ĐỀ THI TOÁN TIM SO HANG TONG QUAT CUA DAY SO BANG PP SAI PHANĐỀ THI TOÁN 0928 0928 0957

www.VNMATH.com

Chuong 2

PHHONG TRÍNH YÀ HÇ PHCONG TRÍNH
TRONG DÃY SÉÍ
M.J. PliUong fririfi soi pfiôn f izyeri fíiih uói fim sô’hong
2.2. He phHong t r i s h vai p h â o tuyen tinh vâi he nô“hong
2.8. Phu:org t r i s h sai p h â n tuyéú tirem uôi me sô“bién tliiên
S.4. Pli u:ang tr í nh sai p l i â n dqng pliâ n f izyéri fírih dói h só“fil
mg
5. Tuyên t i n h lioá mot sô“ pIsUO
trlrsh sai phârs
6. Php:ang trlrsli sai p h â n chú:a tham biêrs
£. 7. Mot sô“dpmg phHorsg t r i s h sai phârs pitt tuyêh d ri biet
8. DÕy sô“ri EuyêÉ dôi cán phép tio h sô“Doc
9. Dôy sô’c hityéri dôi cán d i i lUctng trursg bí rsh
2. 10. fim bang tririh trorig dãy sô“uâi ri p bién f
do
2. 11. Mot sô‘ bài toán liên quan dêri dqreg truy hot dfe biet

1.

Phuong trinh sai phãn tuyén tính vói he so hàng

Duói day ta trinh bay mot so phuong trinh, he phuong trinh sai phan co ban va
phuong phap giai chung (khong neu cźch chńng minh).

1.

Phuong trinh sai phãn tuyén tính càp mot

Ph C0tig trính sai phán tuyé“n tính cap mot lá phuong trinh sai phán dang

trong dó o, h, et là cãc hang so,
ri,
Ding 1.

0 và /q là bieu thúc cúa ri cho
truóc.

fim uq thoà mãn diéu
kien

121


www.VNMATH .com

Càc phép toòn tréii dày só“

Giài phuong trình dac trimg c à + b = 0 de tìm à. Khi dó u, = q à ‘
hang( sér), trong dó q duoc xàc dinh khi
=
biet
Bàilàtoàn 1. Xàc dinh so hang tong quàt cùa crip so nhàn, biet rang so hang dau
tièn bing 1 và cóng bói bang 2.
Còcli giài.

Ta có

Phuong trình dac trung có nghiem à C

2. Vày uq

c2‘. Tip u,

1 suy ri

= 2. Do do uq = 2 “ ' .

Dang 2.
kim uq thoà màn dieu
kien
trong dó /q là da thúc theo
ri,.

Giài phuong trình dac trimg a,5 b —
— 0 ta tìm ducic À. Ta có uq = ù,
u trong dó ùq là nghiem tong quàt cùa phuong trình thuan nhàt ri. u,+, +
ò.u, — và u, là nghiem rieng tùy y cùa phuong trình khong thuàn nhat nuq+,
+buq — Vày ù, = q à“, q là hang so se ducic xàc dinh sau.
Ta xàc dinh u, nhu sau :
a) Neu à
1 thì uq là da thùc cùng bàc
b) Neu à = 1 thì u, = ri .Sq Vól pq là da thùc cùng bac vói Jq .
Thay u., vào phuong trình, dong nhat càc he sér, ta tinh duoc càc he so
c

Bài toàn 2. kim uq thoà man diéu kien

122

www.VNMATH.com
Cóc phćp toón tren daty só“
Cócłs giń i. Phuong trinh da)c trimg z — 1 = 0 có nghi6m z — 1. Ta có uq =
ńq + uj , trong dó ńq = c. 1‘ = c, u j = rr(on + ó). Thay u j vao phuong trinh,
ta dupc
Vói rr = 1, ta
ra

(» + i)(•(rr + i) + tJ = =(«» + r) +
2•.3s + h — 2. Vói rr, = 2, ta du9c So +
dupc

ó = 4. Suy

O = 1, = —1.
Do dó uq = rr(rr, — 1).
Ta có uq = ńq + u \ = c + rr.(rr, — 1). Ci u, = 2 nen 2 = c + 1(1 — 1)
V y uq = 2 + rr,(rr, — 1), hay u_ = rr,'
+
2 Dang 3.

jim uq thoż man dieu kien
Uj = O,

77, Z

‘.

Ph u:ang p hóp gińi .

Giái phuong trinh dãc trung nÀ + õ = 0 de tim A. Ta có uq = úq + uj, trong dó
úq = cÃ", c là hãng so chua dunn xác dinh, uj duoc xác dinh nhu sau :
a) Neu À
Ji thi uj = A;i ‘ .
b) Neu à = ¿i thi uj = Aug".
Thay uj vào phuong trinh, dong nhát các he so tính dupc các he só cúa uj. Biet
u „ Iii h
thúc up = úq + uj, tính duoc c.
Bńi toón 3. jim uq thor man dieu kien

Cóclì gi‹ii. Phuong trình drac trifng À — 3 = 0 có nghiem = 3. Ta có
uq = ùq -i- u ,Àtrong dó ùq = c.3‘ và u =
e.2‘.
Thay u = e.2" vào phuong trình, ta thu dimc
rr.2‘+'

12
3


www.VNMATH .com
Cåc phep toån tren däy sö“

Dang 4.

Tim ng thoå män dieu
kien
trong dö /

rp’.

+[u = /,+/„ n
u,=a ou e*’
ladathuctheo n vara -

Ta có uq = ùq + u j +
thuàn nhiit onde, + òuq =
thuàn nhlit nude, + òuq =
khòng thuàn nhàt euro, +

uj‘, trong dó ùq là nghiem tong quàt cùa phuoi trình
0 , u j là mot nghiem rièng cùa phuong trìi khóng
J q , u\‘ là nghiem riéng bàt ky cùa phuoi trình
6uq = /,q.

Bäi toän 4. jim ng, biet

«, = 1, u,„ = 2«,+n?+2.2’, ». c k’.
C‹icf i gi‹ii. Phuong trinh da) c trimg — 2 = 0 cö
= 2.
2
ng
= Og -I- uj + uj’, trong dö Og = c. 2‘, uj
u, + c, u j ‘ =TaAn..
nghiem
+
2".
Thay uj väo phiiong trlnh uq+, = 2uq + n,', ta diicic
o(n + 1)' + ö(n. + 1) + c = 2n 2+ 2hn -I- 2c + u,'.

Cho ii = 1, ta duoc 2o — c = 1. Cho n = 2, ta dupc o — ö — c =
o = 3, ta duoc 2o + 2h + c —9. Suy ra n —1, 6 —2,
—3.
4. Cl
c
VI
= — ,' — 2 , — 3.
Thay uj’ vio phuong trinh uq+, = 2uq + 2.2‘, ta duoc
A(n, + 1)2“+' — 2A .2‘ +
2A( -1- 1) = 2A + 3
A—
—
3
2.2‘
2

Do dö ng = c.2‘+(—r.‘ —W, =3) + 3s.2“ 1. Ta cö u, = 1 nen 1 = 2c — 2 +
3•

124


www.VNMATH.com

C!òc phép toón trén dày só“

2.1.2. Phuong trình sai phàn tuyén tinh càp hai
Phitong trinh sai phän tuye!n ttnh cÖp hai lä phuong trinh sai phän
dang

u = ci, u3 = ¿i, euro -1- ò
trong dó c, b, c, v, p là càc hang so, e
truóc.

-I- cupa = pq , ri C N‘,

0 và gg là bieu thùc chùa ri cho

Dang 1.
kim uq thoà màn dièu kien
R p Op t
Ot
Giài phuong trình dàc trimg oÀ' -I- óÀ -1- c — 0, tìm à.
a) Neu
và À là hai nghiem thuc khàc nhau thì uq
—
—vaA B duoc xic dyih khi biet •a •
dó A
•

B 5 , trong

b) Neu A
2là nghiem thtrc kép, à, = à = à thì uq = (A + B .n.) 5",
trong
và dó A và B duoc xàc dinh khi biet u và u .
c) Neu à là nghiem ph ùc, à = z + ip, thì ta
dàt

Lùc dó A = r(cos ‹,ri -I- i sin ‹,ri) và uq = r ‘ ( A cos n‹p + B sin n‹p), trong dó A

và
B duoc xàc dinh khi biet
*a *z
U
Bài toàn 1. kim uq ,
biet

Cóch giòi. Phuong trình drac trimg

2

à + 1 = 0 có càc nghiem phùc

125


www.VNMATH.com
Cóc phép toàn trén dóy só“
Ta có

à = cos

+ i sin

Suy ra
Tacó

A
2

B sin

3

B

1

2

A + B O = 2,
(1

2r
3 "
2 có
Ket hpp (1) và (2) ta duoc he phuong trình
nghiem
0.

2

= 0

—A + B

-

(
2

sin — .

3

Dang 2.

Tìm uq , biet rang
If j = O, uQ = , O1Iq+} + òIIq + ctlq j = Jq 72 >
2
, trong dó e, 0, fg là da thtic theo ri cho truóc.

Giài phuong trình drac trimg 2
+ c = 0 dé tìm à. Ta có uq = ùq +
+
u)
trong dó n là nghiem tong quàt cùa phuong trinh thuàn nhàt nude, + òuq
c q-, = 0 và uj là met nghiem riéng tùy ) cùa phuong trình khóng thuàn
nh.

°° + + ò° + += — = f•
0).

(f •


www.VNMATH .com
Cóc phép toón trén dày só“

Theo Dang 1 ta tìm dupc fiq , trong dó he s6 A và B chua duoc xàc dinh,

uj
drac xàc dinh nhu sau :
a) Neu à1 thì u j là da thùc cung bàc vói fg.
b) Neu à = 1 là nghiem don thì uj = agg, pq là da thùc cùng bàc vói J».
c) Neu à — 1 là nghiem kép thì uj = ri'.pq , pq là da thùc cùng bàc vói
fg.
Thay uj vào phcong trình, dong nhàt càc he so, tinh duoc càc he so cùa uq .
Biet by *z. tÌÌ he thlÌC Itp = ùq + u j tinh duoc A,

B .

Bài toàn 2. Xàc dinh u „ biet rang
Cóch giòi. Phtrong trình drac trimg à ' — 2à + 1 = 0 có nghiem kép À —
+ )
có
, trong
= ( A +—Bn)
A +i —
Bn IIvà+uj1, ?2 2.2
= 1,
tti =dó0,ùq Uq+
2Un1"+ =Itn=
1. uq
Ta = ùqU+{ uj
Thay uj vào phuong trình, ta duoc

(n

1)' o(• + i) + °) — 2•'(n• + ö)
(n, — i)' °(*— i) + ö] = •

i.

Oho
duoc
Cho nu,== 2,1,tataduoc
b) 8(2o
— 2(o
+ +h)(n= 2 m 3o + h = 2h
1. =
9(3o4(2n
+ h)+—
+ 6)
h) — 3 w 12n
3.
Ket hpp (3) vä (4), ta duoc he phuong trinh cö
nghiem
6'
Vày

Do dó
Ta có

=i = 1
B

A+

= 1

A+ B=

127

(3
)
(4
)


www.VNMATH .com

Càc pliép toàn trén d òy
só“

Giài he (5) và (6), ta dupc
A—
—
4,

B—
—

11

—

3

Dang 3.

Giài phunng trình dac trung 2
À c = 0, tìm
Ta cóà.ri, = ùq + uj, trong dó ùq duoc tìm nhu dang 1, he so A và & chua duo ‘“
xàc dinh, u,q duoc xàc dinh nhu sau :

Thay uj vào phuong trình, dùng phuong phàp dong nhat càc he so se tinh duc he
so k .
Biet u ›. •2. tit he thuc uq = ùq -1- uq tinh duoc A, B .
Bài toàn 3. kim uq , biet rang

Cóch giòi. Phaong trình dàc trimg À' — 2à + 1 = 0 có nghiem kép À = 1.
Ta có uq = fiq + uq trong dó ùq = ( A + Bn) I —
— A + Bn và uq = t-.
2“.
Thay u, vào phuong trình, ta duoc
t .2“" — 2t-.2“ + t-.2“' = 2.2‘
= 6.

t-


www.VNMATH .com
Càc phép toòn trén dày só“

c = 0
0 = A + 2B + 24
Tu dó, ta duoc A —
— 2 ,B—
— —13. Vày
= 2 — 13 , + 2. 2“+'.

Dang 4.

trong dé ri

0 , /p là da thùc theo ri, và pq =
vp,‘.

Ta có nq =
u, + uq" trong dó ùq là nghiem tong quàt cùa phuong
thuan
ùq nhat o,uq+, + boy
trình cuq = 0, uq là nghiem riéng tuy y cùa phuong
= /q , u,‘ là nghiem rieng tùy y
trình thuàn nhat o,uq+ + òuq +
khòng
cùa+ co
cuq phUnng trình khong thuan nhat + Aq
n— = v
uug+
Bài toàn 4. kim up, biet rang

2

Cócfi gińi. Giai phuong trinh dac trimg
—1, 2 3. Ta co

22 — 3 = 0, ta
duoc

trong dó

ùq = A. (— I)‘ + B .3‘, ug — ne, + ò, u” = k .2‘.
Thay uq và uq‘ vào phuong trình uq+ — 2uq — 3u —

= ri, ta dupc

e(ri. + 1) + ò — 2(e.ri, + ò) — 3 o(ri — 1) -I- ò] = ri m (4n -1- 1)a, — 4(e —
ò) = 0.
4

12
9


www.VNMATH .com

Càc pliép toàn trèn dóy só“

Do dó
Thay uq‘ vào phuong trình uq+ — 2uq —
3uq

= 2“, ta duoc

k,.2“+ — 2. k. 2“ — 2. k,. 2 “ ' = 2“ w
k, —

2
3

Do dó
n+
-2.2’ =
3 l
—3

Ta có

1
4
2

— .A + 3B =
17

9B
—

Giài he phiinng trình (7) và (8), ta
duoc

Vày

48
'

_25

B—
—

4
2¿
8

+ 48
Da n g 5.

3-

kim u,, biet rang

Pltifcriig pha“p giòi.
Giài phuong trình dac
trong

2
+

À + c = 0. tìm
à.

12’


www.VNMATH.com
Cóc phép toán trén dáy só“

Ta có uq = ùq + uq , trong dó ùq là nghiem tong quàt cùa phuong trình thuan nhat,
xàc dinh nhu ò dang 1, càc he so .4 và B chua duoc xàc dinh,
Thay uq vào phuong trình, dong nhat càc he so, tinh duoc k 1.

Tù he thùc uq = ùq + u j và

=2. ta tinh duoc A và B .

B á i toán ii. j i m uq, biet rang

Cách g iá i. Ci’u’i phuong trính dac trimg

2— 22

1 = 0, ta duoc nghiem kép

Ta có uq = úq + ug, trong
dó
Thay u våo phuong trinh uq+ — 2uq -I- uq— = sin n., ta thu duoc
k, con(n.+ I) I, sin(n. —
-l I) — 2(k, con n,+I, sin n.) +k. cos(n, — 1) -I- / sin(n — 1)
= sin ii,
wk,(con(n
2/ sin n,

1) + cos(ii — 1)) + / sin(n. + 1) -1- sin(n, — 1)] — 2k, cos n, —

m2k cos n. cos 1 — 2k cos n. + 2/ sin n cos 1 — 2/ sin n =
sin n. W 2 / cos u.(cos 1
1) + 2f sin n,(cos 1
1) = sin n,
S i cos 1 — 1 0 nen k —
—
2(cos

m 2 k (cos 1 — 1) cos n + 0
2/(cos 1 —
1) 1
——I) sin n. = 0.
i
i
sin n
vá / dó up = úq + uq = A + Bn.
Do
+ 2(cos 1 —
. Vay uq =
1)
2(cos 1 —
Ta có
1)
sin 2
= 0
+ 2(cos 1 —
1)
sin 1 — 4 cos 1 — sin 2
Giái he phuong trinh (9) =vá 2(10),
ta dtioc
— 4 2(1 — cos
1)
13
1

0 — A + 2B

(10

)


www.VNMATH.com

Càc phép toón trèn dày só“
B—
—

— sin 1 -F 2cosl-F s n Z — 2

2(1 - cosi)
Vày nen
"

2 sin 1 — 4 cos 1 — sin 2 —2(1
4 — cos(— sin 1 + 2 cos 1 + sin 2 —
2) ii, — sin n,
1)

2.1.3. Phiiong trình sai phàn tuyén tinh càp ba
Phitong trtnh sai phán tuyé “n tính cap ba lá phuong trính sai phin
dang

trong dó a, b, c, d, a,
là càc hang so,
0 và Jq là bieu thuc cùa u.
Q,
ri
c

trrróc.
Phuong trình sai phàn tuyen tinh càp ba luón giài duoc vì phuong trình b ba
luón giài duoc. Nghiem tong quàt cùa phuong trình sai phàn tuyen tinh c ba có
dang uq = ùq -t- uj, trong dó uq là nghiem rieng cùa phuong trình tuy tinh khóng
thuan nhatpùq là nghiem tong quàt cùa phiiong trình tuyen tinh thu nhat.

a) Xét phrrong trình dac
trung

(i) Neu (2) có ba nghiem thuc à . À9 , à3 phàn biet
thì
(ii) Neu (2) có mót nghiem thuc bòi 2 và mót nghiem don ( =
thì À
2
*• — ( i +

(iii)
À3) thì

z *)*? + Qh * '
Neu (2) có mót nghiem thuc bai 3 (à, — À3 =


www.VNMATH.com

Còc phép toón trén dày só“

Vày nén

B—

—
2

— sin 1 -F 2cosl Ts n 2 —
2(1 — cosi)

_ 2 sin 1 — 4 cos 1 — sin 2 — 4 + (— sin 1 + 2 cos 1 + sin 2 — 2)a,
“ — sin n,
2(1 — cos
1)

2.1.3. Phuong trình sai phàn tuyen tinh càp ba
Phu:Orig trinh sai phàn tuyè“n tinh cap ba là phuong trình sai phln
dang

trong dó ri, ò, c, d, a,
là càc hang so, e 0 và /q là bieu thùc cùa n.
Q,
c
truóc.
Phuong trình sai phàn tuyen tfnh cap ba luòn giài duoc vì phuong trình
f
ba luÒn giài duoc. Nghiem tong quàt cùa phuong trình sai phàn tuyen tinh
c
ba có dang uq = fiq + uq, trong dó uq là nghiém rièng cùa phuong trình tuy tinh
khóng thuan nhat ùq là nghiem tong quàt cùa phuong trình tuyen tình thu nhàt.
a) Xét phuong trình dac trung

(i) Neu (2) có ba nghiem thpc
à

3phàn biet thì

(ii)
Neu (2) có mót nghiem thuc bói 2 và mòt nghiem
don ( À
thì

(iii) Neu (2) có mot nghiem thuc boi 3 (À,
=
132

›=

3) thì


www.VNMATH.com

Cóc phép toón trén dóy só“
(iv) Néu (2) có mót nghiem thuc A và hai nghiem phùc lien hpp

>„ 3 = r(così iisin p )

thì

b) Gpi u j là mót nghiem riéng cùa (1).
*Xét f z là da thùc cùa n. Ta có
Neu 2
1 thì u j là da thiic cùng bbc vói ff,

Neu à — 1 (nghiem don) thì u j = ri.pq , pq là da thiic cùng bàc vói f
p ,

Néu à = 1 (boi 2) thì Uj = •'-s•. 9• là da thùc cùng bbc vói ff,
Neu à = 1 (boi 3) thì u j = ri,'.pq , pq là da thùc cùng bac vói f p .

*Xét fp —
— vg‘ (hàm mu). Ta có
- Neu à thì u j = k . n.y‘.
Neu nghiem don à =
thì u j = k. . q ‘ .
- Neu nghiem boi À = ¿i (bói s) thì u j = k..n’.p“.
Bà i toàn 6. Tìm zq biet rang

3

Cócfi g i ò i . Xét phuong trinh dac trimg

+2 11a — 5 = 0, hay

(à — 1)'(à — 5)
— 0.
Phuong trình này có ba nghiem thuc

ly »• = •i + ci-• + ••-5‘Cho n, = 1, n = 2, n = 3 vä giåi he phuong trinh tao thånh, ta
dupc
1
3
C
4 1'3 '

16'
1
"16

1
3(n — 1)
16

+


www.VNMATH.com
Các phép toân trên dãy sô!

hay
3
flài toán 7. Cho dãy so nguyên {ap) thoá
mán diéu kien

’4

Chúng minh rãng tón tai các hang so nguyên
M sao cho các só
M + 4oq+,uq déu là nhíing só chính phuong.
Cócfi giái. Dãt

Suy ra

2.2. He phirong trình sai phàn tuyén tinh vói he so
hàng

Trong muc này ta chù yeu xét he phuong trình sai phàn dang

Ph 'orgpháp gi ài.

Trong (l), thay n. bõi ri + 1, ta nhàn
duoc

134


www.VNMATH.com

Cåc phep toån tren döy sö“

Suy ra
zq+s — (p -1- s)zq+, —-I (ps — qr):cq —
— 0, trong dö =i = n.
Tii (1), ta 1ai cö z = pz, + qp, = po + 96. Nhu vay ta dvpc phuong trinh sai phän
tuyån tinh cäp hai thuän nhät
Uj = O, .T9 = pt2 -{- qb, fl?q+ j — (p -)- S)Xp + (pS — qr)Xg ) = 0, 71 > 2.
Giåi phuong trinh nå y ta tim dupc .zq . Thay zq våo (i), ta tim ditcic pq.
Bäi toån 1. jim rg, pq, biet
(2)
C‹icf i jimi. Trong (2), thay n. böi n. + 1, ta cö

Suy ra
Tii (2), ta có z3 = 4.z , — 2p = 4. 1 — 2. 1
= 2.
Ta thu duoc phuong trình bàc hai thuan nhàt
Giåi phiiong trinh nåy, ta dupc nghiem zq2"

thii nhät ciia (2), ta cö

V y nghiem ciia he phuong
trinh

135

. Thay zq våo phuong
trinh