Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
/>BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất:
/>Dạng 1: Cho dãy số {x } :
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số?
/>Từ công thức truy hồi ta có :
/>Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi :
.
/>Thí
dụ : Cho dãy số {x } được xác định bởi :
.
/>Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
/>Giải:
Từ công thức truy hồi ta có :
.
Dạng
2: Cho dãy số {x } :
, với
là đa thức bậc k của n.
/>Tìm số hạng tổng quát của dãy số ?
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng :
.
/>Đối
với dạng này ta xét thêm một giá trị gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân.
Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi :
. Trong đó nghiệm
/>riêng được xác định như sau :

Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng

thay vào phương trình ta được:
/>. Đồng nhất hệ số ta tìm được
.

Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng
thay vào phương trình ta được:
/>. Đồng nhất hệ số ta tìm được
.
/>Thí dụ 1: Cho dãy số {x } :
.Tìm số hạng tổng quát x .
Giải: />Xét phương tình đặc trưng
.
Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng :
. Thay vào
/>pt, ta được :
.
/>Đồng nhất hệ số hai vế ta được :
/>.
/>CTTQ của số hạng trong dãy :
.
Từ
.
/>Thí dụ 2: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng
.
/> x0  const

ax n+1  bxn  0

n

2

n

 b
 b
 b
xn     .xn1     .xn2  ....................     .x0
 a
 a
 a

 b
xn  x0 .   
 a

n

 x0  5

 xn 1  3xn  0 , n  

n

xn  3xn1  32 xn2  .................  3n x0 hay xn  5.3n

 x0


ax n+1  bxn  Pk (n)

n

a  b  0    

Pk (n)

b
a

xn*

xn  c. n  xn*

xn*

xn*  Qk (n)

a.Qk (n  1)  b.Qk (n)  Pk (n)

Qk (n)

xn*  n.Qk (n)

a(n  1).Qk (n  1)  bn.Qk (n)  Pk (n)
n

n.Qk (n)


 x0  7

2

 xn 1  2 xn  3n  4n  5 , n   .

n

 2  0    2

xn*  an2  bn  c

xn*

a(n  1)2  b(n  1)  c  2an2  2bn  2c  3n2  4n  5

  an2  (2a  b)n  a  b  c  3n2  4n  5

a  3
a  3


2a  b  4  b  10
a  b  c  5 c  18



 xn*  3n 2  10n  18

xn  c.2n  3n2  10n  18

x0  7  c  18  7  c  25. Suy ra xn  25.2n  3n2  10n  18
n

 x0  5

 xn 1  xn  4n  5 , n   .
 1  0    1

n

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> />.
Số hạng tổng quát của dãy có dạng :
.
/>Từ
/>Dạng 3: Cho dãy số {x } :
/> />Khi
đó số hạng tổng quát của dãy số là :
/> />Thí dụ 1: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Từ công thức truy hồi ta có :
.

/>Thí dụ 2: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Từ công thức truy hồi, ta có :
/>.


 
Suy />ra
 
/>Dạng
4: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
Giải: />Xét phương trình đặc trưng :
 />Nếu
thì nghiệm riêng của phương trình
thay vào pt, ta được :

.


/>Số hạng tổng quát của dãy :
/>

Từ
/> Nếu
thì nghiệm riêng của phương trình
thay vào pt, ta được :
/>.
/>Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng xn*  n(an  b)  an2  bn . xn* vào pt,
ta được : a(n  1)2  b(n  1)  an2  bn  4n  5 .

 2an  a  b  4n  5 .
Đồng nhất hệ số hai vế ta được :
 2a  4
a  2

 xn*  2n2  3n

a  b  5 b  3
xn  c  2n2  3n

x0  5  c  5. Suy ra xn  2n2  3n  5.

 x0

ax n+1  bxn  d (d  const) , n   .

n


 b  n 
d

    1
n
b
 a 





 xn     .x0  

 b  
 a
a     1

 a  

 xn  x0  nd

n

 x0  5

 xn 1  xn  6 , n   .

neu a  b  0.

neu a  b  0.

n

xn  xn1  6  xn2  2.6  xn3  3.6  .......  x0  6n hay xn  6n  5
n

 x0  3

 xn 1  8 xn  4 , n  

xn  8 xn 1  4  8 8 xn 2  4  4  82.xn 2  4 8  1  82.xn 2  4.

n

82  1
8n  1
 ........  8n.x 0 4.
8 1
8 1

4
25
4
xn  3.8n  . 8n  1  .8n  .
7
7
7

 x0
n

n

axn 1  bxn  d . , n  
b
a  b  0      q.
a
xn*  c. n
 

a.c.

n 1

d
d n
d n
*
 b.c.  d .  c 
 xn 

a  b
a  b a   q
n

n

xn  c1.q n  xn*  c1.q n 

n

do b  qa

d n
.
a  q


 n
d
d

d
d n
d  n  qn
n
 c1  x0 
 xn   x0 
.
q


x
.
q

.
0

a(  q)
a(  q)
a(  q) 
a(  q)
a  q

xn*  cn n
 
d
d
d
ac(n  1) n1  bcn n  d n  c 



(do q   )
a(n  1)  bn a(n  1)  aqn aq

x0  c1 

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

.
/>Số hạng tổng quát của dãy :
.
/>Từ
.
/> />Vậy từ trên ta có :
.
/> />Thí dụ 1: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Ta có :
Vì
nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là :
/> />Thí dụ 2: Cho dãy {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Ta có:
Vì
nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là :

/>.
/>Dạng 5: Cho dãy số {x } :
. Xác định
/>sô hạng tổng quát của dãy trên.
Gọi
là nghiệm riêng của phương trình
/>là nghiệm riêng của phương trình
...................................................................................
/>là nghiệm riêng của phương trình
.
Khi đó nghiệm riêng của phương trình (1) sẽ là
.
/>Khi đó số hạng tổng quát
.
/>Thí dụ: Cho dãy {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng :
/> Do
nên nghiệm riêng
, thay vào phương trình, ta được :
.
/> Do
nên nghiệm riêng
, thay vào phương trình, ta được :
/>.
Số hạng tổng quát
/>Suy ra xn* 

dnq n dnq n1


aq
a

dnq n 1
xn  c1.q  x  c1.q 
a
n

x0  c1  xn  x0 .q n 

*
n

n

dnq n 1
a

 d qn   n
neu q  
 .
a q 
n
xn  x0 .q  
 d .nq n 1
neu q  
 a

n

b
a


 x0  5

n

 xn 1  3xn  2.5 , n  

  q    3 ; d  2 ;   5.

n

q 

d qn   n
3n  5n
xn  x0 .q n  .
 5.3n  2.
 4.3n  5n.
a q 
35

 x0  2
n

n

 xn 1  3xn  5.3 , n  

b
  q    3 ;   3 ; d  5.
q 
a
d
xn  x0 .q n  .nq n1  2.3n  5n.3n 1  (5n  6).3n1
a
 x0

n

n
n
n

axn 1  bxn  d11  d 2 2  .....  d k k
xn*1

axn1  bxn  d11n

xn*2

axn1  bxn  d2 2n

xn*k

axn1  bxn  dk kn

n

(1) , n  

xn*  xn*1  xn*2  ....  xn*k

xn  c. n  xn*

b

   
a



 x0  2

n
n

 xn 1  2 xn  3.2  5.7 (*) , n   .
  2  0    2.
1  
xn*1  d1n.2n
3
d1 (n  1).2n1  2d1n.2n  3.2n  d1   xn*1  3n.2n1
2
*2
xn  d2 .7n
2  
n

n

d2 .7n1  2d2 .7n  5.7n  d2  1  xn*2  7n

xn  c.2n  xn*1  xn*2  c.2n  3n.2n1  7n

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Dạng 6: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Ta gọi
là nghiệm riêng của
là nghiệm riêng của
.
/>Công thức tổng quát của dãy số được xác định là
.
/>Từ giá trị của x ta tìm được giá trị c.
Thí dụ: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Xét Phương trình đặc trưng :
/>Gọi
là nghiệm riêng của phương trình
.
/>là nghiệm riêng của phương trình
.

Số hạng tổng quát của dãy cho bởi:
.
/>Từ
/>II-Phƣơng trình sai phân bậc hai:
Dạng
1: Dạng thuần nhất và có phương trình đặc trưng bậc hai tồn tại nghiệm thực.
/>Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Xét phương trình đặc trưng
.
 Phương trình (1) có nghiệm
thì số hạng tổng quát có dạng :
/>. Từ x ; x ta tìm được c và c .
/> Phương trình (1) có nghiệm
thì số hạng tổng quát có dạng :
. Từ x ; x ta tìm được c và c
/>Thí dụ 1: Cho dãy {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng
Số hạng
tổng quát của dãy có dạng
.
/>Từ
.
/>Thí dụ 2: Cho dãy {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng
/>Số hạng tổng quát của dãy có dạng
.
/>Từ

.
Dạng />2: Dạng thuần nhất và phương trình đặc trưng vô nghiệm thực.
/>Từ x0  2  c  1  2  c  1. Suy ra xn  2n  3n.2n1  7n .


 x0

n

axn 1  bxn  Pk (n)  d , n  

n

n

axn1  bxn  Pk (n)

xn*1

axn1  bxn  d n

*2
n

x

xn  c. n  xn*1  xn*2

0


 x0  3

n

 xn 1  5 xn  3n  2  2.3 , n  
  5  0    5.

n

n

3
11
xn 1  5 xn  3n  2  xn*1   n 
4
16
*2
n
*2
n
xn1  5xn  2.3  xn  3
xn
3
11
xn  c. n  xn*  c.5n  n   3n
4
16
11
75

75
3
11
x0  3  c   1  3  c  . Suy ra xn  .5n  n   3n.
16
16
16
4
16
xn*1

n

 x0 ; x1

axn  2  bxn 1  cxn  0 , n  

n

a 2  b  c  0 (1)
1 ; 2 (1  2 )

xn  c1.1n  c2 .2n

0

1

1

2

1

2.

1  2  

xn  (c1  nc2 ).

n

n

0

1

 x0  2; x1  5.

 xn  2  5 xn 1  6 xn , n   .

n

 2  5  6  0  1  2  2  3.
xn  c1.2n  c2 .3n

 x0  2 c1  c2  2
c  1
. Suy ra xn  2n  3n


 1

2c1  3c2  5 c2  1
 x1  5
n

 x0  3; x1  10.

 xn  2  4 xn 1  4 xn , n   .
 2  4  4  0  1,2  2.

n

xn  (c1  nc2 ).2n

 x0  3
c  3
c  2
. Suy ra xn  (2n  3).2n
 2
 1

2(
)
10
3
c

c


c

10
x

 1 2
 2
 1

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Xét phương trình đặc trưng
. Ta có phương trình (2) không tồn tại
/>nghiệm thực, khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng :
.
/>Trong đó
với
.
Từ hai giá trị x và x ta tìm được c và c .
/>Thí dụ: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng

.
/>Suy ra phương trình sai phân không có nghiệm thực.
Đặt
và
.
/>Khi
đó số hạng tổng quát của x có dạng :
/> />Từ
.
/>Dạng 3: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Gọi là nghiệm riêng của phương trình. Khi đó nghiệm riêng được xác định như sau:
/> />.
/>Xét phương
trình đặc trưng, xét nghiệm của phương trình đặc trưng như các trường hợp
/>trên. Kết hợp với nghiệm riêng ta có được công thức của x .
Thí />dụ 1: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Xét phương
trình đặc trưng :
/>Do a+b+c
≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình
.
Số hạng
tổng quát của dãy số :
.
/> />Từ
.
/> />n

 x0 ; x1

axn  2  bxn 1  cxn  0 , n  
a 2  b  c  0 (2)

n

xn  r n (c1cosn +c2 sin n )

r  A2  B 2 ;   arctan
0

1

A

1


b
; B
2a
2a

2


 x0  1 ; x1  3 3  1



 xn  2  2 xn 1  16 xn , n   .
 2  2  16  0 co   22  16  12  0

n

A

B
A


b
1 ; B 
 3
2a
2a

B 

A 3
n
n

 c2 sin
xn  2n  c1cos
3
3


n

r  A2  B 2  2 ;   arctan

n


.


c1  1
 x0  1
c  1

n
n 


   c1 c2 3 
 1
. Suy ra xn  2n  cos
 3sin


3
3 

  3 3  1 c2  3
 x1  3 3  1 2  



2 
 2
 x0 ; x1

n
n
axn  2  bxn 1  cxn  d , n  
xn*

xn*

d
 *
 xn  a  b  c khi a  b  c  0

 x*  dn khi a  b  c  0 ; 2a  b  0
 n 2a  b

 xn*  n(n  1) d khi a  b  c  0 ; 2a  b  0.

2a

n

n

 x0  4 ; x1  1

2 xn  2  5 xn 1  2 xn  3 , n  

n

1
2 2  5  2  0  1  2  2  .
2
d
3
xn* 

 3
a bc 25 2
1
xn  c1.2n  c2 . n  3
2

c  c  3  4
 x0  4  1 2
c  3

 1
.

c2
2c1   3  1 c2  4
 x1  1


2

Suy ra xn  3.2n 

1

2

n2

3

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Thí dụ 2: Cho dãy số {x } :
. Tìm số hạng tổng quát x .
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng
Do a+b+c=0 và 2a+b ≠ 0 nên nghiệm riêng
.
/>Số hạng tổng quát của dãy có dạng
/> />Từ
.
/>Thí dụ 3: Cho dãy {x } :
. Xác định công thức tổng quát x .
/>Giải:
Xét phương trình đặc trưng
Có
a+b+c=0 và 2a+b=0 nên nghiệm riêng

/>Số hạng tổng quát của dãy là :
.
/>Từ
/>Dạng 4: Cho dãy số {x } :
. Xác định CTTQ của x .
/>Gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân trên. Khi đó nghiệm riêng này được xác
/> />đinh như sau :
.
/> />Xét phương trình đặc trưng, lập công thức nghiệm và ta có được công thức x .
Thí />dụ 1: Cho dãy số {x } :
. Lập công thức tính x
Giải: Xét
phương trình đặc trưng :
/>Ta có
nên nghiệm riêng của phương trình
.
/>Số hạng tổng quát của dãy là :
.
/>Từ
/>Thí dụ 2: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng
/>n

89

 x0  5; x1 
5

 xn  2  7 xn 1  6 xn  11, n  

 2  7  6  0  1  1  2  6.
dn
11n
11
xn* 

 n
2a  b 2  7
5
11
xn  c1  c2 .6n  n , n   .
5

n

 x0  5
c1  c2  5
c1  2
11


. Suy ra xn  2  3.6n  n

11 89  
89  
5
c1  6c2  
x1 
c2  3


5
5
5


 x0  3; x1  2

n
 xn  2  2 xn 1  xn  6 , n  

n

 2  2  1  0  1,2  1.

d
 3n(n  1).
2a
xn  c1  nc2  3n(n  1) , n  
xn*  n(n  1)

 x0  3 c2  3
c  1
. Suy ra xn  3n2  4n  3 , n   .

 1

c2  3
 x1  2 c1  c2  2
 x0 ; x1


n

n

axn  2  bxn 1  cxn  dq , n   .

n

xn*

 *
dq n
 xn  aq 2  bq  c khi q  1  q  2 .

 * ndq n 1
khi q  1  q  2 .
 xn 
2aq  b

 *
d n2
khi q  1  2 .
 xn  n(n  1) .q
2a


n

n

q  1  q  2


 x0  2 ; x1  5

n

 xn  2  8 xn 1  15 xn  3.4 , n  
 2  8  15  0  1  3  2  5.

n.

dq n
3.4n
x  2

 3.4n
aq  bq  c 16  32  15
n
n
n
xn  c1.3  c2 .5  3.4 , n  
*
n

 x0  2 c1  c2  3  2
c  4
. Suy ra xn  4.3n  5n  3.4 n , n   .

 1


3c1  5c2  12  5
c2  1
 x1  5
 x0  8 ; x1  5.

n

n

 xn  2  11xn 1  28 xn  6.7 , n   .

 2  11  28  0  1  4  2  7.

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

n


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Ta có:
nên nghiệm riêng của phương trình
/>Số hạng tổng quát của dãy có dạng :
.
/>Từ
/>Thí dụ 3: Cho dãy {x } :
. Tìm CTTQ của x .

/>Giải: Xét phương trình đặc trưng
.
/>Ta có
nên nghiệm riêng của phương trình
.
Số
hạng tổng quát của dãy :
/>

Từ
/> />Dạng 5: Cho dãy số {x } được xác định bởi :
với
/>là đa thức bậc k theo n. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Nghiệm riêng cua phương trình đượ xác định như sau:
/> />Xác />định công thức tổng quát theo trình tự các bước như đã trình bày ở các ví dụ trên.
Thí
dụ : Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng của dãy :
/>Ta có : a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình
. Thay vào công thức
truy hồi,
tiến hành đồng nhất hệ số ta được :
.
/>Số hạng tổng quát của dãy :
Từ /> />Dạng 6: Cho dãy xác định bởi {x } :
.Tìm CTTQ x
/>Nghiệm
riêng của phương trình dạng này được xác định như sau :
/>Từ đây tìm được công thức tổng quát cảu x .

/>Thí dụ:
Cho dãy {x } :
. Xác định công thức x .
/> />ndq n1
6n.7n1

 2n.7n1.
2aq  b 2.1.7  11
n
n
xn  c1.4  c2 .7  2n.7n1

q  2

xn* 

 x0  c1  c2  8
c  10
. Suy ra xn  10.4n  2.7 n  2n.7 n 1 , n   .
 1

 x1  4c1  7c2  2  28 c2  2

 x0  4 ; x1  5.
n
n

n

 xn  2  10 xn 1  25 xn  2.(5) , n   .

 2  10  25  0  1  2  5
d
q  1  2
xn*  n(n  1) .q n2  n(n  1).(5)n2
2a
n
n
xn  c1n  c2 .(5)  n(n  1).(5) , n   .

 x0  c2  4
c  3
. Suy ra xn  (3n  4).(5) n  n(n  1).(5) n  (n 2  76n  100).(5) n n   .
 1

 x1  5(c 1 c2 )  5 c2  4
 x0 ; x1
Pk (n)

n
axn  2  bxn 1  cxn  Pk (n) , n   .
xn*

 xn*  Qk (n) khi a  b  c  0.
 *
 xn  nQk (n) khi a  b  c  0  2a  b  0.
 x*  n 2Q (n) khi a  b  c  0  2a  b  0.
k
 n

n


 x0  31 ; x1  60.

n

 xn  2  7 xn 1  10 xn  8n  12n  14, n   .

n.

 2  7  10  0  1  2  2  5.
xn*  an2  bn  c

xn*  2n2  8n  15

xn  c1.2n  c2 .5n  2n2  8n  15.

 x0  c1  c2  15  31
c  15
. Suy ra xn  15.2n  5n  2n2  8n  15, n   .
 1

1
c

2
5
25
60
x


c

c


 2
1
2
 1

 x0 ; x1
n

n

axn  2  bxn 1  cxn  Pk (n). , n   .
xn*

 xn*  Qk (n). n khi   1    2 .
 *
n
 xn  n.Qk (n). khi   1    2 .
 x*  n 2 .Q (n). n khi      .
k
1
2
 n
n


 x0  5; x1  18.

n2

 xn  2  6 xn 1  9 xn  2(3n  1).3 , n   .

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

n.

n

n


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />Số hạng tổng quát của dãy là
/>Từ

 .
/>Dạng 7: Cho dãy số được xác định bởi {x } :
. Xác định số hạng tổng quát của dãy trên.
/>Đối với phương trình dạng này, nghiệm riêng của nó có dạng :
.
/>Thay vào công thức truy hồi để xác định được hai hệ số A và B.
Thí

dụ: Cho dãy {x } : được xác định bởi :
/>. Tìm số hạng tổng quát của dãy.
/>

Giải:
Xét phương trình đặc trưng :
/>Nghiệm riêng của phương trình có dạng :
. Thay vào công thức truy
/>hồi, ta được :
/>.


/>Phân tích vế trái và rút gọn ta được :
/>

/>Đồng />nhất hệ số, ta được :
.
/>Số hạng tổng quát của dãy :
/>Từ
/>Dạng />8: Cho dãy số dạng sau { x } :
Trong đó
là một trong các dạng sau : hắng số d,
,
,
, ....
/>Khi đó ta gọi
là nghiệm riêng của phương trình
.
/> />Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  6  9  0  1  2  3.
Ta có   1  2 nên nghiệm riêng của pt xn*  n2  an  b  .3n . Thay xn* vào công thức truy hồi,

rút gọn và đồng nhất hệ số, ta được xn*   n3  2n2  .3n .
xn  (c1n  c2 ).3n  (n3  2n2 ).3n , n   .

 x0  c2  5
c  2
. Suy ra xn  (2n  5).3n  (n3  2n 2 ).3n  n3  2n 2  2n  5 .3n
 1

5
c

3(
)
3
18
x

c

c


 2
1
2
 1
n

 x0 ; x1.


axn  2  bxn 1  cxn   .cosn + sinn , n   .

xn*  Acosn +Bsinn

xn*

n

 x0  4 ; x1  4  2


n
n
 sin
, n   .
 xn  2  3xn 1  2 xn  3  3 2 .cos

4
4
 2  3  2  0  1  1  2  2.
n
n
xn*  Acos
 B sin
4
4

(n+2)
(n  2)  
(n+1)

(n  1) 
n
n 


 3  Acos
 B sin
 2  Acos
 B sin  
 Acos 4  B sin


4  
4
4 
4
4 

n
n
3  3 2 .cos
 sin
4
4

3 A 3B
n 
3 A 3B
n
n

n



.

 2 A  .cos
  A 

 2 B  .sin
 3  3 2 cos
 sin
B
4 
4
4
4
2
2
2
2



3 A 3B

 B  2  2  2 A  3  3 2
A 1
n
n


 xn*  cos
 sin

4
4
B  1
  A  3 A  3B  2 A  1

2
2
n
n
xn  c1  c2 .2n  cos
 sin
.
4
4
 x0  c1  c2  1  4
c  6
n
n

 1
. Suy ra xn  2n  6  cos
 sin
, n   .

4
4

 x1  c1  2c2  2  4  2
c2  1


n

d ni

xn*i

 x0 ; x1

axn  2  bxn 1  cxn  d n1  d n 2  ...  d nk (1), n   .
d . n Pk (n)  n .Pk (n)
axn2  bxn1  cxn  dni

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Nghiệm riêng của (1) được xác định là
 . Sau đó ta thiết lập được công thức tổng
/>quát như các thí dụ đã cho.
/>III-Phƣơng trình sai phân bậc ba:
Loại 1: Phƣơng trình thuần nhất :
/>Dạng 1: Cho dãy {x } :
. Xác định số hạng tổng quát

/>x của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng
. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
/>. Khi đó số hạng của dãy được xác định là :
.
Từ các giá trị
ta xác định được các giá trị
.
/>Thí dụ: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng :
Số
hạng tổng quát của dãy có dạng :
.
/> />Từ
/> />Dạng
2: : Cho dãy {x } :
. Xác định số hạng tổng
/>quát
x của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng
có hai nghiệm phân biệt
.
Khi />đó số hạng tổng quát của dãy số cho bởi :

 .
Từ các giá trị
ta xác định được các giá trị
.
/>Thí dụ: Cho dãy số {x } :

. Tìm CTTQ của dãy.
/>Giải: Xét phương trình đặc trưng
Số hạng
tổng quát của dãy có dạng :


/> />Từ
/> />Dạng 3: Cho dãy {x } :
. Xác định số hạng tổng quát
/>x của dãy số.
Xét phương
trình đặc trưng
có 1 nghiệm kép
. Khi đó
/>công thức nghiệm tổng quát có dạng :

 .
/>x 
*
n

k

i 1

xn*i

 x0 ; x1 ; x2

axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .

n

n

a 3  b 2  c  d  0

1 ; 2 va 3

xn  c1.1n  c2 .2n  c3 .3n

x0 ; x1 ; x2

c1 ; c2 va c3

n

 x0  1; x1  5 ; x2  8.

 xn3  6 xn 2  11xn1  6 xn  0 n   .
 3  6 2  11  6  0  1  1 ; 2  2 ; 3  3.

n

xn  c1  c2 .2n  c3 .3n

11

c1   2
 x0  c1  c2  c3  1


11
5

. Suy ra xn    9.2n  .3n n   .
 x1  c1  2c2  3c3  5  c2  9
2
2
 x  c  4c  9c  8 
5
2
3
 2 1
c3  
2

 x0 ; x1 ; x2

n
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .
n

1 va 2  3  

a 3  b 2  c  d  0

xn  c1.1n  c2 n  c3 . n

x0 ; x1 ; x2

c1 ; c2 va c3

n

 x0  5; x1  11 ; x2  16

 xn 3  11x n  2 32 xn 1  28 xn  0 , n   .
 3  11 2  32  28  0  1  7  2  3  2.
xn  c1.7n  c2 n  c3 .2n

6

c1   35
 x0  c1  c3  5

13
6
181  n


 13
. Suy ra xn   .7 n   n 
 x1  7c1  2c2  2c3  11  c2 
 .2 , n   .
14
35
35 
 14
 x  49c  4c  4c  16 
1

2
3
 2
181

c3  35

 x0 ; x1 ; x2

n
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .

n

a 3  b 2  c  d  0

1  2  3  

xn  c1n2  c2 n  c3 . n

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Từ các giá trị
ta xác định được các giá trị
.

/>Thí dụ: Cho dãy số {x } :
. Xác định số hạng tổng
/>quát của dãy.
Giải: Xét phương trình đặc trưng :
.
/>Số hạng tổng quát của dãy có dạng :
.
/> />Từ
/> />Dạng
4: Cho dãy {x } :
. Xác định số hạng tổng quát
x />của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng
có 1 nghiệm thực và hai nghiệm phức.
Khi
đó số hạng tổng quát của phương trình có dạng :
.
/>Từ các giá trị
ta xác định được các giá trị
.
/>Thí dụ: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
/>Giải:
Xét phương trình đặc trưng



/>. Phương trình sai phân bậc hai
không có nghiệm
 

thực />nên theo thí dụ trong dạng 2 của phương trình sai phân bậc hai ta có số hạng tổng
quát là
. Vậy số hạng tổng quát
.
/> />Từ
/> />Loại 2: Phƣơng trình không thuần nhất.
Cho dãy
số dạng {x } :
.
/>Trong đó có thể là hăng số,
, đa thức bậc k theo n
, ....
/>Ta tiến hành tìm nghiệm riêng như dạng đối với phương trình bậc 2 đã trình bày ở trên.
IV-Phƣơng
trình sai phân bậc cao.
/>Dạng 1: Phương trình thuần nhất :
.
Xét phương
trình đặc trưng :
.
/>TH1: có k nghiệm thực phân biệt, khi đó số hạng tổng quát của dãy sẽ có dạng :
/>x0 ; x1 ; x2

c1 ; c2 va c3

 x0  3 ; x1  2 ; x2  8

 xn 3  3xn  2  3xn 1  xn  0 , n   .

n

 3  3 2  3  1  0  1  2  3  1
xn  c1n2  c2 n  c3

7

c

1

2
 x0  c3  3

9
7 2 9


 x1  c1  c2  c3  2  c2   . Suy ra xn  n  n  3, n   .
2
2
2
 x  4c  2c  c  8 
1
2
3
 2
3
c

 3



 x0 ; x1 ; x2

n
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .

n

a 3  b 2  c  d  0


xn  c1.  c2 .cosn +c3 .sin n
n

x0 ; x1 ; x2

c1 ; c2 va c3

n


 x0  3; x1  4  3 ; x2  8  3.


 xn 3  5 xn  2  22 xn 1  48 xn  0 , n   .
 3  5 2  22  48  0    3  2  2  16  0


  3

 2

  2  16  0 VN

xn'  c2 .cos

 2  2  16  0

n
n
 c3 sin
3
3

xn  c1.3n  c2 .cos


 x0  c1  c2  3

c2 c3 3

 4 3
 x1  3c1  
2
2


c2 c3 3
 8 3
 x2  9c1  


2
2

n

dn

n

n
n
 c3 .sin
3
3

c1  1
n
n


 c2  2 . Suy ra xn  3n  2  cos
 sin
3
3


c3  2



 , n   .


 x0 ; x1 ; x2

axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  d n , n   .
m n

Pk (n)

a0 xnk  a1 xnk 1  ......  ak xn  0

a0 k  a1 k 1  ..............  ak  0

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

 .
/>TH2: Có s nghiệm bằng nhau , (k – s) nghiệm khác nhau và khác với s nghiệm trên. Khi
/>đó số hạng tổng quát của dãy có dạng :
.


/>TH3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức :

 trong đó

/>;
và k – 2 nghiệm thực khác nhau thì số hạng tổng quát của dãy
số sẽ có dạng :


/>
Dạng 2: Phương trình không thuần nhất:
/>Ta xét thêm nghiệm riêng tuỳ theo dạng của b và các hệ số a . Thiết lập công thức
tổng
quát của x từ các giả thiết của bài.
/>V-Một số dạng đặc biệt khác thƣờng gặp của dãy số trong các kì thi.
/>Dạng
1: Phương trình sai phân dạng " Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một".
Cho
dãy số {x } , {y } được xác định như sau :
.
/>Tìm số hạng tổng quát x và y .
/>Đưa
hệ về phương trình sai phân tuyến tính cập 2 của từng dãy {x } và {y } :
/>.
Đưa được hệ về dạng phương trình cơ bản, từ đây ta dễ dàng tìm được CTTQ của số hạng
từng />dãy đã cho.
Thí
dụ: Tìm CTTQ của dãy số {x } và {y } :
/>Giải: Ta có :
và
.
/>Từ đây, ta có :
/>Dạng 2: Phương trình sai phân dạng phân thức tuyến tính:
Tìm CTTQ

của dãy số có công thức xác định như sau :
/>Cách />1: Đặt
Khi đó dãy được biến đổi thành :
/> />Từ công thức tổng quát của {y } và {z } ta suy ra CTTQ của {x } .
Cách 2: />Đặt
, thay vào công thức truy hồi của dãy ta có :
/> />xn  c1.  c2 .  c3 .  ...........  ck . 
n
1

n
2

n
3

n
k

k

i 1

ci .in

k
 s 1
p
n
xn   c p 1.n  . 

ci .in
i  s 1
 p 0

x j  A  Bi  r cos +isin

r  A2  B 2

  arctan
xn 

k 2
i 1

B
A

ci .in  r n c1' .cosn +c'2 .sin n .

a0 xnk  a1 xnk 1  .......  ak xn  bn .

x

*
n

n

i

n

 xn 1  axn  byn

 yn 1  cxn  dyn

n

n

n

n

n

n

xn2  axn1  byn1  axn1  b(cxn  dyn )  axn1  bcxn  d ( xn1  axn )  (a  d ) xn1  (bc  ad ) xn

yn2  cxn1  dyn1  c(axn  byn )  dyn1  dyn1  bcyn  a( yn1  dyn )  (a  d ) yn1  (bc  ad ) yn

n

n

u0  2; un 1  2un  vn
n   .

v0  1; vn 1  un  2vn

un2  (a  d )un1  (bc  ad )un  4un1  3un
un 

1 3
2

n1

 vn  un 1  2un 

u1  5

1  3n 1
.
2

x0   ; xn 1 

xk 

yn 1
zn 1

axn  b
n   .
cxn  d

yk
( zk  0).

zk

yn
b
 yn 1  ayn  bzn
 yn  2  (a  d ) yn 1  (bc  ad ) yn
zn
ay  bzn

 n


n   .
yn
z

cy

dz
z

(
a

d
)
z

(
bc


ad
)
z
cy

dz
n

1
n
n
n

2
n

1
n


n
n
c.  d
zn
a.

n

n

n

xn  un  t

aun  at  b
(a  ct ) xn  ct 2  (a  d )t  b
un 1 
t 
cun  ct  d
cun  ct  d

(*).

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Ta chọn t sao cho
Khi đó ta chuyển (*) về dạng :
/>Từ đây ta tìm được , suy ra
/> />Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {u } :
.
/>Cách 1: Đặt
, thay vào công thức truy hồi ta được :
/> /> />Từ
. Ta chọn

.
/>Từ đây ta tìm được :
/>Cách 2: Đặt
, thay vào công thức truy hồi ta được :
/>Ta />chọn t :
/>Dạng 3: Hệ phương trình tuyến tính bậc 2.
/>Tìm CTTQ của dãy số (u ) và (v ) được xác định bởi :


/>



/>



.
/>
 

/>
 

Thí />dụ: Xác định CTTQ của hai dãy số {u } và {v } thoả :
và
/>Giải:
/>

Ta có:

/>

/>1
1
m
 n.
un
un 1

ct 2  (d  a)t  b  0.

1
un

un .

n

un 

u1  2

9un 1  24

un  5u  13 n  2.
n 1


xn
yn

xn 1
 24
 xn 1  9 xn  24 yn
 xn  2  4 xn 1  3xn
xn
yn 1
9 xn 1  24 yn 1




n   .
x
yn
5 xn 1  13 yn 1
 yn 1  5 xn  13 yn
 yn  2  4 yn 1  3 yn
5 n 1  13
yn 1
9

u1  2  u2  

42
23

 x1  2 ; x2  42

 y1  1 ; y2  23

n 1

22.3n 1  24
 xn  22.3  24
.
Suy
ra
u

n  2.

n
n 1
n 1
11.3
10

y

11.3

10

 n

un  xn  t

9 xn  9t  24
(9  5t ) xn 1  5t 2  22t  24
xn  t 

 xn 
5 xn  5t  13
5 xn 1  5t  13
5t 2  22t  24  0  t  2  x1  4.

 xn 

xn1
1
3
1 11.3n 1  10
4
22.3n 1  24
 
5 
 xn 

u

x

2

.
n
n
5 xn 1  3
xn xn 1
xn
4

11.3n 1  10
11.3n 1  10

n

un  un21  a.vn21 ; u1  



vn  2un 1.un 1 ; v1  

n

2
2

un  u  a.v
un  a .vn  un 1  a .vn 1  .......  u1  a .v1


2
2n1
a
.
v

2
a
.
u

.
v
u  av  u  a .v
n
n 1 n 1

 .......  u1  a .v1
n
n 1
n 1
 n
2n1
2n1 

1
u




a




a
 n 2






n1
n1
v  1     a 2     a 2 

 n 2 a 


n1

2
n 1

2
n 1

n

u1  2

v1  1


un  u  2v


vn  2un 1.vn 1
2
n 1

2
n 1

n

n  2.

u  2v  u  2v
2
2

n
n 1
n 1
un  un 1  2vn 1
 n


 2vn  2 2un 1vn 1
un  2vn  un 1  2vn 1



2

2

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

a 


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn


 

/>
 

.
/>
 


 

Dạng 4: Dạng phân thức bậc 2 trên bậc 1:
/>Tìm CTTQ của dãy {x } :
/>

/>Đặt
, khi đó dãy trên được chuyên về hai dãy {u } và {v } như sau :
/>
 

Khi đó


 

/> />Thí
dụ: Xác định CTTQ của dãy số {x } :
.
/>Giải: Xét hai dãy số {u } và {v } :
và
/>Ta dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp
.
/>
 

Theo
kết
quả
bài
toán
trên,
ta
có
:
/>
 

Dạng
5: Dạng có căn thức trong công thức truy hồi.
/>a) Với dãy số {u } :
, với
ta xác định CTTQ như sau:

/>Từ dãy truy hồi


/>Thay n bởi n – 1, ta được
Ta đây ta dễ thấy và
là nghiệm của phương trình bậc hai
.
/>Theo định lý Vi-et, ta có
. Từ đây ta dễ dàng xác định CTTQ của x .
/>b) Một cách biểu diễn khác : Cho dãy số {u } :
, trong đó
/>ta xác định CTTQ như sau :
/>Ta viết lại công thức tổng quát dưới dạng :
Đặt
.
/>Ta có
đây là dãy mà ta đã xét ở trên.
/>Thí dụ:
Cho dãy số {u } :
Tìm ?
/>
un  2vn  u1  2v1

u  2v  u  2v
n
1
1
 n

2n1

2n1

a  .

n  2.

un
vn

n

n

un  u  a.v



vn  2un 1vn 1
2
n 1

 2 2

2n1

2n1
2n1 

1

u

2

2

2

2
 n 2





n1
n1
v  1  2  2 2  2  2 2 

 n 2 2 


 x1  

xn21  a

 xn  2 x
n 1


n

xn 

 2 2

2n1

2
n 1

; u1  

xn 

n  2.

; v1  1

n

n

n

u1  2

v1  1

xn  2.

un
 a
vn

 a

 a

2n1

2n1

  a
  a

2n1

2n1

.

 x1  2

xn21  2

x

n  2.
 n

2 xn 1

un  un21  2vn21

n  2.


vn  2un 1vn 1
u
xn  n
vn

2 2

2 2

2n1

2n1

 2 2
 2 2

2n1

2n1

.



u1  
a2  b  1

2

un  aun 1  bun 1  c n  2.
 un  aun1  bun21  c  un2  2aunun1  un21  c  0
n

un22  2aun2un1  un21  c  0.

un

X 2  2aun1 X  un21  c  0

un  2

un  un2  2aun1

n

n

u1  

un 1
u 
n  2.
n
2


a

cu

b
n 1


  0; a  1 ; a 2  b  1

1
a
b

 c 2 .
un un 1
un 1

xn 

1
un

xn  axn1  bxn21  c

n


u1  1



un  5un 1  24un 1  8 n  2.

un

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>(1) . Thay n bởi n – 1 ta được :
(2).
/>Từ (1) và (2)
là hai nghiệm của phương trình :
/>Áp dụng định lý Vi-et, ta có :
Ta dễ dàng tìm được




/>Dạng 6: Công thức truy hồi bậc hai dạng phân thức.
/>Cho dãy số {u } :
. Tìm ?
/>Đối
với dạng này thì từ công thức truy hồi u , u , u . Ta giả sử
.
/>Lập

hệ phương trình
/>Từ />công thức truy hồi ta dễ dàng tìm được công thức tổng quát của u .
Thí
dụ: Tìm CTTQ của dãy số {u } :
.
/> />Giải:
Ta có :
Ta giả sử
/>Ta có
hệ pt :
.
/>Ta dễ dạng tìm được




/>VI-Sử dụng lƣợng giác để tìm công thức tổng quát của dãy số :
Dạng
1: Xác định công thức dãy số dạng {u } :
ta làm như sau :
/> />Nếu
: ta đặt
. Khi đó ta có :
.
 Nếu
: ta đặt

 . Khi đó
/>.
/>Với cách xác định số a, ta có a là nghiệm (cùng dấu với u ) của phương trình

/>. Do tích hai nghiệm la 1 nên nếu a là 1 nghiệm thì sẽ là
nghiệm
còn lại của phương trình. Khi đó công thức tổng quát có thể viết như
/>sau :
 


/> />Giải: Từ công thức truy hồi của dãy ta có :  un  5un1   24un21  8
2

 un2  10unun1  un21  8  0

un22  10un2un1  un21  8  0

 un2 , un

t 2  10un1t  un21  8  0

un  un2  10un1.

un 

n

6 2
52 6
2 6

n 1

u1   ; u2  

un21  a

u

n  2.
 n
un  2




6 2
5 2 6
2 6

n 1

.

un

3

4

un  xun1  yun2  z

5

u3  xu2  yu1  z

u4  xu3  yu2  z  x, y, z.
u  xu  yu  z
4
3
 5

n

u3  3; u4  11; u5  41.

n

u1  u2  1

un21  2

u

n  2.
 n
un  2

un  xun1  yun2  z.

u3  xu2  yu1  z
x  y  z  3
x  4




u4  xu3  yu2  z  3x  y  z  11   y  1  un  4un 1  un 2

11x  3 y  z  41  z  0


u5  xu4  yu3  z
n
n
95 3
95 3
xn 
. 2 3 
. 2 3
n  1.
6
6

n

u1

2
un  2un 1  1 n  2.

u1  cos

u1  1

un  cos2n-1

1
1
u1   a   a  0 va au1  0
2
a
1
1
1
1 
1
1 
1  n1
1 

u2   a 2  2  2   1   a 2  2   u3   a 4  4   ........un   a 2  2n1 
2
a
2
a 
2
a 
2

a 

u1  1

1

1
a

a 2  2u1a  1  0

1
un   u1  u12  1
2

2n1

 u1  u  1
2
1

2n1


.


Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Thí dụ 1: Cho dãy số {u }:
. Xác định CTTQ của dãy {u }.
/>Giải: Ta có
/>Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng
.
/>Thí dụ 2: Cho dãy số {u } :
. Xác định CTTQ của u .
/>Giải: Gọi a là nghiệm lớn của phương trình :
.
/>Ta có
, khi đó
/>Giả sử
thì
.
/>Theo nguyên lý quy nạp, ta được

 
 .
/>Thí
dụ 3: Cho dãy số {x } được xác định như sau :
.
Tìm giá trị của
.
/>Giải:
Chọn a là nghiệm lớn của phương trình
/>Ta có
; khi đó
/>Bằng
quy nạp ta chứng minh được
/>Chú />ý rằng

,
/>ta có
/>Do đó /> />Dạng 2: Tìm CTTQ của dãy số {u } :
, ta làm như sau :
/> Nếu
, thì
. Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được :
 
/>.
/> />1

u1 
2
n
n

u  2u 2  1 n  2.
n 1
 n
1


2
2
22
u1   cos  u2  2cos 2  1  cos
 u3  2cos 2
 1  cos
2
3

3
3
3
3
n-1
2 
un  cos
n  1.
3
u1  3
n
n

2
un  2un 1  1 n  2.
1
1
2
 a    3  a  6a  1  0  a  3  2 2
2
a
2

1
1
1
u2   a    1  a 2  2 .
2
a
a

1
1
a  6a  1  0  u1   a    3
2
a
k 1
k
1
1
xk  a 2  2k 1
xk 1  a 2  2k
a
a
2

n1

xn  a 2 

1

a2

n1

n 

2n1

 3 2 2

2n1

x1  5, xn1  xn2  2 n  1

n

S  lim

 3 2 2

xn 1
x1 x2 .....xn

x2  5x  1  0  a 

5  21
 1.
2

2

1
1

x2  x  2   a    2  a 2  2 .
a
a


n1
1
xn  a 2  2n1 n  1.
a
k

1
k

1
k
1
1
1
 2
 2
  2

 a  2k 1  a  2k 1    a  2k 
a 
a  
a 

1  n
1 
1

1

a    a 2  2n  1  n

a   xn 1


xn 1
a 
a
a 
a2 . a  1  .
 


1
1 
1
x1 x2 .....xn 
a
2n
a

1

a

x
x
.....
x
n
n


 1 2
n
a
a2
a2

1
1  2n
xn 1
a .  a  1   a  1  21.
S  lim
 lim

n  x x ......x
n 
1 
a
a
n
1 2
1  2n 
a
u1  p

n
3
un  4un 1  3un 1 n  2.
p 1
  0;  : cos =p

1
a  5a  1  0  x1  a   5
a
2

2
1

un  cos3n-1

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

 Nếu
thì ta đặt

 . Bằng quy nạp ta chứng minh được
/>hay
/> 


/>Thí dụ 1: Xác định CTTQ của dãy {u } :
.
/>Giải: Ta có
.
/>Bằng quy nạp ta chứng minh được

/>Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy {x } :
.
/>Giải: Gọi a là nghiệm lớn của phương trình
.
/>Ta có
.
/>Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được
/>Vậy công thức tổng quát của dãy là :

 

/>Dạng 3: Cho dãy {u } :
. Để xác định công thức tổng quát của
/>nó ta
có thể làm như sau :
Ta đặt
. Khi đó bằng nạp ta chứng minh được :
/> 


/> />Thí dụ : Xác định CTTQ của dãy {u } :
/>Đặt
. Thay vào công thức truy hồi của dãy, biến đổi và rút gọn ta được :
/>



/>Ta chọn y sao cho :
/>Khi đó :
. Ta chọn

/>
 

/> />p 1

1  n1
un   a 3
2

1
1
u1   a  
au1  0
2
a
3n1
1
1 
2
un   u1  u1  1
 u1  u12  1
 3n1  .
2
a 


.




2
u1 
2

u  4u 3  3u , n  2.
n 1
n
 n

n

u1 

3n1

2



3
3
3
32
 cos  u2  4cos3  3cos  cos
 u3  4cos3
 3cos
 cos
2
4
4

4
4
4
4
4
n-1
3 
un  cos
n  1.
4
 x1  7

n
3
 xn  4 xn 1  3xn 1 n  1.
x2  14 x  1  0  a  7  4 3
3

1
1
1
1 3
1 1
1
u1   a    7  u2   a     a     a 3  3 
2
a
2
a 2
a 2

a 
1  n1
1 
un   a3  3n1  n  1.
2
a 
n1
3
3n1 
1
un   7  4 3
 74 3
 n  1.
2

u1  p

n
3
un  4un 1  3un 1 , n  2.

1
1
u1   a  
2
a
1  n1
1  1
un   a3  3n1    u1  u12  1
2

a  2

3n1

n

 u1  u  1
2
1

3n1


.


3

u1 
6

u  24u 3  12 6u 2  15u  6 n  2.
n 1
n 1
n 1
 n

un  xvn  y

xvn  y  24 x3vn31  12 6 x 2 y  6 x 2 vn21  3 24 xy 2  8 6 xy  5 x vn1

 24 y 3  12 6 y 2  15 y  6.

2
2

1
6 x y  6 x  0
.
 y

3
2
6
24
12
6
15
6
y

y

y


y



xvn  24 x3vn31  3xvn1  vn  24 x 2vn31  3vn1

 vn  4vn31  3vn 1 ; v1  2  vn 

1
2 5
2 

3n1

 2 5

x

3n1

1
6





Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn



 

/> />Dạng 4: Xác định CTTQ của dãy {u } :
với
.
/>Khi đó ta đặt
.




Bằng quy nạp ta ta chứng minh được
 
/> />Thí dụ 1: Xác định CTTQ của {u } :
.
/>Giải: Đặt
khi đó :
.
/>Bằng
quy nạp ta chứng minh được
/>Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số {x } :
.
/> />Giải: Ta có :
/>Bằng quy nạp ta chứng minh được là :
/>Thí
dụ 3: Cho a, b là hai số dương không đổi thoả mãn a < b và hai dãy {a } , {b }
/>được xác định như sau :
. Tìm CTTQ của a và b .
/>Giải: Ta có
nên ta đặt

với
.
/>

Khi đó
:
và
/> />và
Bằng quy
nạp ta chứng minh được :
/>và
.
/>Dạng />5: Để tìm CTTQ của dãy {u } :
/>Ta đặt
và
, khi đó ta dễ dàng chứng minh được

.
/>1 
Suy ra un 
2 5
2 6 

3n1

 2 5

3n1

 1

  6 n  1.



 1
a
 ab  2


u1  

2
un  a  bun 1 n  2.

n

u1    acos  u 2  a  b acos

2

 a 1  2cos 2  acos2

un  acos 2n-1 n  1.

3

u1 
2

u  2  u 2 n  2.

n 1
 n

n



3
 
 cos ,    ;   ,
4
2 

u1  2cos  u 2  2(1  2cos2 )  2cos2

un  2cos2n-1 n  1.

1

 x1  2


2  2 1  un21

x

n  2.
 n
2

n

u1 

1

 sin  u2 
2
6

2  2 1  sin 2
2

un  sin



2 1  cos 
6

6


 sin
2
2.6





n 1

2 .6

n  2.

n

a
1
b

0

a1 

a b
a2  1 1 
2

an  bcos



2

ab

a1  2 ; b1  ba1


a  an 1  bn 1 ; b  a b
n
n n 1 n  2.
 n
2
a
  
 cos
   0; 
b
 2 

bcos +b b 1  cos


 bcos2
2
2
2

bcos 2

cos



2

 bcos

2



2

2

.....cos 2



2  bcos  .cos 2 
2
22



2

n

bn  bcos

n

a  tan 

b1  b.bcos 2

b  tan 



2

cos

b2  bcos



2

2

.....cos 2



2



2

.cos

n

n

 bcos



22



2

.



2n

u1  a

un 1  b

n  2.
un  1  bu
n 1


un  tan   (n  1)

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

n


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Thí dụ 1 : Cho dãy {u } :
. Tính giá trị của
.
 
/>Giải: Ta có
và
.
/> />Khi đó,
Bằng quy nạp ta chứng minh được :
/>Suy ra
/>Thí
dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số {u } :
/> />Giải: Ta có :
Đặt
, khi đó ta được dãy {x } dược xác định như
/>sau :
và
/>Vì
.
/>Bằng
quy nạp ta chứng minh được :


/>BÀI TẬP DÀNH CHO ĐỘC GIẢ TỰ LUYỆN
/>Bài 1: Xác định công thức tổng quát của các dãy số sau đây :
a) />Cho
b) Cho
/>c) Cho
d) />Cho
e) Cho
f) />Cho
g) Cho
h) />Cho
i) Cho
/>j) Cho
/>k) Cho
l) Cho
.
/>m) Cho
.
/>n

tan



 2 1

8

tan



 tan

u1  3

un 1  2  1

n  2.
un  1  1  2 u
n

1


u1  3  tan



u2011



3

8  tan      .





3 8
1  tan .tan
3
8




  5
un  tan   (n  1)  n  2.
u2011  tan   2010.   tan  
8
8
3
3
3 4
u1  3

un 1
n
u 
n  2.
 n
1  1  un21

1
1
1
1


 1 2 .
xn 
n
un un 1
un 1
un
1
xn  xn1  1  xn21 .
x1 
3
u2 

3


  2  3.




1


 1  cos 3

 cot  x2  cot  1  cot 2 
 cot
x1 

3

3
3
2.3
3
sin
3
xn  cot

x0  1;

3xn1  2 xn  0

x0  1; 5xn1  4 xn  2



n 1

2 .3

 un  tan



n 1

2 .3

n  1, 2,3...........

n0

n  0.

n

x0  2; xn1  xn  2n2  n  4

x0  5;

4 xn1  7 xn  6n  5

x0  3;

xn1  xn  13

x0  4;

3xn1  2 xn  23

x0  7;

xn1  3xn  2.3

n

n  0.

n  0.

n  0.

n  0.

n  0.

x0  15;
2 xn1  xn  2n2
n  0.
7
x0  ; 11xn1  6 xn  2.3n  4n
n  0.
5
x0  1; x1  4; xn1  4 xn1  xn1  0
n  1.
2
1
x0  4; x1  ; xn1  xn  xn1  0;
n  1.
3
4
x0  3; x1  3  4 3 ;
xn1  2 xn  13xn1  0
n 1

x0  5; x1  1;

xn1  6 xn  3xn1  14

n 1

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

n) Cho
.
/>o) Cho
p) Cho
/>q) Cho
r) Cho
/>s) Cho
/>t) Cho
u) Cho
/>v) Cho
/>w) Cho
x) Cho
/>y) Cho
/>Bài 2: Xác định Công thức tổng quát của các dãy số đặc biệt sau :
/>a) Cho
với n 0.
/>b) Cho
c) Cho
/>d)
Cho
/> />e) Cho
/>


/>Bài 3: Cho dãy số {u } thoả mãn như sau :
/>Chứng minh rằng
a) />b)
và
.
/>Bài 4: Cho dãy {x } xác định như sau :
.
/>Xác định
số tự nhiên n sao cho :
Bài 5: Cho
day {x } được xác định bởi :
.
/>Tìm />  ( TH&TT T7/253)
/>x0  4; x1  3;

xn1  2 xn  3xn1  6

n 1

x0  2; x1  4; xn1  2 xn  xn1  11

n  1.

x0  1; x1  5; xn1  8xn  15n1  4.2

n  1.

n

x0  1; x1  4; xn1  3xn  4 xn1  3.4n

x0  4; x1  2;

n  1.

xn1  6 xn  9 xn1  5.3n ;

n  1.

x0  1; x1  3; xn1  7 xn  12 xn1  (2n  3n  1).2n

n  1.

x0  2; x1  3; xn1  7 xn  10 xn1  (3n  1).5

n  1.

2

n

x0  1; x1  3; xn1  8xn  16 xn1  (2n2  3).4n
n  1.
n
n
x0  1; x1  6 ; xn1  3xn  2 xn1  3cos
n  1.
 2sin
3

3
x0  1 ; x2  5 ; 2 xn1  7 xn  5xn1  2n  5n
n  1.

 xn 1  2 xn  5 yn

 yn 1  5 xn  3 yn
2x  7
xn1  n
;
4 xn  3

x1  3; y1  2 ;

x1  2;

1
x1  ;
2

xn 2 

x0  1;

x1  2;

xn2  xn21.xn3
xn

xn 1 

u0  2;

2  3  xn2

u1  6  33 ;

n  1.

xn 2 .xn
2002 xn1  2001xn  2000 xn 1 xn

x0  1;

x1  1;

n  1.



n  0.

n 1

un1  3un  8un2  1

n 1


3

u1 
3


u 2 3
un  n 1
n  2.

1  3  2 un 1


un    , n   .

u0  1, u1  9
u  10.u  u
n 1
n  2 n   , n  2.
 n

n

k   , k  1.

u u
2
k

2
n 1

 10uk uk 1  8

5uk  uk 1  4

3.uk2  1 2

n

n

 x0  1; x1  0

 xn  2 xn 1  xn 2  2 n  2.
xn1  xn  22685.
 x0  1; x1  5

 xn 1  6 xn  xn 1 n  1.

lim xn 2

n 

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> 

Bài 6: Xét dãy {a } :
và
/>Chứng minh rằng :
(TH&TT T10/335)
/>Bài 7: Cho dãy số {a } :
Hãy xác định CTTQ của a và
chứng minh rằng số 
/> có thể biểu diễn thành tổng bình phương của 3 số nguyên
liên tiếp với
(TH&TT T6/262)
/>Bài 8: Cho dãy số 
 được xác định như sau :
Xác định p(n) . (TH&TT T7/244).
/>Bài 9: Xét dãy {u } :
. Chứng minh rằng với mỗi số
/>nguyên tố p thì
 chia hết cho p (TH&TT T6/286).
/>Bài 10: Dãy số thực {x } :
.
/>Tìm tất cả giá trị của a để
. (TH&TT T10/313)
/>Bài 11: Dãy số {x } :
và
/>Hãy
tìm CTTQ của x (TH&TT T8/298).
/>Bài 12: Cho dãy số {a } được xác định như sau {a } :
/>Tính tổng
/>Bài 13:
Cho dãy số được xác định bởi :
Đặt

Chứng minh rằng
là số chính phương .
/>( HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B)
Bài 15: Cho hai dãy số {a } và {b } được xác định như sau :
/>.
/>Chứng minh rằng các dãy {a } và {b } có cùng giới hạn chung khi
.
/>Tìm giới hạn chung đó. ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2)
Bài 16: Cho các số nguyên a, b. Xét dãy số nguyên {a } được xác định như sau :
/>.
/>a) Tìm
CTTQ của a
b) Tìm các số nguyen a, b để a là số chính phương với
.
/>(HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B).
/>
2
1
 1  1  an
an 1  
a1 
2
2


a1  a2  a3  ......  a2005  1,03

n

1

1
2

2

 n  1.



a0  2; an1  4an  15an2  60 n  1.

n

n

1
a2 n  8
5

n  1.

p ( n)

p(1)  1; p(n)  p(1)  2 p(2)  .......  (n 1) p(n 1) n  2.
u1  2

n
3
2

un  3un 1  2n  9n  9n  3 n  2.
p 1

2009

i 1

ui


 x0  a

2

 xn 1  2 xn  1 n  0.
xn  0 n  0
xn1.xn
1
x0  1; x1 
xn 2 
n  0.
2002 xn1  2001xn  2000 xn 1.xn
2
n

n

n

n

n

1

a1  2

an 1
an 
n  1.
2nan 1  1


S  a1  a2  ..........  a2010.

a1  1.2.3; a2  2.3.4; ......; an  n(n  1)(n  2).

Sn  a1  a2  ....  an .

4Sn  1

n

n

a0  2 ; b0  1

2anbn

an 1  a  b ; bn 1  an 1bn n  0.

n
n

n

n  

n

n

a0  a; a1  b; a2  2b  a  2

an 3  3an  2  3an 1  an n  0.
n

n

n  1998

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Bài 17: Cho dãy số (a ) :
. Tính  . ( Trung Quốc – 2004).
/>



/>Bài 18: Cho dãy số (a ) :
. Chứng minh rằng :
/>a) là số nguyên dương với
/>b)
là số chính phương với
( Trung Quốc – 2005).
Bài 19: Cho dãy số (u ) :
. Chứng minh rằng
là số chính
/>phương ( Chọn đội tuyển Nghệ An – 2007 ).
/>Bài 20: Cho dãy số (b ) :
. Tính  ( Moldova 2007).
/> />Bài 21: Cho dãy số {u } được xác định như sau :
.
/>Chứng minh rằng
. (HSG Quảng Bình 2008 – 2009).
/>Bài 22: Cho đa thức
và
( n dấu ngoặc). Tìm số
/>nghiệm
của P(x) và P (x) ? ( Dự tuyển Olympic).
Bài />23: Cho dãy số (u ) được xác định như sau:
.
Chúng minh rằng với
thì
là một số chính phương.
/>( Chọn đội tuyển Romania 2002)
/> />Trên />đây là một phân nhỏ kiến thức về bài toán xác định công thức tổng quát của một dãy

số mà tôi đã lĩnh hội được và được xin trình bày cho các bạn tham khảo. Mong nhân được
những />ý kiến đánh giá chân thật từ mọi người. Xin chân thành cảm ơn!
/>Name
: Mai Xuân Việt
/>Address : Đội II – thôn Dƣơng Quang – Xã Đức Thắng – Huyện Mộ Đức – Tỉnh
Quảng Ngãi .
/>Email :
Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
/> />n

n

an


a0  3


 3  an 6  an 1  18 n  1.
a0  1


7an 1  45an21  36
a

n  1.
 n

2
n  0.

an1an  1

n

i 1

1
ai

n  0.

n

u1  1; u2  2

un  4un 1  un 2 n  3.

n


3
b0  12; b1 
2

b  b  b . 3 n  2.
 n n 1 n  2

un2  1
3

2007
i 0

bi

u1  1; un  0 n  1

n

1  un21  1
n  2.
un 
un 1


1 
S  u1  u2  .....  un  1  1  n1 
4 2 
3
Pn ( x)  P( P(....( P( x)))...)
P( x)  x  6 x  9
n

u0  u1  1

un 1  14un  un 1 n  1.

n

n  0

2un  1

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3