức bổ trợ về dãy số
1.1 Dãy số, định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
5
6

2 Một số phương pháp giải bài toán về xác định dãy số
2.1 Dãy số sinh bởi hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dãy số sinh bởi hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . .
2.3 Dãy số sinh bởi hàm chứa căn thức . . . . . . . . . . . .
2.4 Dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và siêu việt . . . . .

.
.
.
.

10
10
16
22
24

.
.
.
.

28
28
35
37
42

4 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số
4.1 Một số dạng toán liên quan đến tính chất của dãy số . . . . . . . .
4.2 Một số dạng toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46
46
57

Kết luận

62

Tài liệu tham khảo

63

3 Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số
3.1 Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn để tính giới hạn của
3.2 Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn của dãy số . .
3.3 Sử dụng định lý Lagrange để tính giới hạn của dãy số
3.4 Xác định giới hạn của dãy tổng . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

dãy số .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


1

Mở đầu
Dãy số là một phần quan trọng của chương trình Toán phổ thông và trong các

ngành đại số và giải tích toán học. Dãy số có một vị trí đặc biệt quan trọng trong
toán học, không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng một vai
trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết
phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn. . . Trong chương trình, sách giáo
khoa trung học phổ thông, nội dung đề cập đến dãy số rất ít. Vì vậy học sinh gặp
rất nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến dãy số khi tham gia
thi học sinh giỏi các cấp.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toán
quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán
về dãy số được đề cập nhiều và thường thuộc loại khó. Các bài toán về ước lượng;
xác định dãy số và tính giá trị các tổng, tích; các bài toán về cực trị, xác định
giới hạn dãy hay các tính chất của dãy số thường liên quan đến đặc trưng của dãy
tương ứng.
Luận văn Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp nhằm nêu một
số phương pháp xác định dãy số, giới hạn của dãy số và các bài toán liên quan.
Luận văn gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ về dãy số
Chương này trình bày các kiến thức liên quan đến dãy số.
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán về xác định dãy số
Chương này trình bày các bài toán liên quan đến xác định số hạng tổng quát
của dãy số sinh bởi các hàm sơ cấp cơ bản đó là hàm đa thức, hàm phân thức hữu
tỷ, hàm lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit.
Chương 3. Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số
Chương này trình bày một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số như


2

phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, phương pháp sử dụng nguyên lí
kẹp, phương pháp sử dụng định lí Lagrange và xác định giới hạn của dãy tổng.

Chương 4. Các dạng toán khác liên quan đến dãy số
Chương này trình bày một số bài toán liên quan đến tính chất của dãy số
nguyên, các dãy số chứa hàm phần nguyên, hàm phần lẻ.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
với sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của thầy, tới các thầy cô trong
Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và Khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa học.
Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục và đào tạo Yên Bái, Ban giám hiệu
và các thầy cô trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành đã tạo điều kiện cho tác
giả học tập và hoàn thành kế hoạch học tập.

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 5 năm 2016.
Học viên

Phùng Thị Thu Hà


3

Chương 1
Một số kiến thức bổ trợ về dãy số
Trong chương này, tôi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số định
nghĩa và các định lý cơ bản, một vài dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng.

1.1

Dãy số, định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số
tự nhiên. Với M ⊂ N, thay cho ký hiệu

u:M→R
n → u(n)

ta thường dùng ký hiệu (un ) hay {un } với n ∈ M.
Dãy số được gọi là vô hạn nếu chúng có vô hạn phần tử. Dãy số được gọi là hữu
hạn nếu số phần tử của dãy là hữu hạn. Phần tử ui được gọi là phần tử thứ i của
dãy.

1.1.1. Dãy số đơn điệu
Dãy (un ) được gọi là đơn điệu tăng nếu un ≤ un+1 , với mọi n = 1, 2, . . .
Dãy (un ) được gọi là đơn điệu giảm nếu un ≥ un+1 , với mọi n = 1, 2, . . .
Dãy (un ) được gọi là tăng thực sự nếu un < un+1 , với mọi n = 1, 2, . . .
Dãy (un ) được gọi là giảm thực sự nếu un > un+1 , với mọi n = 1, 2, . . .
Dãy đơn điệu tăng và dãy đơn điệu giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.


4

Nhận xét 1.1.

• Nếu dãy (xn ) tăng, dãy (yn ) tăng thì dãy (xn + yn ) tăng.

• Nếu dãy (xn ) giảm, dãy (yn ) giảm thì dãy (xn + yn ) giảm.
• Nếu dãy (xn ) tăng thì dãy (−xn ) giảm, và nếu dãy (xn ) giảm thì dãy (−xn )

tăng.
• Nếu hai dãy số dương (xn ), (yn ) cùng tăng (giảm) thì dãy (xn yn ) tăng (giảm).
• Một dãy số có thể không tăng, cũng không giảm. Ví dụ dãy số (xn ) với
xn = (−1)n , ∀n ∈ N.

1.1.2. Dãy số bị chặn
Dãy (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
un ≤ M, ∀n ∈ N∗ .

Dãy (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
un ≥ m, ∀n ∈ N∗ .

Dãy (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới nghĩa
là tồn tại một số M và một số m sao cho
m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ .

1.1.3. Dãy số Cauchy
Định nghĩa 1.2 (xem [5]). Dãy số (un ) được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃N0 ∈
N : ∀m, n > N0 , |un − um | < ε.
Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [5]). Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi
và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

1.1.4. Dãy số tuần hoàn
Định nghĩa 1.3 (xem [3]). Dãy số (un ) được gọi là một dãy số tuần hoàn (cộng
tính) nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho
un+l = un , ∀n ∈ N.

(1.1)


5

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy (un ) thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ
sở của dãy.
Dãy số (un ) được gọi là một dãy phản tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số

nguyên dương l sao cho
un+l = −un , ∀n ∈ N.

(1.2)

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy (un ) thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ
sở của dãy.
Nhận xét 1.2. a) Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi dãy đó là một dãy hằng.
b) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l là dãy tuần hoàn chu kỳ 2l.
Tương tự, ta cũng có định nghĩa về dãy tuần hoàn nhân tính.
Định nghĩa 1.4 (xem [3]). Dãy số (un ) được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính
nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho
usn = un , ∀n ∈ N.

(1.3)

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số (un ) thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kỳ
cơ sở của dãy.
Dãy số (un ) được gọi là dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên
dương s (s > 1) sao cho
usn = −un , ∀n ∈ N.

(1.4)

Số nguyên dương s (s > 1) nhỏ nhất để dãy số (un ) thỏa mãn (1.4) được gọi là
chu kỳ cơ sở của dãy.
Nhận xét 1.3. Dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s là một dãy tuần hoàn
nhân tính chu kỳ s2 .

1.2

Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.5 (xem [5]). Ta nói dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn a khi n dần tới
vô cùng nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un và ε )
sao cho với mọi n > N0 ta có |un − a| < ε.
lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un − a| < ε.

n→+∞


6

Ta nói dãy số (un ) dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thực
dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un và M ) sao cho
với mọi n > N0 ta có |un | > M.
lim un = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un | > M.

n→+∞

Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới
hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.
Định lý 1.2 (xem [5]). Giả sử tồn tại lim un = a; lim vn = b thì
n→+∞

n→+∞

a) lim (un + vn ) = lim un + lim vn = a + b.
n→+∞

n→+∞

n→+∞

b) lim (un − vn ) = lim un − lim vn = a − b.
n→+∞

n→+∞

n→+∞

c) lim (un .vn ) = lim un . lim vn = ab.
n→+∞

n→+∞

n→+∞

un
=
n→+∞ vn

d) nếu b = 0 thì lim

lim un

a
= .
lim vn
b

n→+∞

n→+∞

Định lý 1.3. Nếu un ≤ vn , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N và tồn tại lim un = a; lim vn = b
n→+∞

n→+∞

thì a ≤ b.
Định lý 1.4 (Định lý Weierstrass, xem [5]). a) Nếu dãy (un ) đơn điệu tăng và bị
chặn trên bởi M thì tồn tại giới hạn hữu hạn lim un = a và a ≤ M .
n→+∞

b) Nếu dãy (un ) đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi m thì tồn tại giới hạn hữu
hạn lim un = a và a ≥ m.
n→+∞

Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
Định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp, xem [5]). Nếu vn ≤ un ≤ wn , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N và
lim vn = lim wn = a thì lim un = a.

n→+∞

1.3

n→+∞

n→+∞

Một vài dãy số đặc biệt

1.3.1. Cấp số cộng
Định nghĩa 1.6 (xem [5]). Dãy số (un ) được gọi là một cấp số cộng khi và chỉ khi
tồn tại d ∈ R sao cho
∀n ∈ N, un+1 = un + d.
u1 được gọi là số hạng đầu, d được gọi là công sai của cấp số cộng.


7

Tính chất 1.1. Dãy số (un ) là cấp số cộng với công sai d thì
i) un = u1 + (n − 1)d với mọi n = 1, 2, . . . ;
uk−1 + uk+1
với mọi k = 2, 3, . . . ;
2
iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 , . . . , un−1 , un . Ta có

ii) uk =

u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 = . . .

Một cách tổng quát: u1 + un = uk + un+1−k với mọi k = 2, 3, . . . , n − 1.
iv) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un . Ta có
Sn =

[2u1 + (n − 1)d]n
(u1 + un )n
=

.
2
2

1.3.2. Cấp số nhân
Định nghĩa 1.7 (xem [5]). Dãy số (un ) được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ
khi tồn tại q ∈ R sao cho
∀n ∈ N, un+1 = un q.
u1 được gọi là số hạng đầu, q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Tính chất 1.2. Dãy số (un ) là cấp số nhân với công bội q thì
i) un = u1 q n−1 với mọi n = 1, 2, . . . ;
ii) u2k = uk−1 .uk+1 với mọi k = 2, 3, . . . ;
iii) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un . Khi q = 1 ta có
Sn =

u1 (q n − 1)
.
q−1

Nhận xét 1.4. Nếu |q| < 1 thì (un ) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của
cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức
S = u1 + u2 + u3 + · · · =

u1
.
1−q

1.3.3. Cấp số điều hòa
Định nghĩa 1.8 (xem [3]). Dãy số (un ) (un = 0 với mọi n ∈ N) thỏa mãn điều kiện

un =

được gọi là cấp số điều hòa.

2un−1 un+1
, ∀n ∈ N∗
un−1 + un+1


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full