Chuong 1 TCN tong quan bai toan quy hoach tuyen tinh

Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG
PHÁP GIẢI
1.1

Giới thiệu tổng quan về quy hoạch tuyến tính

1.1.1 Tổng quan
a) Giới thiệu bài toán quy hoạch tuyến tính
-

Quản lý tốt và sử dụng hiệu quả nhất nguồn lực của công ty sẽ tạo nên lợi nhuận tối ưu cho

công ty. Nguồn lực thông thường bao gồm: máy móc, thiết bị, lao động, tiền, thời gian, không
gian (kho bãi) và nguyên vật liệu. Các tài nguyên này để sản xuất tạo ra sản phẩm (ví dụ máy
móc, vật liệu trang trí nội thất, thức ăn hay quần áo) hoặc cũng có thể tạo ra các dịch vụ.
-

Làm sao để tạo ra lợi nhuận tối ưu cho công ty?

-

Chúng ta phải sử dụng các hình thức quản lý hiệu quả, trong đó xây dựng mô hình quản lý

bằng các mô hình toán là một trong những số đó.
-

Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là gì? QHTT là một phương pháp toán được sử dụng rất

rộng rãi giúp cho người quản lý trong công việc hoạch định và quyết định liên quan đến việc

phân bổ các nguồn lực một cách hiệu quả. Nó là một trong những phương pháp của quy hoạch
toán học thường sử dụng máy tính rất nhiều vì những bài toán thực tế thường rất lớn và phức tạp
nên không thể giải được bằng tay.
b) Lịch sử phát triển quy hoạch tuyến tính
-

QHTT đã được phát minh trước thế chiến thứ II bởi nhà toán học Liên Xô tên là A.N.

Kolmogorow. Sau đó được nhà toán học, Leonid Knatorovich, đã đạt giải thưởng Nobel kinh tế
1975 và cùng với Tjalling Koopmas đặt nền tảng cho những khái niệm của bài toán lập kế hoạch
sản xuất tối ưu trong những nghiên cứu của họ trong những năm 1940. Và một ứng dụng đầu
tiên của QHTT, phát minh vào năm 1945 bởi Stigler, dựa trên các giải thuật kinh nghiệm để tìm
lời giải tối ưu bởi vì thời đó chưa có phương pháp nào để tìm lời giải tối ưu.
-

Sự phát triển của QHTT chỉ thực sự bùng nổ sau khi Geogre D.Dantzig, được mệnh danh

là cha đẻ của QHTT, phát triển một thủ tục để giải bài toán QHTT thường được gọi là phương
pháp đơn hình. Mặc dù ban đầu được ứng dụng ở trong quân sự, QHTT cũng đã phát triển vô
cùng nhanh chóng trong các lĩnh vực công nghiệp và quản lý khi có sự ra đời của máy tính trong
kinh doanh.
-

Hiện nay với sự phát triển của khoa học máy tính chúng ta có thể sử dụng các phần mềm

như Excel, LINGO, vv để giải bài toán QHTT
c) Các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính.

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

1


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics

1. Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu
2. Lập mô hình toán

3. Xây dựng các thuật toán
4. Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần
5. Áp dụng giải các bài toán thực tế
Hình 1.1. Các bước nghiên cứu và ứng dụng bài toán QHTT
1.1.2 Thành phần bài toán QHTT
Dù đa dạng, các bài toán QHTT đều có 4 thành phần và đặc điểm chính như sau
1. Hàm mục tiêu
2. Các ràng buộc
3. Các phương án lựa chọn
4. Hàm mục tiêu và các ràng buộc tuyến tính
a)

Hàm mục tiêu
Tất cả các bài toán là nhằm để cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa một đại lượng nào đó, ví dụ cực

đại hóa lợi nhuận hoặc cực tiểu hóa chi phí:
-

Chuyên gia phân tích tài chính muốn đưa ra quyết định lựa chọn các danh mục đầu tư sao

cho số tiền thu được là nhiều nhất.
-

Người quản lý sản xuất muốn lập một kế hoạch sản xuất và đưa ra một chính sách tồn

kho đáp ứng đáp ứng đáp ứng nhu cầu khách hàng sao cho chi phí sản xuất và tồn kho là ít nhất.
-

Giám đốc tiếp thị muốn xác định sự phân bổ ngân sách của việc quảng cáo đối với các

phương tiện truyền thông khác nhau như đài, tivi, báo, hay tạp chí … sao cho mang lại hiệu quả
cao nhất.
-

Người quản lý muốn xác định số lượng sản phẩm cần phải tính từ các nhà máy vận

chuyển đến nơi tiêu thụ sao cho chi phí vận tải là thấp nhất.
Chúng ta gọi thành phần này gọi là hàm mục tiêu của bài toán QHTT. Ví dụ như:
-

Mục tiêu chính của các nhà sản xuất thông thường là cực đại hóa lợi nhuận

( Maximization).
-

Với các hệ thống phân phối thì mục tiêu có thể là cực tiểu hóa chi phí vận chuyển

(Minimization).
Trong bất kỳ trường hợp nào, mục tiêu đều cần phải được định nghĩa một cách rõ ràng và

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

2


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
được xác định bằng các công thức toán. Không quan tâm đến lợi nhuận hay chi phí đo được bằng
đơn vị tiền tệ gì, USD, VND, TWD, ….

Min(3x  4 y  3z )

Ví dụ:

Max( x  6 y  4 z)
b) Các ràng buộc
Các ràng buộc thường là các hàm chỉ ra những hạn chế về tài nguyên của tổ chức. Nó sẽ giới
hạn mức độ đạt được mục tiêu của chúng ta. Bài toán đặt ra cho chúng ta là cực đại hóa hoặc cực
tiểu hóa một số đại lượng với những ràng buộc đã cho. Ví dụ như:
-

Số lượng sản phẩm sẽ sản xuất ra ở một công ty sẽ bị giới hạn bởi máy móc và nhân sự

huy động của công ty cũng như nhu cầu khác hàng
-

Việc lựa chọn một chính sách quảng cáo hay một tập danh mục đầu tư sẽ bị giới hạn bởi

tổng tiền sẵn có để đầu tư.
-

Lựa chọn phương án thi công các công trình sao cho tổng chi phí không vượt quá một

giới hạn.
-

Trong bài toán vận tải, việc cực tiểu hóa chi phí vận tải sẽ bị ràng buộc bởi khả năng

cung cấp của các nhà máy cũng như nhu cầu tại các nơi tiêu thụ.
Do đó, chúng ta thường cực đại hóa hay cực tiểu hóa các đại lượng ( hàm mục tiêu) trong điều
kiện giới hạn về tài nguyên (các điều kiện ràng buộc)

Min(3x  4 y  3z )

Ví dụ:

 x  y  z  10
Ràng buộc. 
 x, y  0
c)

Phải có phương án lựa chọn
Có một công ty sản xuất 3 loại sản phẩm khác nhau. Có thể công ty tập trung sản xuất chủ yếu

một trong 3 sản phẩm hay sản xuất đều 3 loại sản phẩm, hoặc phân bổ ở một tỷ lệ bất kỳ nào đó?
Nhà quản lý có thể sử dụng QHTT để xác định tỷ lệ phân bổ của chúng trong điều kiện giới hạn
về tài nguyên sản xuất (máy móc, công nhân, …) để cực đại lợi nhuận. Nếu chỉ một phương án
thì không cần QHTT.
Ví dụ:
Bảng 1.1 Dữ liệu về bài toán nông trại
Thành phần dinh
dưỡng/ kG
A

Thức ăn B1

Thức ăn B2

Thức ăn B3

5

10

12

Yêu cầu tối
thiểu
90

B

4

2

3

56

C

0.5

0.2

0

1.5

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

3


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
Chi phí
(USD/kG)

2

3

4

Trong ví dụ trên ta có 3 phương án lựa chọn là B1, B2, B3. Do vậy ta cần lập quy hoạch tuyến
tính sao cho chi phí chi trả cho việc mua thức ăn là nhỏ nhất.
d) Hàm mục tiêu và các ràng buộc đều là tuyến tính
Dạng ràng buộc ó thể là:
+ Bất phương trình có dạng " ≤ " hoặc " ≥ "
+ Phương trình " = "
Hàm tuyến tính có nghĩa là số mũ của các biến quyết định phải ở dạng bậc nhất ( không được
bậc 2, hoặc bậc 3 hay một bậc khác 1) Ví dụ:

Phương trình: 2 x  5 y  10 là phương trình tuyến tính, trong khi đó 2 x 2  5 y 3  3xy  20
không phải là phương trình tuyến tính bởi vì biến x có bậc là 2.
Hàm mục tiêu Z  10 x  4 y là hàm tuyến tính, trong khi Z  10 x 2  4 y không phải là hàm
tuyến tính.
1.1.3 Các giả thiết cơ bản QHTT
Thông thường các mô hình toán ứng dụng trong kinh tế đều có các giả thiết đi kèm.
Có 5 giả thiết/ yêu cầu cơ bản cần nắm khi giải các bài toán QHTT
1. Tính chắc chắn: Các con số trong hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biết đến
chắc chắn và không thay đổi trong suốt quá trình nghiên cứu.
2. Tính tỷ lệ: Chúng ta phải giả thiết có tính tỷ lệ tồn tại trong hàm mục tiêu và các ràng
buộc. Nghĩa là sự đóng góp với hàm mục tiêu và giá trị tài nguyên trong mỗi ràng buộc
phải tỷ lệ với giá trị của các biến quyết định.
3. Tính cộng dồn: Giá trị của hàm mục tiêu và tổng tài nguyên sử dụng được tính toán bằng
cách lấy tổng hàm mục tiêu đóng góp và tài nguyên sử dụng của tất cả các biến quyết
định. Nghĩa là tổng các hoạt động sẽ bằng kết quả cộng dồn của từng hoạt động riêng lẻ.
4. Tính chia được: Biến quyết định là biến liên tục. Giả thiết này được chấp nhận các
nghiệm ở dạng thập phân (Lời giải không nhất thiết phải là số nguyên).
5. Tính không âm: Tất cả các biến phải không âm. Sử dụng các con số âm để đếm là không
thể.
Bảng 1.2Các đặc điểm và giả thiết cơ bản của bài toán QHTT
1.
2.
3.
4.

Đặc điểm của QHTT
Hàm mục tiêu
Các ràng buộc
Các phương án lựa chọn
Hàm mục tiêu và các ràng

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

1.
2.
3.
4.

Các giải thiết cơ bản
Tính chắc chắn
Tính tỷ lệ
Tính cộng dồn
Tính chia được

4


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
buộc là hàm tuyến tính

5. Tính không âm

1.1.4 Thành lập bài toán QHTT
Thành lập một bài toán QHTT liên quan đến việc xây dựng một mô hình toán để diễn tả vấn
đề quản lý. Vì vậy, để thành lập một bài toán QHTT, chúng ta cần phải hiểu một cách sâu sắc
vấn đề quản lý đang phải đối mặt. Khi đã nắm rõ, có thể bắt đầu xây dựng mô hình toán cho vấn
đề. Quy trình lập bài toán quy hoạch tuyến tính như sau:
1. Hiểu rõ vấn đề quản lý đang phải đối mặt
2. Xác định hàm mục tiêu và các ràng buộc
3. Định nghĩa các biến ra quyết định

4. Sử dụng các biến ra quyết định để viết các mô hình
toán cho hàm mục tiêu và các ràng buộc

Hình 1.2. Các bước thành lập bài toán QHTT
Ví dụ 1:
Công ty Nam Việt sản xuất các loại bàn và ghế gỗ. Quy trình sản xuất mỗi sản phẩm đều có
điểm chung là cùng trải qua hai công đoạn đóng mộc và sơn, đánh bóng:
•

Mỗi cái bàn cần 4 giờ đóng mộc, 2 giờ sơn và đánh bóng.

•

Mỗi cái ghế cần 3 giờ đóng mộc, 1 giờ sơn và đánh bóng.

Trong giai đoạn sản xuất hiện tại, chu kỳ là một tuần, với lực lượng công nhân lao động hiện
có, công ty Nam Việt có tổng cộng 240 giờ đóng mộc và 100 giờ sơn, đánh bóng (được ước tính
bằng số công nhân x giờ công mỗi ngày). Mỗi cái bàn và ghế khi công ty đem bán sẽ đem lại lợi
nhuận tưng ứng là 70 USD và 50 USD.
Vấn đề đặt ra cho công ty này là trong giới hạn về giờ đóng mộc và giờ sơn như trên, công ty
cần sản xuất bao nhiêu cái bàn và bao nhiêu cái ghế là đem lại lợi nhuận cao nhất.
Đầu tiên chúng ta tóm tắt qua bảng
Bảng 1.3Dữ liệu của công ty Nam Việt
Thời gian (giờ)
Công đoạn
1. Đóng mộc
2. Sơn và đánh bóng
Lợi nhuận (USD)
Số lượng cần sx

Số giờ cần thiết để sản xuất một cái
Bàn
Ghế
4
3
2
1
70
50
x1
x2

Tổng thời gian
có trong 1 tuần
240
100

Từ bảng số liệu ta có:

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

5


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
• Biến:

x1 số lượng bàn sẽ sản xuất trong một tuần
x2 số lượng bàn sẽ sản xuất trong một tuần

• Hàm mục tiêu: Z  70 x1  50 x2
• Các ràng buộc
Tổng số tài nguyên (số giờ) sử dụng ≤ Tổng số tài nguyên (số giờ) sẵn có:
Giờ đóng mộc: 4 x1  3x2  240
Giờ sơn và đánh bóng: 2 x1  1x2  100
• Điều kiện biên (hay còn gọi là ràng buộc mặc định):
Để bài toán có ý nghĩa thì x1 và x2 phải là số không âm nghĩa là
 x1  0
( Số lượng bàn, ghế trong một tuần)

 x2  0

Tóm lại ta có mô hình toán học về vấn đề lập kế hoạch sản xuất cho công ty Nam Việt như
sau:

Z  70 x1  50 x2



Max

4 x1  3x2  240

Ràng buộc 2 x1  1x2  100
 x  0; x  0
 1
2

Ví dụ 2:
Để sảnxuất kẹo và bánh cần 2 thứnguyên liệu chínhlàđườngvà bột mì, với trữlượng hiện cólà

0,9kgđường và1,1 kg bột mì. 1kg kẹocần 0,5 kgđường và0,3kgbột mì; 1kgbánh cần 0,2kg đường
và 0,4 kgbột mì.Giá1kg kẹo là 10000đ;1kg bánhlà 20000đ.Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho
tổng giá trị sản phẩm lớn nhất.
Bảng 1.4Dữ liệu của công ty bánh mì
Thời gian (giờ)
Công đoạn
1. Đường
2. Bột mì
Lợi nhuận (VND)
Số lượng

Số lượng đường và bột mì để sản xuất
Kẹo
Bánh
0.5
0.2
0.3
0.4
10000
20000
x1
x2

Giới hạn
(kg)
0.9
1.1

Gọi x1 là số kg kẹo được sản xuất; x2 là số kg bánh được sản xuất. Ta có mô hình toán học:

f ( x)  10000 x1  20000 x2  max

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

6


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
0.5 x1  0.2 x2  0.9

Ràng buộc 0.3x1  0.4 x2  1.1
x , x  0
 1 2

1.2

Phương pháp giải bài toán

1.2.1 Phương pháp đồ thị
Một trong những phương pháp để giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính đơn giản là
dùng phương pháp đồ thị. Phương pháp này chỉ sử dụng đối với bài toán QHTT đơn giản có hai
biến quyết định. Ví dụ số lượng bàn sẽ sản xuất x1 và số lượng ghế sẽ sản xuất x2 trong vấn đề
lập kế hoạch sản xuất của công ty Nam Việt.
Khi bài toán QHTT có nhiều hơn hai biến, chúng ta không thể biểu diễn lời giải bằng đồ thị
trong hệ tọa độ phẳng hai chiều mà phải sử dụng các phương pháp khác (Phương pháp đơn hình).
Tuy nhiên, phương pháp đồ thị là phương pháp cơ bản giúp chúng ta hiểu rõ được bản chất của
bài toán QHTT và trên cơ sở đó nghiên cứu các phương pháp giải khác.
Các bước giải bài toán QHTT bằng phương pháp đồ thị
Bước 1: Biểu diễn ràng buộc lên đồ thị
Bước 2: Tìm nghiệm tối ưu, áp dụng 1 trong hai phương pháp sau

✓ Phương pháp đường đẳng trị
✓ Phương pháp các điểm góc
1.2.1.1 Biểu diễn lên đồ thị
Để tìm lời giải tối ưu cho một bài toán QHTT, trước tiên chúng ta phải xác định miền nghiệm
khả thi, còn gọi là miền thỏa mãn các điều kiện ràng buộc (miền ràng buộc). Để thực hiện điều
này, bước đầu tiên ta biểu diễn từng điều kiện ràng buộc lên đồ thị.
Trong ví dụ công ty Nam Việt, biến x1 (số lượng bàn sản xuất trong 1 tuần) được thể hiện trên
trục hoành của đồ thị và biến x2 ( số lượng ghế sản xuất trong 1 tuần) được thể hiện trên trục
tung của đồ thị. Không nhất thiết không phải quy định như vậy chúng ta có thể làm ngược lại (x1
trục tung, x2 trục hoành).
Để bài toán có ý nghĩa thì giá trị x1 và x2 phải là số không âm.
 x1  0
 Chúng ta chỉ làm việc ở trong góc phần tư thứ I của đồ thị. Xem Hình 1.3

 x2  0

A.

Ràng buộc thứ nhất: 4 x1  3x2  240

•

Cách biểu diễn:

-

Chuyển ràng buộc bất phương trình thành dạng phương trình:

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

7


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics

4 x1  3x2  240
Tìm 2 điểm A và B thỏa mãn phương trình trên và vẽ đường thẳng nối hai điểm đó:
 x1  0  4 * 0  3* x2  240  x2  80  A( x1  0, x2  80)

 x2  0  4 * x1  3* 0  240  x1  60  B( x1  60, x2  0)
x2

Sè l-îng ghÕ x2

Trôc tung biÓu diÔn rµng buéc x1>=0

Trôc hoµnh biÓu diÔn rµng buéc x2>=0

x1

Hình 1.3.Góc phầ n tư thứ I chỉ gồ m các giá tri ̣không âm
Xác đinh
̣ miề n nghiê ̣m của ràng buô ̣c thứ nhấ t: Vùng phiá dưới đường thẳngAB, phầ n gạch
chéo của Hình 1.4.
x2

Sè l-îng ghÕ x2

A(x1=0; x2 =80)

4*x1 + 3*x2=240

B(x1=60; x2 =0)
x1

Sè l-îng bµn x1

Hình 1.4.Biể u diễn đồ thi ̣cho ràng buô ̣c thứ nhấ t (Giới ha ̣n về giờ đóng mô ̣c)
B.

Ràng buộc thứ hai: 2 x1  1x2  100

•

Cách biểu diễn:

-

Chuyển ràng buộc bất phương trình thành dạng phương trình:

2 x1  1x2  100
Tìm 2 điểm C và D thỏa mãn phương trình trên và vẽ đường thẳng nối hai điểm đó:

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

8


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
 x1  0  2 * 0  1* x2  100  x2  50  C ( x1  0, x2  100)


 x2  0  2 * x1  1* 0  100  x1  50  D( x1  50, x2  0)

Xác đinh
̣ miề n nghiê ̣m của ràng buô ̣c thứ hai: Vùng phiá dưới đường thẳng CD, phầ n gạch
chéo củaHình 1.5
x2

Sè l-îng ghÕ x2

C(x1=0; x2 =100)

2*x1 + 1*x2=100

D(x1=50; x2 =0)
x1

Sè l-îng bµn x1

Hình 1.5.Biể u diễn đồ thi ̣cho ràng buô ̣c 2 (Giới ha ̣n về giờ sơn và đánh bóng)
C.

Xác đinh
̣ miề n nghiê ̣m khả thi thỏa mañ cả 2 ràng buô ̣c: Phầ n tô đâ ̣m
Chúng ta biế t rằ ng để sản xuấ t ra bàn hoă ̣c ghế thì đề u phải trải qua 2 công đoa ̣n đóng mô ̣c và

sơn, đánh bóng. Với bài toán QHTT, chúng ta cầ n phải tìm tâ ̣p hơ ̣p các điể m lời giải đồ ng thời
thỏa mañ tấ t cả các ràng buô ̣c cùng mô ̣t lúc. Vì vâ ̣y, 2 đường giới ha ̣n phải vẽ trên cùng mô ̣t đồ
thi ̣ (xem Hình 1.6). Vùng tô đâ ̣m thể hiê ̣n các sự kế t hơ ̣p của lươ ̣ng bàn và ghế sản xuấ t đồ ng
thời thỏa mañ cả 2 điề u kiê ̣n ràng buô ̣c về thời gian đóng mô ̣c và sơn, đánh bóng. Ta go ̣i đó là

miề n nghiê ̣m khả thi hay go ̣i tắ t hơn là miề n khả thi của bài toán. Miề n khả thi của bài toán
QHTT là tâ ̣p hơ ̣p các điể m thỏa mañ tấ t cả các điề u kiê ̣n ràng buô ̣c của bài toán, vì vâ ̣y nó cũng
chính là phầ n trùng lă ̣p của tấ t cả các điề u kiê ̣n ràng buô ̣c.

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

9


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
x2

Sè l-îng ghÕ x2

Giíi h¹n giê s¬n vµ ®¸nh bãng

Giíi h¹n giê ®ãng méc

x1

Sè l-îng bµn x1

Hình 1.6.Miề n nghiê ̣m khả thi cho vấ n đề của công ty Nam Viê ̣t.
-

Bấ t cứ điể m nào nằ m bên trong miề n khả thi sẽ cho ta mô ̣t nghiê ̣m khả thi.

-

Bấ t cứ điể m nào nằ m ngoài miề n khả thi sẽ cho ta mô ̣t nghiê ̣m không khả thi.

Ta xét 3 điể m sau đây để minh ho ̣a.
+ Điể m M (x1 = 30, x2 = 20), nghiã là sản xuấ t 30 cái bàn và 20 cái ghế trong 1 tuầ n.
Ta có:
•

Thời gian đóng mô ̣c là: 4*30 + 3*20 = 180 giờ < 240 giờ nên thỏa mañ điề u kiê ̣n ràng
buô ̣c thứ nhấ t:

•

Thời gian sơn và đánh bóng: 2*30 + 1*20 = 80 giờ < 100 giờ nên thỏa mañ điề u kiê ̣n
ràng buô ̣c thứ hai:

+ Điể m N (x1 = 70, x2 = 40), nghiã là sản xuấ t 70 cái bàn và 40 cái ghế trong 1 tuầ n.
Ta có:
•

Thời gian đóng mô ̣c là: 4*70 + 3*40 = 400 giờ > 240 giờ nên không thỏa mañ điề u kiê ̣n
ràng buô ̣c thứ nhấ t:

•

Thời gian sơn và đánh bóng: 2*70 + 1*40 = 180 giờ > 100 giờ nên không thỏa mañ điề u
kiê ̣n ràng buô ̣c thứ 2:

+ Điể m P (x1 = 50, x2 = 5), nghiã là sản xuấ t 50 cái bàn và 5 cái ghế trong 1 tuầ n.
Ta có:
•

Thời gian đóng mô ̣c là: 4*50 + 3*5 = 215 giờ < 240 giờ nên thoải mañ điề u kiê ̣n ràng

buô ̣c thứ nhấ t:

•

Thời gian sơn và đánh bóng: 2*50 + 1*5 = 105 giờ > 100 giờ nên không thỏa mañ điề u
kiê ̣n ràng buô ̣c thứ hai:

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

10


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
Chú ý: Điể m nào đó chỉ cầ n không thỏa mañ mô ̣t trong các điề u kiê ̣n ràng buô ̣c thì điể m ấ y
cũng nằ m ngoài miề n khả thi. Chẳ ng ha ̣n như điể m P (x1 = 50, x2 = 5) nằ m trong giới ha ̣n về thời
gian đóng mô ̣c nhưng la ̣i vươ ̣t quá về thời gian sơn, đánh bóng cho phép nên điể m P nằ m ngoài
miề n khả thi.
1.2.1.2 Tìm nghiệm tối ưu
Cách 1: Phương pháp đường đẳ ng tri ̣
Sau khi vẽ miề n khả thi, chúng ta tiế n hành tìm nghiê ̣m tố i ưu của bài toán. Nghiê ̣m tố i ưu là
điể m nằ m trong miề n khả thi cho ta giá tri ̣hàm mu ̣c tiêu tố t nhấ t (lơ ̣i nhuâ ̣n cao nhấ t). Nhưng có
rấ t nhiề u điể m trong miề n khả thi, vâ ̣y chúng ta phaĩ làm như thế nào để tim
̀ ra điể m tố t nhấ t,
điểm cho ta lơ ̣i nhuâ ̣n cao nhấ t? Bởi vì có vô số điể m nằ m trong miề n khả thi của bài toán, nên
không thể dùng phương pháp thử và sai để đánh giá hàm mu ̣c tiêu của tấ t cả các nghiê ̣m khả thi
để xác đinh
̣ nghiê ̣m tố i ưu.
Có rấ t nhiề u các khác nhau để tìm đươ ̣c nghiê ̣m tố i ưu sau khi miề n khả thi đã đươ ̣c vẽ trên đồ
thi.̣ Trong đó, mô ̣t trong những cách nhanh nhấ t để tìm nghiê ̣m tố i ưu là ứng du ̣ng phương pháp
đường đẳ ng tri.̣ Chúng ta bắ t đầ u phương pháp bằ ng cách cho lơ ̣i nhuâ ̣n bằ ng 1 số bấ t kì nào đó

(mô ̣t số tiề n lơ ̣i nhuâ ̣n nhỏ), nghiã là ta gán mô ̣t tri ̣bấ t kì cho vế phải của phương triǹ h lơ ̣i nhuâ ̣n:
giả sử là 2100 USD. Đây là mức lơ ̣i nhuâ ̣n có thể dễ dàng đa ̣t đươ ̣c mà vẫn thỏa mañ các điề u
kiê ̣n ràng buô ̣c. Khi đó ta có hàm mu ̣c tiêu:

2100  70 x1  50 x2
Phương triǹ h đường thẳ ng này đươc̣ go ̣i là đường thẳ ng lợi nhuận, vì nó thể hiê ̣n tấ t cả các sự
kế t hơ ̣p của (x1, x2) cho ra lơ ̣i nhuâ ̣n tổ ng cô ̣ng là 2.100 USD. Để vẽ đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n

2100  70 x1  50 x2 , ta tim
̀ 2 điể m thỏa mañ phương triǹ h và vẽ đường thẳ ng nố i 2 điể m đó
(giố ng như đã thực hiê ̣n cho các ràng buô ̣c ở các bước trên).
 x1  0  2100  70 * 0  50 * x2  x2  42

 x2  0  2100  70 * x1  50 * 0  x1  30

Sau đó, nố i 2 điể m này bằ ng mô ̣t đường thẳ ng. Tấ t cả mo ̣i điể m nằ m trên đường này có lơ ̣i
nhuâ ̣n là 2.100 USD.
Dễ dàng nhâ ̣n thấ y đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n ở mức 2.100 USD không phải là đường cho ra lơ ̣i
nhuâ ̣n cao nhấ t của công ty (Hình 1.7). Vẽ thêm 3 đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n ở mức cao hơn. Trước
tiên vẽ đường đồ ng lơ ̣i nhuâ ̣n ở mức 2.800 USD.
 x1  0  2800  70 * 0  50 * x2  x2  56

 x2  0  2800  70 * x1  50 * 0  x1  40

Bây giờ, tiế p tu ̣c vẽ đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n thứ ba ở mức 3.500 USD. Chúng ta nhâ ̣n thấ y rằ ng

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

11

Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
càng xa gố c to ̣a đô ̣ thì thu đươ ̣c lơ ̣i nhuâ ̣n càng cao. Mô ̣t đă ̣c điể m quan tro ̣ng nữa là các đường
đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n đề u song song với nhau. Điề u này giúp ta có thể tim
̀ đươ ̣c nghiê ̣m tố i ưu cho bài
toán.
Giải thích: Ta có:

7
1
Z  70 x1  50 x2  x2   x1  Z  1.4 x1  0.02Z
(*)
5
50
Phương triǹ h (*) thể hiê ̣n đô ̣ dố c (hê ̣ số góc) của hàm mu ̣c tiêu thông qua x1 và x2. Trong đó,
hê ̣ số của biế n là x1 = - 1,4 là đô ̣ dố c của đường thẳ ng hàm mu ̣c tiêu; còn hê ̣ số của biế n x2 =
0,02 là giá tri ̣chắ n của x2, tức là giá tri ̣của biế n x2 khi đường thẳ ng hàm mu ̣c tiêu tương ứng có
phương trình (*) đi tru ̣c x2. Thay thế các giá tri ̣lơ ̣i nhuâ ̣n Z tương ứng là 2100, 2800, 3500 USD,
ta đươ ̣c:
+ Khi Z = 2100 USD: x2  1.4 x1  42
+ Khi Z = 2800 USD: x2  1.4 x1  56
+ Khi Z = 3500 USD: x2  1.4 x1  70
Các đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n ở trên đề u có cùng đô ̣ dố c – 1,4 nên chúng song song với nhau. Và
đường thẳ ng nào cho chúng ta giá tri ̣chắ n của x2 càng lớn thu đươ ̣c lơ ̣i nhuâ ̣n càng cao, nghiã là
các đường xa dầ n gố c to ̣a đô ̣.

Sè l-îng ghÕ x2

x2

70*x1 + 50*x2=2100
70*x1 + 50*x2=2800

70*x1 + 50*x2=3500
70*x1 + 50*x2=4200

x1

Sè l-îng bµn x1

Hình 1.7.Bốn đường đẳng lợi nhuận.

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

12


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
x2

Sè l-îng ghÕ x2

§-êng lîi nhuËn cùc ®¹i

§iÓm nghiÖm tèi -u
x1 = 30; x2 = 40

70*x1 + 50*x2=4100

x1

Sè l-îng bµn x1

Hình 1.8.Nghiệm tối ưu của công ty Nam Việt.
Vẽ mô ̣t chuỗi các đường thẳ ng song song bằ ng cách di chuyể n cẩ n thâ ̣n cây thước vẽ song
song với phương của đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n ban đầ u và dầ n xa gố c to ̣a đô ̣. Đường lơ ̣i nhuâ ̣n cao
nhấ t là đường cách xa gố c to ̣a đô ̣ nhấ t và vẫn có điể m chung với miề n khả thi (đế n khi tiế p xúc
với các điể m biên, ta có lời giải tố t nhấ t). Chúng ta nhâ ̣n thấ y đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n 4.200 USD
thì quá cao (không có điể m chung với miề n khả thi) nên không xét. Đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n cao
nhấ t đươ ̣c triǹ h bày trong Hình 1.8. Đường này tiế p xúc với điể m góc của miề n nghiê ̣m ta ̣i điể m
I (x1 = 30, x2 = 40) và đa ̣t lơ ̣i nhuâ ̣n cao nhấ t là Z = 70*30 + 50*40 = 4.100 USD. Trong đó điể m
I (x1 = 30 , x2 = 40) chính là giao điể m của 2 đường ràng buô ̣c nên to ̣a đô ̣ của nó chiń h là nghiê ̣m
của hê ̣ phương trình:
4 x1  3x2  240

2 x1  1x2  100

Như vâ ̣y, mỗi tuầ n công ty Nam Viê ̣t phải sản xuấ t 30 cái bàn và 40 cái ghế sẽ đa ̣t cực đa ̣i lơ ̣i
nhuâ ̣n Z = 4.100 USD.
Cách 2: Phương pháp điểm góc
Phương pháp thứ hai đươc̣ sử du ̣ng để giải quyế t các bài toán QHTT là phương pháp điể m góc.
Phương pháp về mă ̣t khái niê ̣m đơn giản hơn phương pháp đường đẳ ng tri,̣ nhưng nó yêu cầ u
phaĩ xác đinh
̣ đươ ̣c lơ ̣i nhuâ ̣n ta ̣i mo ̣i điể m góc của miề n khả thi.
Lý thuyế t toán ho ̣c về QHTT đã chứng minh đươ ̣c rằ ng điể m tố i ưu chỉ đa ̣t đươ ̣c trên các điể m
cực biên (các điể m góc) của miề n khả thi.
Lưu ý rằ ng đố i với 2 trường hơ ̣p đă ̣c biê ̣t của bài toán QHTT là không khả thi và không bi ̣
chă ̣n thì phát biể u trên không áp du ̣ng đươ ̣c. Do đó, chúng ra chỉ cầ n xác đinh
̣ to ̣a đô ̣ các điể m
góc và kiể m tra xem điể m nào đa ̣t giá tri ̣tố i ưu về lơ ̣i nhuâ ̣n bằ ng cách tiń h toán và so sánh hàm

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

13


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
mu ̣c tiêu ta ̣i từng điể m góc.

Sè l-îng ghÕ x2

A(80; 0)

I(30; 40)

D(50; 0)

O(0; 0)

x1

Sè l-îng bµn x1

Hình 1.9.Phương pháp điể m góc.
Quan sát miề n khả thi của bài toán, chúng ta thấ y miề n khả thi là 1 đa giác lồ i có 4 góc( 4
đin̉ h) OAID. Ta tìm to ̣a đô ̣ từng điể m góc và tiń h mức lơ ̣i nhuâ ̣n ta ̣i các điể m đó như sau:
+ Điể m O (0;0):

Z = 70*0 + 50*0 = 0 USD

+ Điể m D (50;0): Z = 70*50 + 50*0 = 3500 USD
+ Điể m A (0;80):

Z = 70*0 + 50*80 = 4000 USD

+ Điể m I (30;40): Z = 7*30 + 5*40 = 4100 USD (Max)
Trong đó, để tìm to ̣a đô ̣ của điể m I, chúng ta cầ n giải hê ̣ phương trình sau:
Như vâ ̣y, điể m tố i ưu là I (x1= 30 bàn, x2 = 40 ghế ) vì nó cho công ty mức lơ ̣i nhuâ ̣n cao nhấ t
Z = 4.100 USD. Kế t quả này hoàn toàn giố ng như khi chúng ta dùng phương pháp đường đẳ ng
lơ ̣i nhuâ ̣n ở trên.
Tóm la ̣i, để giải bài toán QHTT đơn giản chỉ có 2 biế n theo phương pháp đồ thi,̣ chúng ta có
thể dùng phương pháp đường đẳ ng tri ̣ hoă ̣c phương pháp điể m góc. Các bước thực hiê ̣n hai
phương pháp này đươ ̣c tóm tắ t trong bảng 2.3 sau đây:
Bảng 1.5Tóm tắ t cách giải bài toán QHTT bằ ng phương pháp đồ thi ̣
Phương pháp đồ thi ̣(giải bài toán QHTT có 2 biế n)
Phương pháp đường đẳ ng tri ̣
Phương pháp điể m góc
1. Biể u diễn các ràng buô ̣c lên đồ thi ̣và tim
̀ miề n nghiê ̣m khả thi.

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

14


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
2. Vẽ mô ̣t đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n (hoă ̣c đường 2. Tìm to ̣a đô ̣ các điể m góc của miề n
đẳ ng chi phí).
nghiê ̣m khả thi.
3. Di chuyể n cây thước vẽ song song với phương 3. Tiń h lơ ̣i nhuâ ̣n (hoă ̣c chi phi)́ tương ứng

của đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n (hoă ̣c đẳ ng chi phi)́
ta ̣i mỗi điể m góc mới vừa tim
̀ đươ ̣c.
ban đầ u theo hướng tăng dầ n lơ ̣i nhuâ ̣n (hoă ̣c 4. Cho ̣n điể m góc ở bước 3 cho ta giá tri ̣cực
giẩ m dầ n chi phí) cho đế n khi tiế p xúc với các
đa ̣i lơ ̣i nhuâ ̣n (hoă ̣c cực tiể u chi phi)́ . Đây
điể m biên của miề n khả thi, ta có nghiê ̣m tố i
chính là nghiê ̣m tố i ưu bài toán.
ưu.
4. Tìm các to ̣a đô ̣ điể m tố i ưu và tiń h toán lơ ̣i
nhuâ ̣n (hay chi phi)́ .

1.2.1.3 Các ví dụ
Ví dụ 1:
Nông tra ̣i nuôi gà Tây Tân Dâ ̣u đang xem xét vấ n đề mua 2 loa ̣i thức ăn B1 và B2 để pha trô ̣n
chúng thành khẩ u phầ n ăn đủ chấ t với chi phí thấ p cho các con gà Tây của miǹ h. Mỗi loa ̣i thức
ăn chứa tỷ lê ̣ 3 loa ̣i thành phầ n dinh dưỡng khác nhau giúp cho sự tăng cân của gà. 1 kG loa ̣i
thức ăn B1 chưa 5g thành phầ n A, 4g thành phầ n B và 0,5g thành phầ n C. Và 1 kG loa ̣i thức ăn
B2 chưa 10g thành phầ n A, 3g thành phầ n C và không có thành phầ n C. Chi phí của 1kG thức ăn
loa ̣i B1 là 2USD, trong khi chi phí của 1kG thức ăn B2 là 3USD. Ông Tân, chủ nông tra ̣i nuôi gà
Tây Tân Dâ ̣u, muố n sử du ̣ng QHTT để tiń h chi phí tố i thiể u cho viê ̣c mua 2 loa ̣i thức ăn B1 và
B2 nhưng vẫn phaĩ đảm bảo thành phầ n dinh dưỡng tố i thiể u hằ ng tháng. Bảng sau tóm tắ t các
thông tin liên quan đế n vấ n đề :
Bảng 1.6Dữ liê ̣u về bài toán của nông tra ̣i gà Tây Tân Dâ ̣u
Thành phầ n dinh dưỡng /kG
A
B
C
Chi phí (USD/kG)

Thức ăn B1
5
4
0,5
2

Thức B2
10
3
0
3

Yêu cầ u tố i thiể u (g)
90
48
1,5

+ x1 – Số lươ ̣ng thức ăn B1 (kG) sẽ đươ ̣c mua.
+ x2 – Số lươ ̣ng thức ăn B2 (kG) sẽ đươ ̣c mua.
Mô hiǹ h toán ho ̣c cua bài toán QHTT này đươc̣ thành lâ ̣p như sau:
- Hàm mu ̣c tiêu: Min Z = 2x1 + 3x2 (USD)
- Các ràng buô ̣c:
+ Ràng buô ̣c về thành phầ n dinh dưỡng A: 5x1  10 x2  90
+ Ràng buô ̣c về thành phầ n dinh dưỡng B: 4 x1  3x2  48
+ Ràng buô ̣c về thành phầ n dinh dưỡng C: 0.5x1  0 x2  1.5
- Điề u kiê ̣n biên (Ràng buô ̣c mă ̣c đinh):
̣
Để bài toán có ý nghiã thì giá tri ̣x1 và x2 phaĩ là số không âm, nghiã là: x1  0; x2  0

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

15


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
Điề u kiê ̣n ràng buô ̣c (3): 0.5 x1  0 x2  1.5  x1  3 . Như vậy ta có bài toán QHTT như sau

Z  2 x1  3x2



Min

5 x1  10 x2  90

Ràng buộc 4 x1  3x2  48
 x  3; x  0
2
 1
x2

x1 >=3

Sè l-îng thøc ¨n B2

MiÒn nghiÖm

4*x1 + 3*x2=48

x1

Sè l-îng thøc ¨n B1

5*x1 + 10*x2=90

Hình 1.10. Miền nghiệm khả thi của bài toán nông trại Tân Dậu.
Cách 1: Phương pháp đường đẳ ng tri ̣
Như đã đề câ ̣p ở trên, phương pháp đường đẳ ng chi phí có thể đươ ̣c áp du ̣ng để giải các bài
toán QHTT cực tiể u hóa hàm mu ̣c tiêu. Tương tự như phương pháp đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n, ta
không cầ n tính to ̣a đô ̣ ta ̣i các điể m góc như phương pháp điể m góc, nhưng thay vào đó chúng ta
phaĩ vẽ mô ̣t chuỗi các đường đằ ng chi phí song song với nhau. Đường đẳ ng chi phí thấ p nhấ t
(gầ n gố c to ̣a đô ̣ nhấ t) mà vẫn có điể m chung với miề n nghiê ̣m khả thi (ta ̣i điể m góc biên) sẽ cho
chúng ta mức chi phí thấ p nhấ t. Đây chiń h là điể m tố i ưu của bài toán.

Sè l-îng thøc ¨n B2

x2

x1 >=3

2*
x1

a

4*x1 + 3*x2=48

b

+3

*x
2=
31
.2
2*
x1
+3
*x
2=
60

c

5*x1 + 10*x2=90

x1

Sè l-îng thøc ¨n B1

Hình 1.11. Đường đẳng trị chi phí của bài toán nông trại

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

16


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
Ta vẽ đường đẳ ng chi phí ở mức 60 USD có phương triǹ h:
60 = 2x1 + 3x2.
Rõ ràng có rấ t nhiề u điể m trong miề n nghiê ̣m có thể cho ra chi phí thấ p hơn. Ta tiế n hành dich

̣
chuyể n đường đẳ ng chi phí về phiá dưới bên trái đế n khi có mô ̣t điể m chung giữa đường đẳ ng
chi phí và miề n nghiê ̣m khả thi, đó chính là điể m b (8,4; 4,8) với mức chi phí tương ứng 31,2
USD.

4 x1  3x2  48
 b(8.4;8.4)

5 x1  10 x2  90
Cách 2: Phương pháp điểm góc
Trong bài toán này có 3 điể m góc là a, b và c.
+ Đố i với điể m a, ta tìm to ̣a đô ̣ bằ ng cách giải hê ̣ phương trình của hai đường giới ha ̣n thành
phầ n B và C:

4 x1  3 x2  48
 a (3;12)

 x1  3
=> Z = 2*3 + 3*12 = 42 USD
+ Đố i với điể m b, ta tìm to ̣a đô ̣ bằ ng cách giải hê ̣ phương trình của hai đường giới ha ̣n thành
phầ n b và a:
4 x1  3x2  48
 b(8.4;8.4)

5 x1  10 x2  90
=> Z = 2*8,4 + 3*4,8 = 31,2 USD
+ To ̣a đô ̣ điể m C(18;0) => Z = 2*18 + 3*0 = 36 USD
Vâ ̣y, số lươ ̣ng thức ăn tố i ưu cầ n mua là 8,4 kG thức ăn B1 và 4,8 kG thức ăn B, với chi phí đa ̣t
cực tiể u là 31,2 USD.
Ví dụ 2:

Giải bài toán QHTT sau bằng phương pháp hình học

Max Z  3x1  2 x2

 x1  x2  4
 x  2 x  14
 1
2
Ràng buộc 
5 x1  2 x2  30
 x1; x2  0

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

17


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics

x1

+2
*x2
=1
4

x1

-x

2

=

-4

C(2; 6)

=30
*x2
1 +2
5*x

D(0; 4)

B(4; 5)

A(6; 0)

x1

O(0; 0)

Hình 1.12. Các ràng buộc trên đồ thị.
Biểu diễn các ràng buộc lên đồ thị ta có:
A, B, C, D, O là các điểm cực biên. Giá trị hàm mục tiêu tại đó là:
Z(A) = 3*6+2*0=18
Z(B) = 3*4+2*5=22
Z(C) = 3*2+2*6=18
Z(D) = 3*0+2*4=8

Z(O) = 3*0+2*0=0
Phương án tối ưu của bài toán đạt được tại B: x1 = 4 và x2 = 5
1.2.1.4 Các trường hợp đặc biệt trong QHTT
Khi giải các bài toán QHTT bằ ng phương pháp đồ thi,̣ chúng ta có thể đôi khi gă ̣p mô ̣t trong 4
trường hơ ̣p đă ̣c biê ̣t sau:
A. Không khả thi.
B. Không giới ha ̣n lời giải/ Lời giải không bi ̣chă ̣n.
C. Dư ràng buô ̣c.
D. Nhiề u lời giải tố i ưu.
•

Không khả thi (Bài toán vô nghiệm)
Không khả thi là 1 tình huố ng xảy ra khi không có lời giải nào của bài toán QHTT thỏa mañ

tấ t cả các ràng buô ̣c đã cho, kể cả các ràng buô ̣c các biế n không âm . Nghiã là trên đồ thi ̣ sẽ
không xác đinh
̣ đươ ̣c miề n nghiê ̣m khả thi, nói cách khác, không có điể m thỏa mañ tấ t cả các
điề u kiê ̣n ràng buô ̣c mô ̣t cách đồ ng thời. Đây là mô ̣t tiǹ h huố ng xảy ra nế u bài toán dươ ̣c thành
lâ ̣p với các ràng buô ̣c mâu thuẩ n với nhau. Điề u này rấ t hay xảy ra trong các bài toán thực tế
phức ta ̣p có kích thước lớn, bao gồ m hàng trăm đế n hàng nghiǹ ràng buô ̣c.

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

18


Bi Ging Toỏn Chuyờn Ngnh Specialized Mathematics
Khụng kha thi khụng phu thuụ c vao ham mu c tiờu. Vi võ y khi g p phai trng h p nay, nờ u
chung ta thay ụ i cac hờ sụ trong ham mu c tiờu thi bai toan võn khụng kha thi.
Vi du 1:

+ Nờ u 1 rang buụ c cung cõ p bi bụ phõ n tiờ p thi (giam ụ c Marketing) yờu cõ u san xuõ t it nhõ t
300 cai ban (x 300) ờ ap ng nhu cõ u cua thi trng.
+ Trong khi o, 1 rang buụ c khac cung cõ p t bụ phõ n san xuõ t (giam ụ c san xuõ t) chi co thờ
san xuõ t nhiờ u nhõ t 220 cai ban (x 220) do khụng u nguyờn liờ u gụ.
Trong trng h p nay li giai khụng kha thi xuõ t hiờ n.
Hng giai quyờ t:
+ Xem la i õ u vao: Thờm tai nguyờn. Vi du : Mua thờm gụ nguyờn liờ u t nha cung cõ p khac
ờ ap ng nhu cõ u san xuõ t.
+ Thay ụ i õ u ra: Co thờ thay ụ i c cõ u san phõ m. Vi du : Cung cõ p cac loa i ban khac ờ
thay thờ .
Vi du 2:

x1 2 x2 6
2 x x 8
1 2
Xem xet 3 rang buụ c sau:
x1 7
x1; x2 0
Do 3 rang buụ c nay mõu thuõn nhau nờn khụng co li giai kha thi cho bai toan trờn.
x1 >=7

x2
1+
2*x

Miền thỏa mãn ràng buộc thứ 3

8
x2=

x1
+

2*x
2=6

x1

Miền thỏa mãn hai ràng buộc đầu

Hỡnh 1.13. Khụng cú li gii kh thi.


Li giai khụng bi ch

n (Bi toỏn vụ s nghim)
ụi khi, bai toan QHTT khụng cho ta li giai hu ha n. iờ u nay co nghia , trong bai toan

QHTT cc a i hoa,gụ m co mụ t hay nhiờ u biờ n, gia tri cua ham mu c tiờu (l i nhuõ n) co thờ tiờ n
ti ln vụ cung ma khụng vi pha m bõ t ki rang buụ c nao. Nờ u giai bai toan nay b ng phng
phap ụ thi, chung ta se thõ y miờ n nghiờ m kha thi la mụ t miờ n m khụng gii ha n, tc la bai

GV: Trn c Hc, Hunh Th Minh Trỳc

19


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
toán mở. Ngươ ̣c la ̣i, trong bài toán QHTT cực tiể u hòa, giá tri ̣ của hàm mu ̣c tiêu (chi phi)́ có thể
tiế n tới nhỏ vô cùng mà không vi pha ̣m bấ t cứ ràng buô ̣c nào cả.

Trường hơ ̣p lời giải không bi ̣ chă ̣n còn đươ ̣c diễn tả bởi thuâ ̣t ngữ quản lí không tưởng, bởi vì
nế u nó xảy ra, nhà quản lí sẽ thu đươ ̣c lơ ̣i nhuâ ̣n không giới ha ̣n hay chi phí không đáng kể . Tuy
nhiên, trong các mô hình QHTT thực tế , nế u gă ̣p phaĩ hiê ̣n tươ ̣ng lời giải không bi ̣ chă ̣n thì có
nghiã chúng ta đã thành lâ ̣p không chiń h xác bài toán QHTT. Thông thường nhấ t là thiế u mô ̣t
hay nhiề u ràng buô ̣c khi thành lâ ̣p mô hiǹ h toán. Đôi khi, mô ̣t sự thay đổ i hê ̣ số trong hàm mu ̣c
tiêu có thể làm cho bài toán QHTT không bi ̣chă ̣n trở thành bài toán QHTT bi ̣chă ̣n và có mô ̣t lời
giải tố i ưu. Ví du ̣:
+ Hàm mu ̣c tiêu: Max Z = 20x1 + 10x2
+ Ràng buô ̣c: x1  2 và x2  5 là mô hiǹ h toán có lời giải không bi ̣chă ̣n.
Nế u chúng tathay hàm mu ̣c tiêu cũ thành: Max Z = -20x1 - 10x2thì sẽ thu đươ ̣c lời giải tố i ưu
là x1 = 2 và x2 = 0 mă ̣c dù không làm thay đổ i các ràng buô ̣c của bài toán.
Ví du ̣: Mô ̣t công ty thành lâ ̣p bài toán QHTT như sau:
+ Hàm mu ̣c tiêu: Max Lơị nhuâ ̣n = 3x1 + 5x2 (USD)
+ Ràng buô ̣c:

 x1  5
 x  10
 2

 x1  2 x2  10
 x1; x2  0
Bài toán này là bài toán cực đa ̣i hóa và miề n ràng buô ̣c mở rô ̣ng ra vô ha ̣n về phiá phải. Vấ n
đề này xuấ t hiê ̣n vì bài toán không đươ ̣c thành lâ ̣p mô ̣t cách chiń h xác. Sẽ tuyê ̣t vời cho bấ t kì
công ty nào nế u có khả năng sản xuấ t không giới ha ̣n x1 (cho dù lơ ̣i nhuâ ̣n trên mỗi đơn vi ̣ thấ p,
chỉ 3USD/sản phẩ m), nhưng sẽ không có công ty nào có tài nguyên sẵn có là vô ha ̣n, cũng như
không có chuyê ̣n nhu cầ u cho mô ̣t sản phẩ m nào đó là vô ha ̣n.
x2
x1 >=5
MiÒn nghiÖm
x2 <=10

x1 + 2*x2>=10
x1

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

20


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
Hình 1.14. Miền nghiệm không bị chặn về phía phải.
•

Dư ràng buô ̣c
Mô ̣t tình huố ng thường xảy ra khác khi giải bài toán QHTT là tiǹ h tra ̣ng dư ràng buô ̣c. Điề u

này hay xảy ra trong thực tế khi số ràng buô ̣c và số biế n rấ t lớn. Dư ràng buô ̣c không gây khó
khăn gì trong viê ̣c giải bài toán QHTT bằ ng phương pháp đồ thi,̣ nhưng cũng cầ n phải nhâ ̣n biế t
sự hiê ̣n diê ̣n của nó.
Mô ̣t ràng buô ̣c go ̣i là dư khi nó không làm ảnh hưởng đế n miề n nghiê ̣m khả thi. Nói cách khác,
đã có mô ̣t ràng buô ̣c nào đó ha ̣n chế hơn nên không cầ n xét đế n điề u kiê ̣n ràng buô ̣c này.
Lưu ý rằ ng do các ràng buô ̣c dư không làm ảnh hưởng đế n miề n nghiê ̣m khả thi nên chúng ta
có thể gỡ bỏ các ràng buô ̣c này trong mô hiǹ h toán QHTT mà không làm ảnh hưởng đế n lời giải
tố i ưu của bài toán. Tuy nhiên, trong mô ̣t số trường hơ ̣p cầ n giải la ̣i bài toán QHTT sau này, đă ̣c
biê ̣t khi có sự thay đổ i về dữ liê ̣u đầ u vào, có thể sẽ làm các ràng buô ̣c dư trước đây trở thành các
ràng buô ̣c cứng. Vì vâ ̣y, tố t hơn hế t nên giữ la ̣i tấ t cả các ràng buô ̣c trong mô hiǹ h toán QHTT.
Chúng ta dễ dàng nhâ ̣n biế t ràng buô ̣c dư khi sử du ̣ng phương pháp đồ thi ̣để giải bài toán có 2
biế n, tuy nhiên, đố i với bài toán từ 3 biế n trở lên, các ràng buô ̣c dư sẽ không dễ dàng nhâ ̣n thấ y.
Ví du ̣: xét 1 bài toán QHTT gồ m 3 ràng buô ̣c sau đây
+ Hàm mu ̣c tiêu: Max lơ ̣i nhuâ ̣n Z = 1x1 + 2x2

+ Ràng buô ̣c:

 x1  x2  20
2 x  x  30
 1 2

 x1  25
 x1; x2  0
Ràng buô ̣c thứ ba: x1  25 là ràng buô ̣c dư và không cầ n thiế t vì nó không ảnh hưởng tới miề n
nghiê ̣m giới ha ̣n bởi 2 ràng buô ̣c đầ u.

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

21


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
x2

x1 =25

2*x1
=30

+ x2

x1

+

x2
=2
0

x1

MiÒn nghiÖm

Hình 1.15. Bài toán có ràng buộc dư.
•

Nhiều lời giải tố i ưu
Tình tra ̣ng hai hay nhiề u lời giải tố i ưu xuấ t hiê ̣n rấ t thường hay xảy ra trong bài toán quy

hoa ̣ch tuyế n tiń h. Trên đồ thi,̣ khi đường thẳ ng thể hiê ̣n hàm mu ̣c tiêu có đô ̣ dố c bằ ng mô ̣t ràng
buô ̣c nào đó (đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n hay đẳ ng chi phí di chuyể n song song hoă ̣c trùng với mô ̣t
đường ràng buô ̣c) ta có tiǹ h tra ̣ng nhiề u lời giải tố i ưu. Thông thường, bấ t cứ điể m nào nằ m trên
đoa ̣n nố i bởi 2 điể m góc tố i ưu sẽ cho chúng ta mô ̣t lời giải tố i ưu cho bài toán.
Nói chung, khi gă ̣p phải bài toán QHTT có nhiề u lời giải tố i ưu, người quản lý hay người ra
quyế t đinh
̣ có thể cho ̣n mô ̣t lời giải tố i ưu cu ̣ thể theo ý muố n của miǹ h dựa trên sự kế t hơ ̣p các
biế n ra quyế t đinh.
̣
Ví du ̣: Mô ̣t nhà quản lí của mô ̣t công ty nhâ ̣n ra sự hiê ̣n diê ̣n của hiê ̣n tươ ̣ng nhiề u lời giải tố i
ưu khi thành lâ ̣p bài toán QHTT như sau:
+ Hàm mu ̣c tiêu: Max lơ ̣i nhuâ ̣n Z = 3x1 + 2x2 (USD)
+ Ràng buô ̣c:

6 x1  4 x2  24


 x1  3
x ; x  0
 1 2
Quan sát đồ thi ̣ ta thấ y, đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n thứ 1 ở mức 8 USD song song với đường ràng
buô ̣c 1. Ta ̣i mức lơ ̣i nhuâ ̣n bằ ng 12 USD, đường đẳ ng lơ ̣i nhuâ ̣n trùng với đường ràng buô ̣c 1.
Điề u này có nghiã là tâ ̣p hơ ̣p tấ t cả các điể m nằ m trong đoa ̣n thẳ ng AB là nghiê ̣m tố i ưu của bài
toán. Trong trường hơ ̣p này, sự tồ n ta ̣i nhiề u lời giải tố i ưu sẽ giúp cho nhà quản lý rấ t linh hoa ̣t
trong viê ̣c đưa ra quyế t đinh
̣ lựa cho ̣n các phương án khác nhau nhưng đề u cho cùng mô ̣t mức lơ ̣i

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

22


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
nhuâ ̣n như nhau.
x2

A
NghiÖm tèi -u lµ tËp hîp c¸c ®iÓm
n»m trªn ®o¹n th¼ng AB
+
x1
6*
24
=<
x2
4*

B
MiÒn nghiÖm
x1 =<3
x1

Hình 1.16. Bài toán có nhiều lời giải tối ưu.
1.2.2 Phương pháp đơn hình
1.2.2.1 Giới thiệu
Trong các phầ n trước, chúng ta đã biế t sử du ̣ng phương pháp đồ thi ̣ để giải bài toán QHTT có
2 biế n bằ ng cách xác đinh
̣ miề n nghiê ̣m chấ p nhâ ̣n đươ ̣c và tim
̀ to ̣a đô ̣ các điể m góc để đưa ra
nghiê ̣m tố i ưu. Phương pháp đồ thi ̣ giúp chúng ta hiể u biế t các lý thuyế t cơ bản của bài toán
QHTT. Tuy nhiên, hầ u hế t các bài toán QHTT trong thực tế đề u có nhiề u hơn 2 biế n số nên
không thể giải bằ ng phương pháp đồ thi.̣ Những vấ n đề trong kinh doanh quản lý có thể có hàng
chu ̣c, hàng trăm, thâ ̣m chí hàng nghiǹ biế n, vì vâ ̣y chúng ta cầ n mô ̣t phương pháp hữu hiê ̣u hơn
đươ ̣c go ̣i là phương pháp đơn hình sẽ đươ ̣c trình bày sau đây.
Phương pháp hơn hình tiế n hành dựa trên nguyên lý nào? Cũng tương tự như phương pháp
đồ thi,̣ phương pháp đơn hình dựa trên nguyên lý rấ t đơn giản. Trong phương pháp đồ thi,̣ theo lý
thuyế t của bài toán QHTT, để tim
̀ ra nghiê ̣m tố i ưu chúng ta phaĩ kiể m tra giá tri ̣ hàm mu ̣c tiêu
ta ̣i từng to ̣a đô ̣ điể m góc của miề n nghiê ̣m chấ p nhâ ̣n đươ ̣c (nghiê ̣m tố i ưu là mô ̣t trong các điể m
góc đó). Tuy nhiên, trong bài toán QHTT có nhiề u hơn 2 biế n, chúng ta không thể vẽ đươ ̣c miề n
nghiê ̣m chấ p nhâ ̣n đươ ̣c bởi vì khi này nó sẽ là mô ̣t đa diê ̣n trong không gian đa chiề u (n chiề u).
Do đó, ta phaĩ dùng phương pháp đơn hình. Phương pháp này cũng kiể m tra các điể m góc bằ ng
các phép toán ma trâ ̣n đa ̣i số có tính hê ̣ thố ng. Nó là mô ̣t giải thuâ ̣t đươc̣ lă ̣p đi lă ̣p la ̣i sau mỗi lầ n
tim
̀ đươ ̣c nghiê ̣m tố i ưu. Mỗi lầ n lă ̣p sẽ làm cho hàm mu ̣c tiêu của bài toán có mô ̣t giá tri ̣cao hơn
để dich
̣ chuyể n gầ n hơn tới nghiê ̣m tố i ưu.

Ta ̣i sao chúng ta cầ n phải nghiên cứu phương pháp đơn hình? Bởi vì phương pháp đơn
hiǹ h không chỉ đưa ra nghiê ̣m tố i ưu cho biế n x của bài toán mà còn cung cấ p cho chúng ta nhiề u
thông tin kinh tế có giá tri ̣ khác. Ngoài ra, để sử du ̣ng và diễn dich
̣ đươc̣ các kế t quả xuấ t ra từ
các phầ n mề m máy tiń h, chúng ta cầ n phaĩ biế t phương pháp đơn hiǹ h bởi hầ u hế t các phầ n mề m

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

23


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
này đươ ̣c viế t dựa trên thuâ ̣t toán đơn hiǹ h.
Trong phầ n này, chúng ta sẽ bắ t đầ u bằ ng cách sử du ̣ng phương pháp đơn hiǹ h để giải bài toán
cực đa ̣i hàm mu ̣c tiêu cho tiǹ h huố ng của công ty sản xuấ t nô ̣i thấ t Nam Viê ̣t.
1.2.2.2 Bài toán QHTT dạng chuẩn đối với phương pháp đơn hình
Để giải bài toán theo phương pháp đơn hiǹ h, bước đầ u tiên chúng ta phãi đưa mô hiǹ h toán
của bài toán QHTT về da ̣ng bài toán QHTT chuẩ n bằ ng cách chuyể n tấ t cả các ràng buô ̣c có
da ̣ng bấ t phương trình về da ̣ng phương trình. Bài toán QHTT da ̣ng chuẩ n thì hoàn toàn tương
đương với bài toán QHTT gố c đươ ̣c thành lâ ̣p ban đầ u. Nghiã là, nghiê ̣m tố i ưu của bấ t kì bài
toán QHTT nào cũng sẽ giố ng với nghiê ̣m tố i ưu của bài toán QHTT đó ở da ̣ng chuẩ n. Bài toán
QHTT da ̣ng chuẩ n không làm thay đổ i lời giải cơ bản, nó chỉ có mô ̣t sự thay đổ i duy nhấ t là cách
chúng ta thể hiê ̣n các ràng buô ̣c cho bài toán.
Bài toán QHTT có các đă ̣c điể m sau:
- Tấ t cả ràng buô ̣c đề u có da ̣ng phương trình;
- Tấ t cả các biế n đề u là biế n không âm.
•

Hàm mu ̣c tiêu là hàm cực đa ̣i hóa hoă ̣c cực tiể u hóa.

•

Nế u có ràng buô ̣c hàm “≤” hoă ̣c “≥“, ta cô ̣ng thêm biế n thiế u hoă ̣c trừ đi biế n thừa vào vế
trái để đưa về da ̣ng phương trình.

a) Biế n thiế u
Biế n thiế u đươ ̣c thêm vào ràng buô ̣c loa ̣i “ ≤ “ và mang dấ u “+”. Biế n thiế u biể u diễn lươ ̣ng
mà vế phảilớn hơn vế trái của ràng buô ̣c. Nói cách khác, biế n thiế u biể u diễn lươ ̣ng tài nguyên
còn dư chưa dùng hế t.
Ví du ̣: ràng buô ̣c 3x1 + 2x2 ≤ 25 đươ ̣c biế n đổ i thành 3x1 + 2x2 + s1 = 25
b) Biế n thừa
Biế n thừa đươ ̣c thêm vào ràng buô ̣c “ ≥“ và mang dấ u “-“. Biế n thừa biể u diễn lươ ̣ng mà vế
trái lớn hơn vế phải của ràng buô ̣c. Nói cách khác biế n thừa biể u diễn lươ ̣ng tài nguyên sử du ̣ng
do dùng quá mức cho phép. Biế n thừa còn đươ ̣c go ̣i là biế n thiế u âm.
Ví du ̣:
Ràng buô ̣c 5x1 + 10x2 + 8x3 ≥ 210 đươ ̣c biế n đổ i thành 5x1 + 10x2 + 8x3 – s2 = 210.
Nế u nghiê ̣m của bài toán ứng với ràng buô ̣c trên: x1 = 20, x2 = 8, x3 = 5 thì s đươ ̣c tiń h toán
như sau:
5*20 + 10*8 + 8*5 – s2 = 210 => s2 = 40
c) Biế n nhân tạo
Khi làm viê ̣c với ràng buô ̣c loa ̣i đẳ ng thức “ = ” hoă ̣c bấ t đẳ ng thức “ ≥ “, ngay từ ban đầ u có

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

24


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
thể chưa có ngay biế n cơ bản, chúng ta cầ n biế n nhân ta ̣o để bổ sung vào tâ ̣p biế n cơ bản. Lý do
biế n nhân ta ̣o đươ ̣c thêm vào ràng buô ̣c loa ̣i “=” để dễ dàng tim

̀ đươ ̣c nghiê ̣m khả thi ban đầ u của
bài toán, đă ̣c biê ̣t khi bài toán có nhiề u ràng buô ̣c và nhiề u biế n.
Không giố ng như biế n thiế u hoă ̣c biế n thừa, biế n nhân ta ̣o không hề mang mô ̣t ý nghiã vâ ̣t lý
nào mà chỉ đơn giản là mô ̣t công cu ̣ tiń h toán nhằ m giúp chúng ta tìm nghiê ̣m ban đầ u của bài
toán QHTT. Nế u mô ̣t biế n nhân ta ̣o có giá thi ̣ dương thì ràng buô ̣c ban đầ u (nơi biế n nhân ta ̣o
đươ ̣c thêm vào) sẽ không thỏa mañ . Nghiê ̣m chấ p nhâ ̣n đươ ̣c của bài toán sẽ tim
̀ thấ y khi tấ t cả
các biế n nhân ta ̣o đề u có giá tri ̣ = 0. Trước khi nghiê ̣m cuố i cùng của phương pháp đơn hin
̀ h đa ̣t
đươ ̣c, biế n nhân ta ̣o sẽ đươ ̣c loa ̣i bỏ trong cô ̣t nghiê ̣m trước bảng đơn hiǹ h cuố i cùng.
Ví du ̣: Xét la ̣i ràng buô ̣c 5x1 + 10x2 + 8x3≥ 210 ở trên. Chúng ta sẽ gă ̣p mô ̣t vấ n đề khó khăn
nhỏ nế u sử du ̣ng ràng buô ̣c này trong bản đơn hình ban đầ u. Bởi vì tấ t cả các biế n số thực tế như
x1, x2 và x3 đề u có giá tri ̣ = 0 trong bảng đơn hình ban đầ u nên s sẽ mang giá tri ̣âm: 5*0 + 10*0
+ 8*0 – s2 = 210 <=> s2 = - 210
Trong khi đó, theo giả thiế t cơ bản của bài toán QHTT, tấ t cả các biế n (biế n thực tế , biế n thiế u
hay biế n thừa) phaĩ không âm. Như vâ ̣y nế u s2 = - 210 thì sẽ mâu thuẫn với giả thiế t này. Để giải
quyế t tiǹ h huố ng này, chúng ta sẽ thêm biế n nhân ta ̣o (Aritifical Variable) vào ràng buô ̣c như sau:
5x1 + 10x2 + 8x3 – s2 + A1 = 210. Khi đó, không chỉ các biế n x1, x2 và x3 đươ ̣c gán = 0 trong
bảng đơn hiǹ h ban đầ u mà biế n s2 cũng vâ ̣y sẽ cho ta kế t quả A1 = 210.
1.2.2.3 Thuật toán Đơn hình
•

Dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc
Trongthực tế,đa sốcácbài toáncóđiềukiện không âmcủa các ẩn.Từ đócó địnhnghĩadạng chínhtắc

làbài toán(d,f) như sau:
n

f ( x )   c j x j  min

(1)

j 1

 n
  aij x j  bi (i  1..m)
 j 1
 x  0( j  1..n )
 j

(2)
(3)

(2)gọilàràngbuộccưỡngbức, (3)gọilàràngbuộctự nhiên.Vớibàitoán(d,f) chínhtắc,có thểgiảsử
m≤n.
Mộttrường hợp đặcbiệt củadạng chính tắclà matrận sốliệuA=(aij)mxncóchứađủm vectơcộtlà m
vectơ đơn vị của không gian Rmvàbi≥0 (i=1..m)gọi là dạng chuẩntắc. Không mấttính
tổngquát,cóthể định nghĩa bàitoán (d,f)chuẩntắcnhư sau:

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

25