Chuong 6 UOC LUONG

Chương 6

ƯỚC LƯỢNG
Nội dung cơ bản của phương pháp điều
tra chọn mẫu là dựa vào sự hiểu biết
các tham số Ө’ ( X , p, s 2 ) của tổng thể
mẫu điều tra để suy luận thành tham số
Ө (µ, P, σ2) của tổng thể chung chưa
biết. Việc làm naøy được gọi là ước
lượng.
02/06/18

1


Ước lượng không chệch
• Ө’ là ước lượng không chệch của Ө
nếu kỳ vọng toán học của Ө’ bằng Ө,
nghĩa là:
E (Ө’ ) = Ө

02/06/18

2


Ước lượng vững
• Ө’ là ước lượng vững của Ө nếu Ө’ có
xu hướng ngày càng gần với Ө khi
kích thước mẫu tăng lên
Về mặt toán học thì Ө’ hội tụ về Ө nếu

với mọi ε > 0 bé tuỳ ý ta luôn có :

lim P (|    / 
'

n �
02/06/18

ε =) 0

3


Ước lượng hiệu quả
• Ө’1 và Ө’2 là 2 ước lượng không chệch
của Ө dựa trên số lượng của mẫu quan
sát giống nhau:
Ө’1 gọi là hiệu quả hơn Ө’2 nếu:
Var (Ө’1 ) ≤ Var (Ө’2 )

02/06/18

4


Thống kê toán đã chứng minh
• Vì số trung bình mẫu X là ước lượng không
chệch, vững, hiệu quả của trung bình tổng thể
chung µ, do đó nếu chưa biết µ có thể dùng
X để ước lượng.

�
• Vì tỷ lệ mẫu p là ước lượng không chệch,
vững và hiệu quả�
của P, do đó nếu chưa biết
P có thể dùng p để ước lượng.
• Vì phương sai mẫu hiệu chỉnh S2 là ước
lượng không chệch, vững, hiệu quả của
phương sai chung σ2, do đó nếu chưa biết σ2
có thể dùng S2 để ước lượng.
02/06/18

5


6.1. Ước lượng điểm
Mẫu
 Trung bình

X

Tổng thể
µ

=

�

 Tỷ lệ
 Phương sai

02/06/18

p

S2

=

P

=

σ2

6


6.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

• Trong ước lượng điểm, giá trị ước lượng
các đặc trưng của tổng thể chung phụ
thuộc vào một giá trị cụ thể của biến ngẫu
nhiên, ví dụ như trung bình, tỷ lệ, phương
sai mẫu.
• Ứng với mỗi mẫu khác nhau ta sẽ nhận
được các giá trị khác nhau. Do đó chúng
không thể hiện tính chính xác của ước
lượng.
• Do đó ta cần thực hiện ước lượng
khoảng, nghĩa là dựa vào số liệu của mẫu,

với độ tin cậy cho trước, xác định khoảng
giá trị mà các đặc trưng của tổng thể có
thể rơi vào .
02/06/18

7


• Tổng quát, gọi Ө là tham số chưa biết của tổng
thể. Căn cứ vào mẫu gồm n đơn vị, tìm những
biến ngẩu nhiên Ө1và Ө2 sao cho: P(Ө1 ≤ Ө ≤
Ө2 ) = 1- α.

* Trong đó : Khoảng ( Ө1 , Ө2 ) là khoảng ước
lượng với độ tin cậy ( 1- α ).100% của Ө.
* 1- α - Là độ tin cậy của khoảng ước
lượng đó.
Nói chung, Độ tin cậy và độ chính xác có xu
hướng đối lập nhau, tức là khoảng ước lượng
càng dài (độ chính xác thấp) càng có cơ hội
trúng cao (độ tin cậy cao)
02/06/18

8


6.2.1. Ước lượng trung bình tổng thể
1. n≥30. Giả sử có 1 mẫu ngẩu nhiên bao gồm
n quan sát được chọn từ 1 tổng thể có phân
phối chuẩn có phương sai σ2 đã biết. Với độ

tin cậy (1 – α )100% cho trước, trung bình
tổng thể µ được xác định bởi:



x  Z / 2 .
� �x  Z  / 2 .
n
n
Với Z là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn.

x 
z
/ n

02/06/18

9


P(- Zα/2< Z < Zα/2) = 1 - α
• Chứng minh:
P(Z > Zα/2) = α/2
Do đối xứng : P ( Z < - Zα/2) = α/2
=> P(- Zα/2< Z < Zα/2 ) =
= 1- P(Z>Z α/2 ) – P(Z< -Z α/2)
= 1- α/2 - α/2
=1-α

02/06/18

10


• Từ công thức trên ta thấy :
 Với độ tin cậy và kích thước mẫu cố

định, độ lệch chuẩn càng lớn thì khoảng
ước lượng càng rộng, tức là độ chính
xác của ước lượng càng thấp.
 Với độ tin cậy và độ lệch chuẩn cố định
, kích thước mẫu n càng lớn thì khoảng
ước lượng càng hẹp, tức là độ chính
xác của ước lượng càng cao.
 Với độ lệch chuẩn và kích thước mẫu n
cố định , độ tin cậy càng cao thì khoảng
ước lượng càng rộng, tức độ chính xác
của ước lượng càng thấp.
02/06/18

11


Cũng trường hợp n ≥30 , nhưng σ2 chưa
biết, khi đó ta thay σ2 bằng S2 (Phương
sai mẫu hiệu chỉnh)

02/06/18

12


2. n < 30, tổng thể chung có phân phối
chuẩn, σ2 đã biết

x  Z / 2

02/06/18



� �
 x  Z  / 2
n
n

13


* n < 30, tổng thể chung có phân phối
chuẩn, σ2 chưa biết khi đó

x  tn 1 , / 2

S
S
� �x  tn 1 , / 2
n
n

tn 1

x 

S/ n

Trong đó :
• Có phân phối Student với (n-1) bậc tự do . Cho
trước (1- α) và biết n ta tìm được tn-1, α/2 theo
bảng lập sẳn.,,,,
02/06/18

14


• Ví dụ 1: Thực hiện cân thử 100 hộp sửa
đặc có đường có trọng lượng trung bình
là 398 gr; σ2 = 400 gr. Hãy ước lượng
trọng lượng trung bình của cả lô sửa với
độ tin cậy 95%.
• Phân tích: Đây là trường hợp ước lượng
trung bình tổng thể,đã biết σ2; n=100>30
x  398 gr. ; với độ tin cậy 95% => α =5%
=> Zα/2 =Z0,025 = 1,96;

x  Z / 2
02/06/18




� �
 x  Z  / 2
n
n

15


• Ví dụ 2: Để xác định trọng lượng trung bình
của các bao bột mì đựoc đóng bao bằng
máy tự động, người ta chọn ngẫu nhiên 15
bao và tính được:
x  39, 8kg S2 = 0,144 .
Hãy ước lượng trong lượng trung bình của
bao bột với độ tin cậy 95%.
n = 15 < 30; σ2 chưa biết. Giả sử trọng lượng
các bao bột mì là đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn => Phân phối trung bình
mẫu là phân phối Student với ( n-1) bậc tự
do, khi đó:
02/06/18

16


P( x  tn1, / 2

S
S

� �x  tn 1, / 2 )  95%
n
n

• α = 0,05 => α/2 =0,025.Tra bảng
Student với (15-1) bậc tự do ta tìm
được: t=2,145.
• Như vậy :

0,144
0,144
39,8  2,145
� �39,8  2,145
15
15
36,7kg � �40, 4kg
02/06/18

17


• Ví dụ: Tuổi thọ SP của nhà máy SX bóng đèn giả

sử có phân phối chuẩn. Nhân viên kiểm tra chất
lượng của nhà máy chọn ngẫu nhiên 100 SP trong
1 đợt SX, kiểm tra tuổi thọ của SP cho trong bảng

Tuổi thọ <550
,giờ
số bóng

đèn

15

550650

650750

750850

≥850

22

30

23

10

Hãy tìm khoảng tin cậy 95% của tuổi thọ trung
bình của SP trong cả đợt SX.
02/06/18

18


6.2.2. Ước lượng tỷ lệ tổng thể
• Trong thực tế, nhiều khi ta quan tâm đến
tỷ lệ các đơn vị mang một tính chất nào đó

trong tổng thể chung.
• Ví dụ: Tỷ lệ khách hàng sử dụng một loại
sản phẩm nào đó, tỷ lệ sản phẩm hỏng, tỷ
lệ học sinh bỏ học v.v.. Tức là có nhu cầu
ước lượng tỷ lệ P của tổng thể.

02/06/18

19


• Giả �
sử có mẫu ngẩu nhiên n quan sát
và p là tỷ lệ các quan sát có tính chất
A nào đó. Với mẫu lớn ( n ≥ 40), độ tin
cậy của khoảng ước lượng ( 1- α ) ta
tìm Zα/2.
Tỷ lệ tổng thể chung P được xác định:
�

�

p Z / 2
02/06/18

�

p (1  p )
n

�

�

�P � Z  / 2

�

p (1  p )
n
20


• Ví dụ: Giả sử khi điều tra chọn mẫu
100 đồ hộp, ta phát hiện 20 sản phẩm
không đúng quy cách. Hãy ước lượng
tỷ lệ đồ hộp không đúng quy cách với
độ tin cậy 95%. �
• Giải : n = 100 ; p= 20 : 100 = 0,2 ;
Zα/2 =Z0,025 1,96 .

0, 2(1  0, 2)
0, 2(1  0, 2)
0, 2  1,96
�P �0, 2  1,96
100
100
02/06/18

21

6.2.3 ƯỚC LƯNG PHƯƠNG
SAI CỦA TỔNG THỂ:
Giả sử tổng thể chung có
2
phân
phối chuẩn với

chưa biết. Căn cứ vào
 12 dữ
liệu
của mẫu gồm n đơn vò
 22
22 giá
2 trò2 ( số )
ta đưa
ra
P( 1 � � 2 )  1  
và
2 sao cho:
2
(n-1) s
2
2 (n - 1)s
2 2
1  2
n  1 ,1  / 2
 n 1 , / 2
2

 n
1

02/06/18

2
22


VÍ DỤ:

Một công ty muốn tìm
hiểu sự biến thiên về tuổi
thọ của một loại SP. Chọn
ngẫu nhiên 15 SP để thu dữ
liệu và tính được phương sai
mẫu HC là 15,274. Cần ước
lượng phương sai về tuổi thọ
SP với độ tin cậy 95%. ( Tuổi
thọ của loại SP này có
phân phối chuẩn ).
02/06/18

23


Công ty bột giặt O Tiến hành một khảo sát mẫu tại
Thành phố B như sau: Khảo sát ngẫu nhiên 500 hộ gia
đình và xác định được có 150 hộ gia đình sử dụng bột
giặt O. Lượng bột giặt O sử dụng

( kg/ hộ/ tháng )ở các hộ này thể hiện qua dữ liệu:
Lương BG 0,2–0,5 0,5–0,8 0,8–1,1 1,1–1,4 1,4–1,7 ≥1,7
Số hộ
3
12
33
54
37
11
1/ Ước lượng tỷ lệ hộ sử dụng BG O tại TP này với độ tin cậy
95%.
2/ Ước lượng lượng bột giặt O sử dụng trung bình 1 hộ/
tháng với độ tin cậy 99%.
3/ Thành phố có 850000 hộ gia đình, hãy ước lượng tổng
lượng bột giặt O sử dụng 1 tháng ở TP này với độ tin cậy
95%.
02/06/18

24


4/ những hộ sử dụng BG O mà sử dụng < 0,8
kg/hộ/tháng là những hộ sử dụng ít. Một nhân viên
nghiên cứu thị trường khẳng định có 15% số hộ sử
dụng BG O của TP này sử dụng ít . Với mức ý nghĩa
10%, hãy cho kết luân và xác định giá trị P ( P- Value).
5/ Cũng nhân viên trên cho biết những hộ sử dụng BG
O sử dụng trung bình 1,3 kg/ hộ/ tháng. Với mức ý
nghĩa 5%, hãy cho kết luận và xác định giá trị p ( pvalue )

02/06/18

25